Calculo Diferencial e Integral I Unidade I

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Reitor 
Prof. Ms. Stefano Barra Gazzola 
 
Gestão da Educação a Distância 
Prof. Ms. Wanderson Gomes de Souza 
 
Design Instrucional e Diagramação 
Diógenes Caxin 
Victor Rocha 
 
Coord. do Núcleo Pedagógico 
Prof.ª Ms. Terezinha Nunes Gomes Garcia 
Prof.ª Dr.ª Gleicione Aparecida Dias Bagne de Souza 
 
Revisão ortográfica / gramatical 
Erika de Paula Sousa 
 
 
 
 
4 
Autor 
 
Alessandro Ferreira Alves 
Doutor em Matemática Aplicada pela Faculdade de Engenharia 
Elétrica e Computação (FEEC) da Universidade Estadual de 
Campinas (UNICAMP-SP) no departamento de Telemática. 
Mestre em Matemática Pura pelo Instituto de Matemática, 
Estatística e Computação (IMECC) da Universidade Estadual de 
Campinas (UNICAMP-SP). Possui Licenciatura Plena em 
Matemática pela Universidade Federal de Uberlândia (UFU-MG). 
Atua como professor titular no Centro Universitário do Sul de 
Minas (UNIS-MG), desde o ano de 2001, como professor em 
diversos Cursos de Graduação, bem como cursos de Pós-
graduação, nas Modalidades Presencial (GEP) e a Distância 
(GEaD). Além disso, é Coordenador do Curso de Licenciatura 
Plena em Matemática na Modalidade a Distância desde o 
segundo semestre de 2007, bem como, já atuou como 
coordenador dos cursos de Pós-graduação do UNIS-MG, tais 
como: MBA em Finanças Corporativas (GEDUP – 2007 e 2008), 
MBA em Gestão Empresarial (GeaD – 2008), Pós-graduação em 
Matemática Empresarial (GEP – 2004, 2005 e 2006) e Lato Sensu 
em Matemática e Ensino (GEDUP – 2002 e 2003). Atualmente, 
atua como professor titular de disciplinas em vários cursos de 
 
 
 
5 
nossa instituição, como por exemplo, Engenharia Mecânica, 
Engenharia de Produção, Engenharia Civil, Matemática, Física, 
Comércio Exterior, Sistemas de Informação e Ciência da 
Computação, relacionadas à Matemática, Estatística e 
Computação, bem como, como professor em diversos cursos 
da GEPOS, tais como, MBA em Finanças Corporativas e Gestão 
Bancária, MBA em Gestão Estratégica e Inteligência em 
Negócios, MBA em Gestão Empresarial, MBA em Logística 
Empresarial e Lato Sensu em Ensino de Matemática e Física. O 
professor Alessandro Ferreira Alves também é membro do 
CONSELHO UNIVERSITÁRIO – CONSUN do Centro Universitário 
do Sul de Minas Gerais desde o ano de 2008, atuando como 
representante do quadro de coordenadores da instituição. De 
outra forma, atua com projetos de consultoria na área de 
Finanças, Estatística Aplicada a Mercado e Controle Estatístico 
de Processos. 
 
 
 
 
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ALVES, Alessandro Ferreira 
Guia de Estudo – Cálculo Diferencial 
Integral I – Alessandro Ferreira Alves. 
Varginha: GEaD-UNIS/MG, 2010. 262p. 
 
1.Introdução ao cálculo diferencial e 
integral, limites e continuidade de funções de uma 
variável real. 
 
 
 
 
7 
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL, LIMITES 
E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL .......... 15 
1- ASPECTOS INTRODUTÓRIOS: QUAL A VERDADEIRA NECESSIDADE PARA O 
ESTUDO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL? ........................................ 18 
1.1 Aspectos Históricos Envolvendo o Cálculo Diferencial e Integral 23 
1.2 O Cálculo Infinitesimal no Século XVII ........................................ 29 
1.3 Aplicações a Serem Desenvolvidas ao Longo da Disciplina ....... 32 
1.3.1 O Conjunto  dos Números Reais ............................................. 49 
1.3.2 O Conjunto dos Números Reias é um Corpo .............................. 49 
1.3.3 O Conjunto dos Números Reias é um Corpo Ordenado ............. 53 
5. Funções Elementares .................................................................. 57 
5.1 A Função Afim (ou A Função Polinomial do 1 0 Grau) .................. 57 
5.1.1 A Função Quadrática (ou A Função Polinomial do 2 0 Grau) ....... 63 
1.4 A Função Exponencial ................................................................. 73 
1.5 Nomenclatura Acerca dos Logaritmos ............................................. 96 
1.6 Propriedades dos Logaritmos .......................................................... 97 
1.7 A Função Modular .......................................................................... 106 
1.8 A Noção Intuitiva do Conceito de Limite ........................................ 120 
19 A Definição Formal do Conceito de Limite ...................................... 132 
1.1 Propriedades Operatórias dos Limites ...................................... 136 
Limites Laterais .................................................................................... 142 
1.10 Cálculo de Limites: Como podemos fugir das Indeterminações? 152 
1.1 Limites no Infinito....................................................................... 159 
1.11 LIMITES INFINITOS ........................................................................... 168 
1.12 Propriedades dos Limites Infinitos ............................................. 173 
1.13 Infinitamente Pequeno ............................................................... 176 
1.13 Propriedades Envolvendo Infinitamente Pequeno ..................... 177 
1.14 O que são Assíntotas? .............................................................. 177 
1.15 Limites Fundamentais ............................................................... 190 
1.15.1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PARA FIXAÇÃO ......................... 204 
1.16 Continuidade: O que são funções contínuas? ........................... 221 
Aritmética das Funções Contínuas ...................................................... 249 
 
 
 
8 
1.17 Resumo da Unidade .................................................................. 260 
1.18 Diretrizes para a Próxima Unidade ............................................ 261 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.................................................... 263 
 
 
 
 
9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
OBJETIVOS GERAIS 
Apresentar os conceitos, resultados e médodos do cálculo 
diferencial e integral de uma variável real, bem como aplicar tais 
conceitos e resultados na resolução de problemas simulados 
voltados para a matemática e para física. 
 
 
OBJETIVOS ESPECÍFICOS 
Apresentar os conceitos do cálculo diferencial e integral de uma 
variável; 
Compreender a importãncia do estudo de funções de uma 
variável para a resolução de diversas situações dentro da 
matemática e da física; 
Interpretar e aplicar a noção de limite na resolução de 
problemas simulados; 
 
 
 
11 
Estar plenamente familiarizado com os principais conceitos e 
resultados envonvendo limites e continuidade; 
Compreender e aplicar a noção de derivada na resolução de 
problemas simulados nas áreas de matemática, física e gestão; 
Estar plenamente familiarizado com os principais conceitos e 
resultados envonvendo derivadas e taxas de variação; 
Estar plenamente familiarizado com problemas envolvendo 
máximos e mínimos; 
Estar plenamente familiarizado com os principais conceitos e 
resultados envonvendo a teoria da integração, indefinida e 
definida; 
Compreender e aplicar a integração na resolução de problemas 
simulados; 
Compreender, relacionar e aplicar os principias resultados do 
cálculo diferencial e integral de uma variável em situações do 
dia-a-dia; 
 
 
 
 
12 
 
EMENTA 
 
Limites. Continuidade. Derivadas. Estudo da Variação das 
Funções. Máximos e Mínimos. A Integral Indefinida. A Integral 
Definida. Técnicas de Integração. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13Caro (a) aluno (a) 
Uma das grandes caracteríscas atuais no mundo dos 
negócios é a enorme permeabilidade a mudança. As revoluções 
acontecem em ondas sucessivas e a garantia de sucesso em 
um forte mercado, altamente competitivo, esta na capacidade 
de reagir rapidamente e seguramente a esses acontecimentos. 
Para Druker(1999), as mudanças mais importantes são aquelas 
que acontecem sem que ninguém as prevejaa. Não se podeo 
tomar decisões para o futuro. Decisões são compromissos com 
 
 
 
14 
ações e estas se dão no presente. Porém, as ações no presente 
são a única maneira de fazer o futuro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
Introdução ao Cálculo Diferencial e Integral, Limites e 
Continuidade de Funções de Uma Variável Real 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
META 
Nesta primeira Unidade é de nosso interesse apresentar a 
noção de continuidade e limites de funções de uma variável, 
bem como apresentar os principais resultados relacionados, a 
fim de aplicar na resolução de problemas simulados. Em 
verdade, o conceito de limite será de fundamental importância 
para definirmos e aplicarmos a teoria de derivadas que 
estudaremos na segunda unidade. 
 
OBJETIVOS 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta unidade, 
você seja capaz de: 
Apresentar os conceitos do cálculo diferencial e integral de 
uma variável; 
Compreender a importãncia do estudo de funções de uma 
variável para a resolução de diversas situações dentro da 
matemática e da física; 
Interpretar e aplicar a noção de limite na resolução de 
problemas simulados; 
 
 
 
17 
Estar plenamente familiarizado com os principais conceitos 
e resultados envonvendo limites e continuidade; 
Resolver diversas aplicações dentro da matemática e física 
envolvendo os aspectos teóricos discutidos na unidade. 
 
PRÉ-REQUISITOS 
 
Em verdade, para se ter um bom aproveitamento desta 
unidade, é importante você relembrar alguns tópicos discutidos 
na parte de Matemática Elementar (Fundamentos de 
Matemática). 
 
 
 
 
 
18 
1- Aspectos Introdutórios: Qual a verdadeira necessidade 
para o estudo de Cálculo Diferencial e Integral? 
 
Eu, professor na área de Matemática já alguns anos, já 
vivenciei em vários momentos a experiência de ser questionado 
por meus alunos de graduação, sobre a importância da 
Matemática e sua utilidade, principalmente no dia-a-dia ou na 
respectiva área de atuação. Eles costumam fazer indagações, 
tais como: 
 Professor, para que serve toda essa Matemática que 
estamos estudando? 
 Professor, realmente tenho que saber derivadas? Regra 
da Cadeia? 
 Professor qual a necessidade real de aprender tais 
fórmulas, regras e/ou expressões complicadas? 
 Professor, qual a necessidade de realmente estar 
familiarizado com todos estes métodos de resolução de 
equações diferenciais ordinárias? 
 Professor eu realmente tenho que saber isso? 
 
