Cálculo Diferencial e Integral I Unidade IV

Prévia do material em texto

1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
Reitor 
Prof. Ms. Stefano Barra Gazzola 
 
Gestão da Educação a Distância 
Prof. Ms. Wanderson Gomes de Souza 
 
Design Instrucional e Diagramação 
Diógenes Caxin 
Victor Rocha 
 
Coord. do Núcleo Pedagógico 
Prof.ª Ms. Terezinha Nunes Gomes Garcia 
Prof.ª Dr.ª Gleicione Aparecida Dias Bagne de Souza 
 
Revisão Ortográfica / Gramatical 
Erika de Paula Sousa 
 
 
 
 
 
 
4 
Autor 
 
Alessandro Ferreira Alves 
Doutor em Matemática Aplicada pela Faculdade de Engenharia 
Elétrica e Computação (FEEC) da Universidade Estadual de 
Campinas (UNICAMP-SP) no departamento de Telemática. 
Mestre em Matemática Pura pelo Instituto de Matemática, 
Estatística e Computação (IMECC) da Universidade Estadual de 
Campinas (UNICAMP-SP). Possui Licenciatura Plena em 
Matemática pela Universidade Federal de Uberlândia (UFU-MG). 
Atua como professor titular no Centro Universitário do Sul de 
Minas (UNIS-MG), desde o ano de 2001, como professor em 
diversos Cursos de Graduação, bem como cursos de pós-
graduação, nas Modalidades Presencial (GEP) e a Distância 
(GEaD). Além disso, é Coordenador do Curso de Licenciatura 
Plena em Matemática na Modalidade a Distância desde o 
segundo semestre de 2007, bem como já atuou como 
coordenador dos cursos de pós-graduação do UNIS-MG, tais 
como: MBA em Finanças Corporativas (GEDUP – 2007 e 2008), 
MBA em Gestão Empresarial (GeaD – 2008), Pós-graduação em 
Matemática Empresarial (GEP – 2004, 2005 e 2006) e Lato Sensu 
em Matemática e Ensino (GEDUP – 2002 e 2003). Atualmente, 
atua como professor titular de disciplinas em vários cursos de 
 
 
 
5 
nossa instituição, como, por exemplo, Engenharia Mecânica, 
Engenharia de Produção, Engenharia Civil, Matemática, Física, 
Comércio Exterior, Sistemas de Informação e Ciência da 
Computação, relacionadas à Matemática, Estatística e 
Computação, bem como professor em diversos cursos da 
GEPÓS, (MBA em Finanças Corporativas e Gestão Bancária, 
MBA em Gestão Estratégica e Inteligência em Negócios, MBA 
em Gestão Empresarial, MBA em Logística Empresarial e Lato 
Sensu em Ensino de Matemática e Física). O professor 
Alessandro Ferreira Alves também é membro do CONSELHO 
UNIVERSITÁRIO (CONSUN) do Centro Universitário do Sul de 
Minas Gerais desde o ano de 2008, atuando como representante 
do quadro de coordenadores da instituição. De outra forma, 
atua com projetos de consultoria na área de Finanças, 
Estatística Aplicada a Mercado e Controle Estatístico de 
Processos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ALVES, Alessandro Ferreira 
Guia de Estudo – Cálculo Diferencial Integral I – 
Alessandro Ferreira Alves. Varginha: GEaD-
UNIS/MG, 2012. 91p. 
 
1. Introdução ao cálculo diferencial e 
integral, limites e continuidade de funções de 
uma variável real. I. Título. 
 
 
 
 
7 
Sumário 
A Integral e Aplicações 11 
1 - Aspectos Introdutórios 12 
2 - Processo de Antidiferenciação – Primitiva Imediatas 13 
3 - Algumas Técnicas de Antiderivação 34 
4 - Regra de Cadeia para Antiderivação 35 
5 - Mudança de Variável (ou Integração por Substituição) 40 
6 - A Derivada e a Integral Indefinida da Função Exponencial 42 
7 - A Técnica da Integração por Partes 43 
8 - A Integral Definida e Aplicações Diversas 48 
8.1 Partição de um Intervalo 49 
8.2 Soma de Riemann 50 
8.3 Integral de Riemann: Definição 57 
8.4 Propriedades da Integral 59 
8.6 Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo 60 
9 - Cálculo de Áreas 70 
9.1 Aplicação à Fisica: um Estudo de Caso em Cinemática 84 
10 - Resumo da Unidade 89 
11 - Referências Bibliográficas 90 
 
 
 
 
 
 
8 
META 
Nesta quarta Unidade é de nosso interesse apresentar a teoria 
acerca da integral indefinida, integral definida e aplicações, bem 
como, trabalhar com as principais definições, métodos de 
integração e teoremas relacionados. De outra forma, 
apresentaremos uma série de resoluções de aplicações de 
problemas simulados utilizando os conceitos apresentados 
anteriormente. 
 
 
 
 
 
9 
OBJETIVOS DA UNIDADE 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta unidade, 
você seja capaz de: 
- Introduzir e Interpretar o processo de antidiferenciação, que é, 
o processo inverso da diferenciação (ou derivação); 
- Adquirir técnicas de demonstração; 
- calcular sem dificuldades primitivas imediatas; 
- estar familiarizado com as primeiras técnicas de integração, 
que são: a mudança de variável e a integração por partes; 
- reconhecer a técnica a ser empregada na resolução de 
integrais indefinidas; 
- resolver aplicações envolvendo a teoria discutida na unidade. 
- Compreender e aplicar a noção de integral na resolução de 
problemas simulados nas áreas de matemática e física; 
 
 
 
 
10 
- estar plenamente familiarizado com os principais conceitos e 
resultados envonvendo as integrais indefinidas e definidas; 
- compreender, relacionar e aplicar os principias resultados do 
cálculo diferencial de uma variável em situações do dia-a-dia; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A Integral e Aplicações 
 
 
 
12 
1- Aspectos Introdutórios 
 
 Você já está familiarizado com operações inversas. 
Adição e Subtração, multiplicação e divisão são operações 
inversas, bem como potenciação e radiciação. Nesta Unidade, 
vamos desenvolver a operação inversa da diferenciação 
chamada de antidiferenciação. 
 
Figura 01: O processo de antidiferenciação. 
 
Derivação ou 
Diferenciação 
Antiderivação ou 
Antidiferenciação 
 
 
 
13 
2- Processo de Antidiferenciação – Primitiva 
Imediatas 
 
Vamos começar introduzindo a noção de antiderivada ou 
primitiva. 
Definição (Primitiva ou Antiderivada): Consideremos f uma 
função definida em um intervalo I, i.e., f: I  . Uma primitiva 
(ou antiderivada) de f em I é uma função F definida em I tal que 
F’(x) = f(x)  x I, ou seja, a derivada de F(x) é igual à função 
f(x) para todo x pertencente ao intervalo I. 
 Vejamos alguns exemplos introdutórios. 
 F(x) = x é uma primitiva de f(x) = 1 em 

, pois: para todo 

x
 
, temos que F’(x) = 1 = f(x). Note que neste caso I 
= 

. 
 
 F(x) = x + 3 é uma primitiva de f(x) = 1 em 

, pois: para 
todo 

x
 
, temos que F’(x) = 1 = f(x). Note que neste 
caso I = 

. 
 
 
 
14 
 
 F(x) = x² – 10 é uma primitiva de f(x) = 2x em 

, pois: 
para todo 

x
 
, temos que F’(x) = 2x = f(x). Note que 
neste caso I = 

. 
 F(x) = 
3
1
.x 3 é uma primitiva de f(x) = x 2 em 

, pois: para 
todo 

x
 
, temos que F’(x) = 
3
1
. 3. x 2 = x 2 = f(x). Note 
que neste caso I = 

. 
 
 F(x) = 4.x 3 + x 2 + 5 é uma primitiva de f(x) = 12. x 2 + 2.x, 
para todo x real, pois: F’(x) = 4.3. x 2 + 2.x + 0 = 12. x 2 + 
2.x = f(x). 
 
 F(x) = senx é uma primitiva para f(x) = cosx, pois: F’(x) = 
[senx]’ = cosx = f(x). 
 
 F(x) = cosx é uma primitiva para f(x) = – senx, pois: F’(x) 
= [cosx]’ = - senx = f(x). 
 
