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Matemática Básica Aula 3 Cristiane Argento 
Ion Moutinho 
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Aula 3 
Números reais 
 
 
 
 
Metas 
Esta aula é sobre a noção de números reais, conjunto numérico criado para a 
representação matemática de grandezas contínua, e que amplia o conjunto dos números 
racionais. 
 
Objetivos 
Ao final desta aula você deve: 
• conhecer os números reais, assim como a sua representação em notação decimal e 
geométrica; 
• conhecer a noção de ordem dos números reais; 
• conhecer a noção de módulo; 
• conhecer as duas operações básicas entre números reais; 
• saber resolver inequações. 
 
 
 
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Um pouquinho de história 
 
 A escola pitagórica acreditava que tudo que há no universo poderia ser descrito 
pela Matemática. Mais precisamente, os pitagóricos pregavam que os números 
formavam a base de todas as representações das ideias humanas, isto é, que os números 
governavam o mundo. A noção de número, na época (século VI a.C.), representava as 
quantidades inteiras positivas, e até as quantidades fracionárias. 
 Na base do conhecimento matemático desenvolvido pelos pitagóricos, havia 
uma premissa que admitia que dois segmentos quaisquer são sempre comensuráveis, ou 
seja, a e b são segmentos comensuráveis se existe um segmento u e números inteiros p e 
q tais que a = pu e b = uq, ou seja, se a e b são múltiplos de uma mesma unidade fixada. 
Contudo, a descoberta, feita pelos próprios pitagóricos, de que a diagonal de um 
quadrado e seu lado não são comensuráveis (o que é equivalente ao fato de que 2 não 
é racional) gerou a primeira crise matemática da história, pois invalidava todas as 
demonstrações que haviam sido feitas usando essa premissa. 
 Esta dificuldade foi superada somente com um grande esforço por parte dos 
gregos, quando Eudoxo (408-355 a.C.) apresentou sua teoria geométrica do contínuo. 
Euclides, por volta de 300 a.C., apresentou uma compilação dos resultados da 
Matemática conhecidos até então em seus Elementos. Para fugir das deficiências dos 
números (para a época), Euclides passou a trabalhar questões numéricas a partir de 
representações geométricas, ou seja, a partir do enfoque geométrico. 
 
