Semelhança de triângulos

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 Matemática e suas 
Tecnologias - Matemática
Ensino Médio, 2° Ano
Semelhança de triângulos
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Os triângulos e suas aplicações no cotidiano
	Você já parou para imaginar como seria a nossa vida sem as formas triangulares?
?	?	?	? 	?
	Já se perguntou sobre as utilidades delas para o mundo do trabalho ou já observou, nos espaços que você frequenta, onde estas formas estão presentes? 
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos
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		O conhecimento sobre triângulos é fundamental para diversos ramos das ciências e o domínio de suas propriedades é elemento essencial para entender suas utilidades.
		Como você pode notar, é comum encontrar vários exemplos práticos do cotidiano, no qual estas formas peculiares estão presentes.
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Semelhança de triângulos
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É fácil enxergar as formas triangulares a nossa volta. Veja: 
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Semelhança de triângulos
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Semelhança de triângulos
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Tipos de triângulos
É importante lembrar também que um triângulo pode ser classificado “simultaneamente”, de acordo com seus lados e ângulos.
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Semelhança de triângulos
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Quanto aos lados, os triângulos podem ser classificados em:
Triângulo equilátero:
Quando possui todos os lados congruentes, ou seja, iguais. 
 
Um triângulo equilátero é também um triângulo equitângulo, ou seja, possui ângulos congruentes.
Observação: 
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Triângulo isósceles:
Quando possui pelo menos dois lados de mesma medida e dois ângulos congruentes. 
 
• O triângulo equilátero é também um caso especial de um triângulo isósceles, porque apresenta não somente dois, mas todos os três lados iguais, assim como os ângulos que medem todos 60º;
• num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado ângulo do vértice. Os demais ângulos denominam-se ângulos da base e são congruentes. 
Observações: 
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Triângulo Escaleno:
Quando possui as medidas dos três lados diferentes. 
Os ângulos internos de um triângulo escaleno também possuem medidas diferentes. 
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É importante lembrar também que, quanto aos ângulos, os triângulos podem ser classificados em:
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Semelhança de triângulos
Triângulo retângulo:
Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos são:
a: hipotenusa
b e c: catetos
h: altura relativa a hipotenusa
m e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa
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Triângulo obtusângulo:
Um triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso (maior que 90º) e dois ângulos agudos (menores que 90º). 
 