 
 
 
15 
 Salientamos, que em geral, se uma função F(x) for 
uma primitiva de uma função f(x) num intervalo I e se a 
função G(x) for definida por 
 
 
 
Onde C é uma constante arbitrária, então: 
 
 
 
 
Ou seja,G(x) = F(x) + C 
G’(x) = [F(x) + C]’ = F’(x) + 0 = F’(x) 
 
 
G’(x) = F’(x) 
 
 
 
16 
E G(x) também é uma primitiva de f no intervalo I. 
 
 Em verdade, vamos mostrar que se F(x) for qualquer 
primitiva particular de f(x) em I, então toda primitiva de f(x) em I, 
será dada por F(x) + C, onde C é uma constante qualquer. 
 
 A função de F(x) = x 2 é uma primitiva de f(x) = 2x em I = 
 , analogamente, G(x) = x 2 + 3 também é uma primitiva de f(x) 
= 2x em I =  . Observe que, no lugar do número 3 poderia vir 
qualquer outro valor numérico e assim mesmo a função G(x) 
seria uma primitiva de f(x) no conjunto dos números reais. 
 
 
 
 
 
 
 
Resumindo, observamos que se f(x) possui uma primitiva 
particular F(x) então ela admite na verdade uma infinidade 
de primitivas, que diferem por um valor constante. 
 
 
 
17 
Teorema 01: Se f(x) e g(x) forem duas funções, tais que f ’(x) = 
g’(x) para todo x no intervalo I, então haverá uma constante K, tal 
que 
f(x) = g(x) + K para todo x em I. 
 
Demonstração: Vamos definir uma função h(x) no intervalo I da 
seguinte forma: 
 
h(x) = f(x) – g(x) 
 
Desta forma, para todo x em I, 
 
h’(x) = f ’(x) – g’(x) 
 
Onde, usamos que a derivada de uma diferença é a diferença 
entre as derivadas. Porém, por hipótese, f ’(x) = g’(x) para todo x 
em I. Logo: 
 
 
 
 
18 
h’(x) = 0 para todo x em I 
 
(*) Agora, vamos usar o seguinte resultado que provavelmente 
vocês viram no curso de Cálculo Diferencial e Integral I: Se a 
derivada de uma função f(x) se anula em todo um intervalo I 
então f(x) é constante, isto é, f(x) = K (constante). 
 
Sendo assim, usando (*) para a função h(x), concluímos que: 
 
h(x) = K, i.e., h(x) é constante 
 
Portanto, 
 
h(x) = f(x) – g(x) = K 
 
Ou seja, 
 
 
 
 
19 
f(x) = g(x) + K 
 
c.q.d. 
 
Teorema 02: Se F(x) for uma primitiva particular de f(x) em um 
intervalo I, então toda primitiva de f(x) em I será dada por: 
 
 
 
Onde C é uma constante arbitrária e todas as primitivas de f(x) 
em I poderão ser obtidas de (I), atribuindo-se certos valores a C. 
Demonstração: Suponhamos que G(x) represente qualquer 
primitiva de f(x) em I, então G’(x) = f(x) para todo x  I. Além disso, 
como F(x) é uma primitiva particular de f(x) em I, temos que F’(x) 
= f(x) para todo x I. Daí, segue que G’(x) = F’(x) para todo x I. 
Logo, pelo Teorema 01, existe uma constante C tal que: 
 
G(x) = F(x) + C para todo x em I 
(I) F(x) + C 
 
 
 
 
20 
Como G(x) representa qualquer primitiva de f(x) em I, segue que 
toda primitiva de f(x) pode ser obtida de F(x) + C, onde C é uma 
constante arbitrária. 
 
c.q.d. 
 
 
Definição (Antidiferenciação): Chamamos de 
Antidiferenciação o processo de encontrar o conjunto de todas 
as primitivas de uma dada função. 
O símbolo  denota a operação de antidiferenciação e 
escrevemos: 
 
 
 
 
Onde F’(x) = f(x) e d(F(x)) = f(x).dx. 
 
 dxxf )(
 = F(x) + C 
 
 
 
 
21 
Observações Importantes 
 
i) O conjunto de todas as primitivas de f(x) é a Integral Indefinida 
de f(x) em relação a variável x, denotada por  dxxf )( . 
ii)  é o símbolo de uma integral. 
iii) f(x) é o integrando de uma integral e x é a variável de 
integração. 
iv) Leibniz introduziu a convenção de escrever a diferencial de 
uma função após o símbolo de antidiferenciação. 
v) Podemos escrever também  ))(( xFd = F(x) + C. 
vi) Podemos considerar que o símbolo de antidiferenciação 
significa a operação inversa da operação denotada por d para 
o cálculo diferencial. 
vii) Se {F(x) + C} for o conjunto de todas as funções cuja 
diferencial é f(x).dx, também será o conjunto de todas as 
funções cujas derivadas são f(x). Assim sendo, a 
antidiferenciação é considerada como a operação de 
encontrar o conjunto de todas as funções, tendo uma dada 
derivada. 
 
 
 
22 
 Como a antidiferenciação é a operação inversa da 
diferenciação, os Teoremas sobre antidiferenciação podem 
ser obtidos dos Teoremas que envolvem diferenciação. Desta 
maneira, os Teoremas a seguir podem ser provados a partir 
dos Teoremas correspondentes da diferenciação, estudados 
no semestre anterior. Vejamos os primeiros resultados 
importantes como segue, que são chamados de tabeladas 
imediatas. 
Teorema 03: 
dx
 = x + C. 
 
Demonstração: 
 
Notemos que 
dx
=
 dx.1
, logo 
dx
 = x + C, já que [x]’ = 1. 
c.q.d. 
 
Teorema 04: 
 dxxfa )(.
 = a.
 dxxf )(
, onde a é uma constante. 
 
Note que o Teorema 04, estabelece que para determinar uma 
antiderivada de uma constante vezes uma função, encontramos 
inicialmente uma antiderivada da função multiplicando-a, em 
seguida, pela constante, que no nosso caso é a. Qual é a 
justificativa (demonstração) do Teorema 04? Tente fazer, é bem 
simples! 
Teorema 05: Se f
1
 e f
2
 estão definidas no mesmo intervalo, 
então 
 
 
 
23 
  dxxfxf )]()([ 21
 = 
 dxxf )(1
 + 
 dxxf )(2
. 
O Teorema 05, nos diz que para determinar uma antiderivada da 
soma de duas funções, achamos primeiro a antiderivada de 
cada uma das funções separadamente e então, somamos 
resultados, ficando subentendido que ambas as funções estão 
definidas no mesmo intervalo. O Teorema 05 pode ser estendido 
a um número qualquer, finito, de funções. Combinando o 
Teorema 05 com o Teorema 04, temos o seguinte resultado: 
 
 
 
 
Teorema 06: Se f
1
, f
2
, ..., f
n
 estão definidas no mesmo intervalo, 
então 
  dxfcxfcxfc nn ]....)()(.[ 2211
 = 
 dxxfc )(. 11
 + 
 dxxfc )(. 22
+ ... + 
 dxxfc nn )(.
, 
onde c
1
, c
2
, ..., c
n
 são constantes. 
 
 Vejamos mais alguns resultados, que usaremos nos 
próximos exercícios e ao longo de todo curso. 
 
Teorema 07: Se n for um número racional, 
dxxn
= 
C
n
xn



1
1 , n
1
. O caso n = – 1 será discutido mais a frente, pois aparecerá 
a função logarítmica. 
 
Demonstração: 
 
 
 
24 
Basta notarmos que D
x
n
nnn
x
n
xn
n
xn
n
x














1
).1(
1
).1(
1
111 . 
 
Vejamos alguns exemplos, a fim de aplicar os resultados 
discutidos anteriormente. 
 
 
c.q.d. 
 
 
 
 
Exercícios de Aprendizagem 
 
Calcular as seguintes integrais indefinidas: 
 
a) 
dxx
2
= 
 
b) 
dx
x 2
1
 
 
c) 
dxx .3
 
 
d) 
  dxx )5.3(
 
 
e) 
dxxxxx )7.2.9.8.5( 234 
 
 
 
 
 
25 
f) 


3
4
2 7.5
t
t
dt 
 
g) 
dx
x
xx .
1
. 






 
 
 
Solução: 
 
a) 
dxx
2
=
C
x
C
x



312
312 
 
b) 
dx
x 2
1
=
C
x
C
x
C
x




 1
112
112 
 
c) 
dxx .3
=
CxCxC
x
C
x
dxx 




3 43
43
4
1
3
1
3
1
.
4
3
.
4
3
3
4
1
3
1
 
 
d) 
  dxx )5.3(
=
  dxxdx 5.3
=
CxxCCxxCxC
x
dxdxx 





  .5.2
3
).5.3(.5.
2
3
).(5
2
.3.5..3 221
2
21
2
, onde C = 
).5.3( 21 CC 
. 
 
