Revisão Processos Estocásticos

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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
Revisão de Processos Estocásticos
Prof. Fabrício Braga Soares de Carvalho, D.Sc.
Universidade Federal da Paraíba (UFPB)
Departamento de Engenharia Elétrica
Fevereiro 2016
Prof. Fabrício Braga Soares de Carvalho, D.Sc. ( Universidade Federal da Paraíba (UFPB) Departamento de Engenharia Elétrica )Revisão de Processos Estocásticos Fevereiro 2016 1 / 61
Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
Roteiro
1
Introdução
2
Autocorrelação
Classificação dos Processos Aleatórios
Propriedades da Autocorrelação
3
Densidade Espectral de Potência
Densidade Espectral de Potência e de Energia
DEP de um Processo Aleatório
Processos Aleatórios Múltiplos
4
Sistemas Lineares
5
Informação de Fase
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
Processos Aleatórios
Os processos aleatórios também são denominados de processos
estocásticos e representam uma extensão do conceito de variável
aleatória para sistemas dinâmicos (que dependem do tempo)
Assim, um processo aleatório é uma coleção de um número infinito de
variáveis aleatórias
Sinais de comunicação e ruídos, que em geral são aleatórios e variam
com o tempo, são bem caracterizados por processos aleatórios
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
Processos Aleatórios
O seguinte exemplo ilustra o conceito de variáveis aleatórias:
A temperatura ao meio dia pode ser representada por uma variável
aleatória
Para obter a fdp dessa variável aleatória é necessário repetir a medida
da temperatura diversas vezes no mesmo horário
A temperatura em outro horário provavelmente terá uma fdp diferente
da temperatura ao meio dia
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
Processos Aleatórios
A conclusão obtida a partir do exemplo precedente é que a
temperatura é uma variável aleatória dependente do tempo, ou seja,
um processo aleatório
Outros exemplos de processos aleatórios são:
A tensão na saída de um resistor
A pontuação na bolsa de valores
Um processo aleatório x(t) é caracterizado por uma família
(ensemble) de funções amostras
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Processo Aleatório Representando a Temperatura
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
Processo Aleatório Representando a Saída de um Gerador
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
Processos Aleatórios
Cada função amostra é representada por x(t, ξi ), em que ξi representa
o dia em que a temperatura foi medida para o exemplo da temperatura
xi = x(ti ) é uma variável aleatória representando as amplitudes do
processo aleatório no instante ti
xi é completamente caracterizada pela sua fdp denotada por pxi (xi )
x(ti , ξi ) representa apenas um valor obtido para o processo aleatório
no tempo ti para a realização ξi
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Processos Aleatórios
Um processo aleatório pode ser completamente especificado através de
uma expressão analítica
x(t) = A cos (ωct + Θ), sendo Θ uma variável aleatória uniforme na
faixa (0, 2pi) é completamente caracterizado por essa expressão
Entretanto, na maioria das vezes, as famílias de funções amostras só
são obtidas experimentalmente
O processo aleatório pode ser especificado por uma coleção de
variáveis aleatórias dependentes do tempo
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Processos Aleatórios
Se considerarmos n instantes de tempo, obtém-se n variáveis
aleatórias (x
1
, x
2
, · · · , xn)
Essas n variáveis aleatórias são completamente caracterizadas pela sua
fdp conjunta px
1
x
2
···xn(x1, x2, · · · , xn) para todo n
A integração da fdp conjunta fornece as fdps de ordem mais baixa
A tarefa de obtenção da fdp conjunta é extremamente complicada e, às
vezes, impossível
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Processos Aleatórios
