APOSTILA Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências

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Metodologia e Prática do 
Ensino da Matemática e 
Ciências
PEdagogia
U412.11
 
Autores: Prof. Guilherme Santinho Jacobik
 Profa. Verônica Azevedo
Colaboradores: Profa. Silmara Maria Machado
Prof. Nonato Assis de Miranda
Metodologia e Prática do 
Ensino da Matemática e 
Ciências
Professores conteudistas: Guilherme Santinho Jacobik / Verônica Azevedo
O professor Guilherme Santinho Jacobik é graduado em Pedagogia, mestre em Educação Matemática e Ciências pela 
Universidade de São Paulo e doutorando em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas. 
Professor do Ensino Fundamental desde 1989 e docente universitário desde 2003, é também formador de educadores 
em escolas públicas e particulares desde 1994 e autor de artigos e livros educacionais.
Realizou inúmeras palestras, workshops e assessorias voltadas ao ensino da Matemática, Ciências e organização curricular.
Atualmente no doutorado, desenvolve um projeto de pesquisa relacionado à história de vida dos alunos e seus 
desempenhos no início da escolaridade. 
É docente da Universidade Paulista – UNIP e professor de Ensino Fundamental – ciclo I no Colégio Santa Cruz de São Paulo.
A profa. Verônica Azevedo é mestre em educação e doutora em ciência da comunicação pela Universidade de São Paulo.
Verônica é psicopedagoga e artista plástica. Dedica-se às artes plásticas desde 1960.
Como pedagoga participou de vários projetos de pesquisa em educação matemática (USP, CAPES, CNPQ, Estação 
Ciência, Universidade de Laval – Canadá), foi responsável por vários cursos de aperfeiçoamento para professores das redes 
estaduais e particulares de São Paulo, Minas Gerais e Bahia.
Como docente do Ensino Superior desenvolveu projetos pioneiros em didática do Ensino Superior.
Realizou pesquisas sobre o ensino de matemática junto ao Laboratório de Educação Matemática da USP, o qual ajudou 
a criar. Suas publicações anteriores versam sobre sua larga experiência didática: a coleção Matemática Através de Jogos, 
o livro Jogando e Construindo Matemática e Telejornalismo e Educação para a Cidadania. Além disso, mantém um site de 
apoio a professores e pais com orientações de estudos: <www.veronicaweb.com.br>.
Desde 1998 participa de grupos de pesquisa sobre a interface comunicação e educação, tendo desenvolvido projetos 
de educação para a cidadania, voltados para crianças e jovens. Esta pesquisa foi sistematizada em sua tese de doutorado 
defendida na ECA-USP. Atualmente desenvolve projetos de educação e comunicação e é docente do ensino superior. É 
professora titular da Universidade Paulista – UNIP.
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou 
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem 
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
J16m Jacobik, Guilherme Santinho
Metodologia e prática do ensino de matemática e ciências / 
Guilherme Santinho Jacobik; Verônica Azevedo. – São Paulo, 2012.
 
192 p. il.
1. Metodologia. 2. Ensino - matemática. 3. Ensino - ciências 
I. Título.
CDU 37.013
Prof. Dr. João Carlos Di Genio
Reitor
Prof. Fábio Romeu de Carvalho
Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças
Profa. Melânia Dalla Torre
Vice-Reitora de Unidades Universitárias
Prof. Dr. Yugo Okida
Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez
Vice-Reitora de Graduação
Unip Interativa – EaD
Profa. Elisabete Brihy 
Prof. Marcelo Souza
Profa. Melissa Larrabure
 Material Didático – EaD
 Comissão editorial: 
 Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
 Dr. Cid Santos Gesteira (UFBA)
 Dra. Divane Alves da Silva (UNIP)
 Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
 Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
 Dra. Valéria de Carvalho (UNIP)
 Apoio:
 Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD
 Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos
 Projeto gráfico:
 Prof. Alexandre Ponzetto
 Revisão:
 Lucas Ricardi Aiosa
Sumário
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e 
Ciências
APRESENTAçãO ......................................................................................................................................................7
INTRODUçãO ...........................................................................................................................................................7
Unidade I
1 BLOCOS DE CONTEúDOS PARA O ENSINO FUNDAMENTAL ............................................................11
1.1 O sistema de numeração decimal ...................................................................................................11
1.2 Operações ................................................................................................................................................ 16
1.2.1 Ensinando o algoritmo convencional: compreendendo as características 
das faixas etárias ................................................................................................................................................ 19
1.2.2 Utilizando o ábaco ................................................................................................................................. 23
1.2.3 Multiplicação ............................................................................................................................................ 28
1.2.4 Divisão ......................................................................................................................................................... 31
1.2.5 Frações ......................................................................................................................................................... 32
1.3 Espaço e forma ...................................................................................................................................... 38
1.4 Geometria e medidas .......................................................................................................................... 39
1.4.1 Dimensões .................................................................................................................................................. 42
1.4.2 Identificação de figuras ...................................................................................................................... 43
1.4.3 Simetria ....................................................................................................................................................... 47
1.4.4 Conceito de medida ............................................................................................................................... 48
1.4.5 Conceito de área .................................................................................................................................... 55
1.4.6 Conceito de perímetro .......................................................................................................................... 56
1.5 Tratamento da informação............................................................................................................... 56
2 SUGESTõES DE CONTEúDOS DO 1º AO 5º ANOS DO ENSINO FUNDAMENTAL ...................... 60
3 RECURSOS PARA O PLANEJAMENTO DA MATEMÁTICA NO ENSINO FUNDAMENTAL ........ 69
3.1 Resolução de problemas .................................................................................................................... 69
3.2 Portadores numéricos ......................................................................................................................... 81
3.3 Jogos .......................................................................................................................................................... 85
4 ATIVIDADES E ENCAMINHAMENTOS INTERESSANTES NO ENSINO DA MATEMÁTICA ......103
4.1 Sequências didáticas no ensino da Matemática ...................................................................1034.2 Projetos didáticos como metodologia de trabalho também no ensino 
da Matemática ............................................................................................................................................106
4.3 Importância das atividades permanentes em Matemática ...............................................108
Unidade II
5 O ENSINO DE CIêNCIAS SEGUNDO OS PARâMETROS CURRICULARES NACIONAIS ........120
5.1 Objetivos gerais de Ciências Naturais para o Ensino Fundamental ..............................122
5.2 Os conteúdos para o ensino de Ciências Naturais ................................................................122
5.2.1 Blocos temáticos .................................................................................................................................. 123
6 AçõES DIDÁTICAS INTERESSANTES NAS AULAS DE CIêNCIAS NATURAIS NO 
ENSINO FUNDAMENTAL .................................................................................................................................140
Unidade III
7 ExPERIêNCIAS PRÁTICAS PARA VOCê FAzER COM SEUS ALUNOS ..........................................154
7.1 Área temática “corpo humano” ....................................................................................................154
7.1.1 Olhos ......................................................................................................................................................... 154
7.1.2 Dentes ....................................................................................................................................................... 155
7.1.3 Tato ............................................................................................................................................................ 156
7.2 Área temática “seres vivos”: plantas e animais ......................................................................157
7.2.1 Classificações: pena, pelo, escamas .............................................................................................. 157
7.2.2 Cadeia alimentar .................................................................................................................................. 158
7.2.3 Sapo, rã ou perereca? ..........................................................................................................................161
7.3 Área temática “conceitos físicos” .................................................................................................163
7.3.1 Boia ou afunda? ................................................................................................................................... 163
7.3.2 Relógio de sol ........................................................................................................................................ 165
7.3.3 Cata-vento .............................................................................................................................................. 166
7.3.4 Translúcido, opaco e transparente ................................................................................................ 167
7.3.5 Gelinho ..................................................................................................................................................... 168
7.3.6 Ilusão de ótica ....................................................................................................................................... 169
7.4 Área temática “conceitos químicos” ...........................................................................................171
7.4.1 Papel reciclado .......................................................................................................................................171
7.4.2 Fogo ........................................................................................................................................................... 173
7.4.3 Substâncias parecidas ....................................................................................................................... 174
7.4.4 Separação de misturas ....................................................................................................................... 175
7.4.5 Misturas: bolo de laranja maluco .................................................................................................. 176
8 A IMPORTâNCIA DOS ESTUDOS DO MEIO ..........................................................................................177
7
APrESEntAção
Este livro destina-se a você, educador(a), que está estudando para dar aulas de Matemática e Ciências 
para crianças do Ensino Fundamental. 
Aqui serão estudados os objetivos do ensino de Matemática e Ciências conforme as orientações 
das discussões mais avançadas na abordagem metodológica dessas áreas do conhecimento. São aqui 
apresentadas sugestões de conteúdos para o ensino do 1º ao 5º ano do Ensino Fundamental juntamente 
com exemplos de atividades interessantes para inspirar você em seus futuros planejamentos. Também 
apresentamos três possibilidades de recursos didáticos que favorecem o aprendizado de seus futuros 
alunos.
Na Unidade I apontamos algumas questões que o(a) educador(a) deve considerar ao ensinar 
Matemática. Elas são representativas das preocupações que têm sido debatidas no ensino dessa área do 
conhecimento.
Na Unidade II apresentamos questões que devem fazer parte das reflexões do(a) educador(a) ao 
se preparar para ensinar Ciências. Também serão apresentados os objetivos, os conteúdos e exemplos 
práticos que lhe serão úteis para aprender mais. 
As contribuições que serão apresentadas nesse livro-texto são pilares de sustentação para que o 
futuro professor tenha condições de saber o que se ensina, como se ensina e por que se ensina. Dessa 
forma, além de uma listagem de conteúdos, pretendemos problematizar as práticas e sugerir formas de 
intervenção na relação professor-aluno.
Acreditamos que aliando teoria e prática você terá a possibilidade de uma ampliação significativa 
de seus conhecimentos.
Introdução
Nas últimas décadas, os currículos do ensino da Matemática e das disciplinas científicas foram 
alvo de revisões, críticas e novos direcionamentos, e sofreram mudanças nos vários níveis escolares. 
Essas mudanças foram resultados de estudos analíticos sobre o papel das várias ciências na educação, 
pesquisas sobre a aprendizagem de conceitos científicos pelas crianças, do estudo do papel da linguagem, 
da motivação e do interesse nas diferentes faixas etárias, tendo motivado a produção de diferentes 
materiais didáticos. 
Todo esse estudo resultou em novos campos de conhecimento. Houve o movimento da chamada 
matemática moderna nos anos setenta, passando pela modelagem matemática e a etnomatemática dos 
anos noventa. Na primeira década de nosso século a corrente teórica didática da matemática dominou 
o cenário brasileiro. Surgiram as Metodologias do Ensino da Matemática e das Ciências.
A Metodologia do Ensino da Matemática se preocupa, atualmente, não apenas com métodos de 
ensino, mas com a formação cultural matemática do aluno e da sociedade. Transita entre as técnicas, 
8
os sujeitos e a interpretação do mundo por intermédio dos saberes da matemática como área do 
conhecimento.
Quanto às Ciências, nos dias de hoje, cientistas e educadores do nosso país concordam sobre os 
objetivos do ensino dessa disciplina: pensar lógica e criticamente. Apesar dessa concordância sobre o 
papel das disciplinas científicas na educação, os resultados práticos não condizem com as aspirações 
teóricas. Essa situação sugere questões a serem discutidas, entre elas o papel da experimentação e seus 
significados no ensino de Ciências.
As revisões das teorias nos últimos anos devem ser conhecidas de forma mais aprofundada por 
você, futuro professor, para que possa escolher, se posicionar e desenvolver novas contribuições. Por 
essa razão, sugerimos que não se limite ao material apresentado, mas busque em referências teóricase 
outras fontes mais informações além das apresentadas aqui. 
A nova expectativa sobre o papel do docente, que o denomina “professor protagonista” e “professor 
pesquisador”, faz com que ele não seja alguém passivo, mero executor de práticas sem reflexão, mas 
sujeito do fazer docente, alguém autor consciente de seu papel como formador, exigindo do estudante, 
futuro educador, uma postura rigorosa de constante formação. 
Da mesma forma que se revisa o papel de quem ensina – normalmente o professor –, pesquisas 
sobre a aprendizagem de conceitos científicos pelas crianças, do estudo do papel da linguagem, 
da motivação e do interesse nas diferentes faixas etárias conduzem a um novo pensamento sobre 
aquele que aprende – o aluno –, e essa preocupação deu origem à produção de novos e diferentes 
materiais didáticos. 
Nos textos que se seguem, nos inspiramos em experiências bem sucedidas no ensino 
da Matemática e das Ciências. Além de nossas vivências pessoais como docentes e de nossa 
contribuição teórica, trazemos as práticas e teorias de documentos de referência. Eles nos serviram 
de base para a escrita deste livro-texto e se aliam a outras contribuições referenciadas ao longo 
deste.
 observação
Em sua época de estudante do Ensino Fundamental, provavelmente 
você deve ter se sentido desconfortável com a forma como o ensino era 
desenvolvido sem levar em consideração a participação dos alunos, não é 
mesmo?
Esperamos poder ajudá-lo a refletir sobre a importância que atualmente 
a construção do conhecimento junto ao aluno tem e como a Ciência e a 
Matemática ajudam nesse processo de conhecimento e participação social 
mais amplo.
9
 Saiba mais
As recomendações dos PCN agregam boas recomendações e ainda 
apresentam uma interessante divisão de objetivos e conteúdos do 1º 
ao 5º ano. Para complementar a leitura deste conteúdo, acesse o site: 
<http://lemad.fflch.usp.br/sites/lemad.fflch.usp.br/files/prefeitura_fundi_
saopaulo_geral_2007[1].pdf>.
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Metodologia e Prática do ensino da MateMática e ciências
Unidade I
1 BloCoS dE ContEúdoS PArA o EnSIno FundAMEntAl
Na história do ensino da Matemática, durante muito tempo, a natureza interdisciplinar e significativa 
dos conteúdos não foi considerada, ou seja, apostava-se em uma listagem de conceitos e atividades 
com fim em si mesmo, que pouco contribuía para que o aluno encontrasse aplicação ao que estava 
vendo e, teoricamente, aprendendo. O ensino pautado em atividades estanques dificultava ao aluno 
compreender o sentido e aplicação do que vivenciava. No Brasil, foram os Parâmetros Curriculares 
Nacionais e as mais recentes discussões acadêmicas acerca dessas questões que contribuíram para que 
fosse repensada a forma de organizar os conteúdos. 
Para fins didáticos, é possível agrupar os conteúdos de ensino recomendados aos alunos do 
Ensino Fundamental (1º ao 5º ano) em cinco grandes blocos: sistema de numeração; operações; 
espaço e forma; grandezas e medidas e tratamento da informação. Agrupados, eles possuem 
objetivos similares que se complementam. Ao educador cabe organizá-los de forma que façam 
sentido aos alunos, permitindo a eles resgatar o aprendido e utilizá-lo em novas situações (o que 
se vem chamando de transposição didática).
 
