Revisão Probabilidade e Estatística

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Teoria de Probabilidades Variáveis Aleatórias
Revisão de Probabilidade e Variáveis Aleatórias
Prof. Fabrício Braga Soares de Carvalho, D.Sc.
Universidade Federal da Paraíba (UFPB)
Departamento de Engenharia Elétrica
Fevereiro 2016
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Teoria de Probabilidades Variáveis Aleatórias
Roteiro
1
Teoria de Probabilidades
Introdução
Probabilidade Condicional e Independência Estatística
2
Variáveis Aleatórias
Momentos da Variável Aleatória
Funções de Variável Aleatória
Algumas Distribuições Importantes em Comunicações
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Teoria de Probabilidades Variáveis Aleatórias
Introdução
Roteiro
1
Teoria de Probabilidades
Introdução
Probabilidade Condicional e Independência Estatística
2
Variáveis Aleatórias
Momentos da Variável Aleatória
Funções de Variável Aleatória
Algumas Distribuições Importantes em Comunicações
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Teoria de Probabilidades Variáveis Aleatórias
Introdução
Introdução
A teoria da probabilidade fornece as ferramentas para o estudo dos
fenômenos aleatórios
Os axiomas da probabilidade estabelecidos por Kolmogorov permitem
o desenvolvimento de toda a teoria de probabilidade axiomática:
P(S) = 1, em que S representa o espaço amostral ou conjunto
universo e P(.) é a probabilidade associada;
P(A) ≥ 0, em que A representa um evento do conjunto universo;
P(A
⋃
B) = P(A) + P(B), em que A e B são eventos mutuamente
exclusivos e A
⋃
B representa a união dos eventos A e B (desde que
A
⋂
B = 0).
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Teoria de Probabilidades Variáveis Aleatórias
Introdução
Introdução
A probabilidade se refere à observação de testes ou experimentos a
partir de um determinado número de amostras
A probabilidade derivada da intuição e da lógica (ou seja, antes do
experimento) é denominada de probabilidade a priori
A probabilidade resultante da observação do evento (ou seja, após o
experimento) é denominada de probabilidade a posteriori
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Probabilidade Condicional e Independência Estatística
Roteiro
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Teoria de Probabilidades
Introdução
Probabilidade Condicional e Independência Estatística
2
Variáveis Aleatórias
Momentos da Variável Aleatória
Funções de Variável Aleatória
Algumas Distribuições Importantes em Comunicações
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Probabilidade Condicional e Independência Estatística
Probabilidade Condicional
Considerando-se um experimento conjunto que ocorre com
probabilidade P(A,B) = P(A
⋂
B)
Admitindo-se que o evento B ocorreu, a probabilidade condicional do
evento A dado B é dada por
P(A|B) = P(A,B)
P(B)
, P(B) > 0
De modo similar, a probabilidade do evento B dado A é dada por
P(B|A) = P(A,B)
P(A)
, P(A) > 0
OBS.: Se os eventos são mutuamente exclusivos, ou seja,
independentes, então P(A,B) = P(A).P(B)
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Probabilidade Condicional e Independência Estatística
Probabilidade Condicional
Verifica-se que:
P(A,B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)
A ∩ B = ∅ =⇒ P(A|B) = 0
A ⊂ B =⇒ A ∩ B = A =⇒ P(A|B) = P(A)
P(B)
B ⊂ A =⇒ A ∩ B = B =⇒ P(B|A) = P(B)
P(B)
= 1
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Probabilidade Condicional e Independência Estatística
Probabilidade Condicional
A forma clássica do teorema de Bayes é:
P(B|A) = P(B) · P(A|B)
P(A)
O teorema de Bayes é importante na teoria de decisões estatísticas
pois permite retornar ao evento condicionante
Ou seja:
P(B) = P(B|A) · P(A) (1)
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Probabilidade Condicional e Independência Estatística
Regra de Bayes
Seja Ai , i = 1, 2, · · · , n um conjunto de eventos mutuamente
exclusivos com
⋃n
i=1 Ai = Ω e B um evento arbitrário
A regra de Bayes é definida como
P(Ai |B) = P(Ai ,B)
P(B)
=
P(B|Ai )P(Ai )∑n
j=1 P(B|Aj)P(Aj)
Em telecomunicações tem-se:
Ai - Mensagem transmitida
P(Ai ) - Probabilidade a priori de Ai
B - Mensagem recebida
P(Ai |B) Probabilidade a posteriori de Ai dado que B foi recebido
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Teoria de Probabilidades Variáveis Aleatórias
Variável Aleatória
Uma variável aleatória (VA) é uma regra ou uma relação, denotada
por X , que para cada número real X (S) associa um ponto no espaço
amostral S
Cada resultado produz um número, mas dois ou mais resultados
podem mapear o mesmo número
Por exemplo, o experimento "jogar uma moeda e observar o
resultado"pode ser mapeado no conjunto R da seguinte forma:
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Teoria de Probabilidades Variáveis Aleatórias
Variável Aleatória
Apesar do nome, uma variável aleatória não é uma variável nem é
aleatória!