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Triângulo acutângulo:
Em um triângulo acutângulo, os três ângulos são agudos (formando 180°).
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Semelhança de triângulos
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Congruência e semelhança
Observe as figuras abaixo: 
Fig.A					Fig.B
As figuras acima são congruentes, pois possuem mesma forma e lados correspondentes com medidas iguais, o que leva a deduzir que os ângulos correspondentes também possuem medidas iguais.
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Semelhança de triângulos
4,5m
6,2m
6m
4,5m
6,2m
6m
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Agora observe as seguintes figuras:
Fig. A					Fig. B
Note que os lados correspondentes dos triângulos A e B são proporcionais, pois as razões entre as medidas dos mesmos são iguais, ou seja:
 13,5 = 3 18 = 3 18,6 = 3 
 4,5 6 6,2 
Concluímos, então, que as figuras A e B são semelhantes, pois seus ângulos correspondes possuem medidas iguais e todos os seus lados são proporcionais. 
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Semelhança de triângulos
13,5m
18,6m
18m
4,5m
6,2m
6m
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Como reconhecer triângulos semelhantes?
Para saber se dois triângulos são semelhantes, basta observar se eles obedecem a um dos seguintes casos:
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1º CASO: ÂNGULO/ÂNGULO
“Dois triângulos são semelhantes quando dois ângulos que se correspondem são respectivamente congruentes.” 
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A
C
B
R
Q
P
^
^
^
^
ABC ~
PQR
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2º CASO: LADO/ÂNGULO/LADO
“Dois triângulos são semelhantes quando dois lados que se correspondem são proporcionais e quando os ângulos determinados por estes lados são congruentes.” 
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Semelhança de triângulos
A
C
B
R
Q
P
^
^
ABC ~
PQR
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3º CASO: Relação LADO/LADO/LADO
“Dois triângulos são semelhantes quando os três lados que se correspondem são proporcionais.” 
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Semelhança de triângulos
ABC ~
PQR
A
C
B
R
Q
P
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Teorema de Tales:
Cortando-se um feixe de retas paralelas por duas retas transversais, os segmentos determinados sobre uma transversal são proporcionais aos correspondentes determinados sobre a outra.
 Observe a situação abaixo:
Analisando a figura ao lado pelo teorema mencionado acima, conclui-se que:
Ou também que:
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Desafio:
As redes de água e esgoto da Rua do Funil, na cidade de Tacaratu/PE, estão distribuídas conforme mostra a figura abaixo: 
Se as linhas azuis (transversais) representam passarelas para pedestres, paralelas entre si, e as linhas pontilhadas representam as tubulações de esgoto e água,respectivamente, qual das duas redes é a maior?
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Semelhança de triângulos
Início da rua
Fim da rua
Calçada
200m
250m
300m
x
Calçada
Esgoto/Água
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Pelo Teorema de Tales, deduzimos que:
A rede de água mede 500 metros, pois:
 200 + 300 = 500
 Já a rede de esgoto mede 625 metros, porque:
250 + 375 = 625
200 = 250
300 X
200 . X = 300 . 250
200 X = 75.000
X = 75.000
 200
X = 375 metros 
Resposta: a rede de esgoto, pois, mede 125 metros a mais que a rede de água. 
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Semelhança de triângulos
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Segmentos proporcionais determinados num triângulo
1º Caso: Uma reta paralela a um dos lados de um triângulo, de modo que intercepte os outros dois lados em pontos distintos, determina, nesses dois lados, segmentos proporcionais.
 
 Sendo assim: 
 
