UFCG - Provas de EDL 2018.2 Brandão/Alciônio

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UFCG/CCT/UAMAT PERI´ODO 2018.2
DISCIPLINA: Equac¸o˜es Diferenciais Lineares TURNO: Manha˜
PROFESSOR: DATA: / /
ALUNO(A):
1o ESTA´GIO
1. (3,0 pontos) Resolva as equac¸o˜es diferenciais abaixo:
a) y′ =
ex
2y(ex + 1)
b) x
dy
dx
= y + x cos2(y/x)
c) y′ + x2y = e−x
3
y−2
2. (3,0 pontos) Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
a)

xy′ + 4y =
cos(x− 1)
x3
y(1) = 3
b)

cos y dx+ (1− xsen y)dy = 0
y(2) = 0
3. (2,0 pontos) Verifique que a equac¸a˜o abaixo na˜o e´ exata, determine um fator integrante
e resolva a equac¸a˜o.
(x2 − ey)dx+ xey dy = 0
4. (2,0 pontos) Uma amostra de um certo material radioativo se reduz a 1/125 de sua massa
inicial no per´ıodo de 6 dias. Em quanto tempo uma amostra do mesmo material perde
96% de sua massa inicial? (Lembrete: 0,04 = 1/25 e 125 = 53.)
BOA PROVA!
UFCG/CCT/UAMAT PERI´ODO 2018.2
DISCIPLINA: Equac¸o˜es Diferenciais Lineares TURNO: Manha˜
PROFESSOR: DATA: / /
ALUNO(A):
2o ESTA´GIO
1. (2,0 pontos) Sejam p e q func¸o˜es cont´ınuas num intervalo aberto I e x0 ∈ I. Sendo y1 e
y2 as soluc¸o˜es dos PVI’s{
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0
y(x0) = −8, y′(x0) = 12
e
{
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0
y(x0) = 2, y
′(x0) = −3
respectivamente, mostre que y1 = −4y2 no intervalo I.
2. (2,5 pontos) Mostre que a func¸a˜o y1(x) = 1 + e
x e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial
y′′ − 2e
x
1 + ex
y′ +
e2x − ex
(1 + ex)2
y = 0
e resolva o PVI
 y′′ −
2ex
1 + ex
y′ +
e2x − ex
(1 + ex)2
y = 0
y(0) = 4 , y′(0) = −2
3. (4,0 pontos) Determine a soluc¸a˜o geral das equac¸o˜es abaixo.
a) y′′ − 2y′ + 5y = 10senx
b) y′′ − 9y = −18e3x
c) x2y′′ − 5xy′ + 9y = 0.
d) y′′ − 4
x
y′ − 14
x2
y = 9x5
4. (1,5 ponto) Um bloco de 3 quilogramas de massa provoca uma distensa˜o de 10cm em uma
mola. Suponha que o bloco e´ suspenso ate´ uma posic¸a˜o 18cm acima do ponto de equil´ıbrio
e enta˜o colocado em movimento com uma velocidade inicial para baixo de 2m/s. Sabendo
que o movimento subsequente e´ livre e sem amortecimento, determine a func¸a˜o u(t) que
descreve este movimento. (Use g = 10m/s2.)
BOA PROVA!
UFCG/CCT/UAMAT PERI´ODO 2018.2
DISCIPLINA: Equac¸o˜es Diferenciais Lineares TURNO: Manha˜
PROFESSOR: DATA: / /
ALUNO(A):
REPOSIC¸A˜O - 1o ESTA´GIO
1. (2,0 pontos) Resolva o PVI:
y′ +
2x
2 + x2
y = 4x , y(1) = 3 .
2. (4,0 pontos) Determine a soluc¸a˜o geral de cada uma das equac¸o˜es abaixo.
a)
dy
dx
+ y =
4exy6
5
b) x2y′ = x2 + xy + y2
c) (2xyex
2
+ sen y + 1)dx+ (ex
2
+ xcos y)dy = 0
d) y′ = 2sec y + tg y.
3. (2,0 pontos) Em cada ı´tem, calcule f ′(x0) e f ′′(x0) sabendo que y = f(x) e´ a soluc¸a˜o do
PVI.
a)
 y′ = sen(y − x) +
2
y + 1
y(0) = 0
, x0 = 0
b)
 ey+1
dy
dx
= y
y(2) = −1
, x0 = 2
