Notas de aula de Probabilidade e Estatística

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Universidade Federal de Mato Grosso
Instituto de Ciências Exatas e da Terra
Departamento de Estatística
Notas de aula de Probabilidade e Estatística
Anderson Castro Soares de Oliveira
2011
SUMÁRIO
1 Introdução 4
1.1 Amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Amostragem Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Amostragem Sistemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Amostragem Estratificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Método Estatístico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Estatística Descritiva 9
2.1 Tipo de Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Variáveis Qualitativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Variáveis Quantitativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Medidas de Posição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.1 Média Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.1.1Propriedades da média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.2 Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.3 Moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.4 Comparação entre Média, Mediana e Moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.5 Simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.6 Separatrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.6.1Quartis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.6.2Percentis ou Centis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.7 Dados agrupados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.7.1Média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.7.2Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.7.3Moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.7.4Quartil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.7.5Percentil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.7.6Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 Boxplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6 Medidas de dispersão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6.1 Amplitude Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6.2 Variância e Desvio Padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6.2.1Propriedades da Variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6.2.2Propriedades do Desvio Padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6.3 Coeficiente de Variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6.4 Erro Padrão da Média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.7 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.7.1 Dados Agrupados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Noções de Probabilidade 35
3.1 Espaço Amostral e Eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.1 Operação com eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.1 Probabilidade Condicional e Independência de Eventos . . . . . . . . . . . . 38
3.2.2 Árvores de probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3 Variável Aleatória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.1 Função de Probabilidade Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.1.1Esperança Matemática e Variância de uma VAD . . . . . . . . . . . . 42
3.3.2 Função de probabilidade contínua ou função de densidade de probabilidade
(fdp). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.2.1Esperança Matemática e Variância de uma fdp . . . . . . . . . . . . . 45
3.4 Distribuições Discretas de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4.1 Distribuição Uniforme Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4.1.1Parâmetros Característicos da Distribuição Uniforme . . . . . . . . . 46
3.4.2 Distribuição Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4.2.1Parâmetros Característicos da Distribuição Uniforme . . . . . . . . . 47
3.4.3 Distribuição Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4.3.1Parâmetros Característicos da Distribuição Binomial . . . . . . . . . 49
3.4.4 Distribuição Hipergeométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4.4.1Parâmetros Característicos da Distribuição Hipergeométrica . . . . . 51
3.4.5 Distribuição Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4.5.1Parâmetros Característicos da Distribuição Geométrica . . . . . . . . 52
3.4.6 Distribuição de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4.6.1Parâmetros Característicos da Distribuição de Poisson . . . . . . . . . 53
3.5 Distribuições Contínuas de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5.1 Distribuição Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5.1.1Parâmetros Característicos da Distribuição Uniforme . . . . . . . . . 56
3.5.2 Distribuição Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5.2.1Parâmetros Característicos da Distribuição Exponencial . . . . . . . . 57
3.5.3 Distribuição Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.5.3.1Aproximação Normal das Distribuições Binomial e de Poisson . . . . 60
3.6 Distribuições Amostrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.6.1 Distribuição Amostral da Média (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.6.1.1Teorema do Limite Central (TLC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.6.1.2Distribuição t de student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.6.2 Distribuição amostral para proporção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.6.3 Distribuição Amostral da Variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.6.3.1Distribuição Qui-Quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.6.3.2Distribuição F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4 Inferência Estatística 74
4.1 Estimação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1.1 Estimação Pontual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1.2 Estimação Intervalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1.2.1 Intervalo de Confiança para proporção p . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1.2.2 Intervalo de Confiança para média µ com variância σ2 conhecida . . . 76
4.1.2.3 Intervalo de Confiança para média µ com variância σ2 desconhecida . 78
4.1.2.4 Intervalo de Confiança para variância σ2 e para o desvio padrão σ . 79
4.2 Teoria da Decisão Estatística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2.1 Teste de Hipótese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2.2 Teste para médias, variância conhecida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2.3 Teste para médias, variância desconhecida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2.4Teste de hipóteses para proporção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2.5 Resumo das etapas aplicadas a qualquer teste de hipóteses . . . . . . . . . 84
4.3 Regressão e Correlação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
1
INTRODUÇÃO
Estatística é um conjunto de conceitos e métodos científicos para coleta, organização, descri-
ção, análise e interpretação de dados experimentais, que permitem conclusões válidas e tomadas
de decisões razoáveis.
Classificação: Usualmente, a estatística se divide em:
• Estatística descritiva - é a parte que tem por objetivo organizar, apresentar e sintetizar
dados observados de determinada população, sem pretenções de tirar conclusões de caráter
extensivo.
• Teoria de probabilidade - objetiva descrever e prever as características de populações infi-
nitas
• Inferência Estatística é a parte que, baseando-se em estudos realizados sobre os dados de
uma amostra, procura inferir, induzir ou verificar leis de comportamento da população da
qual a amostra foi retirada. A estatística inferencial tem sua estrutura fundamentada na
teoria matemática das probabilidades. É, também definida como um conjunto de métodos
para a tomada de decisões.
No estudo da estatística alguns conceitos são importantes:
• População (N) - Conjunto de todos os elementos relativos a um determinado fenômeno que
possuem pelo menos uma característica em comum, a população é o conjunto Universo.
Exemplos:
– Todos os clientes de uma determinada empresa;
– Todos os produtos fabricados em uma determinada empresa;
• Amostra (n) - um subconjunto da população e deverá ser considerada finita, a amostra deve
ser selecionada seguindo certas regras e deve ser representativa, de modo que ela represente
todas as características da população como se fosse uma fotografia desta.
• Pesquisa Estatística: É qualquer informação retirada de uma população ou amostra, po-
dendo ser através de Censo ou Amostragem
• Censo - atividade de inspecionar (observar) todos os elementos de uma população, objeti-
vando conhecer, com certeza suas características;
Introdução 5
• Amostragem - É o processo de retirada de informações dos "n"elementos amostrais, no
qual deve seguir um método criterioso e adequado (tipos de amostragem).
Figura 1.1: Representação de População×Amostra
• Dados estatísticos: é qualquer característica que possa ser observada ou medida de alguma
maneira. As matérias-primas da estatística são os dados observáveis.
• Variável: É aquilo que se deseja observar para se tirar algum tipo de conclusão, geralmente
as variáveis para estudo são selecionadas por processos de amostragem. Os símbolos uti-
lizados para representar as variáveis são as letras maiúsculas do alfabeto, tais como X, Y,
Z, ... que pode assumir qualquer valor de um conjunto de dados. As variáveis podem ser
classificadas dos seguintes modos:
1.1 AMOSTRAGEM
Na realização de qualquer estudo quase nunca é possível examinar todos os elementos da
população de interesse. Temos usualmente de trabalhar com uma amostra da população. A
inferência estatística nos dá elementos para generalizar, de maneira segura, as conclusões obtidas
da amostra para a população.
É errôneo pensar que, caso tivéssemos acesso a todos os elementos da população, seríamos
mais preciosos. Os erros de coleta e manuseio de um grande número de dados são maiores do
que as imprecisões a que estamos sujeitos quando generalizamos, via inferência, as conclusões de
uma amostra bem selecionada.
Em se tratando de amostra, a preocupação central é que ela seja representativa. Assim que
decidimos obter informações através de um levantamento amostral, temos imediatamente dois
problemas:
• Definir cuidadosamente a população de interesse
• Selecionar a característica que iremos pesquisar.
Introdução 6
Há duas grandes divisões no processo de amostragem: a probabilística e a não-probabilística.
A amostragem probabilística também é chamada de amostragem aleatória ou ao acaso. Este
tipo de amostragem é submetida a tratamento estatístico que permite compensar erros amostrais.
Hoje, dificilmente se aceita uma amostragem não-probabilistica, exceto nos casos em que a
amostragem probabilística não pode ser feita.
A amostragem não-probabilística, por não fazer uso de forma aleatória de seleção, não aceita
diversas aplicações estatísticas e, por isto, é preterida.
Pontos importantes:
• É muito dispendioso entrevistar cada pessoa de toda uma população; recorremos, então,
as amostras;
• Usa-se a proporção de pessoas em uma amostra, portadoras de determinada característica,
para estimar a proporção, na população das que tem essa característica.
• O melhor método de escolha de uma amostra é a escolha aleatória, isto é, que toda amostra
possível tenha a mesma chance de ser escolhida.
• Antes de se proceder a observação de uma determinada população surge a questão se a
amostragem será com ou sem reposição. Se o tamanho da amostra é insignificante em
relação à população o impacto da reposição será desprezível, porém, se a amostra for
grande então a reposição ou não pode causar um impacto significativo no resultado da
probabilidade.
• Como as características das populações estatísticas variam, às vezes, é necessário se adequar
esta população estatística para submetê-la a um critério de seleção possível, sem, contudo,
perder seu caráter aleatório.
1.1.1 Amostragem Simples
Objetivo: Obter uma amostra representativa quando os elementos da população são todos
homogêneos. Neste processo de amostragem todos os elementos da população têm a mesma
probabilidade de serem amostrados. A característica principal é que todos os elementos da
população têm igual probabilidade de pertencer á amostra.
Procedimento: Na prática a amostragem aleatória simples pode ser realizada numerando-se
a população de 1 a N e sorteando-se, a seguir, por meio de um dispositivo aleatório qualquer, k
números dessa seqüência, os quais corresponderão aos elementos pertencentes á amostra.
Exemplo: Vamos obter uma amostra representativa, de 10% dos valores, para obtermos a
estatura média de noventa alunos de uma escola:
• Numeramos os alunos de 01 a 90
• Sorteamos os números, de 01 a 90, um a um, nove números que formarão a amostra.
1.1.2 Amostragem Sistemática
Objetivo: Aumentar a representatividade da amostra dando maior cobertura à população. É
usada quando todos os elementos são homogêneos.
Introdução 7
Procedimento: Quando os elementos da população já estão ordenados, não há necessidade
de construirmos um sistema de referência, para selecionarmos a amostra. São exemplos os
prontuários médicos de um hospital, os prédios de uma rua, uma linha de produção, os nomes
em uma lista telefônica, etc. Nestes casos a seleção dos elementos que constituirão a amostra pode
ser feita por um sistema imposto pelo pesquisador. A esse tipo de amostragem denominamos de
sistemática.
Exemplo: Consideremos uma população, com elementos ordenados, de tamanho N e dela
tiramos uma amostra de tamanho n, através de uma amostragem sistemática, da seguinte ma-
neira:
• Definimos FS como fator de sistematização, dado por FS = N/n.
• Sorteamos um número entre 1 e FS. Esse número é simbolizado por m, que será o primeiro
elemento da amostra.
• O segundo elemento da amostra é o de número FS +m.
• O terceiro elemento da amostra é o de número 2FS +m.
• O k-ésimo elemento da amostra é o número (k − 1)FS +m
Exemplo: Uma rua contém 1000 prédios, dos quais desejamos obter uma amostra sistemática
formada por 100 deles.
FS = 1000/100 = 10
m será um número entre 1 e 10. Vamos supor que m = 7. Então temos:
• 1o elemento da amostra = (1− 1)10 + 7 = 7 »> 7o elemento da população.
• ...
• 100o elemento da amostra = (100− 1)10 + 7 = 997 »> 997o elemento da população.
1.1.3 Amostragem Estratificada
Objetivo: Melhorar arepresentatividade da amostra quando os elementos da população são
heterogêneos, porém, podem ser agrupados em subpopulações (ESTRATOS) contendo elementos
homogêneos.
Procedimento: A população é dividida em grupos ou estratos contendo elementos homogêneos
e as amostras são retiradas separadamente de cada um desses grupos.
Exemplo; Dada a população de 50.000 operários da indústria, selecionar uma amostra pro-
porcional estratificada de 5% de operários para estimar seu salário médio. Usando a variável
critério "cargo"para estratificar essa população, e considerando amostras de 5% de cada estrato
obtido, chegamos ao seguinte quadro:
1.2 MÉTODO ESTATÍSTICO
O Método Estatístico pode ser descrito pelas etapas a seguir:
Introdução 8
CARGO POPULAÇÃO 5% AMOSTRA
Chefes de seção 5000 5(5000)/100 = 250 250
Operários especializados 15000 5(15000)/100 = 750 750
Operários não especializados 30000 5(30000)/100 = 1500 1500
TOTAL 50000 5(50000)/100 = 2500 2500
• Definição do problema - Consiste na:
– formulação correta do problema;
– examinar outros levantamentos realizados no mesmo campo (revisão da literatura);
– saber exatamente o que se pretende pesquisar definindo o problema corretamente
(variáveis, população, hipóteses, etc.)
• Planejamento -Determinar o procedimento necessário para resolver o problema:
– Como levantar informações;
– Tipos de levantamentos: Por Censo (completo); Por Amostragem (parcial).
– Cronograma, Custos, etc.
• Coleta da dados - Consiste na obtenção dos dados referentes ao trabalho que desejamos
fazer.;
– A coleta pode ser: Direta - diretamente da fonte ou Indireta - feita através de outras
fontes.
– Os dados podem ser obtidos pela própria pessoa (primários) ou se baseia no registro
de terceiros (secundários).
• Apuração dos dados - Consiste em resumir os dados, através de uma contagem e agrupa-
mento. É um trabalho de coordenação e de tabulação.
• Apresentação dos dados -É a fase em que vamos mostrar os resultados obtidos na coleta e
na organização. Esta apresentação pode ser:
– Tabular (apresentação numérica)
– Gráfica (apresentação geométrica)
• Análise e interpretação dos dados - É a fase mais importante e também a mais delicada.
Tira conclusões que auxiliam o pesquisador a resolver seu problema.
2
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
A estatística descritiva é parte da estatística que lida com a organização, resumo e apresentação
de dados. Esta é feita por meio de:
• Tabelas;
• Gráficos;
• Medidas Descritivas (média, variância, entre outras).
2.1 TIPO DE VARIÁVEIS
As variáveis podem ter valores numéricos ou não numéricos.
• Variáveis Qualitativas (ou categóricas) - são as características que não possuem valores
quantitativos, mas, ao contrário, são definidas por várias categorias, ou seja, representam
uma classificação dos indivíduos
– Variáveis nominais: não existe ordenação dentre as categorias.
Exemplos: sexo, cor dos olhos, fumante/não fumante, doente/sadio.
– Variáveis ordinais: existe uma ordenação entre as categorias.
Exemplos: escolaridade (1o, 2o, 3o graus), estágio da doença (inicial, intermediário,
terminal), mês de observação (janeiro, fevereiro,..., dezembro).
• Variáveis Quantitativas - são as características que podem ser medidas em uma escala
quantitativa, ou seja, apresentam valores numéricos
– Variáveis discretas: são aquelas variáveis que pode assumir somente valores inteiros
num conjunto de valores. É gerada pelo processo de contagem
Exemplos: número de filhos, número de empregados, número de processos.
– Variáveis contínuas: são aquelas variáveis que podem assumir um valor dentro de um
intervalo de valores. É gerada pelo processo de medição
Exemplos: pressão arterial, idade, salário, atraso de transmissão de bytes por uma
rede de internet.
2.2 VARIÁVEIS QUALITATIVAS
Para resumir dados qualitativos, utiliza-se contagens, proporções, porcentagens, taxas por
1000, taxas por 1.000.000, etc, dependendo da escala apropriada. Por exemplo, se encontrar-
Estatística Descritiva 10
mos que 7 empresas com faturamento mensal acima de R$20.000,00 em uma amostra de 500
propriedades, poderíamos expressar isto como uma proporção (0,014) ou percentual (1,4%).
Freqüentemente o primeiro passo da descrição de dados é criar uma tabela de freqüências.
Antes de montar a tabela de distribuição de freqüências temos algumas definições:
• Freqüência - medida que quantifica a ocorrência dos valores de uma variável a um dado
conjunto de dados. As freqüências podem ser:
– Absoluta (fa) - contagem das observações de uma variável;
– Relativa (fr) - divisão da freqüência absoluta pelo total de observações
fr =
fa
n
– Percentual (fp) - é a freqüência relativa multiplicada por 100
fp = 100× fr
Exemplo: Para adequar os produtos às preferências dos clientes, um provedor fez uma pes-
quisa sobre os provedores a qualidade dos serviços prestados utilizando uma amostra de 20
clientes, obtendo as seguintes variáveis:
Tabela 2.1: Variáveis observadas de 20 clientes de um provedor.
