Apostila de Estatística (8 páginas, 37 questões)

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PROF. GILBERTO SANTOS JR
 ESTATÍSTICA
 
1 . INTRODUÇÃO 
O uso da pesquisa é bastante comum nas 
várias atividades humanas, por exemplos: 
 As indústrias fazem pesquisa entre os consu-
midores para o lançamento de um novo produ-
to; 
 As pesquisas eleitorais fornecem elementos pa-
ra que os candidatos direcionem a campanha; 
 Emissoras de TV fazem pesquisas que determi-
nam em suas programações. 
A realização de uma pesquisa envolve mui-
tas etapas, como a escolha da amostra, a coleta 
e organização dos dados, o resumo desses dados 
(em tabelas, gráficos, etc.) e a interpretação dos 
resultados. 
 
2 . TERMOS DE PESQUISA ESTATÍSTICA 
2.1 População e amostra 
Se quisermos saber, por exemplo, qual a 
matéria favorita entre os alunos de uma classe, 
podemos consultar todos os alunos da classe. No 
entanto, isso não é possível quando queremos 
pesquisar sobre a intenção de voto dos eleitores 
do Estado do Pará, que constituem a população 
ou universo estatístico. 
Recorremos, então, ao que se chama de 
amostra, ou seja, um grupo de eleitores que, 
consultados, permitem que se chegue ao resultado 
mais próximo possível da realidade. 
 
2.2 Frequência absoluta 
É o número de vezes que um valor da vari-
ável é citado. 
 
2.3 Frequência relativa 
Registra a frequência absoluta em relação 
ao total de citações. 
 
Exemplo: Pedro: brasileiro; Ana: brasileira; Ra-
món: espanhol; Laura: espanhola; Cláudia: brasi-
leira; Sérgio: brasileiro; Raúl: argentino; Nélson: 
brasileiro; Sílvia: brasileira; Pablo: espanhol. Nes-
se exemplo a variável é ”nacionalidade” e a fre-
quência absoluta de cada um de seus valores é: 
 Brasileiros: 6 
 Espanhóis: 3 
 Argentino: 1 
 Total: 10 
A frequência relativa da nacionalidade: 
 Brasileiros: 6 em 10 ou 
6
10
 ou 60% 
 
 Espanhóis: 3 em 10 ou 
3
10
 ou 30% 
 
 Argentino: 1 em 10 ou 
1
10
 ou 10% 
 
3 . TABELA DE FREQUÊNCIA 
É a tabela que mostra a variável, seus valo-
res e as frequências absoluta (FA) e relativa 
(FR). Assim, continuando com o mesmo exemplo, 
temos: 
Nacionalidade FA FR 
Brasileira 6 60% 
Espanhola 3 30% 
Argentina 1 10% 
Total 10 100% 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) Um grupo de alunos foi consultado sobre o 
time paulista de sua preferência, e os votos foram 
registrados assim: 
 
Santos 
Palmeiras 
Corinthians
São Paulo 
 
Construa a tabela de frequência correspon-
dente a essa pesquisa. 
 
2) Um grupo de pessoas foi consultado dos quais 
foram registrados a idade (em anos): 
Alberto, 14; Alexandre, 14; Carlos, 16; Cláudio, 
15; Eduardo, 14; Flávio, 15; Geraldo, 14; Gilberto, 
15; Hélio, 14; José Carlos, 16; José Luís, 14; Lú-
cio, 14; Marcos, 15; Mário, 14; Maurício, 16; Mil-
ton, 14; Renato, 14; Roberto, 15; Saul, 14; Sérgio, 
14. Elabore uma tabela de frequência da variável 
“idade”. 
 
EXERCÍCIO DE VESTIBULAR 
3)(Enem-2012) Uma pesquisa realizada por 
estudantes da Faculdade de Estatística mostra, em 
horas por dia, como os jovens entre 12 e 18 anos 
gastam seu tempo, tanto durante a semana (de 
segunda-feira a sexta-feira), como no fim de 
semana (sábado e domingo). A seguinte tabela 
ilustra os resultados da pesquisa. 
 