 
 
19 
 Professor, nós podemos utilizar a Matemática para 
resolvermos problemas empresariais, ou seja, problemas 
de gestão? 
 Professor, para saber Física eu necessito dominar as 
definições e métodos da Matemática? 
 Por que a gente tem de aprender todas essas coisas 
sobre Funções, Triângulos, Matrizes, Probabilidade, 
Limites, Derivadas, Sistemas de Amortização, Séries 
Numéricas, Transformadas de Laplace, Equações 
Diferenciais, etc. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 01: A Importância da Matemática. 
Por quê a 
Matemática? 
A Matemática 
está presente 
em nossas 
vidas. 
 
 
 
20 
Afinal, de que vai me adiantar tudo isso na vida? Na verdade, 
perguntas desse tipo nem sempre têm respostas diretas, fáceis 
ou breves. Então, como podemos justificar tais indagações? As 
razões mais freqüentemente mencionadas para justificarmos o 
ensino da Matemática são as seguintes: 
A Matemática é necessária em atividades práticas que 
envolvem aspectos quantitativos da realidade. 
A Matemática é importante porque desenvolve o raciocínio 
lógico. 
A Matemática é importante porque está presente diretamente e 
indiretamente na vida das pessoas no corre-corre do dia-a-dia e, 
diretamente ou indiretamente na vida cotidiana das empresas 
de forma geral. 
A Física não caminha sem a Matemática, ou seja, a Matemática 
é o alicerce para a compreensão dos fenômenos físicos. 
A Matemática é importante na área da gestão, pois permite que 
o gestor tome decisão de forma confiável, isto é, conclusões 
tiradas sobre dados. 
Sabemos que a Matemática é produto da cultura humana 
e faz parte do nosso cotidiano. Por isso, deve ser trabalhada de 
forma a ser aprendida por todos. É uma ciência exata, cuja 
 
 
 
21 
produção envolve o pensar crítico e criativo. Ela atualmente esta 
presente em todas as áreas do conhecimento, participando de 
forma significativa para o desenvolvimento de novas teorias, 
resolvendo diversas situações. Desta maneira, neste módulo, ao 
invés de atuar como um transmissor de regras e modelos do 
fazer simplesmente, sendo assim, tentarei ser um organizador 
de aprendizagens, um consultor que oferece as informações e 
um estimulador da aprendizagem. 
Com relação especificamente ao Cálculo Diferencial e Integral, 
por que você, um cientista (Matemático, Físico, Químico, 
Biólogo, Economista, Administrador, etc.) ou Engenheiro 
(Produção, Civil, Mecânica, Elétrico, Aeronáutico, etc.), dentre 
outros, necessita estudar este assunto? A resposta é bem 
simples, o Cálculo Diferencial e Integral é o suporte 
matemático para muitas áreas da Ciência, da Engenharia e, 
atualmente de problemas diversos de gestão, especificamente 
falando, suas técnicas são utilizadas numa diversidade grande 
de problemas envolvendo tais áreas. Por isso, examinamos, 
ainda que brevemente, como o Cálculo Diferencial e Integral 
surge a partir da tentativa de formularmos, ou descrevermos, 
certos sistemas físicos em termos matemáticos. Além disso, 
com relação à gestão, o cenário cada vez mais competitivo que 
permeia o ambiente onde se inserem as organizações acaba 
 
 
 
22 
por exigir pessoas mais flexíveis, com visão multidisciplinar e, 
atentas para estar no comando, por exemplo, para a criação de 
modelos de previsão em Economia, séries temporais, etc., 
necessitamos diretamente de conceitos e métodos do Cálculo 
Diferencial e Integral. De forma não rara, o desafio que se coloca 
é: como desenvolver competências e habilidades para um 
“pensar” matematicamente para a tomada de decisões em 
tempos de mudanças? 
 
Figura 02: Aplicabilidade do Cálculo Diferencial e Integral. 
 
Sabendo das dificuldades enfrentadas por muitas pessoas 
em relação à Matemática e, conseqüentemente do Cálculo 
Diferencial e Integral, buscarei uma linguagem bastante 
Cálculo 
Diferencial 
e Integral 
Problemas 
de Gestão 
Modelagem 
Matemática 
Situações 
Diversas do 
Nosso dia-a-dia 
 
 
 
23 
simples como forma de propiciar um bom entendimento com 
relação aos diversos conteúdos e aplicações abordadas no 
nosso guia de estudos. Saliento que temos uma série de 
exemplos e aplicações resolvidas ao longo do guia de estudos 
retratando a aplicação das diversas definições e métodos 
desenvolvidos nos aspectos teóricos. 
 
1.1 Aspectos Históricos Envolvendo o Cálculo Diferencial e Integral 
 
As idéias referentes ao Cálculo Integral já faziam parte dos 
estudos de Arquimedes (287-212 a.C.) sobre áreas e volumes. 
Todavia, o Cálculo não se desenvolveu na antiguidade, ficou 
esperando mais de dezoito séculos para desabrochar por 
inteiro, o que só aconteceu nos tempos modernos. Foi se 
desenvolvendoaos poucos durante todo o século XVII e, foi só 
no final daquele século que o Teorema Fundamental do 
Cálculo foi claramente reconhecido como elemento importante 
de ligação entre a derivada e a integral. 
 
 
 
24 
 
Figura 03: A caminhada do Cálculo Diferencial e Integral no século XVII. 
 
Uma das razões por que o Cálculo não se desenvolveu 
com Arquimedes ou seus sucessores imediatos, foi com relação 
a insistência exagerada dos matemáticos gregos no rigor das 
demonstrações e na preocupação em evitar o infinito a todo 
custo. Arquimedes lidou com situações que sugeriam 
claramente passagem ao limite com um parâmetro n tendendo 
a infinito; mas recusava-se a fazer essa passagem. Contornava a 
Arquimedes (Áreas e 
Volumes) 
Identificação da 
relevância do Teorema 
Fundamental do Cálculo 
Tempos Modernos 
Ligação entre a Derivada 
e a Integral 
Cálculo no 
Século XVII 
 
 
 
25 
situação com o complicado método de “dupla redução ao 
absurdo”, graças ao qual conseguia provar seus resultados. 
Mas como descobria esses resultados? Muito provavelmente 
ele se valia de passagens ao limite. Em outras oportunidades 
recorria a raciocínios físicos, que eram seguidos de 
demonstrações rigorosas. 
 
 
Figura 04: Arquimedes e o medo do “infinito”. 
 
 
Arquimedes 
Infinito? 
 
 
 
26 
Matemática 
Grega 
Rigor nas 
Demonstrações 
A característica mais significativa da Matemática grega 
era precisamente essa insistência no rigor e no cuidado em não 
utilizar o conceito do infinito, pelas contradições que podia 
acarretar. Como vários abalizados historiadores da ciência já 
observaram, esse traço do pensamento grego foi à causa 
principal que levou a Matemática da época a uma completa 
estagnação. De fato, a descoberta dos incomensuráveis no 
século V a.C. marcou a primeira crise de fundamentos, pois foi 
interpretada como significado morte certa do ideal pitagórico 
de tudo explicar no mundo dos fenômenos em termos do 
número. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 05: A Matemática da Grécia. 
 
 
 
 
27 
Certamente seria assim desde que por “número” se 
entendesse apenas os números naturais. Tivessem eles 
alargado o conceito de número, incorporando as frações e os 
irracionais, e tudo prosseguira muito bem, com o próprio ideal 
pitagórico enriquecido em sua interpretação, em vez de 
descartado. Mas não, dentro daquela orientação 
excessivamente rigorosa, os gregos encontraram uma saída 
para a crise na teoria das proporções de Eudoxo (séc. IV a.C.). 
Essa teoria, descrita no Livro V dos Elementos de Euclides, é 
realmente genial, mas acabou enveredando a Matemática 
grega para um caminho excessivamente geométrico. 
O fato de a Matemática grega haver se enveredado pelo 
lado da Geometria, com prejuízo da Matemática numérica 
(Aritmética e Álgebra), especialmente o simbolismo algébrico, 
foi sem dúvida outra razão por que o Cálculo não pôde se 
desenvolver na antiguidade. Essa Matemática numérica só 
veio a aparecer no Ocidente europeu a partir do século XIII da 
nossa era, importada da Índia através dos árabes. E foi só em 
 
 
 
28 
fins do século XVI que a Álgebra alcançou a maturidade 
necessária para o definitivo desenvolvimento do Cálculo no 
século seguinte. 
 
 
Figura 06: Surgimento da Matemática numérica. 
 
Outro fator importante, preparando o caminho para o 
surgimento do Cálculo Diferencial e Integral, foi à familiaridade 
que os matemáticos dos tempos modernos travaram com as 
obras clássicas antigas. É verdade que essas obras, 
principalmente as de Euclides (cerca de 300 a.C.) e 
XVI Ocidente 
Importada da Índia Maturidade da Álgebra 
Matemática 
Numérica 
 
 
 
29 
Arquimedes, embora estivessem disponíveis em traduções 
latinas havia séculos, demoraram para serem devidamente 
assimiladas, coisa que só começou a acontecer plenamente em 
fins do século XVI. E a partir de então tiveram influência decisiva 
nos novos desenvolvimentos. Paralelamente, há que se 
considerar ainda a atitude dos matemáticos da época, que não 
se pautavam pelos mesmos padrões de rigor dos matemáticos 
gregos. Eles preferiam avançar no desenvolvimento dos novos 
métodos e técnicas mesmo que isso custasse a falta de rigor. 
 
1.2 O Cálculo Infinitesimal no Século XVII 
No século XVII, o cálculo de áreas e volumes pelos métodos 
infinitesimais teve início com os trabalhos de Kepler (1571 – 1630), em 
conexão com a descoberta de sua 2ª lei planetária, ou “lei das áreas. Nesse 
estudo Kepler é levado a considerar somas de infinitos termos de áreas 
infinitesimais, produzindo áreas finitas. Uma situação mais simples em 
que isso é fácil de entender é a do cálculo do volume da esfera. Kepler 
lembra que o procedimento usado por Arquimedes no cálculo da área do 
círculo equivalia a considerar o círculo como união de uma infinidade de 
triângulos infinitesimais, todos de vértice no centro e base na circunferência 
do círculo. E adota procedimento semelhante no cálculo do volume da 
 
 
 
30 
esfera. Esta é considerada como a união de uma infinidade de pirâmides de 
vértices no centro e base na superfície da esfera. A soma dos volumes dessa 
pirâmides, de altura igual ao raio da esfera, resulta no produto de 1/3 do raio 
pela soma das áreas das bases (que é a área 4.