Amostra Sexo Qualidade Amostra Sexo Qualidade
1 feminino Boa 11 feminino Ruim
2 feminino Boa 12 feminino Ruim
3 feminino Boa 13 masculino Boa
4 feminino Boa 14 masculino Boa
5 feminino Boa 15 masculino Ótimo
6 feminino Ótimo 16 masculino Regular
7 feminino Ótimo 17 masculino Regular
8 feminino Regular 18 masculino Ruim
9 feminino Regular 19 masculino Ruim
10 feminino Ruim 20 masculino Ruim
Neste é apresentado duas variáveis qualitativas sendo:
• Sexo - variável qualitativa nominal;
• Qualidade - variável qualitativa ordinal;
Para resumir separadamente cada variável podemos utilizar a tabelas simples, que são na
maioria das vezes suficientes para descrever dados qualitativos especialmente quando existem
poucas categorias.
Para a variável sexo, podemos utilizar as freqüências apresentadas na tabela 2.2:
Para a variável qualidade no atendimento, além das freqüências utilizadas para a variável
sexo, podemos utilizar mais duas freqüências:
• Freqüência Acumulada (FA)- obtida pelo soma das freqüências absolutas;
Estatística Descritiva 11
Tabela 2.2: Distribuição de freqüência do sexo de 20 clientes de um provedor.
Sexo Freqüência Freqüência Freqüência
Absoluta Relativa Percentual
(fa) (fr) (fp)
feminino 12 0,60 60%
masculino 8 0,40 40%
20 1,00 100%
• Freqüência Percentual Acumulada (FP) - obtida pela soma das freqüências percentuais.
Tabela 2.3: Distribuição de freqüência qualidade no atendimento de um provedor de acordo com
20 clientes
Qualidade no Freqüência Freqüência Freqüência Freqüência Freqüência
Atendimento Absoluta Relativa Percentual Acumulada Percentual
(fa) (fr) (fp) (FA) Acumulada
(FP)
Ótima 3 0,15 15% 3 15%
Boa 7 0,35 35% 10 50%
Regular 4 0,20 20% 14 70%
Ruim 6 0,30 30% 20 100%
Total 20 1,00 100% - -
Dados qualitativos são usualmente bem ilustrados num simples gráfico de barras onde a altura
da barra é igual à freqüência. O gráfico na Figura 2.1 apresenta as freqüências percentuais da
Tabela 2.2.
Figura 2.1: Qualidade no atendimento de um provedor de acordo com 20 clientes
Em alguns casos podemos estar interessados em resumir duas variáveis qualitativas ao mesmo
tempo, neste caso vamos estudar a relação entre duas variáveis qualitativas que pode ser repre-
sentada em uma tabulação cruzada. Nesta tabela conta-se quantos valores correspondem a cada
par de possíveis resultados, para as duas variáveis. O resultado pode ser apresentado como
freqüência absoluta ou relativa, em relação as colunas ou as linhas (nunca ambas).
Tabela 2.4: Distribuição de freqüência absoluta de 20 clientes de um provador de acordo com a
qualidade de atendimento e o sexo
Qualidade Sexo Total
Feminino Masculino
Boa 5 2 7
Ótimo 2 1 3
Regular 2 2 4
Ruim 3 3 6
Total 12 8 20
Estatística Descritiva 12
O gráfico de barras, com barras justapostas de acordo comcategorias diferentes, pode ser
usado para apresentar a relação entre duas variáveis qualitativas.
Figura 2.2: Distribuição de freqüência absoluta de 20 clientes de um provador de acordo com a
qualidade de atendimento e o sexo
2.3 VARIÁVEIS QUANTITATIVAS
Da mesma forma que as variáveis qualitativas, podemos resumir dados quantitativos por
meio de tabelas de freqüências, entretanto a distinção entre as variáveis quantitativas discretas
e contínuas na forma de preparação destas tabelas.
A tabela de distribuição de freqüências de uma variável discreta é, em geral bastante seme-
lhante à das variáveis qualitativas ordinais, pois os valores inteiros que a variável assume podem
ser considerados como "categorias", ou "classes naturais".
Exemplo: Sejam dados referentes a um levantamento onde observou-se o numero de peças
defeituosas em 25 maquinas de uma empresas.
Tabela 2.5: Número de peças defeituosas em 25 maquinas de uma empresa
3 5 7 1 3
6 5 5 5 3
8 5 2 6 2
4 4 4 3 5
6 2 2 4 5
Observa-se que a disposição da variável número de de peças defeituosas é semelhante a de
uma variável qualitativa ordinal com 8 categorias e sua distribuição de freqüência pode ser vista
na tabela 2.6. A representação gráfica pode ser feita por meio de um gráfico de barras conforme
figura 2.4.
Estatística Descritiva 13
Tabela 2.6: Distribuição de freqüências do número de peças defeituosas de 25 maquinas de uma
empresa
Número de Freqüência Freqüência Freqüência Freqüência Freqüência
Minerais Absoluta Relativa Percentual Acumulada Percentual
(fa) (fr) (fp) (FA) Acumulada
(FP)
1 1 0,04 4% 1 4%
2 4 0,16 16% 5 20%
3 4 0,16 16% 9 36%
4 4 0,16 16% 13 52%
5 7 0,28 28% 20 80%
6 3 0,12 12% 23 92%
7 1 0,04 4% 24 96%
8 1 0,04 4% 25 100%
Total 25 1 100%
Figura 2.3: Número número de peças defeituosas de 25 maquinas de uma empresa
A construção de tabelas de distribuição de freqüências para variáveis quantitativas contínuas
é feita agrupando os dados em classes e obtendo as freqüências observadas em cada classe. É
importante notar que ao resumir dados referentes a uma variável contínua sempre se perde alguma
informação já que não temos idéia de como se distribuem as observações dentro de cada classe.
Para isso temos duas definições:
• Amplitude (A) - corresponde a diferença enter o maior valor e o menor valor de um conjunto
de dados;
• Amplitude da classe (c) - consiste na diferença entre o limite superior e o limite inferior de
uma classe em uma distribuição de freqüência.
O procedimento para construir tabelas de distribuição freqüências para variáveis quantitativas
contínuas envolve os seguintes passos (algoritmo):
Estatística Descritiva 14
• Decidir sobre o numero de classes k, entre 5 e 20. Para que a decisão não seja totalmente
arbitrária pode-se usar a raiz quadrada do total de valores como o número de classes, ou
seja, k ∼= √n
• Determinar a amplitude dos dados: A = Max - Min.
• Determinar a amplitude de classe c:
c =
A
k − 1
• Determinar o limite inferior da primeira classe LI1:
LI1 = Min− c
2
• Determinar o limite superior da primeira classe LS1:
LS1 = LI1 + c
sendo que o limite inferior da segunda classe LI2 é igual ao LS1, e assim
LS2 = LI2 + c
e assim, sucessivamente todas as classes vão sendo construídas.
• Após a construção das classes, são contados quantos dados estão contidos em cada classe
e se obtem as freqüências.
Tabela 2.7: Dados ordenados, relativos ao tempo em segundos para carga de um aplicativo num
sistema compartilhado (30 observações).
6,94 7,27 7,46 7,97 8,03 8,37
8,56 8,66 8,88 8,95 9,30 9,33
9,55 9,76 9,80 9,82 9,98 9,99
10,14 10,19 10,42 10,44 10,66 10,88
10,88 11,16 11,80 11,88 12,25 12,34
k =
√
30 = 5, 47 ≈ 5
A = Max−Min = 12, 34− 6, 94 = 5, 40
c =
A
k − 1 =
5, 40
4
= 1, 35
LI1 = Min− c
2
= 6, 94− 1, 35
2
= 6, 94− 0, 67 = 6, 27
Uma forma de representar graficamente à distribuição de freqüência das variáveis contínuas
é por meio do histograma e do polígono de freqüência . Para elaboração deste gráfico é comum
Estatística Descritiva 15
Tabela 2.8: Distribuição de freqüências, relativa ao ao tempo em segundos para carga de um
aplicativo num sistema compartilhado.
Classes Freqüência Freqüência Freqüência Freqüência Freqüência
Absoluta Relativa Percentual Acumulada Percentual
(fa) (fr) (fp) (FA) Acumulada
(FP)
6,27 ` 7,62 3 0,10 10% 3 10%
7,62 ` 8,97 7 0,23 23% 10 33%
8,97 ` 10,32 10 0,33 33% 20 67%
10,32 ` 11,67 6 0,20 20% 26 87%
11,67 ` 13,02 4 0,13 13% 30 100%
30 1,00 100%
utilizar a chamada densidade de freqüência absoluta (dfa)
dfa =
fr
c
O histograma é semelhante ao gráfico de barras verticais, no eixo vertical pode-se utilizar as
freqüências ou densidades de freqüências e no eixo horizontal as classes. O polígono de freqüências
é um gráfico de linhas em que no eixo vertical pode-se utilizar as freqüências ou densidades de
freqüências e no eixo horizontal o ponto médio de cada classe.
Figura 2.4: Histograma e Polígono de freqüências do relativa ao tempo em segundos para carga
de um aplicativo num sistema compartilhado
Muitas vezes, a análise da distribuição de freqüências acumuladas é mais interessante do que
a de freqüências simples, representada pelo histograma. O gráfico usado na representação gráfica
da distribuição de freqüências acumuladas de uma variável contínua é a ogiva, apresentada na
Figura 2.5. Para a construção da ogiva, são usadas as freqüências acumuladas (absolutas ou
percentuais) no eixo vertical e os limites superiores de classe no eixo horizontal.
Estatística Descritiva 16
O primeiro ponto da ogiva é formado pelo limite inferior da primeira classe e o valor zero,
indicando que abaixo do limite inferior da primeira classe não existem observações. Daí por
diante, são usados os limites superiores das classes e suas respectivas freqüências acumuladas,
até a última classe, que acumula todas as observações. Assim, uma ogiva deve começar no valor
zero e, se for construída com as freqüências relativas acumuladas, terminar com o valor 100.
Figura 2.5: Ogiva para o tempo em segundos para carga de um aplicativo num sistema compar-
tilhado
Estatística Descritiva 17
2.4 MEDIDAS DE POSIÇÃO
Medidas de Posição - São medidas de tendência central, ou seja, representativas do valor
central, ao redor do qual se agrupam a maioria dos valores.
2.4.1 Média Aritmética
Amédia de uma população ou amostra é a soma de todos os elementos da população (amostra)
dividida pelo número de elementos. Esta medida apresenta a mesma unidade dos dados.
• Para a população a média é representada por
µ =
N∑
i=1
xi
N
em que N é o tamanho da população
• Para a amostra a média é representada por
X =
n∑
i=1
xi
n
em que n é o tamanho da amostra.
A média calculada dos dados originais e dados agrupados podem ser diferentes, devido ao
erro de agrupamento. O erro de agrupamento é obtido fazendo a diferença entre o valor obtido
pelos dados originais e o valor obtido pelos dados agrupados.
Exemplo: O tempo de vida útil (em horas) de uma amostra de 6 lâmpadas incadescentes é:
612, 983, 623, 883, 666 , 970. A média amostral do tempo de vida é dado por:
X =
n∑
i=1
xi
n
=
612 + 983 + 623 + 883 + 666 + 970
6
=
4737
6
= 789, 5
2.4.1.1 Propriedades da média
A média aritmética de uma amostra apresenta um conjunto vasto de propriedades, todas
elas, sem dúvida, de grande utilidade no cálculo do seu valor.
1. Adição ou Subtração por uma constanteSeja (X1, X2, X3, ..., Xn) uma amostra aleatória de
tamanho n, k uma constante e X a média da amostra. Se somarmos ou subtrairmos todos
os valores de uma variável X pela constante k, o valor de X MÉDIA fica multiplicada ou
Estatística Descritiva 18
dividida pela constante.
X
∗
=
n∑
i=1
(Xi + k)
n
=
n∑
i=1
Xi +n∑
i=1
k
n
=
n∑
i=1
Xi
n
+
n∑
i=1
k
n
= X +
nk
n
= X + k
Se no exemplo das lâmpadas somarmos a constante 2 a cada um dos valores da variável
temos 614, 985, 625, 885, 667,972
X
∗
=
614 + 985 + 625 + 885 + 668 + 972
6
=
4749
6
= 791, 5
Utilizando a propriedade,
X
∗
= X + k = 789, 5 + 2 = 791, 5
2. Multiplicação ou divisão por uma constante
Seja (X1, X2, X3, ..., Xn) uma amostra aleatória de tamanho n, k uma constante e X a
média da amostra. Se multiplicarmos ou dividirmos todos os valores de uma variável X
pela constante k, o valor de X MÉDIA fica multiplicada ou dividida pela constante.
X
∗
=
n∑
i=1
kxi
n
= k
n∑
i=1
xi
n
= kX
Se no exemplo das lâmpadas multiplicarmos a constante 2 a cada um dos valores da variável
temos 1224, 1966, 1246, 1766, 1332, 1940.
X
∗
=
1224 + 1966 + 1246 + 1766 + 1332 + 1940
6
=
9474
6
= 1579
Estatística Descritiva 19
Utilizando a propriedade,
X
∗
= kX = 2× 789, 5 = 1579
3. Soma dos desvios
Seja (X1, X2, X3, ..., Xn) uma amostra aleatória de tamanho n e X a média da amostra.
Se subtrairmos cada valor da variável X pelar média obtemos os desvios. A soma algébrica
dos desvios é igual a zero
n∑
i=1
(
Xi −X
)
n
=
n∑
i=1
Xi −
n∑
i=1
X
n
=
n∑
i=1
Xi
n
−
n∑
i=1
X
n
= X − nX
n
= X −X = 0
No exemplo da lampâda, temos:
Amostra X Desvio
612 789,5 -177,5
983 789,5 193,5
623 789,5 -166,5
883 789,5 93,5
666 789,5 -123,5
970 789,5 180,5
soma dos desvios 0
2.4.2 Mediana
Num conjunto de dados ordenados, a mediana (Md) é o valor que deixa metade da freqüência
abaixo dele. A mediana, como a média, possui a mesma unidade de cada observação.
A mediana pode ser obtida por meio da expressão:
Md =

Xn+1
2
se n for ímpar
Xn
2
+Xn+2
2
2 se n for par
Exemplo: Considere o conjunto de dados: 5, 2, 6, 13, 9, 15, 10.
Primeiro é necessário ordenar os dados: 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15. Como se de uma conjunto com
n = 7 (ímpar), então:
Md = Xn+1
2
= X 7+1
2
= X4
Estatística Descritiva 20
Logo a Mediana é igual ao elemento que está na quarta posição do conjunto de dados, assim
Md = 9
Exemplo: Considere o conjunto de dados: 1, 3, 8, 6, 2, 4.
Primeiro é necessário ordenar os dados: 1, 2, 3, 4, 6, 8. Como se de uma conjunto com n = 6
(par), então
Md =
Xn
2
+Xn+2
2
2
=
X 6
2
+X 6+2
2
2
=
X3 +X4
2
Logo para obter a mediana é necessário obter os elementos que estão na terceira e quarta
posição do conjunto de dados, assim:
Md =
3 + 4
2
= 3, 5
2.4.3 Moda
A moda Mo de um conjunto de dados é o valor mais freqüente e também tem a mesma
unidade dos dados. Para obter a moda basta observar qual o dado que mais se repete.
Exemplo: No conjunto de dados 7 , 8 , 9 , 10 , 10 , 10 , 11 , 12 a moda é igual a 10, pois é
único que se repete.
Exemplo: No conjunto de dados 3 , 5 , 8 , 10 , 12 não apresenta moda. O conjunto é amodal
Exemplo: No conjunto de dados 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 , 7 , 8 , 9 temos duas modas:
4 e 7. O conjunto é bimodal.
2.4.4 Comparação entre Média, Mediana e Moda
• Média
– Definição: Soma de todos os valores dividido pelo total de elementos do conjunto.
– Vantagens: Reflete cada valor;Possui propriedades matemáticas atraentes.
– Limitações: É influenciada porvalores externos.