1.1 o sistema de numeração decimal
A partir de um processo histórico de milhares de anos, o homem desenvolveu o sistema que hoje 
denominamos numeração decimal, composto por apenas dez símbolos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0) e que 
nos permite representar qualquer número. O valor representado pelo numeral depende de sua posição 
na composição deste, por isso dizemos que nosso sistema é posicional. É também denominado decimal, 
pois o que diferencia uma posição de outra são os agrupamentos de dez em dez. Sendo assim, para 
formar uma dezena, utilizamos dez unidades; para uma centena, dez dezenas (ou dez agrupamentos de 
dez unidades); para um milhar, dez centenas, e assim por diante, infinitamente.
Estes conceitos são complexos e precisam ser trabalhados com os alunos ao longo de todo o Ensino 
Fundamental. Segundo Castro e Rodrigues apud Brocardo (2007, p. 118-119):
De um modo geral, o sentido de número diz respeito à compreensão global e 
flexível dos números e operações com o intuito de compreender os números 
e as suas relações e desenvolver estratégias úteis e eficazes para utilizarmos 
no nosso dia a dia, na nossa vida profissional, ou como cidadãos ativos. Inclui 
a capacidade de compreendermos que os números podem ter diferentes 
significados e podem ser usados em contextos muito distintos. É, pois, uma 
construção de relações e de modelos numéricos realizada ao longo da vida 
e não apenas na escola. 
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O que nos foi descrito pelos autores citados nos remete à importância que este bloco tem em 
relação à construção das relações matemáticas que as crianças estabelecem. Fazemos questão de 
dizer a você, estudante da UNIP, que os blocos de conteúdos aqui apresentados são trabalhados 
em todas as séries do Ensino Fundamental e que o sistema de numeração deve ser objeto de 
planejamento em todas elas, assim como os demais blocos apresentados. Muitos educadores 
consideram desnecessária a manutenção de atividades relacionadas ao ensino do sistema de 
numeração, mas veremos adiante que algumas situações devem se tornar atividades permanentes, 
como por exemplo recorrer ao calendário como forma de controlar e antecipar eventos, algo 
essencial à vida do ser humano.
 lembrete
A invenção do número é fruto de um longo processo histórico, bem como 
outras conquistas matemáticas; por essa razão deve ser apresentada ao 
aluno, para que ele compreenda a importância dessa área do conhecimento.
 Saiba mais
Recomendamos, para os alunos de todo o Ensino Fundamental, a leitura do 
livro O bibliotecário que mediu a Terra, de Kathryn Lasky. Trata-se da biografia 
de Eratóstenes, importante estudioso e matemático Líbio que viveu há mais de 
2000 anos.
No entanto, o bloco de conteúdos e objetivos sistema de numeração decimal, que desde cedo 
faz parte da vida do aluno, possui uma característica muito especial: ele é a base dos demais 
blocos, pois é composto de diversos conceitos-chave. Nele se estuda a grafia dos numerais (o 
traçado correto do 0, 1, 2, 3, ... 9), o sentido quantitativo do registro com algarismos (quando 
representa uma quantia a ser contada, por exemplo, sendo chamado número), os algarismos 
como representação simbólica (como o numeral de uma casa ou um telefone), e as noções de 
posição e grandeza numérica (quando o 1 pode ser uma unidade, uma dezena, ou uma centena, 
por exemplo).
Há muitas dúvidas sobre a nomenclatura correta, por essa razão, apresentamos a seguir um resumo 
que apresenta a explicação dos conceitos de número, numeral e algarismo. 
 Saiba mais
Recomendamos a consulta ao interessante texto-fonte do qual pesquisamos 
os significados em: <http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/passa7a.html>.
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Quadro 1 – Diferenciação entre número, numeral e algarismo
Número Numeral Algarismo
É a ideia de quantidade que nos 
vem à mente quando contamos, 
ordenamos e medimos. Assim, 
estamos pensando em números 
quando contamos as portas de um 
automóvel, enumeramos a posição de 
uma pessoa numa fila ou medimos o 
peso de uma caixa.
É toda representação 
de um número, seja 
ela escrita, falada ou 
indigitada.
É todo símbolo 
numérico que 
usamos para formar 
os numerais escritos.
Infelizmente, nas escolas de maneira geral, ainda se observam atividades “mecânicas” em 
que os alunos copiam exaustivamente os numerais, ou colam bolinhas de papel ou sementinhas 
sobre numerais traçados pelo educador. Aprender a grafia correta dos numerais é importante, 
mas isso deveser realizado de forma mais contextualizada, pedindo aos alunos que escrevam a 
idade que possuem e a data de seu aniversário, o numeral da residência ou do telefone dos pais 
em uma agenda de contatos, por exemplo. Também é importante que os numerais componham 
cartazes que se encontram no ambiente do aluno, como o calendário e a tabela de 0 a 100, para 
sua consulta autônoma.
Principalmente nos primeiros anos (1º, 2º e 3º) do Ensino Fundamental, devemos planejar situações 
didáticas que envolvam os números naturais, principalmente porque eles fazem parte do cotidiano das 
crianças, utilizados em diferentes situações e em perguntas realizadas por elas, tais como: comparação 
de idades; “quanto” tem?; “quanto” tenho?; se eu já tenho x, quanto falta para Y?; qual seu telefone?; 
entre outras. 
A experiência de vida da criança, mesmo que comparativamente menor que a do adulto, deve 
ser levada em conta, e cabe à escola ajudá-la a ampliar o que sabe e construir novas relações e 
pensamentos matemáticos. Dessa forma, como metáfora, seria interessante que a escola fosse 
uma continuidade da casa, da vida social mais ampla. Desvendar o que a criança já sabe – seus 
conhecimentos prévios – e, partindo deles, oferecer novas situações, que a permita avançar 
no que sabe para construir o que ainda não sabe, constitui o importante papel mediador do 
educador.
Quando menos experientes, as crianças têm mais dificuldade em grafar corretamente os 
numerais; muitas invertem a ordem (ao invés de 21, grafam 12, por exemplo) ou os espelham ( 3 ao 
invés de 3). Também apresentam dificuldade quanto à compreensão do valor posicional e tendem 
a grafar como escutam. Neste caso, a forma oral como o numeral é enunciado leva as crianças a 
erros construtivos, escrevendo, por exemplo, 301 para 31, pois entendem ser equivalente a trinta 
(30) e um (1), o que resulta em 301 (30 + 1). Isso ocorre porque no processo de construção do 
conceito de número as crianças aplicam aquilo que compreendem sobre a “leitura” que fazem 
do que está ao seu redor. É o que chamamos de hipóteses de escrita, que ocorrem com as letras, 
palavras e também com os numerais. 
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 observação
Mesmo nas séries finais do Ensino Fundamental (4º e 5º anos), o 
bloco de conteúdos sistema de numeração continua a ser essencial. Erros 
ocasionados pela elaboração de hipóteses ocorrem constantemente, 
e as crianças precisam ser respeitadas em seu processo e naturalmente 
orientadas de forma a construir uma relação positiva com o erro e a 
possibilidade do acerto.
Exemplo de atividade
Sistema de numeração decimal – Construindo e explorando uma tabela numérica
• Identificar números até 100. 
• Ler, escrever e comparar números em diferentes contextos de uso.
• Perceber algumas regularidades do sistema de numeração decimal, tais como: o valor 
posicional (quanto vale um numeral em sua posição na composição de um número) – 
por exemplo o 3, em 34, que vale 30; a possibilidade de saber a grandeza do número 
por sua quantidade de algarismos – por exemplo, que 45 (dois algarismos) é maior que 
9 (um algarismo); e observar a ideia de “família de números”, o que significa que todos 
os números daquela sequência se iniciam pelo mesmo numeral, modificado a cada dez 
unidades – por exemplo, que após o 29 vem o 30 (31, 32, 33, 34, ... 39).
Conteúdos
• Ordem de grandeza e regularidade do sistema de numeração. 
• Leitura e escrita numérica. 
Anos
1º e 2º.
Tempo estimado
Ao longo de todo o ano escolar. 
Material necessário 
• Um cartaz como o do modelo a seguir, que vá até 100, deve ser afixado para servir 
de “dicionário” e ser consultado. Uma sugestão é digitar os números, recortá-los, 
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distribuí-los aos alunos e pedir a eles que o auxiliem na colagem sob um cartaz similar 
(quadriculado, com dez espaços em cada linha e dez em cada coluna), mas com lacunas, 
sem os números escritos.
• Providencie uma cópia menor para cada aluno (com os números) e mantenha ao alcance 
objetos que portem sequências numéricas similares como calendários e volantes de 
jogos de casas lotéricas. 
• As primeiras tabelas devem começar com 1 e não com 0, pois muitos alunos se apoiam 
na contagem para encontrar as escritas que não conhecem. 
• Organize a série de 10 em 10 para a identificação das regularidades.
O cartaz deverá ficar assim:
tabela 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
Desenvolvimento
Primeiro divida os cem números da tabela entre seus alunos e oriente-os a vir colá-los 
conforme as comandas que fizer. A seguir, sugerimos ideias que os levarão a compreender 
algumas regularidades do sistema numérico decimal:
• Chame para colar sobre o cartaz aqueles que tiverem números iniciados pelo numeral 
3. Dessa forma, crianças que tenham a “família do trinta” colarão seus números e todos 
poderão perceber a ideia de “família” e que o primeiro numeral é o mandante do número.
• Chame em seguida as crianças que tiverem números terminados pelo numeral 5. Virão 