.r
2
 da superfície da esfera), 
ou seja, 
3
.4 3r
. Kepler publicou um livro sobre o cálculo de volumes de 
tonéis, numa tentativa de ajudar os comerciantes de vinho, que só sabiam 
avaliar esses volumes de forma muito empírica. Mas é pouco provável que 
esses cálculos tenham tido importância prática e, é bom que se diga que eles 
foram de menor valor quando comparados às descobertas astronômicas de 
Kepler. 
 
 
 
Figura 07: As contribuições de Kepler. 
 
Cálculo de Áreas 
e Volumes 
Métodos 
Infinitesimais 
Segunda Lei 
Planetária 
Áreas 
Infinitesimais 
Kepler 
 
 
 
31 
A importância maior do trabalho de Kepler sobre o cálculo de 
volumes de tonéis está no método dos indivisíveis que ele desenvolveu e 
utilizou. Demorou um pouco, mas alguns anos depois da publicação do livro 
de Kepler, vários outros matemáticos seguiram no mesmo caminho. 
Essencialmente, o que eles faziam era imaginar a figura, cuja área ou 
volume se pretendia calcular, como união de uma infinidade de elementos 
infinitesimais, como explicamos anteriormente para o caso do círculo e 
para o caso da esfera. Desta forma, vemos que os matemáticos do século 
XVII, ao dividirem as figuras em elementos infinitesimais, imitavam o 
procedimento de Arquimedes, só que ficavam apenas na parte intuitiva, 
sem se preocuparem em demonstrar rigorosamente seus resultados, como 
fazia Arquimedes. 
Galileu, em seus “Diálogos sobre duas novas ciências”, 
também tratou o cálculo de áreas pelos métodos infinitesimais. 
Bonaventura Cavalieri (1598 – 1647), que foi seu discípulo e 
seguidor, depois professor em Bolonha, teve um papel 
importante no desenvolvimento desses métodos. Estimulado 
pelo próprio Galileu, ele calculava a área de uma figura plana 
considerando-a constituída de uma infinidade de segmentos de 
retas paralelas, que ele chamava “indivisíveis de área”. 
Similarmente, um sólido geométrico era interpretado como 
constituído de uma infinidade de figuras planas paralelas, de 
 
 
 
32 
espessura infinitesimal, dispostas numa pilha com as páginas 
de um livro. Essas figuras eram os “indivisíveis de volume”. Os 
matemáticos do século XVII não usavam limites: eles 
consideravam as figuras geométricas já decompostas numa 
infinidade deindivisíveis. Raciocinando dessa maneira, Cavalieri 
foi levado aos princípios que hoje são conhecidos por seu 
nome. Como esses métodos careciam de uma razoável 
fundamentação lógica, Cavalieri foi criticado e tentou responder 
aos críticos, todavia, sem sucesso, já que não dominava a teoria 
de limites ou a teoria de integração. A justificação dos métodos, 
dizia ele, deveria preocupar os filósofos, não os matemáticos. O 
fato é que os raciocínios com os infinitesimais, sem a devida 
fundamentação lógica, eram eficazes e foram largamente 
utilizados ate o início do século XIX. 
 
1.3 Aplicações a Serem Desenvolvidas ao Longo da Disciplina 
Inicialmente, antes mesmo de começarmos a trabalhar 
com os aspectos teóricos, definições e teoremas diversos, 
 
 
 
33 
acerca do Cálculo Diferencial e Integral, apresentaremos nesta 
seção algumas aplicações nas mais variadas áreas do 
conhecimento, que utilizam os diversos métodos do Cálculo 
Diferencial e Integral para resolução. 
 
Figura 08: Modelagem matemática via EDO’s de primeira ordem. 
 
 
 
 
 
 
34 
 
(Taxa de Variação) Um ponto P(x,y) se move ao longo do 
gráfico da função y = 1/x. Se a abscissa varia à razão de 4 
unidades por segundo, qual é a taxa de variação da ordenada 
quando a abscissa é x = 1/10? 
 
 
(Taxa de Variação) Acumula-se areia em um monte com a 
forma de um cone onde a altura é igual ao raio da base. Se o 
volume de areia cresce a uma taxa de 10 m 3 /h, a que razão 
aumenta a área da base quando a altura do monte é de 4 m? 
 
 
(Máximos e Mínimos) Uma rede de água potável ligará uma 
central de abastecimento situada à margem de um rio de 500 
metros de largura a um conjunto habitacional situado na outra 
margem do rio, 2000 metros abaixo da central. O custo da obra 
atravé do rio é de R$640,00 por metro, enquanto, em terra, custa 
R$360,00. Qual é a forma mais econômica de instalar a rede de 
água potável? 
 
 
 
35 
(Máximos e Mínimos) Um galpão deve ser construído tendo 
uma área retangular de 12 100 m
2
. A prefeitura exige que exista 
um espaço livre de 25 m na frente, 20 m atrás e 12 m em cada 
lado. Encontre as dimensões do lote que tenha a área mínima 
na qual possa seer construído o galpão. 
 
(Capitalização Contínua) Comumente as instituições 
financeiras anunciam capitalização diária dos juros. Poderíamos 
ter capitalização a cada hora ou mesmo a cada minuto. Não 
existe razão para parar aí, ou seja, juros poderiam ser 
capitalizados a cada segundo, a cada meio segundo, a cada 
décimo segundo, a cada milésimo de segundo, e assim por 
diante. Isto quer dizer que os juros podem ser capitalizados 
continuamente, caracterizando o que denominamos de 
Capitalização Contínua. Por exemplo, consideremos a seguinte 
situação: A quantia de R$10.000,00 é posta a juros de 10% ao 
ano, sob a condição de que os juros cresçam linearmente, i.e., o 
regime de capitalização é o simples. Quantos anos serão 
necessários para que a soma atinja R$20.000,00? 
 
 
 
 
 
 
36 
 
 
 
(Interpretação Geométrica do Conceito de Derivada) 
Determinar a curva cujo coeficiente angular num ponto de 
abscissa x é 5.x 4 . Sabe-se que a curva passa no ponto (1,3). 
 
 
(Problema na Área da Física) Um projétil é lançado 
verticalmente para cima com velocidade de 10 m/s. Supondo a 
aceleração da gravidade g = – 9,8 m/s 2 , encontrar a altura 
atingida 2 segundos após o lançamento. 
 
(Problema na Área da Física) A aceleração de uma partícula é 
dada por k.t 2 . No instante inicial, sua velocidade é de 2 m/s. 
Sabendo-se que a partícula parte da origem, determine o valor 
de k, se para t = 1 segundo, ela se encontra a 4 metros da 
origem. 
Quando os juros são capitalizados continuamente, a taxa de 
crescimento é proporcional ao capital S, isto é, 
 (I) 
dt
dS
= r.S 
 
em que r é a taxa anual de juros. 
 
 
 
37 
 
 
 
(Problema na Área da Física) Devido ao atrito, um móvel tem 
aceleração dada pela metade da raiz quadrada da velocidade 
no início do movimento. Quanto tempo leva o móvel até parar, 
se a sua velocidade inicial é de 16 m/s? 
 
 
 (Crescimento e Decrescimento) O problema de valor inicial 
 
 
 
 
Em que k é uma constante de proporcionalidade, aparece 
em muitas teorias fisicas envolvendo crescimento e 
decrescimento. Por exemplo, na área biológica, muitas vezes 
(1) 
dt
dx
 = k.x, x(t
0
) = x
0
 
 
 
 
 
 
38 
observamos que a taxa de crescimento de algumas bactérias é 
proporcional ao número de bactérias presentes no dado 
instante. Durante um certo intervalo de tempo, a população de 
pequenos animais, tais como roedores, pode ser prevista com 
alto grau de precisão pela solução de (1). Na Física, um P.V.I. 
como (1) proporciona um modelo para o cálculo aproximado da 
quantidade remanescente de uma substância que está sendo 
desintegrada através de radioatividade. A equação diferencial 
em (1) pode ainda determinar a temperatura de um corpo em 
resfriamento. Na área da Química, a quantidade remanescente 
de uma substância durante certas reações pode ser descrita por 
(1). Salientamos ainda, que a constante de proporcionalidade k 
que aparece em (1) é positiva ou negativa e pode ser 
encontrada pela solução para o problema usando um valor 
subseqüente de x em um instante t
1
 > t
0
. 
(Problema de Crescimento) Consideremos a seguinte situação: 
suponhamos que em uma cultura, existam inicialmente N
0
 
bactérias. 
 
 
 
39 
 
Uma hora depois, t = 1, o número de bactérias passa a ser 
2
3
N
0
. Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de 
bactérias presentes, pede-se determinar o tempo necessário 
para que o número de bactérias triplique. 
(Meia-vida) Da Física, sabemos que a meia-vida é uma medida 
de estabilidade de uma substância radioativa. A meia-vida em 
verdade, é simplesmente o tempo gasto para metade dos 
átomos de uma quantidade inicial A
0
 se desintegrar ou se 
transmutar em átomos de outro elemento. Salientamos ainda, 
que quanto maior a meia-vida de uma substância, mais estável 
ela é. Por exemplo, a meia-vida do ultra-radioativo rádi0, Ra-226, 
é cerca de 1700 anos. Em 1700 anos, metade de uma dada 
quantidade de Ra-226 é transmutada em radônio, Rn-222. O 
isótopo de urânio mais comum, U-328, tem uma meia-vida de 
aproximadamente 4.500.000.000 de anos. Nesse tempo, metade 
e uma quantidade de U-328 é transmutada em chumbo, Pb-206. 
(Crescimento) Um reator converte urânio 238 em isótopo de 
plutônio 239. Após 15 anos, foi detectado que 0,043% da 
quantidade inicial A
0
 de plutônio se desintegrou. Encontre a 
 
 
 
40 
meia-vida desse isótopo, se a taxa de desintegração é 
proporcional à quantidade remanescente. 
(Circuitos em Série) De acordo com a segunda Lei de 
Kirchhoff, a diferença de potencial E(t) em um circuito fechado 
é igual à soma das voltagens no circuito. A corrente em circuito, 
após a chave ser fechada, é denotada por i(t); a carga em um 
capacitor no instante t é denotada por q(t). As letras L, C e R são 
constantes conhecidas como indutância, capacitância e 
resistência, respectivamente. Por exemplo, se considerarmos o 
circuito simples, em série, contendo um indutor, um resistor e 
um capacitor como mostramos na Figura 26 abaixo, temos que 
uma equação diferencial de segunda ordem para a carga q(t) 
em um capacitor pode ser obtida somando as voltagens 
(quedas de tensão): 
 
 
 
 
 
 
41 
Indutor = L. 
dt
di
 = L. 
2
2
dt
qd
 
 
Resistor = i.R = R. 
dt
dq
 
 
Capacitor = 
C
1.q 
E igualando a soma à diferença de potencial E(t), obtemos 
a seguinte equação diferencial de segunda ordem: 
 
 
 
 
 
 
(2) L.
2
2
dt
qd
+ R. 
dt
dq
 + 
C
1
.q = E(t) 
 
 
 
 
42 
 
Figura 09: A representação co circuito em série do sistema 
acima. 
Além disso, a diferença de potencial ou voltagem E(t) é 
denominada de força eletromotriz (ou fem). Uma fem, bem 
como a carga em um capacitor, causa a corrente no circuito. O 
Quadro 01 abaixo nos mostra as unidades básicas de medida 
usadas na análise de circuito. 
Quadro 01: Unidades básicas de medida usadas na análise do 
circuito acima. 
 
