Flexão simples em vigas de concreto armado

Prévia do material em texto

5-84 
 
5 FLEXÃO SIMPLES – ARMADURA LONGITUDINAL DE VIGA 
5.1 INTRODUÇÃO 
Uma viga reta, desde que não possua carregamentos horizontais ou inclinados, será solicitada por momentos 
fletores e forças cortantes, como mostrado na Figura 5.1. 
 
Figura 5.1: Solicitações em viga. 
Nas vigas de concreto armado, os momentos fletores e as forças cortantes são responsáveis pela existência de dois 
tipos de armadura (Figura 5.2): 
 longitudinal, para resistir aos momentos fletores; 
 transversal, para resistir às forças cortantes. 
Neste capítulo só serão estudadas as armaduras longitudinais, ou seja, as armaduras necessárias para resistir 
aos momentos fletores. 
 
Figura 5.2: Armaduras de viga de concreto armado. 
Segundo o item 18.3.1 da ABNT NBR 6118, as vigas ficam caracterizadas quando: 
 /h  3 para vigas isostáticas; 
 /h  2 para vigas contínuas; 
onde: 
 é o comprimento do vão teórico (ou o dobro do comprimento teórico, no caso de balanço); 
h é a altura total da viga. 
Vigas com relações /h menores devem ser tratadas como vigas-parede. 
 
5-85 
 
5.2 VÃOS EFETIVOS DE VIGAS 
Segundo a NBR 6118, item 14.6.2.4, o vão efetivo (Figura 5.3) pode ser calculado pela seguinte expressão: 
  Equação 5.1 
Com: 
 {
 
 
 
 {
 
 
 
onde: 
ef vão efetivo da viga; 
0 distância entre faces de dois apoios consecutivos; 
t comprimento do apoio paralelo ao vão da viga analisada; 
h altura da viga. 
 
Figura 5.3: Vão efetivo de viga. 
5.3 ESTADO LIMITE ÚLTIMO – DOMÍNIOS DA ABNT NBR 6118 
5.3.1 DOMÍNIOS 2, 3 E 4 
Quando da apresentação dos domínios da ABNT NBR 6118 (Figura [4.7]) foi visto que as peças de concreto 
armado solicitadas somente por momento fletor (vigas) seriam possíveis apenas nos domínios 2, 3 e 4, como 
reproduzido na Figura 5.4. Desta Figura deve ser observado que: 
 no domínio 2 
o o concreto não chegou ao seu encurtamento limite (3,5‰), possuindo, ainda, uma certa reserva de 
capacidade resistente; 
o o aço chegou ao seu alongamento máximo (10‰), tendo esgotado sua capacidade resistente; 
o a viga, se submetida a um carregamento superior ao de projeto, deve apresentar um quadro de 
fissuração intensa devido ao excessivo alongamento da armadura (e do concreto adjacente); 
 no domínio 3 (seção subarmada) 
o o concreto chegou ao seu encurtamento limite (3,5‰), tendo esgotado sua capacidade resistente; 
o o aço tem seu alongamento compreendido entre yd e 10‰, possuindo, ainda, uma boa reserva de 
capacidade resistente; 
o a viga, se submetida a um carregamento superior ao de projeto, deve apresentar um quadro de 
 
5-86 
 
fissuração expressivo devido ao fato da armadura (e o concreto adjacente) apresentar 
alongamento considerável; 
 no domínio 4 (seção superarmada) 
o o concreto pode estar próximo de ultrapassar seu encurtamento limite (3,5‰), tendo esgotado, por 
inteiro, sua capacidade resistente; 
o o aço tem seu alongamento compreendido entre 0‰ e yd, possuindo uma grande reserva de 
capacidade resistente; 
o a viga, se submetida a um carregamento superior ao de projeto, não deve apresentar um quadro 
de fissuração tão perceptível quanto aos dos domínios 2 e 3 devido ao pequeno alongamento da 
armadura (e do concreto adjacente). 
 
Figura 5.4: Domínios possíveis para vigas de concreto armado. 
As vigas, quando dimensionadas no domínio 4 (superarmadas), podem, em caso de uma eventual sobrecarga 
imprevista, ser conduzidas a uma ruptura frágil (sem aviso prévio pois o concreto rompe bruscamente sem que a 
armadura tenha esgotado sua capacidade resistente). As vigas dimensionadas nos domínios 2 e 3 (subarmadas) 
têm, devido a condições mais adequadas da posição da linha neutra, garantida boas condições de dutilidade, 
sendo conduzidas, para uma condição adversa de carregamento, a rupturas com aviso prévio (a armadura escoa 
antes do rompimento do concreto mostrando um quadro visível de deterioração da viga). 
O comportamento de viga, se subarmada ou superarmada25, fica definido pela passagem do domínio 3 para o 
domínio 4 (Figura 5.4), que corresponde à reta 3-4 definida pela Equação [4.8]. Desta forma é possível 
estabelecer, matematicamente, a condição para comportamento de viga subarmada (desejado) e superarmada (a 
ser evitado), ou seja: 
 
25 As vigas superarmadas possuem, em geral, pouca altura e excessiva armadura (daí o super, no sentido de 
excessiva quantidade de armadura), ao passo que as vigas subarmadas têm uma distribuição mais equilibrada de 
materiais (daí o sub, no sentido de menos quantidade de armadura). 
 
5-87 
 
 {
 ( )
 ( )
 ( )
 {
 
 
 Equação 5.2 
5.3.2 RECOMENDAÇÕES DA ABNT NBR 6118 
ABNT NBR 6118, item 16.2.3: 
“Em relação aos ELU, além de se garantir a segurança adequada, isto é, uma probabilidade 
suficientemente pequena de ruína, é necessário garantir uma boa dutilidade, de forma que uma eventual 
ruína ocorra de forma suficientemente avisada, alertando os usuários.” 
ABNT NBR 6118, item 17.2.3: 
“Nas vigas, principalmente nas zonas de apoio, ou quando feita redistribuição de esforços, é importante 
garantir boas condições de dutilidade, sendo adotada, se necessário, armadura de compressão que 
garanta a posição da linha neutra (x), respeitando-se os limites de 14.6.4.3. 
A introdução da armadura de compressão para garantir o atendimento de valores menores da posição da 
linha neutra (x), que estejam nos domínios 2 ou 3, não conduz a elementos estruturais com ruptura frágil 
(usualmente chamados de superarmados). A ruptura frágil está associada a posições da linha neutra no 
domínio 4, com ou sem armadura de compressão.” 
ABNT NBR 6118, item 14.6.4.3: 
“A capacidade de rotação dos elementos estruturais é função da posição da linha neutra no ELU. Quanto 
menor for x/d, tanto maior será essa capacidade. 
Para melhorar a dutilidade das estruturas nas regiões dos apoios das vigas ou de ligações com outros 
elementos estruturais, mesmo quando não forem feitas redistribuições de esforços solicitantes, a posição da 
linha neutra no ELU deve obedecer aos seguintes limites: 
 x/d  0,50 para concretos com fck  35 MPa; 
 x/d  0,40 para concretos com fck > 35 MPa. 
Esses limites podem ser alterados se forem utilizados detalhes especiais de armaduras, como por exemplo 
os que produzem confinamento nessas regiões.” 
O dimensionamento e detalhamento de vigas de concreto armado ficam mais simples se for seguido, para todas 
as regiões da viga (regiões de apoios e afastadas deles), o prescrito no item 14.6.4.3 da ABNT NBR 6118. Desta 
forma, a melhora nas condições de dutilidade das estruturas fica garantida se for adotado, para a posição da 
linha neutra, os valores limites (daí o x.lim) mostrados na Figura 5.5 e na Equação 5.3. 
 {
 ( )
 ( )
 Equação 5.3 
 
5-88 
 
 
Figura 5.5: Condições de ductilidade da ABNT NBR 6118. 
5.4 DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NA REGIÃO DE CONCRETO COMPRIMIDO 
Conforme visto em 4.1, o diagrama tensão-deformação simplificado de cálculo (Figura 4.3) permite, ao longo da 
altura y, a distribuição constante de tensões c (região de concreto comprimido), como mostrado na Figura 5.6. 
 
Figura 5.6: Distribuição de tensões na região de concreto comprimido. 
Da Figura 5.6, tem-se: 
 
5-89 
 
 (
 
 
) Equação 5.4 
Tendo em vista que nos domínios 3 e 4 o encurtamento do concreto c é igual a 3,5‰ (Figura 5.4), a Equação 5.4 
resulta: 
 (
 
 
) 
 Equação 5.5 
ABNT NBR 6118, item 17.2.2-e:“a distribuição de tensões no concreto se faz de acordo com o diagrama parábola-retângulo, definido em 
8.2.10, com tensão de pico igual a 0,85 fcd, com fcd definido em 12.3.3. Esse diagrama pode ser 
substituído pelo retângulo de altura 0,8 x (onde x é a profundidade da linha neutra), com a seguinte 
tensão: 
 0,85 fcd no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não diminuir a partir 
desta para a borda comprimida; 
 0,80 fcd no caso contrário. 
As diferenças de resultados obtidos com esses dois diagramas são pequenas e aceitáveis, sem necessidade 
de coeficiente de correção adicional.” 
Como pode ser observado, a ABNT NBR 6118, item 17.2.2-e, estende o resultado alcançado pela Equação 5.5 a 
todos os domínios, inclusive o domínio 2, deixando de ser necessário representar o valor de y como função da 
deformação c (Equação 5.4). 
 
Figura 5.7: Valor de tensão de compressão na região de concreto comprimido. 
Cabe ao engenheiro responsável pelo projeto estrutural a opção em adotar o procedimento mostrado 
Capítulo [4]26, onde a altura do retângulo de tensões de compressão é estabelecida em função do encurtamento da 
fibra de concreto mais comprimida e da posição da linha neutra (y = y(c, x)  Equação 5.4), ou adotar a 
simplificação prevista no item 17.2.2-e da ABNT NBR 6118, onde a altura do retângulo de tensões de compressão 
é estabelecida em função apenas da posição da linha neutra (y = 0,8 x  Equação 5.5). 
Tendo em vista que o prescrito no item 17.2.2-e da ABNT NBR conduz a uma sistemática de cálculo 
mais simples, a Equação 5.5 será usada na determinação das equações de dimensionamento e 
verificação de armadura longitudinal de vigas de concreto armado. 
 