– Quando usar:
1. Deseja-se obter a medida de posição que possui a maior estabilidade;
2. Houver necessidade de um tratamento algébrico posterior.
• Mediana
– Definição: Valor que divide o conjunto em duas partes iguais.
– Vantagens: Menos sensível a valores extremos que a média.
– Limitações: Difícil de determinar para grande quantidade de dados
– Quando usar:
1. Deseja-se obter o ponto que divide o conjunto em partes iguais;
2. Há valores extremos que afetam de maneira acentuada a média;
• Moda
Estatística Descritiva 21
– Definição: Valor mais freqüente.
– Vantagens: Valor "típico"; Maior quantidade de valores concentrados neste ponto
– Limitações: Não se presta a análise matemática; Pode não haver moda para certos
conjuntos de dados
– Quando usar:
1. Deseja-se obter uma medida rápida e aproximada da posição;
2. A medida de posição deve ser o valor mais típico da distribuição.
2.4.5 Simetria
A determinação das medidas de posição permite discutir sobre a simetria da distribuição dos
dados.
• Distribuição simétrica - X = Md = Mo
• Distribuição assimétrica - ocorrem diferenças entre os valores da média, mediana e moda.
A assimetria pode ser:
– à direita - X > Md > Mo
– à esquerda - X < Md < Mo
2.4.6 Separatrizes
Além das medidas de posição que estudamos, há outras que, consideradas individualmente,
não são medidas de tendência central, mas estão ligadas à mediana relativamente à sua carac-
terística de separar a série em duas partes que apresentam o mesmo número de valores. Essas
medidas - os quartis, os decis e os percentis - são, juntamente com a mediana, conhecidas pelo
nome genérico de separatrizes.
2.4.6.1 Quartis
Denominamos quartis os valores de uma série que a dividem em quatro partes iguais.
Q1: 1o quartil. Deixa 25% dos elementos antes do seu valor;
Q2: 2o quartil. Deixa 50% dos elementos antes do seu valor. Coincide com a mediana;
Q3: 3o quartil. Deixa 75% dos elementos antes do seu valor. (Consequentemente, 25% dos
elementos acima do seu valor.)
Genericamente, para determinar a ordem ou posição do quartil a ser calculado, usaremos a
seguinte expressão:
EQi =
in
4
em que
Estatística Descritiva 22
• i = número do quartil a ser calculado;
• n = número de observações;
Exemplo: Calcule os quartis do conjunto de dados 5, 2, 6, 9, 10, 13, 15
O primeiro passo a ser dado é o da ordenação (crescente ou decrescente) dos valores: 2, 5,
6, 9, 10, 13, 15
1o quartil
EQ1 =
1× 7
4
= 1, 75
Logo o quartil 1 está entre o 1o e o 2o elemento (1o antecede 1,75o e 2o é posterior a ele.). Assim,
o 1o quartil será dado pela média entre os 1o e o 2o elemento.
Q1 =
2 + 5
2
= 4, 5
2o quartil
EQ2 =
2× 7
4
= 3, 5
Logo o quartil 2 está entre o 3o e o 4o elemento (3o antecede 3,5o e 4o é posterior a ele.). Assim,
o 2o quartil será dado pela média entre os 3o e o 4o elemento.
Q2 =
6 + 9
2
= 10, 5
3o quartil
EQ3 =
3× 7
4
= 5, 25
Logo o quartil 3 está entre o 5o e o 6o elemento (5o antecede 5,25o e 6o é posterior a ele.). Assim,
o 3o quartil será dado pela média entre os 5o e o 6o elemento.
Q2 =
10 + 13
2
= 16, 5
2.4.6.2 Percentis ou Centis
São as medidas que dividem a amostra em 100 partes iguais. Assim:
O elemento que definirá a ordem do percentil será encontrado pelo emprego da expressão:
EPi =
in
100
em que:
• i = número identificador do percentil;
• n = número total de observações;
Estatística Descritiva 23
Relação entre percentil, quuartil e mediana
• P25 = Q1
• P50 = Q2 = Md
• P75 = Q3
Exemplo: Calcule os percentil 90 do conjunto de dados 1,4,2,4,7,9,2
O primeiro passo a ser dado é o da ordenação (crescente ou decrescente) dos valores: 1, 2, 2,
4, 4, 7, 9
Perdential 90
EP90 =
90× 7
100
= 6, 3
Logo o percentil 90 está entre o 6o e o 7o elemento (6o antecede 6,3o e 7o é posterior a ele.).
Assim, o 90o percentil será dado pela média entre os 6o e o 7o elemento.
P90 =
7 + 9
2
= 8
2.4.7 Dados agrupados
2.4.7.1 Média
Quando os dados são agrupados (Distribuição de freqüência) a média é representada por
X =
n∑
i=1
faixi
n∑
i=1
fai
em que
• para variáveis contínuas xi é o ponto médio da classe
• fai é o freqüência absoluta de xi
A média calculada dos dados originais e dados agrupados podem ser diferentes, devido ao
erro de agrupamento. O erro de agrupamento é obtido fazendo adiferença entre o valor obtido
pelos dados originais e o valor obtido pelos dados agrupados.
2.4.7.2 Mediana
Para calcular a mediana em dados agrupados é necessário observar a freqüência acumulada
para definir a classe mediana.
A posição da mediana EMd é definida da seguinte forma
EMd =

n+1
2 se n for ímpar
n
2 se n for par
Estatística Descritiva 24
Definida a classe mediana utiliza-se a expressão abaixo para obter a mediana
Md = LIi +
n1
n2
c
em que:
• LIi é o limite inferior da classe mediana
• c é a amplitude da classe mediana
• n1 é a diferença entre a Posição da mediana e a freqüência acumulada da classe anterior a
classe mediana
• n2 é a freqüência absoluta da classe mediana
2.4.7.3 Moda
A moda Mo de um conjunto de dados é o valor mais freqüente e também tem a mesma
unidade dos dados. Para obter a moda basta observar qual o dado que mais se repete.
Para dados agrupados de variáveis continuas a moda se localiza na classe de maior freqüência
(classe modal) e é obtida por meio da expressão:
Mo = LIi +
∆1
∆1 + ∆2
c
• LIi é o limite inferior da classe modal;
• c é a amplitude da classe modal;
• ∆1 é a diferença da freqüência da classe modal e a freqüência da classe imediatamente
anterior;
• ∆2 é a diferença da freqüência da classe modal e a freqüência da classe imediatamente
posterior.
2.4.7.4 Quartil
Para calcular o quartil em dados agrupados é necessário observar a freqüência acumulada
para definir a classe quartílica.
A posição da mediana EQi é definida da seguinte forma
EQi =
in
4
Definida a classe quartílica utiliza-se a expressão abaixo para obter o quartil
Qi = LIi +
n1
n2
c
em que:
• LIi é o limite inferior da classe quartílica
Estatística Descritiva 25
• c é a amplitude da classe quartílica
• n1 é a diferença entre a Posição do quartil e a freqüência acumulada da classe anterior a
classe quartílica
• n2 é a freqüência absoluta da classe quartílica
2.4.7.5 Percentil
Para calcular o percentil em dados agrupados é necessário observar a freqüência acumulada
para definir a classe percentílica.
A posição da mediana EPi é definida da seguinte forma
EPi =
in
100
Definida a classe percentílica utiliza-se a expressão abaixo para obter o percentil
Pi = LIi +
n1
n2
c
em que:
• LIi é o limite inferior da classe percentílica
• c é a amplitude da classe percentílica
• n1 é a diferença entre a Posição do percentílica e a freqüência acumulada da classe anterior
a classe percentílica
• n2 é a freqüência absoluta da classe percentílica
2.4.7.6 Exemplo
Tabela 2.9: Dados ordenados, relativos ao tempo em segundos para carga de um aplicativo num
sistema compartilhado (30 observações).
6,94 7,27 7,46 7,97 8,03 8,37
8,56 8,66 8,88 8,95 9,30 9,33
9,55 9,76 9,80 9,82 9,98 9,99
10,14 10,19 10,42 10,44 10,66 10,88
10,88 11,16 11,80 11,88 12,25 12,34
Assim,
X =
n∑
i=1
faixi
n∑
i=1
fai
=
290, 55
30
= 9, 685 ∼= 9, 68
Para dados agrupados, primeiro vamos obter a classe mediana
n
2
=
30
2
= 15
Estatística Descritiva 26
Tabela 2.10: Resumo da distribuição de freqüências, relativa ao ao tempo em segundos para
carga de um aplicativo num sistema compartilhado.
Classes x Frequencia fa× x Frequencia
Absoluta Acumulada
(fa) (FA)
6,27 ` 7,62 6,94 3 20,82 3
7,62 ` 8,97 8,29 7 58,03 10
8,97 ` 10,32 9,64 10 96,4 20
10,32 ` 11,67 10,99 6 65,94 26
11,67 ` 13,02 12,34 4 49,36 30
Total 30 290,55
Assim a classe mediana é a que contém a freqüência acumulada 15, ou seja é a classe 8, 97 ` 10, 32.
Então temos:
• LIi = 8, 97
• c=1,35
• n1 = 15− 10 = 5
• n2 = 10
Substituindo nas formula, temos
Md = LIi +
n1
n2
c = 8, 97 +
5
10
1, 35 = 8, 97 + 0, 67 = 9, 64
Para obter a moda, primeiro vamos obter a classe modal.
A maior freqüência absoluta é 10, assim a classe modal é 8, 97 ` 10, 32. Assim, temos
Mo = LIi +
∆1
∆1 + ∆2
c
• LIi = 8, 97;
• c = 1, 35;
• ∆1 = 10− 7 = 3;
• ∆2 = 10− 6 = 4
Mo = LIi +
∆1
∆1 + ∆2
c = 8, 97 +
3
3 + 4
1, 35 = 8, 97 + 0, 58 = 9, 55
2.5 BOXPLOT
O gráfico Boxplot (ou desenho esquemático) é uma análise gráfica que oferece a ideia da
posição, dispersão, assimetria, caudas e dados discrepantes. Para construí-lo, desenhamos uma
"caixa"com o nível superior dado pelo terceiro quartil (Q3) e o nível inferior pelo primeiro quartil
Estatística Descritiva 27
(Q1). A mediana (Q2) é representada por um traço no interior da caixa e segmentos de reta são
colocados da caixa até dos limites inferior (LI) e superior (LS), dados por
LI = Q1 − 1.5dq
LS = Q3 + 1.5dq
em que dq = Q3 −Q1 denominando diferença quartilica.
Para traçarmos o boxplot utilizamos as seguintes etapas:
• Contruir um retângulo de tal maneira que suas bases têm alturas correspondentes aos
primeiro e terceiro quartis da distribuição.
• Cortar o retângulo por um segmento paralelo às bases, na altura correspondente à mediana;
• Traçar um segmento paralelo ao eixo, partindo do ponto médio da base superior do retân-
gulo até o maior valor observado que NÃO supere LS;
• Traçar um segmento paralelo ao eixo, partindo do ponto médio da base inferior do retân-
gulo, até o menor valor que NÃO é menor LI;
• Case tenha valores que superior a LS ou inferior a LI, marcar os pontos, este valores são
considerados observações discrepantes.
• Podemos opcionalmente marca o valor da média;
Para o conjunto de dados do tempo de carga de um aplicativo temos:
Md = 9, 81
Q1 = 8, 71
Q3 = 10, 61
dq = 10, 61− 8, 71 = 1, 9
LI = 8, 71− 1, 5× 1, 9 = 5, 86
LS = 10, 61 + 1, 5× 1, 9 = 13, 46
Estatística Descritiva 28
Figura 2.6: Boxplot para o tempo em segundos para carga de um aplicativo num sistema com-
partilhado
Estatística Descritiva 29
2.6 MEDIDAS DE DISPERSÃO
As medidas de posição são importantes para caracterizar um conjunto de dados, mas não
são suficientes para caracterizar completamente a distribuição dos dados. Para isso é necessário
obter as medidas de dispersão, que medem a variabilidade dos dados.
Por exemplo: Considere as amostras referentes a altura, em cm, de dois grupos de pessoas.
Grupo A: 185 185 185
Grupo B: 187 183 185
A média para os dois grupos é a mesma XA = 185 e XB = 185.
Os 2 conjuntos não diferem entre si e consideramos somente a média, pois se basearmos
somente por essa medida os dois grupos são considerados como de mesma altura. Entretanto o
grupo A tem todas as observações iguais a média. Já no grupo B ocorre uma certa dispersão nos
dados.
As medidas de variabilidade ou dispersão possibilitam que façamos distinção entre os con-
juntos quanto à sua homogeneidade, isto é, o grau de concentração em torno de uma medida de
tendência central.
2.6.1 Amplitude Total
Amplitude Total (A) é a diferença entre o maior e o menor valor da amostra. Essa medida é
bastante simples, e obtida pela expressão:
A = Max−Min
Para dados agrupados a amplitude total é a diferença entre o ponto médio da última e da
primeira classe.
Para expressar variabilidade a amplitude total não é muito usada, pois baseia-se em apenas
dois dados.
2.6.2 Variância e Desvio Padrão
A variância é baseada pela quadrado dos desvios dos dados em relação à média. Esta medida
é expressa na unidade dos dados ao quadrado.
• Para a população a variância é representada por
σ2 =
N∑
i=1
(xi − µ)2
N
em que N é o tamanho da população
• Para a amostra a variância é representada por
S2 =
n∑
i=1
(
xi −X
)2
n− 1
Estatística Descritiva 30
em que n é o tamanho da população
Para dados agrupados, a variância é obtida por meio da expressão:
• Para a população a variância é representada por
σ2 =
k∑
i=1
(xi − µ)2 fai
k∑
i=1
fai
• Para a amostra a variância é representada por
S2 =
n∑
i=1
(
xi −X
)2fai
k∑
i=1
fai − 1
O desvio padrão é a raíz quadrada positiva da variância. Esta medida é expressa na mesma
unidade dos dados.
• Para a população o desvio padrão é representada por
σ =
√
σ2
• Para a amostra o desvio padrão é representada por
S =
√
S2
em que n é o tamanho da população
Nota:
• O desvio padrão e a variância são medidas de dispersão ou variabilidade, a opção do uso
de um ou outro, depende da finalidade da informação.
• A variância tem pouca utilidade na estatística descritiva, porém é muito importante na
inferência estatística e em combinações de amostras.
• O desvio padrão é muito usado na estatística descritiva.
• É importante notar que, se os dados representarem uma amostra e não toda a população,
a expressão matemática da variância deve ter (n− 1) no denominador em substituição ao
fator n, esta mudança é chamada de fator de correção de Bessel ou conforme os estatísticos,
número de graus de liberdade. Dessa forma temos a variância da amostra.
Estatística Descritiva 31
2.6.2.1 Propriedades da Variância
A variância apresenta um conjunto vasto de propriedades, todas elas, sem dúvida, de grande
utilidade no cálculo do seu valor.
1. A variância de uma constante k é nula;
S2
∗
=
n∑
i=1
(
k −X)2
n− 1
=
n∑
i=1
(k − k)2
n− 1
=
n∑
i=1
(0)2
n− 1
= 0
2. Somando-se ou subtraindo-se uma constante k a todos os dados a variância não se altera.
X∗i = Xi + k
X
∗
= X + k
S2
∗
=
n∑
i=1
(
X∗i −X∗
)2
n− 1
=
n∑
i=1
(
Xi + k − (X + k)
)2
n− 1
=
n∑
i=1
(
Xi + k −X − k
)2
n− 1
=
n∑
i=1
(
Xi −X
)2
n− 1
= S2
Estatística Descritiva 32
3. Multiplicando-se todos os dados por uma constante k, a variância fica multiplicada por k2.
X∗i = kXi
X
∗
= kX
S2
∗
=
n∑
i=1
(
X∗i −X∗
)2
n− 1
=
n∑
i=1
(
kXi − kX
)2
n− 1
=
n∑
i=1
(
k
(
Xi −X
))2
n− 1
=
n∑
i=1
k2
(
Xi −X
)2
n− 1
= k2S2
2.6.2.2 Propriedades do Desvio Padrão
1. Somando-se ou subtraindo-se uma constante k a todos os dados o desvio padrão não se
altera.
