Revisão Processos Estocásticos
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Revisão Processos Estocásticos


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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
Revisão de Processos Estocásticos
Prof. Fabrício Braga Soares de Carvalho, D.Sc.
Universidade Federal da Paraíba (UFPB)
Departamento de Engenharia Elétrica
Fevereiro 2016
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
Roteiro
1
Introdução
2
Autocorrelação
Classi\ufb01cação dos Processos Aleatórios
Propriedades da Autocorrelação
3
Densidade Espectral de Potência
Densidade Espectral de Potência e de Energia
DEP de um Processo Aleatório
Processos Aleatórios Múltiplos
4
Sistemas Lineares
5
Informação de Fase
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
Processos Aleatórios
Os processos aleatórios também são denominados de processos
estocásticos e representam uma extensão do conceito de variável
aleatória para sistemas dinâmicos (que dependem do tempo)
Assim, um processo aleatório é uma coleção de um número in\ufb01nito de
variáveis aleatórias
Sinais de comunicação e ruídos, que em geral são aleatórios e variam
com o tempo, são bem caracterizados por processos aleatórios
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
Processos Aleatórios
O seguinte exemplo ilustra o conceito de variáveis aleatórias:
A temperatura ao meio dia pode ser representada por uma variável
aleatória
Para obter a fdp dessa variável aleatória é necessário repetir a medida
da temperatura diversas vezes no mesmo horário
A temperatura em outro horário provavelmente terá uma fdp diferente
da temperatura ao meio dia
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Processos Aleatórios
A conclusão obtida a partir do exemplo precedente é que a
temperatura é uma variável aleatória dependente do tempo, ou seja,
um processo aleatório
Outros exemplos de processos aleatórios são:
A tensão na saída de um resistor
A pontuação na bolsa de valores
Um processo aleatório x(t) é caracterizado por uma família
(ensemble) de funções amostras
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Processo Aleatório Representando a Temperatura
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
Processo Aleatório Representando a Saída de um Gerador
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Processos Aleatórios
Cada função amostra é representada por x(t, \u3bei ), em que \u3bei representa
o dia em que a temperatura foi medida para o exemplo da temperatura
xi = x(ti ) é uma variável aleatória representando as amplitudes do
processo aleatório no instante ti
xi é completamente caracterizada pela sua fdp denotada por pxi (xi )
x(ti , \u3bei ) representa apenas um valor obtido para o processo aleatório
no tempo ti para a realização \u3bei
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Processos Aleatórios
Um processo aleatório pode ser completamente especi\ufb01cado através de
uma expressão analítica
x(t) = A cos (\u3c9ct + \u398), sendo \u398 uma variável aleatória uniforme na
faixa (0, 2pi) é completamente caracterizado por essa expressão
Entretanto, na maioria das vezes, as famílias de funções amostras só
são obtidas experimentalmente
O processo aleatório pode ser especi\ufb01cado por uma coleção de
variáveis aleatórias dependentes do tempo
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Processos Aleatórios
Se considerarmos n instantes de tempo, obtém-se n variáveis
aleatórias (x
1
, x
2
, · · · , xn)
Essas n variáveis aleatórias são completamente caracterizadas pela sua
fdp conjunta px
1
x
2
···xn(x1, x2, · · · , xn) para todo n
A integração da fdp conjunta fornece as fdps de ordem mais baixa
A tarefa de obtenção da fdp conjunta é extremamente complicada e, às
vezes, impossível
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Processos Aleatórios
Felizmente, para os processos aleatórios relevantes (análise de sinais e
ruídos aleatórios associados a sistemas lineares), é su\ufb01ciente conhecer
suas estatísticas de primeira e segunda ordens
Ou seja, a sua média e a sua autocorrelação
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
Estatísticas de um Processo
A média ou valor esperado de um processo aleatório x(t) é uma
função do tempo dada por
x(t) = E [x(t)] =
\u222b \u221e
\u2212\u221e
xpx(x ; t)dx
Uma das mais importantes características (estatísticas) de um
processo aleatório é a função de autocorrelação
A autocorrelação leva à informação espectral do processo aleatório
A correlação é uma medida da similaridade de duas VAs
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
Autocorrelação
A função de autocorrelação é dada pela correlação entre duas variáveis
aleatórias nos instantes t
1
e t
2
: x(t
1
) e x(t
2
)
Rx(t1, t2) = x(t1)x(t2) = E [X (t1),X (t2)]
=
\u222b \u221e
\u2212\u221e
\u222b \u221e
\u2212\u221e
x(t
1
)x(t
2
)pX (t
1
)X (t
2
)(x(t1), x(t2))dx(t1)dx(t2)
Este é o momento conjunto da V.A. X (t
1
) em t = t
1
e X (t
2
) em
t = t
2
A autocorrelação é uma média na família de funções amostras
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