26 Ver Exemplo 4.1, item c e Exemplo 4.2, item c. 
 
5-90 
 
Ainda, seguindo o que prescreve o item 17.2.2-e da ABNT NBR 6118, o valor da tensão de compressão (c) deve 
obedecer ao mostrado na Figura 5.7, para a condição y = 0,8 x. 
5.5 VARIÁVEIS ADIMENSIONAIS - ELU 
5.5.1 ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DE SEÇÕES RETANGULARES 
Seja a Figura 5.8 onde são mostrados, dentre outros: os esforços resistentes de cálculo (Rcd e Rsd), a posição da 
linha neutra (x), a altura do retângulo de tensões de compressão (y), a distância entre os esforços resistentes de 
cálculo (z) e a altura útil da viga (d). 
 
Figura 5.8: Solicitação e esforços resistentes em vigas de concreto armado. 
Da Figura 5.8 e levando-se em conta a Equação 5.5, tem-se: 
 posição da linha neutra27 
dx
sc
c









 
sc
c
x
d
x



 
 altura do retângulo de tensões c28 







d
x
d8,0x8,0y
 
xy 8,0
d
y

 
 braço de alavanca entre os esforços resistentes de cálculo Rcd e Rsd 
y5,0dz 
 
 x8,05,0dz 
 
 
27 Ver Equação 4.3. 
28 Ver Equação 5.5. 
 
5-91 
 







d
x
4,01dx4,0dz
 
xz 4,01
d
z

 
Agrupando todas as variáveis geométricas , e criando a variável auxiliar c, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 ( ) 
 ( ) ( ) 
Equação 5.6 
A Equação 5.6 mostra que as variáveis adimensionais y, z e c são funções diretas de x. Desta forma, uma vez 
conhecida a posição da linha neutra (x), todos os demais elementos geométricos (y, z e c) ficam igualmente 
definidos. A Equação 5.6 permite agrupar os valores de  como mostrado na Tabela 5.1. 
x y z c 
0,100 0,080 0,960 0,065 
0,259 0,207 0,896 0,158 
0,585 0,468 0,776 0,305 
0,628 0,502 0,749 0,320 
0,772 0,618 0,691 0,363 
Tabela 5.1: Valores de y, z, e c como função de x. 
5.5.2 DIAGRAMA ADIMENSIONAL TENSÃO-DEFORMAÇÃO DO AÇO 
Conforme visto em [4.2.2], o diagrama tensão-deformação do aço tem o aspecto mostrado na Figura 5.9. Nesta 
Figura optou-se por apresentar este diagrama de forma adimensional, com a introdução dos valores de s e ’s 
dados pela Equação 5.7 
 
5-92 
 
 
Figura 5.9: Diagrama adimensional tensão--deformação do aço. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação 5.7 
Seja a Figura 5.10 onde são mostrados, dentre outros: os esforços resistentes de cálculo (Rcd, R’sd e Rsd), a posição 
da linha neutra (x), a altura útil da viga (d), a posição da armadura comprimida (d’), o encurtamento da fibra de 
concreto mais comprimida (c), o encurtamento da armadura comprimida (’s) e o alongamento da armadura 
tracionada (s). 
 
Figura 5.10: Alongamento e encurtamento da armadura. 
Da Figura 5.10 e levando-se em consideração a Equação 5.6 a Figura 5.4 e a Figura 5.9, tem-se: 
 
5-93 
 
 alongamento da armadura tracionada29 
ccs
d
x
d
x
1
x
xd



















 
 
c
x
x
s
1









 
 {
 
(
 
 
) 
 Equação 5.8 
 encurtamento da armadura comprimida30 
s
'
c
'
'
s
xd
dx
 
x
dx

















 

 
s
'
c
'
'
s
d
x
1
d
d
d
x
 
d
x
d
d
d
x





























 
s
x
'
x
c
x
'
x
'
s
1
d
d
 d
d






























 
 
{
 
 
 
 
(
 
 
 
 
) 
(
 
 
 
 
) 
 Equação 5.9 
A associação da Equação 5.7 com a Equação 5.8 e com a Equação 5.9 resulta: 
 
 
 
 {
 
 
 
(
 
 
) 
 Equação 5.10 
 
29 Ver Equação 4.15, Equação 4.16 e Equação 4.17. 
30 Ver Equação 4.12, onde foi considerada a convenção de sinais da Figura 4.8. 
 
5-94 
 
 
 
 
 
{
 
 
 
 
 
(
 
 
 
 
) 
 
 
(
 
 
 
 
) 
 
A Equação 5.10 demonstram que s e ’s são funções de x, da relação d/d’ e da categoria do aço (fyk). Assim como 
feito para as variáveis y, z, e c (Tabela 5.1), é possível associar os valores s e ’s a valores pré-fixados de x e 
(d’/d), como mostrado na Tabela 5.2, feita para o aço CA-5031. 
CA-50 ’s para (d’/d) 
x y z c s 0,05 0,10 0,15 
0,100 0,080 0,960 0,065 1,000 0,268 
0,259 0,207 0,896 0,158 1,000 1,000 1,000 0,712 
0,628 0,502 0,749 0,320 1,000 1,000 1,000 1,000 
0,800 0,640 0,680 0,370 0,422 1,000 1,000 1,000 
Tabela 5.2: Flexão simples – CA-50 
A Figura 5.4 pode, também, ser apresentada com o diagrama adimensional tensão-deformação do aço, como 
mostrado na Figura 5.11. 
 
Figura 5.11: Vigas - domínios e diagrama adimensional do aço. 
5.6 INDEXAÇÃO DE ÁREAS COMPRIMIDAS 
 
31 As tabelas completas são apresentadas em 0. 
 
5-95 
 
Para a caracterização de áreas comprimidas e correspondentes esforços resistentes de cálculo (forças e 
momentos), será usada a seguinte indexação(Figura 5.12): 
 índice 1 
o área de concreto comprimido de largura bw e altura y; 
o força resistente de cálculo (Rcd1) definida pelo produto (bw y) c; e 
o momento resistente de cálculo (MRd1) definido pelo produto Rcd1 z. 
 índice 2 ou aspas simples (‘) 
o área de armadura comprimida (A’s); 
o força resistente de cálculo (R’sd) definida pelo produto A’s ’s; e 
o momento resistente de cálculo (MRd2) definido pelo produto R’sd (d – d’). 
 índice 3 
o área de concreto comprimido de largura (bf - bw) e altura hf; 
o força resistente de cálculo (Rcd3) definida pelo produto [(bf - bw) hf] c; e 
o momento resistente de cálculo (MRd3) definido pelo produto Rcd3 (d – hf/2). 
 
Figura 5.12: Indexação de áreas comprimidas. 
5.7 ARMADURAS LONGITUDINAIS MÁXIMAS E MÍNIMAS 
5.7.1 ARMADURA MÍNIMA 
A ruptura frágil de seções transversais de vigas de concreto armado pode, também, ocorrer devida a pouca 
quantidade de armadura. Vigas com baixa taxa de armadura longitudinal têm comportamento semelhante ao 
das vigas de concreto simples, onde a ruptura sem aviso prévio pode ocorrer imediatamente após o aparecimento 
das primeiras fissuras decorrentes de solicitações normais (momento fletor). 
A ABNT NBR 6118, item 17.3.5.2.1, define a taxa de armadura longitudinal mínima como sendo: 
 
 
 
 Equação 5.11 
e adota os seguintes valores: 
 
5-96 
 
 {
 
 
 
 
 ( ) 
 {
 
 
 
 
 ( ) 
 {
 
 
 
 
 ( ) 
Equação 5.12 
Nas seções T, a área da seção a ser considerada deve ser caracterizada pela alma acrescida da mesa colaborante. 
Para vigas de seção retangular, a taxa de armadura mínima pode ser expressa por: 
 
 
 
 {
 
 
 
 
 Equação 5.13 
5.7.2 ARMADURA MÁXIMA 
O Capítulo 4 mostrou expressões para a determinação de armadura tracionada (As) e de armadura comprimida 
(A’s), sem nenhuma limitação de valores. Esta não limitação para as quantidades de armaduras pode dar a falsa 
impressão de que sempre seria possível determinar um conjunto delas (As e A’s) que, compondo com as dimensões 
da seção transversal e com as resistências dos materiais (fcd e fyd), seria capaz de resistir a qualquer solicitação de 
cálculo. A ABNT NBR 6118 apresenta valores máximos para as armaduras longitudinais tracionadas ou 
comprimidas. 
ABNT NBR 6118, item 17.3.5.1: 
”A especificação de valores máximos para as armaduras decorre da necessidade de se assegurar condições 
de dutilidade e de se respeitar o campo de validade dos ensaios que deram origem às prescrições de 
funcionamento do conjunto aço-concreto.” 
ABNT NBR 6118, item 17.3.5.2.4: 
”A soma das armaduras de tração e compressão (As + A’s) não devem ter valor maior que 4% Ac, calculada 
na região fora da zona de emendas.” 
O item 17.3.5.2.4 da ABNT NBR 6118 pode ser representado por: 
 
( ) 
 
 Equação 5.14 
A aplicação direta da Equação 5.14, para seções T, pode conduzir a vigas de difícil concretagem (excesso de 
armadura). A Figura 5.13 mostra uma seção retangular e uma seção T, de mesma altura (h) e mesma armadura 
tracionada (As). Admitindo-se que a armadura comprimida (A’s) seja de pequena monta a seguinte situação pode 
vir a ocorrer: 
 
5-97 
 
   
%4
hb
AA
A
AA
w
'
ss
c
'
ss
ret 




 
   
 
%4
hbbhb
AA
A
AA
fwfw
'
ss
c
'
ss
T 





 
 
Figura 5.13: Comparativo entre seções retangulares e T. 
Como pode ser observado na Figura 5.13, no retângulo bw h as quantidades de armadura são iguais tanto para 
seção retangular como para a seção T. Isto nos leva a concluir que a verificação da taxa máxima de armadura em 
seções T deve ser feita tanto para a seção total como para a seção bw h., de tal forma que: 
 
 
 














%4
hb
AA
%4
hbbhb
AA
w
'
ss
fwfw
'
ss
T 
Como a concentração de armadura sempre ocorre no retângulo bw h, a verificação da taxa máxima de armadura 
em seções retangulares e seções T pode, de modo simplificado, ser feita da seguinte forma: 
 
( ) 
 
 Equação 5.15 
5.8 VIGAS DE SEÇÃO RETANGULAR SEM ARMADURA DE COMPRESSÃO 
Seja a Figura 5.14 onde são mostrados, dentre outros, a solicitação de cálculo (MSd), os esforços resistentes de 
cálculo (Rcd e Rsd), os elementos geométricos referentes à seção transversal da viga (x, y, z, d, bw e h), as 
deformações (c e s) e a área de armadura (As). 
 