aqueles que têm o 5, 15, 25, 35, 45, 65, 75, 85 e 95, formando a coluna do 5 (como se 
observa na tabela). 
• Pode-se pedir, também, outras regularidades; por exemplo, que venham aqueles que 
tenham números maiores que 13 e menores que 20; o número que vem imediatamente 
depois do 39; o número que vem imediatamente antes de 67; o número que está entre 
72 e 74; entre outras possibilidades.
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Experiências cotidianas interessantes que podem se transformar em situações 
didáticas escolares
Receitas de alimentos (envolvem números nas quantidades de ingredientes e cardinalidade 
na ordem do modo de fazer); desenvolver uma coleção com os alunos (tampinhas, pedras, 
conchas, figurinhas etc.) e ajudar as crianças a registrar as quantidades obtidas (por exemplo, 
marcar riscos em uma tabela do 1 ao 100 como mecanismo de controle); grafar em um 
calendário no mural da classe os dias idos à escola.
 Saiba mais
Recomendamos a leitura do livro Os números: a história de uma grande 
invenção, de Georges Ifrah. Trata-se da história da Matemática, em que o 
autor nos faz acompanhar a evolução do raciocínio de nossos ancestrais 
desde a pré-história, passando por diversas civilizações. 
1.2 operações
Por conta das necessidades cada vez mais complexas do homem, o sistema de numeração decimal 
foi sendo desenvolvido para, por exemplo, controlar quantidades pequenas de animais e quantificar o 
número de pessoas, consequentemente calculando a quantia de alimentos necessários para saciar a 
fome de cada um. Da mesma forma, as estratégias de cálculo também evoluíram e foram se tornando 
cada vez mais complexas. 
Atualmente somos capazes de realizar cálculos que nos permitem compreender e alcançar até 
mesmo o que ainda não palpamos. Antes mesmo de o homem pousar na Lua, engenheiros astronautas 
já calculavam essa possibilidade. Podemos dizer que a criança que entra no Ensino Fundamental refaz 
essa trajetória humana e repete etapas evolutivas da construção desse conhecimento. É comum vermos 
crianças realizando contas com os dedos (base decimal = dez dedos), utilizando riscos e outros grafismos 
não convencionais, exatamente como observamos nas inscrições rupestres (desenhos em paredes de 
cavernas, ossos e peles de animais) encontradas em sítios arqueológicos de muitas localidades do planeta. 
Assim, a criança segue evoluindo, passando da necessidade absoluta do elemento concreto à total 
possibilidade de abstração e pura imaginação. Da mesmaforma o homem, ao longo da história, evoluiu 
do uso de instrumentos rudimentares como pedras e riscos à utilização da calculadora e do computador, 
pois é capaz de inventar instrumentos para superar as limitações de sua mente, e a ferramenta faz o que 
o homem seria incapaz de fazer.
Relembrar que a aprendizagem de cálculos é a construção junto ao aluno de conhecimentos 
milenares nos serve de alerta para respeitar o seu desenvolvimento e fornecer a ele elementos que lhe 
permitam avançar em seu conhecimento. Quando simplesmente substituímos a forma de pensar do 
aluno pelo ensino forçado de técnicas e fórmulas, substituímos a reflexão pela memorização, trocamos 
a tentativa que leva ao erro construtivo pela exercitação mecânica de algoritmos predefinidos.
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Nas escolas, de maneira geral, observamos educadores bem intencionados ensinando contas no 
modelo “arme e efetue”. O que se nota é que muitas crianças não compreendem por que devem realizar 
uma conta do menor valor ao maior, ou seja, da unidade para a dezena e desta para a centena. Além 
do mais, em adições com reservas, aquelas cujas somas das unidades (ou das dezenas ou centenas) 
ultrapassam 9, muitas vezes o aluno não compreende por que deve conservar a unidade e elevar a dezena 
(contas de “vai”), por exemplo. Essas contas são comumente chamadas de algoritmos convencionais. Na 
verdade, todo algoritmo é um “dispositivo prático, elaborado para facilitar a execução de uma certa 
tarefa” (BRASIL, 2007, p. 7). Um exemplo é ordenarmos os ingredientes de uma receita de forma a facilitar 
a execução das etapas de elaboração do alimento, outro exemplo são os procedimentos para dirigir um 
carro ou armar e instalar um produto em nossa casa. Há pessoas que farão uso dessas técnicas sem 
refletir sobre sua ação; estas estão sujeitas a tornarem-se pouco autônomas, agindo mecanicamente, 
sem saber como proceder caso algo saia do controle. 
De maneira análoga, “quem não dispõe de boas estratégias de cálculo passa por dificuldades em 
inúmeras situações do dia a dia, que exigem autonomia de decisões sobre ‘que cálculo fazer’ e ‘como 
fazê-lo’”. (Ibidem, p. 8).
Os algoritmos das quatro operações são estratégias de cálculos que se beneficiam da 
organização do sistema de numeração decimal, mas que devem ser ensinadas no momento em 
que as crianças já dominarem com segurança alguns conceitos, ou pré-requisitos, envolvidos 
nessas operações e necessários para que operem com consciência. A seguir apresentamos alguns 
desses conhecimentos:
Exemplo de atividade
Algoritmos 
• Domínio dos fatos básicos: trata-se de operações em que são empregados 
numerais de um só algarismo. São os cálculos realizados em uma operação que 
devem ser realizados mentalmente, sem o auxílio do algoritmo (não fazendo uso, 
por exemplo, de “arme e efetue”). Aos poucos o aluno deve memorizar resultados 
que podem ser aplicados em diversas situações. As tabuadas de multiplicação e de 
soma são exemplos de exercícios de aprendizagem dos fatos básicos.
• Sugestão de atividade: pedir às crianças que retirem de seu estojo cinco lápis de cor e 
desafiá-las a formar diferentes composições com esses. Exemplos: III + II = 5, II + III = 5, 
I + IIII = 5 etc.
• Conhecimento de outras estratégias de resolução: é muito importante que, antes 
de ensinar a técnica operatória convencional (“arme e efetue”) – que obriga a criança 
a operar da unidade em direção à dezena e desta para a centena (e assim por diante), 
ela possa conhecer outras formas de resolução, ou estratégias de resolução. Para que 
se compreenda melhor essa possibilidade, demonstramos, a seguir, algumas operações 
executadas por alunos do 4º ano de uma escola do município de São Paulo.
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• Conteúdo: ensinando a decompor.
• Pré-requisitos: saber contagens salteadas de 10 em 10 e 100 em 100.
Exemplos:
1) 156 + 234
1a etapa
156 + 234
100 200
 50 30
 6 4
2a etapa
300
 80
 10
3a etapa
300 
 80 + 10 = 90
4a etapa
300 + 90=390
2) 342 + 839
1a etapa 
300 + 800 = 1100 (ou 800 + 200 = 1000 + 100 = 1100)
2a etapa 
40 + 30 = 70
3a etapa 
2 + 9 = 11
4a etapa 
300 + 800 = 1100 
5a etapa 
70 + 10 = 80 + 1 = 81
6a etapa 
1000 + 100 + 81 = 1181 
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3) 321 + 547
 3 2 1 + 5 4 7
 8(800) 6(60) 8(8) 
 observação
Este modo deve vir após a compreensão dos valores posicionais; do 
contrário, ficará apenas no ato mecânico. É preciso reforçar a leitura 
correta da soma ao realizar esse tipo de estratégia, exemplo de 3 + 5, 
que se lê “trezentos mais quinhentos”. Deve-se tomar cuidado com as 
contas de “vai”, pois essa estratégia ocasiona confusões. As crianças 
devem ser estimuladas a pensar na melhor estratégia para resolver um 
cálculo.
4) Crianças do 1º ano de uma escola de São Paulo resolveram a seguinte conta dessa forma:
34 + 28
1a etapa 
34 = 10 + 10 + 10 + 4
28 = 10 + 10 + 8
2a etapa
10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 50
3a etapa 
8 + 4 = 12 (10 + 2)
4a etapa 
50 + 10 = 60
5a etapa 
60 + 2 = 62
1.2.1 Ensinando o algoritmo convencional: compreendendo as características das faixas 
etárias
Como vimos, é necessário construir com a criança estratégias de resolução variadas, levando 
em conta sua capacidade de reflexão. Evite exercícios mecânicos e repetitivos. Mais adiante 
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apresentaremos alguns recursos interessantes que você, futuro educador, possa utilizar para 
diversificar suas aulas. 
Para ensinar o algoritmo convencional, é preciso conhecer as características das faixas etárias 
compreendidas entre o 1º e o 5º ano do Ensino Fundamental. Nessa fase a criança se encontra em 
transição, segundo Jean Piaget (1971), entre um estágio de desenvolvimento chamado pré-operatório (2 
a 7 anos) e estágio das operações concretas (7 a 11 anos). Vamos conhecer esses estágios para podermos 
planejar intervenções e atividades eficientes?
Estágio pré-operatório (2 a 7 anos)
Manipular objetos e observar os resultados dessas ações é uma das características marcantes dessa 
fase. A criança não depende exclusivamente das sensações para entender e interagir com o ambiente, 
o fazendo também na compreensão e uso tanto das palavras e suas representações como dos símbolos 
e suas imagens. 
Ela associa, por exemplo, uma palavra ao seu significado, mesmo que o objeto nomeado não esteja 
em seu campo visual, ou seja, sua capacidade de abstração amplia-se em relação ao estágio anterior 
(sensório-motor), em que era necessária a presença física do objeto para nomeá-lo. 
Em termos matemáticos, a criança nessa fase é capaz de ordenar, classificar e fazer correspondências 
entre objetos. Na maioria das vezes, não é capaz de entender a reversibilidade nem conservar a quantidade 
por meio de seu pensamento. Um exemplo: há dois copos, um baixo e largo e o outro comprido e 
estreito. Coloca-se uma certa quantidade de água em um e depois se verte a água no outro. A criança 
não compreende que a quantidade se manteve, e diz que há mais em um do que no outro. Sobre a 
