AnalisedeInvestimentosa481341 (2)

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Prof. José Carlos Morilla. 
Santos 
2020 
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Prof. José Carlos Morilla. 
Conteúdo 
1. Fluxo de caixa ................................................................................. 3 
2. Componentes de uma operação financeira. ......................................... 4 
2.1. Juros simples. ................................................................................. 4 
2.2. Juros compostos. ............................................................................. 5 
2.3. Determinação de montante a juros compostos de um único pagamento. 5 
2.4. Determinação de montante a juros compostos de uma série de 
pagamentos. ........................................................................................... 7 
2.5. Taxas de juros e inflação .................................................................. 8 
2.6. Exercícios – Lista 1. ......................................................................... 8 
3. Operações de desconto. ................................................................. 13 
3.1. Desconto comercial. ....................................................................... 14 
3.2. Desconto racional. ......................................................................... 14 
3.3. Exercícios – Lista 2. ....................................................................... 14 
4. Depreciação .................................................................................. 17 
4.1. Método da linha reta. ..................................................................... 17 
4.2. Método da depreciação acelerada. ................................................... 18 
4.3. Método da soma dos dígitos. ........................................................... 19 
4.4. Método exponencial. ...................................................................... 19 
4.5. Exercícios – Lista 3 ........................................................................ 20 
5. Sistemas de amortização ................................................................ 23 
5.1. Exercícios – Lista 4 ........................................................................ 26 
6. Análise de investimento .................................................................. 28 
6.1. Valor Presente Líquido (VPL) ........................................................... 28 
6.2. Taxa Interna de Retorno (TIR). ....................................................... 29 
6.3. Payback ou Período de recuperação. ................................................ 30 
6.4. Exercícios – Lista 5 ........................................................................ 31 
Referências. .......................................................................................... 37 
 
 
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1. Fluxo de caixa 
 
Fluxo de caixa é o conjunto de entradas e saídas de dinheiro em um intervalo de 
tempo. Nele, é possível visualizar, de acordo com o tempo, o que ocorre com o capital. 
Um fluxo de caixa é representado graficamente por um diagrama, com o tempo 
marcado sobre uma reta horizontal e seu sentido é da esquerda para a direita. À 
extremidade esquerda é atribuída a data zero (0). Essa reta é interceptada por pontos, sendo 
o intervalo entre dois pontos considerado uma unidade de tempo. Nesses, são marcadas as 
entradas e as saídas de dinheiro. 
A representação de uma entrada no fluxo de caixa é feita por um segmento de reta 
orientado para cima e a representação de uma saída, por um segmento de reta orientado 
para baixo. A figura 1 mostra um diagrama de fluxo de caixa com entradas e saídas. 
 
 
Figura 1. Diagrama de fluxo de caixa. 
 
Alguns autores, como indicam o uso de planilhas para mostrar ao fluxo de caixa. O 
quadro 1 é uma planilha em que são colocadas as entradas e as saídas do fluxo de caixa da 
figura 1 e em que é determinado o saldo no final de cada período. 
 
Quadro 1. Planilha para o fluxo de caixa. 
Tempo Saldo anterior Entrada Saída Saldo 
0 0,00 
1 0,00 0,00 80,00 -80,00 
2 -80,00 100,00 0,00 20,00 
3 20,00 0,00 5,00 15,00 
4 15,00 150,00 180,00 -15,00 
5 -15,00 0,00 0,00 -15,00 
6 -15,00 0,00 270,00 -285,00 
7 -285,00 250,00 0,00 -35,00 
 
 
 
3 4 5 6 70 1 2 Tempo
R$100,00 R$150,00 R$250,00
R$80,00 R$5,00 R$180,00 R$270,00
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2. Componentes de uma operação financeira. 
 
 Os três componentes de uma operação financeira são: o valor principal (ou 
simplesmente principal), o montante (ou valor futuro) e os juros (rendimentos). 
 O principal (𝑃) é a quantidade de dinheiro que possibilitou a operação financeira, o 
montante (𝑆𝑛) é o valor do resgate do investimento, isto é, ele é o resultado da operação 
financeira, é o valor no qual o principal se tornou após a operação e, os juros (𝐽) é o 
resultado da diferença entre o resgatado (montante) e o aplicado (principal), ou seja: 
𝐽 = 𝑆𝑛 − 𝑃 
 
 A maneira mais comum, usada na avaliação de uma operação financeira, é a feita 
pela determinação da taxa de juros (𝑖), que é o resultado do quociente entre os juros e o 
principal, isto é: 
𝑖 =
𝐽
𝑃
 
 
 Na maioria das vezes a taxa de juros é expressa em porcentagem (𝑖%): 
 
𝑖% =
𝐽
𝑃
× 100% 
 
 Nas operações financeiras, os juros são apurados em intervalos de tempo pré-
determinados e, a depender de como eles são calculados eles podem ser simples ou 
compostos. 
 
2.1. Juros simples. 
 No regime de juros simples a taxa de juros incidirá sempre sobre o valor principal. 
Tome por exemplo um valor principal de R$ 1.000,00, que será aplicado por três meses a 
uma taxa de juros de 10% ao mês. Pelo sistema de juros simples, os juros serão apurados 
mensalmente e serão sempre iguais a R$ 100,00. Assim, no final do terceiro mês os juros 
acumulados serão iguais a R$ 300,00. 
 Matematicamente, o montante obtido após um determinado número de períodos (𝑛) 
em uma operação a juros simples pode ser escrito como: 
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𝑆𝑛 = 𝑃 + 𝑃 ∙ 𝑛 ∙ 𝑖 𝑆𝑛 = 𝑃(1 + 𝑛 ∙ 𝑖) 
 
2.2. Juros compostos. 
 No regime de juros compostos, a apuração é feita periodicamente considerando que o 
valor principal de um determinado período é o montante do período anterior. 
 No exemplo apresentado, quando os juros são compostos os resultados mensais para 
os juros são diferentes. No final do primeiro mês o montante de R$ 1 100,00 (resultado da 
soma entre os juros de R$ 100,00 ao principal inicial) é o principal do segundo mês. Com 
isso, os juros para esse período são de R$ 110,00. A Tabela 1 mostra o principal, os juros e o 
montante para o exemplo em estudo. 
 
Tabela 1 – Principal juros e montante para uma aplicação em juros compostos. 
Mês 
Principal Juros (10%) Montante 
(R$) (R$) (R$) 
1 1.000,00 100,00 1.100,00 
2 1.100,00 110,00 1.210,00 
3 1.210,00 121,00 1.331,00 
 
2.3. Determinação de montante a juros compostos de um único pagamento. 
 
Considere um valor inicial 𝑃, que será corrigido mensalmente por juros compostos à 
taxa de juros ao mês 𝑖. Na data inicial, ou seja, mês 𝑧𝑒𝑟𝑜, o montante (𝑆0) é igual ao valor 
inicial, ou seja: 
 
𝑆0 = 𝑃. 
 
No final do primeiro mês, aplica-se a correção pela taxa de juros i sobre o valor do 
mês anterior, obtendo-se o montante 𝑆1 da seguinte forma: 
 
𝑆1 = 𝑆0 ∙ (1 + 𝑖) = 𝑃 ∙ (1 + 𝑖) 
 
No segundo mês, aplica-se novamente a correção sobre o valor do mês anterior, 
obtendo-se o montante 𝑆2: 
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𝑆2 = 𝑆1 ∙ (1 + 𝑖) = 𝑃 ∙ (1 + 𝑖) ∙ (1 + 𝑖) = 𝑃 ∙ (1 + 𝑖)
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Para um período de 𝑛 meses, o montante 𝑆𝑛 fica: 
 
𝑆𝑛 = 𝑃 ∙ (1 + 𝑖)
𝑛 
 
sendo 𝑛 o número de meses para correções mensais e 𝑖 a taxa de juros ao mês. Ou seja, o 
montante para um determinado número de períodos (𝑛) em uma operação a juros 
compostos é determinado por: 
 
𝑆𝑛 = 𝑃 ∙ (1 + 𝑖)
𝑛 
 
 O gráfico da figura 2 mostra os juros acumulados para o exemplo em estudo nasoperações a juros simples e a juros compostos. 
 