 
 
De acordo com esta pesquisa, quantas 
horas de seu tempo gasta um jovem entre 12 e 18 
anos, na semana inteira (de segunda-feira a 
domingo), nas atividades escolares? 
 
(a) 20 (b) 21 (c) 24 (d) 25 (e) 27 
2 
4 . REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
4.1 Gráfico de segmentos ou linha 
A tabela que segue mostra a venda de li-
vros em uma livraria no 2º semestre de determi-
nado ano. 
 
Meses do 2º 
Semestre 
JUL AGO SET OUT NOV DEZ 
Nº de livros 
vendidos 
350 300 400 400 450 500 
 
Escrevendo em pares ordenados (julho, 
350), (Agosto, 300), (Setembro, 400), ... Usando 
eixos cartesianos, localizamos os seis pares orde-
nados e construímos um gráfico de segmentos. 
 
 
 
A posição de cada segmento indica cresci-
mento, decréscimo ou estabilidade. Já a inclinação 
do segmento sinaliza a intensidade do crescimento 
ou decrescimento. 
Observando o gráfico anterior, concluímos 
que: 
 Julho para Agosto as vendas caíram; 
 Agosto para Setembro as vendas cresceram; 
 Setembro para Outubro as vendas permanece-
ram estáveis; 
 Outubro para Novembro as vendas cresceram; 
 Novembro para Dezembro as vendas cresce-
ram; 
 O crescimento de Agosto para Setembro foi 
maior do que o para Novembro a Dezembro. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
4) Utilize o gráfico de segmentos do exemplo da-
do (venda de livro) e responda: 
a) Em que período do segundo semestre as ven-
das subiram? 
b) Em qual destes dois meses as vendas foram 
maiores Julho ou Outubro? 
c) Em que mês do semestre as vendas foram me-
nores? 
d) Em que mês foram vendidos 450 livros? 
 
5) Um aluno apresentou durante o ano letivo o 
seguinte aproveitamento: primeiro bimestre: nota 
7; segundo bimestre: nota 6; terceiro bimestre: 
nota 8; e quarto bimestre: nota 8. Construa um 
gráfico de segmentos correspondente a essa situa-
ção e, a partir dele, tire algumas conclusões. 
 
6) Uma professora anotou o número de faltas dos 
alunos, durante um semestre, de acordo com os 
dias da semana. Observe as anotações: segunda-
feira: 64 faltas; terça-feira: 32; quarta-feira: 32; 
quinta-feira: 48; sexta-feira: 60. 
a) Construa o gráfico de segmentos. 
b) Os alunos faltam mais em que dia da semana? 
c) Quais são os dias que os alunos menos faltam? 
d) Qual o período crescente (que aumentaram) o 
número de faltas? 
e) Qual o período decrescente (que diminuíram) o 
número de faltas? 
f) Qual o período estável de número de faltas. 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
7)(Enem-2015) Doenças relacionadas ao sane-
amento ambiental inadequado (DRSAI) podem 
está associados ao abastecimento deficientes de 
água, tratamento inadequado de esgoto sanitário, 
contaminação por resíduos sólidos ou condições 
precárias de moradia. O gráfico apresenta o nú-
mero de casos de duas DRSAI de uma cidade: 
 
 
 
O mês em que se tem a maior diferença entre o 
número de casos das doenças de tipo A e B é 
 
(a) Janeiro (c) Julho (e) Novembro 
 
(b) Abril (d) Setembro 
 
8)(Enem-MEC) Um estudo sobre o problema do 
desemprego na Grande São Paulo, no período 
1985-1996, realizado pelo SEADE-DIEESE, apresen-
tou o seguinte gráfico sobre taxa de desemprego. 
 