X∗i = Xi + k
S2
∗
= S2
S =
√
S2
2. Multiplicando-se todos os dados por uma constante k, a variância fica multiplicada por k2.
X∗i = kXi
S2
∗
= k2S2
S =
√
k2S2 = kS
2.6.3 Coeficiente de Variação
O coeficiente de variação (CV ) é uma medida de dispersão que expressa o desvio padrão em
termos da média de forma percentual
CV = 100
S
X
Se as amostras tiverem unidade diferentes ou médias diferentes o CV pode ser utilizado para
comparar a variabilidade entre duas amostras.
Estatística Descritiva 33
2.6.4 Erro Padrão da Média
O erro padrão da média é uma medida de dispersão que dá a precisão com que a média
populacional está sendo estimada. É obtido pela fórmula
S(X) =
S√
n
em que:
• S é o desvio padrão da amostra;
• n é o tamanho da amostra.
2.7 EXEMPLOS
Sejam dados referentes a um levantamento onde observou-se o numero de peças defeituosas
em 25 maquinas de uma empresas.
Tabela 2.11: Número de peças defeituosas em 25 maquinas de uma empresa
1 3 4 5 6
2 3 4 5 6
2 3 4 5 6
2 3 5 5 7
2 4 5 5 8
A amplitude total
A = Max−Min = 8− 1 = 7
Temos que a média é X = 4 e como se trata de uma amostra temos:
S2 =
n∑
i=1
(
xi −X
)2
n− 1 =
(
(1− 4)2 + (2− 4)2 + ...+ (8− 4)2)
25− 1 = 3, 041666667
∼= 3, 04
O desvio padrão
S =
√
S2 =
√
3, 04 = 1, 7435595 ∼= 2
O coeficiente de variação
CV = 100
S
X
= 100
2
4
= 50%
O erro padrão da médio
S(X) =
S√
n
=
2√
25
= 0, 4
2.7.1 Dados Agrupados
Assim, Amplitude total
A = Max−Min = 12, 34− 6, 94 = 5, 40
Estatística Descritiva 34
Tabela 2.12: Resumo da distribuição de freqüências, relativa ao tempo em segundos para carga
de um aplicativo num sistema compartilhado (30 observações)
Classes x Frequencia x−X (x−X)fa
Absoluta
(fa)
6,27 ` 7,62 6,94 3 7,5076 22,5228
7,62 ` 8,97 8,29 7 1,9321 13,5247
8,97 ` 10,32 9,64 10 0,0016 0,016
10,32 ` 11,67 10,99 6 1,7161 10,2966
11,67 ` 13,02 12,34 4 7,0756 28,3024
Total 30 74,6625
Temos que a média é X = 9, 68 e como se trata de uma amostra temos:
S2 =
n∑
i=1
(
xi −X
)2
fai
k∑
i=1
fai − 1
=
74, 6625
29
= 2, 5745689 ∼= 2, 5746
O desvio padrão
S =
√
S2 =
√
2, 5746 = 1, 604556 ∼= 1, 60
O coeficiente de variação
CV = 100
S
X
= 100
1, 60
9, 68
= 16, 53%
O erro padrão da média
S(X) =
S√
n
=
1, 60√
30
= 0, 29
3
NOÇÕES DE PROBABILIDADE
Já vimos que para se obter informações sobre alguma característica da população, podemos
utilizar uma amostra. Estudaremos agora a probabilidade, que é uma ferramenta usada e neces-
sária para se fazer ligações entre a amostra e a população, de modo que a partir de informações
da amostra se possa fazer afirmações sobre características da população.
As probabilidades são utilizadas para exprimir a chance de ocorrência de determinado evento.
O estudo das probabilidades é importante pois elas são a base para o estudo estatístico
A teoria de probabilidades tem por objetivo o estudo de fenômenos aleatórios. Um fenômeno
é chamado de aleatório se ele tem a seguinte propriedade: quando observado repetidamente sob
as mesmas condições ele produz resultados diferentes. Mesmo que a chance da ocorrência seja
alta, os resultados não são conhecidos antes de ocorrer, mas de certa forma, mantém uma certa
regularidade, o que permite determinar a chance de ocorrência; a Probabilidade.
Exemplos:
• Jogar uma moeda repetidamente e observar o resultado da face de cima;
• Jogar um dado e observar o número mostrado na face superior;
• Número de filhos de um casal;
Observação: quando a possibilidade de repetir o fenômeno está na mão do experimentador,
este fenômeno aleatório é chamado de experimento aleatório.
3.1 ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTOS
Espaço amostral (Ω) - é o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento.
Um espaço amostral é
Exemplo:
• Lançamento de um dado não viciado. Neste caso o espaço amostral é
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Lançar uma moeda duas vezes e observar as faces obtidas
Ω = {(Ca,Co), (Ca,Ca), (Co,Ca), (Co,Co)}
Noções de Probabilidade 36
No lançamento de um dado pode-se interessar, por exemplo, somente na ocorrência de número
ímpares. O subconjunto A = {1, 3, 5} do espaço amostral Ω representa o evento A definido pela
ocorrência de números ímpares.
Evento - é um subconjunto do espaço amostral que representa um resultado definido.
Ponto amostral - é apenas um elemento do espaço amostral.
3.1.1 Operação com eventos
Sejam A e B dois eventos de um mesmo espaço amostral O evento intersecção de A e B,
denotado A ∩B, e o evento em que A e B ocorrem simultaneamente.
Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos ou disjuntos se eles não podem ocorrer simul-
taneamente A ∩B = ∅.
O evento União de A e B, denotado A ∪ B, e o evento em que A ocorre ou B ocorre (ou
ambos).
O evento complementar de A, denotado Ac, é o evento em que A não ocorre.
Exemplo: Seja o espaço amostral Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e considere os eventos:
A = {1, 3, 5} B = {2, 4, 6} C = {3, 4, 5, 6}
Vamos fazer as seguintes operações:
A ∩B = ∅ Conjuntos mutuamente exclusivos ou disjunto
A ∩ C = {3, 5}
A ∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Ω
A ∩Bc = {1, 3, 5} = A os elementos de Ω que não estão no conjunto B⇒ Bc{1, 3, 5}
Noções de Probabilidade 37
3.2 PROBABILIDADE
Probabilidade - freqüência relativa associada a um variável descritora de uma população.
Num espaço amostral Ω, a probabilidade de ocorrer um evento A, representado por P (A), é
dado pela medida de A em Ω nas seguintes condições: Exemplo: A probabilidade de ocorrer face
ímpar no lançamento de um dado não viciado é
P (A) =
n
N
=
3
6
=
12
= 0, 5 = 50%
Algumas propriedades de probabilidade:
• A probabilidade de ocorrência de Ω vale 1, ou seja, P (Ω) = 1
• Probabilidade de em evento certo e de um evento impossível
P (Ω) = 1; P (∅) = 0
• A probabilidade de ocorrência do evento A é não negativa, ou seja, P (A) ≥ 0
• Domínio da Probabilidade
0 ≤ P (A) ≤ 1
• Regra da Adição de probabilidades de dois eventos A e B:
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)
No exemplo do lançamento de um dado seja os eventos A = {2, 4, 6} e B = {3, 4, 5, 6}. A
união entre os dois conjuntos daria {2, 3, 4, 5, 6}. Assim:
P (A ∪B) = 5
6
= 0, 83 = 83%
Utilizando a regra da adição teriamos:
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) = 3
6
+
4
6
− 2
6
=
5
6
= 0, 83 = 83%
em que A ∩B = {4, 6}
• Probabilidade complementar
P (Ac) = 1− P (A)
No exemplo do lançamento de um dado seja o evento A = {3, 4, 5, 6}, então Ac = {1, 2},
logo
P (A) =
4
6
e P (Ac) =
2
6
utilizando a regra da probabilidade complementar teriamos:
P (Ac) = 1− P (A) = 1− 4
6
=
6− 4
6
=
2
6
Noções de Probabilidade 38
3.2.1 Probabilidade Condicional e Independência de Eventos
A probabilidade condicional surge, por exemplo, quando se deseja calcular a probabilidade
de um evento A ocorrer sabendo que um evento B já ocorreu.
Sejam A e B dois eventos associados a um mesmo espaço amostral Ω. Denota-se por P (A|B)
a probabilidade condicionada do evento A, quando o evento B tiver ocorrido.
Sempre que calculamos P (A|B), estamos essencialmente calculando P (A) em relação ao
espaço amostral reduzido devido a B ter ocorrido, em lugar de faze-lo em relação ao espaço
amostral original Ω.
Dados dois eventos A e B , a probabilidade condicional de A dado que ocorreu B é represen-
tada por P (A|B) e definida por
P (A|B) = P (A ∩B)
P (B)
, P (B) 6= 0.
Isso significa que a probabilidade de A ocorrer, dado que B ocorreu, é igual à probabilidade
de ocorrência simultânea de A e B dividida pela probabilidade de ocorrência de B.
Exemplo: Na tabela a seguir temos dados referentes a alunos matriculados em três cursos de
uma universidade em dado ano.
Tabela 3.1: Dados referentes a alunos de uma dada universidade.
Cursos Sexo Total
Feminino Masculino
Administração 70 40 110
Psicologia 10 20 30
Geologia 20 15 35
Total 100 75 175
Qual a probabilidade de escolhermos um aluno ao acaso e ele ser:
• Homem (H) e da Administração (Adm)?
P (H ∩Adm) = 40
175
= 0, 2285
b) Homem (H) ou da Administração (Adm)?
P (H ∪Adm) = P (H) + P (Adm)− P (H ∩Adm)
=
75
175
+
110
175
− 40
175
=
145
175
= 0, 8285
• Psicologia (Psi) ou Geologia (Geo)?
P (Psi ∪Geo) = P (Psi) + P (Geo)− P (Psi ∩Geo)
=
30
175
+
35
175
− 0 = 65
175
= 0, 3714
Noções de Probabilidade 39
• De ser um aluno da psicologia dado que é mulher.
P (Psi|M) = P (Psi ∩M)
P (M)
=
10
175
100
175
=
10
175
175
100
=
10
100
= 0, 10
Das expressões acima resulta a regra do produto, que se refere ao cálculo da probabilidade
do evento interseção,
P (A ∩B) = P (A|B).P (B)
A ordem do condicionamento pode ser invertida. Para três eventos, por exemplo, pode-se
escrever:
P (A ∩B ∩ C) = P (A).P (B|A).P (C|A ∩B) (3.1)
Dois eventos A e B são independentes se a ocorrência de um não altera a probabilidade
de ocorrência do outro, isto é, P (A|B) = P (A) ou P (B|A) = P (B), ou ainda, a seguinte forma
equivalente:
P (A ∩B) = P (A).P (B)
3.2.2 Árvores de probabilidade
A contrução de uma árvore de probabilidade fornece uma ferramenta muito útil para a
solução de problemas envolvendo duas ou mais etapas. A árvore consiste em uma representação
gráfica na qual diversas possibilidades são representadas, juntamente com as respectivas proba-
bilidades condicionadas a cada situação. Isso permite, pela utilização direta da regra do produto
das probabilidades, associar a cada nó terminal da árvore a respectiva probabilidade.
O uso das árvores de probabilidade ajudam e simplificam o entendimento da aplicação de
dois teoremas que serão apresentados a seguir, conforme será visto no exemplo.
Exemplo: Em certo colégio, 5% dos homens e 2% das mulheres têm mais de 1,80m de altura.
Por outro lado, 40% dos estudantes são homens. Sorteando-se um estudante aleatoriamente,
qual a probabilidade de:
• Ser mulher (M) e ter mais de 1,80m?
P (M∩ > 1, 80) = 0, 60× 0, 02 = 0, 012
• Ter mais de 1,80m?
P (> 1, 80) = P (M∩ > 1, 80) + P (H∩ > 1, 80)
P (H∩ > 1, 80) = 0, 40× 0, 05 = 0, 02
P (> 1, 80) = 0, 012 + 0, 02 = 0, 032
Noções de Probabilidade 40
• Um estudante é escolhido ao acaso e tem mais de 1,80m. Qual a probabilidade de que o
estudante seja mulher?
P (M | > 1, 80) = P (M∩ > 1, 80)
P (> 1, 80)
=
0, 012
0, 032
= 0, 375
3.3 VARIÁVEL ALEATÓRIA
Variável Aleatória - variável descritora de populações, cujos valores são associados a proba-
bilidades de ocorrência.
Exemplo: Um estudante é submetido a três questões de múltipla escolha, em cada questão
tinha cinco alternativas. Logo a chance de acerta uma questão no chute é 20%
• Correto (C) - P (C) = 20% = 15
• Errado (E) - P (E) = 80% = 45
A questões e resultados possíveis são:
Noções de Probabilidade 41
Ω = {CCC,CCE,CEC,CEE,ECC,ECE,EEC,EEE}
Supondo que sua variável aleatória é acertar a questão, temos que o ocorrência no espaço
amostral pode ser:
Ω =
{
CCC
3
,
CCE
2
,
CEC
2
,
CEE
1
,
ECC
2
,
ECE
1
,
EEC
1
,
EEE
0
}
As probabilidade dos pontos amostrais são:
P (CCC) =
1
5
1
5
1
5
=
1
125
P (CCE) =
1
5
1
5
4
5
=
4
125
P (CEC) =
1
5
4
5
1
5
=
4
125
P (CEE) =
1
5
4
5
4
5
=
16
125
P (ECC) =
4
5
1
5
1
5
=
4
125
P (ECE) =
4
5
1
5
4
5
=
16
125
P (EEC) =
4
5
4
5
1
5
=
16
125
P (EEE) =
4
5
4
5
4
5
=
64
125
Pode-se construir uma tabela, em que X é o número de questões corretas e f(x) é a probabi-
lidade de ocorrer o resultado X.
x 0 1 2 3
f(x) 64/125 48/125 12/125 1/125
Nesta tabela X assume os valores (X = 0, 1, 2, 3) que são valores numéricos que descrevem
os resultados da experiência, logo os valores de X são de uma variável aleatória.
Uma função que transforma em resultados de um espaço amostral em números reais, chama-se
variável aleatória.
• X é o nome da variável aleatória definida. Ex. número de questões corretas;
• x são os valores assumidos pela variável. Ex. x = 0, 1, 2, 3.
3.3.1 Função de Probabilidade Discreta
É uma função f(x) que associa a cada valor x da variável aleatória a sua respectiva proba-
bilidade. Esta função deve atender duas condições:
1. f(x) ≥ 0;
2.
∑
f(x) = 1
Noções de Probabilidade 42
x 0 1 2 3
f(x) 64/125 48/125 12/125 1/125
Ex.: Para a três questões, considerando X número de acertos e x=(0,1,2,3)
Verificação da duas condições:
1. f(x) ≥ 0;
• Para x < 0→ f(x) = 0
• Para 0 ≤ x ≤ 2→ f(x) > 0
• Para x > 2→ f(x) = 0
2.
∑
f(x) =
64
125
+
48
125
+
12
125
+
1
125
=
125
125
= 1
Uma função de probabilidade discreta pode ser representada por
f(x) ouP (x) ouP (X = x)
Outra forma de representar uma distribuição de probabilidade de uma variável aleaória é por
meio de sua função de distribuição acumulado, que é definida por
F (x) = P (X ≤ x) =
n∑
i=1
P (X = xi)
Utilizando o exemplo das questões, temos que a função de distribuição é
x 0 1 2 3
f(x) 64/125 48/125 12/125 1/125
Assim a função de distribuição acumulado é dada por
x 0 1 2 3
F(x) 64/125 112/125 124/125 125/125
E sua representação gráfica:
3.3.1.1 Esperança Matemática e Variância de uma VAD
Definição: Seja X uma V.A.D., com valores possíveis x1, x2, ..., xn; Seja P (xi)= P (X =
xi), i = 1, 2, ..., n. Então, o valor esperado de X (ou Esperança Matemática de X), denotado por
E(X) é definido como
E(X) =
∞∑
i=1
xiP (xi)
esta expressão é também denominado o valor médio de X.
Noções de Probabilidade 43
Definição: Seja X uma V.A.D. . Define-se a variância de X, denotada por V (X) ou σ2X , da
seguinte maneira:
V (X) =
∞∑
i=1
(xi − E(X))2 P (xi) = ou V (X) = E(X2)− (E(X))2
e a raiz quadrada positiva de V(X) é denominada o desvio-padrão de X, e denotado por σX .
