10. Em cada um dos itens a seguir, construa uma EDL de primeira ordem cujas soluções têm o comportamento descrito quando t→∞. Depois resolva a s...

Question

10. Em cada um dos itens a seguir, construa uma EDL de primeira ordem cujas soluções têm o comportamento descrito quando t→∞. Depois resolva a sua equação e confirme que todas as soluções têm, de fato, a propriedade especificada. a) todas as soluções têm limite 3 quando t→∞; b) todas as soluções são assintóticas à reta y = 3− t quando t→∞.

Ed · Answer

Para a letra a), a EDL de primeira ordem que satisfaz a condição é:

y' = -k(y-3)

Onde k é uma constante positiva. Resolvendo a equação, temos:

y' = -k(y-3)
y'/ (y-3) = -k
ln|y-3| = -kt + C
|y-3| = e^C * e^(-kt)
y-3 = ± Ce^(-kt)

Como queremos que todas as soluções tenham limite 3 quando t→∞, precisamos que a constante C seja igual a 0. Portanto, a solução é:

y = 3

Para a letra b), a EDL de primeira ordem que satisfaz a condição é:

y' = -(y-3) - t

Resolvendo a equação, temos:

y' + y = t + 3
e^(∫1dx) * y = e^(-t) * (∫(t+3)e^tdt + C)
y = e^(-t) * (t+2) + Ce^(-t)

Como queremos que todas as soluções sejam assintóticas à reta y = 3 - t quando t→∞, precisamos que a constante C seja igual a 3. Portanto, a solução é:

y = 3 - t + 2e^(-t)

10. Em cada um dos itens a seguir, construa uma EDL de primeira ordem cujas soluções têm o comportamento descrito quando t→∞. Depois resolva a s...

Equações Diferenciais Lineares

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