5-98 
 
 
Figura 5.14: Viga de seção retangular sem armadura de compressão. 
Da Figura 5.14 e considerando as equações anteriormente apresentadas, tem-se: 
 elementos geométricos da seção retangular (Equação 5.6) 
dx x
 
dy y
 
dz z
 
 valores geométricos adimensionais (Equação 5.6) 
 
 
 
 valor adimensional da tensão na armadura tracionada (Equação 5.10) 
 
 
 
 {
 
 
 
(
 
 
) 
 
 condição de segurança 
 
 esforços resistentes de cálculo 
 
 momento fletor (binário) devido aos esforços resistentes de cálculo 
 
zRzRM sd1cd1Rd 
 
 esforço resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido de largura bw 
 
5-99 
 
  cw1cd ybR 
 
   cdw1cd f85,0x8,0bR 
 
   cdxw1cd fdb68,0R 
 
  cdwx1cd fdb68,0R 
 
 esforços resistentes de cálculo atuantes nas armaduras tracionadas 
sssd AR 
 
ydsssd fAR 
 
ydsssd fAR 
 
 binário MRd1/Rcd1 
zRM 1cd1Rd 
 
  cdwx1cd fdb68,0R 
 
dz z
 
xz 4,01 
 
 xxzxc 4,0168,068,0 
 
    dfdb68,0M zcdwx1Rd 
 
  cd2wzx1Rd fdb68,0M 
 
 
 
   cd2wxx1Rd fdb4,0168,0M 
 
   cd2wxx1Rd fdb4,0168,0M 
 
   2xx
cd
2
w
1Rd 272,068,0
fdb
M

 
0
fdb272,0
M
5,2
cd
2
w
1Rd
x
2
x 
 
 √ 
 
 
 
 binário MRd1/Rsd 
zRM sd1Rd 
 
ydsssd fAR 
 
dz z
 
  dfAM zydss1Rd 
 
 
 
 
 
 equilíbrio dos esforços resistentes de cálculo 
  cdwx1cd fdb68,0R 
 
ydsssd fAR 
 
1cdsd RR 
 
  cdwxydss fdb68,0fA 
 
 (
 
 
) 
 
5-100 
 
 equações principais 
 
 
 
 
 √ 
 
 
 
 {
 
 
 
(
 
 
) 
 
 
 
 
 
 (
 
 
) 
Equação 5.16 
5.8.1 DUTILIDADE 
A dutilidade de uma viga fica garantida pela condição estabelecida na Equação 5.3, ou seja: 








MPa35f400,0
MPa35f500,0
ck
ck
limx,x
 
A associação da Equação 5.6 com a Equação 5.3 torna possível estabelecer, também, valores limites de c que 
garantam a condição de ductilidade de uma viga, ou seja: 
 {
 ( )
 ( )
 Equação 5.17 
Por outro lado, associando MRd1 das Equação 5.16 com a Equação 5.17 torna-se possível estabelecer, também, 
valores limites para MRd1 que garantam a condição de ductilidade de uma viga, ou seja: 
 {
 
 ( )
 
 ( )
 Equação 5.18 
Tanto a Equação 5.3, como a Equação 5.17, como a Equação 5.18 representam a condição de dutilidadede uma 
viga de concreto armado. 
5.8.2 EQUAÇÕES PARA DIMENSIONAMENTO 
Considerando as condições de: 
 
5-101 
 
 equilíbrio, compatibilidade e segurança (Equação 5.16); 
 ductilidade (Equação 5.3 ou Equação 5.17 ou Equação 5.18); 
 armadura mínima (Equação 5.13); 
 armadura máxima (Equação 5.14), 
o dimensionamento ou a verificação de vigas de seção retangular, sem armadura de compressão, pode ser 
representado por: 
 {
 
 ( )
 
 ( )
 
 
 
| 
 
 
{
 ( )
 ( )
 
ou 
|
|
 √ 
 
 
 {
 ( )
 ( )
 
 {
 
 
 
(
 
 
) 
 
 
 
 
{
 
 
 
 
 {
 
 
 
 
 
 
 
 (
 
 
) 
Equação 5.19 
EXEMPLO 5.1 
Determinar a armadura necessária para a viga abaixo indicada, a qual está submetida a um momento fletor 
solicitante de cálculo (MSd) igual a 125 kNm. 
Dados: 
 concreto: C20; e 
 aço: CA-50. 
Considerar: 
 somente solicitações normais (momentos fletores); e 
 estado limite último, combinações normais (c = 1,4 e s = 1,15). 
 
5-102 
 
 
Solução: A solução do problema consiste na aplicação direta da Equação 5.19. A solução fica facilitada se for 
feita a utilização da tabela de flexão simples do CA-50 (ANEXO A). 
a) Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 
2
ck kN/cm 2,0MPa 20f 
 
normal) combinação - (ELU 1,40c
 
2
c
ck
cd kN/cm 43,1
1,40
2,0f
f 


 
2
yk kN/cm 50MPa 500f 
 
normal) combinação - (ELU 1,15s
 
2
s
yk
yd kN/cm 43,5
1,15
50f
f 


 
2
s kN/cm 00021MPa000210GPa 210E 
 
cm 20bw 
 
cm 45d 
 
cm 50h 
 











hb0015,0
hb
f
f
035,0
maxA
w
w
yd
cd
min,s
 
2
2
2
min,s cm50,1
cm50,150200015,0
cm15,15020
5,43
43,1
035,0
maxA 











 
hb04,0A wmaxs, 
 
2
maxs, cm,040502004,0A 
 
kNcm50012kNm125MSd 
 
MPa35ffdb272,0M ckcd
2
wlim,1Rd 
 
kNcm7531543,14520272,0M 2lim,1Rd 
 
 compressão de armadura de enecessidad há nãoMM
kNcm75315
lim,1Rd
kNcm50012
Sd  
 
kNcm50012MMM 1RdRdSd 
 
b) Linha neutra (x) 
500,0
fdb272,0
M
5625,125,1
cd
2
w
1Rd
x 
 
 
5-103 
 
OK500,0373,0
43,14520272,0
50012
5625,125,1
2x



 
c) Braço de alavanca (z) 
xz 4,01 
 
  851,0373,04,01z 
 
d) Tensão na armadura (s) 
0,2590,1‰5,3
1
f
E
x
x
x
yd
s
s 








 
000,1000,1840,2
0001
5,3
373,0
373,01
5,43
00021
ss 




 

 
e) Cálculo da armadura (As) 







max,s
min,s
ydsz
1Rd
s
A
A
fd
M
A
 
OK
cm0,40
cm50,1
cm50,7
5,43000,145851,0
50012
A
2
2
2
s








 
2
cal,s cm50,7A 
 
f) Resolução com uso de tabela 
272,0
fdb
M
cd
2
w
1Rd
c 
 
OK272,0216,0
43,14520
50012
2c



 









000,1
851,0
373,0
216,0
s
z
x
tabela
c 
 







max,s
min,s
ydsz
1Rd
s
A
A
fd
M
A
 
OK
cm0,40
cm50,1
cm50,7
5,43000,145851,0
50012
A
2
2
2
s








 
2
cal,s cm50,7A 
 
g) Verificação 
x
yds
cdw
s
fA
fdb68,0










 
OK000,1001,1373,0
5,4350,7
43,1452068,0
s 








 
■ 
 
5-104 
 
5.9 DISPOSIÇÃO DA ARMADURA 
A distribuição e o posicionamento corretos das armaduras dentro da seção transversal de uma viga constitui 
fator de suma importância para a durabilidade das estruturas de concreto. A disposição da armadura dentro da 
seção transversal da viga não pode obstruir a colocação do concreto fresco, devendo permitir, com relativa folga, a 
introdução de equipamentos de vibração (Figura 5.15). 
 
Figura 5.15: Espaçamento horizontal e vertical de barras longitudinais. 
ABNT NBR 6118, item 18.3.2.2: 
”O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido no plano da seção transversal, deve 
ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores: 
a) na direção horizontal (ah): 
 20 mm; 
 diâmetro da barra, do feixe ou da luva; 
 1,2 vez o diâmetro máximo do agregado32; 
b) na direção vertical (av): 
 20 mm; 
 diâmetro da barra, do feixe ou da luva; 
 0,5 vez o diâmetro máximo do agregado. 
Para feixes de barras deve-se considerar o diâmetro do feixe: n =   n. 
Esses valores se aplicam também às regiões de emendas por traspasse das barras.” 
O item 18.3.2.2 da ABNT NBR 6118 pode ser expresso pela Equação 5.20. 
 
