Revisão Sinais e Sistemas

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Introdução Sinais Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Revisão de Sinais e Sistemas
Prof. Fabrício Braga Soares de Carvalho, D.Sc.
Universidade Federal da Paraíba (UFPB)
Departamento de Engenharia Elétrica
Fevereiro 2016
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Introdução Sinais Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Roteiro
1
Introdução
2
Sinais
3
Fourier
4
Sistemas Lineares
5
Filtros
6
Distorção
7
Energia, Potência e Autocorrelação
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Sistemas de Comunicação
Modelo para um típico sistema de comunicação
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Sistemas de Comunicação
Principais componentes de um sistema de comunicação:
Fonte
Transdutor de entrada
Transmissor
Canal
Receptor
Transdutor de saída
Destino
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Definição de Sinais e Sistemas
Um sinal é um conjunto de informação ou dados.
Em Comunicações, geralmente tratamos de sinais que são funções da
variável independente tempo.
Sinais podem ser processados por sistemas
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Definição de Sinais e Sistemas
Os sistemas podem modificar os sinais ou extrair informações
adicionais.
Exemplo 1: um lançador de míssil antiaéreo;
As tensões e correntes, em um circuito elétrico, são sinais; já o circuito
é um sistema (que responde às tensões e correntes aplicadas).
Ou seja, um sistema é uma entidade que processa um conjunto de
sinais (entradas) para produzir outro conjunto de sinais (saídas).
Um sistema pode ser constituído de componentes físicos
(implementação em hardware) ou pode ser um algoritmo
(implementação de software).
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Energia de um Sinal
Para estabelecer uma grandeza padrão que meça a intensidade de um
sinal, em geral vemos um sinal g(t) como uma tensão através de um
resistor de 1 Ohm.
Define-se a energia Eg de um sinal como a energia que a tensão g(t)
dissipa no resistor.
De maneira mais geral, a energia de um sinal real é:
Eg =
∫ ∞
−∞
g2(t)dt (1)
Para um sinal g(t) de valores complexos:
Eg =
∫ ∞
−∞
|g(t)|2dt (2)
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Potência de um Sinal
Para lidar com os problemas de convergência ou não convergência da
energia de um sinal, utiliza-se a média temporal da energia (caso
exista)
A potência média de um sinal g(t) é definida (para um sinal de valores
reais) como:
Pg = lim
T→∞
1
T
∫ T/2
−T/2
g2(t)dt
A potência média de um sinal g(t) é generalizada para um sinal g(t)
de valores complexos como:
Pg = lim
T→∞
1
T
∫ T/2
−T/2
|g(t)|2dt
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Potência de um Sinal
A potência do sinal Pg é a média temporal (valor médio) da amplitude
quadrática do sinal.
Ou seja, Pg é o valor quadrático médio de g(t).
O valor eficaz de g(t), ou valor RMS, é a raiz quadrada de Pg .
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Decibéis
Sejam P
1
e P
2
valores de potência em dois pontos, a razão entre essas
potências em decibéis é definida por
número de dBs = 10 log
10
P
2
P
1
= 10 log
10
V 2
2
/R
2
V 2
1
/R
1
= 10 log
10
V 2
2
V 2
1
= 20 log
10
V
2
V
1
Se V
1
representa a tensão de entrada e V
2
a tensão de saída então a
resposta de amplitude em dB pode ser expressa como
|H(f )|dB = 20 log
10
V
2
V
1
= 20 log
10
|H(f )|
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Classificação de Sinais
Há várias classes de sinais. As principais são:
Sinais em tempo contínuo e sinais em tempo discreto
Sinais analógicos e sinais digitais
Sinais periódicos e sinais aperiódicos
Sinais de energia e sinais de potência
Sinais determinísticos e sinais probabilísticos
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Sinais Periódicos e Aperiódicos
Um sinal é periódico no tempo se para alguma constante positiva T
0
,
x(t) = x(t + T
0
),∀t
O menor valor de T
0
é o período de x(t)
Um sinal é aperiódico se não é periódico
Sinais periódicos começam em −∞ e seguem a +∞
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Sinais de Energia e de Potência