No exemplo das questões
E(X) =
4∑
i=1
xiP (xi) = 0
64
125
+ 1
48
125
+ 2
12
125
+ 3
1
125
= 0 +
48
125
+
24
125
+
3
125
= 0, 60
V (x) =
4∑
i=1
(xi − E(X))2 P (xi) = (0− 0, 60)2 64
125
+ (1− 0, 60)2 48
125
+ (2− 0, 60)2 12
125
+ (3− 0, 60)2 1
125
= 0, 36
64
125
+ 0, 16
48
125
+ 1, 96
12
125
+ 5, 76
1
125
=
23, 04
125
+
7, 68
125
+
23, 52
125
+
5, 76
125
=
60
125
= 0, 48
V (X) = E(X2)− (E(X))2
E(X2) =
4∑
i=1
x2iP (xi) = 0
2 64
125
+ 12
48
125
+ 22
12
125
+ 32
1
125
= 0
64
125
+ 1
48
125
+ 4
12
125
+ 9
1
125
= 0 +
48
125
+
48
125
+
9
125
=
105
125
= 0, 84
V (X) = 0, 84− (0, 60)2 = 0, 84− 0, 36 = 0, 48
3.3.2 Função de probabilidade contínua ou função de densidade de probabilidade
(fdp).
Se a variável aleatória é contínua a sua função de probabilidade é uma função contínua
conhecida por função de densidade de probabilidade (fdp). Esta função atende duas condições:
1. f(x) ≥ 0 ∀x ∈ R
2.
∫
R
f(x)dx = 1
Noções de Probabilidade 44
Das duas condições verifica-se que
P (a < x < b) =
∫ b
a
f(x)dx
No casa das variáveis contínuas a função de distribuição acumulada, que é definida por
F (x) = P (X ≤ x) =
∫ x
−∞
f(x)dx
E sua representação gráfica:
Ex.: O tempo gasto, em minutos, por um estudante para responder a uma questão de um
teste é uma variável aleatória contínua com função dada por
f(x) =
{
x
4 para 1 ≤ x ≤ 3
0 para outros valores
Pela notação verifica-se que o estudante gasta um tempo entre 1 e 3 minutos.
Verificar as duas condições
1. f(x) ≥ 0 ∀x ∈ R
• Para x < 1→ f(x) = 0
• Para 1 ≤ x ≤ 3→ f(x) > 0
• Para x > 3→ f(x) > 0
2.
∫
R
f(x)dx = 1
∫ ∞
−∞
f(x)dx =
∫ ∞
−∞
x
4
dx =
∫ 3
1
x
4
dx =
1
4
∫ 3
1
xdx =
1
4
x2
2
]3
1
=
1
4
(
32
2
− 1
2
2
)
=
1
4
(
9
2
− 1
2
)
=
1
4
8
2
= 1
Noções de Probabilidade 45
Para obter a probabilidade utiliza-se a integral, por exemplo,
P (2 < x < 3) =
∫ 3
2
x
4
dx
=
1
4
∫ 3
2
xdx
=
1
4
x2
2
]3
2
=
1
4
(
32
2
− 2
2
2
)
=
1
4
(
9
2
− 4
2
)
=
1
4
5
2
=
5
8
= 0, 625
3.3.2.1 Esperança Matemática e Variância de uma fdp
Definição: Seja X uma V.A. continua, com fdp f(x). Então, o valor esperado de X (ou
Esperança Matemática de X), denotado por E(X) é definido como
E(X) =
∫ ∞
−∞
xf(x)dx
esta expressão é também denominado o valor médio de X.
Definição: Seja X uma V.A.D. . Define-se a variância de X, denotada por V (X) ou σ2X , da
seguinte maneira:
V (X) =
∫ ∞
−∞
(x− E(X))2 f(x)dx ou V (X) = E(X2)− (E(X))2
em que
E(X2) =
∫ ∞
−∞
x2f(x)dx
e a raiz quadrada positiva de V(X) é denominada o desvio-padrão de X, e denotado por σX .
No exemplo da o tempo gasto, em minutos, por um estudante para responder a uma questão
de um teste, temos que:
E(X) =
∫ ∞
−∞
xf(x)dx =
∫ 3
1
x
x
4
dx = 2, 17
V (X) =
∫ ∞
−∞
(x− E(X))2 f(x)dx =
∫ 3
1
(x− 2, 17)2 x
4
dx = 0, 30
E(X2) =
∫ ∞
−∞
x2f(x)dx =
∫ 3
1
x2
x
4
dx = 5, 00
V (X) = E(X2)− (E(X))2 = 5− (2, 17)2 = 0, 30
Noções de Probabilidade 46
3.4 DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADE
A distribuição discreta descreve quantidades aleatórias (dados de interesse) que podem as-
sumir valores particulares e os valores são finitos. Por exemplo, uma variável aleatória discreta
pode assumir somente os valores 0 e 1, ou qualquer inteiro não negativo, etc.
Exemplos
1. Lança-se uma moeda 10 vezes e anota-se o número de caras. Este número pode ser 0, 1, 2
...10.
2. Em uma pesquisa de mercado feita com 200 pessoas, perguntam-se estes compram um
determinado produto. O número de pessoas que compram o produto varia de 0 a 200.
3. Conta-se o número de acidentes que ocorrem em uma rodovia num feriado prolongado. O
número de acidentes em questão pode ser: 0, 1, 2... Como não temos um valor que limite
esse número, supomos que o número de acidentes é qualquer inteiro não negativo.
4. Número de chamadas telefônicas que chegam a uma central em um intervalo de tempo.
Existem várias distribuições discretas ou modelos probabilísticos discretos que podem ser
usados em diversas situações práticas. O problema é determinar qual modelo é mais adequado
para a situação em estudo, e como aplicá-lo adequadamente.
3.4.1 Distribuição Uniforme Discreta
É a mais simples das distribuições discretas e recebe o nome de uniforme porque todos os
valores da variável aleatória são assumidos com a mesma probabilidade.
Exemplo o lançamento de um dado não viciado, definindo como X, a variável aleatória que
representa a face voltada para cima, X assume os valores x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 com a mesma proba-
bilidade 1/6.
A distribuição uniforme neste caso é dada por
f(x) =
1
6
para x = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Generalizado obtém-se a função de probabilidade
f(x) =
1
k
para x = x1, x2, x3, ..., xk
k numero de termos.
Verifica-se então que f(x) depende de k.
3.4.1.1 Parâmetros Característicos da Distribuição Uniforme
1. Média µ = k+12
No exemplo dos dados µ = 6+12 = 3, 5
2. Variância σ2 = k
2−1
12
No exemplo dos alérgicos sigma2 == 6
2−1
12 = 2, 92 s
Noções de Probabilidade 47
3.4.2 Distribuição Bernoulli
Na prática existem muitos experimentos que admitem apenas dois resultados. Exemplos:
1. Uma peça é classificada como boa ou defeituosa;
2. Um entrevistado concorda ou não com a afirmação feita;
3. Um servidor de internet está ativo ou não;
4. Numa linha de produção observa-se se um item é defeituoso ou não.
Situações com alternativas dicotômicas podem ser representadas genericamente por respostas
do tipo sucesso-fracasso.
Esses experimentos recebem o nome de ensaio de Bernoulli e originam uma variável alea-
tória com distribuição Bernoulli. Neste caso, consideramos uma experiência com dois possíveis
resultados
• Sucesso → P (sucesso) = p;
• Fracasso → P (fracasso) = q.
Temos que:
Ω = {Sucesso, Fracasso} ∴ P (Ω) = 1
p+ q = 1 q = 1− p
3.4.2.1 Parâmetros Característicos da Distribuição Uniforme
1. Média µ = p
No exemplo dos dados µ = 6+12 = 3, 5
2. Variância σ2 = pq
No exemplo dos alérgicos sigma2 == 6
2−1
12 = 2, 92 s
3.4.3 Distribuição Binomial
Na maior parte das vezes, são realizados n ensaios de Bernoulli. O interesse está no número
X de ocorrências de sucessos.
Exemplos:
1. lançar uma moeda cinco vezes e observar o número de caras;
2. numa linha de produção, observar dez itens, e verificar quantos são defeituosos;
3. verificar, num dado instante, o número de processadores ativos, num sistema com multi-
processadores;
Uma experimento binomial é dado da seguinte forma:
1. consiste em n ensaios de Bernoulli;
Noções de Probabilidade 48
2. cujos ensaios são independentes; e
3. para o qual a probabilidade de sucesso em cada ensaio é sempre igual a p, 0 < p < 1
A variável aleatória X, correspondente ao número de sucessos num experimento binomial,
tem distribuição binomial com parâmetros n e p, com função de probabilidade dada por
P (X = x) = Cnx p
xqn−xA fórmula de cálculo de uma combinação é a seguinte:
Cnx =
(
n
x
)
=
n!
x! (n− x)!
A função f(x) permite calcular a probabilidade de acontecer o resultado x (número de sucessos
da variável aleatória), não importando a ordem de ocorrência de x dentro da experiência.
Exemplo: Numa família com n = 5 filhos, qual a probabilidade de não haver homens? Qual
a probabilidade de haver dois homens? n = 5, p = 12 , q =
1
2
f(x) = C5xp
xq5−x; x = 0, 1, 2, 4, 5
A variável aleatória representa o número de homens (filhos do sexo masculino) encontrado
em famílias de 5 filhos
1. x = 0 homem
f(x) = C50p
0q5−0
=
5!
0! (5− 0)!
(
1
2
)0(1
2
)5
=
1
32
= 0, 0313 ou 3, 13%
2. x = 2 homens
f(x) = C52p
2q5−2
=
5!
2! (5− 2)!
(
1
2
)2(1
2
)3
=
20
2
1
4
1
8
=
10
32
= 0, 3125 ou 31, 25%
Exemplo: Lançada oito moedas (ou uma moeda oito vezes), qual a chance de obter
• Três caras?
• no máximo três caras?
• no mínimo quatro caras?
Noções de Probabilidade 49
A variável aleatória x neste caso é o número de caras obtidos no lançamento, logo neste caso
o sucesso sair cara nas moedas lançadas. Assim temos:
n = 8, p =
1
2
= 0, 5 q = 1− q = 1− 0, 5 = 0, 5
A função de probabilidade
f(x) = Cnx p
xqn−x
Probabilidade de sair três caras
P [X = 3] = C83p
3q8−3
=
8!
3! (8− 3)!(0, 5)
3(0, 5)5
= 56× 0, 125× 0, 03125 = 0, 2187 ou 21, 87%
Probabilidade de sair no máximo três caras
P [X ≤ 3] = P [X = 0] + P [X = 1] + P [X = 2] + P [X = 3]
P [X = 0] = C80p
0q8−0 = 0, 0039
P [X = 1] = C81p
1q8−1 = 0, 0313
P [X = 2] = C82p
2q8−2 = 0, 1094
P [X = 3] = 0, 2187
P [X ≤ 3] = 0, 0039 + 0, 0313 + 0, 1094 + 0, 2187 = 0, 3633 ou 36, 33%
Probabilidade de sair no mínimo quatro caras
P [X ≥ 4] = P [X = 4] + P [X = 5] + P [X = 6] + P [X = 7] + P [X = 8]
ou
P [X ≥ 4] = 1− P [X < 4] = 1− (P [X = 0] + P [X = 1] + P [X = 2] + P [X = 3])
= 1− 0, 3633 = 0, 6367 ou 63, 67%
3.4.3.1 Parâmetros Característicos da Distribuição Binomial
1. Média µ = np
2. Variância σ2 = npq
3. Desvio Padrão σ = √npq
Utilizando o exemplo das moedas temos:
1. Média µ = np = 8× 0, 5 = 4
Noções de Probabilidade 50
2. Variância σ2 = 8× 0, 5× 0, 5 = 2
3. Desvio Padrão σ = √npq = √2 = 1, 41
3.4.4 Distribuição Hipergeométrica
A distribuição hipergeométrica é intimamente relacionada à distribuição binomial. Enquanto
a distribuição binomial é o modelo aproximado de amostragem sem reposição de uma população,
dicotômica finita, a distribuição hipergeométrica é o modelo de probabilidade para o número
de sucessos em uma amostra. As hipóteses que levam à distribuição hipergeométrica são as
seguintes:
1. 1. A população ou o conjunto de onde é retirada a amostra consiste de N indivíduos,
objetos ou elementos (população finita).
2. Cada indivíduo é classificado como sucesso (p) ou fracassos (q) e há M sucessos na popu-
lação.
3. É selecionada uma amostra sem reposição de n indivíduos de forma que cada subconjunto
de tamanho n seja igualmente provável de ser escolhido.
A distribuição hipergeométrica tem a seguinte função de probabilidade
f(x) =
CkxC
(N−k)
(n−x) ,
CNn
x = 0, 1, 2, 3, ....
em que:
• x é uma variável aleatória discreta;
• N quantidade de itens;
• n tamanho da amostra;
• k numero de sucessos;
Exemplo: Pequenos motores elétricos são expedidos em lotes de 50 unidades. Antes que
uma remessa seja aprovada, um inspetor escolhe 5 desses motores e os inspeciona. Se nenhum
dos motores inspecionados for defeituoso, o lote é aprovado. Se um ou mais forem verificados
defeituosos, todos os motores da remessa são inspecionados. Suponha que existam, de fato,
três motores defeituosos no lote. Qual a probabilidade de que a inspeção de todo o lote seja
necessária?
Se fizermos igual a X o numero de motores defeituosos encontrados, inspeção de todo o lote
seja necessária se X ≥ 1
Noções de Probabilidade 51
Neste caso temos k = 3 n = 5 N = 50;
P [X = x] =
CkxC
(N−k)
(n−x) ,
CNn
P [X ≥ 1] = 1− P [X < 1] = 1− P [X = 0])
P [X = 0] = =
C30C
(50−3)
(5−0) ,
C505
=
C30C
47
5 ,
C505
= 0, 7239
P [X ≥ 1] = 1− 0, 7239 = 0, 2761
Quando se tem nN < 0, 1, pode-se utilizar a distribuição binomial para aproximar a distribui-
ção hipergeométrica.
3.4.4.1 Parâmetros Característicos da Distribuição Hipergeométrica
1. Considerando p =
k
N
e q = 1− p
2. Média µ = np
3. Variância σ2 = npq
N − n
N − 1
3.4.5 Distribuição Geométrica
A distribuição geométrica está também associada à seqüência de uma prova de Bernoulli
excetuando-se que o número de provas não é fixada, e, na verdade, a variável aleatória de interesse
X é definida como o número de provas necessárias para obter o primeiro sucesso.
Exemplos:
• numero de vezes que uma pessoa estaciona num certo local proibido até apanhar uma
multa;
• numero de tentativas até acertar no alvo (jogo de tiro ao alvo);
• numero de lançamentos de uma moeda até sair cara;
A distribuição geométrica tem a seguinte função de probabilidade
f(x) = pqx x = 0, 1, 2, 3, ....
em que:
• x é uma variável aleatória discreta;
• p probabilidade de sucesso;
• q probabilidade de fracasso.
Exemplo: Se 0, 05 é a probabilidade de uma fábrica produzir uma peça defeituosa, qual é
a probabilidade de pelo menos 2 peças boas sejam produzidas antes de se produzir a primeira
defeituosa.
Noções de Probabilidade 52
X o numero peças boas, então pelo menos 2 peças boas X ≥ 2
Neste caso temos p = 0, 05 q = 0, 95;
P [X = x] = pqx
P [X ≥ 2] = 1− P [X < 2] = 1− (P [X = 0] + P [X = 1])
P [X = 0] = (0, 05)(0, 95)0 = 0, 05
P [X = 1] = (0, 05)(0, 95)1 = 0, 0475
P [X ≥ 2] = 1− (0, 05 + 0, 0475) = 1− 0, 0975
3.4.5.1 Parâmetros Característicos da Distribuição Geométrica
1. Média µ =
q
p
2. Variância σ2 =
q
p2
3.4.6 Distribuição de Poisson
A distribuição de Poisson é empregada em experimentos nos quais não se está interessado no
número de sucessos obtido em n tentativas, como ocorre no caso da distribuição binomial, mas
sim no número de sucessos ocorridos durante um intervalo contínuo, que pode ser um intervalo
de tempo, espaço, comprimento, área, ou volume. Alguns exemplos de variáveis que podem ter
a distribuição de Poisson são:
1. número de defeitos por centímetro quadrado;
2. número de acidentes por dia;
3. número de clientes por hora;
4. número de chamadas telefônicas recebidas por minuto;
5. número de falhas de um computador num dia de operação;
6. número de relatórios de acidentes enviados a uma companhia de seguros numa semana.
