68 20100810 220228 2010 2 ep 3 mf tutor

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Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
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MF – 2010/2 – EP 3 
Gabarito 
 
1) Uma duplicata de valor nominal igual a R$ 800,00, foi descontada a uma taxa de juros simples de 
% 24 ao ano cinco meses antes do vencimento. Determine o valor do desconto e o valor 
descontado, se for considerado o critério do; 
 a) desconto comercial ou por fora; 
 b) desconto racional ou por dentro. 
Solução: 
Temos que: 





=
=
=
) 24
 5
min00800
desconto( taxa de % ao ano i
ecipação)azo de antmeses ( prn
lo )al do títuo ( valor n,N
 
 No regime de juros simples, taxas equivalentes também são proporcionais e como 
meses 12 ano 1 = , então a taxa mensal i equivalente à taxa de % 24 ao ano será dada por 
% 2
12
24
==i ao mês. 
a) Sabemos que no desconto comercial simples, o desconto cd pode ser obtido através da relação 
niNcd ××= , onde N é o valor nominal, n é o prazo de antecipação e i a taxa unitária da 
operação. Logo nesse caso temos que ⇒××= 502,000,800cd .00,80=cd . 
O valor atual ou valor descontado A pode ser obtido através da relação cdNA −= . Nesse caso 
então temos que 00,7208000,800 =⇒−= AA . 
 
b) Sabemos que no desconto racional simples, a relação entre o valor nominal N e o valor atual A 
é dada através da equação ( ) ( )ni
NAniAN
×+
=⇔×+×=
1
1 . onde N é o valor nominal, n é o 
prazo de antecipação e i a taxa unitária da operação. 
 Nesse caso então, temos que 27,727
502,01
00,800
≅⇒
×+
= AA . 
O desconto racional simples rd pode ser obtido através da relação ANrd −= . 
 2 
Logo, nesse caso temos que: 73,7227,72700,800 =⇒−= rdrd . 
Resposta: 



727,73 R$ e 72,73 R$ b)
720,00 R$ e 80,00 R$ a)
 
 
2) Calcular o valor nominal de um título, com vencimento para um ano e seis meses, cujo desconto 
racional simples, a uma taxa de % 18 ao ano é de 270,00 R$ . 
Solução: 
Temos que: 





=
==
=
) 18
 5,1 6 1
 00270
desconto( taxa de % ao ano i
ipação)o de antecano ( prazmesesen
simples )racionalo ( descont,rd
 
Sabemos que no desconto racional simples, a relação entre o valor atual racional rA e o respectivo 
desconto rd é dada através da equação nirArd ××= , . onde n é o prazo de antecipação e i a 
taxa unitária da operação. Logo nesse caso temos que ⇒××= 5,118,000,270 rA 
00,000.1
27,0
00,270
=⇒= rArA . 
O valor nominal pode ser obtido através da relação 
r
d
r
AN += . Nesse caso então temos que 
00,270.100,27000,000.1 =⇒+= NN 
Resposta: R$ 1.270,00 
 
3) Uma empresa desconta uma duplicata noventa dias antes do seu vencimento, utilizando o 
critério do desconto comercial no regime de juros simples a uma taxa de % 2 ao mês. 
Sabendo-se que a instituição financeira cobra uma comissão de % 2 sobre o valor nominal do 
título e que a empresa recebeu no final da operação um valor líquido de 4.600,00 R$ , determine 
o valor nominal da duplicata. 
Solução: 
Temos que: 





=
==
) 2
 3 90
 00,600.4
simplesjurosadesconto( taxa de % ao mês i
ecipação)azo de antmeses ( prdiasn
recebido)íquido ( valor l
 
Sabemos que no desconto comercial simples, a relação entre o valor atual cA e o valor nominal 
N é dada através da equação ( )niNcA ×−= 1 , onde N é o valor nominal, n é o prazo de 
antecipação e i a taxa unitária da operação. 
 Logo nesse caso temos que o valor atual será dado por ( ) NcANcA 94,0302,01 =⇒×−= . 
 3 
Por outro lado, sabe-se que o banco cobra uma comissão de % 2 sobre o valor nominal do título, 
ou seja, N02,0 . Portando, o valor líquido recebido pela empresa será dado por 
NNN 92,002,094,0 =− . Logo temos que ⇒=⇒=
92,0
00,600.400,700.492,0 NN 00,000.5=N . 
Resposta: R$ 5.000,00 
 