A energia normalizada de um sinal x(t) é definida como:
Ex =
∫ ∞
−∞
|x(t)|2dt
A potência normalizada de um sinal x(t) é definida como:
Px = lim
T→∞
1
T
∫ T/2
−T/2
|x(t)|2dt
Um sinal é dito ser um sinal de energia se 0 < Ex <∞
Um sinal é dito ser um sinal de potência se 0 < Px <∞
Um sinal não pode ser de energia e potência ao mesmo tempo
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Sinais de Energia e de Potência
Todo sinal observado na vida real é um sinal de energia
Sinais periódicos são sinais de potência
Calcular a média de g2(t) em um intervalo de tempo infinito equivalea calculá-lo em um período
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Função Impulso Unitário
A função impulso unitário foi definida por Dirac como:
δ(t) = 0, t 6= 0∫ ∞
−∞
δ(t)dt = 1
A função impulso verifica as seguintes relações:
φ(t)δ(t) = φ(0)δ(t)
φ(t)δ(t − T ) = φ(T )δ(t − T )∫ ∞
−∞
φ(t)δ(t)dt = φ(0)∫ ∞
−∞
φ(t)δ(t − T )dt = φ(T )
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Função Degrau Unitário
A função degrau unitário é definida como:
u(t) =
{
1, t ≥ 0
0, t < 0
(3)
Além disso:
u(t) =
∫ t
−∞
δ(t)dt (4)
δ(t) =
du(t)
dt
(5)
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Ortogonalidade e Ortonormalidade
O conceito de ortogonalidade de vetores pode ser estendido a sinais
em tempo contínuo
Dados dois sinais reais x(t) e y(t), definidos no intervalo (t
1
, t
2
), o
seu produto escalar é:
< x(t), y(t) >=
∫ t
2
t
1
x(t)y(t)dt (6)
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Ortogonalidade e Ortonormalidade
Os sinais reais x(t) e y(t) serão ortogonais se o seu produto interno
é nulo, ou seja:
< x(t), y(t) >=
∫ t
2
t
1
x(t)y(t)dt = 0 (7)
Os sinais reais x(t) e y(t) serão ortonormais se forem ortogonais e se
a energia de cada sinal é unitária
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Sistemas Lineares Invariantes no Tempo (LIT)
A invariância no tempo e a linearidade são fundamentais em sinais e
sistemas
Sinais gerais podem ser representados como combinações lineares de
impulsos deslocados
Isto e as propriedades de superposição e invariância no tempo
caracterizam qualquer sistema LIT em termos de resposta a um
impulso unitário
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Sistemas Lineares Invariantes no Tempo (LIT)
A integral de convolução em tempo contínuo é a representação de
um sistema LIT de tempo contínuo em termos de sua resposta a um
impulso unitário.
Assim, a convolução de dois sinais x(t) e h(t) é:
y(t) = x(t) ∗ h(t) =
∫ +∞
−∞
x(τ)h(t − τ)dτ (8)
Ou seja: y(t) é a resposta do sistema a uma entrada arbitrária x(t)
em função da resposta h(t) do impulso unitário
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Série de Fourier
Um sinal periódico pode ser representado pela soma de senóides (ou
exponenciais) de várias frequências
As exponenciais complexas são importantes em sistemas LTI
A resposta de um sistema LTI para uma entrada exponencial complexa
é a mesma exponencial complexa apenas com mudança de amplitude
Se x(t) = est , então:
y(t) = x(t) ∗ h(t) =
∫ +∞
−∞
h(τ)x(t − τ)dτ = est
∫ +∞
−∞
h(τ)e−sτdτ
(9)
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Série de Fourier
Logo:
y(t) = H(s)est ;H(s) =
∫ +∞
−∞
h(τ)e−sτdτ (10)
Portanto, se a entrada de um sistema LTI for representada por uma
combinação linear de exponenciais complexas, então a saída também
pode ser representada como uma combinação linear dos mesmos sinais
exponenciais complexos
Isto é válido tanto para tempo contínuo quanto para tempo discreto
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Série de Fourier
A série de Fourier na forma exponencial é:
x(t) =
+∞∑
k=−∞
ake
j ·k·wot =
+∞∑
k=−∞
ake
j ·k·( 2pi
T
)t
(11)
Ou seja, uma combinação linear de exponenciais complexas
harmonicamente relacionadas também é periódica com período T
Um sinal da forma x(t) = e j ·wot é periódico com frequência
fundamental wo e período fundamental T =
2pi
wo
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Integral de Fourier
Um sinal aperiódico pode ser representado como uma soma contínua
(integral) de exponenciais.