A necessidade de ampliar o conjunto dos números racionais 
 
 Este episódio da história da Matemática deixou marcas fortíssimas que são 
percebidas até hoje em dia (passados mais de 2 mil anos). Reflexos desta crise 
matemática e de como os gregos lidaram com ela influenciaram diretamente, por 
exemplo, o ensino da Matemática até algumas poucas décadas atrás. Não é nosso 
objetivo discutir este episódio, nem suas consequências, mas é interessante que o leitor 
entenda melhor como ocorreu esta crise. 
 Nós já falamos sobre a questão de associar grandezas a números, chamado de 
processo de quantificação. As grandezas que podem ser quantificadas são chamadas de 
grandezas escalares. Em física, é comum fazer referência a grandezas discretas e 
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contínuas. (você sabia que existem outros tipos de grandezas?) Por exemplo, tempo, 
velocidade e comprimento são exemplos de grandezas escalares contínuas. Já população 
e moléculas de um gás são exemplos de grandezas escalares discretas. É claro que estes 
exemplos podem variar. Se quisermos medir o tempo em termos de dias decorridos, 
podemos quantificar a grandeza tempo associando-a aos números inteiros; o que a 
tornaria uma grandeza discreta neste caso. 
 Vamos, agora, nos preocupar com as grandezas contínuas. Só para fixar idéia, 
vamos considerar a grandeza comprimento. Vimos, na aula 2, que podemos obter um 
bom processo de quantificação desta grandeza fazendo uma associação com os números 
racionais. É uma boa quantificação porque os números racionais permitem considerar 
submúltiplos da unidade. Em particular, permite medir comprimentos com uma precisão 
tão grande quanto se queira. Para isto, basta escolher um submúltiplo da unidade 
suficientemente pequeno. Por exemplo, você pode usar a unidade metro para fazer 
medições. Se necessitar de mais precisão na medida, pode usar o centímetro, unidade 
que é um centésimo do metro. Se quiser mais precisão na medida, pode, então, escolher 
o milímetro, que é um milésimo do metro. Se ainda for necessário trabalhar com maior 
precisão de medida, existem instrumentos capazes de medidas ainda mais precisas, 
permitindo trabalhar com submúltiplos da unidade ainda menores. Em resumo, os 
números racionais parecem formar um bom conjunto numérico para ser usado na 
quantificação de grandezas contínuas. 
 Na prática, num processo de medição real, não teórico, não é fácil determinar o 
número racional exato que corresponde a um segmento dado. Por exemplo, podemos 
medir um segmento com uma régua que tem marcação de centímetros e milímetros e 
obter o valor 3,2 cm. Contudo, este valor pode não ser muito preciso, o avaliador pode 
ficar na dúvida se a medida é mesmo 3,2 ou se não pode ser 3,3. Neste caso, pode-se 
recorrer a instrumentos auxiliares. Por exemplo, com o auxílio de uma lupa, ou de um 
microscópio, pode-se tranquilamente tirar esta dúvida, digamos que o valor seja 3,2 
mesmo. Ainda assim, com a melhoria do instrumento de medição, pode aparecer outra 
dúvida, será que a medida mais precisa é 3,26 ou 3,27? Ainda do ponto de vista prático, 
a evolução da forma de avaliação do tamanho de um segmento não garantirá uma 
avaliação definitiva, pois sempre é possível ampliar a graduação da reta, com novos 
submúltiplos obtidos a partir do novo instrumento de medição, o que causa o 
aparecimento de uma nova casa decimal na representação numérica que mede o 
segmento. Assim, sempre é possível encontrar um número racional que se aproxime 
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tanto quanto se queira da medida real. Mas, por outro lado, sempre fica a dúvida se esta 
medida corresponde exatamente ao segmento avaliado. 
 Nesta nossa história, uma questão sobre a associação de grandezas a números 
continua incompleta. Vimos que grandezas de natureza contínua não ficam 
completamente determinadas por números inteiros. Por exemplo, nem todo segmento 
pode ser representado por um número inteiro. Depois, vimos que grandezas contínuas 
podem ser associadas a números racionais, pois, do ponto de vista prático, todo 
processo de medição possui limitações de precisão, enquanto que sempre podemos 
encontrar números racionais tão próximos quanto se queira. Contudo, não sabemos 
realmente se qualquer estado de uma grandeza contínua pode ser sempre associado a 
exatamente um número racional, ou melhor, se cada número racional corresponde a um 
único estado da grandeza. Por exemplo, será que todo segmento pode ser associado a 
um número racional e vice-versa? 
 A história sobre esta pergunta é bastante conhecida e foi ela que deu origem a 
primeira crise matemática. Este problema foi abordado pela escola pitagórica (século VI 
a.C.) quando se perguntou sobre a medida da diagonal de um quadrado de lado 1. Na 
época, eles perceberam que a diagonal de um quadrado de lado 1 não pode ser 
representada por um número racional. 
 
 De fato, se a é um número então, pelo teorema de Pitágoras para triângulo 
retângulo, vale que a2 = 12 + 12, donde a2 = 2. Contudo, é um fato bem conhecido que 
não existe um número da forma 
q
p
 que satisfaça tal equação. Ou seja, não existe um 
número racional que represente o segmento a. Assim, instalou-se uma crise, pois a 
utilidade da matemática neste processo de quantificação era limitada. 
 Observe que se a diagonal do quadrado de lado 1 fosse um número, ele 
representariao 2 , pois satisfaz a equação a2 = 2. 
 
1 
1 
a 
a 0 1 
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Atividade 1 Em um papel milimetrado, utilize um segmento grande como unidade 
(utilize como unidade um segmento que seja 100 vezes o menor quadrado da folha). 
Reproduza o desenho acima e meça o segmento que representa a diagonal do quadrado. 
Você achará um número com duas casas decimais. Veja se esta aproximação coincide 
com o valor obtido de uma calculadora para 2 . De outro modo, calcule o quadrado do 
número que você obteve e eleve ao quadrado. Veja se o resultado faz sentido. 
 
