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MF – 2010/2 – EP 4 
Gabarito 
 
1) Uma pessoa faz um empréstimo bancário no valor de 5.184,00 R$ para ser pago em três 
parcelas de mesmo valor, vencíveis a um, dois e três meses após o empréstimo . Determine o 
valor desses pagamentos, sabendo-se que a taxa de desconto comercial simples do banco é de 2 
% ao mês e que foi adotada na operação a data “zero” como data de referência. 
Solução: 
 5.184,00 
 Valor do empréstimo 
 
 0 1 2 3 (meses) 
proposta de 
pagamento x x x 
No diagrama acima, a seta para cima representa o conjunto de capitais da dívida original e as setas 
para baixo o conjunto de capitais formado pela proposta de pagamento. 
Para que não haja prejuízo para nenhuma das partes é necessário que esses conjuntos sejam 
equivalentes. 
Sabemos que dois ou mais capitais diferidos, isto é, com vencimentos em datas diferentes, são 
equivalentes, em certa data de referência (“data focal”), quando a soma dos seus valores nessa data 
for igual. 
Para isso, adotaremos conforme solicitado, a data “zero” como data focal e o critério do desconto 
comercial simples a uma taxa de % 2 ao mês. 
Sabemos que no desconto comercial simples , a relação entre o valor atual cA e o valor nominal N 
é dada por ( ) ( )ni
cANniNcA
×−
=⇔×−×=
1
1 Portanto, nesse caso temos a seguinte equação de 
equivalência: 
( ) ( ) ( ) 5.184,00302,01202,01102,01 =×−××−×+×−× xxx 
 2 
00,800.1
88,2
00,184.500,184.588,2 =⇒=⇒= xxx . 
Resposta: R$ 1.800,00 
 
OBSERVAÇÃO: 
 Nos problemas de equivalência financeira, você utilizará a equação que relaciona o valor 
nominal N de um título (Capital) e o seu valor atual A , que dependerá do regime de 
capitalização, se juros simples ou composto e do critério a ser utilizado, se o do desconto 
comercial ou racional. A dificuldade é saber em cada caso o que será calculado, se N ou A . Se 
o capital for deslocado para o futuro, o valor dado é o valor atual e você deve determinar o valor 
nominal. Por outro lado, se o capital for deslocado para o passado, o valor dado é o valor nominal 
e você deve determinar o valor atual. 
 
2) Uma empresa deve pagar dois títulos: um de 7.200,00 R$ para um mês e outro de 9.600,00 R$ 
para três meses. Entretanto, não podendo resgatá-los no vencimento, propõe ao credor substituí-
los por um único título para cinco meses, sendo o momento deste pagamento definido pelas 
partes como a data de referência da operação. Calcular o valor nominal do novo título, sabendo-
se foi adotada na operação o critério do desconto racional simples a uma taxa de 2,5 % ao mês. 
Solução: 
 9.600,00 
dívida original 7.200,00 
 
 
 0 1 2 3 4 5 ( )meses 
nova proposta de 
pagamento x 
 
No diagrama acima, as setas para cima representam o conjunto de capitais da dívida original e a seta 
para baixo o conjunto de capitais da nova proposta de pagamento. 
Para que não haja prejuízo para nenhuma das partes é necessário que esses conjuntos sejam 
equivalentes. 
Sabemos que dois ou mais capitais diferidos, isto é, com vencimentos em datas diferentes, são 
equivalentes, em certa data de referência (“data focal”), quando a soma dos seus valores nessa data 
for igual. 
 3 
Para isso, adotaremos conforme solicitado, a data “cinco” como data focal e o critério do desconto 
racional simples a uma taxa de 
 ,5% 2 ao mês. 
Sabemos que no desconto racional simples, a relação entre o valor atual rA e o valor nominal N é 
dada por ( ) ( )ni
N
rA
nirAN
+
=⇔+×=
1
1 , onde n é o prazo de antecipação e i a taxa unitária da 
operação Portanto, temos a seguinte equação de equivalência: 
( ) ( ) 00,000.182025,0100,600.94025,0100,200.7 =⇒×+×+×+×= xx . 
Resposta: R$ 18.000,00 
 