reversibilidade, um exemplo: pede-se a criança que junte três figurinhas com mais duas figurinhas, 
essa operação ela realiza com sucesso. Agora se pede que de cinco figurinhas ela retire duas, ou seja, o 
inverso. Na maioria das vezes, ela encontra dificuldade.
A incapacidade de a criança se colocar no lugar do outro e seu egocentrismo (que é a centralização 
dos pensamentos sobre si mesma), a partir de seu ponto de vista e não o do outro, também são 
característicos. 
Uma dica de trabalho com Matemática nessa fase é proporcionar jogos e situações-problema emque a criança tenha que partilhar impressões ou comparar o resultado das quantificações. Por exemplo, 
ao final de um jogo de palitinhos, pedir que os participantes contem o resultado obtido uns dos outros.
É objetivo do trabalho de Matemática com crianças de seis anos de idade, no fim da Educação 
Infantil em algumas localidades ou no início do Ensino Fundamental em outras, desenvolver a capacidade 
de pensar a Matemática como algo dotado de sentido e possibilidade de uso real. A criança precisa 
reconhecer a aplicação para então conhecer de fato o conceito.
Os jogos são fundamentais para o trabalho nessa área do conhecimento, assim como os 
problemas, não apenas os enunciados por escrito, mas todas as situações em que os alunos 
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necessitem usar o raciocínio a fim de buscar soluções. Em ambos os casos, pensa-se em favorecer 
o desenvolvimento e o uso de estratégias pessoais. Para registrá-las, os alunos poderão fazer uso 
da “linguagem matemática” convencional (com seus símbolos numéricos e sinais próprios, como 
+ e -) ou criar formas de representá-las. É recomendável garantir atividades em que as estratégias 
e as representações particulares sejam socializadas e discutidas em grupo, a fim de permitir a 
circulação de informações entre as crianças e a apropriação de estratégias e representações mais 
econômicas e eficientes.
Para a elaboração das situações-problema, sugere-se utilizar fatos do dia a dia das crianças para pensar 
sobre as quantidades, compará-las ou operá-las. Elas devem envolver principalmente cálculos de adição 
e subtração, noções aditivas da multiplicação e fracionárias da divisão. Contar, comparar, reconhecer e 
grafar corretamente os números e as quantidades e usar adequadamente sinais matemáticos básicos, 
como + (mais), - (menos) e = (igual), é desejável.
Em todas as situações, reais ou fictícias, deve-se ter em mente a importância do lúdico, do prazer, e 
a possibilidade de explorar o interesse da criança, sua vontade em se arriscar sem medo do erro e suas 
possibilidades de comunicar estratégias por meio de uma linguagem que traduza com eficiência as 
bases de seu pensamento. 
Exemplo de aplicação
Dicas e sugestões de atividades para essa fase
Pensando em crianças que estejam entre 6 e 7 anos (equivalente ao 1º e 2º anos do Ensino 
Fundamental) e que tenham frequentado a Educação Infantil, considera-se que elas tenham muitas 
informações no que se refere ao nosso sistema de numeração decimal e suas relações, que saibam 
operar minimamente e que tenham algumas estratégias de resolução construídas ou aprendidas. 
Procura-se garantir situações em que as crianças se sintam desafiadas a arriscar e que criem 
ou aperfeiçoem estratégias pessoais para resolução dos problemas apresentados. Espera-se que 
identifiquem regularidades na contagem e na representação de números de diferentes grandezas, 
que conheçam e usem medidas convencionais e não convencionais, que continuem avançando na 
compreensão do sistema de numeração decimal e que consigam transpor os conteúdos aprendidos 
para as mais diversas situações.
Sendo assim, o trabalho nessa faixa etária continua tendo nos jogos, nos problemas e nas 
situações cotidianas espaços privilegiados para se fazer relações matemáticas significativas. 
Deve-se garantir uma gama de jogos que possibilitem o estabelecimento de inúmeras relações 
matemáticas, que aprimorem inclusive conteúdos de procedimentos e atitudes. Baralhos, trilhas 
e percursos, bingos, xadrez, damas, dominós tradicionais ou pedagogicamente modificados são 
alguns dos jogos de que se pode lançar mão nos 1º e 2º anos. Uma boa dica para o ensino da 
Matemática nessa fase é ter à mão um kit com objetos que facilitem o cálculo e a contagem, como 
sementes, palitos, pedrinhas e miçangas, por exemplo.
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Figura 1 - Materiais para jogos de Matemática
Os problemas propostos devem envolver as quatro operações e podem ser desenvolvidos 
previamente pelo educador ou advir de uma situação cotidiana inesperada. Ainda se privilegiam 
as estratégias pessoais de resolução, sempre as partilhando com os demais colegas da classe e 
incentivando a troca, principalmente daquelas mais lógicas e econômicas. O educador deve ser 
modelo também de resoluções convencionais, a fim de introduzir a linguagem matemática mais 
formalizada, a exemplo de seu papel na escrita e notação numérica. Ou seja, não deve se eximir de 
seu papel de mediador do conhecimento.
Estágio das operações concretas (7 a 11 anos)
A criança nesse estágio, que perpassa o 3º, 4º e 5º anos, é ainda dependente, na maioria dos casos, 
da visualização dos objetos referidos para operar. Isso quer dizer que ela opera concretamente, apesar 
de seu nível de abstração estar cada vez maior. 
Ela consegue classificar, seriar e compreender a relação entre número e numeral, estruturas de 
espaço e tempo, e a realização de operações básicas com estratégias próprias e outras formalizadas. 
É também capaz de conservar a quantidade mesmo em situações desafiadoras, como apresentar as 
mesmas quantidades em disposições diferentes, por exemplo, agrupar sementes em um montinho e 
depois espalhar a mesma quantidade. 
A manipulação de objetos, como quantificar palitinhos e realizar cálculos utilizando os dedos ou 
sementes, ainda é necessária, principalmente no início do 3º ano do Ensino Fundamental. É possível, 
entre o 3º e o 4º anos, operar cálculos de valores elevados utilizando técnicas operatórias mais formais, 
principalmente o algoritmo convencional. 
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Exemplo de aplicação
Dicas e sugestões de atividades para essa fase
Todo trabalho desenvolvido nessa faixa etária, que compreende o equivalente ao 3º, 4º e 5º anos, deve 
dar continuidade ao que vem sendo realizado desde os 1º e 2º anos, sem rupturas abruptas. Conteúdos 
como divisão e multiplicação ganham mais força, com valores de cálculo cada vez maiores e mais 
desafiadores, e aprimoram-se as estratégias de resolução para a subtração e a adição. 
Por meio de instrumentos como a calculadora, o ábaco e o material dourado, pode-se ensinar a 
“conta de armar”, ou algoritmo convencional. A criança deve ser motivada a aprimorar seu cálculo 
mental, inclusive memorizando a tabuada/fatos da adição, da subtração e da multiplicação, a chamada 
memorização compreensiva. O trabalho com medidas pode ser ampliado, bem como o ensino da 
Geometria, da leitura e interpretação de tabelas e gráficos, e da leitura e compreensão dos números 
fracionários (1/2, 1/3, 1/4).
Montagem de um ábaco
O ábaco é um dos muitos instrumentos de 
cálculo que ajudam na compreensão do sistema de 
numeração deciama, além de ser um ótimo auxiliar 
na compreensão do algorítimo convencional, ou 
contas de “armar”, facilitando o entendimento 
das noções de “vai um” ou de “empréstimo”. Pode 
ser construído com diversos materiais e formatos, 
um dos mais comuns é o vertical (foto), em que as 
argolas representam as unidades, dezenas, centenas 
e milhares, de acordo com a sua posição da direita 
para a esquerda. É possível encontrá-lo pronto para 
comprar no comércio, em geral em seu formato 
horizontal com argolas de “correr”.
Figura 2 - Montagem de um ábaco
Sempre que possível, os desafios matemáticos devem se aproximar das situações reais de uso; assim, 
além das atividades tradicionais escolares, deve-se fazer uso de jogos, incentivar a consulta de fontes 
diversas como jornais e revistas, e criar situações de compra e fatos cotidianos, como a simulação de um 
mercado na classe. 
1.2.2 Utilizando o ábaco
Vamos apresentar algumas formas de ensinar o algoritmo convencional (modelo “arme e efetue”) 
por meio de um instrumento simples,barato e muito útil.
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O modelo “arme e efetue” é bastante importante e significativo, pois representa uma grande 
invenção humana, a possibilidade de operar cálculos que a mente não dá conta a partir da utilização dos 
princípios do sistema numérico decimal. Para que a criança possa se valer dessa estratégia de resolução, 
é necessário, como já dito, que ela tenha clareza do que está fazendo. 
Em geral ensinamos o chamado algoritmo convencional (arme e efetue) entre o 2º e o 3º anos 
do Ensino Fundamental. O ábaco é um instrumento que permite mostrar à criança noções de “vai 
um” (adição com reserva) e empréstimo (subtração com reserva). Portanto, ele é eficaz para essas duas 
operações, a adição e a subtração, mas é na sua capacidade de mostrar à criança o valor posicional que 
ele se apresenta como um excelente recurso didático.
Exemplo de atividade
Sequência utilizando o ábaco – compreensão do valor posicional
1) Represente no ábaco os números:
a) 102 b) 1992
c) 73 d)836
1) Represente no ábaco os números:
a) 102 b) 1992
c) 73 d)836
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2) Desenhe o ábaco e represente os números pedidos:
a) Sua idade hoje: 
b) O ano em que nós estamos: 
c) Um número par com três 
algarismos: 
 