Felizmente, para os processos aleatórios relevantes (análise de sinais e
ruídos aleatórios associados a sistemas lineares), é suficiente conhecer
suas estatísticas de primeira e segunda ordens
Ou seja, a sua média e a sua autocorrelação
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Estatísticas de um Processo
A média ou valor esperado de um processo aleatório x(t) é uma
função do tempo dada por
x(t) = E [x(t)] =
∫ ∞
−∞
xpx(x ; t)dx
Uma das mais importantes características (estatísticas) de um
processo aleatório é a função de autocorrelação
A autocorrelação leva à informação espectral do processo aleatório
A correlação é uma medida da similaridade de duas VAs
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Autocorrelação
A função de autocorrelação é dada pela correlação entre duas variáveis
aleatórias nos instantes t
1
e t
2
: x(t
1
) e x(t
2
)
Rx(t1, t2) = x(t1)x(t2) = E [X (t1),X (t2)]
=
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
x(t
1
)x(t
2
)pX (t
1
)X (t
2
)(x(t1), x(t2))dx(t1)dx(t2)
Este é o momento conjunto da V.A. X (t
1
) em t = t
1
e X (t
2
) em
t = t
2
A autocorrelação é uma média na família de funções amostras
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Autocorrelação
Um processo estocástico é dito estacionário se as densidades de
probabilidades associadas ao processo são independentes do tempo
Caso a autocorrelação dependa apenas do intervalo de separação entre
X (t
1
) e X (t
2
), para τ = t
1
− t
2
, então o processo é dito estacionário
no sentido amplo
Rx(τ) = E [X (t)X (t + τ)]
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Classificação dos Processos Aleatórios
Roteiro
1
Introdução
2
Autocorrelação
Classificação dos Processos Aleatórios
Propriedades da Autocorrelação
3
Densidade Espectral de Potência
Densidade Espectral de Potência e de Energia
DEP de um Processo Aleatório
Processos Aleatórios Múltiplos
4
Sistemas Lineares
5
Informação de Fase
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Classificação dos Processos Aleatórios
Classificação dos Processos Aleatórios
Os processos aleatórios podem ser classificados como estacionários ou
não estacionários
Em um processo estacionário no sentido estrito, as características
estatísticas não mudam com o tempo
Ou seja, a média, a variância e a autocorrelação independem do tempo
px(x ; t) é independente de t
Rx(t1, t2) depende apenas da diferença τ = t2 − t1 e não de t1 e t2
especificamente
px(x ; t) = px(x)
Rx(t1, t2) = Rx(t2 − t1) =⇒ Rx(τ) = x(t)x(t + τ)
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Classificação dos Processos Aleatórios
Classificação dos Processos Aleatórios
A estacionaridade pode se dar em diversos níveis:
Na média → mX (t) = mX
Na potência → PX (t) = PX
Estacionaridade de primeira ordem implica em ter o primeiro momento
independente do tempo
Estacionaridade de segunda ordem implica em ter os segundos
momentos independentes do tempo
Estacionaridade no sentido estrito implica que o sinal é estacionário em
todas as ordens
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Classificação dos Processos Aleatórios
Classificação dos Processos Aleatórios
É difícil verificar se um processo aleatório é estritamente estacionário
na prática
Por essa razão, utiliza-se a definição de processo aleatório estacionário
no sentido amplo ou fracamente estacionário
Um processo é estacionário no sentido amplo se:
A média e a potência são constantes
A autocorrelação independe do tempo; ou seja, ela depende do
intervalo e não do tempo:
Rx(t1, t2) = Rx(τ), τ = t1 − t2
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Classificação dos Processos Aleatórios
Processos Estacionários
Exemplo 9.1 (Lathi)
Mostre que o processo aleatório x(t) = A cos (ωct + Θ) sendo Θ uma
variável aleatória uniformemente distribuída no intervalo (0, 2pi) é um
processo estacionário no sentido amplo.