4) A diferença entre os descontos comercial e racional de uma duplicata é de 98,00 R$ , à uma taxa 
de juros simples de % 2 ao mês. Calcular o valor nominal do título, sabendo-se que seu 
vencimento é para sete meses. 
Solução: 
Temos que: 



=
=
) 2
 7 
simplesjurosadesconto( taxa de % ao mês i
ecipação)azo de antmeses ( prn
 
Sabe-se que a diferença entre os descontos comercial simples 
c
d e racional simples 
r
d é igual a 
R$ 98,00, ou seja, 00,98=−
r
d
c
d . 
Por outro lado,, considerando o mesmo prazo de antecipação e a mesma taxa de juros a relação 
entre os descontos comercial simples 
c
d e racional simples 
r
d de um título é dada por 
( ) nirdrdcdnirdcd ××=−⇔×+×= 1 , onde n é o prazo de antecipação e i a taxa unitária da 
operação. 
Logo, temos que ⇒=⇒=××⇒=××
14,0
00,9800,980702,000,98 rdrdnird 
00,700=rd . 
Sabemos que o desconto racional simples por ser obtido através da equação ni
r
A
r
d ××= , onde 
r
A é o valor atual racional do título, n é o prazo de antecipação e i a taxa unitária da operação.. 
Logo, nesse caso temos que ⇒=⇒××=
14,0
00,700702,000,700
r
A
r
A 
00,000.5=
r
A . 
Como 00,700.500,70000,000.5 =⇒+=⇒+= NNrdrAN 
Resposta: R$ 5.700,00 
 
 
 
 4 
5) Uma empresa dispõe de uma duplicata de 2.000,00 R$ , com vencimento para três meses. Ao 
procurar um banco e propor o desconto da duplicata, é informada de que a taxa de desconto 
comercial simples de ano ao % 30 e ainda há uma cobrança de uma taxa de 2 % sobre o valor 
nominal da duplicata para cobrir despesas de administração, cobrada na data do desconto. 
Determine: 
 a) o desconto comercial da operação; 
 b) o valor atual comercial da operação; 
 c) o valor líquido recebido pela empresa; 
d) a taxa linear efetiva de ganho do banco nessa operação. 
Solução: 
Temos que: 





=
=
=
simples)comercial desconto ( taxa de % ao anoi
)ntecipaçãoprazo de a meses ( n
lo )al do títuo ( valor n,.N
30
3
min000002
 
No regime de juros simples, taxas equivalentes também são proporcionais e como meses 12 ano 1 = , 
então a taxa mensal i equivalente à taxa de % 24 ao ano será dada por mês ao % 5,2
12
30
==i . 
Sabemos que no desconto comercial simples, o desconto cd pode ser obtido através da relação 
niNcd ××= , onde N é o valor nominal, n é o prazo de antecipação e i a taxa unitária da 
operação. Logo nesse caso temos que ⇒××= 3025,000,000.2cd 00,150=cd . 
O valor atual comercial cA do título pode ser obtido através da relação cdNcA −= . Nesse caso 
então temos que 00,850.100,15000,000.2 =⇒−= cAcA . 
O banco cobra uma taxa de 2 % sobre o valor nominal da duplicata a título de despesas de 
administração, ou seja, 00,4000,000.202,0 =× . 
Portanto o valor líquido recebido pela empresa será de: 
1.810,0040,00-1.850,00 = . 
Do ponto de vista do banco, essa foi uma operação de um empréstimo de 1.810,00 R$ que renderá 
a juros simples em três meses um montante de 2.000,00 R$ , isto é, um juros de 190,00 R$ . Logo a 
taxa mensal linear i dessa operação será obtida por: 
031667,0
00,000.6
00,190300,000.2190,00 =⇒=⇒××= iii ao mês, isto é, 2,,3≅i % ao mês. 
Resp.: 







mês ao % 3,2 d)
1.810,00 R$ c)
1.850,00 R$ b)
150,00 R$ a)
 