 
 
Pela análise do gráfico, é correto afirmar 
que, no período considerado, 
(a) a maior taxa de desemprego foi de 14%. 
(b) a taxa de desemprego no ano de 1995 foi a 
menor do período. 
3 
(c) a partir de 1992, a taxa de desemprego foi 
decrescente. 
(d) no período 1985-1996, a taxa de desemprego 
esteve entre 8% e 16%. 
(e) a taxa de desemprego foi crescente no período 
compreendido entre 1988 e 1991. 
 
4.2 Gráfico de barras 
A partir do “desempenho em Química” de-
monstrado pelos alunos de uma classe, um pro-
fessor elaborou a seguinte tabela: 
 
Desempenho em Química FA FR 
Insuficiente 6 15% 
Regular 10 25% 
Bom 14 35% 
Ótimo 10 25% 
Total 40 100% 
 
Com os dados da tabela é possível construir 
o gráfico de barras: 
 
 
 
Em geral, utiliza-se o gráfico de barras para 
comparar as frequências dos valores de uma 
mesma variável em um determinado momento. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
9) Durante uma hora foram anotados os tipos de 
veículos que passaram pela rua onde está situada 
uma escola e conseguiram-se os seguintes dados: 
T, T, T, M, A, T, T, M, T, B, B, T, T, A, T, T, C, T, 
M, T, T, T, C, B, T, T, T, T, T, A, T, T, T, M, C, T, T, 
T, T, B, T, T, M, B, A (M: motocicletas; C: cami-
nhão; B:bicicleta; A: ambulância; T: carro). 
Construa um gráfico de barras que corresponda a 
essa pesquisa. 
 
10) Em uma eleição para representante de clas-
se, os candidatos foram Ricardo, Paula e Fausto. 
Observe o resultado da votação no gráfico de bar-
ras, em que estão especificados os votos das mu-
lheres e dos homens, e, em seguida, responda: 
a) Quantos alunos votaram? Desses, quantas mu-
lheres e quantos homens? 
b) Quantos votos obteve a candidata Paula? 
c) Quantas mulheres votaram em Ricardo? 
d) Qual a porcentagem de votos recebidos por 
Fausto? 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
11)(Enem-2016) Uma empresa registrou seu 
desempenho em determinado ano por meio do 
gráfico, com dados mensais do total de vendas e 
despesas. 
 
 
 
O lucro mensal é obtido pela subtração en-
tre o total de vendas e despesas, nessa ordem. 
Quais os três meses do ano em que foram 
registrados os maiores lucros? 
(a) Julho, setembro e dezembro. 
(b) Julho, setembro e novembro. 
(c) Abril, setembro e novembro. 
(d) Janeiro, setembro e dezembro. 
(e) Janeiro, abril e junho. 
 
12)(Enem-2013) A Cidade de Guarulhos (SP) 
tem o 8º PIB municipal do Brasil, além do maior 
aeroporto da América do Sul. Em proporção, pos-
sui a economia que mais cresce em indústrias, 
conforme mostra o gráfico. 
 
 
 
Analisando os dados percentuais do gráfico, 
qual a diferença entre o maior e o menor centro 
em crescimento no polo das indústrias? 
 
4 
(a) 75,28 (b) 64,09 (c) 56,95 (d) 45,76 (e) 30,07 
 
13)(Enem-2016) A diretoria empresa de alimen-
to resolve apresentar para seus acionistas uma 
proposta de novo produto. Nessa reunião, foram 
apresentadas as notas médias dadas por um gru-
po de consumidores que experimentaram o novo 
produto e dois produtos similares concorrentes (A 
e B). 
 
