ALEGEBRA LINEAR UEPA
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SIMPLIFICAÇÃO DA EQUAÇÃO GERAL DAS CÔNICAS \u2013 Capítulo 6

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na qual 1 e 2 são os valores próprios da matriz simétrica

A =

e as colunas

são os vetores próprios unitários de A, associados a 1 e 2, respectívamente.

Os valores próprios de A são 1 = 0 e 2 = 25 e os vetores próprios de A são v1 = (3,4)

e v2 = (4, -3), sendo os seus respectivos vetores unitários

 (Os cálculos ficam a cargo do leitor). Logo, a equação (2) fica

ou

25 y\u20192 \u2013 25x\u2019 + 50 = 0

ou ainda

y\u20192 \u2013 x\u2019 + 2 = 0 (3)

que é a equação da cônica (1), referida ao sistema x\u2019 0 y\u2019 cujos eixos são suportes de v1 e v2
(ou de 1 e 2).

2º) Translação de eixos

A equação (3), por meio de uma translação de eixos, pode ser simplificada. De fato:

y\u20192 \u2013 x\u2019 + 2 = 0

y\u20192 = x \u2013 2

SIMPLIFICAÇÃO DA EQUAÇÃO GERAL DAS CÔNICAS \u2013 Capítulo 6

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(y\u2019 - 0)2 = x\u2019 \u2013 2 (4)

Pelas fórmulas de translação de eixos, fazendo

X = (x\u2019\u2013 2)

Y = (y\u2019\u2013 0),

a equação (4) fica

Y
2
 = X

que é a equação reduzida da cônica (1), referida ao sistema X 0\u2019 Y no qual 0\u2019 (2, 0), sendo as
coordenadas de 0\u2019 medidas no sistema x\u2019 0 y\u2019.

b) A cônica representada pela equação (1) é uma parábola de parámetro igual a , sendo

o seu eixo o eixo dos X (Fig. 6.4.1.c).

3) Determinar a equação reduzida e o gênero da cônica representada pela equação

4x
2
 \u2013 3y2 + 24xy \u2013 156 = 0 (1)

Solução

a) Tendo em vista que essa equação não apresenta os termos de 1º grau em x e y (d =

e = 0 na equação (6.1), item 6.1), a solução dependerá somente da mudança de base. A

equação (1) na forma matricial é

que, por uma mudança de base, se transforma na equação

SIMPLIFICAÇÃO DA EQUAÇÃO GERAL DAS CÔNICAS \u2013 Capítulo 6

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 (2)

na qual 1 e 2 são os valores próprios da matriz simétrica

A =

O cálculo dos vetores próprios (ou dos seus correspondentes vetores unitáríos), como

se vê na equação (2), é dispensável para a obtenção da equação reduzida, a não ser que se

deseje construir o gráfico da cónica (que é o caso presente, por razões de ordem didática),

pois são esses vetores que determinam o novo referencial x\u2019 0 y\u2019.

Os valores próprios de A são 1 = \u201312 e 2 = 13, sendo v1 = (3, \u20134) e v2 = (4,3) os

vetores próprios associados, respectivamente a 1 e 2. (Cálculos a cargo do leitor). Logo, a

equação (2) fica

ou

\u201312x\u20192 + 13y\u20192 = 156

ou ainda

que é a equação reduzida da cônica (1) referida ao sistema x\u2019 0 y\u2019.

b) A cônica representada pela equação é uma hipérbole com eixo real sobre o eixo dos

y\u2019 (Fig. 6.4.1.d), sendo o semi-eixo real igual a .

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Leitura: A Ocorrência das Cônicas
Extraído do site: http://ccins.camosun.bc.ca/~jbritton/jbconics.htm

 Matemáticos têm o hábito de estudar, apenas por diversão, coisas que parecem não ter

utilidade então séculos mais tarde seus estudos adquirem enorme valor científico.