O conjunto dos números reais 
 
 Apesar da necessidade de um conjunto numérico que ampliasse os números 
racionais ter sido percebida desde a verificação de que a medida da diagonal de um 
quadrado de lado 1 não é um número racional, em torno do século VI a.C., foi 
necessário cerca 2500 anos para que os matemáticos criassem um novo conjunto 
numérico. Só em 1872, com a publicação de um ensaio sobre o assunto, por Richard 
Dedekind, o conjunto conhecido como o conjunto dos números reais foi finalmente 
formalizado. Enfim, completou-se a história da criação de uma extensão numérica do 
conjunto dos racionais que pudesse oferecer uma associação completa às grandezas 
contínuas. 
 O conjunto dos números reais, denotado por �, é o conjunto criado pelos 
matemáticos que estende o conjunto dos números racionais (� ⊂ �) e está em completa 
correspondência com as grandezas escalares contínuas. Uma definição precisa deste 
conceito é assunto de estudo de uma disciplina mais avançada. Para o estudante 
iniciante, basta conhecer bem as representações de �, assim como as representações de 
suas operações. 
 O conjunto dos números reais tem uma peculiaridade no que diz respeito às suas 
possíveis representações, nem todo número real possui uma representação numérica que 
possa ser obtida a partir dos números racionais e que seja finita. Por exemplo, temos 0,5 
como uma representação do número que representa a metade da unidade. Esta é uma 
representação decimal finita. O número que representa um terço da unidade pode ser 
representado como 0,3333... . Esta é uma representação decimal infinita. Contudo, a 
mesma quantidade pode ser representada por 
3
1
, agora, sim, uma representação finita. 
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 Para o conjunto dos números reais, existem elementos que só podem ser 
representados finitamente se for através de símbolos não numéricos. Um exemplo disso 
é o número π, que representa metade do comprimento de um círculo de raio 1. Outro 
exemplo é o número e que está associado a várias aplicações importantes do nosso 
cotidiano, como medição de resfriamento de um corpo, datação de objetos antigos 
através de medição de desintegração radioativa e cálculo de juros contínuos. Como 
exemplo, não podemos esquecer do número 2 . Só por curiosidade, a sua 
representação decimal é parcialmente dada pela expressão 
1,41421356237309504880116887242097... . Este é um dos problemas da representação 
decimal para números reais que não são racionais. Só podemos fazer referência a eles de 
forma parcial. Por exemplo, na sequência de casas decimais do número 2 , não tem 
como saber, de imediato, qual será a próxima casa decimal. 
 Não é difícil entender que todo número real possui uma representação decimal. 
Lembre, leitor, que o conjunto dos números reais foi criado par ser o conjunto 
matemático que pode ser associado a grandezas escalares contínuas. Um exemplo deste 
tipo de grandeza é o comprimento. Se o tamanho de um segmento não é múltiplo da 
unidade, podemos encontrar uma medida inteira que aproxima do segmento, digamos a. 
Mas, podemos melhorar, com a escolha de um submúltiplo da unidade, a medição do 
segmento. Para isto, dividimos a reta graduada em dez partes e podemos, então, avaliar 
melhor o segmento, digamos que a + 
10
1a seja a melhor aproximação, mas não seja a 
medida exata. Assim, é preciso dividir o submúltiplo da unidade em dez partes para 
obter uma medição melhor, digamos a + 
10
1a + 
100
2a . Se esta representação numérica não 
for a medida exata, é preciso dividir novamente em dez partes a fim de buscar uma 
medida mais aproximada, digamos, a + 
10
1a + 
100
2a + 
1000
3a . Note que esta forma de 
escrever um número é equivalente a notação decimal, a,a1a2a3. Se o segmento medido 
não está associado a um número racional (e já vimos que isto é possível), o processo de 
subdivisão da unidade terá que ser repetido sempre, indefinidamente, o que irá gerar 
uma representação decimal infinita, a,a1a2a3...an... . Assim, todo número real pode ser 
representado através de uma notação decimal infinita. 
 
Atividade 2 Determine se o número real dado é racional ou não. 
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a) 2,124 b) −0,1111111 c) 1,04237237237237... 
d) 4,01001000100001... e) 9,1423684579454445677777732355654... 
 
 Assim como os números racionais, os números reais possuem uma representação 
geométrica que funciona da seguinte maneira. Considere uma reta r e fixe uma unidade 
de medida, OU. O conjunto dos números reais, denotado por �, é o conjunto dos 
segmentos da reta r da forma OA, isto é, 
� = {a = OA : A∈r}. 
 
 Nesta representação geométrica, todo segmento representa um número real. 
 O conjunto dos números reais diferentes de 0 e contidos na semi-reta OU é 
chamado conjunto dos números reais positivos e denotado por � +. O conjunto dos 
números reais diferentes de 0 e contidos na semi-reta oposta a OU é chamado conjunto 
dos números reais negativos e denotado por � −. Em linguagem simbólica, 
�+ = {a ∈ � : a ⊂ OU e a ≠ 0} 
 e 
�−−−− = {a ∈ � : a ⊄ OU e a ≠ 0}. 
 
Observação: Com estas últimas notações, temos � = �+ ∪ �− ∪ {0}. 
 
Observação: Parece que as notações �+ e �− não são utilizadas no ensino básico. Neste 
caso, pode-se escrever ��� e �−� , respectivamente. 
 
Atividade 3 Podemos facilmente obter outros segmentos que não podem representar 
nenhum número racional. Veja o desenho a seguir. 
r 
O U A 
A = AO ∈ � 
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a) Verifique, via teorema de Pitágoras, que os segmentos obtidos representam a raiz da 
equação x2 = 3 e x2 = 4, respectivamente. Repita o processo ilustrado na figura para 
obter segmentos que representem 5 e 6 . 
b) Reproduza o desenho anterior numa folha, sobre uma reta graduada pela unidade 
dada pelo centímetro. Utilize uma régua com milímetros para medir os segmentos 
obtidos. Utilize uma calculadora para obter valores aproximados de 2 , 3 , 5 e 
6 . Verifique se estes valores coincidem com as medidas obtidas no seu desenho. 
(Utilize régua, compasso e esquadro para construir os desenhos.) 
 