32 O correto seria dizer dimensão máxima do agregado. Ver Equação [2.2]. 
 
5-105 
 
 {
 
 
 
 
 {
 
 
 
 
Equação 5.20 
EXEMPLO 5.2 
Determinar o máximo momento fletor solicitante de cálculo (MSd) que a viga abaixo representada pode suportar. 
Dados: 
 concreto: C20; 
 aço: CA-50; 
 armadura longitudinal: 5  16 mm; 
 armadura transversal: 6,3 mm; 
 cobrimento: 3 cm; 
 dimensão máxima do agregado: 19 mm. 
Considerar: 
 somente solicitações normais (momentos fletores); 
 estado limite último, combinações normais (c = 1,4 e s = 1,15). 
 
Solução: A solução do problema consiste na aplicação direta da Equação 5.19 e Equação 5.20, com o auxílio da 
tabela de flexão simples do CA-50 (ANEXO A). 
a) Dados -uniformização de unidades (kN e cm) 
2
ck kN/cm 2,0MPa 20f 
 
normal) combinação - (ELU 1,40c
 
2
c
ck
cd kN/cm43,1
1,40
2,0f
f 


 
2
yk kN/cm 50MPa 500f 
 
normal) combinação - (ELU 1,15s
 
2
s
yk
yd kN/cm 43,5
1,15
50f
f 


 
 
5-106 
 
cm 20bw 
 
cm 45h 
 
cm 3cnom 
 
cm0,63mm 3,6t 
 
cm 1,9mm 19dmax 
 
2
2
efs,s cm 05,10
4
6,1
5AA 


 (armadura efetiva) 











hb0015,0
hb
f
f
035,0
maxA
w
w
yd
cd
min,s
 
2
2
2
min,s cm35,1
cm35,145200015,0
cm04,14520
5,43
43,1
035,0
maxA 











 
hb04,0A wmaxs, 
 
2
maxs, cm,036452004,0A 
 
OKcm00,36cm05,10cm35,1
max,ssmin,s A
2
A
2
A
2
 
 
b) Verificação de ah e av 
 
1n
n2c2b
a tnomwh


 
 
bw largura da viga 
cnom cobrimento nominal da armadura 
t diâmetro da armadura transversal 
(estribo) 
 diâmetro da armadura longitudinal 
n número de barras na camada 
 
cm97,3
13
6,1363,020,3220
ah 



 











max
h
d2,1
cm2
maxa 
 
cm28,2
cm28,29,12,1d2,1
cm6,1
cm2
maxa
max
h 











 
 

OKaa
cm28,2
min,h
cm97,3
cal,h 

 
 











max
v
d5,0
cm2
maxa
 
cm0,2
cm95,09,15,0d5,0
cm6,1
cm2
maxa
max
v 











 
 
cm0,2av 
(valor adotado) 
 
 
5-107 
 
c) Determinação da altura útil (d)33 
10
h
ycg 
 
cm5,4
10
45
ycg 
 

 

si
isi
cg
A
yA
y
 
OKcm4,5cm 24,2
4
6,1
2
4
6,1
3
2
6,1
0,26,1
4
6,1
2
2
6,1
4
6,1
3
y
22
22
cg 















 
















 






















 






















 

 
 nomtcg cyhd 
 
  cm93,380,363,044,245d 
 
d) Momento limite (MRd1,lim) 
MPa35ffdb272,0M ckcd
2
wlim,1Rd 
 
kNcm7901143,193,3820272,0fdb272,0M 2cd
2
wlim,1Rd 
 
Verificação para valores efetivos 
x
yds
cdw
s
fA
fdb68,0










 
xxs 732,1
5,4305,10
43,193,382068,0









 
d.1) 1ª tentativa 
577,0
732,1
1
x 
 









000,1
302,0
769,0
577,0
s
c
z
tabela
x 
 
Ok000,1577,0732,1732,1 xs 
 
e) Momento solicitante de cálculo (MSd) 
1RdRdSd MMM 
 
cd
2
wc1Rd fdbM 
 

lim,1RdM
2
1Rd kNcm79011kNcm0901343,193,3820302,0M 
 
Como o valor MRd1 calculado (13 090 kNcm) resultou maior que o valor limite MRd1,lim (11 790 kNcm) isto 
significa que a viga esta com excesso de armadura. Para que sejam mantidas as condições de dutilidade 
da seção transversal apresentada é necessário que o valor de MSd fique limitado ao valor limite. Portanto: 
 
33 ABNT NBR 6118, item 17.2.4.1: “Os esforços nas armaduras podem ser considerados no centro de 
gravidade correspondente, se a distância deste cento ao ponto da seção de armadura mais afastada da linha 
neutra, medida normalmente a esta, for menor que 10%.” (Ver Figura 5.6) 
 
5-108 
 
kNm9,117kNcm79011MM lim,1RdSd 
 
kNm9,117MSd 
 
O valor assumido obedece ao item 14.6.4.3 da ABNT NBR 6118 que limita a 0,500 o valor de x (x,lim) 
para regiões de vigas próximas a apoios, onde ocorrem momentos negativos como é o caso deste exemplo. 
■ 
5.10 VIGAS DE SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA DE COMPRESSÃO 
Conforme visto em 5.8, vigas com dimensões adequadas e sem armadura de compressão, tem comportamento 
dúctil desde que sejam projetadas para suportar momentos solicitantes inferiores a um determinado limite 
(MSd  MRd1,lim). Quando os momentos solicitantes ultrapassam o valor limite, a dutilidade das vigas pode ser 
garantida com o uso de armadura de compressão, como mostrado na Figura 5.16. Para tal basta forçar que a 
linha neutra mantenha-se no domínio 2 ou no domínio 3. 
A manutenção da linha neutra no domínio 2 (0,000  x  0,259) ou no domínio 3 (0,259  x  x,lim) pode ser 
alcançada com a definição do valor de x que conduza ao dimensionamento mais econômico, ou seja, aquele que 
definir a menor quantidade total de armadura (menor As + A’s). Em termos práticos, isto nem sempre é possível. 
A prática comum é simplesmente adotar para x o seu valor limite (x = x.lim que corresponde a MRd1 = MRd1,lim), 
independentemente de qualquer estudo econômico. 
 
Figura 5.16: Vigas de seção retangular com armadura de compressão. 
Como mostrado na Figura 5.16, o momento fletor resistente de cálculo MRd (MRd  MSd) é composto por dois 
momentos MRd1 e MRd2. No que se refere a MRd1 valem todas as considerações apresentadas em 5.8. 
Desenvolvendo, para a Figura 5.16, um raciocínio semelhante ao apresentado em 5.8, chega-se: 
 valor adimensional da tensão na armadura comprimida (Equação 5.10) 
 
 
 
 
{
 
 
 
 
 
(
 
 
 
 
) 
 
 
(
 
 
 
 
) 
 
 
5-109 
 
 armadura comprimida 
 
 
( ) 
 
 armadura tracionada 
 [
 
 
 
 
( )
]
 
 
 
 equação de verificação 
 (
 
 
) (
 
 
) 
Desta forma, as vigas de seção retangular com armadura de compressão, podem ser representadas por: 
 
5-110 
 
 {
 
 ( )
 
 ( )
 
 
 
 
 
| 
 
 
{
 ( )
 ( )
 
ou 
|
|
|
|
 √ 
 
 
 {
 ( )
 ( )
 
 {
 
 
 
(
 
 
) 
 
 
 
 
{
 
 
 
 
 
(
 
 
 
 
) 
 
 
(
 
 
 
 
) 
 
 [
 
 
 
 
( )
]
 
 
{
 
 
 
 
 {
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
( ) 
 (
 
 
) (
 
 
) 
Equação 5.21 
EXEMPLO 5.3 
Determinar a armadura necessária para a viga abaixo indicada, a qual está submetida a um momento fletor 
solicitante de cálculo (MSd) igual a 220 kNm. 
Dados: 
 
5-111 
 
 concreto: C20; 
 aço: CA-50; 
 armadura transversal: 6,3 mm; 
 cobrimento: 3 cm; 
 dimensão máxima do agregado: 19 mm. 
Considerar: 
 somente solicitações normais (momentos fletores); 
 estado limite último, combinações normais (c = 1,4 e s = 1,15). 
 
Solução: A solução do problema consiste na aplicação das Equação 5.19 ou Equação 5.21 e da tabela de flexão 
simples do CA-50 (ANEXO A). 
a) Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 
2
ck kN/cm 2,0MPa 20f 
 
normal) combinação - (ELU 1,40c
 
2
c
ck
cd kN/cm 43,1
1,40
2,0f
f 


 
2
yk kN/cm 50MPa 500f 
 
normal) combinação - (ELU 1,15s
 
2
s
yk
yd kN/cm 43,5
1,15
50f
f 


 
cm 20bw 
 
cm 50h 
 
(assumido)cm 44d 
 
(assumido)cm 4d' 
 
cm 3cnom 
 
cm0,63mm 3,6t 
 
cm 1,9mm 19dmax 
 











hb0015,0
hb
f
f
035,0
maxA
w
w
yd
cd
min,s
 
2
2
2
min,s cm50,1
cm50,150200015,0
cm15,15020
5,43
43,1
035,0
maxA 











 
  2wmax'ss cm,040502004,0hb04,0AA 
 
 
5-112 
 
kNcm00022kNm220MSd 
 
MPa35ffdb272,0M ckcd
2
wlim,1Rd 
 
kNcm0611543,14420272,0M 2lim,1Rd 
 
 compressão de armadura de enecessidad háMM
kNcm06115
lim,1Rd
kNcm00022
Sd  
 
kNcm06115MM limRd1,1Rd 
 
) a de(correspon adotado valorkNcm06115M limc,Rd1 
 
kNcm00022MMMM 2RdRd1RdSd 
 
1RdRd2Rd MMM 
 
kNcm93960611500022M 2Rd 
 
b) Tabela CA-50 
272,0
fdb
M
cd
2
w
1Rd
c 
 
limRd1,Rd12c
M de diferente fosse M se 0,272 de diferente erias272,0
43,14420
06115