 
 
43 
Grandeza Unidade 
Diferença de potencial ou fem Volt (V) 
Indutância L Henry (H) 
Capacitância C Farad (F) 
Resistência R Ohm (

) 
Carga q Coulomb (C) 
Corrente i Ampère (A) 
 
 (Drenagem Através de um Orifício) Em hidrodinâmica, o 
Teorema de Torricelli nos diz que a velocidade 

 de efluxo de 
água através de um pequeno orifício no fundo de um tanque 
cheio até uma altura h é igual à velocidade que um corpo (neste 
caso, uma gota d’água) adquire em queda livre de uma altura h: 

 = 
hg..2
 
 
 
 
44 
Onde g é a aceleração da gravidade. A expressão acima é 
obtida, quando igualamos a energia cinética 
2..
2
1
vm
 à energia 
potencial m.g.h e explicitando a velocidade 

. Por exemplo, 
consideremos um tanque cheio de água que é drenado através 
de um orifício sobre a influência da gravidade. Gostaríamos de 
calcular a altura h da água no tanque em qualquer instante de 
tempo t. Seja o tanque mostrado na Figura 10 abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10: O tanque do sistema acima. 
 
 
 
45 
Se a área do orifício é A
0
 (em m 2 ) e a velocidade da água 
saindo do tanque é 

 = 
hg..2
 (em m/s), então o volume de 
água que sai do tanque por segundo é A
0
.
hg..2
 (em m
3
/s). 
Logo, se V(t) denota o volume de água no tanque no instante t, 
temos que: 
 
 
 
dt
dV
 = – A
0
.
hg..2
 
Em que o sinal negativo indica que V decresce com o 
tempo. Note que estamos ignorando qualquer possibilidade de 
atrito no orifício, o que reduziria a taxa de vazão na água. Agora, 
suponhamos que o volume da água no tanque no instante t 
possa ser escrito como V(t) = A
w
.h, em que A
w
 (em m2 ) é a área 
da superfície da água como podemos visualizar na Figura 27 
acima, que não depende da altura h. Daí, 
dt
dV
= A
w
.(
dt
dh
). 
 
(3) 
dt
dV
 = – A
0
.
hg..2
 
 
 
 
 
46 
Substituindo essa última expressão em (8), obtemos a equação 
diferencial para a altura h da água em função do tempo t: 
 
 
 
 É interessante salientarmos que (4) permanece válida mesmo 
quando A
w
 não é constante. Neste caso, devemos expressar a 
área da superfície da água como uma função de h: A
w
= A(h). 
 
 (Deflexão de Vigas) Em engenharia, um problema importante é 
determinar a deflexão elástica de uma viga elástica causada por 
seu peso ou por uma carga externa. Supomos que a viga é 
homogênea e tem seções transversais uniformes ao longo de 
seu comprimento. Seja L o comprimento da viga. Na ausência 
de carga na viga (incluindo seu peso), a curva ligando os 
centróides de todas as seções transversais é uma linha reta 
denominada eixo de simetria, como é mostrado na Figura 11 
abaixo. 
 
(4) 
dt
dh
 = – 
wA
A0
.
hg..2
 
 
 
 
 
47 
 
 
Figura 11: O eixo de simetria em uma viga. 
 
Se uma carga for aplicada à viga em um plano vertical 
contendo o eixo de simetria, então, como podemos visualizar na 
Figura 12 abaixo, a viga sofre uma distorção e a curva ligando 
os centróides de todas as seções transversais é denominada de 
curva de deflexão ou curva elástica. 
 
 
 
48 
 
Figura 12: A curva de deflexão ou curva elástica em uma viga. 
 
Utilizando princípios de elasticidade e um conceito do 
Cálculo Diferencial e Integral (curvatura) podemos deduzir que a 
equação diferencial da curva de deflexão pode ser escrita como: 
 
 
 
 
 
 (5) E.I.
4
4
dx
yd
 = w(x) 
 
 
 
 
49 
Onde E e I são constantes, sendo E o módulo de 
elasticidade de Young racionado com o material da viga, e I é o 
momento de inércia de uma seção transversal da viga (em 
relação a um eixo conhecido como eixo neutro ou linha neutra). 
O produto E.I é denominado de rigidez defletora da viga. A 
deflexão é representada por y(x) e w(x) representa a carga por 
unidade de comprimento. 
 
1.3.1 O Conjunto  dos Números Reais 
O Conjunto dos Números Reais que será o nosso conjunto 
universo de estudo ao longo da disciplina, será denotado por 

. 
A grosso modo, já estamos perfeitamente familiarizados com o 
mesmo, quando tratamos da bijeção entre 

 e uma reta, 
fazendo assim, a identificação da reta real. 
 
1.3.2 O Conjunto dos Números Reias é um Corpo 
Em verdade, isto significa que estão definidas em 

 duas 
operações, chamadas adição e multiplicação, que cumprem 
 
 
 
50 
certas condições, que especificaremos logo abaixo. São as 
operações usuais que trabalhamos sempre em sala de aula e 
no nosso dia-a-dia. 
A adição faz corresponder a cada par de elementos x, y 

 

, sua soma x + y
  enquanto a multiplicação associa a esses 
elementos o seu produto x.y 
 
. 
Os axiomas a que essas operações obedecem são os 
seguintes: 
 
 Associatividade: para quaisquer x, y, z
 
 temos que (x + y) 
+ z = x + (y + z) e (x.y).z = x.(y.z). 
 Comutatividade: para quaisquer x, y
 
 temos que x + y = y 
+ x e x.y = y.x. 
 Elementos Neutros: existem em 

 dois elementos distintos, 
que denotaremos por 0 e 1 tais que x + 0 = x e x.1 = 1 para 
qualquer x
 
. 
 
 
 
51 
 Inversos: todo elemento x
 
 possui um inverso aditivo, que 
denotaremos por –x
 
 tal que x + (–x) = 0 e, se x 

 0, existe 
também um inverso multiplicativo x 1
 
 tal que x. x 1 = 1. 
 Distributividade: para x, y, z
 
 quaisquer, temos que x.(y + 
z) = x.y + x.z. 
 
Dos axiomas acima resultam todas as regras familiares de 
manipulação com os números reais, que já conhecemos. A título 
de exemplo, estabeleceremos algumas delas. 
Da comutatividade resulta que 0 + x = x e –x + x = 0 para 
todo x 
 
. Analogamente 1.x = x e x 1 . x = 1 quando x  0. A 
soma x + (– y) será indicada por x – y e é denominada diferença 
entre x e y. Se y 

 0, o produto x. y 1 será representado 
também por 
y
x
 e denominado quociente de x por y. As 
operações (x,y) 

 x – y e (x,y) 

y
x
 chamam-se, 
respectivamente, subtração e divisão. Evidentemente, a divisão 
 
 
 
52 
de x por y só faz sentido quando y 

 0, pois o número 0 como já 
sabemos não possui inverso multiplicativo. 
Da distributividade segue-se que, para todo x
 
, vale a 
seguinte propriedade: x.0 + x = x.0 + x.1 = x.(0 + 1) = x.1 = x. Desta 
forma, se somarmos – x a ambos os membros da igualdade x.0 
+ x = x, concluímos que x.0 = 0. 
Por outro lado, de x.y = 0 podemos concluir que x = 0 ou y = 
0. Com efeito, se for y 

 0 então podemos multiplicar ambos os 
membros desta igualdade por y 1 e obtemos x.y. y 1 = 0. y 1 , 
donde segue que x = 0. 
Da distributividade resultam também as conhecidas 
"Regras dos Sinais": x.( –y) = (–x).y = – (x.y) e (–x).( –y) = x.y. De 
fato, x.( –y) + x.y = x.( –y + y) = x.0 = 0. Somando – (x.y) a ambosos membros da igualdade x.( –y) + x.y = 0 vem x.( –y) = – (x.y). 
Similarmente, (–x).y = – (x.y). Logo (–x).( –y) = – [x.( –y)] = – [– (x.y)] 
= x.y. Em particular, (–1).( –1) = 1. 
 
 
 
53 
Observação: A igualdade – (–z) = z, acima empregada, 
resulta de somarmos z a ambos os membros da igualdade –(–z) 
+ (–z) = 0. 
Se dois números reais x, y têm quadrados iguais, então x = 
±y. Com efeito, de x2 = y2 decorre que 0 = x2 – y2 = (x + y).(x – y) e, 
como sabemos, o produto de dois números reais só é zero 
quando pelo menos um dos fatores é zero. 
1.3.3 O Conjunto dos Números Reias é um Corpo Ordenado 
Em outras palavras, isto significa que existe um 
subconjunto 
  
, chamado o Conjunto dos Números 
Reais Positivos, que cumpre as seguintes condições: 
 
P1. A soma e o produto de números reais positivos são positivos. 
Ou seja, x, y 

 
 
 x + y
 
 e x.y
 
. 
P2. Dado x
 
, exatamente uma das três alternativas seguintes 
ocorre: ou x = 0, ou x e 

 ou –x e 

. 
 