 
 
 
 
 
26 
 
 
 
 
e) dxxxxx )7.2.9.8.5( 234  =
   dxxdxdxxdxxdxx .729.8.5
234 = 
Cxxxxx  .7.3.2 2345 (Verifique os cálculos!). 
 
f)


3
4
2 7.5
t
t
dt=
CttC
tt
dttdttdt
t
dt
t
t
















































 3
1
3
53
1
3
5
3
4
3
2
3
4
3
4
2
.3.7.
5
3
.5
3
1
.7
3
5
.5.7.5
1
.7.5
 
= 3.t 35 – 3
1
21
t + C 
Para não sobrecarregarmos a notação, resolvemos as integrais de 
forma separada, e apenas no final colocamos a constante de 
integração C. A resposta deve ter uma constante, pois como vimos se 
trata de uma integral indefinida. 
 
 
 
 
27 
 
g) dxxxx .
1
. 





 = 
CxxC
xx
dxxdxxdxxxx  

 2
1
2
52
1
2
5
2
1
2
3
12
1
.2.
5
2
2
1
2
5
).(
 
 
 Os Teoremas para a antiderivada das funções seno e 
coseno seguem imediatamente dos Teoremas correspondentes 
para diferenciação. 
Teorema 08:   Cxxdx cossen 
 
Demonstração: 
De fato, basta notarmos que D x (– cosx ) = – (– senx) = senx. 
 
c.q.d. 
 
 
 
28 
 
Teorema 09:   Cxxdx sencos 
 
Demonstração: De fato, basta notarmos que D x (senx ) = cosx. 
 
c.q.d. 
 
 Os Teoremas que discutiremos a seguir, são 
consequências dos Teoremas para as derivadas das funções: 
tangente, cotangente, secante e cosecante. As demonstrações 
são imediatas, obtidas com o cálculo da derivada do segundo 
membro das fórmulas. 
 
Teorema 10:   Ctgxxdx2sec . 
 
 
 
29 
 
Teorema 11:   Cgxxdxec cotcos 2 . 
 
Teorema 12:   Cxdxtgxx sec..sec . 
 
Teorema 13:   Cecxdxgxecx cos.cot.cos . 
 
 Tente justificar os Teoremas anteriores para exercitar, 
é bastante simples! 
 
 As identidades trigonométricas são frequentemente 
usadas quando calculamos antiderivadas envolvendo funções 
trigonométricas. As dez identidades fundamentais abaixo são de 
fundamental importância. 
 
 
 
30 
Identidades Trigonométricas Fundamentais 
 
 
 senx . cosecx = 1 
 
 cosx . secx = 1 
 
 tgx . cotgx = 1 
 
 tgx = 
x
x
cos
sen
 
 
 cotgx = 
x
x
sen
cos
 
 
 secx = 
xcos
1
 
 
 cosecx = 
xsen
1
 
 
 sen 2 x + cos 2 x = 1 
 
 1 + tg 2 x = sec 2 x 
 
 1 + cotg 2 x = cosec 2 x 
 
 
 
 
 
 
31 
 
Exercícios de Aprendizagem 
 
Calcule as seguintes integrais indefinidas: 
a)   dxxectgxx )cos.5.sec.3( 2 
b) dxx
xgx


sen
sen.3cot.2 2
 
c)   dxxgxtg )4cot( 22 
d) dxxx )cos(sen 22  
e)  ecxdxx cos.cos 
 
 
 
 
 
 
32 
Solução: 
a)   dxxectgxx )cos.5.sec.3( 2= 
Cgxxdxxectgxdxx   )cot.(5sec.3.cos.5.sec.3
2 
= Cgxx  cot.5sec.3 
b) dxx
xgx


sen
sen.3cot.2 2
= 
dx
x
x
gx
x
dx
x
x
dx
x
gx
  sen
sen
3cot.
sen
1
.2
sen
sen.3
sen
cot.2 22
 = 
= 
   CxgxCxgxxdxgxecx cos.3cot.2)cos.(3)cot.(2sen3cot.cos.2
 
c)   dxxgxtg )4cot( 22 = 
   xdxecxdxdxxecx
2222 cossec]4)1(cos1[(sec 
+ 2. dx = tgx – cotgx +2.x + C 
 
 
 
33 
d) dxxx )cos(sen 22  = dx = x + C (Usamos a Relação 
Trigonométrica Fundamental) 
e)  ecxdxx cos.cos = dx = x + C (Usamos a relação cosx.cosecx = 
1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
3- Algumas Técnicas de Antiderivação 
 
Em diversas situações as primitivas não podem ser encontradas 
diretamente, desta forma, é necessário estudarmos algumas 
técnicas. A partir do momento, em que o grau de complexidade 
das integrais vai aumentando é natural pensarmos em novas 
técnicas para contornar tais situações. 
 
Figura 02: Algumas técnicas de integração. 
 
Mudança de 
Variável 
Integração por 
Partes 
Frações 
Parciais 
Regra da 
Cadeia para 
Antiderivação 
Substituição 
Trigonométrica 
 
 
 
35 
4- Regra de Cadeia para Antiderivação 
 
 
Vamos encontrar a derivada de 
102)1.(
10
1
x
. Para isto, aplicando 
a Regra da Cadeia para Derivadas, i.e., a regra para cálculo da 
derivada de uma função composta (visto no semestre anterior), 
temos que: 
 
D
x
 [
102)1.(
10
1
x
] = 
xxxx .2.)1().2.()1.(10.
10
1 921102  
 
 
Agora, suponhamos que desejamos antiderivar à função 
xx .2.)1( 92
. Então, necessitamos calcular: 
 
(I) 
 xdxx .2.)1(
92 ).2.()1( 92 xdxx 
 
 
Para encontrarmos um tal procedimento para esta situação, 
consideremos: 
 
(II) g(x) = 1 + x 2 e g’(x) = 2.x.dx 
 
Logo, podemos escrever (I) como: 
(III) 
]).('.[)]([ 9 dxxgxg
 
 
Daí, pelo Teorema 07, segue que: 
 
 
 
36 
 
(IV) 
109 .
10
1
. uduu 
 + C (Fizemos u = g(x) logo du = g’(x).dx) 
 
Notemos que (III) é da mesma forma que o primeiro membro de 
(IV), assim: 
 
]).('.[)]([ 9 dxxgxg
= 
10)](.[
10
1
xg
 + C 
 
Portanto, 
10292 )1.(
10
1
).2.()1( xxdxx 
 + C 
 
 
 A justificativa para o nosso raciocínio utilizado 
anteriormente é o seguinte Teorema abaixo, denominado de 
Regra da Cadeia para Antiderivação. 
 
 
Teorema 14: Sejam g uma função diferenciável de x e o 
intervalo I a imagem de g. Suponha que f seja uma função 
definida em I e que F seja uma primitiva de f em I. Então: 
 
])('[)).(( dxxgxgf
= F(g(x)) + C 
Onde F’(x) = f(x). 
 
 
 
 
37 
Demonstração: Temos que F’(x) = f(x), pois F é uma primitiva de 
f, daí: 
 
(I) F’(g(x)) = f(g(x)) 
 
Agora, aplicando a Regra da Cadeia para derivação 
considerando a função F(g(x)), obtemos: 
D
x
[F(g(x)] = F’(g(x)). g’(x) 
 
Substituindo (I) na igualdade acima, segue que: 
 
D
x
[F(g(x)] = f(g(x)). g’(x) 
 
Isto é, a função F(g(x)) é uma primitiva para a função f(g(x)).g’(x), 
da qual segue que 
 
])('[)).(( dxxgxgf
= F(g(x)) + C 
 
c.q.d. 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Calcular as seguintes integrais indefinidas: 
 
a) 
  dxx 4.3
 
b) 
 dxxx )cos(.
2
 
 
Solução: 
 
 
Observações Importantes! 
 
1) (Caso Particular do Teorema Anterior) – Se g for uma função 
diferenciável e se n for um número racional, n

-1, segue que 
 
C
n
xg
dxxgxg
n
n 



 1
)]([
])('.[]([
1 
 
2) A Regra da Cadeia para Antiderivação é: 
])('[)).(( dxxgxgf
= F(g(x)) 
+ C, onde F é uma primitiva de f. Se nessa fórmula f for a função co-
seno então F será a função seno e teremos: 
])('[)).(cos( dxxgxg
= sen(g(x)) + C 
 
 
 
 
39 
a) 
  dxx 4.3
 
Cx
x
dxxdxxdxx 




 2
312
1
2
1
2
1
)43.(
3
2
.
3
1
 
1
2
1
)4.3(
.
3
1
).3.(
3
1
.)4.3()4.3(4.3
 
= 
Cx  2
3
)43.(
9
2 
Neste caso, fizemos g(x) = 3.x + 4 logo g’(x) = 3.dx. 
 
b) 
Cxxdxxdxxx   )sen(.2
1
).2.(
2
1
.)cos()cos(. 222
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
5- Mudança de Variável (ou Integração por 
Substituição) 
 
É possível calcular uma primitiva após efetuarmos uma 
mudança de variável. Nosso objetivo aqui, é através de uma 
mudança de variável simplificarmos a integral a ser calculada 
para uma já conhecida (tabelada imediata). Esta técnica é muito 
parecida com a que discutimos anteriormente. 
 
