Semelhança de Triângulos e Relações métrica no triângulo retângulo

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Autoria: Yerko Echeverría A.
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Autoria: Yerko Echeverría A.
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Importante
Este material apresenta semelhança de triângulos logo no início mas seu objetivo é favorecer a aplicação dos conhecimentos de semelhança na apresentação das relações métricas no triângulo retângulo. Assim, não são apresentados os conhecidos “casos de semelhança”, por exemplo. A abordagem utilizada para este tema é “ângulos iguais e lados proporcionais”.
Alguns slides possuem anotações com observações e justificativas para a utilização do mesmo.
Os slides de 13 a 16 estão elaborados de forma que o professor possa entregá-los a seus alunos para que eles deduzam as relações métricas a partir de semelhança de triângulos. Esses slides podem ser impressos no próprio Powerpoint em uma única folha.
Os ângulos retos apresentados nas figuras não apresentam o “ponto” dentro do quadrado. Os desenhos, em sua maioria, foram feitos em Geogebra e esta opção não está disponível no software.
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O conceito de semelhança
Ampliando e reduzindo figuras simples:
Autoria: Yerko Echeverría A.
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Definição de polígonos semelhantes
Dois polígonos são semelhantes quando satisfazem, simultaneamente, duas condições:
As medidas dos lados que se correspondem são proporcionais.
As medidas dos ângulos que se correspondem são iguais.
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Polígonos semelhantes
Polígonos semelhantes: ângulos “iguais” e lados proporcionais.
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Semelhança de triângulos
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Semelhança de triângulos
Polígono qualquer: corte paralelo a um dos lados determina ângulos iguais, mas lados não necessariamente proporcionais
Triângulo qualquer: corte paralelo a um dos lados determina ângulos iguais e lados proporcionais.
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A forma de um triângulo fica completamente definida quando são conhecidos os seus ângulos.
Na verdade, a forma de um triângulo fica completamente definida quando são conhecidos 2 de seus 3 ângulos.
Semelhança de triângulos
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Ou seja, se dois triângulos possuem dois ângulos iguais, o terceiro ângulo de ambos também é igual. 
Neste caso, os ângulos
Pois a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º
Semelhança de triângulos
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Se os dois triângulos possuem (dois) ângulos iguais então, consequentemente, possuem lados proporcionais.
Semelhança de triângulos
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Construindo figuras semelhantes utilizando Homotetia
Homotetia: obtemos figuras semelhantes, semelhantemente dispostas.
A palavra homotetia vem do grego homós-igual + thétós-colocado + ia
Autoria: Yerko Echeverría A.
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Semelhança e homotetia
Polígonos semelhantes e homotéticos (semelhantemente dispostos)
Polígonos semelhantes
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Relações métricas no triângulo retângulo (EXERCÍCIOS)
Semelhança
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Relações métricas no triângulo retângulo
 Medidas:
a: hipotenusa
b: maior cateto
c: menor cateto
h: altura relativa à 
 hipotenusa
m: projeção do cateto b
n: projeção do cateto c
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Relações métricas no triângulo retângulo
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Relações métricas no triângulo retângulo
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Relações métricas no triângulo retângulo
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Relações métricas no triângulo retângulo
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Relações métricas no triângulo retângulo
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Relações métricas no triângulo retângulo
Autoria: Yerko Echeverría A.
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Note que, do triângulo anterior, derivam dois outros triângulos que determinam as relações métricas: 
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos
Sendo assim, por semelhança de triângulos, temos:
 Teorema de Pitágoras: 
c
h
n
m
h
b
c
n
m
h
b
A
B
C
D
A’
A’’
B
C
C
D
a
b2 = ma
c2 = na
h2 = mn
ah = bc
a2 = b2 + c2
Autoria: Yerko Echeverría A.
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Conhecendo apenas duas medidas no triângulo retângulo, é possível descobrir as outras quatro aplicando as relações métricas vistas anteriormente. 