d) Um número terminado em 
0 maior que 90: 
 
e) Um número maior que 500 
e menor que 1000: 
 
2) Desenhe o ábaco e represente os números pedidos:
a) Sua idade hoje: 
6
b) O ano em que nós estamos: 
2102
c) Um número par com três 
algarismos: 
 
221
d) Um número terminado em 
0 maior que 90: 
 
001
e) Um número maior que 500 
e menor que 1000: 
 
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3) Represente no ábaco os números decompostos e escreva-os embaixo.
a) 2 centenas e 4 unidades: 
 .....................
b) 6 centenas: 
 .....................
c) 2 dezenas e 6 unidades: 
 
 .....................
d) 1 centena, 7 dezenas e 2 unidades: 
 .....................
e) 5 dezenas: 
 .....................
a) 2 centenas e 4 unidades: 
204 .....................
b) 6 centenas: 
600 .....................
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c) 2 dezenas e 6 unidades: 
26 .....................
d) 1 centena, 7 dezenas e 2 unidades: 
172 .....................
e) 5 dezenas: 
50 .....................
4) Decomponha os números a seguir e depois faça o registro deles no ábaco desenhado.
Número Decomposição Registro no ábaco
a) 249
____ unidades
____ dezenas
____ centenas
b) 942
____ unidades
____ dezenas
____ centenas
c) 603
____ unidades
____ dezenas
____ centenas
d) 129
____ unidades
____ dezenas
____ centenas
e) 227
____ unidades
____ dezenas
____ centenas
 