 
A característica que dá a maior vantagem 
relativa ao produto proposto e que pode ser usa-
da, pela diretoria, para incentivar a produção é a 
 
(a) textura (c) tamanho (e) odor 
 
(b) cor (d) sabor 
 
14)(UEPA-2008) No mês de setembro passado, 
aconteceu em todo Brasil a Semana do Trânsito. 
Levantamentos diversos foram apresentados à 
sociedade. Os números do trânsito são alarman-
tes. De 1980 a 2000 foram registradas mais de 600 
000 mortes no trânsito, devido a ruas mal conser-
vadas, sinalizações deficientes e motoristas embri-
agados. Preocupado com os constantes problemas, 
um técnico do Detran, fez uma verificação em um 
semáforo de um cruzamento de vias. Após contar 
várias vezes a quantidade de veículos que atra-
vessaram o cruzamento com o sinal aberto, regis-
trou esses dados no gráfico abaixo: 
 
 
 
Com base no gráfico, é correto afirmar que: 
(a) nos 10 primeiros segundos, 12 carros 
atravessaram o sinal. 
(b) nos 20 primeiros segundos, 12 carros 
atravessaram o sinal. 
(c) nos 30 primeiros segundos, 24 carros 
atravessaram o sinal. 
(d) nos 30 primeiros segundos, 34 carros 
atravessaram o sinal. 
(e) até o sinal fechar, 34 carros haviam 
atravessado o sinal. 
 
4.3 Gráfico de setores ou pizza 
Em um shopping Center há três salas de ci-
nema e o número de espectadores em cada uma 
delas num determinado dia da semana foi de 300 
na sala A, 200 na B e 500 na C. 
Veja essa situação representada em uma 
tabela de frequências e depois em um gráfico de 
setores: 
 
 
Sala FA FR 
A 300 
300
1000
=
30
100
 30% 
B 200 
200
1000
=
20
100
 20% 
C 500 
500
1000
=
50
100
 50% 
 
 
 
No gráfico de setores o círculo todo indica o 
total (1000 espectadores ou 100%) e cada setor 
indica a ocupação de uma sala. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
15) Em uma eleição concorreram os candidatos A, 
B e C e, apurada a primeira urna, os votos foram 
os seguintes, A: 50 votos; B: 80 votos; C: 60 vo-
tos; brancos e nulos (BN): 10 votos. A partir des-
ses dados construa: 
a) a tabela de frequência dessa variável; 
b) o gráfico de barras, relacionando os valores da 
variável com as respectivas frequências relativas; 
c) o gráfico de setores, relacionando os valores da 
variável com suas porcentagens. 
 
16) Luísa é muito organizada e para mostrar 
quanto tempo gasta com suas atividades construiu 
um gráfico de setores. Observe o gráfico e res-
ponda: 
a) Quantas horas por dia Luísa estuda em casa? 
b) Que porcentagem do dia ela gasta para dormir? 
c) Construa o gráfico de barras correspondente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
17)(Enem-2013) Casado e independente 
Um novo levantamento do IBGE mostra que o 
número de casamentos entre pessoas na faixa dos 
60 anos cresce, desde 2003, a um ritmo 60% que o 
observado na população brasileira como todo 
 
 
 
Os gráficos expõem dados de estatística 
por meio de linguagem verbal e não verbal. No 
texto, o uso desse recurso: 
(a) exemplifica o aumento da expectativa de vida 
da população. 
(b) explica o crescimento da confiança na institui-
ção do casamento. 
(c) mostra que a população brasileira aumentou 
nos últimos cinco anos. 
(d) indica que as taxas de casamento e emprego 
cresceram na mesma proporção. 
(e) sintetiza o crescente número de casamentos e 
de ocupação no mercado de trabalho. 
 
18)(UEPA-2010) A emissão de certidão negativa 
de débitos, ilustrada no gráfico abaixo, evidencia 
as duas modalidades disponibilizadas pela receita 
federal. Considerando que, em 2006, foram 
emitidas 12 milhões de CND, então o número de 
CND’s emitidas pela internet foi de: 
 
 
 
(a) 8,34 milhões (d) 10,85 milhões 
 
(b) 9,76 milhões (e) 11,64 milhões 
 
(c) 10,15 milhões 
 
5 . MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
A partir das idades das pessoas de um gru-
po, podemos estabelecer uma única idade que 
caracteriza o grupo todo. 
Considerando as temperaturas de vários 
momentos em um mês qualquer, podemos deter-
minar uma só temperatura que dá uma ideia de 
todo o período. 
Avaliando as notas de um aluno no bimes-
tre, podemos registrar com apenas uma nota seu 
aproveitamento. 
Em situações como essas, o número obtido 
é a medida da tendência central dos vários 
números usados. A média aritmética é a mais co-
nhecida entre as medidas de tendência central. 
Além dela, vamos estudar também a mediana e a 
moda. 
 