Trata-se de uma função que gera números a partir dos resultados de
um experimento
A idéia de variável aleatória tem o objetivo de transpor eventos do
espaço amostral para segmentos de retas nos reais
O mapeamento X : Ω→ < é completamente determinístico, ou seja,
X = f (w) para w ∈ Ω
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Teoria de Probabilidades Variáveis Aleatórias
Função Cumulativa de Probabilidade (FCP)
Do ponto de vista do receptor, os sinais de interesse prático
aparentam ser aleatórios
Uma variável aleatória X (A) ou simplesmente X representa uma
relação funcional entre um evento aleatório A e um número real
A função cumulativa de probabilidade (FCP) ou função de
distribuição acumulada de X é definida como:
FX (x) = P(X ≤ x) (2)
Sendo P(X ≤ x) a probabilidade de X ser menor que o número real x
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Teoria de Probabilidades Variáveis Aleatórias
Função Cumulativa de Probabilidade (FCP)
A FCP FX (x) tem as seguintes propriedades:
0 ≤ FX (x) ≤ 1
FX (x1) ≤ FX (x2) se x1 ≤ x2
FX (−∞) = 0
FX (+∞) = 1
P(a < X ≤ b) = PX (b)− PX (a) =
= P(X ≤ b)− P(X ≤ a)
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Teoria de Probabilidades Variáveis Aleatórias
Função Densidade de Probabilidade (FDP)
Uma outra função de grande importância é a função densidade de
probabilidade (FDP) da variável x , denotada por
pX (x) =
dFX (x)
dx
A FCP FX pode ser escrita como a primitiva da FDP pX :
FX (x) =
∫ x
−∞
pX (α)dα (3)
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Teoria de Probabilidades Variáveis Aleatórias
Função Densidade de Probabilidade (FDP)
A FCP fornece uma medida da probabilidade, portanto é adimensional
A FDP tem dimensão, assim pode ser maior do que 1
Uma importante propriedade da FDP é:∫ +∞
−∞
pX (x)dx = 1 (4)
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Teoria de Probabilidades Variáveis Aleatórias
Função Densidade de Probabilidade
A partir da FDP é possível calcular a probabilidade de eventos como
x
1
≤ X ≤ x
2
P(x
1
≤ X ≤ x
2
) = P(X ≤ x
2
)− P(X ≤ x
1
)
= FX (x2)− FX (x1) =
∫ x
2
x
1
pX (x)dx
A FDP tem as seguintes propriedades:
pX (x) ≥ 0∫ ∞
−∞
pX (x)dx = FX (+∞)− FX (−∞) = 1
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Teoria de Probabilidades Variáveis Aleatórias
Independência Estatística
Considerando-se dois eventos A e B , se A não depende de B então:
P(A|B) = P(A) =⇒ P(A,B) = P(A|B)P(B) = P(A)P(B)
Resultados similares podem ser obtidos para variáveis aleatórias em
termos da função de distribuição e da função densidade de
probabilidade
p(x
1
|x
2
) =
p(x
1
, x
2
)
p(x
2
)
p(x
1
, · · · , xn) = p(x1, · · · , xk |xk+1, · · · , xn)p(xk+1, · · · , xn)
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Teoria de Probabilidades Variáveis Aleatórias
Independência Estatística
Assim, se n variáveis aleatórias são independentes então:
F (x
1
, x
2
, · · · , xn) = F (x1)F (x2) · · ·F (xn)
p(x
1
, x
2
, · · · , xn) = p(x1)p(x2) · · · p(xn)
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Momentos da Variável Aleatória
Roteiro
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Teoria de Probabilidades
Introdução
Probabilidade Condicional e Independência Estatística
2
Variáveis Aleatórias
Momentos da Variável Aleatória
Funções de Variável Aleatória
Algumas Distribuições Importantes em Comunicações
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Teoria de Probabilidades Variáveis Aleatórias
Momentos da Variável Aleatória
Médias de Variáveis Aleatórias
O valor esperado ou valor médio de uma variável aleatória X é definido
como
mX = E{X} =
∫ ∞
−∞
xpX (x)dx
Vários momentos de X têm especial importância e interpretação física.
