EP 13 MF 1 2006 TUTOR

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1 
Matemática Financeira – EP 13 –Gabarito 
1) Um banco de desenvolvimento empresta nas seguintes condições: 
 a) taxa nominal de juros de % 6,20 1 ao ano com capitalização bimestral; 
 b) prestações bimestrais; 
 c) Sistema de Amortização Constante – SAC ou Sistema de Amortização Francês – SAF. 
Para um empréstimo de ,0012.000.000 R$ , qual é o valor da primeira prestação pelo 
Sistema de Amortização Constante – SAC, se pelo Sistema Francês, as prestações são 
iguais a 67,729.588 R$ . 
Solução: 
A taxa de juros de % 6,20 1 ao ano é nominal, portanto proporcional ao período de 
capitalização que é bimestral e como 1 ano = 6 bimestres então a taxa efetiva bimestral da 
operação será dada por % 2,7
6
20,16
==i ao bimestres. 
Sabemos que no Sistema de Amortização Francês, as prestações são constantes. Se 
chamarmos de R o valor dessas prestações, P o valor financiado, i a taxa da operação e n 
a quantidade de prestações então o valor de R satisfaz a relação ( )niFVPRP ;×= , com 
( ) ( )
i
ni
niFVP
−+−
=
11
; . 
Como 66,729.588=R , % 2,7=i e 00,000.000.12=P , temos que: 
( )nFVP %; 7,267,729.588000,000.000.12 ×= ⇒ ( ) ⇒=
67,729.588
00,000.000.12
 %; 2,7 nFVP 
( ) 382869,20 %; 7,2 =nFVP . Utilizando a equação ( ) ( )
i
ni
niFVP
−+−
=
11
 ; , tem-se que: 
( ) 382869,20
027,0
027,11
=
−
−
n
⇒ ( ) ( )( )027,1log
449663,0log449663,0027,1 −=⇒=− nn ⇒ 
 
 
 
 
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2 
30≅n bimestres. 
Sabemos que no SAC as amortizações são constantes e determinadas dividindo-se o saldo 
inicial pela quantidade de prestações, isto é, nk
n
Sd
kA ≤≤= 1 ,
0
. 
Temos então que nesse caso 30k1 ,00,000.400
30
00,000.000.12
≤≤==kA . 
O valor da primeira prestação 1P será obtida somando-se o valor dessa amortização com o 
juros 1J referente ao primeiro período, ou seja, 100,000.4001 JP += . 
Considerando a taxa da operação, sabemos que os juros de um período são determinados 
sobre o saldo devedor do período anterior, portanto: 
00,000.324100,000.000.12027,01 =⇒×= JJ , portanto 
00,000.724100,000.32400,000.4001 =⇒+= PP 
Resposta : R$ 724.000,00 
 
2) Um financiamento para capital de giro no valor de R$ 240.000,00 é concedido a uma 
empresa pelo prazo de 3 anos para ser amortizando utilizando-se o Sistema Americano. 
A taxa de juros contratada é de % 6 ao ano com capitalização semestral. Elabore a 
planilha de desembolso desse financiamento, considerando que: 
a) os juros serão pagos durante a carência; 
b) os juros serão capitalizados durante a carência. 
Solução: 
A taxa de % 6 ao ano é nominal, pois seu período é diferente do período de capitalização 
que é semestral. Como 1 ano = 2 semestres então, a taxa efetiva i da operação será dada 
por % 3
2
6
==i ao semestre. 
 