g(t)⇐⇒ G (w) (12)
G (w) =
∫ +∞
−∞
g(t)e−jwtdt (13)
g(t) =
1
2pi
∫ +∞
−∞
G (w)e jwtdw (14)
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Amplitude e Fase do Espectro
G (ω) é em geral uma função complexa de ω
G (ω) = |G (ω)|e jθg
Quando g(t) é real, tem-se:
G (−ω) = G ∗(ω) =⇒
{ |G (ω)| = |G (−ω)|
θg (ω) = −θg (−ω)
}
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Exemplo
Calcular a transformada de Fourier de g(t) = e−atu(t), a > 0
G (ω) = 1a+jω =
1√
a2+ω2
e−j arctan (ω/a)
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Transformadas de algumas funções
A função retangular ou função porta (Unit Gate) é definida como:
rect(x) = =
{
0, |x | > 1
2
1, |x | < 1
2
}
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Transformadas de algumas funções
g(t) = rect(t) ⇐⇒ G (ω) = τ sinωτ/2
ωτ/2
= τsinc(
ωτ
2
)
A função sinc(x) = sin xx possui as seguintes propriedades:
sinc(x) = sinc(−x)
sinc(x) = 0 =⇒ sin x = 0, x 6=0 =⇒ x = ±npi; n = {1, 3, · · · }
sinc(0) = 1
sinc(x) é uma função com período 2pi que decresce de acordo com 1/x
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Transformadas de algumas funções
O espectro do pulso retangular se estende até infinito (largura de
banda infinita)
Uma estimativa grosseira: (2pi/τ) rad/s ou (1/τ) Hz
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Transformadas de algumas funções
Impulso no tempo
δ(t) ⇐⇒ 1
Impulso em frequência
1 ⇐⇒ 2piδ(ω)
Impulso em frequência deslocado
e jω0t ⇐⇒ 2piδ(ω − ω
0
)
e−jω0t ⇐⇒ 2piδ(ω + ω
0
)
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Transformadas de algumas funções
Cosseno
cosω
0
t =
1
2
(e jω0t + e−jω0t)
F [cosω
0
t] = pi[δ(ω + ω
0
) + δ(ω − ω
0
)]
Seno
sinω
0
t =
1
2j
(e jω0t − e−jω0t)
F [sinω
0
t] = pij [δ(ω + ω
0
)− δ(ω − ω
0
)]
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Introdução Sinais Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Propriedades da Transformada de Fourier
Simetria
g(t) ⇐⇒ G (ω)
G (t) ⇐⇒ 2pig(−ω)
Exemplo:
rect(
t
τ
) ⇐⇒ τsinc(ωτ
2
)
τsinc(
tτ
2
) ⇐⇒ 2pirect(ω
τ
)
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Introdução Sinais Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Propriedades da Transformada de Fourier
Scaling
g(t) ⇐⇒ G (ω)
g(at) ⇐⇒ 1|a|G (
ω
a
)
a > 1, compressão no tempo resulta na expansão em frequência
a < 1, expansão no tempo resulta na compressão em frequência
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Introdução Sinais Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Propriedades da Transformada de Fourier
Deslocamento no tempo
g(t) ⇐⇒ G (ω)
g(t − t
0
) ⇐⇒ e−jωt0G (ω)
Deslocamento em frequência
g(t) ⇐⇒ G (ω)
g(t)e jω0t ⇐⇒ G (ω − ω
0
)
Sinal Modulado
g(t) cosω
0
t ⇐⇒ 1
2
[G (ω − ω
0
) + G (ω + ω
0
)]
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Introdução Sinais Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Propriedades da Transformada de Fourier
Convolução
g(t) ∗ w(t) =
∫ ∞
−∞
g(τ)w(t − τ)dτ
Convolução no tempo
g
1
(t) ⇐⇒ G
1
(ω); g
2
(t)⇐⇒ G
2
(ω)
g
1
(t) ∗ g
2
(t) ⇐⇒ G
1
(ω)G
2
(ω)
Convolução em frequência
g
1
(t) ⇐⇒ G
1
(ω); g
2
(t)⇐⇒ G
2
(ω)
g
1
(t)g
2
(t) ⇐⇒ 1
2pi
G
1
(ω) ∗ G
2
(ω)
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Introdução Sinais Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Propriedades da Transformada de Fourier
Diferenciação no tempo
g(t) ⇐⇒ G (ω)
dg(t)
dt
⇐⇒ jωG (ω)
Integração no tempo
g(t) ⇐⇒ G (ω)∫ t
−∞
g(τ)dτ ⇐⇒ G (ω)
jω
+ piG (0)δ(ω)
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Introdução Sinais Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Sistemas Lineares
Um sistema linear invariante no tempo (LIT) em tempo contínuo pode
ser caracterizado no domínio do tempo ou no domínio da frequência.
Um sistema LIT pode ser caracterizado no domínio do tempo por sua
resposta ao impulso h(t).