Figura 2 – Juros acumulados. 
 
 Observe que quanto maior é o tempo, maior é a diferença entre os juros acumulados 
nos dois sistemas. 
 
 
0,00
1.000,00
2.000,00
3.000,00
4.000,00
5.000,00
6.000,00
7.000,00
8.000,00
9.000,00
10.000,00
11.000,00
12.000,00
13.000,00
14.000,00
15.000,00
16.000,00
17.000,00
18.000,00
0 5 10 15 20 25 30
JUROS
composto simples
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2.4. Determinação de montante a juros compostos de uma série de pagamentos. 
 
Quando se tem uma série de pagamentos de valores 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3, . . . 𝑃𝑛, distribuídos ao 
longo do tempo correspondente a 𝑛 períodos, como o mostrado na Figura 3, a seguir. 
3 40 1 2
Tempo
S
PPP P P
n
 
Figura 3 – Série de pagamentos 
 
Considerando uma taxa de juros (𝑖) e que os pagamentos (𝑃) possuem o mesmo 
valor, o montante (𝑆) no final do período 𝑛, fica: 
 
𝑆 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛−1 + 𝑃(1 + 𝑖)𝑛−2 + 𝑃(1 + 𝑖)𝑛−3 + ⋯ + 𝑃(1 + 𝑖) + 𝑃 
 
𝑆 = 𝑃[(1 + 𝑖)𝑛−1 + (1 + 𝑖)𝑛−2 + (1 + 𝑖)𝑛−3+ . . . +(1 + 𝑖) + 1] 
 
Observe que a expressão entre colchetes, é a soma dos n primeiros termos de uma 
progressão geométrica de primeiro termo (1 + 𝑖)𝑛−1, último termo 1 e razão 1/ (1 + 𝑖). 
Aplicando a fórmula da soma dos 𝑛 primeiros termos de uma progressão geométrica, 
teremos: 
(1 + 𝑖)𝑛−1 + (1 + 𝑖)𝑛−2 + (1 + 𝑖)𝑛−3 + … + (1 + 𝑖) + 1 =
1 ∙
1
1 + 𝑖 −
(1 + 𝑖)𝑛
1
1 + 𝑖 − 1
=
1 − (1 + 𝑖)𝑛
1 + 𝑖
1 − (1 + 𝑖)
1 + 𝑖
 
 
(1 + 𝑖)𝑛−1 + (1 + 𝑖)𝑛−2 + (1 + 𝑖)𝑛−3 + … + (1 + 𝑖) + 1 =
1 − (1 + 𝑖)𝑛
1 − (1 + 𝑖)
=
1 − (1 + 𝑖)𝑛
−𝑖
 
 
(1 + 𝑖)𝑛−1 + (1 + 𝑖)𝑛−2 + (1 + 𝑖)𝑛−3 + … + (1 + 𝑖) + 1 =
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖
 
 
Com isso, o montante fica: 
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𝑆 = 𝑃 [
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖
] 
Na expressão anterior, a parte que está entre os colchetes é chamada de Fator de 
acumulação de capital (FAC), ou fator do valor futuro. 
 
2.5. Taxas de juros e inflação 
 
A taxa declarada em determinada transação é denominada taxa de juros nominal. 
Assim, por exemplo, quando determinado fundo de investimento anuncia juros de 15% ao 
ano, tem-se a taxa nominal ou aparente. No entanto, o ganho real do cliente não foi de 
15% se houve inflação no período. 
A taxa real de juros, portanto, é calculada descontando-se o valor da inflação. O 
cálculo dessa taxa depende do sistema de capitalização (simples ou composto). 
Dessa forma, o ganho real é menor do que o nominal quando ocorre inflação. Os dois 
igualam-se em situação de inflação zero e, nos casos de deflação, o ganho real pode ser 
superior ao nominal. 
 
2.6. Exercícios – Lista 1. 
 
1. A que taxa de juros simples: 
a) R$ 100.000,00 se elevarão a $ 105.500,00 em um ano? (Resp. 5,5%aa). 
b) R$ 720.000,00 se elevarão a $ 744.000,00 em 10 meses? (Resp. 4%aa.). 
 
2. No fim de quantos anos uma importância em dinheiro dobra de valor a 5%aa de juros 
simples? (Resp. 20 anos). 
 
3. Uma pessoa comprou um smartphone por R$ 1.000,00. Pagou $ 100,00 de entrada e 
concordou pagar o saldo mais uma quantidade de $ 100,00 ao fim de três meses a título 
de juros. Que taxa de juros simples anual estaria pagando? 
(Resp. 13,33%aa). 
 
4. Em uma operação financeira com prazo de 23 dias é cobrado juros simples com uma taxa 
de 36%aa. O valor do principal é de R$ 240.000,00. Qual o valor dos juros pagos? (Resp. 
R$ 5.520,00). 
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5. O Sr. Benedito, dono de uma mercearia toma emprestado de um agiota a quantia de R$ 
50.000,00, entregando-lhe uma nota promissória de R$ 77.000,00 com vencimento para 
6 meses. Qual a taxa de juros simples anual e mensal cobrada pelo agiota? (Resp. 9% 
am - 108%aa). 
 
6. João proprietário de uma pequena confecção verificou que o caixa de sua empresa 
necessitava de recursos na forma de dinheiro para que pudessem ser saldados 
compromissos salariais de seus funcionários. Assim a alternativa que possuía no momento 
era o desconto de duplicatas em uma agência bancária. O valor necessário para o 
pagamento dos funcionários é de $ 35.000,00, o valor possuído em duplicatas é de $ 
42.000,00 com prazo de vencimento para 60 dias. O banco está cobrando uma taxa de 
desconto de 60%aa. 
João conseguirá pagar os funcionários? 
Qual a taxa de juros simples ao ano cobrada pelo banco? 
(Resp. Sim – 66,67%aa). 
 
7. Quanto receberá uma pessoa ao resgatar hoje um título no valor de $ 1.200.000,00 cujo 
vencimento ocorrerá ao fim de três meses se o banco cobra uma taxa composta de 
4%am.? (Resp. $ 1.066.796,00). 
 
8. Qual o valor ao final de 4,25 anos de $ 100.000,00 aplicados a juros compostos de 
4%am.? (Resp. $ 739.095,07) 
 
9. Qual o montante produzido, ao final de 5 anos, por depósitos anuais de $ 2.000.000,00 a 
uma taxa de 6%aa? O primeiro depósito ocorrerá ao final do primeiro ano, e o último ao 
final do quinto. (Resp. $ 11.274.186,00) 
 
10. O Sr. Ângelo tomou emprestado $ 50.000,00 a uma taxa de juros composta de 3%am., 
com promessa de saldar o compromisso após 1 ano. Atualmente, decorridos sete meses, 
foi procurado pelo seu credor que lhe propôs a quitação por uma quantia de $ 65.000,00. 
Será vantajoso aceitar a proposta? 
(Resp. não). 
 
11. Dois anos depois que uma pessoa colocou $ 25.000,00 em uma conta de poupança que 
pagava juros semestrais composto de 4%, a taxa de juros subiu para 5% ao semestre e 
esta pessoa ainda deixou o dinheiro nesta conta por mais 1 ano. Ao final de 3 anos qual o 
saldo existente? (Resp. $ 32.244,23). 
 
12. Considerando-se uma taxa de juros i= 12% aa, qual a taxa de juros composta 
equivalente aos seguintes períodos: 
a) mensal (Resp. 0,95%am) 
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b) trimestral (Resp. 2,87%at) 
c) semestral (Resp. 5,83%as) 
d) 45 dias (Resp. 1,43%np) 
e) 72 dias (Resp. 2,29%np) 
 
13. Um capital de $ 350.000,00, aplicado por três anos a uma taxa de juros composta de 
8,0%aa, a quanto se elevará? 
(Resp. $ 440.899,20). 
 