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Número Decomposição Registro no ábaco
a) 249
 9 unidades
 4 dezenas
 4 centenas
b) 942
 2 unidades
 4 dezenas
 9 centenas
c) 603
 3 unidades
 0 dezenas
 6 centenas
d) 129
 9 unidades
 2 dezenas
 1 centenas
e) 227
 7 unidades
 2 dezenas
 2 centenas
1.2.3 Multiplicação
A multiplicação envolve uma gama de conhecimentos sobre as propriedades dos números e 
das operações, exigindo da criança estabelecer relações entre conceitos aprendidos, como as somas 
sucessórias (por exemplo: 3 + 3 + 3 ou 3 x 3). Também é desejável que tenha memorizado os fatos 
básicos (tabuada) do 1 ao 10, que servirão de base para que a criança possa compreender e operar o 
algoritmo convencional da multiplicação.
A aprendizagem da multiplicação deve ser realizada com base em dois enfoques. Um deles diretamente 
interligado à adição de parcelas iguais e o outro como raciocínio combinatório.
A adição de parcelas iguais pode ser exemplificada com o seguinte raciocínio:
2 x 4 = 4 + 4
4 x 2 = 2 + 2 + 2 + 2
O raciocínio combinatório equivale à verificação de quantas possibilidades há para se formar pares 
com duas coleções. 
Se uma menina tem 3 saias e 2 camisetas, de quantas maneiras diferentes ela pode se vestir sabendo 
que suas saias são vermelha, rosa e preta e suas camisetas amarela e branca?
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Quadro 2 – Possibilidades combinatórias
Saia vermelha Saia rosa Saia preta
Camiseta amarela * * *
Camiseta branca * * *
Resposta: seis combinações (2 x 3 = 6)
Exemplo de atividade
Sequências utilizando a adição de parcelas iguais
Exemplo A
1) Pinte da mesma cor os quadros correspondentes:
4 x 5 3 + 3 + 3 + 3 + 3 5 x 3
2 + 2 3 + 8 5 + 5 + 5 + 5 5 x 7
2 x 6 4 x 10 2 x 2 8 + 8 + 8
10 + 10 + 10 6 + 6 7 + 7 + 7 + 7 + 7
2) Escreva a adição correspondente a estas multiplicações e dê o resultado:
2 x 5 = 5 + 5 = 10 .
8 x 2 = _______________________= ___________
5 x 6 = _______________________= ___________
4 x 5 = _______________________= ___________
3 x 7 = _______________________= ___________
5 x 5 = _______________________= ___________
3 x 4 = _______________________= ___________
3 x 8 = _______________________= ___________
4 x 3 = _______________________= ___________
5 x 0 = _______________________= ___________
4 x 1 = _______________________= ___________
6 x 2 = _______________________= ___________
3) Escolha 2 multiplicações do exercício 2 e monte um único problema usando estas 
operações e outras que achar necessário:
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Exemplo B
1) Pinte de azul a casinha do 8 e continue pintando de 8 em 8:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
2) Quais os resultados que você encontrou nas multiplicações por 8? 
3) Monte as multiplicações por 8:
1 x 8 =
2 x 8 =
Exemplo C
1) Efetue as multiplicações por 9:
1 x 9 =
2 x 9 =
3 x 9 =
4 x 9 =
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5 x 9 =
6 x 9 =
7 x 9 =
8 x 9 =
9 x 9 =
10 x 9 =
2) Observe os resultados e registre suas descobertas:
 
3) Pinte de amarelo a casinha do 10 e continue pintando de 10 em 10:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
4) Monte as multiplicações por 10:
1 x 10 =
2 x 10 =
1.2.4 Divisão
A divisão também tem dois enfoques. De início, a criança será levada a explorar apenas a chamada 
divisão-repartição, para chegar depois à divisão-comparação ou medida.
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• Divisão-repartição: a ação de repartir encontra-se em situações nas quais é conhecido o número 
de grupos que deve ser formado com um determinado total de objetos, e é preciso definir a 
quantidade de objetos de cada grupo. Por exemplo: se 12 lápis precisam ser separados em 4 
subconjuntos iguais, quantos lápis haverá em cada subconjunto?
• Divisão comparação ou medida: ações que envolvem este tipo de divisão são encontradasem 
situações nas quais é preciso saber quantos grupos podemos formar com um determinado total 
de objetos, sendo conhecida a quantidade que cada grupo deve ter. Por exemplo: se 12 lápis serão 
separados em subconjuntos de 3 lápis cada um, quantos conjuntos serão feitos?
Em atividades de divisão-repartição, a criança sabe, por exemplo, que deve distribuir os 12 lápis em 4 
caixas ou pelos 4 cantos da mesa. Isso permite a aplicação de uma estratégia simples: ela pode distribuir 
1 lápis de cada vez, até que os lápis se esgotem. Após essa ação, ela verifica, então, quantos lápis ficaram 
em cada caixa ou canto da mesa. Já na divisão-comparação, a criança tem os mesmos 12 lápis sobre 
a carteira e sabe que deve formar grupinhos de 3 lápis. Ela deverá aplicar outra estratégia: separar seu 
material de 3 em 3 e verificar, ao final da atividade, “quantos cabem”, ou seja, qual a quantidade de 
grupos formados (BRASIL. (a), 1997).
Exemplo de atividade
Sequências usando a divisão repartição
1) Um video game custa em média R$ 1.000,00. Quanto custará cada parcela, se o valor for 
dividido em 4 vezes? 
2) Um álbum de figurinhas tem 576 figurinhas. Quero distribuí-las igualmente em 64 
páginas. Quantas figurinhas deverão ser coladas em cada página? 
Sequências usando a divisão comparação ou medida
 
1) Em um prédio de apartamentos, uma reforma custou R$ 6.150,00. Para cobrir as despesas, 
os moradores de cada apartamento deram R$ 150,00. Quantos eram os apartamentos? 
2) Preciso distribuir 1.230 refrigerantes em caixas. Cada caixa cabe 24 refrigerantes. 
a) Quantas caixas ficarão completas?
b) Quantos refrigerantes caberão na caixa incompleta?
1.2.5 Frações
As frações surgem, depois de todas as operações com números naturais terem sido inventadas, 
da necessidade do homem quantificar e registrar partes (frações/farturas) de um todo, que pode 
ser um objeto ou uma quantidade numérica abstrata.
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As operações com frações tornam-se um difícil aprendizado para os alunos se partirmos para 
a explicação dos conceitos sem que eles tenham atingido a compreensão de sua utilização na 
prática. É indispensável o contato com material concreto e com dados da realidade, como uma 
forma de ajudar os alunos a perceberem a utilidade prática de aprender a lidar com números 
fracionários.
Apresentamos a seguir uma sequência interessante que busca sistematizar a leitura, o registro e o 
uso dos números representados por frações mais comuns. Visa levar o aluno a compreender e calcular 
frações de quantidades utilizando pesquisa, desenho e material concreto e o ensina a comparar frações 
e atingir a noção de equivalência de frações.
 Saiba mais
Você encontrará observações e sugestões interessantes de atividades no 
endereço <http://portal.mec.gov.br/arquivos/pdf/fasciculo_mat.pdf>.
 