5.1 Média aritmética (MA) 
 
Exemplos: 
a) Considerando um grupo de pessoas com idades 
22, 20, 21, 24 e 20 anos. Calcular a média aritmé-
tica das idades. 
 
Resolução: 
 
MA =
22 + 20 + 21 + 24 + 20
5
=
107
5
= 21,4 
 
Dizemos, então, que a média aritmética ou 
simplesmente a média de idade do grupo é 21,4 
anos. 
 
b) Se, ao medir de hora em hora a temperatura 
em determinado local, registraram-se 14 °C às 6h, 
15 °C às 7h, 15 °C às 8h, 18 °C às 9h, 20 °C às 10h, 
e 23 °C às 11h. Calcular a média aritmética das 
temperaturas. 
 
Resolução: 
 
MA =
14 + 15 + 15 + 18 + 20 + 23
6
=
105
6
= 17,5 
 
Dizemos, então, que no período das 6h às 
11h a temperatura média foi 17,5 °C. 
 
c) No caso de um aluno que realizou diversos tra-
balhos durante o bimestre e obteve as notas 7,5; 
8,5; 10,0 e 7,0. Calcular a média bimestral do alu-
no. 
 
Resolução: 
 
MA =
7,5 + 8,5 + 10,0 + 7,0
4
=
33
4
= 8,25 
 
Dizemos, então, que nesse bimestre o alu-
no teve média 8,25. 
 
5.2 Média ponderada (MP) 
Média ponderada é um caso de média com 
pesos diferentes, isto é, com graus de impor-
tância diferentes das parcelas envolvidas. 
 
Exemplo: Um aluno que realiza vários trabalhos 
com graus de importância diferentes no decorrer 
do bimestre, ele obteve 6,5 na prova (peso 2), 7,0 
na pesquisa (peso 3),6,0 no debate (peso 1) e 7,0 
no trabalho de equipe (peso 2). A sua média, nes-
te caso, é chamada média aritmética pondera-
da. Calcular a sua média ponderada. 
 
Resolução: 
 
MP = 
2 ∙ 6,5 + 3 ∙ 7,0 + 1 ∙ 6,0 + 2 ∙ 7,0
2 + 3 + 1 + 2
= 
 
 
6 
 = 
13 + 21 + 6 + 14
8
=
54
8
= 6,75 
 
Dizemos, então, que nesse bimestre o alu-
no teve média 6,75. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
19) Um time de futebol realizou algumas partidas 
e os resultados foram 3 a 1, 4 a 2, 1 a 1, 0 a 0, 3 a 
2, 2 a 1 e 1 a 0. Sabendo que o time não perdeu 
nenhuma partida, calcule a média aritmética dos 
gols: 
a) marcados; 
b) sofridos. 
 
20) Se um aluno já fez dois trabalhos e obteve 
8,5 e 5,0, qual deve ser a nota do terceiro trabalho 
para que a média aritmética dos três seja 7,0? 
 
21) Qual é a média de idade de um grupo em que 
há 6 pessoas de 14 anos, 9 pessoas de 20 e 5 pes-
soas de 16 anos? 
 