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Classificação dos Processos Aleatórios
Processos Estacionários
Exemplo 9.1 (Lathi) - Solução
Para calcular x(t) pela definição é necessário determinar px(x , t), o que
não é tão simples. Uma maneira mais simplificada é fazer:
x(t) = A cos (ωct + Θ) = Acos (ωct + Θ)
Como cos (ωct + Θ) é uma função da variável aleatória Θ, então:
cos (ωct + Θ) =
∫
2pi
0
cos (ωct + θ)pΘ(θ)dθ
=
1
2pi
∫
2pi
0
cos (ωct + θ)dθ = 0
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Classificação dos Processos Aleatórios
Processos Estacionários
Exemplo 9.1 (Lathi) - Solução
Então:
x(t) = 0
Para concluir a demonstração, é necessário mostrar que Rx(t1, t2) depende
apenas de t
2
− t
1
Rx(t1, t2) = A2 cos (ωct1 + Θ) cos (ωct2 + Θ)
=
A2
2
{cos [ωc(t2 − t1)] + cos [ωc(t2 + t1) + 2Θ]}
=
A2
2
cos [ωc(t2 − t1)] = A
2
2
cosωcτ
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Classificação dos Processos Aleatórios
Classificação dos Processos Aleatórios
Uma outra classificação importante para processos aleatórios é a dos
processos ergódicos (ou ergódigos)
Um processo é ergódico se as médias temporais (para uma função
amostra em particular) são iguais às médias estatísticas (tomadas
sobre uma família de funções amostras)
A ergodicidade pode se dar na média, potência, autocorrelação ou em
relação a outras medidas
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
Classificação dos Processos Aleatórios
Classificação dos Processos Aleatórios
Para processos ergódicos, as seguintes relações são verificadas:
Ergodicidade na média: X (t) ∼ E [X (t)]
Ergodicidade na autocorrelação: RX (τ) ∼ RX (τ)
A deteminação se um processo é ergódico ou não é difícil
Na prática, muitos dos processos estacionários são ergódicos com
relação às estatísticas de mais baixas ordens (como a média e a
autocorrelação)
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
Classificação dos Processos Aleatórios
Classificação dos Processos Aleatórios
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
Propriedades da Autocorrelação
Roteiro
1
Introdução
2
Autocorrelação
Classificação dos Processos Aleatórios
Propriedades da Autocorrelação
3
Densidade Espectral de Potência
Densidade Espectral de Potência e de Energia
DEP de um Processo Aleatório
Processos Aleatórios Múltiplos
4
SistemasLineares
5
Informação de Fase
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
Propriedades da Autocorrelação
Propriedades da Autocorrelação
A função de autocorrelação possui importantes propriedades:
A função é par, ou seja, é simétrica em relação ao eixo do tempo:
RX (−τ) = RX (τ) (1)
O máximo ocorre na origem:
|RX (τ)| ≤ RX (0) (2)
A potência total é dada por:
PX = RX (0) = E [X
2(t)] (3)
A potência DC, ou média, é dada por PDC = limτ→∞RX (τ) quando a
convergência ocorre
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Propriedades da Autocorrelação
Propriedades da Autocorrelação
A função de autocorrelação possui importantes propriedades:
A potência AC é dada pela variância do processo estocástico X (t):
PAC = Var [X (t)] = RX (0)− limτ→∞RX (τ) (4)
A covariância (ou autocovariância) para processos estacionários no
sentido amplo é:
C [X (t)] = CX (τ) = RX (τ)− E 2[X (t)] (5)
A covariância tende à variância na origem:
limτ→0CX (τ) = RX (0)− E 2[X ] = Var [X (t)] (6)
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Densidade Espectral de Potência e de Energia
Roteiro
1
Introdução
2
Autocorrelação
Classificação dos Processos Aleatórios
Propriedades da Autocorrelação
3
Densidade Espectral de Potência
Densidade Espectral de Potência e de Energia
DEP de um Processo Aleatório
Processos Aleatórios Múltiplos
4
Sistemas Lineares
5
Informação de Fase
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
Densidade Espectral de Potência e de Energia
Energia de um Sinal