A fração é um conceito matemático amplamente utilizado na nossa vida prática. Quando fazemos 
receitas em nossa cozinha, ou quando enchemos o tanque de combustível, estamos operando com 
frações, sem necessariamente estar entendendo os conceitos envolvidos.
Nessa aula, pretendemos utilizar os conhecimentos trazidos pelos alunos e suas experiências do dia 
a dia para dar significado aos conceitos sistematizados sobre as operações com frações, estabelecendo 
assim um diálogo entre os conhecimentos empíricos (da experiência dos alunos) e os sistematizados 
pela escola (teóricos).
Exemplo de atividdade
Sequência de frações
Estas atividades são recomendadas para o 3º e 4º anos.
Método de trabalho: análise e reflexão em grupo, experimentação e pesquisa em grupo 
e individual, registro coletivo de informações, atividades escritas para serem resolvidas 
coletiva e individualmente, resolução de situações-problema e aulas expositivas.
Material necessário: recipientes (garrafas, vasos, copos, xícaras e outros), diversos 
alimentos (de acordo com a receita utilizada), folhas de sulfite e cartolina (para cartazes).
Avaliação: contínua e progressiva. A cada passo o professor avalia, por meio de diversos 
instrumentos (observação, atividades avaliativas escritas, entre outras), e com base nessas 
avaliações ele planeja suas ações.
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Descrição da aula
Primeiro passo
Levar algumas receitas em que apareçam frações para a sala de aula, e pedir que os alunos, 
em grupos, destaquem a forma como estão registradas as quantidades de ingredientes. 
Abordar com os grupos suas conclusões e dúvidas, destacando na lousa as informações 
obtidas e ressaltando de que maneira se lê e se interpreta os números representados por 
frações.
O professor não precisa necessariamente utilizar os termos “numerador” e “denominador”, 
porém precisará explicar aos alunos como se lê um número fracionário. Deverá deixar claro 
que o número que fica acima do traço (numerador) lê-se exatamente como é (um, dois, três 
etc.), e que o número abaixo do traço (denominador), possui um nome particular: “2” lê-se 
meio, “3” lê-se terço, “4” lê-se quarto, e assim por diante.
É importante explicar que o número fracionário representa uma parte do todo que 
se quer utilizar. Portanto, quando se diz 1/4 (um quarto) do quilo de café, significa que 
ao dividirmos o quilo de café em quatro partes, queremos utilizar apenas uma delas. Esta 
explicação deverá ser retomada a todo instante, seja na orientação teórica, seja na utilização 
de material concreto, para fixar com os alunos o seu significado.
Dica: Utilizar um quadro pode ser uma boa maneira de deixar esta explicação exposta 
para futuras consultas.
Quadro 3 – Números e frações de 1 a 9
2 3 4 5 6 7 8 9
meio terço quarto quinto sexto sétimo oitavo nono
Segundo passo
Propor algumas atividades, tais como:
• fazer com os alunos algumas receitas em que sejam utilizadas frações;
• utilizar recipientes (copo, vaso, xícara, garrafa) para medir quantidades, por exemplo: 
1/2 xícara de açúcar, 1/4 de litro de leite, entre outros;
• utilizar alimentos que possam ser divididos, como pizza 1/2 mussarela 1/2 calabresa, 1/4 
de quilo de café, entre outros.
Observação: nesta atividade o professor deverá retomar a ideia inicial, explicando que o 
número fracionário representa uma parte do todo que se vai utilizar. Por exemplo, que 1/2 
é a metade de um todo, ou seja, de um todo divido em duas partes. 
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Terceiro passo
Pedir aos alunos que pesquisem em quais situações do cotidiano se utilizam frações. O 
professor também pode sugerir portadores de fração (receitas, cartazes etc.), caso os alunos 
não tragam material suficiente. É possível que surjam respostas como: 
• receitas: 1/2 xícara, 1/4 de copo, 1/2 litro, 1/2 quilo;
• relógio: meia hora, meio-dia, meia-noite, 1/4 de hora;
• tanque de combustível: 1, 3/4, 1/2, 1/4;
• meias: meia 3/4, meia 7/8; 
• construção civil: 1/2 metro, 1 1/2 polegada, 1/4 de areia;
• estatísticas: 1/3 da população; 1/4 das urnas foram apuradas até o momento.
As informações devem ficar registradas em local de fácil consulta (caderno, mural, 
cartaz). 
Tendo como base as informações obtidas, portadoras de fração, o professor poderá 
desenvolver diversas situações-problema, como por exemplo:
1) Para ir para o trabalho meu pai utiliza 15 litros de gasolina, ou 1/4 de tanque de 
combustível. Responda: 
a) Quanto ele gasta para ir e voltar?
( ) 3/5 ( ) 1/4 ( ) 1/2 ( ) 3/4 
b) Quantos litros ele gastará deixando o tanque vazio, sabendo que 1/4 corresponde a 
15 litros?
2) Se 1/3 das urnas foram apuradas em 4 horas, quantas horas levará a apuração inteira?
3) Numa sala de aula há 36 alunos, e 1/3 deles possuem animais de estimação. Quantos 
não possuem?
Dicas:
• Redigir receitas com os alunospode ser uma boa maneira para que aprendam a 
registrar números fracionários. Elaborar as receitas também pode ajudar a fixar os 
conceitos aprendidos.
• O trabalho com estatísticas pode enriquecer a aprendizagem. Por exemplo, pode-se 
montar com os alunos um gráfico representando diversas situações, como a fração 
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de alunos do sexo masculino e feminino, a fração de alunos que moram em casa ou 
apartamento, e assim por diante.
Quarto passo
A partir do trabalho com os números fracionários na prática, e verificando a real 
compreensão dos alunos, o professor poderá introduzir conceitos importantes para as 
operações com números fracionários.
Numerador e denominador
 
Numerador: é o número que fica acima do traço. Ele numera a quantidade de partes 
utilizada do todo.
Denominador: é o numero que fica abaixo do traço. Ele denomina a quantidade de 
partes em que foi dividido o todo.
1/4
Frações equivalentes e simplificação de frações
Exercícios com papel podem ajudar os alunos a entenderem a noção de equivalência e facilitar a 
compreensão na hora de operar a adição de frações com mesmo denominador.
Uma forma de realizar esse trabalho é entregar a cada aluno várias tiras de papel de mesmo 
comprimento e altura. Elas deverão ser dobradas ou cortadas para formarem as seguintes operações:
 1/2 + 1/2 = 2/2 ou 1 inteiro
 1/3 + 1/3 + 1/3 = 3/3 ou 1 inteiro
 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 4/4 ou 1 inteiro
 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 = 5/5 ou 1 inteiro
 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6 ou 1 inteiro
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 1/7 + 1/7 + 1/7 + 1/7 + 1/7+ 1/7 + 1/7 = 7/7 ou 1 inteiro
 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 +1/8 + 1/8 = 8/8 ou 1 inteiro
Com o material nas mãos, o professor poderá trabalhar com os alunos a equivalência entre frações, 
mostrando que existem certas porções iguais em inteiros de um mesmo tamanho, quando divididos (é 
o que acontece quando tomamos 1/2, 2/4, 3/6 ou 4/8, e assim por diante).
Ainda utilizando esse tipo de material, o professor poderá trabalhar com os alunos a simplificação 
de frações. Em vez de apenas ensinar o processo de divisão do denominador pelo numerador, ele poderá 
comprovar, na prática, que 12/36 equivalem a 1/3, quando se trata de inteiros de mesmo tamanho.
Exemplo de atividade
Alguns problemas envolvendo frações
1) Numa área reservada foram plantadas 396 árvores. A terça parte desse total é de 
pinheiros. Quantos pinheiros existem nessa área?
2) Karim e Luiza estão lendo um livro de crônicas que contém 348 páginas. Karim já leu 
3/4 do livro, e Luiza já leu 3/6.
a) Sem fazer nenhum cálculo, você consegue saber quem leu mais páginas? Explique.
b) Quantas páginas faltam para cada uma terminar de ler esse livro?
3) O pipoqueiro da escola ganha R$ 273,00 por semana. Quanto ele receberá se trabalhar 
19 dias?
4) Toda 6ª feira vou para a escola com R$ 36,00 e só gasto 2/6 deste dinheiro. Com 
quanto volto para casa?
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5) Recebo de meu pai R$ 210,00 de semanada.
a) Quanto posso gastar por dia de forma que eu tenha dinheiro a semana toda?
b) Quero comprar um tênis que custa 3/7 da minha mesada. Quanto custa o tênis?
c) Quanto vai me sobrar em dinheiro?
d) Do restante do meu dinheiro, vou gastar 2/4 em roupa. Quanto vou gastar em 
roupa? 
6) Numa sala de aula com 40 alunos, 3/4 são meninos e o restante meninas. Quantas são 
as meninas? Desenhe a fração.
7) Juliana já leu 1/7 do livro “A droga da obediência”. 
a) Desenhe a fração.
b) Sabendo-se que o livro tem 105 páginas, quanto Juliana já leu?
c) Quanto em fração falta para ela terminar de ler o livro?
8) Na prova de Ciências, Cláudia acertou 5/7 das questões. Sabendo-se que ela errou 6 
questões, responda:
a) Quantas questões Cláudia acertou? 
b) Quantas questões havia na prova toda? 
c)Desenhe a fração.
 Saiba mais
Para conhecer outras maneiras de trabalhar as quatro operações e a 
fração/porcentagem, acesse o site do Programa de Formação Continuada 
de Professores dos Anos/Séries Iniciais do Ensino Fundamental: <portal.
mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf>. Sugerimos especial atenção aos 
fascículos 2 e 4.
1.3 Espaço e forma
Trabalhamos os objetivos e conteúdos de espaço e forma durante todo o Ensino Fundamental (1º 
ao 5º anos). Espera-se que as crianças se aproximem do uso de instrumentos e sistemas de medidas 
convencionais, utilizando procedimentos pessoais e unidades de medida não convencionais – por 
exemplo, medindo objetos e espaços com os pés, as mãos e pedaços de barbante. Futuramente, aprendem 
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Metodologia e Prática do ensino da MateMática e ciências
a usar régua, metros, trenas e outros instrumentos padronizados de medidas, além de se familiarizarem 
com conceitos de metro (m), centímetro (cm), metro linear, metro quadrado e metro cúbico.
O objetivo, segundo os PCN de Matemática (BRASIL, 1997), é que os alunos possam ter a oportunidade 
de lidar com esses elementos em situações do cotidiano, e que realizem algumas estimativas de resultados 
de medições. Espera-se que o aluno utilize elementos de posição como referência para situar-se e 
movimentar-se em espaços que lhe sejam familiares, assim como para definir a situação de um objeto 
num determinado espaço.
Acerca da forma (ou geometria), deseja-se que o aluno seja capaz de estabelecer semelhanças e 
diferenças entre os objetos, pela observação de suas formas. 
Nas aulas sobre espaço e forma, devemos proporcionar diferentes situações que levem o aluno a 
realizar observações e chegar a conclusões associadas ao que observa no cotidiano. Não se trata, de 
forma absoluta, de “decorar conceitos”, saber de memória o nome dos sólidos geométricos ou das 
formas planificadas. As crianças devem ser incentivadas a se expor de forma gráfica, oral, trazendo e 
mostrando materiais etc.
1.4 Geometria e medidas
Geometria é o estudo das propriedades dos objetos e das transformações às quais podem ser 
submetidas, como alteração de posição, alteração de tamanho ou deformações. Por causa de necessidades 
humanas, o nosso mundo é constituído de objetos que agem uns sobre os outros, transformando-se 
mutuamente, e de ações humanas que causam modificações a esses objetos. Podemos mesmo dizer que 
o mundo em que vivemos é geométrico. Talvez seja por isso que a Geometria foi o primeiro corpo de 
conhecimento a se organizar historicamente em um sistema ordenado e coerente de ideias a respeito do 
mundo. O método criado para isso, o dedutivo, serviu depois de modelo para todas as demais ciências 
ao longo da história.
Desde o seu nascimento, as ações da criança ao explorar o espaço e conhecê-lo revelam uma 
geometria espontânea, isto é, independente dos ensinamentos escolares, mas influenciada pelo meio 
social e pela riqueza das experiências da criança. É por isso que a criança é um ser inquieto, que se 
movimenta, sem descanso, por todos os lados, manipulando e explorando ativamente os objetos que a 
rodeiam, primeiro pelos sentidos e, mais tarde, pela razão.
A Geometria está também presente na natureza. Malba Tahan (2001) expressa bem esta questão:
É notável a variedade de formas geométricas que os organismos vivos 
nos apresentam. Os alvéolos das abelhas apresentam a forma de prismas 
hexagonais que se fecham por meio de três losangos iguais e ligados. Pode-
se ver a hélice cônica rigorosamente desenhada no perfil de uma concha. 
No girassol vemos um feixe de espirais logarítmicas e as curvas, com um 
ponto em comum, formam um entrelaçamento de rara beleza. Um caramujo 
se desenvolve segundo uma espiral logarítmica. A geometria, disse Platão, 
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existe por toda parte. No disco do Sol, na folha da tamareira, no arco-íris, no 
diamante, na estrela do mar, na teia de aranha, na flor de maracujá. Vamos 
encontrar, no perfil de certas palmeiras, uma curva que os matemáticos 
estudam e analisam como todas as minúcias. É a curva logarítmica. É a 
forma adotada por um princípio de economia, pois o vegetal, adotando 
o perfil logarítmico, pode, com a menor quantidade de material, resistir 
melhor ao empuxo do vento. O engenheiro, depois de longas e laboriosas 
transformações de cálculo infinitesimal, demonstra que a curva logarítmica 
é o perfil mais conveniente para uma torre de farol. A palmeira parecia 
conhecer esse segredo (TAHAN, 2001 pp. 45-46).
 Saiba mais
Sugerimos que o educador conheça a obra O homem que calculava, 
escrita por Malba Tahan, na qual é encontrado um importante referencial 
sobre a história da Matemática e diversos conteúdos matemáticos em 
forma de romance, que podem ser adaptados a crianças de qualquer 
idade.
A Geometria está presente em várias áreas da atividade humana, como a do engenheiro, do arquiteto, 
do decorador de ambientes, do paisagista, dos operários da construção civil, do artista plástico, do 
coreógrafo, da organização do tráfego de uma cidade, da costureira, do estilista de moda, do piloto de 
avião, do comandante de um navio e até mesmo do menino que dobra e recorta papéis ou madeira para 
fazer um brinquedo.
Sendo assim, poderíamos pensar que a aquisição racional das relações espaciais se daria 
espontaneamente no indivíduo, decorrendo naturalmente de estímulos ambientais aleatórios. Mas isso 
não é verdade. São precisos vários anos de desenvolvimento da criança para que se possa construir o 
espaço perceptual, com a participação fundamental da maturação orgânica e psicológica. Por outro 
lado, a construção do espaço conceitual, ou lógico, é devida em grande parte à aprendizagem e ao 
desenvolvimento de relações perceptivas e do raciocínio lógico. É aí que entra o papel da escola com o 
ensino da Geometria.
 Saiba mais
Sugerimos também o acesso ao endereço eletrônico do programa Arte 
na Matemática, que trata de maneira instigante a Geometria e outros 
conteúdos matemáticos. Disponível em: <http://www2.tvcultura.com.br/
artematematica/home.html>. 
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Para muitos professores, o ensino de Geometria no Ensino Fundamental é associado apenas ao 
trabalho de nomear figuras simples, como quadrado, triângulo, retângulo e círculo, e calcular a área 
e perímetro dessas figuras. Isso, além de não esgotar o conteúdo geométrico necessário no Ensino 
Fundamental, se constitui em seus assuntos terminais.
Para ensinar Geometria para crianças, há que se buscar um ensino conceitual construtivista que 
propicie um aprendizado não apenas por meio dos sentidos, mas baseado em conceituação e construção 
em uma exploração ativa dos objetos reais, funcionando como retificadores de erros resultantes da mera 
avaliação perceptiva ou de ideias preconcebidas.
 lembrete
A manipulação de objetos concretos não conduz necessariamente 
à formação de conceitos. Os objetos concretos devem permear todo o 
processo de aprendizagem, mas só se prestam à análise geométrica quando 
mediados pelos conceitos e construções.
 