22) Calcule a média aritmética ponderada de um 
aluno que obteve no bimestre 8,0 na prova (peso 
2), 7,0 na pesquisa (peso 3), 9,0 no debate (peso 
1) e 5,0 no trabalho de equipe (peso 2). 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
23)(Enem-2016) Em uma cidade, o número de 
casos de dengue confirmados aumentou conside-
ravelmente nos últimos dias. A prefeitura resolveu 
desenvolver uma ação contratando funcionários 
para ajudar no combate à doença, os quais orien-
tarão os moradores a eliminarem criadouros do 
mosquito Aedes aegyti, transmissor da dengue. A 
tabela apresenta o número atual de casos confir-
mados, por região da cidade. 
 
 
 
A prefeitura optou pela seguinte distribui-
ção dos funcionários a serem contratados: 
 10 funcionários para cada região da cidade cujo 
número de casos seja maior que a média dos 
casos confirmados. 
 7 funcionários para cada região da cidade cujo 
número de casos seja menor ou igual à média 
dos casos confirmados. 
Quantos funcionários a prefeitura deverá 
contratar para efetivar a ação? 
 
(a) 59 (b) 65 (c) 68 (d) 71 (e) 80 
 
24)(Enem-2016) A permanência de uma geren-
te de uma empresa está condicionada à sua pro-
dução no semestre. Essa produção é avaliada pela 
média do lucro mensal do semestre. Se a média 
for, no mínimo, de 30 mil reais, o gerente perma-
nece no cargo, caso contrário, ele será despedido. 
O quadro mostra o lucro mensal, em milhares de 
reais, dessa empresa, de janeiro a maio do ano 
em curso. 
 
 
 
Qual deve ser o lucro mínimo da empresa 
no mês de junho, em milhares de reais, para o 
gerente continuar no cargo no próximo semestre? 
 
(a) 26 (b) 29 (c) 30 (d) 31 (e) 35 
 
25)(Enem-2016) Preocupada com seus resulta-
dos, uma empresa fez um balanço dos lucros obti-
dos nos últimos sete meses, conforme quadro 
abaixo. 
 
 
 
Avaliando os resultados, o conselho diretor 
da empresa decidiu comprar, nos dois meses sub-
sequentes, a mesma quantidade de matéria-prima 
comprada no mês em que o lucro mais se aproxi-
mou da média dos lucros mensais dessa empresa 
nesse período de sete meses. 
Nos próximos dois meses, essa empresa 
deverá comprar a mesma quantidade de matéria-
prima comprada no mês 
 
(a) I. (b) II. (c) IV. (d) V. (e) VII. 
 
26)(Enem-2016) O gráfico mostra a média de 
produção diária de petróleo no Brasil, em milhão 
de barris, no período de 2004 a 2010. 
 
 
 
Estimativas feitas naquela época indicavam 
que a média de produção diária de petróleo no 
Brasil, em 2012, seria 10% superior à média dos 
três últimos anos apresentados no gráfico. 
Disponível em: http://blogs.estadao.com.br. Acesso em: 2 ago. 2012. 
Se essas estimativas tivessem sido confir-
madas, a média de produção diária de petróleo no 
Brasil, em milhão de barris, em 2012, teria sido 
igual a 
 
(a) 1,940 (b) 2,134 (c) 2,167 (d) 2,420 (e) 6,402 
 
27)(Enem-2015) Cinco amigos marcaram uma 
viagem à praia em dezembro. Para economizar, 
combinaram de ir num único carro. Cada amigo 
anotou quantos quilômetros seu carro fez, em 
média, por litro de gasolina, nos meses de setem-
bro, outubro e novembro. Ao final desse trimestre, 
calcularam a média dos três valores obtidos para 
escolher o carro mais econômico, ou seja, o que 
7 
teve a maior média. Os dados estão representados 
na tabela: 
 
 
 
Qual carro os amigos deverão escolher para 
a viagem? 
 
(a) I. (b) II. (c) III. (d) IV. (e) V. 
 