De maneira geral, são definidos pela fórmula:
mi = E{X i} =
∫ ∞
−∞
x ipX (x)dx
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Teoria de Probabilidades Variáveis Aleatórias
Momentos da Variável Aleatória
Médias de Variáveis Aleatórias
A função característica ou função geratriz de momentos é
geralmente definida a partir da transformada de Fourier da FDP
Isto equivale a fazer f (x) = e−jwx na equação abaixo, em que
j =
√−1:
PX (w) = E{e−jwx} =
∫ +∞
−∞
e−jwxpX (x)dx (5)
Os momentos da VA X podem ser obtidos diretamente a partir da
função característica:
mi =
1
(−j)i
∂ i
∂w i
[Px(w)]|w=0 (6)
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Teoria de Probabilidades Variáveis Aleatórias
Momentos da Variável Aleatória
Médias de Variáveis Aleatórias
Os primeiros momentos são os mais importantes, usualmente
relacionados com médias e medidas físicas:
m
1
= mX = E{X} = média aritmética, valor médio, tensão média,
média estatística;
m
2
= PX = E{X 2} = média quadrática, potência total;
m
3
= E{X 3} = medida de assimetria da função densidade de
probabilidade (se simétrico: m
3
= 0);
m
4
= E{X 4} = medida de achatamento da função densidade de
probabilidade
Além disso, m2
1
= E{X}2 é a potência DC
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Teoria de Probabilidades Variáveis Aleatórias
Momentos da Variável Aleatória
Médias de Variáveis Aleatórias
Pode-se também definir os momentos centrais de uma variável
aleatória X , bastando substituir nas expressões anteriores x por
x −mX
O momento central mais importante é a variância, definida por
var(X ) = σ2X = E{(X −mX )2} =
∫ ∞
−∞
(x −mX )2pX (x)dx
A relação entre a variância e o valor médio quadrático é dada por
σ2X = E{(X −mX )2} = E{X 2 − 2mXX + m2X}
= E{X 2} − 2mXE{X}+ m2X = E{X 2} −m2X
Ou seja: var(X ) = σ2X = m2−m21 = E{X 2}−E{X}2 é a potência AC
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Teoria de Probabilidades Variáveis Aleatórias
Funções de Variável Aleatória
Roteiro
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Teoria de Probabilidades
Introdução
Probabilidade Condicional e Independência Estatística
2
Variáveis Aleatórias
Momentos da Variável Aleatória
Funções de Variável Aleatória
Algumas Distribuições Importantes em Comunicações
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Teoria de Probabilidades Variáveis Aleatórias
Funções de Variável Aleatória
Transformação de FDP's
A teoria de funções de uma variável aleatória é rica em aplicações na
Engenharia
Se pX (x)dx = pY (y)dy , a transformação de FDP's é dada por:
pY (y) =
pX (x)
|dy/dx | |x=f −1(y) (7)
A fórmula acima supõe a existência da inversa da função em todos os
pontos, assim como sua derivada
Como a probabilidade é sempre positiva e como dy/dx pode ser
negativo, deve-se tomar o módulo da derivada
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Teoria de Probabilidades Variáveis Aleatórias
Funções de Variável Aleatória
Transformação de FDP's
A fórmula geral para o cálculo da transformação de FDP (que inclui os
casos em que a função apresenta inversa apenas por partes, ou não
apresenta inversa em todo o intervalo) é obtida com a ajuda da função
impulso:
Se a função tem inversa apenas nos intervalos i , dados por f −1i (y) e
fica constante nos intervalos j , então:
pY (y) =
∑
i
pX (x)
|dy/dx | |x=f −1(y) +
∑
j
ajδ(y − yj) (8)
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Teoria de Probabilidades Variáveis Aleatórias
Funções de Variável Aleatória