A energia de um sinal g(t) pode ser calculada no domínio do tempo a
partir da seguinte expressão
Eg =
∫ ∞
−∞
|g(t)|2dt
No domínio da freqüência, de acordo com o teorema de Parseval, a
energia de g(t) pode ser calculada como
Eg =
1
2pi
∫ ∞
−∞
|G (ω)|2dω
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
Densidade Espectral de Potência e de Energia
Densidade Espectral de Energia
A partir da expressão de Parseval, verifica-se que a energia pode ser
obtida através da área do gráfico de |G (ω)|2
Define-se então a densidade espectral de energia (DEE - Energy
Spectral Density em inglês) como
Ψg (ω) = |G (ω)|2
Assim, tem-se que:
Eg =
1
2pi
∫ ∞
−∞
Ψg (ω)dω =
∫ ∞
−∞
Ψg (f )df
Para um sistema LIT em que y(t) = h(t) ∗ g(t), então:
Ψy (ω) = |H(ω)|2Ψg (ω)
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
Densidade Espectral de Potência e de Energia
Densidade Espectral de Potência
Analogamente ao que foi feito para os sinais de energia, pode-se
mostrar que para um sinal de potência x(t)
Px =
1
2pi
∫ ∞
−∞
lim
T→∞
|XT (ω)|2
T
dω
Define-se então a Densidade Espectral de Potência (DEP - Power
Spectral Density em inglês) de x(t) como sendo
Gx(ω) = lim
T→∞
|XT (ω)|2
T
Logo, a potência pode ser expressada como
Px =
1
2pi
∫ ∞
−∞
Gx(ω)dω =
∫ ∞
−∞
Gx(f )df
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
Densidade Espectral de Potência e de Energia
Autocorrelação
A autocorrelação de um sinal real g(t) é definida como
ψg (τ) =
∫ ∞
−∞
g(t)g(t + τ)dt =
∫ ∞
−∞
g(t)g(t − τ)dt
Mostra-se que a autocorrelação é uma função par
Um resultado importante relaciona a autocorrelação e a DEE
ψg (τ) ⇐⇒ Ψg (ω) = |G (ω)|2
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Densidade Espectral de Potência e de Energia
Exemplo
Problema
Calcule a função de autocorrelação no tempo de g(t) = e−atu(t), a > 0 e
obtenha a partir dela a DEE de g(t)
Solução
g(t) = e−atu(t); g(t − τ) = e−a(t−τ)u(t − τ)
ψg (τ) =
∫ ∞
−∞
g(t)g(t − τ)dτ = 1
2a
e−aτ , τ > 0
ψg (τ) = ψg (−τ)→ ψg (−τ) = 1
2a
eaτ , τ < 0
ψg (τ) =
1
2a
e−a|τ | ⇐⇒ Ψg (ω) = 1
ω2 + a2
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
Densidade Espectral de Potência e de Energia
Exemplo
Problema
Calcule a função de autocorrelação no tempo de g(t) = e−atu(t), a > 0 e
obtenha a partir dela a DEE de g(t)
Solução
g(t) = e−atu(t); g(t − τ) = e−a(t−τ)u(t − τ)
ψg (τ) =
∫ ∞
−∞
g(t)g(t − τ)dτ = 1
2a
e−aτ , τ > 0
ψg (τ) = ψg (−τ)→ ψg (−τ) = 1
2a
eaτ , τ < 0
ψg (τ) =
1
2a
e−a|τ | ⇐⇒ Ψg (ω) = 1
ω2 + a2
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
Densidade Espectral de Potência e de Energia
Exemplo
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
DEP de um Processo Aleatório
Roteiro
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Introdução
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Autocorrelação
Classificação dos Processos Aleatórios
Propriedades da Autocorrelação
3
Densidade Espectral de Potência
Densidade Espectral de Potência e de Energia
DEP de um Processo Aleatório
Processos Aleatórios Múltiplos
4
Sistemas Lineares
5
Informação de Fase
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
DEP de um Processo Aleatório
Densidade Espectral de Potência de um Processo Aleatório
Sinais aleatórios são sinais de potência t ∈ (−∞,∞)
A DEP de um processo aleatório pode ser definida como a média da
DEP de uma família de funções amostras
Ou seja, a DEP de um processo aleatório X (t) é a média do conjuntodas DEPs de todas as funções da amostra
Para um sinal aleatório X (t), a DEP é dada por:
SX (ω) = lim
T→∞
|XT (ω)|2
T
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
DEP de um Processo Aleatório
Densidade Espectral de Potência de um Processo Aleatório
Para um sinal aleatório X (t), a DEP é dada por:
SX (ω) = lim
T→∞
[ |XT (ω)|2
T
]
= lim
T→∞
1
T
∣∣∣[∫ ∞
−∞
xT (t)e−jωtdt
]∣∣∣2
= lim
T→∞
1
T
∣∣∣[∫ T/2
−T/2
x(t)e−jωtdt
]∣∣∣2
= lim
T→∞