 Calcular 
dxxx  1.
2
. 
 
Solução: Vamos efetuar a seguinte mudança de variável 
u = 1 + x ou ainda x = u – 1 
daí 
du = dx 
Então: 
dxxx  1.
2
=
duuduuduuduuuuduuu   2
12
3
2
5
22
1
2 .2).12(.)1( 2
1 
 
= 
C
uuu

2
3
2
5
.2
2
7
2
3
2
5
2
7
=
Cxxx  2
3
2
5
2
7
)1.(
3
2
)1.(
5
4
)1.(
7
2 
 
 
 
41 
 
 
 Calcular 
dxx 
5)9(
 
 
Solução: Vamos efetuar a seguinte mudança de variável 
u = x – 9 
daí 
du = dx 
Então: 
dxx 
5)9(
=
C
x
C
u
C
u
duu 





 6
)9(
615
6615
5
 
 
 
 Calcule 
 dxx)3sen(
 
 
Solução: Vamos efetuar a seguinte mudança de variável 
u = 3x 
daí 
du = 3.dx, ou seja, dx = 
3
du
 
Então: 
 dxx)3sen(
=
CxCuudu
du
u 

  )3cos(.3
1
)cos.(
3
1
sen.
3
1
3
.sen
 
 
 Antes de estudarmos a próxima técnica de 
integração, que é, a integração por partes, vamos fazer uma 
 
 
 
42 
rápida revisão sobre a função exponencial e a função 
logarítmica. Nossa tarefa aqui, é encontrar as derivadas da 
função exponencial e da função logarítmica a fim de resolver 
integrais que envolvam estas funções. 
6- A Derivada e a Integral Indefinida da Função 
Exponencial 
 
Teorema 15: (Derivada da Função Inversa) Consideremos a 
função y = f(x) bijetora e derivável em I tal que f ’(x)

0 para x 
em I. Então a função inversa x = f 1 (y) é derivável em f(I) e que 
(f 1 )’(y) = 
)('
1
xf
, sendo y = f(x). 
Em símbolos, temos o seguinte: 
x = f 1 (y)

 (f 1 )’(y) = 
)('
1
xf
 
 
Desta forma, sabemos que a função logarítmica é a função 
inversa da função exponencial, então: 
y = log
b
x 

 x = b y 
 
E vimos também que se x = b y então x’ = b y .lnb. 
 
Logo, pelo Teorema da Derivada da Função Inversa, segue que: 
 
 
 
 
43 
y’ =
bxbbbbx
xy b ln.
1
ln.
1
ln.
1
'
1
log

 
 
Resumindo, 
y = log
b
x 

 y’ = 
bx ln.
1
 
 
Em particular, se b = e, segue que: 
 
y = lnx 

 y’ = 
xex
1
ln.
1

 
 
Portanto, temos que: 
 
dx
x
1
 = lnx + C 
 
Obviamente considerando x > 0 para a existência de lnx. 
 
7- A Técnica da Integração por Partes 
 
 A priori devemos salientar que toda integral 
poderia ser resolvida utilizando a técnica da Integração por 
Partes, mas na prática nós vamos averiguar que não é bem 
assim, ou seja, necessitamos realmente dos outros métodos de 
 
 
 
44 
acordo com a especificidade de cada integral a ser resolvida. 
Consideremos duas funções f e g. Suponhamos que f e g sejam 
definidas e deriváveis num certo intervalo I  . Sabemos da 
teoria de derivadas, que: 
[f(x).g(x)]’ = f ’(x).g(x) + g’(x).f(x) (Derivada de um produto) 
 
Ou seja, 
f(x). g’(x) = [f(x).g(x)]’ – f’(x).g(x) 
 
Agora, suponhamos que f’(x).g(x) admita primitiva em I e 
notando que f(x).g(x) é uma primitiva de [f(x).g(x)]’ (Por quê?) 
então f(x).g’(x) também admite primitiva em I e: 
 
  dxxgxfxgxfdxxgxf )().(')().()(').(
 
 
Tomando 





dxxgdvxgv
dxxfduxfu
).(')(
).(')( 
Segue que: 
 
 
 
 
  duvvudvu ...
 (Fórmula da Integração por Partes) 
 
 
 
 
45 
Observações Importantes 
i) A priori toda integral poderia ser resolvida pela integração 
por partes, já que pode ser colocada na forma do primeiro 
membro da igualdade acima, porém veremos que não é tão 
simples assim. 
ii) A chamada de u e dv, deve ser da seguinte forma: devemos 
chamar de u algo que seja fácil para derivar e de dv algo que 
seja fácil para integrar, pois olhando para a fórmula da 
integração por partes de u temos que encontrar du e de dv 
temos que encontrar v. 
iii) Na determinação de v (através da integração de dv) 
aparece uma constante (pois se trata de uma integral 
indefinida), mas ela pode ser desprezada já que desaparece 
no desenvolvimento dos cálculos. 
iv) A integração por partes é frequentemente usada quando o 
integrando envolve logaritmos, funções trigonométricas inversas 
(discutiremos na última unidade) e produtos de funções. 
 
 
 
46 
 Calcular 
dxex x .
. 
 
Solução: Vamos chamar u = x e dv = e x .dx, daí: du = dx e v = e x . 
Desta maneira, pela fórmula da integração por partes, segue 
que: 
 
dxex x .
= x. e x – 
dxex
 = x. e x – e x + C 
 
 Calcular 
 xdxln
. 
 
Solução: Vamos chamar u = lnx e dv = dx, daí: du = 
x
1
.dx e v = x. 
Desta maneira, pela fórmula da integração por partes, segue 
que: 
 xdxln
 = x.lnx –
dx
x
x
1
.
= x.lnx – x + C 
 
 Calcular 
 xdxx cos.
. 
 
Solução: Vamos chamar u = x e dv = cosx.dx, daí: du =dx e v = 
senx. Desta maneira, pela fórmula da integração por partes, 
segue que: 
 
 xdxx cos.
=x.senx – 
 dxx.sen
= x.senx – (–cosx) + C = x.senx + cosx 
+ C 
 
 
 
 
 
47 
 
 Calcular 
 xdxx ln.
. 
Solução: Vamos chamar u = lnx e dv = x.dx, daí: du =
x
1
.dx e v = 
2
2x
. Desta forma, pela fórmula da integração por partes, segue 
que: 
 
 xdxx ln.
 = lnx.
2
2x – 
dx
x
x 1
.
2
2

= lnx.
2
2x –
dxx..
2
1

= lnx.
2
2x – 
4
2x + C 
 
 
 Calcular 
dxex x .
2
. 
 
Solução: Este é o típico caso em que teremos que efetuar duas 
vezes a integração por partes.. Inicialmente, vamos chamar de u 
= x 2 e dv = e x dx, então: du = 2.x.dx e v = e x . Daí, segue que: 
 
dxex x .
2
 = x 2 . e x – 
dxex x ..2
= x 2 . e x – 
dxex x ..2
 
 
Note que a integral do segundo membro foi resolvida no 
Exemplo 1, logo: 
 
dxex x .
2
= x 2 . e x – 2.[x.e x – x] + C = x 2 . e x – 2x.e x + 2.x + C 
 
 
 
 
 
48 
8- A Integral Definida e Aplicações Diversas 
 
Agora, estaremos interessados em apresentar a noção de 
Integral Definida, cuja origem foi a formalização matemática da 
ideia do cálculo de áreas de regiões planas delimitadas pelos 
gráficos de funções. Observemos inicialmente que somente 
"sabemos" calcular, efetivamente, a área de regiões limitadas 
por segmentos de retas como retângulos, triângulos ou 
composições destes. 
 