3) Uma pessoa possui quatro notas promissórias: 00,050.1 R$ para dois meses, 00,150.2 R$ para 
três meses, 00,300.3 R$ para quatro meses e 00,500.4 R$ para cinco meses. O devedor propõe 
substituí-los por um único título, no valor 00,000.12 R$ . Determine o prazo deste título 
sabendo-se que foi combinado entre as partes a data “zero” como a data de referência da 
operação e taxa de desconto racional simples de % 2 ao mês. 
Solução: 
Seja n o prazo de vencimento do título de 00,000.12 equivalente aos títulos de 00,050.1 para dois 
meses, 00,150.2 para três, 00,300.3 para quatro meses e 00,500.4 para cinco meses, considerando 
a taxa de juros simples de % 2 ao mês, o critério do desconto racional e a data “zero” como data 
focal. 
Sabemos que, no desconto racional simples , a relação entre o valor atual rA e o valor nominal N 
é dada através da equação ( ) ( )ni
N
rAnirAN
×+
=⇔×+×=
1
1 , onde n é o prazo de 
antecipação e i a taxa unitária da operação 
Portanto, a equação de equivalência será dada por: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒×+=×++×++×++×+ n025,01
00,000.12
5025,01
00,500.4
4025,01
00,300.3
3025,01
00,150.2
2025,01
00,050.1
 
⇒
×+
=+++
n025,01
00,000.1200,000.400,000.300,000.200,000.1 
( ) 8
25,0
2225,000,000.12025,0100,000.10 =⇒=⇒=⇒=×+× nnnn meses. 
Resposta: 8 meses. 
 
 
 4 
4) Determinar a taxa mensal para que sejam equivalentes hoje os capitais de 00,000.1 R$ vencível 
em dois meses e 00,500.1 R$ vencível em três meses, considerando-se o desconto comercial 
simples. 
Solução: 
Seja i a taxa mensal que satisfaz as condições do problema. Como no desconto comercial simples a 
relação entre o valor nominal N e o valor atual cA é dada através da equação 
( ) ( )ni
cANniNcA
×−
=⇔×−×=
1
1 , onde n é o prazo de antecipação e i a taxa unitária da 
operação. Portanto, 
( ) ( ) ⇒=⇒−=−⇒×−×=×−× 525451520103100,500.12100,000.1 iiiii 
2,0
25
5
=⇒= ii ao mês ou 20=i % ao mês. 
Resposta: 20 % 
 
5) Uma pessoa deseja substituir três títulos, o primeiro de 2.080,00 R$ vencível em dois meses, o 
segundo de 4.320,00 R$ para quatro meses e o terceiro de 6.720,00 R$ para seis meses, por 
dois outros títulos de iguais valor nominal, vencíveis em três e cinco meses respectivamente. 
Qual o valor nominal comum dos novos títulos, sabendo que a taxa de juros simples da 
operação é de % 2 ao mês e que foi pactuado entre as partes a data “zero” com o data de 
referência. 
Solução: 
 
divida original 6.720,00 
 4.320,00 
 2.080,00 
 0 1 2 3 4 5 6 7 ( )meses 
proposta de 
pagamento 
 