Exemplo:
Use as relações métricas do triângulo retângulo para encontrar as medidas desconhecidas da figura abaixo:
Note que todas as medidas desconhecidas foram encontradas por meio das relações métricas demonstradas anteriormente.
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos
c
n
9,6m
h
12m
B
C
D
a
A
c2 = na
c2 = 15.5,4
c2 = 81
c2 = 9m
h2 = mn
h2 = 9,6.5.4
h2 = 7,2n
b2 = ma
122 = 9,6a
a = 144/9,6
a = 15m
a = m + n
15 = 9,6 + n
n = 19 - 9,6
n = 5,4m
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AMINTAS PAIVA AFONSO
TEOREMA DE EUCLIDES
Autoria: Yerko Echeverría A.
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1º ALGO DE HISTÓRIA
Euclides (século III – II, A.C.)
Grande matemático grego, escreveu uma série de livros onde sintetizava todos os conhecimentos matemáticos conhecidos até então.
Os mais notáveis são os “Elementos”, treze volumes que tratam de proporções aritméticas, geometria plana e geometria do espaço. Os Elementos de Euclides se utilizaram como texto durante 2.000 anos, e incluso hoje, uma versão modificada de seus primeiros livros constitui a base do ensino da geometria plana nas escolas secundárias. A primeira edição impressa das obras de Euclides que apareceu em Veneza em 1482, foi uma tradução do árabe para o latim.
Autoria: Yerko Echeverría A.
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2º TRIÂNGULO RETÂNGULO
C
D
B
A
Cateto b
Cateto a
 Hipotenusa c
 q
 p
 Altura h
Autoria: Yerko Echeverría A.
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3º TEOREMA DE EUCLIDES
Em todo triângulo retângulo:
O quadrado da altura sobre a hipotenusa é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa: 
O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção do cateto sobre a hipotenusa:
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4º DEMOSTRAÇÃO
Autoria: Yerko Echeverría A.
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4º DEMOSTRAÇÃO
Autoria: Yerko Echeverría A.
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4º DEMOSTRAÇÃO
Autoria: Yerko Echeverría A.
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5º TEOREMA DE PITÁGORAS 
Autoria: Yerko Echeverría A.
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6º EXERCÍCIOS
Os lados de um triângulo retângulo medem 3, 4 e 5 cm. Calcule a altura sobre a hipotenusa de duas projeções dos catetos.
Autoria: Yerko Echeverría A.
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6º EXERCÍCIOS
Quanto devem medir as vigas de um teto se ambas devem ser iguais e formar 90º, também se a largura do telhado é 4 m? Que altura tem o teto?
Autoria: Yerko Echeverría A.
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Este slide apresenta um retângulo e duas “ampliações” dele. 
Uma característica que muitos alunos percebem rapidamente: os lados “aumentaram”, “dobraram”, “triplicaram”, etc. Uma ideia muito importante e que precisa ser ressaltada: há proporção entre os lados.
Uma característica que muitos alunos não percebem e que é fundamental nesse momento: os ângulos correspondentes continuaram iguais!
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Apenas um exemplo no qual a razão de semelhança é 2. 
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Este slide apresenta um exemplo de criação de polígonos semelhantes por homotetia. Pode ser utilizado para detalhar o processo. O próximo slide está em branco para que possa ser utilizado pelos alunos e/ou pelo professor.
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Slide em branco para que possa ser utilizado pelos aluno e/ou pelo professor
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A proposta deste slide é contribuir para que o aluno perceba que polígonos semelhantes podem ou não ser homotéticos, ou seja, podem ou não estar semelhantemente dispostos.
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A partir deste slide são apresentados os casos de relações métricas no triângulo retângulo.
Os casos são direcionados para a dedução das relações. O primeiro caso é apresentado de forma completa, com as figuras, proporções e a dedução da relação. Os demais são apresentados de forma incompleta, para que o aluno possa responder.
O gabaritoé apresentado a partir do slide 17.
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