 
• Cálculo de Áreas 
• Somas Parciais 
Integral 
Definida 
• Integral Indefinida → 
Integral Definida 
• Partição de Um Intervalo 
Integral 
Definida 
 
 
 
49 
Figura 03: Aspectos Introdutórios da Integral Definida. 
8.1 Partição de um Intervalo 
 
Definição (Partição de um Intervalo): Uma partição P de um 
intervalo [a, b] é um conjunto finito P = {x
0
, x
1
, ..., x
n
} onde a = x
0
< x
1
< x
2
 < ...< x
n
= b. 
 Uma partição P de [a, b] divide [a, b] em n intervalos 
[x
1i
, x
i
], i = 1, 2, ..., n. 
 
 
Figura 04: Representação da partição P de um intervalo [a, b]. 
A amplitude do intervalo [x
1i
, x
i
], será indicada por 
ix
 = x
i
– x
1i
. Assim: 
1x
= x
1
– x
0
, , 
Etc. 
Os números 
1x
, 
2x
, ..., 
nx
 não são necessariamente iguais; o 
maior deles é denominado amplitude da partição P ao qual 
 
 
 
50 
indicamos por máx
ix
. Uma partição P = {x
0
, x
1
, ..., x
n
} de [a, b] 
será indicada simplesmente por P: a = x
0
< x
1
< x
2
 < ...< x
n
= b. 
 
8.2 Soma de Riemann 
 Consideremos f uma função definida em [a, b] e P: a 
= x
0
< x
1
< x
2
 < ...< x
n
= b uma partição de [a, b]. Para cada índice 
i (i = 1, 2, ..., n) seja c
i
 um número em [x
1i
, x
i
] escolhido 
arbitrariamente. 
 
 
 
Figura 05: Definição dosnúmeros c
i
 . 
 
Definição (Soma de Riemann de f): O número 
 
nni
n
i
i xcfxcfxcfxcf 

).(...).().().( 2211
1
 
 
 
 
51 
 
é chamado de soma de Riemann de f, relativa à partição P e 
aos números c
i
. 
 Notemos que, se f(c
i
) > 0, f(c
i
).
ix
 será então a área 
do retângulo R
i
 determinado pelas retas x = x
1i
, x = x
i
, y = 0 e y 
= f(c
i
); se f(c
i
) < 0, a área de tal retângulo será – f(c
i
).
ix
. 
Vejamos a Figura 06 abaixo: 
 
 
 
Figura 06: Área dos retângulos R
i
. 
Geometricamente, podemos então interpretar a soma de 
Riemann: 
 
i
n
i
i xcf 

).(
1
 
 
 
 
52 
como a diferença entre a soma das áreas dos retângulos R
i
 
que estão acima do eixo x e a soma das áreas dos que estão 
abaixo do eixo x. 
 
Figura 07: Soma das áreas dos retângulos. 
Consideremos F uma função definida em [a, b] e seja P: a = x
0
< 
x
1
< x
2
< x
3
< x
4
= b uma partição de [a, b]. O acréscimo F(b) – F(a) 
que a F sofre quando se passa de x = a para x = b é igual à 
soma dos acréscimos F(x
i
) – F(x
1i
) para i variando de 1 a 4: 
 
F(b) – F(a) = F(x
4
) – F(x
0
) = [F(x
4
) – F(x
3
)] + [F(x
3
) – F(x
2
)] + 
[F(x
2
) – F(x
1
)] + [F(x
1
) – F(x
0
) ] 
Isto é, 
F(b) – F(a) =
)]()([ 1
4
1


 i
i
i xFxF
 
 
 
 
53 
De modo geral, se P: a = x
0
< x
1
< x
2
 < ...< x
n
= b for uma partição 
de [a, b], então 
F(b) – F(a) =
)]()([ 1
1


 i
n
i
i xFxF
 
 
 Sejam F e f definidas em [a, b] e tais que F’ = f em [a, b]; 
assim F é uma primitiva de f em [a, b]. Seja a partição P: a = x
0
< 
x
1
< x
2
 < ...< x
n
= b de [a, b]. Prove que escolhendo 
convenientemente 
ic
 em [x
1i
, x
i
] tem-se: 
 
F(b) – F(a) = 
i
n
i
i xcf 

.)(
1
 
 
Solução: De acordo com o que vimos acima, 
 
F(b) – F(a) =
)]()([ 1
1


 i
n
i
i xFxF
 
 
 
 
 
54 
Agora, aplicando o TVM (Teorema do Valor Médio) para a 
função F no intervalo [x
1i
, x
i
], temos que existe um ponto 
ic
 em 
[x
1i
, x
i
] tal que: 
 
F'(
ic
) = 
1i
1-ii
x
 ) F(x - )F(x
 ix
 
Ou seja 
F(x
i
) – F(x
1i
) = F'(
ic
).(x
i
– x
1i
) 
 
E como temos que F’ = f em [a, b] e 
1 iii xxx
 , resulta que 
F(b) – F(a) = 
i
n
i
i xcf 

.)(
1
 
c.q.d. 
Suponhamos, no exemplo anterior, que f seja contínua em [a, b] 
e que os 
ix
 sejam suficientemente pequenos; desta maneira, 
para qualquer escolha de c
i
 em [x
1i
, x
i
], f(c
i
) deve diferir muito 
pouco de f(
ic
). É razoável, então, que nestas condições 
i
n
i
i xcf 

.)(
1
 seja uma boa avaliação para o acréscimo F(b) – F(a), 
isto é: 
 
 
 
55 
F(b) – F(a) 

 
i
n
i
i xcf 

.)(
1
 
É coerente, ainda, esperarmos que a aproximação acima será 
tanto melhor quanto menores forem os 
ix
. Veremos mais 
adiante que, no caso de f ser contínua em [a, b], 
 
F(b) – F(a) = 
0.
lim
 ixmáx
i
n
i
i xcf 

.)(
1
 
 
onde máx. 
ix
 indica o maior número do conjunto {
ix
/ i = 1, 2, 
..., n}. 
 
O sentido em que tal limite deve ser considerado será 
esclarecido na próxima seção. Note que máx. 
ix

 0 implica 
que todos os 
ix
 tendem também a zero. Vejamos de uma 
forma diferente o que acabamos de descrever, ou seja, vamos 
ver uma versão cinemática do que acabamos de discutir. Para 
tal, consideremos uma partícula deslocando-se sobre o eixo Ox 
com função de posição x = x(t) e com velocidade v = v(t) 
contínua em [a, b]. Observe que x = x(t) é uma primitiva de v = 
v(t) (já que a velocidade é igual à derivada do espaço em 
 
 
 
56 
função do tempo). Seja a = t
0
< t
1
< t
2
 < ...< t
n
= b uma partição de 
[a, b] e suponhamos máx.
it
 suficientemente pequeno (o que 
implica que todos os 
it
 são suficientemente pequenos). Sendo 
c
i
 um instante qualquer entre t
1i
 e t
i
, a velocidade v(c
i
) é um 
valor aproximado para a velocidade média entre os instantes t
1i
 
e t
i
: 
 
v(c
i
)
iii
i
i tcvxou
t
x



 ).(
 
 
(observe que pelo Teorema do Valor Médio (TVM), existe um 
instante 
ic
 entre t
1i
 e t
i
 tal que 
iii tcvx  ).(
), onde 
ix
 é o 
deslocamento da partícula entre os instantes t
1i
 e t
i
. Como a 
soma dos deslocamentos 
ix
, para i variando de 1 a n, é igual 
ao deslocamento x(b) – x(a), resulta que: 
 
x(b) – x(a) 

i
n
i
i tcv 

).(
1
 
Novamente, é razoável esperarmos que, à medida que as 
amplitudes 
it
 tendem a zero, a soma 
i
n
i
i tcv 

).(
1
 tenda a x(b) – 
x(a): 
 
 
 
57 
x(b) – x(a) = 
0.
lim
 itmáx
i
n
i
i tcv 

.)(
1
. 
 
8.3 Integral de Riemann: Definição 
 
 
Nesta seção, é de nosso interesse definir a Integral Definida que 
em verdade é conhecida como a Integral de Riemann. 
 
Definição (Integral de Riemann): Sejam f uma função definida em 
[a, b] e L um número real. Dizemos que 
i
n
i
i xcf 

).(
1
 tende a L, 
quando máx.
ix

 0, e escrevemos 
0.
lim
 ixmáx
i
n
i
i xcf 

).(
1
 = L 
se, para todo 

>0 dado, existir um 

>0 que só dependa de 

 
mas não da particular escolha dos c
i
, tal que 



n
i
ii Lxcf
1
).(
 < 

 
para toda partição P de [a, b], com máx.
ix
< 

. 
 
