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( )S X S Y então .X Y ( ) Se uma variedade afim V E contém o vetor zero então V é um subespaço vetorial de E . 2.15. Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais? (a) O conjunto 3X formado pelos vetores ( , , )v x y z tais que 3 2 .z x e x y (b) O conjunto 3Y formado pelos vetores ( , , )v x y z tais que 0xy . Exercício – ÁLGEBRA LINEAR 156 (c) Conjunto Z das matrizes 2 3 nas quais alguma coluna é formada Por elementos iguais (d) O conjunto ( ; )F F formado pelas funções :f tais Que ( 1) ( )F x f x para todo x (e) O conjunto nL dos vetores ( , 2 ,..., )v x x nx , onde x é Arbitrário. (f) O conjunto dos vetores 5v que têm duas ou mais coordenadas Nulas. (g) O conjunto dos vetores de 3 que têm pelo menos uma coordenada 0. 2.16. Exprime,em termos das operações num espaço vetorial E, uma condição para que , ,u v w E sejam colineares ( isto é, pertençam a uma mesma reta, que pode conter ou não o vetor zero ). 2.17. Obtenha números , , ,a b c d tais que a variedade afim ( plano) de 3 definida pelo equação ax by cz d contenha os pontos 1 (1,0,0),e 2 3(0,1,0) (0,0,1).e e e 2.18. Prove que, na definição de subespaço vetorial,a condição "0 "F pode ser substituída por " "F . 2.19. Quais dos seguintes conjuntos são subespaços vetoriais ? (a) o conjunto dos vetores de n cujas coordenadas formam uma pro- gressão aritmética . (b) Os vetores de n cujas coordenadas formam progressão geométrica . (c) Os vetores de n cujas coordenadas formam uma progressão geométrica de razão fixada. (d) Os vetores de n cuja as coordenadas formam uma progressão geométrica de razão fixada. (e) Os vetores de n cujas primeiras k coordenadas são iguais. (f) Os vetores de n que tem k coordenadas iguais. (g) As seqüências nx tais que 2 3 1n n nx x x para todo n. (h) Os vetores (x,y) 2 tais que 2 23 3x x y y (i) As funções ( )f C tais que " 2 ' 0f f f 2.20. Sejam 1 2 3, ,v v v os vetores-linha e 1 2 3, ,w w w os vetores colunas da matriz 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Verifique as relações . 3 2 1 3 2 12 , 2v v v w w w . Exprima 1w e 2w como Combinações lineares de 1v e 2v ,e vice versa. Conclua que os vetores linha e os vetores e os vetores-coluna da matriz dada geram o mesmo subespaço de 3 2.21. Dê exemplo de uma matriz 3x3 cujos vetores-linha geram um subespaço Exercício – ÁLGEBRA LINEAR 157 de 3 diferente daquele gerado pelos vetores-coluna. 2.22. Prove que a reunião de dois subespaços vetoriais de E é um subespaço vetorial se, e somente se, um deles estiver contido no outro. 2.23. A partir da definição, prove que, dados os números 1,..., , ,na a c o conjunto V dos vetores x = 1( ,..., , ) n nx x tais que 1 1 ... ,n na x a x c é um subespaço vetorial de n se, e somente se, c=0. Prove a afirmação feita no texto de que V ê uma variedade afim. 2.24 .Seja Fum subespaço vetorial de E. Assinale V(verdadeira) ou F (falso) ( ) Se u F e v F entãou v F ( ) Se 0u F e a então u F 2.25. Diz-se que um subconjunto X de um espaço vetorial E é simétrico quando v X v X .Prove que um cone convexo simétrico e não vazio e um subespaço vetorial de E. 2.26. de exemplo de um cone convexo que não seja simétrico e um cone simétrico que não seja convexo. 