x
 
x
 
No diagrama acima, as setas para cima representam o conjunto de capitais da dívida original e a 
seta para baixo o conjunto de capitais da nova proposta de pagamento. 
Para que não haja prejuízo para nenhuma das partesé necessário que esses conjuntos sejam 
equivalentes. 
 5 
Sabemos que dois ou mais capitais diferidos, isto é, com vencimentos em datas diferentes, são 
equivalentes, em certa data de referência (“data focal”), quando a soma dos seus valores nessa data 
for igual. 
Para isso, adotaremos conforme solicitado, a data “zero” como data focal e a taxa de juros simples 
de % 2 ao mês. O problema não menciona o critério a ser utilizado na equivalência, nesses casos, 
considerando a taxa de juros da operação, trata-se simplesmente de capitalizar ou descapitalizar os 
capitais envolvidos, ou seja, o critério a ser utilizado na equivalência é o do desconto racional 
Sabemos que no desconto racional simples, a relação entre o valor atual rA e o valor nominal N é 
dada por ( ) ( )ni
N
rAnirAN
×+
=⇔×+×=
1
1 Portanto, nesse caso temos a seguinte equação de 
equivalência: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒×++×++×+=×++×+ 602,01
00,720.6
402,01
00,320.4
202,01
00,080.2
502,01302,01
xx
 
78,477.6
852487,1
00,000.1200,000.12852487,1 =⇒=⇒= xxx . 
Resposta: R$ 6.477,78 
 
6) Uma pessoa faz um empréstimo bancário no valor de 76,767.5 R$ para ser pago em três 
parcelas de mesmo valor, vencíveis em um, dois e três meses após o empréstimo . Determine o 
valor desses pagamentos, sabendo-se que a taxa de desconto racional composto do banco é de 
24 % ao ano, capitalizada mensalmente. 
Solução: 
 76,767.5 
 Valor do empréstimo 
 
 0 1 2 3 (meses) 
proposta de 
pagamento x x x 
No diagrama acima, a seta para cima representa o conjunto de capitais da dívida original e as setas 
para baixo o conjunto de capitais formado pela proposta de pagamento. 
Para que não haja prejuízo para nenhuma das partes é necessário que esses conjuntos sejam 
equivalentes. Sabemos que dois ou mais capitais diferidos, isto é, com vencimentos em datas 
diferentes, são equivalentes, em certa data de referência (“data focal”), quando a soma dos seus 
valores nessa data for igual. 
 6 
O critério a ser utilizado na equivalência é o do desconto racional composto a uma taxa de % 24 ao 
ano capitalizada mensalmente. 
Portanto, esta taxa é nominal, pois seu período que é anual é diferente do período de capitalização 
que é mensal logo, considerando a relação entre essas unidades de tempo, a taxa efetiva da operação 
é proporcional a taxa dada, isto é, como meses 12 ano 1 = , então a taxa efetiva i será dada por 
mês. ao % 2
12
24
==i 
Sabe-se que no regime de juros compostos, a escolha da data focal não altera a equivalência. Pode-
se assim escolher a data mais conveniente para os cálculos do problema. Nesse caso vamos optar 
pela data “zero” como data focal. 
Sabemos que no desconto racional composto, a relação entre o valor nominal N e o valor atual rA 
é dada através da equação ( ) ( )ni
N
rA
nirAN
+
=⇔+×=
1
1 , onde n é o prazo de antecipação e i 
a taxa unitária da operação. Temos então a seguinte equação de equivalência: 
( ) ( ) ( ) ⇒=⇒=+++++ 76,767.5883883,276,767.5302,01202,01102,01 x
xxx
 
00,000.2
883883,2
76,767.5
≅⇒= xx . 
Resposta: R$ 2.000,00 
 
7) Uma empresa deve pagar dois títulos: um de 7.200,00 R$ para um mês e outro de 9.600,00 R$ 
para três meses. Entretanto, não podendo resgatá-los no vencimento, propõe ao credor substituí-
los por um único título para cinco meses. Calcular o valor nominal do novo título, sabendo-se foi 
adotada na operação o critério do desconto comercial composto a uma taxa de % 30 ao ano, 
capitalizada mensalmente. 
Solução: 
 9.600,00 
dívida original 7.200,00 
 