Não é suficiente afirmar que o ensino de Geometria deve se iniciar pelo estudo dos objetos reais e 
desenvolver-se no sentido espaço-plano. É preciso que o ensino-aprendizagem de Geometria não tenha 
um sentido único e obrigatório de percurso. Deve ser um “ir e vir” de explorações de superfícies e sólidos 
do espaço tridimensional sempre que possível e necessário, favorecendo o estabelecimento de relações 
entre essas dimensões.
 Saiba mais
Para obter algumas sugestões de atividades envolvendo geometria, 
acesse o site: <http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-
pedagogica/tangram-geometria-figuras-planas-618928.shtml>.
O ensino de Geometria para crianças deve priorizar a exploração conceitual e lógica de fenômenos 
relativos:
• à forma dos objetos, distinção, reconhecimento e representação;
• às relações posicionais dos objetos entre si e de suas partes;
• às relações métricas dos objetos;
• às propriedades das transformações aplicadas aos objetos.
Para tanto, o professor deve proporcionar aos seus alunos experiências de classificações sucessivas 
utilizando critérios ou conceitos, indo dos mais gerais aos mais específicos. Dessa forma, as figuras 
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mais utilizadas na escola aparecerão no final do processo, pois as crianças precisarão de conceitos 
intermediários para construírem autonomamente essas figuras, conhecendo com profundidade tais 
figuras e as relações entre elas.
Um bom exemplo disso é o trabalho didático que se pode fazer com o tangram, um antigo jogo 
chinês que, com sete peças geométricas, admite a montagem de um grande número de figuras. As 
peças são sempre um quadrado, um paralelogramo e cinco triângulos retângulos. Essas peças têm 
relações de tamanho entre elas, de tal forma que, dois dos triângulos podem formar o quadrado 
por justaposição, isto é, se colocados lado a lado sem superposição. Esses mesmos dois triângulos 
podem formar um outro triângulo e também um paralelogramo. E essas cinco peças menores 
podem todas juntas formar os dois triângulos grandes do jogo. É fácil concluir que existem várias 
relações de forma e tamanho entre as peças, o que permite ao professor trabalhar com os alunos 
situações que vão desde as posições das peças até o conceito de fração mediante a comparação 
dos tamanhos das peças. 
 Saiba mais
Você pode conhecer mais sobre o uso de dobraduras no ensino de 
Geometria consultando os sites: 
<http://euler.mat.ufrgs.br/~ensino2/alunos/02/index.html>;
<http://www.feg.unesp.br/extensao/teia/2007/trab_finais/EF-TrabFinal-
Edney.pdf>.
1.4.1 Dimensões
O critério geométrico mais comum para a classificação de objetos está baseado no conceito de 
dimensão.
Considerando um objeto como uma linha, podemos verificar que, ao cortá-la em duas partes, o corte 
utiliza só um ponto. Assim, todo objeto que tem como seção um ponto é unidimensional. É chamado 
de curva ou caminho.
Uma folha de papel sulfite, por exemplo, se for dividida em dois pedaços, o corte será feito sobre 
uma curva ou caminho. Objetos cujo corte é uma curva ou caminho são objetos bidimensionais. Um 
objeto bidimensional é chamado de superfície.
Se uma bola de isopor for cortada em duas partes, o corte será uma seção bidimensional. Objetos 
cujo corte é bidimensional, como uma bola, são chamados tridimensionais. Todo objeto que for 
tridimensional é um sólido.
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Metodologia e Prática do ensino da MateMática e ciências
Para o desenvolvimento de noções geométricas, o professor deve preparar para as aulas um 
universo de objetos variados com a participação dos alunos. Esse universo deve ser composto 
por rolhas, borrachas de várias formas, objetos de isopor, massa de modelar, barras de sabão, 
pedaços de linha de várias cores, fios de cobre recobertos e coloridos, barbante, dobraduras de 
papel colorido, embalagens, copinhos de plástico, pratinhos de papelão, sólidos geométricos de 
madeira, bolinhas de pingue-pongue, bolinhas de gude, poliedros de cartolina, legumes, lâminas de 
alumínio, molas, fios flexíveis, moedas, anéis, figuras geométricas planas que podem ser acopladas 
com elásticos para montar sólidos.
Inicialmente, o professor deve pedir aos alunos para que separem os objetos em grupos, 
usando critérios de semelhança. São classificações espontâneas, que deverão ser exploradas pelo 
professor com o objetivo de verificar quais os critérios que inspiraram tais classificações. Esses 
critérios são geométricos?
O professor deve