 
 
58 
Este número L, que quando existe é único, é chamado de 
Integral de Riemann 1 de f em [a, b] e indicamos por: 
 

b
a
dxxf )(
. 
Desta maneira, por definição, 
 

b
a
dxxf )(
 = 
0.
lim
 ixmáx
i
n
i
i xcf 

).(
1
 
 
Se 

b
a
dxxf )(
 existe, então diremos que f é integrável (segundo 
Riemann) em [a, b]. É comum referirmo-nos a 

b
a
dxxf )(
 como 
integral definida de f em [a, b]. 
 
 
 
Observação Importante! Por definição, colocamos que: 
 

a
a
dxxf )(
 = 0 
e 
 
 
 
 
59 
 
 
 
 
 
 
8.4 Propriedades da Integral 
 
Vamos analisar as primeiras e principais propriedades da 
Integral Definida, que estão listadas no seguinte resultado: 
 
Teorema 16: Sejam f e g integráveis em [a, b] e k uma 
constante. Então: 
a) f + g é integrável em [a, b] e 
  
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
; 
 
 
 
60 
b) k.f 1é integrável em [a, b] e 
 
b
a
b
a
dxxfkdxxfk )(.)(.
; 
c) Se f(x) 

0 então 
 
b
a
dxxf )(
0; 
 
d) Se c

[a, b] e f é integrável em [a, c] e em [c, b] então 
  
b
c
b
a
c
a
dxxgdxxfdxxf )()()(
. 
 
 
 Maiores detalhes com relação a demonstração do 
resultado acima pode ser vista em [1]. 
 Agora, discutiremos sem dúvida nenhuma um 
dos resultados mais importantes do Cálculo Diferencial e 
Integral, que é o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo. 
8.6 Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo 
 
De acordo com a definição de integral, se f for integrável em [a, 
b], o valor do limite 
 
1
 1 – Foi o matemático alemãoBernard Riemann que deu o primeiro tratamento adequado 
da integral, meados do século XVIII). 
 
 
 
61 
i
n
i
i
xmáx
xcf
i



).(lim
1
0.
 
será sempre o mesmo, independentemente da escolha dos c
i
, 
e igual a 

b
a
dxxf )(
. 
Assim, se, para uma particular escolha dos c
i
, tivermos 
i
n
i
i
xmáx
xcf
i



).(lim
1
0.
 = L 
então teremos L = 

b
a
dxxf )(
. 
 
 
Teorema 17 (1 0 Teorema Fundamental do Cálculo) – Se f for 
integrável em [a, b] e se F for uma primitiva de f em [a, b], então: 
 

b
a
dxxf )(
 = F(b) – F(a) 
 
Demonstração: Suponhamos que f seja integravel em [a, b] e 
que admita uma primitiva F(x) em [a, b], isto é, F’(x) = f(x) em [a, 
 
 
 
62 
b]. Seja P: a = x
0
< x
1
< x
2
 < ...< x
n
= b uma partição qualquer de [a, 
b]. Daí, escrevemos: 
F(b) – F(a) = 
)]()([ 1
1


 i
n
i
i xFxF
 
(veja Segunda seção desta Unidade). 
Segue, então, do TVM (Teorema do Valor Médio), que, para 
uma conveniente escolha de 
ic
 em [x
1i
, x
i
], teremos 
F(b) – F(a) = 
ii
n
i
xcF 

).('
1
 
ou 
 
(I) F(b) – F(a) = 
ii
n
i
xcf 

).(
1
 
Se para uma partição P de [a, b], os 
ic
 forem escolhidos como 
em (I), teremos 
i
n
i
i
xmáx
xcf
i



).(lim
1
0.
 = F(b) – F(a) 
e, portanto, 

b
a
dxxf )(
 = F(b) – F(a) 
 
 
 
63 
c.q.d. 
 
 
 
 
 
 
 
Vejamos agora alguns exemplos ilustrativos, onde utilizando o 
resultado anterior encontraremos diversas integrais definidas. 
 
 Calcule 
dxx
2
1
2
. 
Solução: Sabemos que F(x) = 
3.
3
1
x
 é uma primitiva de f(x) = x 2 e 
f é contínua em [1, 2], desta forma: 
Observações Importantes! 
 
i) Pode ser provado ainda que toda função contínua em [a, b] é 
integravel em [a, b]; por enquanto, vamos admitir e utilizar tal 
resultado (Tal fato será provado mais adiante). Desta forma, 
segue então do primeiro teorema fundamental do cálculo que 
se f for contínua em [a, b] e F uma primitiva de f em [a, b], então: 
 

b
a
dxxf )(
 = F(b) – F(a) 
ii) Em verdade, para encontrarmos uma integral definida, 
primeiramente encontramos a integral indefinida e depois 
calculamos as imagens F(b) e F(a) e determinamos a diferença 
F(b) – F(a). 
 
 
 
 
64 
dxx
2
1
2
= 
3
1
3
8
)1()2(.
3
1
2
1
3 





FFx
 = 
3
7
 
ou seja, 
dxx
2
1
2
= 
3
7
 
 
 Calcule 
dx

3
1
4
. 
Solução: Sabemos que F(x) =4x é uma primitiva de f(x) = x 2 e f é 
contínua em [1, 2], desta forma: 
dxx

3
1
.4
= 
  )1()3(.4 31  FFx
 = 12 – 4.(-1) = 16 
ou seja, 
dxx

3
1
.4
= 16 
 
 Calcule 
dxxx 
2
0
2 ]1.3[
. 
 
 
 
65 
Solução: 
dxxx 
2
0
2 ]1.3[
 = 
2
2
12
4
2
)0()2(
2
.3
4
4
2
0
24






 FFx
xx = 8 
 
 
 Calcule 
dx
x
2
1
2
1
. 
Solução: 
dx
x
2
1
2
1
=
dxx

2
1
2
= 
2
1
1
1
2
1
)1()2(
1
2
1












 FF
x
 
 
 
 
 Calcule 
dx
xx
]
11
[
2
1
3 
. 
Solução: 
dx
xx
]
11
[
2
1
3 
= 





 







8
32ln.8
)1()2(
.2
1
ln
2
1
2
FF
x
x
 
 
 
 
 
 
66 
 Calcule 
dxx
8
0
2sen

. 
Solução: 
dxx
8
0
2sen

= 
4
22
2
1
)
4
cos(.
2
1
)0()
8
(2cos.
2
1 8
0









FFx
 
 
 
 Calcule 
dxe x

1
0
. 
Solução: 
dxe x

1
0
= 
 
e
FFe x
1
1)0()1(
1
0 

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
67 
Exercícios de Aprendizagem 
 
1) Calcular as seguintes integrais definidas: 
a) 
 
1
0
)3( dxx
 b) 



1
1
)12( dxx
 c) 

4
0
2
1
dx
 
 
d) 



1
2
2 )1( dxx
 e) 

3
1
dx
 f) 


2
1
.4 dx
 
 
g) 

3
1
3
1
dx
x
 h) 


1
1
.5 dx
 i) 
 
2
0
2 )3.3( dxxx
 
 
j) 
 
1
0
3 )
2
1
.5( dxx
 l) 



1
1
)32( dxx
 m) 
 
0
1
)32( dxx
 
 
 
 
 
68 
n) 



1
1
)21( dxx
 o) 



1
2
2
)
1
( dxx
x
 p) 

4
0
dxx
 
 
q) 

4
1
1
dx
x
 r) 

8
0
3 dxx
 s) 



0
1
3 )32( dxxx
 
 
t) 

1
0
8 dxx
 u) 
 
3
1
2
)
1
5( dx
x
 v) 


3
3
3dxx
 
 
x) 



1
1
37 )( dxxxx
 w) 
 
1
2
1
)3( dxx
 z) 


1
1
ln dxe x
 
 
 
 
2) Utilizando as técnicas de integração já estudadas encontre as seguintes 
integrais definidas abaixo: 
 
 
 
69 
a) 
 
1
0
2)3( dxx
 b) 



1
1
3)22( dxx
 c) 


2
3
2cos


xdx
 
 
c) 


0
3sen

xdx
 d) 
dxex x
1
0
.
 e) 

2
1
ln xdx
 
 
f) 

2
1
ln. xdxx
 g) 


0
sen. xdxx
 h) 


0
cos. xdxx
 
 
i) 
xdxx ln.
2
1
4

 j) 
xdxx cos.2



 l) 
dxex x.
1
0
3

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
70 
9- Cálculo de Áreas 
 
 Seja f contínua em [a, b], com f(x)

 0 em [a, b]. Neste 
momento, estamos interessados em definir a área do conjunto 
A do plano limitado pelas retas x = a, x = b, y = 0 e pelo gráfico de 
y = f(x). Vejamos a Figura 08 abaixo. 
 