A distribuição de Poisson tem a seguinte função de probabilidade
f(x) = e−λ
λx
x!
, x = 0, 1, 2, 3, ....
em que:
• x é uma variável aleatória discreta;
• e base dos logaritmos neperianos (2,718...)
• λ - média da distribuição (λp)
Noções de Probabilidade 53
Exemplo: O número médio de dias por ano que ocorrem chuvas acima de 50mm.h−1 em uma
determinada região é 1,5. Qual a probabilidade de haver mais de dois dias com chuvas acima
dessa intensidade.
P [X = x] = e−λ
λx
x!
P [X > 2] = 1− P [X ≤ 2] = 1− (P [X = 0] + P [X = 1] + P [X = 2])
P [X = 0] = = e−1,5
1, 50
0!
= 0, 2231
P [X = 1] = = e−1,5
1, 51
1!
= 0, 3347
P [X = 2] = = e−1,5
1, 52
2!
= 0, 2510
P [X > 2] = 1− (0, 2231 + 0, 3347 + 2510) = 1− 0, 8088 = 0, 1912 ou 19, 12%
A distribuição de Poisson também é conhecida na prática com lei dos eventos raros. Evento
raro pode ser considerado quando n ≥ 50 e p ≤ 0, 10.Nestes casos podemos utilizar a distribuição
de Poisson para probabilidades de situações que seriam utilizadas uma distribuição binomial.
Exemplo: A probabilidade de que um indivíduo apresente reação alérgica após a aplicação
de um soro é de 0,002. Esse mesmo soro foi aplicado a um grupo de1800 pessoas, qual a
probabilidade de que duas pessoas apresentem reação alérgica? n=1800 p=0,002
λ = 1800× 0, 002 = 3, 6 alérgicos
P [X = x] = e−λ
λx
x!
P [X = 2] = = e−3,6
3, 62
2!
0, 1770ou 17, 70%
3.4.6.1 Parâmetros Característicos da Distribuição de Poisson
1. Média µ = λ
No exemplo dos alérgicos µ = 3, 6
2. Variância σ2 = λ
No exemplo dos alérgicos σ2 = 3, 6 s
3. Desvio Padrão σ =
√
λ
No exemplo da sementes σ =
√
3, 6 = 1, 9
Noções de Probabilidade 54
3.5 DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE
São distribuições de variáveis aleatórias contínuas. Uma variável aleatória contínua toma
um numero infinito não numerável de valores (intervalos de números reais), os quais podem ser
associados com medidas numa escala contínua. Exemplos:
1. Mede-se a altura de uma mulher em uma cidade. O valor encontrado é um número real.
Aqui também sabemos que esse número não passa de 3 metros, mas é conveniente considerar
qualquer numero real positivo.
2. Em um exame físico para selecionar um jogador de futebol é medido o peso de cada candi-
dato; aqui também consideramos que o resultado pode ser qualquer número real positivo.
3. Em campanhas preventivas de hipertensão arterial é comum de tempos em tempos medir-se
o nível de colesterol. O valor de cada medida pode ser um número real não negativo.
4. Para pacientes que se apresentam num hospital a primeira atitude é medir-se a temperatura;
o valor da temperatura é um número real que se pode considerar compreendido entre 35o
e 42oC.
5. Retira-se uma lâmpada da linha de produção e coloca-se a mesma em um soquete acendendo-
a; observa-se a mesma até que se queime. O tempo de duração da lâmpada é um numero
real não negativo.
As variáveis continuas ficam completamente definidas por qualquer uma das seguintes funções
• Função densidade de probabilidade f(x) - definida para todo o x em que a variável está
definida.
• Função Acumulada ou de distribuição F (x) - representa a probabilidade acumulada até x
F (x) = P (X ≤ x)
Calculo de probabilidades em variáveis continuas
P (X ≤ a) = F (a) =
∫ a
−∞
f(x)dx
P (a ≤ X ≤ b) = F (b)− F (a) =
∫ b
a
f(x)dx
P (X > a) = 1− F (a)
P (X = a) = 0, para todo o valor de a
3.5.1 Distribuição Uniforme
Se X é uma V. A. C. assumindo qualquer valor num intervalo (a, b) pertencente a R, com a
mesma probabilidade, diz-se que X tem distribuição uniforme.
Noções de Probabilidade 55
A função de densidade da distribuição uniforme é dada por
f(x) =
{
1
b−a parax ∈ (a, b)
0 parax 6∈ (a, b)
em que:
• a é o menor valor assumido por x;
• b é o maior valor assumido por x;
A representação gráfica de f(x) é a seguinte:
A função de distribuição é dada por:
F (x) =

0 sex < a
x−a
b−a se a ≤ x ≤ b
1 sex > b
Área de um retângulo
A = B.h
= (b− a)
(
1
b− a
)
A = 1
Outra forma de ver a área:
A =
∫ b
a
1
b− adx
=
1
b− a
∫ b
a
dx
=
1
b− ax
]b
a
=
1
b− a(b− a) = 1
Realmente é uma função de densidade, pois a f(x) ≥ 0 e a área é igual a 1.
Noções de Probabilidade 56
Exemplo. Se uma VAC assume qualquer valor no intervalo (−2, 3) com a mesma probabili-
dade, a distribuição uniforme tem a seguinte função de densidade:
f(x) =
{
1
3−(−2) =
1
5 parax ∈ (−2, 3)
0 parax 6∈ (−2, 3)
Qual a probabilidade de x estar entre 0 e 2?
P (0 ≤ x ≤ 2) = b.h = 2.1
5
=
2
5
= 0, 4
P (0 ≤ x ≤ 2) = F (2)− F (0)
F (2) =
2 + 2
5
=
4
5
F (0) =
0 + 2
5
=
2
5
P (0 ≤ x ≤ 2) = 4
5
− 2
5
=
2
5
= 0, 4
3.5.1.1 Parâmetros Característicos da Distribuição Uniforme
1. Média µ =
a+ b
2
No exemplo µ =
−2 + 3
2
= 0, 5
2. Variância σ2 =
(b− a)2
12
No exemplo σ2 =
(3− (−2))2
12
=
25
12
= 2, 08
3. Desvio Padrão σ =
b− a√
12
No exemplo σ =
3− (−2)√
12
=
5√
12
= 1, 44
3.5.2 Distribuição Exponencial
A distribuição exponencial está ligada à de Poisson; ela analisa inversamente o experimento:
um intervalo ou espaço para ocorrência de um evento.
Exemplos:
1. O tempo para carregar um caminhão considerando que em média gasta-se 15 minutos para
realizar esta tarefa;
2. O tempo de espera em restaurantes, caixas de banco;
3. O tempo de vida de aparelhos eletrônicos.
A função de densidade da distribuição exponencial é dada por
f(x) = λe−λx, x ≥ 0
em que:
Noções de Probabilidade 57
• λ taxa de falha no intervalo de tempo.
A representação gráfica de f(x) é a seguinte:
A função de distribuição é dada por:
F (x) = 1− e−λx, x ≥ 0
Exemplo: Suponha que uma máquina falhe em média uma vez a cada dois anos. Calcule a
probabilidade da máquina falhar durante o próximo ano. Tempos λ = 12 = 0, 5, e X tempo para
falhar, temos P (X ≤ 1)
P (X ≤ 1) = F (1) = 1− e−0,5 = 0, 3935
3.5.2.1 Parâmetros Característicos da Distribuição Exponencial
1. Média µ =
1
λ
2. Variância σ2 = 1
λ2
3.5.3 Distribuição Normal
A distribuição Normal corresponde a mais importante distribuição de variáveis aleatórias
contínuas, em razão da sua enorme aplicação nos mais variados campos do conhecimento. Sua
função de densidade de probabilidade é dada por:
f(x) =
1√
2piσ2
exp
{
−(x− µ)
2
2σ2
}
, −∞ < x <∞
em que os parâmetros µ e σ2 são respectivamente a média e a variância da distribuição.
A distribuição normal apresenta a seguinte propriedades:
1. É simétrica em relação a µ;
2. O ponto máximo de f(x) ocorre em x = µ. Neste ponto as três medidas de posição (média,
moda e mediana) se confundem;
3. A área compreendida abaixo da curva normal e a acima do eixo x vale 1 ou 100%;
Noções de Probabilidade 58
A distribuição Normal com média µ = 0 e variância σ2 = 1 é conhecida como distribuição
Normal reduzida ou padronizada. Uma variável aleatória com essa distribuição geralmente é
simbolizada pela letra Z.
O cálculo de probabilidades de uma distribuição Normal é feito pela integral definida no
intervalo da variável objeto de estudo:∫ b
a
1√
2piσ2
exp
{
−(x− µ)
2
2σ2
}
dx
Devido a dificuldade de resolução dessa integral, procurou-se métodos alternativos para obten-
ção das probabilidades. Uma das formas mais utilizadas é por meio de tabela de probabilidades
de uma distribuição Normal padrão (Z).
Uma propriedade interessante de uma variável aleatória X que segue qualquer distribuição
Normal é a de que ela pode ser transformada em uma variável normal padrão Z, por meio da
expressão
z =
x− µ
σ
As áreas referentes à variável Z são geralmente tabeladas do tipo
P (0 < Z < z)
Exemplo: A produção diária de uma fabricante de tintas é uma variável aleatória X com
distribuição normal com média µ = 10000galões e variância σ2 = 1000000galões2. A direção
dessa fabrica quer criar um bônus de incentivo aos funcionários, que será pago se a produção
média diária exceder 11000galões. Qual a probabilidade da empresa pagar o bônus? Quero saber
P (X > 11000), primeiro vamos padronizar esta variável, sendo σ =
√
σ2 =
√
1000000 = 1000
Primeiro vamos padronizar esta variável
z =
x− µ
σ
=
11000− 10000
1000
= 1, 0
Assim,
P (X > 11000) = (Z > 1, 0)
Noções de Probabilidade 59
Como a tabela me fornece apenas o valor de que está entre 0 e z, então temos
P (X > 11000) = P (Z > 1, 0) = 0, 5− P (0 < Z < 1, 0) = 0, 5− 0, 3413 = 0, 1587
Assim a probabilidade da empresa pagar o bonus é de 0,1587.
Um membro da direção da fábrica diz que se a empresa tiver produção média diária entre
9000 e 9500 galões em um mês anterior, não tem como pagar o bônus mesmo que o funcionários
tenha excedido os 11000galões. Nesse caso Qual a probabilidade não pagar o bônus.
Quero saber P (9000 < x < 9500), primeiro vamos padronizar esta variável
z1 =
x1 − µ
σ
=
9000− 10000
1000
= −1 z2 = x2 − µ
σ
=
9500− 100001000
= −0, 5
Então
P (9000 < x < 9500) = P (−1 < z < −0, 5)
Como na tabela tem apenas valores positivos e a distribuição normal é simétrica temos que
P (−1 < z < −0, 5) = P (0, 5 < z < 1, 0)
Utilizando a tabela temos que
P (0, 5 < z < 1, 0) = P (0 < z < 1, 0)− P (0 < z < 0, 5) = 0, 3413− 0, 1915 = 0, 1498
Assim, a probabilidade de P (9000 < x < 9500) = 0, 1498
Noções de Probabilidade 60
Qual a probabilidade da empresa produzir entre 9500 e 11000 galões por dia. Utilizando as
padronizações já realizadas temos que
P (9000 < x < 11000) = P (−0, 5 < z < 1, 0)
Assim,
P (−0, 5 < z < 1, 0) = P (0 < z < 1, 0) + P (0 < z < 0, 5) = 0, 3413 + 0, 1915 = 0, 5328
3.5.3.1 Aproximação Normal das Distribuições Binomial e de Poisson
A distribuição normal pode ser utilizada como uma aproximação das distribuições Binomial e
de Poisson. Esta aproximação se torna cada vez melhor quando o tamanho da amostra n cresce.
Recomenda-se usar a aproximação normal, quando:
• Distribuição Binomial - se np e nq ≥ 5
• Distribuição Poisson - se np ≥ 5
No uso da aproximação normal deve-se lembrar que as distribuições Binomial e de Poisson
são de variáveis aleatórias discretas (só existe probabilidade para valores inteiros). Nestes casos
recomenda-se utilizar a correção de continuidade x− 0, 5 e x+ 0, 5.
Exemplo: Sabe-se que o poder germinativo das sementes de uma certa variedade de milho é
de 30%. Semeando 30 destas sementes, qual a probabilidade de germinar mais de cinco semente.
Temos n = 30 e p = 0, 30 e q = 0, 7
A média µ = np = 30× 0, 30 = 9 e a variância σ2 = npq = 100× 0, 30× 0, 70 = 6, 3
Noções de Probabilidade 61
Queremos P (X > 5), utilizando a correção de continuidade P (X > 5, 5). Vamos padronizar
z =
x− µ
σ
=
5, 5− 9√
6, 3
= −1, 39
Assim,
P (X > 5, 5) = P (Z > −1, 39) = 0, 5 + P (0 < Z < 1, 39) = 0, 5 + 0, 4177 = 0, 9177
Exemplo: Numa lâmina verificou-se que existiam em média 27,6 bactérias/cm2. Qual a
probabilidade de se encontrar mais de 35 bactérias por centímetro quadrado?
Temos λ = 27, 6
Queremos P (X > 35), utilizando a correção de continuidade P (X > 35, 5). Vamos padroni-
zar
z =
x− µ
σ
=
35, 5− 27, 6√
27, 6
= 1, 50
Assim,
P (X > 35, 5) = P (Z > 1, 50) = 0, 5− P (0 < Z < 1, 50) = 0, 5− 0, 4332 = 0, 0668
Noções de Probabilidade 62
Tabela 3.2: Distribuição Normal - probabilidade do valor de z padronizado estar entre 0 e o valor
tabulado nas margens
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993
3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995
3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997
3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998
3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998
3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000
Noções de Probabilidade 63
3.6 DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS
Ao retirarmos uma amostra aleatória de uma população e calcularmos a partir desta amostra
qualquer quantidade, encontramos a estatística, ou seja, chamaremos os valores calculados em
função dos elementos da amostra de estatísticas.
3.6.1 Distribuição Amostral da Média (X)
Se considerarmos o processo de seleção de uma amostra aleatória simples como um experi-
mento, a média da amostra X é a descrição numérica do resultado do experimento. Assim, a
média da amostra X é uma variável aleatória. Como resultado, tal como outras variáveis aleató-
rias, X tem uma média ou um valor esperado, uma variância e uma distribuição de probabilidade.
Como os valores possíveis de X são os resultados de diferentes amostras aleatórias simples, a
distribuição da probabilidade de X é chamada de distribuição amostral. Pode-se assim dizer que
a média aleatória X é o valor esperado de , isto é, E(X) = µ, em que µ é a média da população.
Seja σ2
X
a variância da distribuição de amostragem de X; por propriedade da variância está
sera σ2
X
=
σ2
n
3.6.1.1 Teorema do Limite Central (TLC)
Ao selecionar amostras aleatórias simples de tamanho n a partir de uma população com
parâmetros (µ, σ2) a distribuição amostral da média das amostras X pode ser aproximada pela
distribuição normal de probabilidade à medida que o tamanho de amostra se torna maior.Assim:
• Se a população tem distribuição normal, então a média amostral terá uma distribuição
aproximadamente normal, independentemente da forma da distribuição de frequências da
população de onde foi retirada a amostra;
• Se o tamanho n da amostra for suficientemente grande maior ou igual a 30 elementos),
então a média de uma amostra aleatória retirada de uma população terá uma distribuição
aproximadamente normal, independentemente da forma da distribuição de frequências da
população de onde foi retirada a amostra.