14. Qual o número de períodos que um capital de $ 500,00 aplicados a uma taxa de 10%, se 
elevará a $ 3.500,00? (Resp. 21) 
 
15. O IGPM (Índice Geral de Preços do Mercado), é uma medida de variação de preços 
medidos pela Fundação Getúlio Vargas. Os valores apurados durante o ano de 2007 
foram os seguintes: 
Mês Jan. Fev. Março Abril Maio Junho Julho Agosto Set. Out. Nov. Dez. 
IGPM
% 
0,50 0,27 0,34 0,04 0,04 0,26 0,28 0,98 1,29 1,05 0,69 1,76 
 
a) Qual foi a inflação no ano de 2007? (Resp. 7,75 %aa) 
b) Qual o valor corrigido de um objeto em 01/11 que em 01/01/07valia R$ 6.400,00? 
(Resp. R$ 6.730,26) 
 
16. Suponhamos que você possua uma determinada quantidade de dinheiro disponível no 
momento. Então você resolveu aplicar este dinheiro em uma conta de caderneta de 
poupança nos próximos seis meses. Como a estimativa de correção monetária para os 
próximos seis meses é de 1,0%am, e a poupança ainda lhe paga juros de 0,5%am, você 
calculou que no final do período terá $ 638,00. Qual o valor que você tem disponível 
hoje? 
(Resp. $ 583,31) 
 
17. Para uma taxa efetiva de juros de 120%aa, qual a taxa nominal anual equivalente 
composta semestralmente? E trimestralmente? E mensalmente? (Resp. 96,65%as; 
87,15%aa; 81,49%aa) 
 
18. Um investidor conta com a possibilidade de uma aplicação programada que lhe rende 
uma taxa efetiva de juros de 27%aa. Qual o montante que disporá ao final de 12 meses, 
investindo $ 5.000,00 ao final de cada mês? 
(Resp. $ 67.104,87) 
 
19. Qual é a série uniforme de pagamentos equivalente aos seguintes valores presentes: 
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a) $ 500.000,00. Sendo a série composta de cinco pagamentos anuais a uma taxa efetiva 
de juros de 21%aa. (Resp.$ 170.882,66) 
b) $ 16.000.000,00. Sendo a série composta de oito pagamentos anuais a uma taxa de 
juros nominal de 20%aa capitalizados trimestralmente. (Resp.$ 4.363.944,25) 
c) $ 30.000,00. Sendo a série compostade 120 pagamentos mensais a uma taxa efetiva 
de 15%aa. (Resp. $ 466,84) 
 
20. Uma fábrica vendeu a um de seus clientes uma determinada quantidade de produtos no 
valor de $ 120.000,00. O cliente deveria saldar o compromisso ao final de três meses 
mediante o pagamento de $ 263.640,00. No entanto passados sessenta dias, o cliente 
propôs a quitação da dívida pelo valor de $ 190.000,00. Será vantajoso aceitar a 
proposta? (Resp. Não) 
 
21. Um veículo está sendo ofertado em duas condições: a vista por R$ 23.200,00. Ou, a 
prazo, sendo 15% de entrada e o saldo dividido em quatro parcelas mensais, 
consecutivas, corrigidas por juros simples à taxa de 42% a.a. Nesta condição deseja-se 
saber: O valor de cada prestação; e o montante a ser desembolsado. 
 
22. Você aplicou a importância de R$ 11.200,00 na aquisição de um título, pactuado a juros 
simples a taxa de 2,2% a.m. pelo prazo de 14 meses. Transcorridos oito meses desta 
operação, resolveu vender o título. Qual o montante a ser recebido se na data da venda a 
taxa de juros praticada pelo mercado for de 2,9% a.m.? 
 
23. Um investidor aplicou R$ 2.500,00 em Letras de Câmbio, por 60 dias, e, ao resgatá-las, 
após esse prazo, recebeu a quantia de R$ 2.590,00. 
a) Quanto recebeu de juros? 
b) A que taxa esteve aplicado seu capital durante esse período? 
 
24. Um industrial pediu um empréstimo de R$ 250.000,00 numa instituição financeira, por 
certo tempo. No dia em que foi liberado o empréstimo, pagou, antecipadamente, 22% de 
juros, conforme previa o contrato. 
a) Quanto pagou de juros? 
b) Se os juros foram retidos na data da liberação do empréstimo, qual foi a 
quantia efetivamente liberada? 
c) Considerando a quantia liberada como empréstimo real e o pagamento final de 
R$ 250.000,00, qual a taxa efetiva de juros paga pelo industrial? 
 
25. Um capital de R$ 80.000,00 ficou aplicado durante seis meses a 10% ao mês. Calcule o 
montante no fim de cada mês nos regimes de capitalização simples e composta. 
 
26. Represente com um diagrama de fluxo de caixa as seguintes operações financeiras: 
a) Uma aplicação de R$ 50.000,00 pela qual o investidor recebe R$ 80.000,00 
após dois anos. 
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b) A compra de um objeto, cujo preço à vista é R$ 30.000,00, em 12 prestações 
mensais de R$ 2.600,00, vencendo a primeira na data da compra. 
c) Depósitos de R$ 5.000,00 na Caderneta de Poupança, no fim de cada mês 
durante um ano, e retirada de R$ 61.677,81 dois meses após o último depósito. 
 
 
 
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3. Operações de desconto. 
Se uma pessoa, ou uma empresa, toma emprestado uma quantia e existe a promessa 
de pagamento em uma data futura, é normal que seja entregue ao credor um título de 
crédito, que é o comprovante dessa dívida. 
Embora todo título de crédito tenha uma data de vencimento, o devedor pode 
resgatá-lo antecipadamente, obtendo com isso um abatimento, denominado desconto. 
O desconto é uma das mais comuns aplicações da regra de juros. 
Os títulos de crédito mais utilizados em operações financeiras são a nota promissória, 
a duplicata e a letra de câmbio. 
A Nota Promissória é um comprovante da aplicação de um capital com vencimento 
predeterminado. É um título muito usado entre pessoas físicas ou entre pessoa física e 
instituição financeira. 
A Duplicata é um título emitido por uma pessoa jurídica contra seu cliente (pessoa 
física ou jurídica), para o qual ela vendeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a serem 
pagos no futuro, segundo um contrato. 
A Letra de Câmbio, assim como a nota promissória, é um comprovante de uma 
aplicação de capital com vencimento predeterminado, porém, é um título ao portador, 
emitido exclusivamente por uma instituição financeira e tem como âncora uma moeda 
internacional. 
Com relação aos títulos de crédito, pode ocorrer: 
• que o devedor efetue o pagamento antes do dia predeterminado. Neste caso, ele se 
beneficia com um abatimento correspondente ao juro que seria gerado por esse dinheiro 
durante o intervalo de tempo que falta para o vencimento; 
• que o credor necessite do seu dinheiro antes da data predeterminada. Neste caso, 
ele pode vender o título de crédito a um terceiro e é justo que este último obtenha um lucro, 
correspondente ao juro do capital que adianta, no intervalo de tempo que falta para o 
devedor liquidar o pagamento; assim, ele paga uma quantia menor que a fixada no título de 
crédito. 
Em ambos os casos há um benefício, definido pela diferença entre as duas 
quantidades. Esse benefício, obtido de comum acordo, recebe o nome de desconto. 
As operações anteriormente citadas são denominadas operações de desconto, e o ato 
de efetuá-las é chamado descontar um título. 
Além disso: 
• dia do vencimento é o dia fixado no título para pagamento (ou recebimento) da 
aplicação; 
• valor nominal (𝑁) (ou valor futuro ou valor de face ou valor de resgate) é o valor 
indicado no título (importância a ser paga no dia do vencimento); 
• valor atual (𝐴) é o líquido pago (ou recebido) antes do vencimento 
• DESCONTO (𝑑) é a quantia a ser abatida do valor nominal, isto é, a diferença entre 
o valor nominal e o valor atual, isto é: 
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𝑑 = 𝑁 – 𝐴 
 
• tempo ou prazo é o número de dias compreendido entre o dia em que se negocia o 
título e o de seu vencimento, incluindo o primeiro e não o último, ou então, incluindo o 
último e não o primeiro. 
O desconto pode ser feito considerando-se como capital o valor nominal ou valor 
atual. No primeiro caso, é denominado desconto comercial; no segundo, desconto racional. 
 