 






















000,1
000,1
800,0
500,0
091,0
44
4
d
d
272,0
'
s
s
z
x
tabela'
c
 
  min,syds'
2Rd
z
1Rd
s A
f
1
dd
M
d
MA 











 
OKcm50,1cm82,13
5,43000,1
1
)444(
9396
44800,0
06115
A 22s 









 
2
cal,s cm82,13A 
 
2
2
ef,s cm71,15
4
0,2
5mm20 5A 


 (2 camadas) 
  yd's'
2Rd'
s
fdd
M
A


 
2'
s cm99,3
5,43000,1)444(
9396
A 


 
2'
cal,s cm99,3A 
 
2
2
'
ef,s cm02,4
4
6,1
2mm16 2A 


 
OKcm0,40cm73,1902,471,15AA 22' ef,sef,s 
 
c) Verificação para valores calculados 
'
s
s
'
s
x
yds
cdw
s
A
A
fA
fdb68,0



















 
OK000,1000,1
82,13
99,3
500,0
5,4382,13
43,1442068,0
s 














 
d) Verificação de ah e av para as barras de 20 mm 
 
5-113 
 
 
1n
n2c2b
a tnomwh


 
 
bw largura da viga 
cnom cobrimento nominal da armadura 
t diâmetro da armadura transversal 
(estribo) 
 diâmetro da armadura longitudinal 
n número de barras na camada 
 
cm37,3
13
0,2363,020,3220
ah 



 











max
h
d2,1
cm2
maxa 
 
cm28,2
cm28,29,12,1d2,1
cm2
cm2
maxa
max
h 











 
 

OKaa
cm28,2
min,h
cm37,3
cal,h 

 











max
v
d5,0
cm2
maxa 
 
cm0,2
cm95,09,15,0d5,0
cm2
cm2
maxa
max
v 











 
 
cm0,2av 
(valor adotado) 
 
Determinação da altura útil (d) 
10
h
ycg 
 
cm0,5
10
50
ycg 
 

 

si
isi
cg
A
yA
y
 
 
 
OKcm5,0cm 60,2
4
0.2
2
4
0,2
3
2
0,2
0,20,2
4
0,2
2
2
0,2
4
0,2
3
y
22
22
cg 















 
















 






















 






















 

 
 nomtcg cyhd 
 
  cm44cm77,430,363,060,250d 
 
e) Determinação de d’ 
 
5-114 
 
2
cd tnom
' 
 
cm4cm43,4
2
6,1
63,00,3d' 
 
 
f) Cálculo da armadura para novos valores de d e d’ 
kNcm9031443,177,4320272,0fdb272,0M 2cd
2
w1Rd 
 
kNcm09779031400022M 2Rd 
 
limRd1,Rd12c
M de diferente fosse M se 0,272 de diferente erias272,0
43,177,4320
14903



 


















000,1
000,1
800,0
101,0
77,43
43,4
d
d
272,0
'
s
s
z
tabela
'
c
 
OKcm50,1cm93,13
5,43000,1
1
)43,477,43(
0977
77,43800,0
90314
A 22s 











 
2
cal,s cm93,13A 
 
2
2
ef,s cm71,15
4
0,2
5mm20 5A 


 
2'
s cm15,4
5,43000,1)43,477,43(
0977
A 


 
2'
cal,s cm15,4A 
 
2
22
'
ef,s cm81,4
4
0,1
4
6,1
2mm10 1mm16 2A 






 







 

 
OKcm0,40cm52,2081,471,15AA 22' ef,sef,s 
 
g) Resolução para MRd1 <MRd1,lim 
(assumido)cm 77,43d 
 
(assumido)cm 43,4d' 
 
kNcm9031443,177,4320272,0fdb272,0M 2cd
2
wlim,1Rd 
 
kNcm90314MM limRd1,1Rd 
 
adotado valorkNcm95810MRd1 
 
kNcm04211kNcm9581000022M 2Rd 
 
OK272,0200,0
43,177,4320
95810
2c



 


















000,1
000,1
864,0
101,0
77,43
43,4
d
d
200,0
'
s
s
z
tabela
'
c
 
 
5-115 
 
OKcm50,1cm11,13
5,43000,1
1
)43,477,43(
04211
77,43864,0
95810
A 22s 









 
2
cal,s cm11,13A 
 
2
2
ef,s cm71,15
4
0,2
5mm20 5A 


 
2'
s cm45,6
5,43000,1)43,477,43(
04211
A 


 
2'
cal,s cm45,6A 
 
2
22
'
ef,s cm07,7
4
0,1
4
0,2
2mm 10 1mm 20 2A 




 
OKcm0,40cm78,2207,771,15AA 22' ef,sef,s 
 
h) Comparação de resultados 
h.1) valores teóricos (valores calculados de As e A’s) 
kNcm90314MM lim,1Rd1Rd 
 
2
cal,s cm93,13A 
 
2'
cal,s cm15,4A 
 
2'
cal,scal,s cm08,1815,493,13AA 
 
kNcm95810M 1Rd 
 
2
cal,s cm11,13A 
 
2'
cal,s cm45,6A 
 
%2,8cm56,1945,611,13AA 2' cal,scal,s 
 
h.2) valores reais (valores efetivos de As e A’s) 
kNcm90314MM lim,1Rd1Rd 
 
2
ef,s cm71,15A 
 
2'
ef,s cm81,4A 
 
2'
ef,sef,s cm52,2081,471,15AA 
 
kNcm95810M 1Rd 
 
2
ef,s cm71,15A 
 
2'
ef,s cm07,7A 
 
%11cm78,2207,771,15AA 2' ef,sef,s 
 
■ 
5.11 VIGAS DE SEÇÃO T SEM ARMADURA DE COMPRESSÃO 
5.11.1 REGIÃO DE CONCRETO COMPRIMIDO 
A região de concreto comprimido, em uma viga de seção T, pode ocorrer de três modos distintos como apresentado 
na Figura 5.17. 
 
5-116 
 
 
Figura 5.17: Regiões de concreto comprimido em vigas de seção T. 
A situação em que toda a mesa está comprimida corresponde a: 
fhy 
 
d
h
d
y f
 
Considerando a Equação 5.6, tem-se: 
d
h
d
y f
y 
 
d8,0
h
8,0
fy
x 


 
  






























2
h
d
d
h
85,0
d8,0
h
4,01
d8,0
h
68,04,0168,0 f
2
fff
xxc
 
Levando-se em conta as condições estabelecidas na Figura 5.14, cuja região comprimida é definida pelo retângulo 
de dimensões bw y, tem-se, pelas Equação 5.16: 
cd
2
wc1Rd fdbM 
 
  cdffwcd
2
w
f
2
f
1Rd f
2
h
dhb85,0fdb
2
h
d
d
h
85,0M 


















 
No caso particular em que bw (da Figura 5.14: Viga de seção retangular sem armadura de compressão.) for igual 
a bf (da Figura 5.17: Regiões de concreto comprimido em vigas de seção T.), e definindo, para este caso, MRd1 como 
sendo o momento resistente de cálculo resistido pela mesa comprimida da seção T, tem-se: 
  cd
f
ffmesa,Rd1Rd f
2
h
dhb85,0MM 






 
 ( ) ( 
 
 
) Equação 5.22 
Desta forma, para as regiões de concreto comprimido em vigas de seções T, têm-se: 
 Equação 5.23 
 
5-117 
 
 
 
5.11.2 SEÇÕES T SEM ARMADURA DE COMPRESSÃO: Y  HF 
Seja Figura 5.18 onde está representada uma viga de seção T em que a solicitação de cálculo MSd é resistida pelo 
momento resistente de cálculo MRd, composto somente pelo binário das forças Rcd e Rsd, sem a necessidade de 
armadura de compressão. 
 
Figura 5.18: Vigas de seção T sem armadura de compressão – y  hf. 
Comparando a Figura 5.14: Viga de seção retangular sem armadura de compressão. com a Figura 5.18: Vigas de 
seção T sem armadura de compressão – y  hf. pode-se concluir que a viga de seção T sem armadura de 
compressão, com y  hf, é equivalente a uma viga de seção retangular de base bf. 
Desta forma, introduzindo valores de bf nos lugares de bw apresentados na Equação 5.19 e considerando: 
 a relação entre y e hf (Equação 5.23); 
 armaduramínima (Equação 5.12); e 
 armadura máxima (Equação 5.15), 
as vigas de seção T, sem armadura de compressão, com y  hf, podem ser representadas por: 
 ( ) ( 
 
 
) 
 
 {
 
 ( )
 
 ( )
 
 
 
Equação 5.24 
 
5-118 
 
| 
 
 
{
 ( )
 ( )
 
ou 
|
|
 √ 
 
 
 {
 ( )
 ( )
 
 {
 
 
 
(
 
 
) 
 
 
 
 
 
{
 
 
 
 
 {
 
 
 
 
 
 
 
 (
 
 
) 
EXEMPLO 5.4 
Determinar a armadura necessária para a viga abaixo indicada, a qual está submetida a um momento fletor 
solicitante de cálculo (MSd) igual a 220 kNm. 
Dados: 
 concreto: C20; e 
 aço: CA-50. 
Considerar: 
 somente solicitações normais (momentos fletores); e 
 estado limite último, combinações normais (c = 1,4 e s = 1,15). 
 