 
 
 
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3 
Sabemos que no Sistema Americano, o tomador do empréstimo (mutuário), obriga-se a 
devolvê-lo em uma única parcela ao final do prazo do empréstimo. Durante a carência, os 
juros do empréstimo podem ser pagos ou capitalizados e pagos juntamente com o principal. 
O prazo do financiamento é de 3 anos, considerando pagamentos semestrais. 
 
a) Cálculo dos juros durante a carência: 00,200.700,000.24003,0 =× 
 
Planilha do financiamento 
 
Semestres 
( )k 
Saldo Devedor 
( )kSd 
Amortização 
( )kA 
Juros 
( )1−×= kSdikJ 
Prestação 
( )kJkAkP += 
0 00,000.240 0,0 0,0 0,0 
1 00,000.240 0,0 00,200.7 00,200.7 
2 00,000.240 0,0 00,200.7 00,200.7 
3 00,000.240 0,0 00,200.7 00,200.7 
4 00,000.240 0,0 00,200.7 00,200.7 
5 00,000.240 0,0 00,200.7 00,200.7 
6 0,0 00,000.240 00,200.7 00,200.247 
Total - 240.000,00 283.200,00 283.200,00 
 
 
 
 
 
 
 
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4 
b) Nesse caso, os juros devidos no período serão somados ao saldo devedor, e assim 
sucessivamente até o sexto período quando então o principal e juros acumulados serão 
pagos. Temos então que: 
Planilha do financiamento 
 
Semestres 
( )k 
Saldo Devedor 
( )kSd 
Amortização 
( )kA 
Juros 
( )1−×= kSdikJ 
Prestação 
( )kJkAkP += 
0 00,000.240 0,0 0,0 0,0 
1 00,200.247 0,0 00,200.7 00,0 
2 00,616.254 0,0 00,416.7 00,0 
3 48,254.262 0,0 48,638.7 00,0 
4 11,122.270 0,0 63,867.7 00,0 
5 77,225.278 0,0 66,103.8 00,0 
6 0,0 77,225.278 77,346.8 54,572.286 
Total - 240.000,00 46.572,54 286.572,54 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5 
3) Uma empresa adquire um equipamento no valor de 500.000,00 R$ financiado pelo 
Sistema Americano, compromissando-se a fazer o pagamento do principal ao fim de 5 
anos, pagando mensalmente apenas os juros vencidos do período. A taxa de juros 
contratada foi de 60 % ao ano capitalizado mensalmente. Planejando o pagamento do 
principal, a empresa resolve constituir um fundo de amortização, aplicando mensalmente 
uma quantia fixa em uma instituição financeira que remunera as aplicações a uma taxa 
de 3 % ao mês. Determine o valor do desembolso mensal feito pela empresa. 
Solução: 
Em relação ao financiamento, a taxa de % 60 ao ano é nominal, pois seu período é 
diferente do período de capitalização que é mensal. Como 1 ano = 12 meses então, a taxa 
efetiva i da operação será dada por % 5
12
60
==i ao mês. 
Cálculo dos juros durante a carência: 00,000.2500,000.50005,0 =× 
O fundo de amortização é uma aplicação de depósitos mensais visando o pagamento do 
financiamento. Portanto ao final do prazo do empréstimo é necessário que o montante do 
fundo de amortização seja de 00,000.500 . 
Ou seja, estamos diante de uma série uniforme modelo padrão em que o montante S é dado 
por 00,000.500=S , a taxa i é dada por % 3=i ao mês, e o prazo n é de 60=n meses. 
Desejamos determinar o valor dos termos R dessa série que correspondem aos depósitos 
mensais feitos pela empresa. 
Sabemos que ( )niFVFRS ; ×= com ( ) ( )
i
ni
niFVF11 ; −+= . 
Portanto, temos que: 
( ) ( )60 ;% 3 
00,000.50060 ;% 3 00,000.500
FVF
RFVFR =⇒×= . 
 