Função de Distribuição Conjunta
Pode-se definir a função de distribuição e a função densidade de
probabilidade para mais de uma variável aleatória
Consideram-se n variáveis aleatórias denotadas por Xi , i = 1, · · · , n
A função de distribuição conjunta é definida como
F (x
1
, · · · , xn) = P(X1 ≤ x1,X2 ≤ x2, · · · ,Xn ≤ xn)
=
∫ x
1
−∞
· · ·
∫ xn
−∞
p(u
1
, · · · , un)du1 · · · dun
Sendo a fdp conjunta dada por
p(x
1
, · · · , xn) = ∂
n
∂x
1
· · · ∂xnF (x1, · · · , xn)
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Teoria de Probabilidades Variáveis Aleatórias
Funções de Variável Aleatória
Função de Distribuição Conjunta
A partir da FDP conjunta pode-se obter a distribuição de uma variável
aleatória Xi integrando-se a fdp conjunta em relação às demais
p(x
1
) =
∫ ∞
−∞
· · ·
∫ ∞
−∞
p(x
2
, · · · , xn)dx2 · · · dxn
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Teoria de Probabilidades Variáveis Aleatórias
Algumas Distribuições Importantes em Comunicações
Roteiro
1
Teoria de Probabilidades
Introdução
Probabilidade Condicional e Independência Estatística
2
Variáveis Aleatórias
Momentos da Variável Aleatória
Funções de Variável Aleatória
Algumas Distribuições Importantes em Comunicações
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Teoria de Probabilidades Variáveis Aleatórias
Algumas Distribuições Importantes em Comunicações
Distribuição Gaussiana
A variável aleatória com FDP gaussiana ou Normal é uma das mais
importantes em Comunicações
A maioria dos processos de ruído observados na prática é gaussiana
O ruído presente em sistemas de comunicações (analógicos ou
digitais) é geralmente considerado gaussiano
O ruído é considerado o resultado de múltiplos fatores
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Teoria de Probabilidades Variáveis Aleatórias
Algumas Distribuições Importantes em Comunicações
Distribuição Gaussiana
A variável aleatória Gaussiana geral tem dois parâmetros:
mX representa o valor médio da FDP
σ2X representa a variância da FDP
Utiliza-se a notação X ∼ N(mX , σ2X ) para indicar que X tem
distribuição normal (ou gaussiana) com média mX e variância σ
2
X
Suas FDP e FCP são:
pX (x) =
1
σX
√
2pi
e
− (x−mX )
2
2σ2
X
(9)
FX (x) =
1
σX
√
2pi
∫ x
−∞
e
− (x−mX )
2
2σ2
X dx (10)
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Algumas Distribuições Importantes em Comunicações
Distribuição Gaussiana
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Teoria de Probabilidades Variáveis Aleatórias
Algumas Distribuições Importantes em Comunicações
Distribuição Gaussiana
A variável aleatória Gaussiana com média zero e variância unitária é
dada por:
pX (x) =
1√
2pi
e−
x2
2
(11)
FX (x) =
1√
2pi
∫ x
−∞
e−
x2
2 dx (12)
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Teoria de Probabilidades Variáveis Aleatórias
Algumas Distribuições Importantes em Comunicações
Distribuição Gaussiana
O valor da integral da FCP não pode ser calculado diretamente
Utiliza-se a função Q(.) para calcular a integral:
Q(y) =
1√
2pi
∫ +∞
y
e−
x2
2 dx (13)
Para a PDF do slide anterior, a CDF é dada por FX (x) = 1− Q(x)
A função Q(x) é largamente tabelada e pode ser encontrada na
maioria dos livros de tabelas matemáticas
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Teoria de Probabilidades Variáveis Aleatórias
Algumas Distribuições Importantes em Comunicações
Distribuição Gaussiana
Pode ser demonstrado que:
Q(x) ∼= 1
x
√
2pi
e−
x2
2 , x � 1 (14)
A função Q(x) tem uma relação próxima com as funções erro (erf