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A
B
C
P
Q
r
r//AC BP, PA, BQ E QC são 
proporcionais.
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2º Caso: a bissetriz de um ângulo interno de um triângulo determina, no lado oposto a este ângulo, dois segmentos proporcionais aos outros dois lados deste triângulo.
 Desta forma:
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BD é bissetriz AD, DC, AB E BC são 
proporcionais.
x
x
A
B
C
D
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Vamos ver como estas propriedades funcionam:
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Semelhança de triângulos
A
B
C
P
Q
r
3cm
9cm
12cm
x
Solução:
1°) Sabendo que no triângulo abaixo r//AC, calcule o valor de X.
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MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos
A
B
C
D
5cm
6cm
3cm
X
Solução:
2°) Sabendo que BD é bissetriz do ângulo B 
do triângulo abaixo, determine a medida do segmento DC
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Relações métricas no triângulo retângulo:
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Semelhança de triângulosa2 = b2 + c2
b2 = ma
c2 = na
h2 = mn
ah = bc
a = m + n
Em um triângulo qualquer:
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Note que, do triângulo anterior, derivam dois outros triângulos que determinam as relações métricas: 
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Semelhança de triângulos
Sendo assim, por semelhança de triângulos, temos:
 Teorema de Pitágoras: 
c
h
n
m
h
b
c
n
m
h
b
A
B
C
D
A’
A’’
B
C
C
D
a
b2 = ma
c2 = na
h2 = mn
ah = bc
a2 = b2 + c2
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Conhecendo apenas duas medidas no triângulo retângulo, é possível descobrir as outras quatro aplicando as relações métricas vistas anteriormente. Veja:
Exemplo:
Use as relações métricas do triângulo retângulo para encontrar as medidas desconhecidas da figura abaixo:
Note que todas as medidas desconhecidas foram encontradas por meio das relações métricas demonstradas anteriormente.
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Semelhança de triângulos
c
n
9,6m
h
12m
B
C
D
a
A
c2 = na
c2 = 15.5,4
c2 = 81
c2 = 9m
h2 = mn
h2 = 9,6.5.4
h2 = 7,2n
b2 = ma
122 = 9,6a
a = 144/9,6
a = 15m
a = m + n
15 = 9,6 + n
n = 19 - 9,6
n = 5,4m
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Agora use o que você aprendeu para resolver os seguintes desafios:
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Semelhança de triângulos
1º) Um prédio projeta uma sombra de 41,25m de comprimento no mesmo instante em que Juliana, que tem 1,8m de altura, projeta uma sombra de 6,75m. Qual é a altura do prédio?
2º)Uma determinada firma imobiliária resolveu lotear um terreno em 4 outros menores com duas frentes: uma para a rua 1 e outra para rua 2, como mostra a figura abaixo. Sabendo-se que as divisões laterais são perpendiculares à rua 1 e que a frente total para a rua 2 é de 480m, qual a medida da frente de cada lote, para a rua 2, respectivamente?
a) 40m; 80m; 120m; 160m
b) 45m; 85m; 125m; 165m
c) 48m; 96m; 144m; 192m
d) 55m; 95m; 135m; 175m
e) 60m; 100m; 140m; 180m
120m
90m
60m
30m
Rua 1
Rua 2
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Semelhança de triângulos
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8
6
x
y
3º) (UFR-RJ) Pedro está construindo uma fogueira representada pela figura abaixo. Ele sabe que a soma de x com y é 42 e que as retas r, s e t são paralelas.
A diferença de x- y é:
A) 2 	B) 4	C) 6	D) 10	E) 12
r
s
t
4º) Na figura a seguir, AB || CD então x e y valem, respectivamente:
25cm e 13 cm
4/3 e 16/3
20 cm e 12 cm
40cm e 24 cm
40 cm e 28 cm
F
D
C
X
A
B
32 cm
24 cm
18 cm
y
70 cm
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SOLUÇÕES DOS DESAFIOS:
1º) solução:
Utilizando Hp para indicar a altura do prédio, Sp para indicar a sombra projetada pelo prédio, Hj para a altura de Juliana e Sj para indicar a sombra projetada pela mesma, temos:
Lembre-se de que os raio de sol se propagam na Terra por linhas paralelas, o que faz com que a altura do prédio seja proporcional à sua sombra, assim como a Altura de Juliana é proporcional à sombra projetada pela mesma.
Sendo assim, conclui-se que a altura do prédio é de 11 metros.
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Semelhança de triângulos
Sp = 41,25m
Hp = x
Hj = 1,8m
Sj = 6,75m
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2º) solução:
Portanto, a alternativa correta é a letra C.
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos
120m
90m
60m
30m
Rua 1
Rua 2
x
y
z
w
Marcando as medidas a serem
conhecidas
Note que o comprimento da rua 1
Na figura é R1=30+60+90+120 
R1 = 300m
Aplicando o Teorema de Tales:
Pela proporção, conclui-se que:
y= 2x = 96m z = 3x = 144m e w = 4x = 192m 
*
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3º) solução:
Alternativa C.
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Semelhança de triângulos
8
6
x
y
Se temos x+y = 42 e 8+16 = 14, 
Aplicando o Teorema de Tales teremos:
r
s
t
*
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4º) solução:
Portanto, a alternativa correta é a letra D.
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos
F
D
C
X
A
B
32 cm
24 cm
18 cm
y
70 cm
Note que que na figura os triângulos ABF e
CDF são semelhantes e que FC = 42 cm,
Desta forma:
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EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
1º) Calcule o valor de cada uma das variáveis dos casos de semelhança de triângulos propostos a seguir: 
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Semelhança de triângulos
3cm
4cm
5cm
6cm
X
Y
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Os triângulos anteriores podem ser definidos como semelhantes a partir da relação: ÂNGULO/ ÂNGULO
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Semelhança de triângulos
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Semelhança de triângulos
5
X
12
Y
9
3
B)
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Semelhança de triângulos
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Como você pôde notar, há várias situações- -problema do cotidiano que podem ser resolvidas a partir do conhecimento de algumas propriedades dos triângulos. 
Agora que você já está “fera” nesse assunto, é hora de pesquisar nos livros outros exercícios para treinar o aprendeu e se dar bem no vestibular.
Mantenha o foco nos estudos e boa sorte!
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Tabela de Imagens
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