 
 
 
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6 
Utilizando uma tabela financeira ou a equação ( ) ( )
i
ni
niFVF 11 ; −+= , temos que: 
( ) 053437,16360 ;% 3 ≅FVF e portanto 48,3066
053437,163
00,000.500
≅⇒= RR 
Portanto, mensalmente a empresa que terá que dispor de 00,000.25 para o pagamento do 
juros mensal do empréstimo e 48,3066 do depósito mensal do fundo de amortização, isto é, 
a empresa desembolsará mensalmente a quantia dada por: 
48,066.2848,306600,000.25 =+ 
Resp.: R$ 28.066,48 
 
4) Uma empresa obtém um financiamento de 800.000,00 R$ , a ser liberado em 4 parcelas 
trimestrais iguais e sucessivas, sendo a primeira liberada no momento do financiamento. 
 No tocante aos encargos financeiros, teremos juros de % 10 ao ano com capitalização 
trimestral, e uma comissão de % 0,5 sobre o valor de cada parcela liberada, descontada 
no momento da liberação da parcela. As amortizações serão trimestrais, ocorrendo a 
primeira 1 ano após o primeiro saque. As parcelas de amortização, seqüencialmente, 
devem ser: 
 1ª parcela: R$ 75.000,00 4ª parcela: R$ 150.000,00 
 2ª parcela: R$ 100.000,00 5ª parcela: R$ 150.000,00 
 3ª parcela: R$ 100.000,00 6ª parcela: R$ 225.000,00 
 Elabore a planilha de desembolsos desse financiamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7 
Solução: 
A taxa de % 10 ao ano é nominal, pois seu período é diferente do período de capitalização 
que é trimestral. Como 1 ano = 4 trimestres então, a taxa efetiva i da operação será dada 
por % 5,2
4
10
==i ao trimestre. 
Cálculo da comissão: Os saques são constantes e igual a 00,000.200 , portanto o valor da 
comissão em cada saque será dado por: 
00,000.100,000.200005,0 =× . 
Cálculo dos juros de um período: Considerando a taxa da operação, sabemos que os juros 
de um período são determinados sobre o saldo devedor do período anterior. Portanto para 
determinar o juros de um período, basta calcular % 5,2 sobre o saldo do período anterior. 
Logo temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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8 
Planilha do financiamento 
 
Trimestres 
( )k 
Saques 
 
Saldo Devedor 
( )kSd 
Amortização 
( )kA 
Juros 
( ×= kSdikJ
 
 
Comissão 
Prestação 
( )kJkAkP +=
 
0 200.000,00 200.000,00 0,0 0,0 1.000,00 1.000,00 
1 200.000,00 00,000.400 0,0 00,000.5 1.000,00 00,000.6 
2 200.000,00 00,000.600 0,0 00,000.10 1.000,00 00,000.11 
3 200.000,00 800.000,00 0,0 00,000.15 1.000,00 00,000.16 
4 - 00,000.725 00,000.75 00,000.20 - 00,000.95 
5 - 00,000.625 00,000.100 00,125.18 - 00,125.118 
6 - 00,000.525 00,000.100 00,625.15 - 00,625.115 
7 - 00,000.375 00,000.150 00,125.13 - 00,125.163 
8 - 00,000.225 00,000.150 00,375.9 - 00,375.159 
9 - 0,0 00,000.225 00,625.5 - 00,625.230 
Total - - 800.000,00 111.875,00 4.000,00 915.875,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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9 
5) Um banco, concede a uma empresa o financiamento de R$ 200.000,00, a ser 
liberado em 3 parcelas anuais iguais e sucessivas, sendo a primeira liberada no 
momento do financiamento. A primeira no valor de 20.000,00 R$ a segunda no 
valor de 100.000,00 R$ e a terceira no valor de 80.000,00 R$ . A taxa de juros 
contratada é de 20 % ao ano e a amortização será feita pelo Sistema Americano. 
 As principais características do financiamento são: 
 a) Prazo Total: 6 anos, incluindo 3 anos de carência, período este em que os juros não 
serão pagos; 
 b) Despesas Contratuais: R$ 2.000,00 a serem pagos no ato da assinatura do contrato do 
financiamento. 
 A empresa, prevendo a amortização que deverá efetuar ao fim do 6º ano, resolve 
constituir um fundo de amortização, efetuando 4 depósitos iguais, a partir do 3º ano que 
paga 15 % ao ano sobre o saldo credor. 
 De posse de todos os dados expostos, elabore a planilha de desembolso do 
financiamento e do fundo de amortização. 
Solução: 
Como durante 3 anos os juros do empréstimos serão capitalizados, tem-se que nesses 
períodos o saldo devedor será acrescido do juros do período, por exemplo: o saldo devedor 
do 1º período é dado por 0001240001000002020000201 ...,.Sd =+×+= . De modo 
análogo se determina o saldo devedor do 2º período e do 3º período. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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10 
Planilha do financiamento 
Anos 
( )k 
 