Solução: A solução do problema consiste na aplicação direta da Equação 5.24 e da tabela de flexão simples do 
 
5-119 
 
CA-50 (ANEXO A). 
a) Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 
2
ck kN/cm 2,0MPa 20f 
 
normal) combinação - (ELU 1,40c
 
2
c
ck
cd kN/cm 43,1
1,40
2,0f
f 


 
2
yk kN/cm 50MPa 500f 
 
normal) combinação - (ELU 1,15s
 
2
s
yk
yd kN/cm 43,5
1,15
50f
f 


 
cm 20bw 
 
cm 06b f 
 
cm 44d 
 (assumido) 
cm 50h 
 
cm 10hf 
 
  fwfwc hbbhbA 
 
  2c cm 00411020-605020A 
 











c
c
yd
cd
min,s
A0015,0
A
f
f
024,0
maxA
 
2
2
2
min,s cm10,2
cm10,240010015,0
cm10,14001
5,43
43,1
024,0
maxA 











 
hb04,0A wmaxs, 
 
2
maxs, cm,040502004,0A 
 
kNcm00022kNm220MSd 
 
  cdfffmesa,Rd f
2
h
dhb85,0M 






 
  kNcm4432843,1
2
10
44106085,0M mesa,Rd 






 
 
 ff
kNcm44328
mesa,Rd
kNcm00022
Sd b base de eequivalent retangular seçãohyMM  
 
MPa35ffdb272,0M ckcd
2
flim,1Rd 
 
kNcm1824543,14460272,0M 2lim,1Rd 
 
 compressão de armadura de enecessidad há nãoMM
kNcm18245
lim,1Rd
kNcm00022
Sd  
 
kNcm00022MMM 1RdRdSd 
 
 
5-120 
 
b) Tabela CA-50 
272,0
fdb
M
cd
2
f
1Rd
c 
 
OK272,0132,0
43,14460
00022
2c



 












000,1
915,0
170,0
213,0
132,0
s
z
y
x
tabela
c 
 
OKcm0,10cm48,744170,0dy
fh
y 
 







max,s
min,s
ydsz
1Rd
s
A
A
fd
M
A
 
OK
cm0,40
cm10,2
cm56,12
5,43000,144915,0
00022
A
2
2
2
s








 
2
cal,s cm56,12A 
 
2
2
ef,s cm57,12
4
0,2
4mm20 4A 


 
c) Verificação para valores calculados 
x
yds
cdf
s
fA
fdb68,0










 
OK000,1001,1213,0
5,4356,12
43,1446068,0
s 








 
d) Comparação com o Exemplo 5.3, para d igual a 44 cm 
 
Msd=220 kNm Seção Retangular Seção T  
Ac 1000,0 cm2 1400,0 cm2 40,0 % 
Acc 352,0 cm2 448,8 cm2 27,5 % 
A’s 3,99 cm2 # # 
As 13,82 cm2 12,56 cm2 -9,1 % 
As+A’s 17,81 cm2 12,56 cm2 -29,5 % 
x 0,500 0,213 
 
5-121 
 
Msd=220 kNm Seção Retangular Seção T  
Domínio 3 2 
 
e) Observação 
Deve ser verificado o valor de d (assumido igual a 44 cm) em função da disposição da armadura definida 
por As,ef. Esta verificação pressupõe o conhecimento do diâmetro da armadura transversal (estribo), 
cobrimento da armadura e dimensão máxima do agregado graúdo. 
■ 
5.11.3 SEÇÕES T SEM ARMADURA DE COMPRESSÃO: Y > HF 
Seja Figura 5.19 onde está representada uma viga de seção T em que a solicitação de cálculo MSd é resistida pelo 
momento resistente de cálculo MRd, composto pelos binários das forças Rcd1 / Rsd1 e Rcd3 / Rsd3, sem a necessidade 
de armadura de compressão. 
 
Figura 5.19: Vigas de seção T sem armadura de compressão – y > hf. 
Como mostrado na Figura 5.19, o momento fletor resistente de cálculo MRd (MRd  MSd) é composto por dois 
momentos MRd1 e MRd3. No que se refere a MRd1 valem todas as considerações apresentadas em 5.8. 
Desenvolvendo, para a Figura 5.19, um raciocínio semelhante ao apresentado em 5.8, chega-se: 
 armadura tracionada 
 [
 
 
 
 
( 
 
 )
]
 
 
 
 equação de verificação 
 (
 
 
) {
 [( ) ] 
 
} 
Desta forma, as vigas de seção T, sem armadura de compressão, com y > hf, podem ser representadas por: 
 
5-122 
 
 ( ) ( 
 
 
) 
 
 {
 
 ( )
 
 ( )
 
 [( ) ( 
 
 
)] 
 ( ) 
 
 
 
| 
 
 
{
 ( )
 ( )
 
ou 
|
|
 √ 
 
 
 {
 ( )
 ( )
 
 {
 
 
 
(
 
 
) 
 
 
 [
 
 
 
 
( 
 
 )
]
 
 
{
 
 
 
 
 {
 
 
 
 
 
 
 
 (
 
 
) {
 [( ) ] 
 
} 
Equação 5.25 
EXEMPLO 5.5 
Determinar a armadura necessária para a viga abaixo indicada, a qual está submetida a um momento fletor 
solicitante de cálculo (MSd) igual a 320 kNm. 
Dados: 
 concreto: C20; 
 aço: CA-50. 
 
5-123 
 
Considerar: 
 somente solicitações normais (momentos fletores); 
 estado limite último, combinações normais (c = 1,4 e s = 1,15). 
 
Solução: A solução do problema consiste na aplicação direta da Equação 5.25 e da tabela de flexão simples do 
CA-50 (ANEXO A). 
a) Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 
2
ck kN/cm 2,0MPa 20f 
 
normal) combinação - (ELU 1,40c
 
2
c
ck
cd kN/cm 43,1
1,40
2,0f
f 


 
2
yk kN/cm 50MPa 500f 
 
normal) combinação - (ELU 1,15s
 
2
s
yk
yd kN/cm 43,5
1,15
50f
f 


 
cm 20bw 
 
cm 06b f 
 
cm 44d 
 (assumido) 
cm 50h 
 
cm 10hf 
 
  fwfwc hbbhbA 
 
  2c cm 00411020-605020A 
 











c
c
yd
cd
min,s
A0015,0
A
f
f
024,0
maxA
 
2
2
2
min,s cm10,2
cm10,240010015,0
cm10,14001
5,43
43,1
024,0
maxA 











 
hb04,0A wmaxs, 
 
2
maxs, cm,040502004,0A 
 
 
5-124 
 
kNcm00032kNm320MSd 
 
  cdfffmesa,Rd f
2
h
dhb85,0M 






 
  kNcm4432843,1
2
10
44106085,0M mesa,Rd 






 
 
 T seçãohyMM f
kNcm44328
mesa,Rd
kNcm00032
Sd  
 
MPa35ffdb272,0M ckcd
2
wlim,1Rd 
 
kNcm0611543,14420272,0M 2lim,1Rd 
 
  cdffwf3Rd f
2
h
dhbb85,0M 











 
  kNcm9621843,1
2
10
4410206085,0M 3dR 












 
kNcm3402396218kNcm06115MM 3Rdlim,1Rd 
 
 compressão de armadura de enecessidad há nãoMMM
kNcm02334
3Rdlim,1Rd
kNcm00032
Sd    
 
kNcm00032MMMM 3Rd1RdRdSd 
 
3RdRd1Rd MMM 
 
kNcm038139621800032M 1Rd 
 
b) Tabela CA-50 
272,0
fdb
M
cd
2
w
1Rd
c 
 
OK272,0235,0
43,14420
03813
2c



 












000,1
834,0
332,0
415,0
235,0
s
z
y
x
tabela
c 
 
OKcm0,10cm61,1444332,0dy
fh
y 
 




























max,s
min,s
ydsf
3Rd
z
1Rd
s
A
A
f
1
2
h
d
M
d
M
A 
 
5-125 
 
OK
cm0,40
cm10,2
cm34,19
5,43000,1
1
2
10
44
96218
44834,0
03813
A
2
2
2
s




























 
2
cal,s cm34,19A 
 
2
2
ef,s cm63,19
4
5,2
4mm25 4A 


 
c) Verificação para valores calculados 
  







 










yds
cdfwf
x
yds
cdw
s
fA
fhbb85,0
fA
fdb68,0
 
  
OK000,1
5,4334,19
43,110206085,0
415,0
5,4334,19
43,1442068,0
s 

















 
d) Observação 
Deve ser verificado o valor de d (assumido igual a 44 cm) em função da disposição da armadura definida 
por As,ef. Esta verificação pressupõe o conhecimento do diâmetro da armadura transversal (estribo), 
cobrimento da armadura e dimensão máxima do agregado graúdo. 
■ 
5.12 VIGAS DE SEÇÃO T COM ARMADURA DE COMPRESSÃO 
5.12.1 SEÇÕES T COM ARMADURA DE COMPRESSÃO: Y  HF 
Nas seções T, a necessidade da armadura de compressão (Figura 5.20) pode vir a ser necessária, em alguns 
casos, quando a relação hf / d assume valores maiores que 0,4 para concretos de classe igual ou inferior a C35, ou 
0,32 para concretos de classe superior a C35. 
 
Figura 5.20: Vigas de seção T com armadura de compressão – y  hf. 
Desenvolvendo um raciocínio análogo ao apresentado em 5.8, 5.10 e 5.11, as vigas de seção T, com armadura de 
 
5-126 
 
compressão, com y  hf, podem ser representadas por: 
 ( ) ( 
 
 
) 
 
 {
 
 ( )
 
 ( )
 
 
 
 
 
| 
 
 
{
 ( )
 ( )
 
ou 
|
|
|
|
|
 √ 
 
 
 {
 ( )
 ( )
 
 
 {
 
 
 
(
 
 
) 
 
 
 
 
{
 
 
 
 
 
(
 
 
 
 
) 
 
 
(
 
 
 
 
) 
 
 
 [
 
 
 
 
( )
]
 
 
{
 
 
 
 
 {
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
( ) 
Equação 5.26 
 
5-127 
 
 (
 
 
) (
 
 
) 
EXEMPLO 5.6 
Determinar a armadura necessária para a viga abaixo indicada, a qual está submetida a um momento fletor 
solicitante de cálculo (MSd) igual a 500 kNm. 
Dados: 
 concreto: C20; 
 aço: CA-50. 
Considerar: 
 somente solicitações normais (momentos fletores); 
 estado limite último, combinações normais (c = 1,4 e s = 1,15). 
 