1
T
[(∫ T/2
−T/2
x(t
1
)e−jωt1dt
1
)∗(∫ T/2
−T/2
x(t
2
)e−jωt2dt
2
)]
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
DEP de um Processo Aleatório
Densidade Espectral de Potência de um Processo Aleatório
SX (ω) = lim
T→∞
1
T
[(∫ T/2
−T/2
x(t
1
)e jωt1dt
1
)(∫ T/2
−T/2
x(t
2
)e−jωt2dt
2
)]
= lim
T→∞
1
T
[(∫ ∞
−∞
x(t
1
)rect(
t
1
T
)e jωt1dt
1
)(∫ ∞
−∞
x(t
2
)rect(
t
2
T
)e−jωt2dt
2
)]
= lim
T→∞
1
T
[∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
rect(
t
1
T
)rect(
t
2
T
)x(t
1
)x(t
2
)e−jω(t2−t1)dt
1
dt
2
]
= lim
T→∞
1
T
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
rect(
t
1
T
)rect(
t
2
T
)x(t
1
)x(t
2
)e−jω(t2−t1)dt
1
dt
2
= lim
T→∞
1
T
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
rect(
t
1
T
)rect(
t
2
T
)RX (t1, t2)e
−jω(t
2
−t
1
)dt
1
dt
2
= lim
T→∞
1
T
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
rect(
t
1
T
)rect(
t
2
T
)RX (t2 − t1)e−jω(t2−t1)dt1dt2
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
DEP de um Processo Aleatório
Densidade Espectral de Potência de um Processo Aleatório
Fazendo-se a mudança de variáveis: t = t
1
, τ = t
2
− t
1
Então: dtdτ = | det (J)|dt
1
dt
2
J =
[
1 0
−1 1
]
=⇒ det (J) = 1 =⇒ dtdτ = dt
1
dt
2
Substituindo-se, tem-se:
SX (ω) = lim
T→∞
1
T
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
rect(
t
T
)rect(
t + τ
T
)RX (τ)e
−jωτdtdτ
= lim
T→∞
1
T
∫ ∞
−∞
RX (τ)e
−jωτ
(∫ ∞
−∞
rect(
t
T
)rect(
t + τ
T
)dt
)
dτ
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
DEP de um Processo Aleatório
Densidade Espectral de Potência de um Processo Aleatório
A integral entre parênteses é a convolução entre dois retângulos de
largura T , sendo assim, tem-se:
SX (ω) = lim
T→∞
1
T
∫ ∞
−∞
RX (τ)e
−jωτ (T − |τ |)rect
( τ
2T
)
dτ
= lim
T→∞
∫ T
−T
RX (τ)e
−jωτ (1− |τ |
T
)dτ
=
∫ ∞
−∞
RX (τ)e
−jωτdτ
Prof. Fabrício Braga Soares de Carvalho, D.Sc. ( Universidade Federal da Paraíba (UFPB) Departamento de Engenharia Elétrica )Revisão de Processos Estocásticos Fevereiro 2016 40 / 61
Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
DEP de um Processo Aleatório
Densidade Espectral de Potência de um Processo Aleatório
O resultado anterior corresponde ao teorema de Wiener-Khintchine,
que estabelece que se x(t) é um processo estacionário no sentido
amplo, então:
SX (ω) = F [RX (τ)]
Ou seja:
SX (ω) =
∫ +∞
−∞
RX (τ)e
−jωτdτ
RX (τ) =
1
2pi
∫ +∞
−∞
SX (ω)e
jωτdω
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
DEP de um Processo Aleatório
Densidade Espectral de Potência de um Processo Aleatório
Algumas propriedades importantes podem ser verificadas para SX (ω):
SX (ω) ≥ 0 (7)
A DEP é par:
SX (−ω) = SX (ω) (8)
SX (0) =
∫ +∞
−∞
RX (τ)dτ (9)
A área sob a curva da DEP fornece a potência total do processo:
PX = RX (0) =
1
2pi
∫ +∞
−∞
SX (ω)dω (10)
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
DEP de um Processo Aleatório
Propriedades da DEP
As seguintes identidades se verificam:∫ +∞
−∞
RX (τ)RY (τ)dτ =
1
2pi
∫ +∞
−∞
SX (ω)SY (ω)dω (11)
∫ +∞
−∞
R2X (τ)dτ =
1
2pi
∫ +∞
−∞
S2X (ω)dω (12)
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
DEP de um Processo Aleatório
Ruído Branco Passa-Baixas
Exemplo 9.2 (Lathi)
Determinar Rx(τ) e a potência Px para um processo aleatório x(t), sendo
x(t) um processo de ruído branco passa-baixas com DEP Sx(ω) = N/2
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
DEP de um Processo Aleatório
Ruído Branco Passa-Baixas
Exemplo 9.2 - Solução
Sx(ω) =
N
2
rect
( ω
4piB
)
Rx(τ) = F−1{Sx(ω)} = N
2
2piB
pi
sinc(2piBτ) = NBsinc(2piBτ)
Px = Rx(0) = NB ou Px = 1
2pi
∫
2piB
−2piB
N
2
dω = NB
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
DEP de um Processo Aleatório
Processo Aleatório Senoidal
Exemplo 9.3 (Lathi)
Determinar a DEP e o valor médio quadrático de x(t) = A cos (ωct + Θ),
sendo Θ uma variável aleatória uniformemente distribuída no intervalo
(0, 2pi).