Para um sistema LIT, a relação entre a entrada e a saída é dada por
y(t) = g(t) ∗ h(t)
No domínio da freqüência, tem-se
Y (ω) = G (ω)H(ω)
A transformada de Fourier da resposta ao impulso h(t) é chamada de
função de transferência ou resposta em frequência do sistema
LIT.
H(w) = |H(w)|e jθ(w) (15)
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Introdução Sinais Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Transmissão através de Sistemas Lineares
Para um sistema LIT, a relação entre a entrada e a saída é dada por
y(t) = x(t) ∗ h(t)
Prof. Fabrício Braga Soares de Carvalho, D.Sc. ( Universidade Federal da Paraíba (UFPB) Departamento de Engenharia Elétrica )Revisão de Sinais e Sistemas Fevereiro 2016 38 / 57
Introdução Sinais Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Transmissão através de Sistemas Lineares
No domínio da freqüência, tem-se
Y (w) = |Y (w)|e jθy (w) = X (w).H(w) = |X (w)||H(w)|e j[θx (w)+θh(w)]
Portanto,
|Y (w)| = |G (w)||H(w)|
θy (w) = θx(w) + θh(w)
Em se tratando de um sinal aleatório na entrada do sistema, a DEP de
saída é dada por
Y (w) = X (w).|H(w)|2
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Introdução Sinais Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Transmissão sem Distorção
Em uma transmissão sem distorção, a forma de onda de entrada deve
ser preservada
Toleram-se atrasos e uma alteração uniforme na amplitude
y(t) = kg(t − td)
No domínio da freqüência, tem-se
Y (ω) = kG (ω)e−jωtd → H(ω) = ke−jωtd
Resposta em amplitude constante: |H(ω)| = k
Resposta em fase linear: θh(ω) = −ωtd
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Introdução Sinais Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Transmissão sem Distorção
O atraso pode ser representado pelo negativo da inclinação da
resposta em fase
td(ω) = −dθh
dω
td(ω) constante implica que todas as componentes do sinal são
igualmente atrasadas por td
Para um sistema sem distorção, td(ω) deve ser pelo menos constante
na banda de interesse
Prof. Fabrício Braga Soares de Carvalho, D.Sc. ( Universidade Federal da Paraíba (UFPB) Departamento de Engenharia Elétrica )Revisão de Sinais e Sistemas Fevereiro 2016 41 / 57
Introdução Sinais Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Exemplo
Para o circuito RC, determinar H(ω), e esboce |H(ω)|, θh(ω) e td(ω).
Prof. Fabrício Braga Soares de Carvalho, D.Sc. ( Universidade Federal da Paraíba (UFPB) Departamento de Engenharia Elétrica )Revisão de Sinais e Sistemas Fevereiro 2016 42 / 57
Introdução Sinais FourierSistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Exemplo
H(ω) =
1
1+ jωRC
=
a
a + jω
; a =
1
RC
= 106
|H(ω)| = a√
a2 + ω2
' 1;ω � a
θh(ω) = − arctan ω
a
' −ω
a
;ω � a
td(ω) = −dθh
dω
=
a
ω2 + a2
' 1
a
= 10−6;ω � a
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Introdução Sinais Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Exemplo
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Introdução Sinais Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Filtros Ideais
Em muitas situações práticas é necessário limitar o espectro de
freqüências de um sinal
Melhor aproveitamento do espectro
Componentes de alta freqüência de pouca relevância na aplicação
considerada
Os filtros ideais permitem que a transmissão ocorra sem distorção em
uma determinada banda e suprimem as freqüências fora dessa banda
Os principais tipos de filtros são:
Passa-baixas (Low-pass)
Passa-altas (High-pass)
Passa-faixas (Band-pass)
Rejeita-faixas
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Filtros Ideais
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Filtros Ideais
Os filtros ideais não são fisicamente realizáveis
H(ω) = rect
( ω
2W
)
e−jωtd → h(t) = W
pi
sinc[W (t − td)]
h(t) é não causal e portanto não é fisicamente realizável
Outra forma de verificar se um filtro é fisicamente realizável é verificar
se ele atende o critério de Paley-Wiener∫ ∞
−∞
| ln |H(ω)||
1+ ω2
dω < ∞
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Filtros Realizáveis
Os filtros práticos não realizam cortes bruscos
O espectro de amplitude do filtro de Butterworth se aproxima do filtro
ideal quando n→∞
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Tipos de Distorção