 
 
 
54 
Se indicarmos com 

 o conjunto dos números –x onde x
 
, a condição (P2) nos diz que 

 = 
 
 

 

{0} e os 
conjuntos 

, 

 e {0} são dois a dois disjuntos. Os números y 

 

 são denominados negativos. 
Todo número real x 

0 tem quadrado positivo. De fato, se 
x
 
 então x 2 = x.x 

 

 por (P1). Se x
 
 então (como x 

 
0) –x
 
, logo, ainda por causa da propriedade (P1), temos que 
x 2 = (–x).(–x)

 

. Em particular, 1 é um número positivo porque 
1 = 1 2 . 
Definição: Dizemos se que x é menor do que y quando y – 
x 

 

, isto é, y = x + z onde z é positivo. Escrevemos x < y. 
Neste caso, escrevemos também y > x e dizemos que y é maior 
do que x. Em particular, x > 0 significa que x
 
, isto é, que x é 
positivo, enquanto x < 0 quer dizer que x é negativo, ou seja, que 
–x 
 
. 
São válidas as seguintes propriedades da relação de 
ordem x < y em 

: 
 
 
 
55 
O1. Transitividade: se x < y e y < z então x < z. 
O2. Tricotomia: dados x,y
 
, ocorre exatamente uma das 
alternativas x = y, x < y ou y < x. 
O3. Monotonicidade da adição: se x < y então, para todo z
 
, tem-se x + z < y + z. 
O4. Monotonicidade da multiplicação: se x < y então, para 
todo z > 0 tem-se x.z < y.z. Se, porém, z < 0 então x < y implica y.z 
< x.z. 
Demonstração: 
O1. x < y e y < z significam y – x
 
 e z – y
 
. Por (P1) 
segue que (y – x) + (z – y)
 
, isto é, z – x 
 
, ou seja, x < z. 
O2. Dados x,y
 
, ou y – x
 
, ou y – x = 0 ou –y – x
 
 
(isto é, x – y 

 

). No primeiro caso tem-se x < y, no segundo x 
= y e no terceiro y < x. Estas alternativas se excluem 
mutuamente, por (P2). 
 
 
 
56 
O3.Se x < y então y – x 
 
, donde (y + z) – (x + z) = y – x 


, isto é, x + z < y + z. 
O4. Se x < y e z > 0 então y – x 
 
 e z 

 

, logo (y – x).z
 
, ou seja, y.z – x.z
 
, o que significa x.z < y.z. Se x < y e z < 
0 então y – x
 
 e –z 

 

, donde x.z – y.z = (y – x).( –z) 

 

, o 
que significa y.z < x.z. 
Mais geralmente, x < y e x' < y' implicam x + x' < y + y’. Com 
efeito (y + y´) – (x + x') = (y – x) + (y' – x')
 
. 
Analogamente, 0 < x < y e 0 < x' < y' implicam x.x' < y.y' pois 
y.y´ - x.x´ = yy´ – y.x´ + y.x´ = y.(y´ – x´ ) + (y – x ).x´ > 0. 
Se 0 < x < y então y -1 < x -1. Para provar, notamos primeiro 
que x > 0 

 x -1 = x.(x -1)2 > 0. Em seguida, multiplicando ambos os 
membros da desigualdade x < y por x -1. y -1 vem que y -1 < x -1. 
Como 1
 
 é positivo, segue-se que 1 < 1 + 1 < 1 + 1 + 1 <... 
Podemos então considerar N
 
. Segue-se que Z 

 R pois 0 


 e n
  
 –n
 
. Além disso, se m,n

Z com n

0 então 
n
m
 = 
 
 
 
57 
m.n-1
 
, o que nos permite concluir que Q

 R. Assim, N 

 Z 

 
Q 

 

. Desta maneira temos a seguinte disposição, dada pela 
Figura 13 abaixo: 
 
Figura 13: A relação de inclusão entre os principais conjuntos numéricos. 
5. Funções Elementares 
Vejamos agora algumas funções elementares estudadas 
anteriormente num curso introdutório de Matemática 
Fundamental. 
5.1 A Função Afim (ou A Função Polinomial do 1 0 Grau) 
A Função Afim ou Função Polinomial do Primeiro Grau, 
são funções do tipo: 
 
 
 
 
58 
 
 
Onde a e b são constantes reais com a
0
. Funções deste 
tipo quando definidas de 

em 

, têm como gráfico uma reta. 
 
 
 
 
 A função f(x) = 3x definida em 

, tem como gráfico a reta 
apresentada na Figura 14 abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f(x) = a.x + b 
 
A curva característica do gráfico de uma função afim é uma reta. 
 
 
 
59 
 
 
Figura 14: O gráfico da função f(x) = 3.x. 
A função f(x) = – x definida em 

, tem como gráfico a reta 
apresentada na Figura 15 abaixo. 
 
 
 
Figura 15: O gráfico da função f(x) = – x. 
 
 
A função f(x) = 2.x + 1 definida em 

, tem como gráfico a reta 
apresentada na Figura 16 abaixo. 
 
 
 
 
 
60 
 
Figura 16: O gráfico da função f(x) = 2.x + 1. 
 
 
Vejamos algumas considerações relacionadas às funções polinomiais 
do primeiro grau, que são importantes para a resolução e interpretação de 
problemas simulados envolvendo tais funções. 
 
 Repare que em todos os casos a reta que representa a função f(x) = 
ax + b (a
0
) intercepta o eixo y das ordenadas no ponto (0; b), o 
qual denominamos de intercepto. 
 
 
 
 
61 
 Podemos mostrar que a tangente do ângulo 

 (veja Figura 17 
abaixo) é igual à constante a, ou seja, a = tg

. 
 
 
Figura 17: A igualdade a = tg

 (a > 0). 
 
 
Observemos, que na Figura 17 acima, temos que neste caso, a > 0 
então a reta é crescente. Logo, concluímos que: 
 
 
 
Figura 18: A função afim é crescente quando a > 0. 
 
 
a > 0 Reta 
Crescente 
 
 
 
62 
Contrariamente, quando a < 0, como mostrado na Figura 19 abaixo, 
temos que a função afim será decrescente. 
 
 
Figura 19: A igualdade a = tg

 (a < 0). 
 
Aqui, a < 0, então a reta é decrescente. 
 
 
Figura 20: A função afim é decrescente quando a < 0. 
 
 
 
 A reta intercepta o eixo x das abscissas no ponto (x
0
; 0) onde x
a
b
0
 é denominado zero (ou raiz) da função. 
 
 
 
63 
 
5.1.1 A Função Quadrática (ou A Função Polinomial do 2 0
Grau) 
Chamamos de função polinomial do segundo grau ou 
simplesmente de função quadrática àquela redutível à forma: 
 
 
 
 
Onde a, b e c são constantes reais, com a
0
. 
 
 
 
 
 
Vejamos alguns exemplos de gráficos de funções 
polinomiais do segundo grau. 
A curva característica do gráfico de uma função quadrática é uma 
parábola. 
f(x) = ax 2 + b.x + c 
 
 
 
 
64 
 
 
 
 A função f: 

tal que f(x) = x
2
. 
 
 
Figura 21: O gráfico da função f(x) = x 2 . 
 
 A função f: 

tal que f(x) = – x 2 . 
 
 
 
 
65 
 
 
Figura 22: O gráfico da função f(x) = – x 2 . 
 
 
 
 
 
 A função f: 

tal que f(x) = x 2 – 1. 
 
 
 
 
66 
 
Figura 23: O gráfico da função f(x) = x 2 – 1. 
 
 
 
 
 
 
 A função f: 

tal que f(x) = – x 2 + 1. 
 
 
 
 
67Figura 24: O gráfico da função f(x) = – x 2 + 1. 
 
 
 
 
 A função f: 

tal que f(x) = 2x 2 – 2x + 2. 
 
 
 
 
68 
 
Figura 25: O gráfico da função f(x) = 2x 2 – 2x + 2. 
 
 
Vejamos algumas considerações relacionadas às funções polinomiais 
do segundo grau (funções quadráticas), que são importantes para a 
resolução e interpretação de problemas simulados envolvendo tais funções. 
 
 Com relação a parábola que representa a função f(x) = ax 2 + bx + c 
tem a concavidade para cima caso a > 0 e a concavidade para 
baixo caso a < 0. 
 
 
 
69 
 
Figura 26: A parábola tem concavidade voltada para cima: a > 0. 
 
Contrariamente: 
 
 
Figura 27: A parábola tem concavidade voltada para baixo: a < 0. 
 
 
 
70 
 Em todos os casos o vértice da parábola é o ponto V (
a
b
2

;
a4

) 
onde 
acb 42 
. Em outras palavras, a abscissa do vértice da 
parábola tem coordenada 
a
b
2

, enquanto que a ordenada do vértice 
da parábola tem coordenada 
a4

. 
 
 
Figura 28: Interpretação geométrica do vértice de uma parábola. 
 
 
 Quando o discriminante 

 = b 2 – 4ac for positivo, a parábola 
intercepta o eixo x das abscissas em dois pontos distintos (x’; 0) e 
 
 
 
71 
(x’’; 0) onde x’ e x’’ são dados pela fórmula 
a
b
2

. Em outras 
palavras, x’ e x’’ são as duas raízes reais distintas da equação do 
segundo grau em questão. 
 
Figura 29: Interpretação geométrica das raízes quando

> 0. 
 
 Quando o discriminante 

 = b 2 – 4ac for igual a zero, então a 
parábola é tangente ao eixo x das abscissas no ponto x
V
=
a
b
2

. Ou 
 
 
 
72 
ainda, neste caso a função quadrática possui duas raízes reais e 
iguais. 
 
 
Figura 30: Interpretação geométrica das raízes quando

= 0. 
 
 Quando o discriminante 

 = b 2 – 4ac for negativo, significa que a 
função quadrática do segundo grau não admite raízes reais, 
geometricamente isto significa que a parábola não toca o eixo x das 
abscissas. 
 
 
 
 
73 
 
Figura 31: Interpretação geométrica das raízes quando

< 0. 
 
1.4 A Função Exponencial 
Agora estaremos interessados em apresentar a função 
exponencial e suas principais propriedades. 
Definição (Função Exponencial) Sendo b um número real 
positivo e diferente da unidade (b ≠ 1) chamamos de função 
exponencial a função definida por: 
 
 
 
74 
f: 
*

 
 x 

f(x) = b
x
 
 
Vejamos alguns exemplos ilustrativos. 
 
 
 A função f: 
*

 definida por f(x) = 2 x . 
 
 
Figura 32: O gráfico da função exponencial f(x) = 2 x . 
 
 
 
 
 
75 
 A função f: 
*

 definida por f(x) = x






2
1 . 
 
 
Figura 33: O gráfico da função exponencial f(x) = x






2
1 . 
 
 A função f: 
*

 definida por f(x) = 3 x . 
 