 Com a ampliação dos números racionais para os números reais, a reta graduada 
passa a ter novas possíveis marcas. Veja um exemplo. 
 
 Leitor, é possível que você esteja incomodado com este novo conjunto 
numérico. Realmente, no nosso cotidiano é muito difícil se deparar com um número real 
que não é racional. Contudo, por mais incrível que pareça, existem muito mais números 
reais que não são racionais do que os que são racionais. Podemos enumerar alguns 
explicitamente, como π, e, 2 , 3 , 5 e 6 , ou toda raiz n , onde n ∈ � e n não é 
o quadrado de um número. Na próxima seção você verá como produzir mais números 
reais e, assim, verá que o conjunto destes números é maior do que o conjunto dos 
números racionais. Inclusive, existe um nome para os números reais que não são 
racionais, são os números irracionais.As operações soma e produto de � 
 
�� 0 1 �� 2 
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 Provavelmente, o maior problema de se considerar as representações decimais 
para os números reais seja na hora de definir as operações soma e produto. Neste 
momento a representação geométrica se mostra muito útil. Veja, através de desenhos, 
como as operações soma e produto de números reais podem ser entendidas. 
 
Representação geométrica da soma de dois segmentos. 
 
 
Representação geométrica do produto de dois segmentos. 
 
 Veja como fica o desenho do produto 2 × 2 . O resultado é o esperado, 2. 
 
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 Apesar do que se costuma divulgar, o conjunto dos números irracionais é muito 
maior do que conjunto dos números racionais. Para entender isto melhor, basta ver que 
se a é racional e x é irracional então a + x é irracional. De fato, se a + x = b é racional 
então temos x = b − a como racional, pois a diferença de racionais é racional. Mas, isto 
é um absurdo, pois um número não pode ser racional e irracional. Assim, todos os 
números da forma a + 2 , onde a ∈ �, é irracional. 
 Só por curiosidade, se fossemos representar geometricamente só os números 
racionais e depois só os números irracionais, teríamos algo parecido com os seguintes 
desenhos. 
 
 
Propriedades operacionais 
 
 No caso dos números reais, �, não é muito adequado utilizar representações 
numéricas ou geométricas nos cálculos operacionais. Nesta caso, a melhor opção é fazer 
uso da Álgebra elementar. Isto significa que, para um estudo inicial, a melhor maneira 
de se trabalhar com as operações é usar e abusar das propriedades operacionais dadas a 
seguir. 
a) (x + y) + z = x + (y + z); 
b) 0 + x = x + 0 = x; 
c) x + (–x) = (–x) + x = 0; 
d) x + y = y + x; 
e) x + a = b ⇒ x = b + (−a); 
f) a + x = a + y ⇒ x = y; 
g) (xy)z = x(yz); 
h) 1.x = x.1 = x; 
i) se x ≠ 0, xx−1 = x−1x = 1; 
Reta com todos os reais marcados 
Reta só com os racionais marcados 
Reta só com os irracionais marcados 
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j) xy = yx; 
l) se a ≠ 0, ax = b ⇒ x = a−1b; 
m) se a ≠ 0, ax = ay ⇒ x = y; 
n) x(y + z) = xy + xz; 
o) (x + y)z = xz + yz; 
p) xy = 0 ⇒ x = 0 ou y = 0; 
q) (−a)b = a(−b) = −ab. 
 
Atividade 4 
a) Estude o seguinte desenvolvimento de contas. Identifique as propriedades utilizadas 
ao longo das contas. 
−3( 7 5 − 2π) + 7 5 = −3 7 5 + 6π + 7 5 = −3 7 5 + 7 5 + 6π = −3. 7 5 + 1. 7 5 + 6π = 
= (−3 + 1). 7 5 + 6π = −2 7 5 + 6π. 
b) Desenvolva as contas dadas a seguir realizando o máximo de transformações 
possível. 
 i) 
π
+π−− 2/32)32(2
 ii) − 35 + 5.34 − 2.33 + 12.32. 
c) Encontre a média aritmética de 21, 21, 10, 28, 33, 33, 28, 10, 10, 28, 21 e 21 (soma 
dos valores dividida por 12), mas evitando ao máximo de fazer contas grandes. 
d) Resolva a equação 7 5 x + 2 = x − π. 
e) Resolva o sistema de equações, 




=+
=−
5 323
2
yx
yx π
.