Portanto, a distribuição da média amostral é aproximadamente normal e seus valores de
média e desvios padrão estão relacionados com média µX = µ e variância σ
2
X
=
σ2
n
Noções de Probabilidade 64
Como a distribuição da média amostral é uma distribuição normal, podemos transforma-la
em uma variável normal padrão Z, por meio da expressão
z =
x− µ
σ√
n
Exemplo: Uma industria elétrica fabrica lâmpadas que têm vida útil distribuída com média
de 800horas e variânciaigual 1600(horas)2. Qual a probabilidade de uma amostra aleatória de
tamanho n = 64 ter vida útil superio a 806, 65horas
Temos que µ = 800 e σ2 = 1600 e σ = 40, então µX = 800 e σ
2
X
= 160064 ,
Queremos P (X > 10, 0), primeiro vamos padronizar
z =
x− µ
σ√
n
=
806, 65− 800
40√
64
=
6, 65
40
8
= 1, 33
Então:
P (X > 806, 65) = P (z > 1, 33) = 0, 5− P (0 < z < 1, 33) = 0, 5− 0, 4082 = 0, 0918
3.6.1.2 Distribuição t de student
A distribuição t de Student aparece naturalmente no problema de se determinar a média de
uma população (que segue a distribuição normal) a partir de uma amostra. Neste problema, não
se sabe qual é a média ou o desvio padrão da população, mas ela deve ser normal.
A variável aleatória T dada por:
t =
X − µ
S/
√
n
segue uma distribuição t de Student com ν = n− 1 graus de liberdade, e a função de densidade
é dada por
f(t) =
Γ(ν+12 )√
νpi Γ(ν2 )
(
1 +
t2
ν
)−( ν+1
2
)
,
Grau de liberdade pode ser entendido como número de termos independentes (dimensão da
amostra) a serem avaliados na população.
Algumas características da distribuição t de student:
Noções de Probabilidade 65
• É simétrica em relação a zero;
• Todas curvas tem máximo em t = 0;
• Existe uma curva para cada tamanho de amostra (n) e o valor ν = n− 1 (número de graus
de liberdade) é usado para obtenção de valores na tabela;
• A medida que n cresce a distribuição t se aproxima da normal padrão z;
Valores de probabilidade de t são obtidos em tabelas. A tabela de t informa o valor acima
do qual se encontra a area α
Exemplo: Seja uma amostra n = 15. Qual é o valor de t acima do qual tem-se 5% de
probabilidade. α = 0, 05, ν = 15− 1 = 14, pela tabela temos que t=1,761
Exemplo: Qual é o valor de t acima do qual tem-se 90% de probabilidade α = 0, 90; ν =
15 − 1 = 14, pela simetria da distribuição o valor que deixa 10% da área à sua esquerda com o
sinal negativo.
α = 0, 10; ν = 15 − 1 = 14, então t = 1, 345, pela simetria α = 0, 90; ν = 15 − 1 = 14,
t = −1, 345
Noções de Probabilidade 66
3.6.2 Distribuição amostral para proporção
Considere que uma população a proporção de elementos que portadores de certa característica
é p . Definindo uma variável aleatória, da seguinte maneira
X =
{
1 se o indivíduo for portador da caractéristica
0 se o indivíduo nãofor portador da caractéristica
Logo E(X) = p e V ar(X) = σ2.
Como os resultados individuais são 0 (fracasso) ou 1 (sucesso), temos que Y =
∑n
i=1 xi
é o total de indivíduos de resultados em n ensaios, que correspondem aos sucessos (indivíduo
for portador da característica), porque aos resultados que correspondem aos fracassos, estão
associados o valor zero.
Assim, Y tem distribuição binomial com parâmetros n (tamanho da amostra) e p (proporção
de indivíduos portadores da característica), em que:
pˆ =
Y
n
=
n∑
i=1
xi
n
ou seja,p é igual à média da variável aleatória X
Como Y tem distribuição binomial b(n, p), com média µ = np e variância σ2 = npq. Conse-
quentemente,
E[p] = E
[
Y
n
]
=
1
n
E[Y ] =
1
n
np = p
V ar[p] = E
[
Y
n
]
=
1
n2
E[Y ] =
1
n2
npq =
pq
n
Assim, pelo Teorema Limite Central, quando n é grande (n > 30), a proporção amostral pˆ de
sucessos em n ensaios de Bernoulli tem distribuição aproximadamente normal com média µ = p
e variância σ2 = pqn , e assim podemos utilizar a padronização:
z =
pˆ− µ
σ
=
pˆ− p√
pq
n
exemplo:
Noções de Probabilidade 67
3.6.3 Distribuição Amostral da Variância
3.6.3.1 Distribuição Qui-Quadrado
Há casos em que se está mais interessado na variância do que na média da amostra. Por
exemplo, em filas de espera. Mesmo conhecendo-se o tempo médio de espera, a informação do
grau de variabilidade deste tempo é importante. A distribuição usada neste caso é conhecida
como Distribuição Qui-Quadrado, definida como:
χ2 =
(n− 1)S2
σ2
e a função de densidade é dada por
f(x) =
1
2ν/2Γ(ν/2)
xν/2−1e−x/2 I{x≥0},
Da mesma forma que a distribuição t, existe uma curva para distribuição Qui-quadrado para
cada tamanho de amostra (n) e o valor ν = n− 1 (número de graus de liberdade) é usado para
obtenção de valores na tabela.
A tabela de χ2 fornece o valor acima do qual encontra-se a área α
Exemplo: Uma amostra com n = 15. Qual o valor que deixa à sua direita 5% da área?
α = 0, 05, ν = 15− 1 = 14, pela tabela temos que t=1,761
3.6.3.2 Distribuição F
A distribuição F está entre aquela distribuições de probabilidade mais importantes na esta-
tística, tem maior destaque na área de experimentação agrícola. Essa distribuição é definida pela
Noções de Probabilidade 68
variável resultante da razão duas variâncias:
F =
S21σ
2
1
S22σ
2
2
e a função de densidade é dada por
f(x) =
Γ
(
ν1+ν2
2
) (
ν1
ν2
) ν1
2
x
ν1
2
−1
Γ
(
ν1
2
)
Γ
(
ν2
2
) (
1 + ν1xν2
) ν1+ν2
2
Para se obter valores tabelados da distribuição F, é necessário observar dois graus de libera-
dade ν1 = n1 − 1 e ν2 = n2 − 1, o primeiro associado à variância amostral do numerador, e o
segundo associado à variância amostral do denominador.
A tabela de F informa o valor acima do qual se encontra a area α e existe uma tabela para
cada valor α e diferentes combinações de ν1 e ν2.
Exemplo: Para duas amostras de F
Noções de Probabilidade 69
Tabela 3.3: Distribuição t de student - valores para P (t > tc) = α, considerando α =
0, 250; 0, 200; 0, 150; 0, 100; 0, 050; 0, 025; 0, 010; 0, 005; 0, 001.
GL α
ν = n− 1 0,250 0,200 0,150 0,100 0,050 0,025 0,010 0,005 0,001
1 1,000 1,376 1,963 3,078 6,314 12,706 31,821 63,656 318,289
2 0,816 1,061 1,386 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 22,328
3 0,765 0,978 1,250 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 10,214
4 0,741 0,941 1,190 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 7,173
5 0,727 0,920 1,156 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 5,894
6 0,718 0,906 1,134 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,208
7 0,711 0,896 1,119 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,785
8 0,706 0,889 1,108 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 4,501
9 0,703 0,883 1,100 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,297
10 0,700 0,879 1,093 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,144
11 0,697 0,876 1,088 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,025
12 0,695 0,873 1,083 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,930
13 0,694 0,870 1,079 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,852
14 0,692 0,868 1,076 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,787
15 0,691 0,866 1,074 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,733
16 0,690 0,865 1,071 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 3,686
17 0,689 0,863 1,069 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,646
18 0,688 0,862 1,067 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,610
19 0,688 0,861 1,066 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,579
20 0,687 0,860 1,064 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,552
21 0,686 0,859 1,063 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,527
22 0,686 0,858 1,061 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,505
23 0,685 0,858 1,060 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,485
24 0,685 0,857 1,059 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,467
25 0,684 0,856 1,058 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,450
26 0,684 0,856 1,058 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,435
27 0,684 0,855 1,057 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,421
28 0,683 0,855 1,056 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,408
29 0,683 0,854 1,055 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,396
30 0,683 0,854 1,055 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,385
40 0,681 0,851 1,050 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,307
50 0,679 0,849 1,047 1,299 1,676 2,009 2,403 2,678 3,261
60 0,679 0,848 1,045 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3,232
80 0,678 0,846 1,043 1,292 1,664 1,990 2,374 2,639 3,195
100 0,677 0,845 1,042 1,290 1,660 1,984 2,364 2,626 3,174
120 0,677 0,845 1,041 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617 3,160
240 0,676 0,843 1,039 1,285 1,651 1,970 2,342 2,596 3,125
480 0,675 0,842 1,038 1,283 1,648 1,965 2,334 2,586 3,107
700 0,675 0,842 1,037 1,283 1,647 1,963 2,332 2,583 3,102
1000 0,675 0,842 1,0371,282 1,646 1,962 2,330 2,581 3,098
Noções de Probabilidade 70
Tabela 3.4: Disitruição Qui-quadrado - Valores de χ2 para P (χ2 > χ2c com α =
0, 995; 0, 9900, 975; 0, 950; 0, 900; 0, 750; 0, 500; 0, 250; 0, 100; 0, 050; 0, 025; 0, 010; 0, 005.
n α
0,995 0,990 0,975 0,950 0,900 0,750 0,500 0,250 0,100 0,050 0,025 0,010 0,005
1 3,93E-05 1,57E-04 0,001 0,004 0,016 0,102 0,455 1,323 2,706 3,841 5,024 6,635 7,879
2 0,010 0,020 0,051 0,103 0,211 0,575 1,386 2,773 4,605 5,991 7,378 9,210 10,597
3 0,072 0,115 0,216 0,352 0,584 1,213 2,366 4,108 6,251 7,815 9,348 11,345 12,838
4 0,207 0,297 0,484 0,711 1,064 1,923 3,357 5,385 7,779 9,488 11,143 13,277 14,860
5 0,412 0,554 0,831 1,145 1,610 2,675 4,351 6,626 9,236 11,070 12,832 15,086 16,750
6 0,676 0,872 1,237 1,635 2,204 3,455 5,348 7,841 10,645 12,592 14,449 16,812 18,548
7 0,989 1,239 1,690 2,167 2,833 4,255 6,346 9,037 12,017 14,067 16,013 18,475 20,278
8 1,344 1,647 2,180 2,733 3,490 5,071 7,344 10,219 13,362 15,507 17,535 20,090 21,955
9 1,735 2,088 2,700 3,325 4,168 5,899 8,343 11,389 14,684 16,919 19,023 21,666 23,589
10 2,156 2,558 3,247 3,940 4,865 6,737 9,342 12,549 15,987 18,307 20,483 23,209 25,188
11 2,603 3,053 3,816 4,575 5,578 7,584 10,341 13,701 17,275 19,675 21,920 24,725 26,757
12 3,074 3,571 4,404 5,226 6,304 8,438 11,340 14,845 18,549 21,026 23,337 26,217 28,300
13 3,565 4,107 5,009 5,892 7,041 9,299 12,340 15,984 19,812 22,362 24,736 27,688 29,819
14 4,075 4,660 5,629 6,571 7,790 10,165 13,339 17,117 21,064 23,685 26,119 29,141 31,319
15 4,601 5,229 6,262 7,261 8,547 11,037 14,339 18,245 22,307 24,996 27,488 30,578 32,801
16 5,142 5,812 6,908 7,962 9,312 11,912 15,338 19,369 23,542 26,296 28,845 32,000 34,267
17 5,697 6,408 7,564 8,672 10,085 12,792 16,338 20,489 24,769 27,587 30,191 33,409 35,718
18 6,265 7,015 8,231 9,390 10,865 13,675 17,338 21,605 25,989 28,869 31,526 34,805 37,156
19 6,844 7,633 8,907 10,117 11,651 14,562 18,338 22,718 27,204 30,144 32,852 36,191 38,582
20 7,434 8,260 9,591 10,851 12,443 15,452 19,337 23,828 28,412 31,410 34,170 37,566 39,997
21 8,034 8,897 10,283 11,591 13,240 16,344 20,337 24,935 29,615 32,671 35,479 38,932 41,401
22 8,643 9,542 10,982 12,338 14,041 17,240 21,337 26,039 30,813 33,924 36,781 40,289 42,796
23 9,260 10,196 11,689 13,091 14,848 18,137 22,337 27,141 32,007 35,172 38,076 41,638 44,181
24 9,886 10,856 12,401 13,848 15,659 19,037 23,337 28,241 33,196 36,415 39,364 42,980 45,558
25 10,520 11,524 13,120 14,611 16,473 19,939 24,337 29,339 34,382 37,652 40,646 44,314 46,928
26 11,160 12,198 13,844 15,379 17,292 20,843 25,336 30,435 35,563 38,885 41,923 45,642 48,290
27 11,808 12,878 14,573 16,151 18,114 21,749 26,336 31,528 36,741 40,113 43,195 46,963 49,645
28 12,461 13,565 15,308 16,928 18,939 22,657 27,336 32,620 37,916 41,337 44,461 48,278 50,994
29 13,121 14,256 16,047 17,708 19,768 23,567 28,336 33,711 39,087 42,557 45,722 49,588 52,335
30 13,787 14,953 16,791 18,493 20,599 24,478 29,336 34,800 40,256 43,773 46,979 50,892 53,672
40 20,707 22,164 24,433 26,509 29,051 33,660 39,335 45,616 51,805 55,758 59,342 63,691 66,766
50 27,991 29,707 32,357 34,764 37,689 42,942 49,335 56,334 63,167 67,505 71,420 76,154 79,490
60 35,534 37,485 40,482 43,188 46,459 52,294 59,335 66,981 74,397 79,082 83,298 88,379 91,952
70 43,275 45,442 48,758 51,739 55,329 61,698 69,334 77,577 85,527 90,531 95,023 100,425 104,215
80 51,172 53,540 57,153 60,391 64,278 71,145 79,334 88,130 96,578 101,879 106,629 112,329 116,321
90 59,196 61,754 65,647 69,126 73,291 80,625 89,334 98,650 107,565 113,145 118,136 124,116 128,299
100 67,328 70,065 74,222 77,929 82,358 90,133 99,334 109,141 118,498 124,342 129,561 135,807 140,170
Noções de Probabilidade 71