Solução: A solução do problema consiste na aplicação direta da Equação 5.26 e da tabela de flexão simples do 
CA-50 (ANEXO A). 
a) Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 
2
ck kN/cm 2,0MPa 20f 
 
normal) combinação - (ELU 1,40c
 
2
c
ck
cd kN/cm 43,1
1,40
2,0f
f 


 
2
yk kN/cm 50MPa 500f 
 
normal) combinação - (ELU 1,15s
 
2
s
yk
yd kN/cm 43,5
1,15
50f
f 


 
cm 20bw 
 
cm 06b f 
 
cm 44d 
 (assumido) 
cm 4d' 
 (assumido) 
cm 50h 
 
cm 52hf 
 
  fwfwc hbbhbA 
 
  2c cm 00022520-605020A 
 
 
5-128 
 











c
c
yd
cd
min,s
A0015,0
A
f
f
024,0
maxA
 
2
2
2
min,s cm00,3
cm00,300020015,0
cm58,10002
5,43
43,1
024,0
maxA 











 
hb04,0A wmaxs, 
 
2
maxs, cm,040502004,0A 
 
kNcm00050kNm500MSd 
 
  cdfffmesa,Rd f
2
h
dhb85,0M 






 
  kNcm4325743,1
2
25
44256085,0M mesa,Rd 






 
 
 ff
kNcm43257
mesa,Rd
kNcm00050
Sd b base de eequivalent retangular seçãohyMM  
 
MPa35ffdb272,0M ckcd
2
flim,1Rd 
 
kNcm1824543,14460272,0M 2lim,1Rd 
 
 compressão de armadura de enecessidad háMM
kNcm18245
lim,1Rd
kNcm00050
Sd  
 
kNcm18245MM limRd1,1Rd 
 
) a de(correspon adotado valorkNcm18245M limx,Rd1 
 
kNcm00050MMMM 2Rd1RdRdSd 
 
1RdRd2Rd MMM 
 
kNcm81841824500050M 2Rd 
 
b) Tabela CA-50 
272,0
fdb
M
cd
2
f
1Rd
c 
 
limRd1,Rd12c
M de diferente fosse M se 0,272 de diferente erias272,0
43,14460
18245



 























000,1
000,1
800,0
400,0
500,0
091,0
44
4
d
d
272,0
'
s
s
z
y
x
tabela
'
c
 
OKcm0,25cm60,1644400,0dy
fh
y 
 
 
5-129 
 
  
















c
c
yd
cd
yds
'
2Rd
z
1Rd
s
A0015,0
A
f
f
024,0
f
1
dd
M
d
M
A
 
OKcm00,3cm28,32
5,43000,1
1
)444(
8184
44800,0
18245
A 22s 









 
2
cal,s cm28,32A 
 
2
2
ef,s cm36,34
4
5,2
7mm25 7A 


 
    hb04,0AAfdd
M
A w
'
ss
yd
'
s
'
2Rd'
s 


 
2'
s cm77,2
5,43000,1)444(
8184
A 


 
2'
cal,s cm77,2A 
 
2
2
'
ef,s cm68,3
4
25,1
3mm25 ,1 3A 


 
OKcm0,40cm04,3868,336,34AA 22' ef,sef,s 
 
c) Verificação para valores calculados 
'
s
s
'
s
x
yds
cdf
s
A
A
fA
fdb68,0



















 
OK000,1000,1
28,32
77,2
500,0
5,4328,32
43,1446068,0
s 














 
d) Observação 
Devem ser verificados os valores de d e d’ em função de As,ef e A’s,ef. Esta verificação pressupõe o 
conhecimento do diâmetro da armadura transversal (estribo), cobrimento da armadura e dimensão 
máxima do agregado graúdo. 
■ 
5.12.2 SEÇÕES T COM ARMADURA DE COMPRESSÃO: Y > HF 
Nas seções T, a necessidade da armadura de compressão (Figura 5.21) pode vir a ser necessária, em casos, que a 
altura da região de concreto comprimido (y) ocupe boa parte da nervura, além da ocupação total da mesa. 
 
5-130 
 
 
Figura 5.21: Vigas de seção T com armadura de compressão– y > hf. 
Desenvolvendo um raciocínio análogo ao apresentado em 5.8, 5.10 e 5.11, as vigas de seção T, com armadura de 
compressão, com y > hf, podem ser representadas por: 
 ( ) ( 
 
 
) 
 
 {
 
 ( )
 
 ( )
 
 [( ) ( 
 
 
)] 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
| 
 
 
{
 ( )
 ( )
 
ou 
Equação 5.27 
 
5-131 
 
|
|
|
|
|
 √ 
 
 
 {
 ( )
 ( )
 
 
 {
 
 
 
(
 
 
) 
 
 
 
 
{
 
 
 
 
 
(
 
 
 
 
) 
 
 
(
 
 
 
 
) 
 
 
 [
 
 
 
 
( )
 
 
( 
 
 )
]
 
 
 {
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
( ) 
 (
 
 
) (
 
 
) {
 [( ) ] 
 
} 
EXEMPLO 5.7 
Determinar a armadura necessária para a viga abaixo indicada, a qual está submetida a um momento fletor 
solicitante de cálculo (MSd) igual a 500 kNm. 
Dados: 
 concreto: C20; 
 aço: CA-50. 
Considerar: 
 somente solicitações normais (momentos fletores); 
 estado limite último, combinações normais (c = 1,4 e s = 1,15). 
 
5-132 
 
 
Solução: A solução do problema consiste na aplicação direta da Equação 5.27 e da tabela de flexão simples do 
CA-50 (ANEXO A). 
a) Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 
2
ck kN/cm 2,0MPa 20f 
 
normal) combinação - (ELU 1,40c
 
2
c
ck
cd kN/cm 43,1
1,40
2,0f
f 


 
2
yk kN/cm 50MPa 500f 
 
normal) combinação - (ELU 1,15s
 
2
s
yk
yd kN/cm 43,5
1,15
50f
f 


 
cm 20bw 
 
cm 06b f 
 
cm 44d 
 (assumido) 
cm 4d' 
 (assumido) 
cm 50h 
 
cm 10hf 
 
  fwfwc hbbhbA 
 
  2c cm 00411020-605020A 
 











c
c
yd
cd
min,s
A0015,0
A
f
f
024,0
maxA
 
2
2
2
min,s cm10,2
cm10,240010015,0
cm10,14001
5,43
43,1
024,0
maxA 











 
hb04,0A wmaxs, 
 
2
maxs, cm,040502004,0A 
 
 
5-133 
 
kNcm00050kNm500MSd 
 
  cdfffmesa,Rd f
2
h
dhb85,0M 






 
  kNcm4432843,1
2
10
44106085,0M mesa,Rd 






 
 
 T seçãohyMM f
kNcm44328
mesa,Rd
kNcm00050
Sd  
 
MPa35ffdb272,0M ckcd
2
wlim,1Rd 
 
kNcm0611543,14420272,0M 2lim,1Rd 
 
  cdffwf3Rd f
2
h
dhbb85,0M 












 
  kNcm9621843,1
2
10
4410206085,0M 3dR 












 
kNcm0233496218kNcm06115MM 3Rdlim,1Rd 
 
 compressão de armadura de enecessidad háMMM
kNcm02334
3Rdlim,1Rd
kNcm00050
Sd    
 
lim,1RdRd1 MM 
 
adotado valorkNcm15061MRd1 
 
kNcm00050MMMMM 3Rd2Rd1RdRdSd 
 
 3Rd1RdRd2Rd MMMM 
 
kNcm97715)9621806115(00050M 2Rd 
 
b) Tabela CA-50 
272,0
fdb
M
cd
2
w
1d
c 
 
limRd1,Rd12c
M de diferente fosse M se 0,272 de diferente erias272,0
43,14420
06115



 
























000,1
000,1
800,0
400,0
500,0
091,0
44
4
d
d
272,0
'
s
s
z
y
x
tabela
'
c
 
OKcm0,10cm60,1744400,0dy
fh
y 
 
min,s
ydsf
3Rd
'
2dR
z
1Rd
s A
f
1
2
h
d
M
)dd(
M
d
M
A 
























 
 
5-134 
 
OKcm10,2cm20,30
5,43000,1
1
2
10
44
96218
)444(
97715
44800,0
06115
A 22s 
























 
2
cal,s cm20,30A 
 
2
2
ef,s cm36,34
4
5,2
7mm25 7A 


 
  yd's'
2Rd'
s
fdd
M
A


 
 
2'
s cm18,9
5,43000,1444
97715
A 


 
2'
cal,s cm18,9A 
 
2
2
'
ef,s cm05,10
4
6,1
5mm16 5A 


 
viga da dimensões as aumentarcm0,40cm41,4405,1036,34AA 22' ef,sef,s 
 
c) Verificação para valores calculados 
  







 



















yds
cdfwf'
s
s
'
s
x
yds
cdw
s
fA
fhbb85,0
A
A
fA
fdb68,0
 
  
000,1
5,4320,30
43,110206085,0
000,1
20,30
18,9
500,0
5,4320,30
43,1442068,0
s 























 OK 
d) Observação 
Se para a verificação da armadura máxima fosse usada a Equação 5.14 no lugar da Equação 5.15, 
teríamos: 
  cmax'ss A04,0AA 
 
  2
max
'
ss cm0,56400104,0AA 
 
OKcm0,56cm41,4405,1036,34AA 22' ef,sef,s 
 
Porém, pelas razões apresentadas em 5.7.2, é conveniente seguir a seqüência de calculo mostrada no 
item b e aumentar as dimensões da seção transversal da viga. 
■ 
5.13 COMPOSIÇÃO DE BF 
5.13.1 CONJUNTO LAJE–VIGA 
Nas estruturas de concreto armado, as vigas de seção T aparecem naturalmente pois o conjunto laje-viga define 
este tipo de seção, como mostrado na Figura 5.22. 
 