3.1. Desconto comercial. 
 
Chamamos de desconto comercial, bancário ou por fora o equivalente aos juros 
simples produzido pelo valor nominal do título no período de tempo correspondente e à taxa 
fixada. 
Sejam 𝑑 o valor de desconto comercial, 𝑁 o valor nominal do título, 𝐴 o valor atual 
comercial, 𝑛 o tempo que falta para o vencimento e 𝑖 a taxa de desconto, então: 
 
𝑑 = 𝑁 . 𝑖 . 𝑛 
 
O valor atual bancário é dado por: 
 
𝐴 = 𝑁 − 𝑑 = 𝑁 (1 − 𝑖𝑛) 
 
3.2. Desconto racional. 
 
O desconto racional ou por dentro é o equivalente ao juro produzido pelo valor atual 
do título numa taxa fixada e durante o tempo correspondente. 
 
𝐴’ = 𝑁 − 𝑑’ =
𝑁
1 + 𝑖𝑛
 
 
Sejam 𝑑’ o desconto racional e 𝐴’ o valor atual racional, então: 
 
𝑑’ = 𝐴 . 𝑖 . 𝑛 
 
𝑑’ =
𝑁
1 + 𝑖𝑛
𝑖𝑛 =
𝑑
1 + 𝑖𝑛
 
 
 
 
3.3. Exercícios – Lista 2. 
15 
 
Prof. José Carlos Morilla. 
 
 
27. Uma duplicata cujo valor de face, VF, monta a R$ 8.500,00 foi emitida há cinco meses 
passados e tem data de vencimento estipulada para daqui a sete meses. Caso seja 
descontada nesta data e se a taxa de desconto comercial for de 26,4% a.a. solicita-se 
determinar: 
a) O desconto comercial, DC 
b) O valor a ser recebido, VR. 
c) Por quanto a duplicata foi negociada, se na data desta operação o juro comercial 
vigente era de 33,6% a.a. 
d) A taxa efetiva de juros no período referente à operação do desconto. 
 
28. Em l0 de junho desconta-se uma letra de R$ 5.820,00 a se vencer em 26 de julho. 
Calcular o valor líquido, sabendo-se que a taxa de desconto comercial simples é de 6% 
aa. 
Resposta: R$ 5.774,48 
 
29. Uma letra de R$ 8.000,00, pagável no dia 15 de junho, sofre um desconto comercial 
simples, no dia 4 de abril precedente e fica reduzida a R$ 7.904,00. Pede-se a taxa anual 
cobrada pelo banco. 
Resposta: 6,0% a.a. 
 
30. A diferença entre os descontos por fora e por dentro de um título descontado 6 meses 
antes do seu vencimento, à taxa de 10% ao ano, é de R$ 10,50. Calcular o valor do 
desconto comercial. 
Resposta: R$ 220,50 
 
31. Uma nota promissória no valor nominal de R$ 50.000,00 vence no dia 30 de abril. Qual 
será o desembolso resultante de uma negociação para resgatá-la no dia l0 de abril, a 
uma taxa de desconto comercial simples de 4,5% aomês? 
Resposta: R$ 48.500,00 
 
32. Um banco opera com juros simples e desconta uma promissória por $20.000,00, 
aplicando uma taxa de desconto comercial (“por fora”) de 15% ao ano. Sabendo-se que o 
prazo de vencimento da promissória é de três meses, determinar o seu valor de resgate e 
a taxa anual de desconto racional (“por dentro”) dessa operação. 
Resposta: R$20.779,22 e 15,5844% a.a. 
 
33. Um título com vencimento no prazo de dois meses foi descontado com uma taxa de 
desconto racional de 12% ao ano, e o valor do desconto nessa operação foi de 
R$2.000,00. Determinar o valor nominal desse título (na data do seu vencimento) e a 
taxa anual de desconto comercial (“por fora”), assumindo-se regime de juros simples. 
16 
 
Prof. José Carlos Morilla. 
Resposta: R$102.000,00 e 11,7647% a.a. 
 
34. O valor de resgate de um título, no seu vencimento, é igual a 100 vezes o valor de seu 
desconto comercial com uma taxa de 15% ao ano. Determinar o prazo dessa operação de 
desconto comercial, no regime de juros simples, assumindo-se ano com 360 dias. 
Resposta: 24 dias. 
 
35. Um título foi resgatado dois meses antes do seu vencimento e teve um desconto racional 
igual a 2,5% do seu valor presente. Determinar a taxa anual de desconto racional dessa 
operação, no regime de juros simples. 
Resposta: 15% a.a. 
 
36. Um investidor aplica, inicialmente, um principal de $10.000,00 a 15% ao ano e, 
posteriormente, consegue aumentar essa taxa para 18% ao ano. Determinar o número 
de meses em que vigorou a taxa de 15% ao ano sabendo-se que o valor de resgate 
dessa aplicação no final de 24 meses foi de $13.450,00. Todos os cálculos devem ser 
feitos no regime de juros simples, com as taxas de juros sendo aplicadas sobre o principal 
de $10.000,00. 
Resposta: Seis meses. 
 
 
 
 
 
 
17 
 
Prof. José Carlos Morilla. 
4. Depreciação 
 
A depreciação é o método para determinar o custo do capital de um equipamento por 
mais de um período. O valor de equipamentos e instalações diminui ao longo do tempo em 
função da redução de sua vida útil. A essa redução, dá-se o nome de depreciação. 
É possível encontrar alguns métodos para determinar o valor remanescente de um 
bem após um período. Dentre os métodos existentes, temos o Método da Linha Reta ou 
Depreciação Constante, Método das Quotas Degressivas ou Depreciação Acelerada; Método 
da Soma dos Dígitos Anuais; Método da Depreciação Desacelerada. 
 
4.1. Método da linha reta. 
 
No Método da Linha Reta a redução do valor do bem é feita por quantidades 
uniformes em cada período. Chamando de V o valor do bem e de n o número de períodos de 
vida útil, a depreciação por período (D) é dada por 
𝐷 =
𝑉
𝑛
 
Outra forma de expressar a depreciação em linha reta é a redução da porcentagem do 
valor do bem em cada período (p), que pode ser representada por 
 
𝑝 = (
1
𝑛
) ∗ 100% ⟹ 𝐷 = 𝑝 ∗ 𝑉 
 
 Nesse tipo de depreciação, o valor remanescente do bem no período n (Vn) é 
determinado por: 
𝑉𝑛 = 𝑉 − ∑ 𝐷𝑖
𝑛
𝑡=1
 
 
 Graficamente, a depreciação em linha reta pode ser representada por uma linha reta, 
como mostra a Figura 4 a seguir. 
18 
 
Prof. José Carlos Morilla. 
1 2 3
2
0
4
0
6
0
8
0
t
Vn
(tempo - anos)
1
0
0
V
4
D
D
D
D
 
Figura 4 – Depreciação em linha reta. 
 
4.2. Método da depreciação acelerada. 
 
Este método considera que o valor de um bem ou serviço decresce mais rapidamente 
no início da sua vida e menos rapidamente no final. Neste método, multiplica-se uma 
percentagem fixa pelo valor contabilístico em cada ano, de forma a determinar o montante 
de depreciação nesse ano. Assim, o valor de depreciação no ano n, é dado por: 
𝐷𝑛 = 𝑖𝑛 ∙ (1 − 𝑖𝑛)
(𝑛−1) ∙ 𝑉 
 
Em que 𝑖𝑛 é a taxa anual de depreciação e 𝐷𝑛 é o valor da depreciação no ano n. 
 Da mesma forma que na depreciação em linha reta, o valor contabilístico no ano 𝑛 é 
dado pela expressão: 
𝑉𝑛 = 𝑉 − ∑ 𝐷𝑖
𝑛
𝑡=1
 
 
Graficamente, a depreciação em linha reta é representada pela linha apresentada na 
Figura 5 a seguir. 
19 
 
Prof. José Carlos Morilla. 
1 2 3
2
0
4
0
6
0
8
0
t
Vn
(tempo - anos)
1
0
0
V
4
D
1
D
2
D3
 