Parcelas 
Saldo Devedor 
( )kSd 
Amortização 
(Ak) 
Juros
 
( )kJ 
Comissão 
Prestação 
0 20.000,00 20.000,00 0,0 0,0 00,400.2 00,400.2 
1 00,000.100 00,000.124 0,0 00,000.4 0,0 0,0 
2 00,000.80 00,800.228 0,0 00,800.24 0,0 0,0 
3 0,0 00,560.274 0,0 00,760.45 0,0 0,0 
4 0,0 00,560.274 0,0 00,912.54 0,0 00,912.54 
5 0,0 00,560.274 0,0 00,912.54 0,0 00,912.54 
6 0,0 0,0 00,560.274 00,912.54 0,0 00,472.329 
Total - - 200.000,00 239.296,00 2.400,00 441.696,00 
 
Fundo de amortização: 
O fundo de amortização é uma aplicação de depósitos anuais, nesse caso 4 depósitos a 
partir do período 3, visando o pagamento do financiamento. Nesse caso os juros dos três 
primeiro períodos foram incorporados ao saldo devedor e portanto no final do prazo do 
empréstimo é necessário que o montante do fundo de amortização seja de 00,560.274 . 
Ou seja, estamos diante de uma série uniforme modelo padrão em que o montante S é dado 
por 00,560.274=S , a taxa i é dada por % 15=i ao ano, e o prazo n é de 4=n anos. 
Desejamos determinar o valor dos termos R dessa série que, correspondem aos depósitos 
mensais feitos pela empresa. 
Sabemos que ( )niFVFRS ; ×= com ( ) ( )
i
ni
niFVF 11 ; −+= .Portanto, temos que: 
 
 
 
 
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11 
( ) ( )4 ;% 15 
00,560.2744 ;% 15 00,560.274
FVF
RFVFR =⇒×= . 
Utilizando uma tabela financeira ou a equação ( ) ( )
i
ni
niFVF 11 ; −+= , temos que: 
( ) 993375,44 ;% 15 ≅FVF e portanto 85,984.54
993375,4
00,560.274
≅⇒= RR 
Construção da planilha do fundo de amortização: 
Na coluna referente aos depósitos, será colocado em cada período a partir do ano 3 o valor 
de 85,984.54 . O saldo credor inicial, será exatamente o valor do primeiro depósito. O saldo 
credor do 1º período após o saldo inicial será encontrado somando-se ao saldo inicial os 
juros e o depósito deste período, lembrando que, considerando a taxa da operação, os juros 
serão determinados sobre o saldo credor do período anterior. Procedendo de modo análogo 
determinam-se os saldos credores e os juros dos períodos subseqüentes. Observe que o 
ultimo saldo credor é exatamente o montante desejado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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12 
Fundo de Amortização 
 
Anos 
( )k 
Saldo Credor 
( )kSc 
Depósitos 
( )R 
Juros
 
( )kJ 
0 0,0 0,0 0,0 
1 0,0 0,0 0,0 
2 0,0 0,0 0,0 
3 85,984.54 85,984.54 0,0 
4 43,217.118 85,984.54 73,247.8 
5 89,934.190 85,984.54 61,732.17 
6 00,560,274 85,984.54 26,640.28 
Total - 219.939,40 55.620,60 
 
 
Obs.: Devido às aproximações, foi necessário um ajuste no valor dos juros do último 
 período.