4. (2,0 pontos) Determine as trajeto´rias ortogonais da famı´lia de curvas dada pela equac¸a˜o
abaixo:
y3 = x3 + C .
BOA PROVA!
UFCG/CCT/UAMAT PERI´ODO 2018.2
DISCIPLINA: Equac¸o˜es Diferenciais Lineares TURNO: Manha˜
PROFESSOR: DATA: / /
ALUNO(A):
REPOSIC¸A˜O - 2o ESTA´GIO
1. (2,0 pontos) Sejam y1 e y2 soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial y
′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0 (com
p(x) cont´ınua) e W = W [y1, y2] (o Wronskiano de y1 e y2). Mostre que W
′ + p(x)W = 0
e conclua que W =
C
e
∫
p(x)dx
, onde C e´ uma constante.
2. (2,5 pontos) Mostre que a func¸a˜o y1(x) = 1/x e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial
y′′ − 3x2y′ − (3x+ 2x−2)y = 0
no intervalo I = (0,+∞) e resolva o PVI
 y
′′ − 3x2y′ − (3x+ 2x−2)y = 0
y(1) = 1 +
e
3
, y′(1) = −1 + 2e
3
3. (4,0 pontos) Determine a soluc¸a˜o geral das equac¸o˜es abaixo.
a) y′′ + 6y′ + 13y = 15e−2x
b) y′′ + 3y′ = 9x2 − 6x− 4
c) x2y′′ − xy′ + 10y = 0.
d) y′′ − 4
x
y′ − 14
x2
y = −18x4
4. (1,5 ponto) Um bloco de 1 quilograma de massa provoca uma distensa˜o de 50cm em
uma mola. Suponha que o bloco e´ impulsionado para cima com uma velocidade de 2m/s
a partir do ponto de equil´ıbrio. Sabendo que o meio ambiente exerce uma forc¸a de
amortecimento igual (em mo´dulo) a 9 vezes a velocidade instantaˆnea, determine a func¸a˜o
u(t) que descreve o movimento. (Use g = 10m/s2.)
BOA PROVA!
UFCG/CCT/UAMAT PERI´ODO 2018.2
DISCIPLINA: Equac¸o˜es Diferenciais Lineares TURNO: Manha˜
PROFESSOR: DATA: / /
ALUNO(A):
3o ESTA´GIO
1. (1,5 ponto) Resolva o PVI:{
y′′′ + 6y′′ + 9y′ = 0
y(0) = 0 , y′(0) = 5 , y′′(0) = −12
2. Considere X1(t) =
(
1
t
)
e X2(t) =
(
t
t2 + 1
)
.
a) (0,8 ponto) Verifique que X1 e X2 sa˜o soluc¸o˜es do sistema X
′ =
(
−t 1
1− t2 t
)
X.
b) (0,5 ponto) Verifique que X1 e X2 sa˜o LI.
c) (1,2 ponto) Determine a soluc¸a˜o geral do sistema:
X ′ =
(
−t 1
1− t2 t
)
X +
(
3t
1 + 3t2
)
.
3. (4,0 pontos) Determine a soluc¸a˜o geral de cada sistema:
a) X ′ =
(
0 9
−1 0
)
X b) X ′ =
 5 −3 01 1 0
−2 6 4
X
4. (2,0 pontos) Resolva o seguinte PVI:
X ′ =
(
4 −1
1 2
)
X , X(0) =
(
−3
2
)
.
BOA PROVA!
UFCG/CCT/UAMAT PERI´ODO 2018.2
DISCIPLINA: Equac¸o˜es Diferenciais Lineares TURNO: Manha˜
PROFESSOR: DATA: / /
ALUNO(A):
REPOSIC¸A˜O - 3o ESTA´GIO
1. (2,0 pontos) Determine a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o
y(4) − 18y′′ + 81y = 8ex .
2. (2,0 pontos) Verifique que X1(t) =
(
1
2t
)
e X2(t) =
(
1/t
1
)
sa˜o soluc¸o˜es LI do
sistema
X ′ =
(
−2/t 1/t2
−2 2/t
)
X
no intervalo I = (0,+∞). Determine a soluc¸a˜o geral do sistema
X ′ =
(
−2/t 1/t2
−2 2/t
)
X +
(
1/t
1
)
.
3. (4,0 pontos) Determine a soluc¸a˜o geral dos seguintes sistemas:
a) X ′ =
(
0 2
3 −1
)
X b) X ′ =
 3 1 00 2 1
0 1 2
X
4. (2,0 pontos) Determine a soluc¸a˜o do problema de valor inicial
X ′ =
(
1 −2
1 −1
)
X , X(pi) =
(
1
3
)
.
BOA PROVA!