Figura 5 – Depreciação acelerada 
 
4.3. Método da soma dos dígitos. 
 
Este método considera que a depreciação é função de uma constante (𝑘) determinada 
por: 
𝑘 =
𝑉 − 𝑉𝑛
∑ 𝑛
 
sendo ∑ 𝑛 a soma dos números de períodos em que irá ocorrer a depreciação. 
 Com isso, o valor da depreciação em cada período é igual ao produto entre a 
constante (𝑘) e o número de períodos que restam. Ou seja: 
d1=k×n ⟹ depreciação no primeiro período 
d2=k×(n-1)⟹ depreciação no segundo período 
d3=k×(n-2)⟹ depreciação no terceiro período 
d4=k×(n-3)⟹ depreciação no quarto período 
 
 
4.4. Método exponencial. 
 
Este método considera que a depreciação é função de uma constante (𝑘) determinada 
por: 
20 
 
Prof. José Carlos Morilla. 
𝑎 = 1 − √
𝑉𝑛
𝑉
𝑛
 
𝑉𝑛 = V ∙ (1 − a)
n 
 
4.5. Exercícios – Lista 3 
 
37. Defina Depreciação. Explique por que a depreciação é considerada como uma origem de 
recursos. 
 
38. Uma Empresa de transporte pretende renovar periodicamente sua frota sabendo que as 
características da frota são: 
. O veículo novo custa Cr$ 100.000,00 
. A depreciação é exponencial, 20% a.a. 
. A taxa de juros é 10% a.a. 
. O custo de operação cresce com a idade do veículo: 
Sabendo-se que a renovação da frota se fará sempre mediante a compra de carros novos, 
com que idade os veículos deverão ser substituídos. 
(Resposta: Os veículos deverão ser substituídos com 3 Anos). 
 
39. Uma mandriladora deve ser instalada por um custo de $10.000.000. A sua manutenção é 
estimada em $5.500.000 (custo de operação, manutenção etc.) crescendo 6% a cada ano 
que passa. Se a taxa de juros for igual a zero e o valor residual for $2.000.000 para 
qualquer ano; qual será a vida econômica do equipamento? 
( Resposta: A vida econômica do equipamento é de 6 anos). 
 
40. Uma fábrica de embalagem está analisando a troca de alguns equipamentos. O novo 
plano é a instalação de um equipamento para produzir uma nova lata que consome 
menos energia e menos metal do que a antiga. Os equipamentos atuais foram instalados 
a 5 anos por $ 100 milhões e podem ser vendidos por $ 35 milhões. Devido a 
obsolescência a depreciação anual deste equipamento se resulta em de $ 4 milhões para 
os próximos anos. Se permanecer com este equipamento por mais um ano seus custos 
de operação e manutenção serão de $65 milhões aumentando $3 milhões/ano a cada ano 
seguinte. O novo equipamento custará $130 milhões, com vida econômica igual a 8 anos 
e valor residual de $10 milhões. Seus custos de operação e manutenção serão de $49 
milhões. Para uma TMAR = 15% a.a. o novo equipamento deve ser instalado? Faça uma 
recomendação a respeito. 
(Resposta: A solução seria utilizar o equipamento atual por mais dois anos e depois trocá-
lo por um equipamento novo.) 
 
21 
 
Prof. José Carlos Morilla. 
41. Um equipamento foi comprado por R$ 15.000,00. Este equipamento será usado durante 
quatro anos e no final deste último o valor residual será igual a R$ 5.000,00. Determine a 
depreciação em cada ano pelos métodos: linear, soma dos dígitos e exponencial e monte 
uma tabela comparando o valor ano a ano. 
42. Uma empresa necessita de um equipamento para sua linha de produção que custa R$ 
600.000,00 e possui uma vida útil de 4 anos. Depreciando, pelo modelo linear, de 
maneira que o valor residual no final do quarto ano seja R$ 100,000.00; determinar: 
a. O valor do equipamento após dois anos e meio de uso; 
b. A depreciação do segundo ano; 
c. A depreciação do segundo ano caso a depreciação fosse feita pelo modelo da 
soma dos dígitos e 
d. A depreciação do segundo ano caso a depreciação fosse feita pelo modelo 
exponencial. 
 
43. Uma empresa executará um serviço para um cliente durante os próximos5 anos e para 
isto necessita um equipamento que custa R$ 400.000,00. Sabe-se, também, que seus 
acessórios, necessários para a operação, custam R$ 50.000,00. Este equipamento 
deprecia, segundo um modelo linear a uma taxa de 10% a.a. (tomando como base o 
valor de compra). Determinar: 
a. Em quanto tempo o equipamento terá um valor igual à metade do seu valor de 
compra. 
b. Qual é a depreciação em cada ano, calculada pelo modelo da soma dos dígitos, 
quando o valor residual é a metade do valor de compra, após cinco anos de uso 
c. Qual é a depreciação em cada ano, calculada pelo modelo da depreciação 
exponencial, quando o valor residual é a metade do valor de compra, após cinco 
anos de uso. 
 
44. Uma empresa está estudando a viabilidade de utilização durante os próximos seis anos de 
um equipamento que com todos os acessórios custa R$ 120.000,00. A instalação custa 
R$ 30.000,00 e se sabe que esse conjunto deprecia linearmente 15% a.a. Para esta 
situação determinar. 
a. Em quanto tempo o valor residual será igual a zero. 
b. Após os seis anos, qual o valor residual. 
c. Qual a depreciação do quarto ano calculado pelos três modelos de depreciação. 
45. Uma empresa necessita de um certo equipamento que novo custa R$ 600.000,00 e sua 
vida é de quatro anos. Quando é feita uma depreciação linear, no final do quarto ano o 
valor residual é de R$ 100.000,00. Sabendo-se que a taxa de remuneração de capital é 
15% ao ano, pede-se: 
a. O valor do equipamento após dois anos de uso 
b. A depreciação do segundo ano 
c. A taxa de depreciação exponencial para este equipamento. 
22 
 
Prof. José Carlos Morilla. 
d. Resolva os itens a e b com o modelo da soma dos dígitos. 
 
46. Uma empresa vai executar um serviço para um cliente nos próximos quatro anos e para 
isto necessita um equipamento que custa R$ 400.000,00. Os acessórios necessários para 
a operação custam R$ 80.000,00 e as despesas com a instalação somam R$ 20.000,00. 
Esse conjunto, deprecia a uma taxa de 10% ao ano. Sabendo-se que a taxa de juros real 
é de 15% ao ano, determinar: 
a. O valor do equipamento no final do terceiro ano. 
b. O valor do equipamento no final do contrato. 
c. O valor do equipamento no final do segundo ano. Faça uma comparação entre o 
método de depreciação proposto e os métodos: linear; soma dos dígitos e 
exponencial. 
 
47. Uma empresa está estudando a viabilidade da utilização nos próximos cinco anos de um 
equipamento que custa R$ 600.000,00. Os acessórios custam R$ 100.000,00 e a 
instalação demanda R$ 30.000,00. No final do contrato o equipamento deverá ser 
vendido pelo seu valor residual calculado por uma depreciação de 15% ao ano. Pelo 
contrato que a empresa irá obter, oriundo da aquisição do equipamento, no final de cada 
ano ela espera receber, livre de despesas e impostos, R$ 60.000,00. Sabendo-se que a 
taxa de juros reais é de 1% ao mês capitalizados mensalmente, determinar o resultado 
da operação. 
 
48. Um equipamento custa R$ 800.000,00 e deprecia, segundo o modelo exponencial a uma 
taxa de 14% ao ano. Sabendo-se que sua vida útil é de três anos e que a taxa de juros 
reais é de 10% ao ano, determinar: 
a. Qual o valor residual do equipamento no final da vida útil. 
b. Vendido o equipamento no final da vida útil, determinar o capital que representa 
este valor residual. 
c. Qual o mínimo valor, livre de impostos e despesas, que a empresa deve receber no 
final de cada ano para que a operação não ofereça prejuízo 
 
 
23 
 
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5. Sistemas de amortização 
 
No financiamento de um bem ou um serviço atrelado à liberação de recursos 
financeiros, o tomador do financiamento deve restituir ao financiador o valor emprestado 
(principal), acrescido de sua remuneração, que são os juros. 
A forma de devolução, quando feita em parcelas, chama-se sistema de amortização. 
Em qualquer sistema de amortização, cada parcela de pagamento é composta de juros e de 
uma parte do valor principal. 
Dos sistemas de amortização conhecidos, os mais empregados são o Sistema Price, 
conhecido como sistema francês, e o Sistema de Amortização Constante (SAC), conhecido 
como sistema americano. 
No sistema Price, o valor das parcelas é constante. Esse valor é composto de duas 
partes, uma correspondente aos juros, que decresce ao longo do tempo, e outra 
correspondente à amortização, que cresce. O valor das parcelas a serem pagas (𝑃) no 
sistema Price é calculado por 
𝑃 = 𝐶
𝑖(1 + 𝑖)𝑛
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
 
 
sendo 𝐶 o capital financiado, 𝑖, a taxa de juros cobrada no período existente entre o 
pagamento de duas parcelas consecutivas e 𝑛, o número de parcelas do financiamento. 
O gráfico da figura 1 mostra o valor da parcela e a evolução das partes para um 
financiamento de R$120.000,00, a ser pago em 120 parcelas, com uma taxa de juros igual a 
15% ao ano, capitalizado mensalmente. 
 