 
Figura 08: Área do conjunto A – nosso objetivo nesta seção. 
Consideremos, então, P: a = x
0
< x
1
< x
2
 < ...< x
n
= b uma partição 
de [a,b] e sejam 
ic
 e 
ic
 em [x
1i
, x
i
] tais que f(
ic
) é o valor 
mínimo e f(
ic
) o valor máximo de f em [x
1i
, x
i
]. 
Uma boa definição para a área de A deverá implicar que a 
soma de Riemann 
i
n
i
i xcf 

).(
1
 seja uma aproximação por falta 
 
 
 
71 
da área de A e que 
i
n
i
i xcf 

).(
1
 seja uma aproximação por 
excesso, isto é: 
 
i
n
i
i xcf 

).(
1

 área de A 

 
i
n
i
i xcf 

).(
1
 
Vejamos a interpretação geométrica na Figura 09 abaixo. 
 
Figura 09: Aproximação das áreas dos retângulos – por falta e por 
excesso. 
 
 
Como as somas de Riemann mencionadas tendem a 

b
a
dxxf )(
, 
quando máx.
 ix
0, nada mais natural do que definir a área de Apor 
 
Área A = 

b
a
dxxf )(
 
 
 
 
72 
 
 
 
 
 
 
 
 Vamos começar agora a calcular diversas áreas de 
conjuntos definidos no plano euclidiano 2 , a partir do que 
discutimos na seção anterior. 
 
 Calcule a área do conjunto do plano limitado pelas retas 
x = 0, x = 1, y = 0 e pelo gráfico de f(x) = x 2 . 
 
Observações Importantes! 
 
i) De forma similar, definimos a área de A no caso em que f é uma 
função integrável qualquer, com f(x)

0 em [a, b]; 
 
 
ii) Sempre é interessante você desenhar (ou representar) 
geometricamente o conjunto ao qual você quer determinar a área; é 
um procedimento simples, que auxilia na interpretação do cálculo. 
 
 
 
 
73 
Solução: Inicialmente devemos representar geometricamente o 
conjunto ao qual queremos determinar a sua área. Notemos 
que temos x = 0 (representa o eixo dos y), x = 1 (reta paralela ao 
eixo y), y = 0 (representa o eixo dos x) e f(x) = x 2 (representa a 
parábola cujo vértice é a origem O(0, 0) do plano cartesiano). 
Desta forma, temos o seguinte gráfico associado mostrado na 
Figura 10 abaixo. 
 
 
Figura 10: Conjunto A do exemplo 01 – delimitação da área a ser 
calculada. 
Sendo assim, temos que: 
 
 
 
 
74 
área A = 3
1
3
1
0
31
0
2 






x
dxx
 u.a. 
 
Ou seja, a área do conjunto A é igual a 31 . 
Além disso, observe que: 
 Note que os limites de integração definem a variação da 
variável x para delimitação da área a ser calculada. 
 A unidade colocada u.a. significa unidades de área. 
 
 
 Calcule a área do conjunto A = 







2
2 1021/),(
x
yexyx
. 
 
Solução: De forma similar, inicialmente notemos que A é o conjunto 
do plano limitado pelas retas x = 1 (reta paralela ao eixo dos y), x = 2 
(reta paralela ao eixo dos y), y = 0 (representa o eixo dos x) e pelo 
gráfico de y = 
2
1
x
. Geometricamente, temos a situação descrita na 
Figura 11 abaixo. 
 
 
 
75 
 
Figura 11: Conjunto A do exemplo 02 – delimitação da área a ser 
calculada. 
 
Sendo assim, temos que: 
 
área A = 
2
1
)1(
2
111
2
1
2
1
2






 x
dx
x
 u.a. 
 
Ou seja, a área do conjunto A é igual a 
2
1
. 
 
 
As situações que apresentaremos logo a seguir sugerem como 
estender o conceito de área para uma classe mais ampla de 
subconjuntos do 
2
. 
 
Vejamos a Figura 12 abaixo. 
 
 
 
 
76 
 
 
Figura 12: Área a ser calculada quando f(x)

0 em [a,b]. 
 
 
Neste caso, observamos que a menos de sinal a 

b
a
dxxf )(
 representa 
a área da região hachurada, ou seja área A = – 

b
a
dxxf )(
. (Lembre-
se que não existe área negativa!). 
 
Vejamos outra situação que poderemos ter, descrita na figura 
abaixo, onde devemos usar a noção de somarmos áreas. 
 
 
Figura 13: Área a ser calculada quando f(x)

0 em [c, d] e f(x)

0 em [a,c] 
e em [d, b]. 
 
 
 
 
77 
 
Seja A o conjunto hachurado. Neste caso, temos que: 
 
Área = 
dxxfdxxfdxxfdxxf
b
a
b
d
c
a
d
c
   )()()()(
 
 
 Observe que: 
 

b
a
dxxf )(
 = 
  
b
d
c
a
d
c
dxxfdxxfdxxf )()()(
 = soma das áreas dos 
conjuntos acima do eixo Ox menos soma das áreas dos 
conjuntos abaixo do eixo Ox. Em verdade, é como se 
subdividíssemos o conjunto A em diversos subconjuntos 
considerando acima e abaixo do eixo dos x. 
 
Vejamos agora outra situação, sendo que neste caso irá aparecer 
mais do que uma função no contexto, isto é, teremos f(x) e g(x) duas 
funções; aqui, analisaremos a diferença entre as duas de tal forma 
que esta diferença seja positiva. Vejamos com maiores detalhes 
abaixo. Consideremos a Figura 14 abaixo que retrata esta situação. 
 
Figura 14: Cálculo da área de um conjunto delimitado pela diferença entre 
duas funções. 
 
 
 
78 
 
 
Notemos que a área do retângulo hachurado da Figura 14 é dada 
por 
 
[f(
ic
) – g(
ic
)].
ix
 
 
Logo: 




n
i
iii
xmáx
xcgcf
i 1
0.
)].()([lim
 = 
 
b
a
dxxgxf )]()([
= área A 
 
onde A é o conjunto limitado pelas retas x = a, x = b e pelos gráficos 
de y = f(x) e y = g(x), com f(x)

g(x) em [a, b], ou seja, f(x) – g(x)

0 
em [a, b]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação Importante! Grosso modo para termos f(x)

g(x) ou f(x) – g(x)

0 em [a, b] basta analisarmos qual das dos gráficos das duas funções está 
acima da do outro, assim: 
 
 f(x)

g(x) ou f(x) – g(x)

0 em [a, b] – significa que o gráfico de f(x) 
está acima do gráfico de g(x); 
 
 g(x)

f(x) ou g(x) – f(x)

0 em [a, b] – significa que o gráfico de g(x) 
está acima do gráfico de f(x). 
 
 
 
 
79 
Vejamos alguns exemplos que ilustram a teoria discutida 
anteriormente. 
 
 
 Pede-se: 
 
a) Calcule a área da região limitada pelo gráfico de f(x) = x 3 , 
pelo eixo x e pelas retas x = -1 e x = 1. 
b) Calcule 
dxx

1
1
3
. 
 
Solução: 
 
a) Inicialmente vamos plotar o gráfico da função f(x) = x 3 e delimitar 
a região cuja área queremos calcular. Devemos notar também que a 
função f(x) = x 3 é negativa em [-1, 0] e positiva em [0, 1]. Sendo 
assim, devemos dividir a região total (A) em (A
1
+ A
2
) e então: 
 
área A = área A
1
+ área A
2
 
 
Desta forma, geometricamente temos que: 
 
Figura 15: Área a ser calculada no Exemplo 03. 
 
 
 
80 
Logo: 
área A
1
 = 



0
1
3
4
1
dxx
 
 
e 
 área A
2
 = 
 
1
0
3
4
1
dxx
 
 
Portanto, 
 
área A = área A
1
+ área A
2
 = ¼ + ¼ = ½ 
 
 
b) 
dxx

1
1
3
 = 
4
1
4
1
4
)1(
4
1 4



 = 0 = área A
2
 – área A
1
 
 
 
 Calcule a área da região limitada pelas retas x = 0, x = 1, y = 
2 e pelo gráfico de y = x 2 . 
 
Solução: Neste exemplo, estamos na situação de termos no 
contexto duas funções f(x) e g(x) (que são y = 2 e y = x 2 ). Desta 
forma, a função a ser integrada deve ser a diferença entre as duas 
respeitando que a diferença deve ser positiva. Representando no 
 
 
 
81 
plano as curvas citadas no exemplo, temos a seguinte disposição 
geométrica mostrada na Figura 16. 
 