Os sinais, quando são transmitidos através de canais, estão
freqüentemente sujeitos à distorção
Características não ideais dos canais
Os principais tipos de distorção são os seguintes:
Distorção linear
Distorção causada por não linearidades do canal
Distorção causada por efeitos de multipercurso
Desvanecimento (Fading)
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Distorção Linear
A distorção do sinal pode ser causada por distorção de magnitude ou
de fase, ou ambas
Quando as características do canal não são ideais, as componentes de
Fourier não são igualmente afetadas
Componentes que se cancelavam podem não mais se cancelar
O resultado é o espalhamento ou dispersão dos pulsos de informação
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Distorção Causada por Não Linearidades do Canal
O modelo de canal linear é válido apenas para pequenos sinais
Para grandes amplitudes, as características não lineares não podem ser
negligenciadas
y = f (g) = a
0
+ a
1
g(t) + a
2
g2(t) + · · ·+ akgk(t) + · · ·
Se g(t) tem largura de banda de B Hz, então gk(t) tem largura de
banda de kB Hz
Espalhamento ou dispersão espectral
Nocivo para sistemas multiplexados em freqüência (FDM)
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Distorção Causada por Efeitos de Multipercurso
O sinal transmitido pode chegar no receptor através de dois ou mais
caminhos
A atenuação e o atraso podem ser diferentes para cada caminho
A interferência entre os dois sinais dá origem ao desvanecimento
seletivo em freqüência
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Densidade Espectral de Energia
A partir da expressão de Parseval, verifica-se que a energia pode ser
obtida através da área do gráfico de |G (ω)|2
Define-se então a densidade espectral de energia (DEE - ESD em
inglês) como
Ψg (ω) = |G (ω)|2
Assim, tem-se que:
Eg =
1
2pi
∫ ∞
−∞
Ψg (ω)dω =
∫ ∞
−∞
Ψg (f )df
Para um sistema LIT em que y(t) = h(t) ∗ g(t), então:
Ψy (ω) = |H(ω)|2Ψg (ω)
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Densidade Espectral de Potência
Analogamente ao que foi feito para os sinais de energia, pode-se
mostrar que para um sinal de potência x(t)
Px =
1
2pi
∫ ∞
−∞
lim
T→∞
|XT (ω)|2
T
dω
Define-se então a Densidade Espectral de Potência (DEP - Power
Spectral Density em inglês) de x(t) como sendo
Gx(ω) = lim
T→∞
|XT (ω)|2
T
Logo, a potência pode ser expressada como
Px =
1
2pi
∫ ∞
−∞
Gx(ω)dω =
∫ ∞
−∞
Gx(f )df
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Largura de Banda Essencial
O espectro da maioria dos sinais se estende até o infinito
Entretanto, como a energia é em geral finita, o espectro de amplitude
tende a zero quando ω →∞
Pode-se então suprimir as componentes acima de B Hz (2piB rad/s)
com pouco efeito no sinal original
Segundo esse critério, a largura de banda B é chamada de largura de
banda essencial
O critério para estimar B depende da aplicação considerada
Faixa de freqüência que contém 95% da energia do sinal
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Exemplo
Problema
Estime a largura de banda essencial W em rad/s do sinal e−atu(t), a > 0,
sendo que essa banda deve conter95% da energia do sinal.
Solução
g(t) = e−atu(t)↔ G (ω) = 1
jω + a
Eg =
1
2pi
∫ ∞
−∞
1
ω2 + a2
dω =
1
2a
0, 95
1
2a
=
1
2pi
∫ W
−W
1
ω2 + a2
dω →W = (12, 706.a)rad/s
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Exemplo
Problema
Estime a largura de banda essencial W em rad/s do sinal e−atu(t), a > 0,
sendo que essa banda deve conter 95% da energia do sinal.
Solução
g(t) = e−atu(t)↔ G (ω) = 1
jω + a
Eg =
1
2pi
∫ ∞
−∞
1
ω2 + a2
dω =
1
2a
0, 95
1
2a
=
1
2pi
∫ W
−W
1
ω2 + a2
dω →W = (12, 706.a)rad/s
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Referências Bibliográficas
B.P. LATHI e Z. DING. Sistemas de Comunicações Analógicos e
Digitais Modernos. Rio de Janeiro: LTC, 2012.
S. HAYKIN e M. MOHER. Introdução aos Sistemas de Comunicação -
Segunda Edição. Bookman, 2008.
Notas de aula do prof. Edmar Nascimento, do Colegiado de
Engenharia Elétrica da UNIVASF.
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	Introdução
	Sinais
	Fourier
	Sistemas Lineares
	Filtros
	Distorção
	Energia, Potência e Autocorrelação