5-135 
 
 
Figura 5.22: Conjunto laje-viga. 
Deve ser notado que no dimensionamento da armadura longitudinal (armadura de flexão), a viga de concreto 
armado composta por nervura (alma) e abas (mesa), como mostrado na Figura 5.22, só poderá ser considerada 
como seção T, quando a mesa estiver comprimida. Caso contrário (mesa tracionada), a viga deverá ser 
considerada como de seção retangular de base bw. 
De modo geral, pode se dizer que a seção T, com a mesa posicionada na parte superior da viga (T em pé), pode ser 
usada para o dimensionamento da armadura longitudinal positiva (momentos fletores positivos da viga V3 da 
Figura 5.22). 
Eventualmente, em construções com lajes rebaixadas (apoiadas na base da viga), é possível configurar-se 
seções  (T invertido da viga V4 da Figura 5.22). Nestes casos, estas seções poderiam ser usadas no 
dimensionamento da armadura longitudinal negativa (momentos fletores negativos se houverem, na viga V4 da 
Figura 5.22). 
Largura colaborante de vigas de seção T 
Distância entre pontos de momentos fletores nulos 
A consideração da largura colaborante da laje associada à viga (Figura 5.22) deve obedecer às prescrições da 
ABNT NBR 6118. 
ABNT NBR 6118, item 14.6.2.2: 
“A largura colaborante bf deve ser dada pela largura da viga bw acrescida de no máximo 10% da distância a entre 
pontos de momento fletor nulo, para cada lado da viga em que houver laje colaborante. 
A distância a pode ser estimada, em função do comprimento  do tramo considerado, como se apresenta a seguir: 
 viga simplesmente apoiada: a = 1,00 ; 
 viga com momento em uma só extremidade: a = 0,75 ; 
 viga com momento nas duas extremidades: a = 0,60 ; 
 viga em balanço: a = 2,00 . 
Alternativamente, o cômputo da distância a pode ser feito ou verificado medianteexame dos diagramas de 
 
5-136 
 
momentos fletores na estrutura. 
No caso de vigas contínuas, permite-se calculá-las com uma largura colaborante única para todas as seções, 
inclusive nos apoios sob momentos negativos, desde que essa largura seja calculada a partir do trecho de 
momentos positivos onde a largura resulte mínima.” 
Os valores de a podem ser estabelecidos como: 
  ( ) 
  ( ) 
  ( ) 
  ( ) 
Equação 5.28 
A Figura 5.23 mostra os valores simplificados de a, como estabelecidos pela ABNT NBR 6118. 
 
Figura 5.23: Distância entre pontos de momento fletor nulo. 
Deve ser observado na Figura 5.23 que para a viga isostática (1) só tem sentido o uso de seções T com a mesa 
posicionada na parte superior da viga (T em pé), pois nesta viga só atuam momentos fletores positivos. Neste 
caso: 
11aa 
 
Para a viga contínua (2 + 3 + 4), as seções T com a mesa posicionada na parte superior da viga (T em pé) podem 
ser admitidas nos trechos I e III, onde atuam momentos fletores positivos. As seções  com a mesa posicionada 
na parte inferior da viga (T invertido) podem ser admitidas nos trechos II e IV, onde atuam momentos fletores 
negativos. 
Para o caso em que a viga contínua mostrada na Figura 5.23 tiver, em toda sua extensão, seção transversal em 
forma de T com a mesa posicionada na parte superior da viga (T em pé), na determinação do valor de b f (a ser 
usado no dimensionamento dos momentos fletores positivos dos trechos I e III), deve ser tomado para a o menor 
dos seguintes valores: 






33
22
60,0a
75,0a
a


 
 
5-137 
 
Para o caso em que a viga contínua mostrada na Figura 5.23 estiver, em toda sua extensão, seção transversal em 
forma de  com a mesa posicionada na parte inferior da viga (T invertido), na determinação do valor de b f (a ser 
usado no dimensionamento dos momentos fletores negativos dos trechos II e IV), deve ser tomado para a o menor 
dos seguintes valores: 






43
32
00,220,0
20,025,0
a


 
Vigas isoladas e painel de vigas 
Na determinação de bf não pode ser apenas considerada a distância a entre os pontos de momento fletor nulo, 
como apresentado em 0. Algumas disposições decorrentes da própria natureza da viga, ou do conjunto delas, 
devem ser consideradas, como mostrado na Figura 5.24. 
 
Figura 5.24: Largura de mesa colaborante. 
As relações entre os valores de a mostrados na Equação 5.23 e os valores de bi apresentados na Figura 5.24 
correspondem a: 
 {
 
 
 {
 
 
 Equação 5.29 
EXEMPLO 5.8 
Determinar o valor de bf para a viga V2. 
Considerar: 
 
5-138 
 
 vigas simplesmente apoiadas nos pilares. 
 
Solução: A solução do problema consiste na aplicação direta da Equação 5.28 e da Equação 5.29. 
a) Definição de a (vista longitudinal de V2) 
22 75,0aa 
 
cm58578075,0a 
 
 
b) Definição de bf (seção transversal de V2) 
cm400b2 
 
cm120b4 
 




2
1
b5,0
a1,0
b
 






cm2004005,0b5,0
cm5,585851,0
b
2
1
 




4
3
b
a1,0
b
 


 

cm120
cm5,585851,0
b3
 
1w3f bbbb 
 
cm1575,58405,58bf 
 
cm157b f 
 
 
 
5-139 
 
■ 
5.14 MSD,MIN 
Uma outra maneira de se determinar armadura mínima em vigas de concreto armado é usando o conceito de 
MSd,min. 
ABNT NBR 6118, item 17.3.5.1: 
”A ruptura frágil das seções transversais, quando da formação da primeira fissura, deve ser evitada 
considerando-se, para o cálculo das armaduras, um momento mínimo dado pelo valor correspondente ao 
que produziria a ruptura da seção de concreto simples, supondo que a resistência à tração do concreto seja 
dada por fctk,sup, devendo também obedecer às condições relativas ao controle da abertura de fissuras 
dadas em 17.3.3.” 
ABNT NBR 6118, item 17.3.5.2.1: 
”A armadura mínima de tração, em elementos estruturais armados ou protendidos deve ser determinada 
pelo dimensionamento da seção a um momento fletor mínimo dado pela expressão a seguir, respeitada a 
taxa mínima absoluta de 0,15%: 
Md,mim = 0,8 W0 fctk,sup 
onde: 
W0 é o módulo de resistência da seção transversal bruta de concreto, relativo à fibra mais tracionada; 
fctk,sup é a resistência característica superior do concreto à tração.“ 
Seguindo o prescrito no item 17.3.5.2.1 da ABNT NBR 6118, a equação para a determinação do momento fletor 
mínimo34 resulta: 
 [ √ 
 ( )] Equação 5.30 
para uma taxa mínima de armadura dada por: 
 
 
 
 Equação 5.31 
ABNT NBR 6118, item 17.3.5.2.1: 
”Em elementos estruturais superdimensionados, pode ser utilizada armadura menor que a mínima, com 
valor obtido a partir de um momento fletor igual ao dobro de Md. Neste caso, a determinação dos esforços 
solicitantes deve considerar de forma rigorosa todas as combinações possíveis de carregamento, assim 
como os efeitos de temperatura, deformações diferidas e recalques de apoio. Deve-se ter ainda cuidado com 
o diâmetro e espaçamento das armaduras de limitação de fissuração.” 
EXEMPLO 5.9 
 
34 A ABNT NBR 6118, item 17.3.5.2.1, define o momento fletor mínimo como Md,min, deixando de 
caracterizá-lo como momento fletor solicitante de cálculo. Para manter coerência com o desenvolvimento deste 
Capítulo, na Equação 5.30, o momento foi definido como sendo MSd,min. 
 
5-140 
 
Determinar, para a viga abaixo representada, o momento fletor solicitante de cálculo mínimo (MSd,min). 
Considerar: 
 concreto: C20; 
 estado limite último, combinações normais (c = 1,4). 
 
Solução: A solução do problema consiste na aplicação direta da Equação 5.30. 
a) Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 
2
ck kN/cm 2,0MPa 20f 
 
normal) combinação - (ELU 1,40c
 
MPa em ff39,0f ck
3 2
cksup,ctk 
 
23 2
sup,ctk kN/cm287,0MPa874,22039,0f 
 
cm 20bw 
 
cm 06b f 
 
cm 50h 
 
cm 10hf 
 
b) MSd,min 
  fwfwc hbbhbA 
 
  2c cm 00411020-605020A 
 
)]}hh()bb[()hb{[(2
])hh()bb[()hb(
y
fwff
2
fwf
2
f
w



 
 
cm71,30
)]1050()2060[()5060[(2
])1050()2060[()5060(
y
22
w 



 
wf yhy 
 
cm29,1971,3050yf 
 
 
2
wc
3
fwf
3
f yA
3
])hh()bb[(hb
I 





 

 
42
33
cm32132671,304001
3
])1050()2060[(5060
I 





 

 
 
5-141 
 
(w ) tracionada mais fibra
y
I
WW
w
w,00 
 
3
0 cm62610
71,30
321326
W 
 
sup,ctk0min,Sd fW8,0M 
 
kNcm4402287,0626108,0M min,Sd 
 
kNm4,42M min,Sd 
 
c) Observação 
Se nesta viga estiver atuando um momento fletor solicitante de cálculo inferior a 24,4 kNm, o cálculo da 
armadura As pode ser feito de duas maneiras: 
 considerando um momento fletor solicitante de cálculo igual a 24,4 kNm e verificando a taxa 
mínima de armadura (0,15%) para o As calculado; 
 considerando um momento fletor solicitante de cálculo igual ao dobro de 24,4 kNm, sem a 
verificação da taxa mínima de armadura para o As calculado. 
■ 
5.15 DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS 
5.15.1 DIMENSÕES LIMITES 
As vigas de concreto armado, de modo geral, não devem possuir largura inferior a 12 cm. 
ABNT NBR 6118, item 13.2.2: 
”A