Figura 1. Composição do valor das parcelas no sistema Price. 
R$ 0,00
R$ 200,00
R$ 400,00
R$ 600,00
R$ 800,00
R$ 1.000,00
R$ 1.200,00
R$ 1.400,00
R$ 1.600,00
R$ 1.800,00
R$ 2.000,00
1 5 9
1
3
1
7
2
1
2
5
2
9
3
3
3
7
4
1
4
5
4
9
5
3
5
7
6
1
6
5
6
9
7
3
7
7
8
1
8
5
8
9
9
3
9
7
1
0
1
1
0
5
1
0
9
1
1
3
1
1
7
Prestação Prestação R$ 1.867,38 Prestação Amortização - Prestação Juros -
24 
 
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Para saber o valor total a ser pago pelo financiamento (M), basta multiplicar o valor 
das parcelas pelo número de parcelas, ou seja, 
 
𝑀 = 𝑃 ∙ 𝑛 → 𝑀 = 𝑛 ∙ 𝐶
𝑖(1 + 𝑖)𝑛
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
 
 
No sistema SAC, o valor das parcelas é variável. Em cada parcela, a amortização é 
constante e a parte correspondente aos juros varia. Os juros são calculados sobre o restante 
da dívida após o pagamento da parcela anterior. 
Nesse sistema, o valor de uma parcela é sempre menor do que o da anterior e maior 
do que o da posterior. A figura 2 mostra os valores das parcelas, os valores das amortizações 
e os valores dos juros para um financiamento de R$120.000,00, a ser pago em 120 vezes, 
com taxa de juros igual a 15% ao ano e capitalização mensal. 
 
Figura 2. Composição do valor das parcelas no sistema SAC. 
 
No sistema SAC, o valor de determinada parcela (𝑅𝑘) pode ser calculado da seguinte 
maneira: 
𝑅𝑘 =
[𝐶 −
𝐶
𝑛
(𝑘 − 1)] [1 + 𝑖 ∙ (𝑛 − 𝑘 + 1)]
𝑛 − 𝑘 + 1
 
 
R$ 0,00
R$ 500,00
R$ 1.000,00
R$ 1.500,00
R$ 2.000,00
R$ 2.500,00
R$ 3.000,00
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97 101105109113117
Amortização - Juros - Prestação -
25 
 
Prof. José Carlos Morilla. 
sendo 𝐶 o capital financiado, 𝑖 a taxa de juros, cobrada no período entre o pagamento de 
duas parcelas consecutivas, 𝑛 o número de parcelas do financiamento e k a parcela. 
O gráfico da figura 3 mostra a comparação entre os valores das parcelas de um 
financiamento de R$120.000,00, a ser pago em 120 parcelas, com taxa de juros igual a 15% 
ao ano e capitalização mensal pelos sistemas PRICE e SAC. 
 
Figura 3. Valores das parcelas no sistema PRICE e no sistema SAC. 
 
Para chegar ao valor total a ser pago pelo financiamento (M), utiliza-se a equação 
 
𝑀 = 𝐶 [1 +
𝑖(𝑛 + 1)
2
] 
 
Segundo Silva e Cruz (2008), com taxas de juros iguais, o valor total pago em um 
financiamento feito pelo sistema PRICE resulta em um valor maior do que o pago em um 
financiamento pelo sistema SAC. Por exemplo, o valor total a ser pago em um financiamento 
de R$120.000,00, dividido em 120 parcelas com uma taxa de juros igual a 15% ao ano, 
capitalizado mensalmente pelos sistemas PRICE, é igual a R$224.085,60; no sistema SAC, o 
valor total fica R$205.050,90. 
 
 
 
 
 -
 500,00
 1.000,00
 1.500,00
 2.000,00
 2.500,00
 3.000,00
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97 101105109113117
Comparação - Sistema Pirce e SAC
SAC PRICE
26 
 
Prof. José Carlos Morilla. 
5.1. Exercícios – Lista 449. Elabore os esquemas de pagamento de um empréstimo de R$ 20.000,00, à taxa de 3,0% 
ao mês, para o prazo de 4 meses, para os sistemas de amortização PRICE e SAC. 
 
50. Um empréstimo de R$ 100.000,00 será pago pelo sistema de amortização francês em 
cinco prestações mensais postecipadas com uma carência de dois meses com pagamento 
de juros. Se a taxa de juros for de 5% a.m. 
 
51. Um empréstimo de R$ 100.000,00 será pago pelo sistema de amortização francês em 
cinco prestações mensais postecipadas com uma carência de dois meses sem pagamento 
de juros. Se a taxa de juros for de 5% a.m. 
 
52. Elabore o esquema de pagamento de um empréstimo de R$ 100.000, à taxa de 15% ao 
ano, pelo SAC, em 4 anos, com carência de 2 anos, com pagamento de juros. 
 
53. Elabore o esquema de pagamento de um empréstimo de R$ 100.000, à taxa de 15% ao 
ano, pelo SAC, em 4 anos, com carência de 2 anos, sem pagamento de juros. 
 
54. Certo indivíduo, contraiu uma dívida no valor de R$ 200.000,00, a ser resgatada em 2 
anos, em parcelas mensais, considerada a taxa de 12% a.a.c.m. Construa o Quadro de 
amortização para cada um dos seguintes sistemas de amortização: 
a. Método Francês 
b. Sistema de Amortização Constante 
c. Sistema de Amortização Mista (proporção de 40 % de TP e 60% SAC) 
55. Certo indivíduo, contraiu uma dívida no valor de R$ 200.000,00, a ser resgatada em 2 
anos, em parcelas mensais, com carência de um ano, de amortização e juros, à taxa de 
12% a.a.c.m. Construa o Quadro de Amortização para cada um dos seguintes sistemas 
de amortização: 
a. Método Francês 
b. Sistema de Amortização Constante 
c. Sistema de Amortização Mista (proporção de 40 % de TP e 60% SAC) 
 
56. Certo indivíduo, contraiu uma dívida no valor de R$ 200.000,00, a ser resgatada em 2 
anos, em 24 parcelas mensais e 4 parcelas semestrais de R$ 20.000,00, à taxa de 12% 
a.a.c.m. Construa o Quadro de Amortização para cada um dos seguintes sistemas de 
amortização: 
a. Método Francês 
b. Sistema de Amortização Constante 
c. Sistema de Amortização Mista (proporção de 40 % de TP e 60% SAC) 
 
27 
 
Prof. José Carlos Morilla. 
57. Seja o caso de um empréstimo de R$ 200.000,00, à taxa de juros compostos de 6% a.a., 
a ser amortizado segundo o método francês por meio de 10 prestações anuais, a primeira 
vencendo-se um ano após a data em que foi assumido o compromisso. Se o devedor 
resolver saldar sua dívida, de uma só vez, logo após e logo antes do pagamento da 6ª 
prestação, quanto terá de pagar? 
 