 
 0 1 2 3 4 5 ( )meses 
nova proposta de 
pagamento x 
 
 7 
No diagrama acima, as setas para cima representam o conjunto de capitais da dívida original e a 
seta para baixo o conjunto de capitais da nova proposta de pagamento. 
Para que não haja prejuízo para nenhuma das partes é necessário que esses conjuntos sejam 
equivalentes. 
Sabemos que dois ou mais capitais diferidos, isto é, com vencimentos em datas diferentes, são 
equivalentes, em certa data de referência (“data focal”), quando a soma dos seus valores nessa data 
for igual. 
Para isso, adotaremos conforme solicitado, o critério do desconto comercial composto a uma taxa 
de % 30 ao ano, capitalizada mensalmente. 
Portanto, esta taxa é nominal, pois seu período que é anual é diferente do período de capitalização 
que é mensal logo, considerando a relação entre essas unidades de tempo, a taxa efetiva da operação 
é proporcional a taxa dada, isto é, como meses 12 ano 1 = , então a taxa efetiva i será dada por 
mês. ao % 5,2
12
30
==i 
Sabe-se que no regime de juros compostos, a escolha da data focal não altera a equivalência. Pode-
se assim escolher a data mais conveniente para os cálculos do problema. Nesse caso vamos optar 
pela data “cinco” como data focal. 
Sabemos que no desconto comercial composto, a relação entre o valor nominal N e o valor atual 
cA é dada através da equação ( ) ( )ni
cANniNcA
−
=⇔−×=
1
1 , onde n é o prazo de antecipação e 
i a taxa unitária da operação. Temos então a seguinte equação de equivalência: 
( ) ( ) 97,065.182025,01
9.600,00
4025,01
00,200.7
=⇒
−
+
−
= xx 
Resposta: R$ 18.065,9 
 
8) Uma empresa deve pagar dois títulos de 3.000,00 R$ , exigíveis em um e dois anos, 
respectivamente. Entretanto, a empresa pretende substituir os dois títulos por um único de 
6.913,73 R$ . Calcular o prazo desse título, empregando a taxa de desconto racional composto 
de % 20,19 ao ano, capitalizada trimestralmente. 
Solução: 
Considere a taxa de desconto racional composto de % 20,19 ao ano, capitalizada trimestralmente. 
Seja n o prazo de vencimento do título de 6.913,73 equivalente a dois títulos de 3.000,00 , 
vencíveis em um e dois anos respectivamente, isto é, quatro e oito trimestres, respectivamente. 
 8 
A taxa informada pelo problema é nominal, pois seu período que é anual é diferente do período de 
capitalização que é trimestral logo, considerando a relação entre essas unidades de tempo, a taxa 
efetiva da operação é proporcional a taxa dada, isto é, como s trimestre4 ano 1 = , então a taxa 
efetiva i será dada por trimestreao % 8,4
4
20,19
==i . 
Sabe-se que no regime de juros compostos, a escolha da data focal não altera a equivalência. Pode-
se assim escolher a data mais conveniente para os cálculos do problema. Nesse caso, como não 
conhecemos o prazo de um dos títulos a data focal, só pode ser a data “zero”. 
Sabemos que no desconto racional composto, a relação entre o valor nominal N e o valor atual rA 
é dada através da equação ( ) ( )ni
N
rA
nirAN
+
=⇔+×=
1
1 . 
Temos então a seguinte equação de equivalência: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒=⇒=⇒=+ 519926,1048,173,548.4
6.913,73048,1
048,1
6.913,73 
8048,1
00,000.3
4048,1
00,000.3 nn
n 
( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) ⇒=⇒=×⇒= 048,1log519926,1log519926,1log048,1log519926,1log048,1log nnn 
9,8
020361,0
181822,0
≅⇒= nn trimestres ou 2 anos três meses e 18 dias. 
Resposta: 2 anos, 3 meses e 18 dias. 
 