Exemplo 9.3 - Solução
Rx(τ) =
A2
2
cosωcτ
Sx(ω) =
piA2
2
[δ(ω + ωc) + δ(ω − ωc)]
Px = x2 = Rx(0) =
A2
2
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
DEP de um Processo Aleatório
Processo Aleatório Senoidal
Exemplo 9.3 (Lathi)
Determinar a DEP e o valor médio quadrático de x(t) = A cos (ωct + Θ),
sendo Θ uma variável aleatória uniformemente distribuída no intervalo
(0, 2pi).
Exemplo 9.3 - Solução
Rx(τ) =
A2
2
cosωcτ
Sx(ω) =
piA2
2
[δ(ω + ωc) + δ(ω − ωc)]
Px = x2 = Rx(0) =
A2
2
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
ProcessosAleatórios Múltiplos
Roteiro
1
Introdução
2
Autocorrelação
Classificação dos Processos Aleatórios
Propriedades da Autocorrelação
3
Densidade Espectral de Potência
Densidade Espectral de Potência e de Energia
DEP de um Processo Aleatório
Processos Aleatórios Múltiplos
4
Sistemas Lineares
5
Informação de Fase
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
Processos Aleatórios Múltiplos
Processos Aleatórios Múltiplos
Sejam X (t) e Y (t) dois processos aleatórios, então a função de
correlação cruzada é definida como:
RXY (τ) = E [X (t)Y (t + τ)] (13)
RXY (τ) =
1
2pi
∫ +∞
−∞
SXY (ω)e
jωτdω (14)
Que leva à definição da DEP cruzada:
SXY (ω) =
∫ +∞
−∞
RXY (τ)e
−jωτdτ (15)
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
Processos Aleatórios Múltiplos
Processos Aleatórios Múltiplos
Se dois processos estacionários X (t) e Y (t) são somados para formar
um novo processo Z (t) = X (t) + Y (t), então a função de correlação
do novo processo será:
RZ (τ) = RX (τ) + RY (τ) + RXY (τ) + RYX (τ) (16)
Se X (t) e Y (t) são descorrelacionados ↔ RXY (τ) = RYX (τ) = 0.
Assim:
RZ (τ) = RX (τ) + RY (τ) (17)
A potência e a DEP serão, respectivamente:
PZ (τ) = RZ (0) = PX + PY (18)
SZ (ω) = SX (ω) + SY (ω) (19)
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
Sistemas Lineares
Os sistemas lineares podem ser analisados por meio da Teoria de
Processos Estocásticos
Soluções mais genéricas e interessantes do que as obtidas pela análise
tradicional
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
Sistemas Lineares
Para o sistema linear apresentado, a transformada de Fourier da
resposta ao impulso h(t) é:
H(ω) =
∫ +∞
−∞
h(t)e−jωtdt (20)
A resposta do sistema Y (t) é a convolução do sinal de entrada com a
função de transferência temporal:
Y (t) = X (t)∗h(t) =
∫ +∞
−∞
X (t−α)h(α)dα =
∫ +∞
−∞
X (α)h(t−α)dα
(21)
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
Valor Esperado
O valor médio do sinal aleatório de saída do sistema linear pode ser
calculado da seguinte forma:
E [Y (t)] = E [
∫ +∞
−∞
X (t − α)h(α)dα] =
∫ +∞
−∞
E [X (t − α)]h(α)dα
(22)
Considerando o sinal X (t) estacionário no sentido estrito, então:
E [X (t − α)] = E [X (t)] = mX (23)
Logo, o valor médio do sinal de saída depende apenas da média do
sinal de entrada e do valor da função de transferência na origem:
E [Y (t)] = mX
∫ +∞
−∞
h(α)dα = mXH(0) (24)
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
Resposta de Sistemas Lineares a Sinais Aleatórios
O cálculo da autocorrelação do sinal de saída de um sistema linear, a
partir da autocorrelação do sinal de entrada, é dada por:
RY (τ) = E [Y (t)Y (t + τ)] (25)
De onde se obtém:
RY (τ) =
∫ +∞
−∞
∫ +∞
−∞
RX (τ + ρ− σ)h(ρ)h(σ)dρdσ (26)
Ou seja:
RY (τ) = h(τ) ∗ h(−τ) ∗ RX (τ) (27)
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
Resposta de Sistemas Lineares a Sinais Aleatórios
Para o caso geral, é possível calcular a DEP de saída do sistema linear
usando o teorema de Wiener-Khintchine:
SY (ω) = z[RY (τ)] (28)
O desenvolvimento da expressão leva a:
SY (ω) = |H(ω)|2 · SX (ω) (29)
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
Resposta de Sistemas Lineares a Sinais Aleatórios
Outras relações entre as medidas de correlação podem ser obtidas:
RXY (τ) = RX (τ) ∗ h(τ) (30)
RYX (τ) = RX (τ) ∗ h(−τ) (31)
SXY (ω) = SX (ω) · H(ω) (32)
SYX (ω) = SX (ω) · H∗(ω) (33)
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
Ruído Térmico
Exemplo 9.9 Lathi
O movimento aleatório dos elétrons em um resistor R origina uma tensão
entre os seus terminais. Esta tensão n(t) é conhecida como ruído térmico.