Figura 16: Disposição geométrica do Exemplo 04. 
 
 
De acordo com a última observação, segue que: 
 
área A = 
3
5
3
.2]2[
1
0
31
0
2 






x
xdxx
 
 
Note que pegamos a diferença [2 – x 2 ] pois o gráfico de y = 2 está 
acima do gráfico de y = x 2 . 
 
 
 Calcule a área do conjunto de todos os pontos (x, y) tais que 
x 2

 y 
 x
. 
 
Solução: Inicialmente vamos desenhar as duas curvas. Sendo 
assim, a figura abaixo representa os gráficos das curvas y = x 2 e y 
= 
x
. 
 
 
 
82 
 
 
Figura 17: Disposição geométrica do Exemplo 05. 
 
 
área = 
3
1
3
1
3
2
3
.
3
2
][
1
0
3
3
1
0
2 






x
xdxxx
 
Notemos que: 
 
 Para definirmos os limites de integração, analisamos a 
interseção entre as curvas y = x 2 e y = 
x
, ou seja, na figura 
observamos que na área a ser calculada a variacao de x é de 
x = 0 até x = 1; 
 
 Para cada x em [0, 1], (x, y) pertence ao conjunto se, e 
somentese, x 2

 y 
 x
; 
 
 
 As curvas y = x 2 e y = 
x
 são inversas uma da outra no 
intervalo [0, 1]; 
 Os pontos em que as curvas se interceptam são as soluções 
do sistema






xy
xy 2 . 
 
 
 
83 
 
 Calcule a área da região compreendida entre os gráficos de y 
= x e y = x 2 . 
 
Solução: As curvas y = x e y = x 2 interceptam-se nos pontos de 
abscissas 0 e 1. Então, temos a seguinte disposição geométrica: 
 
 
 
 
 
Figura 18: Disposição geométrica do Exemplo 06. 
 
Desta forma: 
área = 
1
2332
][][
2
1
23
1
0
2
1
32
2
1
0
2 











 
xxxx
dxxxdxxx
 
 
Neste caso: 
 
 
 
 
84 
 Tivemos que dividir o intervalo [0, 2] em dois 
subintervalos [0, 1] e [1, 2] já que de acordo com a figura, 
no primeiro subintervalo o gráfico de y = x está acima do 
gráfico de y = x 2 ; enquanto que para o segundo 
subintervalo, o gráfico de y = x 2 está acima do gráfico de 
y = x. 
 A interseção das curvas são as soluções do sistema 





2xy
xy . 
 
9.1 Aplicação à Fisica: um Estudo de Caso em 
Cinemática 
 
 Consideremos, agora, uma partícula que se desloca 
sobre o eixo x com equação x = x(t) e com velocidade v = v(t) 
contínua em [a, b]. A diferença x(b) – x(a) é o deslocamento da 
partícula entre os instantes a e b. Como x(t) é uma primitiva de 
v(t) (Por quê?), segue do primeiro Teorema Fundamental do 
Cálculo que 
x(b) – x(a) = 

b
a
dttv )(
. 
Por outro lado, definimos o espaço percorrido pela partícula 
entre os instantes a e b por 
 
 
 
85 

b
a
dttv )(
. 
Se v(t)

0 em [a, b], o deslocamento entre os instantes a e b será 
igual ao espaço percorrido entre estes instantes, que, por sua 
vez, será numericamente igual à área do conjunto A limitado 
pelas retas t = a, t = b, pelo eixo Ot e pelo gráfico de v = v(t). 
Vejamos a interpretação geométrica descrita na Figura 19 
abaixo. 
 
 
Figura 19: Disposição geométrica da velocidade em função do 
tempo. 
 
 
Suponhamos, agora, por exemplo que v(t)

0 em [a, c] e v(t)

0 
em [c, b]. Vejamos a figura abaixo: 
 
 
 
86 
 
Figura 20: Configuração do deslocamento num intervalo 
subdividido em dois. 
Neste caso, o deslocamento entre os instantes a e b será: 
x(b) – x(a) = 

b
a
dttv )(
 = área A
1
– área A
2
 
Enquanto o espaço percorrido entre estes instantes será: 

b
a
dttv )(
=

c
a
dttv )(
 – 

b
c
dttv )(
 = área A
1
+ área A
2
. 
 Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com velocidade v(t) = 2 
– t. Pede-se: 
a) Calcule o deslocamento entre os instantes t = 1 e t = 3. 
Discuta o resultado encontrado. 
 
b) Calcule o espaço percorrido entre os instantes 1 e 3. 
 
 
 
 
87 
Solução: 
 
a) Vejamos a figura abaixo: 
 
 
Figura 21: Gráfico da equação v(t) = 2 – t. 
 
Temos que: 
x(3) – x(1) = 3
1
3
1
2
2
.2)2( 






t
tdtt
= 0. 
Em [1, 2[, v(t) >0, o que significa que no intervalo de tempo [1, 2[ a 
partícula avança no sentido positivo; em [2, 3], v(t) <0, o que significa 
que neste intervalo de tempo a partícula recua, de tal modo que no 
instante t = 3 ela volta a ocupar a mesma posição por ela ocupada 
no instante t = 1. Vejamos a figura abaixo que descreve este 
processo. 
 
 
Figura 22: Interpretação geométrica do resultado. 
 
 
 
88 
b) O espaço percorrido entre os instantes t = 1 e t = 3 é dado por 
  
2
1
3
2
3
1
)2()2(2 dttdttdtt
= 1. 
Observe que o espaço percorrido entre os instantes 1 e 2 é: 
 
2
1
2
1
)2( dtt
 
e que o espaço percorrido entre os instantes 2 e 3 é: 
 
3
2
3
2
2
1
)2(2 dttdtt
. 
 
Exercícios de Aprendizagem 
 
1) Calcular a área da figura definida pela reta y = 2.x + 1 e o 
eixo x, no intervalo [0,3]. 
 
2) Calcular a área da figura formada pela curva y = x 2 + 2.x + 
1 e o eixo x, no intervalo [0, 2]. 
 
3) Calcular a área da figura formada pela curva y = x 2 – 9 e 
o eixo x no intervalo [0,5]. 
 
 
 
89 
4) Calcular a área entre as curvas y = x 2 e y = -x2 + 6.x + 
5,625. 
 
5) Calcular a área da figura compreendida entre a parábola 
y = x 2 e a reta y = 3 – 2x. Representar geometricamente. 
 
6) Calcular a área da figura compreendida pelas retas x = 0, 
y = 
3
.2 x
 e y = x – 5. Representar geometricamente. 
 
7) Calcule a área do conjunto do plano limitado pelas retas x 
= 0, x = 1, y = 0 e pelo gráfico de f(x) = x 2 . Representar 
geometricamente. 
 
8) Calcule a área sob o gráfico de f(x) = x 2 – 5.x + 9, 1

 x 

 4. 
Representar geometricamente. 
 
10- Resumo da Unidade 
 
 Nesta quarta Unidade, trabalhamos com a teoria da 
integração, apresentando desde a integral indefinida até a 
integral definida. Além disso, discutimos as principais técnicas 
 
 
 
90 
de integração, bem como resultados fundamentais associados 
e propriedades relacionadas. Cabe ressaltar ainda a resolução 
de diversas aplicações nos mais variados campos do 
conhecimento envolvendo a Integral de uma função y = f(x). 
11- Referências Bibliográficas 
 
 Para maiores informações com relação ao assunto 
tratado nesta Unidade, cada um de vocês podem se pautar nos 
livros descritos abaixo. 
Bibliografia Básica 
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. 5ª Ed. 
Volume 1. Rio de Janeiro: LTC, 2003. 
LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica. 3ª Ed. 
Volume 1. São Paulo: Harbra, 1994. 
THOMAS, George B. Cálculo. Volume 1. São Paulo: Addison 
Wesley, 2003. 
 
 
 
91 
Bibliografia Complementar 
ANTON, H. Cálculo: Um novo horizonte. 6ª Ed. Volume 1. São 
Paulo: Bookman, 2000. 
BOULOS, P. Cálculo Diferencial e Integral. Volume 1. SP: 
Makron Books, 2006. 
EDWARDS, Jr. C. H.; PENNEY, D. E. Cálculo com Geometria 
Analítica. Volume 1. Rio de Janeiro: Prentice-Hall do Brasil, 1997. 
FLEMIMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: Funções, 
Limite, Derivação, Integração. 5ª Ed. Revista e Ampliada. SP: 
Pearson Makron Books, 1992. 
SIMMONS, G. L. Cálculo com Geometria Analítica. Volume 1. 
São Paulo: McGraw-Hill, 1987.