 Não há melhor exemplo disso que o trabalho feito pelos gregos nas curvas conhecidas

como cônicas: a elipse, a parábola e a hipérbole. Elas foram estudadas primeiramente pelos

discípulos de Platão. Não houve aplicação científica importante para as cônicas até o século

17 quando Kepler descobriu que os planetas se movem em trajetória elíptica e Galileu provou

que projéteis viajam em trajetórias parabólicas. Apolônio de Perga, geômetra grego do século

3 A.C., escreveu o maior tratado sobre essas curvas. No seu trabalho intitulado \u2015Cônicas\u2016 foi
o primeiro a mostrar como todas as três curvas, juntamente com o círculo, poderiam ser

obtidas através da interseção de um plano com dois cones conforme a figura abaixo.

A elipse

 Embora não tão simples quanto o círculo, a elipse é

sem dúvida a curva mais vista no dia-a-dia. O motivo é que

todo círculo visto obliquamente parece elíptico.

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 Qualquer cilindro cortado inclinadamente

revelará uma elipse na seção transversal (como visto

no Planetário Tycho Brahe em Copenhagen).

 Se você inclinar um copo de água, a superfície vai

adquirir um contorno elíptico.

 Os primeiros astrônomos gregos

achavam que os planetas se moviam em

órbitas circulares em torno da Terra (que era

considerada estática).

 No século 17, Johannes Kepler

descobriu que cada planeta viaja ao redor do

sol em uma órbita elíptica. Nesse caso, o sol

está em um dos seus focos.

 As órbitas da lua e dos satélites artificiais da Terra são também elípticas como

também são as trajetórias dos cometas em órbita permanente ao redor do sol.

 O cometa Halley leva aproximadamente 76 anos para viajar ao redor do sol. Edmund

Halley viu o cometa em 1682 e previu corretamente o seu retorno em 1759. Embora ele não

tivesse tido oportunidade de viver para ver sua previsão se realizar, o cometa recebeu o seu

nome.

 Numa escala muito menor, os elétrons de um átomo se

movem em órbitas aproximadamente elípticas com o núcleo

num dos seus focos.

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 A elipse tem uma propriedade importante que é

usada na reflexão da luz e de ondas sonoras. Qualquer

luz ou sinal que é emitido num dos focos será refletido

para o outro foco.

 Esse princípio é usado em litotripsia, um

procedimento médico para tratar pedra nos rins. O

paciente é colocado num tanque de água elíptico de

forma a posicionar a pedra num dos focos. Então, ondas

de choque de alta freqüência geradas no outro foco são

concentradas na pedra pulverizando-a.

 O princípio é também usado na construção de

edificações como a Catedral de São Paulo em

Londres. Se uma pessoa sussurra perto de um dos

seus focos ela poderá ser ouvida no outro foco,

embora não possa ser ouvida nas suas proximidades.

A Parábola

 Uma das mais conhecidas ocorrências da parábola é

a trajetória de uma bola de golfe sujeita à gravidade quando

se despreza o atrito com o ar.

 A descoberta, por Galileu no século 17, que a

trajetória de projéteis é parabólica tornou possível a

determinação da trajetória das balas de canhão

quando lançadas num determinado ângulo.

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 O movimento do centro de gravidade dos corpos

como no salto dos golfinhos é descrito por uma parábola.

 A maneira mais simples de visualizar a

trajetória parabólica de um projétil é observar o

esguicho de água de um bebedouro.

 Parábolas exibem propriedades refletivas

interessantes. Se uma fonte de luz é posicionada no foco de

um espelho parabólico, a luz será refletida em raios

paralelos ao seu eixo formando um feixe de luz. Por causa

dessa propriedade, superfícies parabólicas são geralmente

usadas nos faróis de carros e motos.

 O princípio oposto é usado nos telescópios e em

antenas que recebem ondas de rádio e televisão vindas

do espaço. O feixe vem na direção da superfície

parabólica e é enviado para o ponto focal.

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 Ondas de calor, assim como a luz e ondas

sonoras, podem ser refletidas para o ponto focal de uma

superfície parabólica.

 Se um material inflamável for posicionado no

foco de um refletor parabólico direcionado para o sol,

então o material pode pegar fogo (a palavra foco vem do

latim focus e significa local de fogo).

 Um forno solar produz calor focando a luz do sol

através de um arranjo