EN 735 MatB 12ano 2010 1F R

Sociedade Portuguesa de Matemática Av. da República 45 - 3ºesq., 1050 \u2013 187 Lisboa Tel. 21 795 1219 / Fax 21 795 2349 www.spm.pt imprensa@spm.pt Proposta de Resolução da Sociedade Portuguesa de Matemática para o Exame Nacional de Matemá tica B Prova 735 , 1ª fase \u2013 21 de Junho de 2010 Grupo I 1. Na primeira tela, o raio do círculo é 6. Logo, a sua área é de \ue24e \ued48 \ue378 \ueb36 \ued4c \ue375\ue378 \ue24e . Na segunda tela, há 4 círculos de raio 3; a área total é de \ue376 \ued48 \ue7e8 \ued48 \ue375 \ueb36 \ued4c \ue375\ue378 \ue7e8 e portanto as duas áreas referidas são igu ais. 2. Considerando a tabela verificamos que temos a considerar a sucess ão d os q uadrados perfeitos, pelo qu e na 10ª tela haverá \ue373\ue372 \ueb36 \ued4c \ue373\ue372\ue372 círculos. 3. Vamos ign orar as sobr eposições que se reduze m a pontos (intersecção de dois fios). Consideremos então a tabela Constata-se que os primeiros fact ores do 1º membro das diversas iguald ades estão em progressão aritmética de razão 2. Assim, como o primeiro termo é 4, o 10º termo será \ue376 \ued45 \uf23a \ue373\ue372 \ued46 \ue373 \uf23b \ued48 \ue374 \ued4c \ue374\ue374 . O compri mento de fi o a aplicar é portant o Nº da tela Nº de círculos 1 1 2 \ue376 \ued4c \ue374 \ueb36 3 \ue37b \ued4c \ue375 \ueb36 \u2026\u2026 \u2026\u2026. Nº da tela Comprimento de fio 1 \ue376 \ued48 \ue373\ue374 \ued4c \ue376\ue37a 2 \ue378 \ued48 \ue373\ue374 \ued4c \ue379\ue374 3 \ue37a \ued48 \ue373\ue374 \ued4c \ue37b\ue378 \u2026\u2026 \u2026\u2026. \uf23a \ue376 \ued45 \ue378 \ued45 \ue37a \ued45 \ue6ae \ued45 \ue374\ue374 \uf23b \ued48 \ue373\ue374 \ued4c \uf240 \ueb38\ueb3e \ueb36\ueb36 \ueb36 \ued48 \ue373\ue372 \uf241 \ued48 \ue373\ue374 \ued4c \ue373\ue377\ue378\ue372 \ue003 dm = 156 m. Grupo II 1. O volume do cili ndro orig inal é \ue7e8\ue74e \ueb36 \ue73d ; o volume de cada u m dos cones é \ueb35 \ueb37 \ue7e8 \ue74e \ueb36 \ue73d \ue1e2 o volume do cilindr o a cinzento à direita na figura 3 \ue003\ue0b1\ue003\ue7e8\ue74e \ueb36 \ue754 . Do enunciado dec orre que \ue7e8\ue74e \ueb36 \ue754 \ued45 \ue374 \ued48 \ue373 \ue375 \ue7e8\ue74e \ueb36 \ue73d \ued4c \ue7e8\ue74e \ueb36 \ue73d Simplificando e re solvendo em ord em a \ue754 vem \ue754 \ued4c \uebd4 \ueb37 , como queríam os. 2.1 Seguindo as etapas r ecomendad as, vem \uf0b7 \ue744 \uf23a \ue372 \uf23b \ued4c \ueb39\ued48\ueb34\ueb3f \ueb35\ueb3a \ueb34\ueb3f \ueb35\ueb34 \ued4c \ue373\ue1e1\ue378 \uf0b7 \ue744 \uf23a \ue372 \uf23b \ued4c \ue754 , uma vez que a altura no instante inicial coincide com a altura do cilindro a cinzento na figura 3; \uf0b7 \ue754 \ued4c \ue373\ue1e1\ue378 , pelas duas etapas an teriores; \uf0b7 \ue373\ue1e1\ue378 \ued4c \uebd4 \ueb37 \ue59e \ue73d \ued4c \ue376\ue1e1\ue37a , rec orrendo-se à iguald ade provada na questã o anteri or. 2.2 Basta resolver a equaçã o \ue744 \uf23a \ue750 \uf23b \ued4c \ue372 \ue744 \uf23a \ue750 \uf23b \ued4c \ue372 \ue59e \ue377\ue750 \ued46 \ue373\ue378 \ue750 \ued46 \ue373\ue372 \ued4c \ue372 \ue59e \ue377\ue750 \ued46 \ue373\ue378 \ued4c \ue372 \ue5e8 \ue750 \ued46 \ue373\ue372 \ued4d \ue372 \ue59e \ue750 \ued4c \ue375\ue1e1\ue374 \ue5e8 \ue750 \ued4d \ue373\ue372 O reservatóri o fica vazio ao fim de 3,2 h oras, ou seja, 3 h 12min. 2.3 A funçã o h é decres cente no int ervalo \ue72b \ued4c \uf23e \ue372\ue1e2 \ue375\ue1e1\ue374 \uf23f (ver gráfi co seguin te), pelo que a sua taxa de variação média é negativa em qualquer int ervalo contido e m \ue72b . A afirmação é falsa. GRUPO III 1.1 Devemos calcular \ue732 \uf23a \ue375\ue378\ue377 \uf23b \ued46 \ue730 \uf23a \ue375\ue378\ue377 \uf23b ; recorrendo à calcula dora, este valor é aproximadamente igual a 9,365, o que corresponde a 9h 22min. 1. 