28)(Enem-2013) As notas de um professor que 
participou de um processo seletivo, em que a ban-
ca avaliadora era composta por cinco membros, 
são apresentadas no gráfico. Sabe-se que cada 
membro da banca atribuiu duas notas ao profes-
sor, uma relativa aos conhecimentos específicos 
da área de atuação e outra, aos conhecimentos 
pedagógicos, e que a média final do professor foi 
dada pela média aritmética de todas as notas 
atribuídas pela banca avaliadora. 
 
 
 
Utilizando um novo critério, essa banca 
avaliadora resolveu descartar a maior e a menor 
nota atribuídas ao professor. 
A nova média, em relação à média anterior, é 
 
(a) 0,25 ponto maior. (d) 1,25 ponto maior. 
 
(b) 1,00 ponto maior. (e) 2,00 pontos menor. 
 
(c) 1,00 ponto menor. 
(Veja a resolução dessa questão ) 
5.3 Moda (Mo) 
Em estatística, moda é a medida de ten-
dência central definida como o valor mais frequen-
te de um grupo de valores observado. 
No exemplo do grupo de pessoas com ida-
des de 2, 3, 2, 1, 2 e 50 anos, a moda é 2 anos 
(Mo = 2) e demonstra mais eficiência para caracte-
rizar o grupo que a média aritmética. 
Se a temperatura medida de hora em hora, 
das 6h às 11h, apresentou os resultados 14 °C, 15 
°C, 15 °C, 18 °C, 20 °C e 25 °C, então dizemos que 
nesse período a moda foi 15 °C, ou seja, Mo = 15 
°C. 
Se as notas obtidas por um aluno foram 
6,0; 7,5; 7,5; 5,0 e 6,0, dizemos que a moda é 6,0 e 
7,5 e que a distribuição é bimodal. 
 
Observação: Quando não há repetição de núme-
ros, como, por exemplo, para os números 7, 9, 4, 
5 e 8, não há moda (amodal). 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
29) Considere os números 126, 130, 126 e 102 e 
calcule: 
a) a média aritmética (MA); 
b) A média ponderada (MP), com pesos 2, 3, 1 e 
2, respectivamente; 
c) a moda (Mo). 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
30)(Enem-2016) Ao iniciar as suas atividades, 
um ascensorista registra tanto o número de pes-
soas que entram quanto o número de pessoas que 
saem do elevador em cada um dos andares do 
edifício onde ele trabalha. O quadro apresenta os 
registros do ascensorista durante a primeira subi-
da do térreo, de onde partem ele e mais três pes-
soas, ao quinto andar do edifício. 
 
Número de 
pessoas 
Térreo 
1º 
andar 
2º 
andar 
3º 
andar 
4º 
andar 
5º 
andar 
Que entram no 
elevador 
4 4 1 2 2 2 
Que saem do 
elevador 0 3 1 2 0 6 
 
Com base no quadro, qual é a moda do 
número de pessoas no elevador durante a subida 
do térreo ao quinto andar? 
 
(a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5 (e) 6 
 
31)(Enem-2015) Uma pessoa, ao fazer uma 
pesquisa com alguns alunos de um curso, coletou 
as idades dos entrevistados e organizou esses da-
dos em um gráfico. 
 
 
 
Qual a moda das idades, em anos, dos en-
trevistados? 
 
(a) 9 (b) 12 (c) 13 (d) 15 (e) 21 
 
5.4 Mediana (Me) 
A mediana é outra medida de tendência 
central. 
Assim, dados n números em ordem cres-
cente ou decrescente, a mediana será: 
 O número que ocupar a posição central se n for 
ímpar; 
 A média aritmética dos dois números que esti-
verem no centro se n for par. 
 
Exemplos: 
a) Numa classe, foram anotadas as faltas durante 
um período de 15 dias: 3, 5, 2, 0, 2, 1, 3, 4, 5, 7, 
0, 2, 3, 4 e 7. Calcular a mediana de faltas. 
 