 
 
 
76 
 
Figura 34: O gráfico da função exponencial f(x) = 3 x . 
 
 
 
 
 
 A função f: 
*

 definida por f(x) = 5 x . 
 
 
 
 
 
77 
 
Figura 35: O gráfico da função exponencial f(x) = 5 x . 
 
 A função f: 
*

 definida por f(x) = x






3
1 . 
 
 
 
 
78 
 
Figura 36: O gráfico da função exponencial f(x) = x






3
1 . 
Vejamos algumas considerações relacionadas à função 
exponencial, que são importantes para a resolução e 
interpretação de problemas simulados envolvendo tais funções. 
 
 Para os dois primeiros exemplos anteriores, envolvendo a função 
exponencial, temos que o conjunto imagem é 
*

, já que para todo 
x real, 2 x > 0 e x






2
1 > 0. Portanto, concluímos que o conjunto 
 
 
 
79 
imagem da função exponencial f(x) = b x , com b > 0 e b ≠ 1, é 
*

, 
ou seja, qualquer que seja o número real x teremos b x > 0. 
 Se x
1
> x
2
, então 
21 22
xx 
, isto é, a função f(x) = 2
x
 é 
crescente. Generalizando, concluímos que sendo b > 1, x
1
> x
2
 então 
21 xx bb 
, isto é, a função exponencial f(x) = b x é 
crescente. 
 Se x
1
> x
2
, então 1
2
1
x






< 2
2
1
x






, isto é, a função f(x) = 
x






2
1 é decrescente. Generalizando, concluímos que 
sendo 0 < b < 1, x
1
> x
2
 então 
21 xx bb 
, isto é, a função 
exponencial f(x) = b x é decrescente. 
 
 
 
 
80 
 
Figura 37: Propriedades Fundamentais da Função Exponencial. 
 
Desta maneira, em símbolos podemos resumir as 
principais propriedades da função exponencial de base b, no 
Quadro 02 abaixo. 
 
Quadro 02: Propriedades da função exponencial b x . 
Propriedade Descrição 
 
I 
O conjunto imagem da função exponencial f(x) = b x , 
com 0 < b
1
, é 
*

, isto é, qualquer que seja o 
número real x teremos b x > 0. 
Domínio: IR 
Conjunto Imagem: 
IR+ 
b > 1: Função 
Crescente 
0 < b < 1: Função 
Decrescente 
Função 
Exponencial 
 
 
 
81 
 
II Sendo b >1, então se x
1
> x
2
 

 
21 xx bb 
, isto é, a 
função exponencial f(x) = b x é crescente. 
 
III Sendo 0 < b < 1, então x
1
> x
2
 

 
21 xx bb 
, isto é, a 
função exponencial f(x) = b x é decrescente. 
 
 
Geometricamente, temos a seguinte disposição mostrada 
na Figura 38 abaixo. 
 
 
 
 
 
82 
Figura 38: Gráficos da função exponencial mostrando 
crescimento e decrescimento da mesma. 
 
 
Vejamos mais alguns exemplos resolvidos envolvendo a 
função exponencial. 
 
 
Qual o conjunto imagem da função f: 
*

 definida por f(x) = 
2 x + 1? 
 
Solução: Neste caso, temos que: 
 
x
 
 2 x > 0 

 2 x + 1 > 0 + 1 = 1 

 f(x) > 1 
Logo, o conjunto imagem de f(x) = 2 x + 1 é o conjunto: 
 
Imf = {y

 / y > 1} 
 
Surge a seguinte argumentação na disciplina de Matemática: 
Professor qual dois números é maior: (0,01) 2 ou (0,01)  ? Qual 
foi a resposta do professor com a definida justificativa? 
 
 
 
83 
Solução: Neste caso, vamos desenhar no programa 
Winplot o gráfico da função y = (0,01)
x
. Tal gráfico é mostrado 
na Figura 39 abaixo. 
 
 
Figura 39: O gráfico da função y = (0,01) x . 
 
Desta forma, como o número 

 é maior do que 
2
, 
concluímos que (0,01)  é menor do que (0,01) 2 . 
 
 
 
 
 
84 
 Resolver a seguinte inequação: 7 x + 5 x + 1 > 0. 
 
 
Solução: Vimos que a interpretação geométrica do gráfico 
de y = 7 x , nos mostra que 7 x > 0, para todo x real, como 
mostramos na Figura 40 abaixo. 
 
 
Figura 40: O gráfico da função y = 7 x . 
 
 
 
 
85 
Analogamente, para y = 5 x , temos que 5 x > 0 para todo x 
real. Como 1 > 0, concluímos que 7 x + 5 x + 1 > 0 para todo x real. 
Ou ainda, o conjunto solução de tal inequação é S = IR. 
 
Qual o conjunto imagem da função f(x) = 2 xx 22 ? 
 
 
 
Solução: Vamos fazer a mudança de variável t = x 2 – 2 x, 
logo o valor mínimo que t pode assumir é – 1. Isto é, para todo x 
real, temos que t ≥ – 1, portanto: 
2 t ≥ 2 1 , 
 
ou ainda, 
2 xx 22 ≥ ½. 
 
 
 
 
86 
 
Figura 41: O gráfico de t = x 2 – 2 x. 
 
 
Consideremos a função f(x) = a x (a > 0), então podemos afirmar 
que: 
 
a) f(x) só é definida para x > 0.b) f(x) é crescente para x > 0. 
c) O gráfico de f(x) situa-se acima do eixo dos x. 
d) O gráfico de f(x) tem concavidade para baixo, se a > 1. 
e) O gráfico de f(x) situa-se à direita do eixo dos y. 
 
 
 
87 
Solução: Neste caso, a partir da discussão que realizamos 
acerca da função exponencial concluímos que a alternativa 
correta é a letra (C). 
 
A Função Logarítmica 
Agora, estaremos interessados em discutir as principais 
propriedades da função inversa da exponencial bx . Para tal, 
incialmente devemos apresentar a noção de logaritmo, bem 
como as suas principais propriedades. 
 
Figura 42: A noção de logaritmo é fundamental para a definição da função 
logarítmica. 
 
 
 
 
88 
 
Ou seja, a grosso modo temos que a noção de função 
acrescida da definição de logaritmo nos leva de forma natural a 
definição da função logarítmica. 
 
 
Figura 43: O surgimento da função logarítmica. 
 
 
Função 
Logaritmo 
Função 
Logarítmica 
 
 
 
89 
A origem dos logaritmos remonta ao século XVII e, ao que 
consta na literatura, eles tinham como função específica facilitar 
os cálculos aritméticos complicados que freqüentemente 
apareciam nas operações comerciais, como por exemplo: 
 
 
 
 
 
 
A fim de definirmos a noção de logaritmo, pensemos 
primeiramente na seguinte indagação: Para que valores de a e 
b a equação exponencial b x = a apresenta sempre uma única 
solução? A resposta para tal indagação nos leva ao 
conhecimento ou definição de logaritmo. Vejamos algumas 
situações numéricas: 
 
 
2,9.(1,03) 14,91 
 
 
 
90 
 2 x = 8 apresenta uma única solução que é x = 3, já que 2 x 
= 8 = 2 3 . 
 












16
1
2
1
x apresenta uma única solução que é x = 4, já 
que 4
2
1
16
1
2
1


















x . 
 3 x = 9 apresenta uma única solução x = 2. 
 1 x = 4 não apresenta solução. 
 0 x = 4 não apresenta solução. 
 (-1) x = 2 não apresenta solução. 
 5 x = – 1 não apresenta solução. 
 
Desta maneira, observamos que a equação b x = a admite 
sempre uma única solução se b > 0, b ≠ 1 e a > 0. Logo, temos 
naturalmente a seguinte definição de logaritmo. 
Definição (Logaritmo): Dados dois números reais a e b, 
ambos positivos com b ≠ 1 , existe sempre um único número 
real x tal que b x = a. Este expoente x, que deve ser colocado na 
 
 
 
91 
base b para que o resultado seja a, recebe o nome de 
logaritmo de a na base b. Em símbolos: 
 
 
 
 
 
Além disso, temos que o número a é chamado de 
logaritmando e b é a base. Alguns logaritmos são fáceis de ser 
encontrados. Outros são achados nas tabelas. Vejamos, agora, 
como encontrar alguns logaritmos em exemplos ilustrativos. 
 
Vamos encontrar os seguintes logaritmos: 
 
 
a) 
16log 4
 
b) 
5log 25
 
c) 
1log3
 
 
x = 
ablog

 b x = a 
 
 
 
92 
d) 
27log9
 
e) 
2
1
log8
 
f) 
1,0log10
 
g) 
3
2 2log
 
h) 
3
125 25log
 
 
Solução: 
a) 
16log 4
 = x, então 4 x = 16 = 4 2 , donde concluímos que x = 2, 
ou seja, 
16log 4
 = 2. 
b) 
5log 25
= x, então 25 x = 5, ou seja, (5 2 ) x = 5, donde 
concluímos que 2x = 1, ou seja, x = ½ e, portanto 
concluímos que 
5log 25
= ½ . 
c) 
1log3
= x, então 3 x = 1 = 3 0 , donde concluímos que x = 0, ou 
seja, 
1log3
= 0. 
 
 
 
 
 
Observação: De forma geral, para um número b qualquer, 
positivo e diferente de 1, temos que: 
 
1logb
= 0 
 
 
 
93 
 
 
d) 
27log9
= x, então 27
x
= 9, ou seja, (3
3
)
x
 = 3
2
, donde 
concluímos que 3x = 2, ou seja, x = 3/2 e, portanto 
concluímos que 
27log9
= 3/2. 
e) 
2
1
log8
 = x, então 8 x = 
2
1
, ou seja, (2 3 ) x = 
2
1
= 2 1 , donde 
concluímos que 3x = – 1, ou seja, x = 
3
1
 e, portanto 
concluímos que 
2
1
log8
= 
3
1
. 
f) 
1,0log10
 = x, então 10 x = 0,1, ou seja, (10) x = 10 1 , donde 
concluímos que x = – 1, ou seja, 
1,0log10
= – 1. 
g) 
3
2 2log
= x, então 2 x = 
3 2
, ou seja, 2 x = 
3 2
 = 2 31 , donde 
concluímos que x = 
3
1
, ou seja, 
3
2 2log
= 
3
1
. 
h) 
3
125 25log
= x, então 125 x = 3 25 , ou seja, (5 3 ) x = 3 25 = 5 32 , 
donde concluímos que 3x = 
3
2
, ou ainda, x = 
9
2
 e, portanto 
concluímos que 
3
125 25log
= 
9
2
. 
 