9) Considere o desconto racional composto. Determine a taxa mensal para que sejam equivalentes 
hoje os capitais de 00,000.1 R$ vencível em dois meses e 00,025.1 R$ vencível em três meses. 
Solução: 
Seja i a taxa mensalque satisfaz as condições do problema. Como no desconto racional composto a 
relação entre o valor nominal N e o valor atual rA é dada através da equação 
( ) ( )ni
N
rA
nirAN
+
=⇔+×=
1
1 , onde n é o prazo de antecipação e i a taxa unitária da operação. 
Temos então a seguinte equação de equivalência: 
( ) ( )
( )
( ) mês ao % 5,2ou mês ao 025,0025,1100,000.1
00,025.1
21
31
31
00,025.1
21
00,000.1
==⇒=+⇒=
+
+
⇒
+
=
+
iii
i
i
ii
. 
Resposta: 2,5 % ao mês. 
 
 
 
 9 
10) Uma pessoa toma um empréstimo de 00,000.50 R$ por três anos a uma taxa de juros 
compostos de % 18 ao ano capitalizados trimestralmente. Algum tempo depois, o devedor 
propõe saldar a dívida com três pagamentos anuais iguais, vencíveis no fim do segundo, terceiro 
e quarto anos. Calcular o valor desses pagamentos, sabendo-se que a taxa de juros composto 
desta operação será de % 10 com capitalizações semestrais. 
Solução: 
A empresa contratou um empréstimo de 
 20.000,00 a uma taxa de juros composto de ano, ao % 18 
capitalizada trimestralmente para ser pago em três anos. 
 Portanto, esta taxa é nominal, pois seu período que é anual é diferente do período de capitalização 
que é trimestral logo, considerando a relação entre essas unidades de tempo, a taxa efetiva da 
operação é proporcional a taxa dada, isto é, como s trimestre4 ano 1 = , então a taxa efetiva i será 
dada por 
 trimestreao % 5,4
4
18
==i . Como s trimestre12 anos 3 = então a empresa deverá pagar 
no final do empréstimo um montante M dado 
por ( ) 07,794.8412045,0100,000.50 ≅⇒+×= MM . 
 
 07,794.84 
 
 
dívida original 
 0 2 4 6 8 (semestres) 
 
proposta 0 1 2 3 4 (anos) 
de paga- x x x 
mento 
 
No diagrama acima, a seta para cima representa o conjunto formado pelo capital da dívida original e 
as setas para baixo o conjunto de capitais da nova proposta de pagamento. 
Para que não haja prejuízo para nenhuma das partes é necessário que esses conjuntos sejam 
equivalentes. 
Sabemos que dois ou mais capitais diferidos, isto é, com vencimentos em datas deferentes, são 
equivalentes, em certa data de referência (“data focal”), quando a soma dos seus valores nessa data 
for igual. 
Nesse problema o regime considerado é o de juros composto a uma taxa de desconto é de % 10 
ao ano, capitalizada semestralmente. 
Portanto, esta taxa é nominal, pois seu período que é anual é diferente do período de capitalização 
que é trimestral logo, considerando a relação entre essas unidades de tempo, a taxa efetiva da 
 10 
operação é proporcional a taxa dada, isto é, como semestres 2 ano 1 = , então a taxa efetiva i será 
dada por semestre ao % 5
2
10
==i . 
Sabe-se que no regime de juros composto, a escolha da data focal não altera a equivalência. Nesse 
problema vamos trabalhar com a data focal “zero”. 
O problema não menciona o critério a ser utilizado na equivalência, nesses casos, considerando a 
taxa de juros da operação, trata-se simplesmente de capitalizar ou descapitalizar os capitais 
envolvidos, ou seja, o critério a ser utilizado na equivalência é o do desconto racional. 
Sabemos que, no desconto racional composto , a relação entre o valor atual rA e o valor nominal 
N é dada por ( ) ( )ni
N
rA
nirAN
+
=⇔+×=
1
1 , onde n é o prazo de antecipação e i a taxa 
unitária da operação. Portanto, nesse caso temos a seguinte equação de equivalência: 
( ) ( ) ( ) ( ) ⇒+=+++++ 605,01
07,794.84
805,01605,01405,01
xxx
 
19,175.28
245757,2
64,274.3.664,274.3.6245757,2 =⇒=⇒= xxx . 
Resposta: R$ 28.175,19