2.27. Uma matriz quadrada a=[aij]chama se simétrica(respec. Anti-simétrica ) quando aij=aij (respect. Aij=-aij) para todo i e todo j. Prove que o conjunto S das matrizes simétricas e o conjunto A das matrizes anti- simetricas n x n são subespaços vetoriais da M(n x n) e que se tem M(n x n) = S A . 2.28. Seja E = F( ; ).fixada q: ,mostre que o conjunto F de todas as funções f: tais que f(q(x)) = f(x) é um subespaço vetorial de E. para qual função q tem –se F = conjunto das funções periódicas de período a ? E se fosse q(f(x)) = f(x)? Ou f(q(x)) = q(x)?. 2.29. prove que os subespaços vetoriais gerados por um cone convexo C E é o conjunto das diferenças u – v, onde u,v C. Conclua que o Conjunto das funções f:X que só assumem valores positivos é um Conjunto de geradores de ( ; )F X . 2.30. Diz se que uma função :f X é limitado quando existe k >0 (dependendo de f) tal que I f(x)I k para todo x X . Prove que o conjunto das funções limitadas é um subespaço vetorial de ( ; )F X ,o qual é gerado pelas funções limitadas positivas . 2.31. Um subespaço vetorial de 3 gerado por dois vetores não-colinea- res ,u v chama-se um plano . Use um argumento geométrico para provar que o vetor 3w não pertence ao plano gerado por u e v então u,v e w geram 3 2.32. Mostre que o vetor b = (1,2,2) não e combinação linear dos vetores 1v = (1,1,2) e 2v =( 1,2,1). A partir daí, formule um sistema linear de 3 equações com 2 incógnitas, que não possui solução e que tem o vetor b como o segundo membro. 2.33. Sejam 1F ,... kF E subespaços vetoriais. Prove: (1) O subespaço gerado pela união 1 ... kF F é o conjunto 1 ... kF F das somas 1 ... kx x ,onde 1 1,... k kx F x F . Exercício – ÁLGEBRA LINEAR 158 (2) As sequintes afirmações são equivalentes: (a) Cada 1 ... kx F F se escreve de modo único como soma 1 ... kx x x (b) Para cada j=1,..,k tem se 1 1 1( ... ... )j j kFj F F F F ={0}. Quando uma das condições (a) ou (b) vale, escreve - se 1 ... kF F em vez de 1 ... kF F e diz se que este subespaço é a soma direta de 1... kF F . 2.34. Seja 1 2 1 2 1 1 2 2,.E F F G G SeF GeF G prove que 1 1 2 2F G eF G . 2.35. Sejam E, F espaços vetoriais. Uma função f: E F chama se par (respc, impar) quando f (-v) = f(v) (respect. F(-v) = -f(v)) para todo v E .Prove. (a) O conjunto A das funções pares e o conjunto B das funções ímpares são sub espaços vetoriais de F(E,F) (vide Exercicio1.15) e vale F(E.F) = A B. (b) Alem do conjunto A, dos polinômios pares, e B, dos polinômios Impares, considere também o conjunto A ' dos polinômios da forma p(x)= 2i ia x que só contem expoentes pares e o conjunto 'B dos polinômios da forma q(x) = 2 1i ia x , que só contem expoentes impares. Prove que 'A e 'B são subespaços vetoriais do espaço de todos os polinômios, que ' , ' ' 'A A B Be A B .Conclua que A=A’e B = 'B . 2.36. Para todo n seja nQ o conjunto dos polinômios ( de graus arbitrários) que são divisiveis por nx .prove que Q e um sub espaço vetorial de P.Ache um subespaço F P tal que P = nQ . 2.37. dado X E, seja Y o conjunto obtido de X substituindo um dos seus elementos v por v+ u , onde u X e .Prove que X e Y geram o mesmo subespaço vetorial do E. conclua daí que os conjuntos 1 2 1 1{ 1,..., } { , ,..., }k kv v Ee v v v v v E geram o mesmo subespaço vetorial de E . 2.38. Prove que a reunião