2 Considere mos o gráfico da fun ção definida em [1, 365] por \ue742 \uf23a \ue754 \uf23b \ued4c \ue732 \uf23a \ue754 \uf23b \ued46 \ue730\uf23a\ue754 \uf23b A sua intersec ção com a recta horizontal de equação \ue755 \ued4c \ue373\ue372 é constituída pelos pontos A e B , cujas abcissas po dem ser deter minadas recorrendo à função In tersect da calculadora gráfica TI \u2013 84 PlusSE ; arredondadas às unidades, são, respectivamente, 24 e 323. Conclui-se que há \ue375\ue374\ue375 \ued46 \ue374\ue376 \ued45 \ue373 \ued4c \ue375\ue372\ue372 dias nas condições p edidas. 1.3 Basta co nsiderar o gráfico seguin te . A abcissa ar redondada às unidades do P onto C dá a ordem pedida: 1 74 . Este valor foi deter minado recorre ndo à calculadora gráfi ca. 2.1 Introduzim os na lista L 1 da calculadora os dados da lista M ulheres (x) e na lista L 2 os dados da lista Homens (y). Recorrendo à regressão linear obtemos a equação \ue755 \ued4c \ue73d\ue754 \ued45 \ue73e , com \ue73d \ued4c \ue372\ue1e1\ue377\ue376\ue376\ue375 \ue379\ue37a e \ue73e \ued4c \ue375\ue374 \ue1e1\ue376\ue374\ue377\ue378\ue375\ue377 (seis casas decimais). Fazendo \ue754 \ued4c \ue37a\ue375 \ue1e1\ue372 nesta equação, vem \ue755 \ued4c \ue379\ue379 \ue1e1\ue378 , com aproximação à s décimas. 2.2 Seja X a variável al eatória \u201cvencimento mensal individual em euros\u201d; sabe-se qu e \ue73a \ue5fd \ue730 \uf23a \ue374\ue376\ue372\ue372 \ue1e1\ue375\ue372\ue372 \uf23b \ue1e4 Recorrendo à c alculadora, \ue74c \uf23a \ue73a \ued4f \ue374\ue372\ue372\ue372 \uf23b \ued4c \ue74a\ue74b\ue74e \ue749\ue73d\ue748\ue73f\ue740\ue742\uf23a\ue372\ue1e1 \ue374\ue372\ue372\ue372 \ue1e1 \ue374\ue376\ue372\ue372 \ue1e1\ue375\ue372\ue372\uf23b \ued4e \ue372\ue1e1 \ue372\ue37b \ue74c \uf23a \ue73a \ued50 \ue374\ue37b\ue372\ue372 \uf23b \ued4c \ue373 \ued46 \ue74c \uf23a \ue73a \ued51 \ue374\ue37b\ue372\ue372 \uf23b \ued4c \ue373 \ued46 \ue74a\ue74b\ue74e\ue749\ue73d\ue748\ue73f\ue740\ue742 \uf23a\ue372\ue1e1 \ue374\ue37b\ue372\ue372 \ue1e1\ue374\ue376\ue372 \ue372\ue1e1\ue375\ue372\ue372\uf23b \ued4e \ue372\ue1e1 \ue372\ue377 Conclui-se que é mais provável ganhar menos de 2 000 euros. GRUPO IV Do enunciado, conclui- se que a função M é crescente e que a função E é decrescente. Além disso, e m Junho de 2010, \ue754 \ued4e \ue373\ue374\ue378 e \ue72f \uf23a \ue373\ue374\ue378 \uf23b \ued4f \ue377 e \ue727 \uf23a \ue373\ue374\ue378 \uf23b \ued4f \ue372\ue1e1\ue377 . As sim: A) é falsa, pois implica M decrescente (a expressão da da é, a menos de um f actor positi vo, uma exponencial de bas e 1/1.03 , inferior a 1); B) é falsa pois implica que \ue727 \uf23a \ue754 \uf23b é sempre maior que 0,8, o que é falso já que o seu valor actual é inferior a 0,5; C) é falsa, poi s i mplica que o número de milhafres e m Junho de 2010 é superior a 500. FIM

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