 5 
6) Uma duplicata de valor nominal igual a 2.000,00 R$ , foi descontada a uma taxa de juros 
composto de % 24 ao ano capitalizado mensalmente, seis meses antes do vencimento. 
Determine o valor do desconto e o valor descontado, se for considerado o critério do; 
 a) desconto comercial, bancário ou porfora; 
 b) desconto racional, real ou por dentro. 
Solução: 
A taxa de % 24 ao ano é nominal, pois seu período que é anual é diferente do período de 
capitalização que é mensal. Logo, considerando a relação entre as unidades dessas taxas, a taxa 
efetiva mensal é proporcional a taxa dada, ou seja, como meses 12 ano 1 = , tem-se então que a taxa 
efetiva mensal i será dada por mês ao % 2
12
24
==i . 
Temos então que: 





=
=
=
) 2
 6
min00000.2
desconto( taxa de % ao mês i
ecipação)azo de antmeses ( prn
lo )al do títuo ( valor n,N
 
a) Sabemos que no desconto comercial composto, a relação entre o valor atual cA e o valor 
nominal N é dada por ( )niNcA −×= 1 , onde n é o prazo de antecipação e i a taxa unitária da 
operação. Portanto, nesse caso temos que ( ) 68,771.1602,0100,000.2 ≅⇒−×= cAcA . Temos 
então que o desconto será dado por 32,22868,771.100,000.2 =⇒−= cdcd . 
. 
b) Sabemos que no desconto racional composto, a relação entre o valor nominal N e o valor atual 
rA é dada através da equação ( ) ( )ni
N
rA
nirAN
+
=⇔+×=
1
1 , onde n é o prazo de antecipação 
e i a taxa unitária da operação 
 Nesse caso então, temos que ( ) 94,775.1602,01
00,000.2
≅⇒
+
= rArA . Portando o desconto será dado por 
06,22494,775.100,000.2 =⇒−= cdrd . 
Resposta: 



1.775,94 R$ e 224,06 R$ b)
1.771,68 R$ e 228,32 R$ a)
 
 
7) O desconto racional composto de um título com vencimento para um ano e três meses, é de 
432,95 R$ . Calcular o valor nominal do título, sabendo-se que a taxa empregada foi de 
ano ao % 20 , com capitalizada trimestralmente. 
Solução: 
 6 
A taxa de % 20 ao ano é nominal, pois seu período que é anual é diferente do período de 
capitalização que é trimestral. Logo, considerando a relação entre as unidades dessas taxas, a taxa 
efetiva trimestral é proporcional a taxa dada, ou seja, como s trimestre4 ano 1 = , tem-se então que a 
taxa efetiva trimestral i será dada por . trimestreao % 5
4
20
==i 
Temos que: 





=
===
=
) 5
 5 15 3 1
 95,432
descontoxa deestre ( ta % ao trimi
ção)e antecipa ( prazo dtrimestresmesesmeseseanon
o título )composto dracionaldescontodo ( valorrd
 
Sabemos que no desconto racional composto, a relação entre o valor nominal N e o valor atual rA 
é dada através da equação ( ) ( )ni
N
rA
nirAN
+
=⇔+×=
1
1 , onde n é o prazo de antecipação e i 
a taxa unitária da operação 
 Por outro lado, o desconto é dado por 
r
AN
r
d −= , temos então que ( ) ⇒+−= ni
NN
r
d
1
 
( ) 




+
−×= ni
N
r
d
1
11 . Nesse caso então, temos que ( ) ⇒=





+
−× 95,432505,01
11N 
00,000.2
216474,0
95,43295,432216474,0 ≅⇒=⇒= NNN . 
Resposta: R$ 2.000,00 
 
8) O desconto comercial composto de um título com vencimento para três anos é de 66,704 R$ . 
Calcular o valor nominal do título, sabendo-se que a taxa empregada foi de % 5 ao ano, com 
capitalizações semestrais. 
Solução: 
A taxa de % 5 ao ano é nominal, pois seu período que é anual é diferente do período de 
capitalização que é semestral . Logo, considerando a relação entre as unidades dessas taxas, a taxa 
efetiva semestral é proporcional a taxa dada, ou seja, como semestres 2 ano 1 = , tem-se então que a 
taxa efetiva semestral i será dada por semestre. ao % 5,2
2
5
==i 
Temos que: 





=
==
=
) 5,2
 6 3 
 66,704 
descontoa destre ( tax % ao semei
ão) antecipaç( prazo desemestres anosn
o título )composto dcomercialdescontodo ( valorcd
 