 
 
 
94 
 
 
O logaritmo de 243 numa certa base é 5. Qual é essa base? 
 
 
Solução: Se 
243log x
= 5, então pela definição de logaritmo 
podemos escrever: 
x 5 = 243 = 35 
Ou seja, 
x 5 = 35 
Donde concluímos que: 
x = 3 
Portanto, a base é igual a 3. 
 
 
 
 
Qual é o logaritmo de – 9 na base 3? 
 
 
 
 
95 
Solução: Se 
)9(log3 
= x, então pela definição de logaritmo 
podemos escrever: 
3
x
= – 9 
Donde, concluímos que não existe um número x que 
satisfaça essas condições. Lembremos de que em 
ablog
, o 
número a deve ser positivo, isto é, a > 0. 
 
Encontrar um número x tal que 
36log x
 = 2. 
Solução: 
De 
36log x
 = 2, 
Segue que 
x 2 = 36, 
Ou seja, 
x = ± 
36
 
Ou ainda 
x = ± 6 
 
 
 
96 
Como não existe sentido em falarmos 
36log 6
, já que a 
base deve ser um número positivo, ficaremos somente com x = 
6 e, portanto x = 6. 
Desta maneira, a partir dos exemplos discutidos 
anteriormente enumeramos no Quadro 03 abaixo, algumas 
conseqüências imediatas da definição de logaritmo, ou seja, se 
b


 – {1} e a


, surgem naturalmente tais considerações. 
Quadro 03: Conseqüências imediatas da definição de logaritmo. 
 
Conseqüência Descrição 
I 
 
1logb
 = x 

 b x = 1 

 b x = b0

x = 0

1logb
 = 0 
II 
bblog
 = x 

 b x = b 

 b x = b1

x = 1

bblog
 = 1 
III 
k
b blog
 = x 

 b x = bk 

 x = k
 k
b blog
 = k 
IV 
ablog
 = c 

 b c = a 

 b ablog = a 
 
1.5 Nomenclatura Acerca dos Logaritmos 
Vimos que na expressão 
ablog
, a é o logaritmando e b é a 
base do logaritmo. 
 
 
 
97 
Se x > 0, então 
x10log
 chama-se logaritmo decimal de x. 
(Convencionaremos omitir o número 10 na notação do 
logaritmo decimal.) 
Se x > 0, então 
xelog
 chama-se logaritmo neperiano de x. 
O número e é um número irracional cujas primeiras casas 
decimais são 2,71828.... (O logaritmo neperiano de x costuma 
ser chamado de logaritmo natural de x, sendo indicado por ln 
x.) 
1.6 Propriedades dos Logaritmos 
Por outro lado, quatro propriedades são de fundamental 
importância nos cálculos envolvendo os logaritmos a fim de 
simplificação e melhor entendimento dos mesmos. 
Desta forma, considerando b


 – {1} e a


, temos as 
seguintes propriedades operatórias dos logaritmos enumeradas 
no Quadro 04 abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
98 
Quadro 04: Propriedades dos Logaritmos. 
Propriedade Descrição 
P1 
 
).(log 21 aab
= 
1log ab
+ 
2log ab
 (Logaritmo do 
Produto) 
P2 
 






2
1log
a
a
b
= 
1log ab
– 
2log ab
 (Logaritmo do 
Quociente) 
P3 
 
ablog
 = 

.
ablog
 (Logaritmo da Potência) 
P4 
 
ablog
 = 
b
a
c
c
log
log
, com 0 < b ≠ 1 (Mudança de Base) 
 
Definição (Função Logarítmica): Sendo b um número realpositivo e diferente da unidade (0 < b ≠ 1), chamamos função 
logarítmica a função: 
 
g: 

*
 
 x 

g(x) = 
xblog
 
Note que como vimos anteriormente, o logaritmo só é 
definido para números positivos, por isso o domínio da função 
logarítmica é o conjunto 
*

. Além disso, vimos que se a base 
 
 
 
99 
for um número entre 0 e 1, o logaritmo será um número 
negativo. 
 
 Abaixo na Figura 44 apresentamos geometricamente a função 
logarítmica: g: 

*
 dada por g(x) = 
x3log
. 
Solução: Através do programa Winplot, geramos o gráfico da 
função g do exemplo. 
 
 
Figura 44: O gráfico da função 
x3log
. 
 
 
 
 
100 
Abaixo na Figura 45 apresentamos geometricamente a função 
logarítmica: g: 

*
 dada por g(x) = 
x
2
1log
. 
 
 
Solução: Através do programa Winplot, geramos o gráfico da 
função g do exemplo. 
 
 
Figura 45: O gráfico da função 
x
2
1log
. 
 
 
 
 
101 
Abaixo na Figura 46 apresentamos geometricamente a função 
logarítmica: g: 

*
 dada por g(x) = 
x
3
1log
. 
 
 
Solução: Através do programa Winplot, geramos o gráfico da 
função g do exemplo. 
 
 
Figura 46: O gráfico da função 
x
3
1log
. 
 
 
 
102 
Notemos que, da definição de logaritmo, temos que se 
11log yxb 
 e 
22log yxb 
, então 
1
1
y
bx 
 e 
2
2
y
bx 
, onde {x
1
, x
2
}


. Considerando x
1
> x
2
, temos que: 
 





10,loglog,,
1,loglog,,
2121
2121
bsexxéistoyy
bsexxéistoyy
bb
bb
 
 
Ou seja, resumindo temos que: 
 b > 1 

 a função g(x) = 
xblog
 é crescente; 
 
Figura 47: O gráfico da função f(x) = 
x2log
 – função crescente. 
 
De outra forma, 
 0 < b < 1 

 a função g(x) = 
xblog
 é decrescente. 
 
 
 
103 
 
Figura 48: O gráfico da função f(x) = 
x
2
1log
 – função decrescente. 
 
 
 
 
Reparemos que f: 
*

, f(x) = b x e g: 

*
, g(x) =
xblog
 
são funções bijetoras (b > 0 e b

1), ou seja, são sobrejetoras e 
injetoras. 
Desta forma podemos pensar nas inversas de cada uma 
delas; em verdade, uma é a função inversa da outra. Para tal, 
observemos que: 
 
 
 
Informação Importantíssima! 
 
 
 
104 
f(g(x)) = b )(xg = b xblog = x, para todo x, x 

, 
E 
g(f(x)) = log
b
b
x
 = x, para todo x real. 
Portanto, com base nisto, podemos afirmar que g(x) = 
xblog
 
é a função inversa de f(x) = b x e, vice-versa. 
Além disso, geometricamente isto significa que os gráficos 
de g e f são curvas simétricas com relação à reta y = x, i.e., 
bissetriz dos quadrantes ímpares como discutido na parte de 
inversão de funções. 
 
 
 
 
Geometricamente tal simetria é apresentada na Figura 49 
abaixo. 
A função logarítmica g(x) = 
xblog
 é a função inversa da função 
exponencial f(x) = b x e, vice-versa. 
 
 
 
105 
 
Figura 49: A simetria entre os gráficos das funções f(x) = 2 x (vermelho) e a 
função g(x) = 
x2log
 (azul). 
Em linhas gerais para os valores de b, temos a 
representação da simetria entre os gráficos mostrados na Figura 
50 abaixo. 
 
 
x2 
x2log
 
 
 
 
106 
 
Figura 50: A simetria entre os gráficos das funções logarítmica e exponencial. 
 
1.7 A Função Modular 
A função modular é definida a partir do que já 
conhecemos como sendo o valor absoluto ou o módulo de x, 
que como vimos é definido pela função de dupla sentença: 
 
| x | = 





0,
0,
xsex
xsex 
 
Sendo assim, temos que: 
 
 
 
107 
| 0 | = 0 
 
| 1 | = 1 
 
| – 2| = – (– 2 ) = 2 
 
| 4 | = 4 
 
| 8 | = 8 
 
| – 9| = – (– 9 ) = 9 
 
| – 0,8| = – (– 0,8 ) = 0,8 
 
| – 1,3| = – (– 1,3 ) = 1,3 
 
| – 90| = – (– 90 ) = 90 
 
 
 
108 
Desta maneira, surge naturalmente a função módulo de x, 
bem como, as funções que levam em sua lei de formação o 
valor absoluto, sendo denominadas de funções modulares. 
Vejamos alguns exemplos ilustrativos. 
 
Vamos representar geometricamente a função módulo de x, a 
qual denotamos por f(x) = | x |. 
 
 
Solução: Através do programa Winplot, geramos o gráfico da 
função f(x) do exemplo. 
 
 
 
109 
 
Figura 51: O gráfico da função f(x) = | x |. 
 
 
Vamos representar geometricamente a função módulo de x, a 
qual denotamos por f(x) = | x + 2 |. 
 
 
Solução: Através do programa Winplot, geramos o gráfico da 
função f(x) do exemplo. 
 
 
 
 
110 
 
Figura 52: O gráfico da função f(x) = | x + 2 |. 
 
 
Vamos representar geometricamente a função módulo de x, a 
qual denotamos por f(x) = | x – 2 |. 
 
 
Solução: Através do programa Winplot, geramos o gráfico da 
função f(x) do exemplo. 
 
 
 
111 
 
Figura 53: O gráfico da função f(x) = | x – 2 |. 
 
 
 
Vamos representar geometricamente a função módulo de x, a 
qual denotamos por f(x) = | x – 3 |. 
 
 
Solução: Através do programa Winplot, geramos o gráfico da 
função f(x) do exemplo. 
 
 
 
112 
 
Figura 54: O gráfico da função f(x) = | x – 3 |. 
 
Vamos representar geometricamente a função módulo de x, a 
qual denotamos por f(x) = | x + ½ |. 
 
 
Solução: Através do programa Winplot, geramos o gráfico da 
função f(x) do exemplo. 
 
 
 
113 
 
Figura 55: O gráfico da função f(x) = | x + ½ |. 
 
Vamos representar num mesmo plano cartesiano os gráficos de 
f(x) = | x | e g(x) = – | x |. 
 
 
Solução: Através do programa Winplot, geramos os 
gráficos da funções f(x) e g(x) como mostramos na Figura 56 
abaixo. 
 
 
 
 
114 
 
Figura 56: A representação geométrica de f\(x) e g(x) num mesmo plano. 
 
 
Esboçar o gráfico da função f(x) = | x 2 – 1| – 1. 
 