(x)) e erro complementar (erfc (x)):
erfc(x) = 2Q(x
√
2) (15)
Q(x) =
1
2
[1− erf ( x√
2
)] (16)
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Teoria de Probabilidades Variáveis Aleatórias
Algumas Distribuições Importantes em Comunicações
Distribuição Gaussiana
A função Q(.) é muito útil para avaliar probabilidades na forma
Prob(X > x)
Assim:
Pr(X > x) =
∫ +∞
x−mX
σX
1√
2pi
e−
t2
2 dt (17)
Ou seja:
Pr(X > x) = Q(
x −mX
σX
) (18)
A FCP de uma gaussiana pode ser escrita como:
FX (x) = Q(
x −mX
σX
) (19)
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Teoria de Probabilidades Variáveis Aleatórias
Algumas Distribuições Importantes em Comunicações
Distribuição Uniforme
A FDP uniforme é constante em um intervalo [a, b):
pX (x) =
{
1
b−a , a ≤ x < b,
0, cc
(20)
FX (x) =

0, x < a,
x−a
b−a , a ≤ x < b,
1, x ≥ b
(21)
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Teoria de Probabilidades Variáveis Aleatórias
Algumas Distribuições Importantes em Comunicações
Distribuição Exponencial
Uma V.A. exponencial tem as seguintes distribuições:
pX (x) =
1
b
e−
x
b u(x) (22)
FX (x) = [1− e−
x
b ]u(x) (23)
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Teoria de Probabilidades Variáveis Aleatórias
Algumas Distribuições Importantes em Comunicações
Distribuição Senoidal
Um tom senoidal tem FDP dada por:
pX(x) =
1
pi
√
V 2 − x2 , |x | < V (24)
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Teoria de Probabilidades Variáveis Aleatórias
Algumas Distribuições Importantes em Comunicações
Distribuição de Laplace
A distribuição de Laplace é dada por:
pX (x) =
1
2b
e−
|x|
b
(25)
FX (x) =
{
1
2
e
|x|
b , x < 0,
1− 1
2
e−
x
b , x ≥ 0 (26)
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Teoria de Probabilidades Variáveis Aleatórias
Algumas Distribuições Importantes em Comunicações
Distribuição de Laplace
O sinal de voz pode ser modelado através de uma distribuição de
Laplace, com a seguinte FDP:
pX (x) =
α
2
e−α|x | (27)
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Teoria de Probabilidades Variáveis Aleatórias
Algumas Distribuições Importantes em Comunicações
Distribuição de Rayleigh
A distribuição de Rayleigh é empregada para modelar as estatísticas de
amplitude de sinais em ambientes sujeitos a desvanecimento
Esta distribuição representa o efeito de múltiplos sinais (refletidos ou
refratados), que serão captados por um receptor sem que haja uma
componente ou direção principal
A FDP de Rayleigh é dada por:
pX (x) =
x
σ2
e−
x2
2σ2 u(x) (28)
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Algumas Distribuições Importantes em Comunicações
Outras distribuições importantes
Gama
Erlang
Chi-quadrada
Rice
Cauchi
Bessel
Nakagami
Lognormal
etc...
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Algumas Distribuições Importantes em Comunicações
Referências Bibliográficas
M. S. ALENCAR. Princípios de Comunicação. Editora Universitária
UFPB, 1999.
S. L. MILLER and D. G. CHILDERS. Probability and Random
Processes with Applications to Signal Processing and
Communications. Elsevier, 2012.
A. B. CARLSON e P. B. CRILLY. Communication Systems - An
Introduction to Signals and Noise in Electrical Communication.
McGraw-Hill, Fifth Edition, 2010.
B.P. LATHI e Z. DING. Sistemas de Comunicações Analógicos e
Digitais Modernos. Rio de Janeiro: LTC, 2012.
Notas de aula do prof. Edmar Nascimento, do Colegiado de
Engenharia Elétrica da UNIVASF.
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