 7 
Sabemos que no desconto comercial composto, a relação entre o valor atual cA e o valor nominal 
N é dada através da equação ( )niNcA −×= 1 . onde n é o prazo de antecipação e i a taxa 
unitária da operação 
Como o desconto é dado por 
r
AN
c
d −= , temos então que nesse caso 
( ) ( )[ ]niN
c
dniNN
c
d −−×=⇒−×−= 111 . 
Portanto, , temos que ( ) ⇒=⇒=




−−× 66,704140932,066,7046025,011 NN 
00,000.5
140932,0
66,704
≅⇒= NN . 
Resposta: R$ 5.000,00 
 
9) A diferença entre os descontos comercial e racional composto de uma duplicata com 
vencimento para um ano e dois meses, a uma taxa de % 9 ao ano capitalizada bimestralmente, 
é de 42,55 R$ . Calcular o valor nominal da duplicata. 
Solução: 
A taxa de % 9 ao ano é nominal, pois seu período que é anual é diferente do período de 
capitalização que é bimestral . Logo, considerando a relação entre as unidades dessas taxas, a taxa 
efetiva bimestral é proporcional a taxa dada, ou seja, como bimestres 6 ano 1 = , tem-se então que a 
taxa efetiva bimestral i será dada por bimestre. ao % 5,1
6
9
==i 
Temos que: 





=
===
=−
) 5,1
 7 14 2 1 
42,55
compostojurosadescontoa destre ( tax % ao bimei
ão) antecipaç( prazo debimestres meseesmeseseanon
rdcd
 
Sabemos que o desconto racional composto pode ser obtido através da equação 
( ) 




+
−×= ni
N
r
d
1
11 e o desconto comercial composto através da equação ( )[ ]niN
c
d −−×= 11 , 
onde N é o valor nominal do título, n o prazo de antecipação e i a taxa da operação. 
 Portanto, temos que ( )[ ] ( ) 




+
−×−−−×=− ni
NniN
r
d
c
d
1
1111 . 
Logo, nesse caso tem-se que ( ) ( ) ⇒=





+
−×−




−−× 42,557015,01
117015,011 NN 
00,000.30
001418,0
55,4242,55001418,0 ≅⇒=⇒= NNN 
 8 
Resposta: R$ 30.000,00 
 
10) Um título deveria sofrer um desconto racional simples de R$ 672,00 quatro meses antes do seu 
vencimento a uma taxa de ano ao % 18 . Todavia, uma negociação levou à troca do desconto 
racional simples por um desconto comercial composto, considerando a mesma taxa, porém 
capitalizada mensalmente Calcule o valor do novo desconto. 
Solução: 
Temos que: 





=
=
=
desconto) de taxa( ano ao % 18
o)antecipaçã de prazo ( meses 4 
) simples racional desconto ( 672,00
i
n
rd
 
Sabemos que no desconto racional simples, o valor do desconto rd pode ser obtido através da 
relação nirArd ××= , onde rA é o valor atual racional simples, n é o prazo de antecipação e i é 
a taxa unitária da operação. 
Nesse caso então, temos que 00,200.11
06,0
00,6724
12
18,000,672 =⇒=⇒××= rArArA . 
Por outro lado, sabemos que o desconto é sempre a diferença entre o valor nominal e o valor atual, 
logo, nesse caso, se N é o valor nominal do título temos então o valor de N será dado por 
00,872.1100,200.1100,672 =⇒−= NN . 
No regime de juros composto, a taxa dada é capitalizada mensalmente, portanto nesse caso a taxa 
informada é nominal, pois seu período que é anual é diferente do período de capitalização que é 
mensal. Logo, considerando a relação entre as unidades de tempo dessas taxas, a taxa efetiva 
mensal é proporcional a taxa dada, ou seja, como meses 12 ano 1 = então, a taxa efetiva mensal i será 
dada por mês ao % 5,1
12
18
==i . 
No desconto comercial composto, a relação entre o valor atual cA e o valor nominal N é dada por 
( ) ( )ni
cANniNcA
−
=⇔−×=
1
1 , onde n é o prazo de antecipação e i a taxa unitária da operação. 
Logo, nesse caso temos que: 
( ) 55,175.11941337,000,872.114015,0100,872.11 ≅⇒×=⇒−×= cAcAcA 
O desconto comercial cd pode ser obtido através da relação cANcd −= . Portanto nesse caso o 
desconto será dado por 45,69655,175.1100,872.11 =⇒−= cdcd . 
Resposta: R$ 695,45