 
Solução: Através do programa Winplot, geramos o gráfico da 
função f(x) do exemplo. 
 
 
| x | 
 
 – | x | 
 
 
 
115 
 
Figura 57: O gráfico da função f(x) = | x 2 – 1| – 1. 
 
 
Esboçar o gráfico da função f(x) = | x 2 – 1| + 1. 
 
 
Solução: Através do programa Winplot, geramos o gráfico da 
função f(x) do exemplo. 
 
 
 
 
116 
 
Figura 58: O gráfico da função f(x) = | x 2 – 1| +1. 
 
 
 
Qual o domínio da função f(x) = 
||log 2 x
? 
 
 
Solução: Como sabemos o logaritmo de um número e 
conseqüentemente a função logarítmica só esta definida para 
valores positivos, ou seja, para a existência de 
xblog
 devemos ter 
 
 
 
117 
x > 0 e, sendo assim, para a função do nosso exemplo devemos 
ter como condição de existência que | x | > 0, isto é, x ≠ 0. 
Portanto, o domínio da função f(x) = 
||log 2 x
 é o conjunto D = {x

 / ≠ 0}. Na Figura 59 abaixo representamos geometricamente 
o conjunto D. 
 
 
Figura 59: Representação do domínio da função do exemplo. 
 
 
 
 
 
118 
 
Esboçar o gráfico da função f(x) = | x 2 – | x||. 
 
 
Solução: Através do programa Winplot, geramos o gráfico da 
função f(x) do exemplo. 
 
 
Figura 60: O gráfico da função f(x) = | x 2 – | x||. 
 
 
 
 
119 
 
 
Esboçar o gráfico da função f(x) = x + 
|| x
x
. 
 
 
Solução: Através do programa Winplot, geramos o gráfico da 
função f(x) do exemplo. 
 
Figura 61: O gráfico da função f(x) = x + 
|| x
x
.120 
1.8 A Noção Intuitiva do Conceito de Limite 
Antes de definirmos nas entrelinhas a noção de limite, 
vamos realizar algumas considerações iniciais pertinentes para 
um bom entendimento acerca do assunto. Sabemos, que no 
conjunto dos números reais 

, podemos sempre escolher um 
conjunto de números segundo qualquer regra pré-estabelecida. 
Por exemplo, vamos considerar algumas sucessões numéricas 
abaixo: 
 
(1) 1, 2, 3, 4, 5, ... 
 
(2) ½, 2/3, ¾, 4/5, 5/6, ... 
 
(3) 1, 0, -1, -2, -3, ... 
 
(4) 1, 3/2, 3, 5/4, 5, 7/6, 7, ... 
 
Notemos que na sucessão numérica (1), os termos tornam-se cada vez 
maiores sem atingir um LIMITE. Sendo assim, podemos pensar que dado 
 
 
 
121 
um número real qualquer, por maior que o mesmo seja, podemos sempre 
encontrar na sucessão, um termo maior. Ou seja, neste caso, dizemos então 
que os termos dessa sucessão numérica tendem para o infinito ou que o 
limite da sucessão é infinito. Denotamos, tal fato por x

. 
De outra forma, na sucessão numérica (2) os termos crescem mas não 
de forma ilimitada, ou seja, ilimitadamente. Os números aproximam-se cada 
vez mais do valor 1, sem nunca obviamente atingirem o mesmo. Sendo 
assim, aqui dizemos que a sucessão tende a 1 e escrevemos x

1. 
Similarmente, com relação a terceira sucessão exemplificada que a mesma 
tende a menos infinito, ou seja, x

. Com relação a sucessão (4) 
podemos notar que a mesma oscila sem tender a nenhum valor limite. 
É de nosso interesse então, ampliar o conceito de LIMITE apresentado 
anteriormente com relação as sucessões numéricas citadas para as diversas 
situações envolvendo Limites de Funções Reais. 
Para tal, vamos considerar as seguintes funções: 
 
 
Consideremos a função y = f(x) = 1 – 
x
1
, cujo gráfico é apresentado na 
Figura 62 abaixo. 
 
 
 
 
122 
 
Figura 62: O gráfico da função f(x) = 1 – 
x
1
 : gerado no programa Winplot. 
Vamos descrever nos dois quadros abaixo, os valores de f(x) para 
alguns valores particulares de x, tentando averiguar o comportamento da 
função em questão. 
 
 
 
 
123 
Quadro 05: Valores tabulados de f(x) para valores positivos de x. 
x 1 2 3 4 5 6 ... 500 ... 1000 ... 
f(x) 0 1/2 2/3 3/4 4/5 5/6 ... 499/500 ... 999/1000 ... 
Quadro 06: Valores tabulados de f(x) para valores negativos de x. 
x -1 -2 -3 -4 -5 ... -100 ... -500 ... 
f(x) 2 3/2 4/3 5/4 6/5 ... 101/100 ... 501/500 ... 
 
Desta forma, podemos averiguar que a função f(x) = 1 – 
x
1
 tende para 
1 quando x tende para o infinito. Basta observarmos os quadros anteriores e 
o gráfico apresentado na Figura 62 para caracterizarmos que: 
 
 
 
O qual denotamos por: 
 
 
 
 
 
 
y

1 quando x 

 
 







 xx
1
1lim = 1 
 
 
 
124 
A função polinomial y = x 2 + 3x – 2 (polinômio de grau 2) tende para 

 quando x tende 
x
. Sendo assim, neste caso a notação que 
utilizamos é: 
 
 
 
 
De forma intuitiva, basta analisarmos os Quadros 07 e 08 abaixo, bem 
como o gráfico da função apresentado na Figura 63 abaixo. 
Quadro 07: Valores tabulados de y para valores positivos de x. 
x 1 2 3 4 5 6 ... 100 ... 1000 ... 
y 2 8 16 26 38 52 ... 10298 ... 1002998 ... 
Quadro 08: Valores tabulados de y para valores negativos de x. 
x 
-1 -2 -3 -4 -5 -6 ... -100 ... -500 ... 
y -4 -4 -2 2 8 16 ... 9698 ... 248498 ... 
)23(lim 2 

xx
x
 = +

 
 
 
 
125 
 
Figura 63: O gráfico da função y = x 2 + 3x – 2: gerado no programa Winplot. 
 
A função y= 
1
12


x
x
 tende para 2 quando 
x
, e escrevemos: 
 
 
 
126 
 
 
 
 
Figura 64: O gráfico da função y= 
1
12


x
x
: gerado no programa Winplot. 
1
12
lim


 x
x
x
 = 2 
 
 
 
127 
Além disso, podemos tabular os valores de y a partir de valores 
específicos de x, como mostrados nos Quadros 09 e 10 abaixo. 
Quadro 09: Valores tabulados de y para alguns valores positivos de x. 
x 3 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001 1,0001 ... 
y 3,5 5 8 14 32 302 3002 30002 ... 
 
Quadro 10: Valores tabulados de y para valores de x. 
x 
-1 0 0,9 0,99 0,999 0,9999 ... 
y 0,5 -1 -28 -298 -2998 -29998 ... 
Observando o gráfico da função na Figura 64 acima, bem como os 
Quadros 09 e 10, ainda podemos dizer que y

quando x
1
 através 
de valores maiores do que 1, e que y

quando x
1
 através de 
valores menores do que 1. Neste caso, estamos nos referindo aos limites 
laterais (que discutiremos de forma detalhada mais a frente) denotados por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Limite lateral à direita: 
1
12
lim
1 

 x
x
x
 = 

 
 
Limite lateral à esquerda: 
1
12
lim
1 

 x
x
x
 = 

 
 
 
 
 
128 
A função y = 
2)1(
1
x
 tende para o infinito quando x

-1, e escrevemos: 
 
 
 
 
 
 Ou ainda, neste caso, podemos escrever: 
 
 
Ou seja, aqui temos a igualdade dos limites laterais a direita e a 
esquerda da função y = 
2)1(
1
x
. A Figura 65 abaixo nos mostra o gráfico 
da função em questão. 
 
 
21 )1(
1
lim
 xx
 = 

 
 
2
1 )1(
1
lim
 xx
 = 
2
1 )1(
1
lim
 xx
=

 
 
 
 
129 
 
Figura 65: O gráfico da função y= 
2)1(
1
x
: gerado no programa Winplot. 
 
A função y = 
2)2(
1


x
 tende para menos infinito quando x

2, e 
escrevemos: 
 
 
 
130 
 
 
 
 A figura 66 abaixo nos mostra o gráfico da função y = 
2)2(
1


x
.
 
Figura 66: O gráfico da função y= 
2)1(
1
x
: gerado no programa Winplot. 
 
22 )2(
1
lim


 xx
 = 

 
 
 
 
131 
A função y = cos(
x
1
) . A Figura 67 abaixo nos mostra a representação 
geométrica do gráfico da mesma. 
 
 
Figura 67: O gráfico da função cos(
x
1
) : gerado no programa Winplot. 
 
 
 
132 
Observando a Figura 67 e o Quadro 11 abaixo, podemos afirmar que o 
gráfico desta função oscila numa vizinhança de zero, sem tender para 
nenhum limite. 
Quadro 11: Valores tabulados de y = cos(
x
1
) para valores de x. 
x 


1
0,318309 

2
1
0,159154 

3
1
0,106103 

4
1
0,0795774 
y – 1 1 – 1 1 
 
A partir do momento que apresentamos alguns exemplos 
introdutórios, trabalhando de forma intuitiva com a noção de 
limite, agora é de nosso interesse apresentar a definição formal 
de limite como segue na seção subseqüente. 
 
19 A Definição Formal do Conceito de Limite 
Agora, vamos definir em termos formais a noção de limite 
de uma função real de uma variável y = f(x). Para tal, vamos 
considerar uma função f(x) definida em um intervalo aberto I, 
contendo o ponto a, exceto possivelmente no próprio ponto a. 
 
 
 
133 
Definição (Limite de uma Função): Dizemos que o limite 
de f(x) quando x apreoxima-se de a é o número L, e 
escrevemos 
 
 
 
Se para todo 

> 0, existe um 

> 0, tal que | f(x) – L | < 

 
sempre que tivermos 0 < | x – a | < 

. 
 
 
 
Vejamos alguns exemplos ilustrativos com relação a definição formal 
de limite de uma função y = f(x). 
 
Vamos mostrar através da definição formal de limite que 
)13(lim
1


x
x
= 2. 
 
Solução: Inicialmente, notemos que de acordo com a definição formal