58. Seja o caso de um empréstimo de R$ 100.000,00, à taxa de juros compostos de 12% 
a.a., a ser amortizado por meio de 10 prestações anuais, a primeira vencendo-se 1 ano 
após a data em que foi assumido o compromisso. Se o devedor resolver saldar sua dívida, 
de uma só vez, logo após e logo antes do pagamento da 6ª prestação, quanto terá de 
pagar? Resolva utilizando o método de amortização: 
a. SAC 
b. SAM (proporção de 40 % de TP e 60% SAC) 
59. Um banco concede um financiamento de RS 125.518,57 para ser liquidada 
em nove pagamentos mensais pelo SAC. A operação é realizada com carência 
de cinco meses, sendo juros capitalizados neste período e incorporados ao 
saldo devedor. A taxa efetiva de juros é 27,8% a.a. Construir a planilha deste 
financiamento. 
 
60. Um empreendimento obteve um financiamento de R$ 245.000,00 do banco 
BV- S.A., para ser amortizado em seis parcelas anuais pelo SAC. O 
financiamento foi concedido sem carência. A taxa de juros do banco é 18,7% 
aa e o IOF de 6,4%a.a, incidente sobre o valor do crédito e pago quando da 
liberação dos recursos. Elabore a planilha do empréstimo levando-se em conta 
os encargos adicionais cobrados. 
 
 
61. Construir uma tabela referente à composição das parcelas de um 
financiamento a $156.278,16; em oito parcelas iguais a taxa de 2,1% ao mês, 
pelo sistema PRICE. 
 
62. Um financiamento de R$ 19.871,02 deverá ser amortizado em quatro 
meses com taxa de juros de 0,8% a.m. Faça a planilha de amortização pelo 
Sistema Francês de Amortização - Tabela PRICE 
 
 
 
 
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6. Análise de investimento 
 
Considerando que todo investimento deve gerar valor para o investidor, se faz 
necessário analisar um possível investimento antes de sua efetivação. Dentre os métodos de 
análise conhecidos, os mais conhecidos são os métodos: do Valor Presente Líquido (VPL), da 
Taxa Interna de Retorno (TIR) e o do Payback. 
 
6.1. Valor Presente Líquido (VPL) 
 
O VPL indica o valor atual de uma série uniforme de capitais futuros, descontados à 
determinada taxa de juros compostos, por seus respectivos prazos. 
O 𝑉𝑃𝐿 é uma técnica que considera o valor do dinheiro no tempo. Ele representa o 
valor presente dos fluxos de caixa futuros reduzido do valor presente do custo do 
investimento a uma taxa estipulada. 
Essa taxa, denominada taxa de desconto, retorno exigido, Taxa mínima de 
atratividade, custo de capital ou custo de oportunidade, é o retorno mínimo que deve ser 
obtido em um projeto para que o valor de mercado da empresa fique inalterado. 
O VPL pode ser determinado por 
 
𝑉𝑃𝐿 = ∑
𝐹𝐶𝑗
(1 + 𝑖)𝑗
𝑛
𝑗=0
− 𝐼0 
sendo 
• i a taxa de desconto; 
• j o período genérico, percorrendo todo o fluxo de caixa; 
• FCj o fluxo no período j, que pode ser positivo (entradas) ou negativo (saídas); 
• VPL o valor presente líquido descontado; 
• n o número de períodos do fluxo; 
• 𝐼0 o investimento inicial. 
 
Nesse tipo de análise, considera-se que o investimento retornará o mínimo esperado 
quando o VPL for igual a zero. Caso o VPL seja menor do que zero, o retorno do 
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investimento será menor do que o esperado. Caso o VPL seja maior do que zero, o retorno 
será maior. 
O investimento valerá a pena se o VPL for positivo, pois, ao longo de determinado 
período, seu rendimento foi maior do que o investidor desejaria, considerando-se uma taxa 
mínima desejada, conhecida como taxa mínima de atratividade (TMA). Quanto maior o VPL, 
maior é o retorno, além do mínimo desejado, do projeto. 
Analogamente, caso o VPL seja negativo, o investimento não valerá a pena, pois ele 
teria rendido menos do que o investidor desejaria. Com o VPL nulo (igual a zero), a 
realização do investimento é indiferente. 
Em outras palavras, para analisar um projeto, deve-se considerar o fato de se perder 
a oportunidade de auferir retornos pela aplicação do mesmo capital em outros negócios ou 
no mercado financeiro. 
Dentre dois projetos analisados, caso seja utilizado o VPL, o melhor é aquele que 
apresenta o maior valor para o VPL. Assim, quando o VPL é utilizado nas decisões de aceitar 
ou rejeitar um investimento, as seguintes regras são seguidas. 
• Se o VPL é maior ou igual a zero, o projeto pode ser aceito. 
• Se o VPL é menor do que zero, o projeto pode ser rejeitado. 
 
6.1.1. Índice de lucratividade (IL). 
 
O índice lucratividade (IL) é obtido pelo quociente entre o VPL e o investimento inicial, 
ou seja: 
𝐼𝐿 =
𝑉𝑃𝐿
𝐼0
 
 Entre dois projetos, deve ser escolhido o projeto de maior IL. 
 
6.2. Taxa Interna de Retorno (TIR). 
 
Outra maneira de analisar a viabilidade de um projeto é pela Taxa Interna de Retorno 
(TIR), que é a taxa que torna nulo o valor presente líquido dos fluxos de caixa. A TIR 
encontrada (independe da taxa de juros do mercado) deve ser comparada à TMA. 
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A taxa interna de retorno (TIR) é um índice para a rentabilidade de um investimento 
por unidade de tempo. Ela representa a taxa de juros compostos que retorna o VPL de um 
investimento com valor 0 (zero). 
Para aceitar o investimento, a TIR deverá ser maior do que a TMA. 
A taxa interna de retorno (TIR) é frequentemente utilizada nas avaliações de 
orçamentos de capital, mas seu cálculo manual é muito mais difícil do que o do VPL, pois 
envolve uma técnica complexa de tentativa e erro. 
A TIR podeser determinada pela mesma expressão utilizada na determinação do VPL. 
Vale destacar que, nesse caso, a expressão tem valor igual a zero, ou seja, 
 
0 = ∑
𝐹𝐶𝑗
(1 + 𝑖)𝑗
− 𝐼0
𝑛
𝑗=0
 
 
Nas decisões entre aceitar ou rejeitar um investimento, temos: 
• Se a TIR é maior do que o custo do capital, o projeto pode ser aceito. 
• Se a TIR é menor do que o custo do capital, o projeto pode ser rejeitado. 
De forma geral, quanto maior for a TIR, maior é o retorno do investimento. Dentre 
dois projetos analisados que utilizam a TIR, o melhor é aquele que apresenta o maior valor 
da TIR. 
 
6.3. Payback ou Período de recuperação. 
 
O payback é um indicador do prazo de recuperação de um investimento. O payback 
não é indicado para a seleção entre alternativas de investimento. Ele deve ser combinado 
com outros indicadores para poder demonstrar informações, como, por exemplo, a relação 
entre valor e tempo de retorno dos investimentos. A determinação do tempo de retorno do 
investimento de uma série de receitas uniformes é feita pela razão entre o investimento e as 
receitas. 
Comparando dois projetos, por meio do payback, aquele que oferece maior 
atratividade ao investidor é o que apresenta o menor tempo de retorno do investimento. 
Os períodos de recuperação são comumente utilizados na avaliação de investimentos. 
Essa técnica mostra o tempo necessário para que a empresa recupere seu investimento 
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inicial em um projeto, ou seja, ela mostra quanto tempo será necessário para que o retorno 
seja igual ao montante do investimento. 
 
6.3.1. Payback simples. 
 
O período de recuperação é alcançado quando a soma parcial dos retornos alcança o 
valor do investimento. 
𝑛𝑝𝑏 =
𝐼0
𝐹𝐶𝑗
 
Com base nessa técnica, um projeto deve ser aceito quando o período for menor que 
o máximo aceitável para a recuperação do investimento. Caso contrário, o projeto deve ser 
rejeitado. 
 
6.3.2. Payback descontado. 
 
É quase o mesmo que o payback simples, mas antes de calculá-lo, primeiro deve ser 
descontado o fluxo de caixa que reduz os pagamentos futuros pelo seu custo de capital. 
 
Comparando dois projetos, por meio do payback, aquele que oferece maior 
atratividade ao investidor é o que apresenta o menor tempo de retorno do investimento 
Deve ser ressaltado, que esse método não leva em conta o custo do dinheiro no 
tempo. 
 