 
8Resolução: 
 
Primeiro colocamos em ordem crescente 
(ou decrescente) os números dados. Segue: 
 
0,0,1,2,2,2,3⏟ 
7 valores
, 3, 3,4,4,5,5,7,7⏟ 
7 valores
 
 
A quantidade de termos é 15, portanto ím-
par, o termo médio é o 8°, que é o do meio, ou 
ainda 
15+1
2
 = 8. 
Logo a mediana são 3 faltas. Simbolica-
mente, Me = 3. 
 
b) As idades dos alunos de uma equipe são 12, 
16, 14, 12, 13, 16, 16 e 17 anos. Calcular a media-
na das idades. 
 
Resolução: 
 
Inicialmente colocamos em ordem crescen-
te (ou decrescente): 
 
12,12,13, 14,16,⏟ 
dois
valores
centrais
16,16,17 
 
Como temos uma quantidade par de valo-
res (8), fazemos a média aritmética entre os dois 
centrais, que são o 4° e o 5° termos: 
 
Me = 
14+16
2
 = 
30
2
 = 15 
 
Simbolicamente, Me = 15 anos. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
32) Durante os sete primeiros jogos de um cam-
peonato, um time marcou, respectivamente, 3, 2, 
1, 1, 4, 3 e 2 gols. Determine: 
a) a média de gols por partida (MA); 
b) a moda (Mo); 
c) a mediana (Me). 
 
33) De segunda-feira a sábado, os gastos de ali-
mentação de uma pessoa foram 15, 13, 12, 10, 14 
e 14 reais. Determine: 
a) a média diária de gastos (MA); 
b) a moda (Mo); 
c) a mediana (Me). 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
34)(Enem-2016) Uma pessoa está disputando 
um processo de seleção para uma vaga de empre-
go em um escritório. Em uma das etapas desse 
processo, ela tem de digitar oito textos. A quanti-
dade de erros dessa pessoa, em cada um dos tex-
tos digitados, é dada na tabela. 
 
 
 
Nessa etapa do processo de seleção, os 
candidatos serão avaliados pelo valor da mediana 
do número de erros. 
A mediana do número de erros cometidos 
por uma pessoa é igual a 
 
(a) 2 (b) 2,5 (c) 3 (d) 3,5 (e) 4 
 
35)(Enem-2015) Em uma seletiva para a final 
dos 100 m livres de natação, numa olimpíada, os 
atletas, em suas respectivas raias, obtiveram o 
seguinte tempo: 
 
 
 
A mediana dos tempos apresentados nos 
quadros é 
 
(a) 20,70 (b) 20,77 (c) 20,80 (d) 20,85 (e) 20,90 
(Veja a resolução dessa questão ) 
36)(Enem-2014) Os candidatos K, L, M, N e P 
estão disputando uma única vaga de emprego em 
uma empresa e fizeram prova de português, 
matemática, direito e informática. A tabela 
apresenta as notas obtidas pelos cinco candidatos. 
 
 
 
Segundo o edital de seleção, o candidato 
aprovado será aquele para o qual a mediana das 
notas obtidas por ele nas quatro disciplinas for a 
maior. O candidato aprovado será 
 
(a) K. (b) L. (c) M. (d) N. (e) P. 
 
37)(UEPA-2014) As empresas aéreas brasileiras 
reduziram as ofertas de voos nos últimos anos em 
função dos gastos com o combustível. Na tabela 
abaixo, encontra-se a variação do aumento de 
preço do litro do querosene de aviação. 
 
Ano 2008 2009 2010 2011 2012 2013 
Preço 
(R$) 
1,44 1,40 1,56 1,92 2,26 2,50 
Fonte: Revista veja, 4 Setembro de 2013. 
 
O valor da mediana em relação ao preço do 
litro do querosene é: 
 
(a) 1,66 (b) 1,74 (c) 1,85 (d) 1,97 (e) 2,12 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila atualizada em 22/8/2018 
 
 
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Referências 
 
DANTE, L.R. Matemática: Contexto & Aplicações. 1. Ed. São 
Paulo: Ática, 2000, v.1.