A sua DEP Sn(ω) é praticamente plana sobre uma extensa banda (até
1000 GHz na temperatura ambiente) e é dada por:
Sn(ω) = 2kTR; (k = 1, 38× 10−23)
Um resistor R na temperatura T pode ser representado por um resistor
sem ruído R em série com uma fonte de ruído branco com DEP Sn(ω).
Calcule o valor RMS da tensão ao longo do circuito RC mostrado a seguir.
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
Ruído Térmico
Exemplo 11.9
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
Ruído Térmico
Exemplo 11.9 - Solução
A função de transferência relacionando a saída vo com a entrada Sn(ω) é
dada por:
H(ω) =
1
1+ jωRC
Sendo So(ω), a DEP da saída vo , então:
So(ω) = | 1
1+ jωRC
|22kTR = 2kTR
1+ ω2R2C 2
v2o =
1
2pi
∫ ∞
−∞
2kTR
1+ ω2R2C 2
dω =
kT
C
vo(RMS) =
√
kT
C
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
Informação de fase
A DEP é obtida por meio de uma operação de módulo
A informação de fase é perdida
As densidades cruzadas de entrada-saída e saída-entrada conservam
essa informação e podem ser usadas para extraí-la
A função de transferência de um sistema linear pode ser colocada na
forma de módulo e fase:
H(ω) = |H(θ)| · e jθ(w) (34)
Prof. Fabrício Braga Soares de Carvalho, D.Sc. ( Universidade Federal da Paraíba (UFPB) Departamento de Engenharia Elétrica )Revisãode Processos Estocásticos Fevereiro 2016 59 / 61
Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
Informação de fase
O conjugado da função de transferência é:
H∗(θ) = |H(θ)| · e−jθ(w) (35)
Como:
SY (θ) = H
∗(θ) · SXY (θ) = H(θ) · SYX (θ), (36)
chega-se a:
e2jθ(w) =
SXY (θ)
SYX (θ)
(37)
Isolando a função θ(w), chega-se à informação de fase:
θ(w) =
1
2j
ln
SXY (θ)
SYX (θ)
(38)
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Introdução Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Sistemas Lineares Informação de Fase
Referências Bibliográficas
M. S. ALENCAR. Princípios de Comunicação. Editora Universitária
UFPB, 1999.
S. L. MILLER and D. G. CHILDERS. Probability and Random
Processes with Applications to Signal Processing and
Communications. Elsevier, 2012.
A. B. CARLSON e P. B. CRILLY. Communication Systems - An
Introduction to Signals and Noise in Electrical Communication.
McGraw-Hill, Fifth Edition, 2010.
B.P. LATHI e Z. DING. Sistemas de Comunicações Analógicos e
Digitais Modernos. Rio de Janeiro: LTC, 2012.
Notas de aula do prof. Edmar Nascimento, do Colegiado de
Engenharia Elétrica da UNIVASF.
Prof. Fabrício Braga Soares de Carvalho, D.Sc. ( Universidade Federal da Paraíba (UFPB) Departamento de Engenharia Elétrica )Revisão de Processos Estocásticos Fevereiro 2016 61 / 61
	Introdução
	Autocorrelação
	Classificação dos Processos Aleatórios
	Propriedades da Autocorrelação
	Densidade Espectral de Potência
	Densidade Espectral de Potência e de Energia
	DEP de um Processo Aleatório
	Processos Aleatórios Múltiplos
	Sistemas Lineares
	Informação de Fase