6.4. Exercícios – Lista 5 
 
63. A Indústria de cadernos Escreve Bem Ltda., está analisando a perspectiva de um novo 
empreendimento, o que permitirá alavancar as suas vendas. Sabe-se que o custo de 
capital da empresa e igual a 10% ao ano e o fluxo de caixa operacional liquido esta 
estimado na tabela apresentada a seguir: 
 
Anos 0 1 2 3 4 
Valores (2.525.000) 618.750 664.387 712.930 1.905.789 
 
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DIAGRAMA DO FLUXO DE CAIXA 
 
 1.905.789 
 
 712.930 
 
 664.387 
 
 618.750 
 
 
 
 
 0 
 1 2 3 4 
 
 2.525.000 
 
 Pede-se: Determinar o Valor Presente Liquido (VPL)? 
 
64. Abaixo são apresentados os fluxos de caixa líquidos de três projetos de investimentos 
selecionados pela empresa JRQ Brinquedos Ltda. O custo do capital esperado é de 25% 
ao ano; 40% ao ano 
 
 
 
 
PROJETOS 
Valor 
Investimento 
Inicial 
FLUXOS DE CAIXA LÍQUIDOS 
Ano 0 Ano1 Ano2 Ano3 Ano 4 Ano 5 
I -1.500. 300. 700. 1.000 600 800 
II -1.500. 400. 500. 600 1.100 1.300 
III -1.500. 800. 700. 500 2.000 1.500 
 
Calcular o VPL efetivo de cada uma das propostas. 
 
65. A Indústria Saboó Ltda, precisa decidir entre a compra de dois equipamentos com as 
seguintes características: 
 
INFORMAÇÕES EQUIPAMENTO – A EQUIPAMENTO - B 
Investimento Inicial $ 120.000 $ 150.000 
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Fluxo de Caixa Líquido $ 24.000 $ 30.000 
Vida Econômica ( anos) 12 12 
 
Foi estimado um Custo do Capital de 8% ao ano. Determinar o Valor Presente Líquido de 
cada projeto. 
 
66. A empresa Agropecuária São Jorge Ltda estudava a possibilidade de aquisição de novas 
matrizes de gado leiteiro. O investimento inicial estava orçado em R$ 40.000. 
Contabilmente, admitia-se que a depreciação das matrizes poderia ser feita em um 
horizonte de cinco anos. No fim da vida útil, seriam vendidas por R$ 8.000 para abate. A 
alíquota do Imposto de Renda da empresa é igual a 25% e seu custo de capital é igual a 
36% a.a. As receitas incrementais associadas ao investimento estão estimadas em R$ 
60.000, com crescimento previsto em R$ 5.000 por ano. Sabe-se que os custos variáveis 
são estimados em 40% das receitas e os custos fixos em R$ 15.000 por ano. Pede-se: 
a) elaborar o fluxo de caixa do projeto b) analisar a viabilidade do investimento com 
base no valor presente liquido. 
 
67. Um Banco de investimentos realiza suas operações com uma taxa efetiva de juros de 8% 
ao ano no regime de juros compostos, e oferece ao investidor os recebimentos futuros 
indicados no fluxo de caixa a seguir. Determinar o valor do investimento inicial para que 
essa aplicação seja remunerada com taxa efetiva de 8% ao ano? R$ 394 
 
Ano1 Ano2 Ano3 
30 30 430 
 
68. A Corporação Mangaba Doce S. A. mantém seus recursos financeiros sempre aplicados a 
uma taxa de 22% ao ano, no regime de juros compostos, e tem a possibilidade de 
liquidar antecipadamente uma divida , caracterizada pelo fluxo de caixa apresentado a 
seguir: Pede-se calcular o valor Maximo que pode ser pago antecipadamente por essa 
divida para que a remuneração da empresa de R$ 187,322não seja prejudicada. 
 
Ano 0 1 2 3 4 
- -70.000 -80.000 -40.000 120.000 
 
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69. As estimativas do projeto formaram o fluxo de caixa operacional líquido registrado na 
tabela abaixo. Se o custo de capital for igual a 16% ao ano, qual deveria ser o valor 
Maximo do investimento que permitiria aceitar o projeto: 
 
 
Ano 
Fluxo de Caixa 
Operacional 
Líquido 
1 7.000 
2 7.500 
3 8.200 
4 9.000 
5 12.000 
 
70. O gerente de marketing está imaginando que a inovação proposta num produto da 
empresa que está sem fase de exaustão deverá dar um novo impulso de vendas neste 
produto. As estimativas preliminares durante quatro anos mostram que os retornos 
depois dos impostos serão iguais a $ 125.000 por ano. Se para esse tipo de projeto, a 
empresa exige que seja aplicado à taxa requerida de 14% ao ano, determinar o valor 
máximo do investimento na data zero que conseguiria um VPL igual a $ 50.000,00? R$ 
314.214,04. 
 
71. Considere os seguintes projetos: a) O Projeto P (de pequeno) custa R$ 10.000 em t=0 e 
deve render R$ 16.500 ao final de um ano. b) O Projeto G (de grande) custa R$ 100.000 
e deve render R$ 115.500 depois de um ano. A um custo de 10% do capital, qual o valor 
presente líquido e a taxa interna de retorno destes dois projetos? Qual dos dois projetos 
apresenta maior "margem de segurança"? 
 
72. Você é o analista financeiro da Seventh Stage Computation Engineering S.A. O 
responsável pelo orçamento de capital pediu-lhe que analisasse dois investimentos de 
capital propostos, os projetos X e Y. Cada projeto tem um custo de R$ 10.000 e um custo 
do capital de 12% a.a. Os fluxos de caixa líquidos esperados dos dois projetos são os 
seguintes: 
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a) Para cada projeto, calcule o payback, o payback modificado, o valor presente líquido 
(NPV), a taxa interna de retorno (TIR) e a taxa interna de retorno modificada. 
b) Qual projeto(s) deve(m) ser aceito(s) se forem independentes? 
c) Qual projeto deve ser aceito se eles forem mutuamente excludentes? 
d) Como uma variação no custo do capital poderia produzir um conflito entre as ordenações, 
de acordo com o VPL e com a TIR, desses dois projetos? 
e) Por que existe o conflito? 
 
73. A Seventh Stage Computation Engineering S.A. precisa escolher entre umaempilhadeira a 
gasolina ou a baterias elétricas para movimentar materiais em sua fábrica. Como as duas 
empilhadeiras desempenham a mesma função, a empresa escolherá somente uma delas. 
A empilhadeira movida a baterias custará R$ 22.000,00 e a empilhadeira movida a 
baterias custará R$ 17.500,00. O custo do capital aplicável a ambos os investimentos é 
de 12% a.a. A vida útil estimada para os dois tipos de empilhadeira é estimada em seis 
anos, tempo durante o qual os fluxos de caixa líquidos para a empilhadeira movida a 
bateria será de R$ 6.290 por ano e o da empilhadeira a gasolina será de R$ 5.000,00 por 
ano. Os fluxos de caixa líquidos anuais incluem as despesas de depreciação. Calcule o 
NPV e a TIR para cada tipo de empilhadeira e decida qual delas recomendar. 
 
74. Sua divisão está analisando dois projetos de investimentos, cada um dos quais exige 
gastos adiantados de R$ 25 milhões. Você estima que o custo do capital é de 10% a.a. e 
que os investimentos produzirão os seguintes fluxos de caixa líquidos: 
 
 
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Prof. José Carlos Morilla. 
a) Qual é o payback simples para cada um dos projetos? 
b) Qual é o payback descontado para cada um dos projetos? 
c) Se os dois projetos são independentes e o custo do capital é de 10%, qual projeto ou 
projetos deve ser empreendido pela empresa? 
d) Se os dois projetos são mutuamente excludentes e o custo do capital é de 5% a.a., 
qual projeto deveria ser empreendido pela empresa? 
e) Se os dois projetos são mutuamente excludentes e o custo do capital é de 15% a.a., 
qual projeto deveria ser empreendido pela empresa? 
f) Qual é a TIR de cada projeto? g) Se o custo do capital é de 10% a.a., qual é a TIR. 
 
 
 
 
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Prof. José Carlos Morilla. 
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