Tabela 3.5: Limites unilaterais de F ao nível de 10% de probabilidade com os graus de liberdade
ν1 e ν2
ν2 ν1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 39,863 49,500 53,593 55,833 57,240 58,204 58,906 59,439 59,858 60,195 60,473
2 8,526 9,000 9,162 9,243 9,293 9,326 9,349 9,367 9,381 9,392 9,401
3 5,538 5,462 5,391 5,343 5,309 5,285 5,266 5,252 5,240 5,230 5,222
4 4,545 4,325 4,191 4,107 4,051 4,010 3,979 3,955 3,936 3,920 3,907
5 4,060 3,780 3,619 3,520 3,453 3,405 3,368 3,339 3,316 3,297 3,282
6 3,776 3,463 3,289 3,181 3,108 3,055 3,014 2,983 2,958 2,937 2,920
7 3,589 3,257 3,074 2,961 2,883 2,827 2,785 2,752 2,725 2,703 2,684
8 3,458 3,113 2,924 2,806 2,726 2,668 2,624 2,589 2,561 2,538 2,519
9 3,360 3,006 2,813 2,693 2,611 2,551 2,505 2,469 2,440 2,416 2,396
10 3,285 2,924 2,728 2,605 2,522 2,461 2,414 2,377 2,347 2,323 2,302
11 3,225 2,860 2,660 2,536 2,451 2,389 2,342 2,304 2,274 2,248 2,227
12 3,177 2,807 2,606 2,480 2,394 2,331 2,283 2,245 2,214 2,188 2,166
13 3,136 2,763 2,560 2,434 2,347 2,283 2,234 2,195 2,164 2,138 2,116
14 3,102 2,726 2,522 2,395 2,307 2,243 2,193 2,154 2,122 2,095 2,073
15 3,073 2,695 2,490 2,361 2,273 2,208 2,158 2,119 2,086 2,059 2,037
20 2,975 2,589 2,380 2,249 2,158 2,091 2,040 1,999 1,965 1,937 1,913
30 2,881 2,489 2,276 2,142 2,049 1,980 1,927 1,884 1,849 1,819 1,794
40 2,835 2,440 2,226 2,091 1,997 1,927 1,873 1,829 1,793 1,763 1,737
50 2,809 2,412 2,197 2,061 1,966 1,895 1,840 1,796 1,760 1,729 1,703
60 2,791 2,393 2,177 2,041 1,946 1,875 1,819 1,775 1,738 1,707 1,680
120 2,748 2,347 2,130 1,992 1,896 1,824 1,767 1,722 1,684 1,652 1,625
240 2,727 2,325 2,107 1,968 1,871 1,799 1,742 1,696 1,658 1,625 1,598
ν2 ν1
12 13 14 15 20 30 40 50 60 120 240
1 60,705 60,903 61,073 61,220 61,740 62,265 62,529 62,688 62,794 63,061 63,194
2 9,408 9,415 9,420 9,425 9,441 9,458 9,466 9,471 9,475 9,483 9,487
3 5,216 5,210 5,205 5,200 5,184 5,168 5,160 5,155 5,151 5,143 5,138
4 3,896 3,886 3,878 3,870 3,844 3,817 3,804 3,795 3,790 3,775 3,768
5 3,268 3,257 3,247 3,238 3,207 3,174 3,157 3,147 3,140 3,123 3,114
6 2,905 2,892 2,881 2,871 2,836 2,800 2,781 2,770 2,762 2,742 2,732
7 2,668 2,654 2,643 2,632 2,595 2,555 2,535 2,523 2,514 2,493 2,482
8 2,502 2,488 2,475 2,464 2,425 2,383 2,361 2,348 2,339 2,316 2,304
9 2,379 2,364 2,351 2,340 2,298 2,255 2,232 2,218 2,208 2,184 2,172
10 2,284 2,269 2,255 2,244 2,201 2,155 2,132 2,117 2,107 2,082 2,069
11 2,209 2,193 2,179 2,167 2,123 2,076 2,052 2,036 2,026 2,000 1,986
12 2,147 2,131 2,117 2,105 2,060 2,011 1,986 1,970 1,960 1,932 1,918
13 2,097 2,080 2,066 2,053 2,007 1,958 1,931 1,915 1,904 1,876 1,861
14 2,054 2,037 2,022 2,010 1,962 1,912 1,885 1,869 1,857 1,828 1,813
15 2,017 2,000 1,985 1,972 1,924 1,873 1,845 1,828 1,817 1,787 1,771
20 1,892 1,875 1,859 1,845 1,794 1,738 1,708 1,690 1,677 1,643 1,626
30 1,773 1,754 1,737 1,722 1,667 1,606 1,573 1,552 1,538 1,499 1,478
40 1,715 1,695 1,678 1,662 1,605 1,541 1,506 1,483 1,467 1,425 1,402
50 1,680 1,660 1,643 1,627 1,568 1,502 1,465 1,441 1,424 1,379 1,354
60 1,657 1,637 1,619 1,603 1,543 1,476 1,437 1,413 1,395 1,348 1,321
120 1,601 1,580 1,562 1,545 1,482 1,409 1,368 1,340 1,320 1,265 1,232
240 1,573 1,552 1,533 1,516 1,451 1,376 1,332 1,302 1,281 1,219 1,180
Noções de Probabilidade 72
Tabela 3.6: Limites unilaterais de F ao nível de 5% de probabilidade com os graus de liberdade
ν1 e ν2
ν2 ν1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 161,448 199,500 215,707 224,583 230,162 233,986 236,768 238,883 240,543 241,882 242,983
2 18,513 19,000 19,164 19,247 19,296 19,330 19,353 19,371 19,385 19,396 19,405
3 10,128 9,552 9,277 9,117 9,013 8,941 8,887 8,845 8,812 8,786 8,763
4 7,709 6,944 6,591 6,388 6,256 6,163 6,094 6,041 5,999 5,964 5,936
5 6,608 5,786 5,409 5,192 5,050 4,950 4,876 4,818 4,772 4,735 4,704
6 5,987 5,143 4,757 4,534 4,387 4,284 4,207 4,147 4,099 4,060 4,027
7 5,591 4,737 4,347 4,120 3,972 3,866 3,787 3,726 3,677 3,637 3,603
8 5,318 4,459 4,066 3,838 3,687 3,581 3,500 3,438 3,388 3,347 3,313
9 5,117 4,256 3,863 3,633 3,482 3,374 3,293 3,230 3,179 3,137 3,102
10 4,965 4,103 3,708 3,478 3,326 3,217 3,135 3,072 3,020 2,978 2,943
11 4,844 3,982 3,587 3,357 3,204 3,095 3,012 2,948 2,896 2,854 2,818
12 4,747 3,885 3,490 3,259 3,106 2,996 2,9132,849 2,796 2,753 2,717
13 4,667 3,806 3,411 3,179 3,025 2,915 2,832 2,767 2,714 2,671 2,635
14 4,600 3,739 3,344 3,112 2,958 2,848 2,764 2,699 2,646 2,602 2,565
15 4,543 3,682 3,287 3,056 2,901 2,790 2,707 2,641 2,588 2,544 2,507
20 4,351 3,493 3,098 2,866 2,711 2,599 2,514 2,447 2,393 2,348 2,310
30 4,171 3,316 2,922 2,690 2,534 2,421 2,334 2,266 2,211 2,165 2,126
40 4,085 3,232 2,839 2,606 2,449 2,336 2,249 2,180 2,124 2,077 2,038
50 4,034 3,183 2,790 2,557 2,400 2,286 2,199 2,130 2,073 2,026 1,986
60 4,001 3,150 2,758 2,525 2,368 2,254 2,167 2,097 2,040 1,993 1,952
120 3,920 3,072 2,680 2,447 2,290 2,175 2,087 2,016 1,959 1,910 1,869
240 3,880 3,033 2,642 2,409 2,252 2,136 2,048 1,977 1,919 1,870 1,829
ν2 ν1
12 13 14 15 20 30 40 50 60 120 240
1 243,906 244,690 245,364 245,950 248,013 250,095 251,143 251,774 252,196 253,253 253,783
2 19,413 19,419 19,424 19,429 19,446 19,462 19,471 19,476 19,479 19,487 19,492
3 8,745 8,729 8,715 8,703 8,660 8,617 8,594 8,581 8,572 8,549 8,538
4 5,912 5,891 5,873 5,858 5,803 5,746 5,717 5,699 5,688 5,658 5,643
5 4,678 4,655 4,636 4,619 4,558 4,496 4,464 4,444 4,431 4,398 4,382
6 4,000 3,976 3,956 3,938 3,874 3,808 3,774 3,754 3,740 3,705 3,687
7 3,575 3,550 3,529 3,511 3,445 3,376 3,340 3,319 3,304 3,267 3,249
8 3,284 3,259 3,237 3,218 3,150 3,079 3,043 3,020 3,005 2,967 2,947
9 3,073 3,048 3,025 3,006 2,936 2,864 2,826 2,803 2,787 2,748 2,727
10 2,913 2,887 2,865 2,845 2,774 2,700 2,661 2,637 2,621 2,580 2,559
11 2,788 2,761 2,739 2,719 2,646 2,570 2,531 2,507 2,490 2,448 2,426
12 2,687 2,660 2,637 2,617 2,544 2,466 2,426 2,401 2,384 2,341 2,319
13 2,604 2,577 2,554 2,533 2,459 2,380 2,339 2,314 2,297 2,252 2,230
14 2,534 2,507 2,484 2,463 2,388 2,308 2,266 2,241 2,223 2,178 2,155
15 2,475 2,448 2,424 2,403 2,328 2,247 2,204 2,178 2,160 2,114 2,090
20 2,278 2,250 2,225 2,203 2,124 2,039 1,994 1,966 1,946 1,896 1,870
30 2,092 2,063 2,037 2,015 1,932 1,841 1,792 1,761 1,740 1,683 1,654
40 2,003 1,974 1,948 1,924 1,839 1,744 1,693 1,660 1,637 1,577 1,544
50 1,952 1,921 1,895 1,871 1,784 1,687 1,634 1,599 1,576 1,511 1,476
60 1,917 1,887 1,860 1,836 1,748 1,649 1,594 1,559 1,534 1,467 1,430
120 1,834 1,803 1,775 1,750 1,659 1,554 1,495 1,457 1,429 1,352 1,307
240 1,793 1,761 1,733 1,708 1,614 1,507 1,445 1,404 1,375 1,290 1,237
Noções de Probabilidade 73
Tabela 3.7: Limites unilaterais de F ao nível de 2,5% de probabilidade com os graus de liberdade
ν1 e ν2
ν2 ν1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 647,789 799,500 864,163 899,583 921,848 937,111 948,217 956,656 963,285 968,627 973,025
2 38,506 39,000 39,165 39,248 39,298 39,331 39,355 39,373 39,387 39,398 39,407
3 17,443 16,044 15,439 15,101 14,885 14,735 14,624 14,540 14,473 14,419 14,374
4 12,218 10,649 9,979 9,605 9,364 9,197 9,074 8,980 8,905 8,844 8,794
5 10,007 8,434 7,764 7,388 7,146 6,978 6,853 6,757 6,681 6,619 6,568
6 8,813 7,260 6,599 6,227 5,988 5,820 5,695 5,600 5,523 5,461 5,410
7 8,073 6,542 5,890 5,523 5,285 5,119 4,995 4,899 4,823 4,761 4,709
8 7,571 6,059 5,416 5,053 4,817 4,652 4,529 4,433 4,357 4,295 4,243
9 7,209 5,715 5,078 4,718 4,484 4,320 4,197 4,102 4,026 3,964 3,912
10 6,937 5,456 4,826 4,468 4,236 4,072 3,950 3,855 3,779 3,717 3,665
11 6,724 5,256 4,630 4,275 4,044 3,881 3,759 3,664 3,588 3,526 3,474
12 6,554 5,096 4,474 4,121 3,891 3,728 3,607 3,512 3,436 3,374 3,321
13 6,414 4,965 4,347 3,996 3,767 3,604 3,483 3,388 3,312 3,250 3,197
14 6,298 4,857 4,242 3,892 3,663 3,501 3,380 3,285 3,209 3,147 3,095
15 6,200 4,765 4,153 3,804 3,576 3,415 3,293 3,199 3,123 3,060 3,008
20 5,871 4,461 3,859 3,515 3,289 3,128 3,007 2,913 2,837 2,774 2,721
30 5,568 4,182 3,589 3,250 3,026 2,867 2,746 2,651 2,575 2,511 2,458
40 5,424 4,051 3,463 3,126 2,904 2,744 2,624 2,529 2,452 2,388 2,334
50 5,340 3,975 3,390 3,054 2,833 2,674 2,553 2,458 2,381 2,317 2,263
60 5,286 3,925 3,343 3,008 2,786 2,627 2,507 2,412 2,334 2,270 2,216
120 5,152 3,805 3,227 2,894 2,674 2,515 2,395 2,299 2,222 2,157 2,102
240 5,088 3,746 3,171 2,839 2,620 2,461 2,341 2,245 2,167 2,102 2,047
ν2 ν1
12 13 14 15 20 30 40 50 60 120 240
1 976,708 979,837 982,528 984,867 993,103 1001,414 1005,598 1008,117 1009,800 1014,020 1016,137
2 39,415 39,421 39,427 39,431 39,448 39,465 39,473 39,478 39,481 39,490 39,494
3 14,337 14,304 14,277 14,253 14,167 14,081 14,037 14,010 13,992 13,947 13,925
4 8,751 8,715 8,684 8,657 8,560 8,461 8,411 8,381 8,360 8,309 8,283
5 6,525 6,488 6,456 6,428 6,329 6,227 6,175 6,144 6,123 6,069 6,042
6 5,366 5,329 5,297 5,269 5,168 5,065 5,012 4,980 4,959 4,904 4,877
7 4,666 4,628 4,596 4,568 4,467 4,362 4,309 4,276 4,254 4,199 4,171
8 4,200 4,162 4,130 4,101 3,999 3,894 3,840 3,807 3,784 3,728 3,699
9 3,868 3,831 3,798 3,769 3,667 3,560 3,505 3,472 3,449 3,392 3,363
10 3,621 3,583 3,550 3,522 3,419 3,311 3,255 3,221 3,198 3,140 3,110
11 3,430 3,392 3,359 3,330 3,226 3,118 3,061 3,027 3,004 2,944 2,914
12 3,277 3,239 3,206 3,177 3,073 2,963 2,906 2,871 2,848 2,787 2,756
13 3,153 3,115 3,082 3,053 2,948 2,837 2,780 2,744 2,720 2,659 2,628
14 3,050 3,012 2,979 2,949 2,844 2,732 2,674 2,638 2,614 2,552 2,520
15 2,963 2,925 2,891 2,862 2,756 2,644 2,585 2,549 2,524 2,461 2,429
20 2,676 2,637 2,603 2,573 2,464 2,349 2,287 2,249 2,223 2,156 2,121
30 2,412 2,372 2,338 2,307 2,195 2,074 2,009 1,968 1,940 1,866 1,827
40 2,288 2,248 2,213 2,182 2,068 1,943 1,875 1,832 1,803 1,724 1,682
50 2,216 2,176 2,140 2,109 1,993 1,866 1,796 1,752 1,721 1,639 1,594
60 2,169 2,129 2,093 2,061 1,944 1,815 1,744 1,699 1,667 1,581 1,534
120 2,055 2,014 1,977 1,945 1,825 1,690 1,614 1,565 1,530 1,433 1,376
240 1,999 1,958 1,921 1,888 1,766 1,628 1,549 1,497 1,460 1,354 1,289
4
INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
Vários tipos de estudos tem o objetivo de obter conclusões (fazer inferências) a respeito de
parâmetros de uma população. A impossibilidade de avaliar toda a população faz com que a
partir de amostras possamos obter estimativas daqueles parâmetros. A generalização da amos-
tra para a população é feita com o auxílio de um modelo estatístico para a situação em estudo,
estas generalizações estão sempre associadas um grau de incerteza e, consequentemente, uma
probabilidade de erro. A teoria da estimação preocupa-se com a obtenção do respectivo de um
estimador para um determinado parâmetro, com intuito de descrever o seu comportamento com
o menor erro possível.
Parâmetro: É uma constante (um número) que caracteriza uma população. Exemplo: média
populacional µ , variância populacional σ2 , etc. Em geral, os parâmetros são desconhecidos.
Estimador: É uma expressão algébrica utilizada para obter um valor aproximado de um
parâmetro. Exemplo:
X =
n∑
i=1
xi
n
.
Estimativa: É o valor numérico de um estimador. É determinada usando os dados amostrais.
Exemplo: Mediante uma pesquisa queremos conhecer o tamanho médio dos estudantes uni-
versitários do Brasil.
• População: Todas os estudantes universitários do Brasil;
• Amostra: por exemplo, 500 estudantes;
• Parâmetro: Média das alturas .
• Estimador:
X =
n∑
i=1
xi
n
.
• Estimativa: X = 1, 7m (valor aproximado para µ) .
Inferência Estatística 75
4.1 ESTIMAÇÃO
É um processo de indução, na qual usamos dados extraídos de uma amostra para produzir
inferência sobre a população. Esta inferência só será válida se a amostra for significativa.
Tipos de Estimações de Parâmetros
1. Estimação Pontual;
2. Estimação Intervalar
4.1.1 Estimação Pontual
É usada quando a partir da amostra procura-se obter um único valor de certo parâmetro
populacional, ou seja, obter estimativas a partir dos valores amostrais.
A estimativas são os valores amostrais obtidos para a média, variância, proporção, etc. Os
valores de X, S2, S estimam, respectivamente µ, σ2 e σ.
4.1.2 Estimação Intervalar
Uma outra maneira de se calcular um estimativa de um parâmetro desconhecido, é construir
um intervalo de confiança [a, b] para esse parâmetro com umaprobabilidade de 1 − α (nível
de confiança) de que o intervalo contenha o verdadeiro parâmetro, usando as distribuições de
amostragem podemos obter expressões do tipo:
P (a ≤ µ ≤ b) = 1− α
Dessa maneira α será o nível de significância, isto é, o erro que se estará cometendo ao afirmar
que o parâmetro está entre o limite inferior e o superior calculado.
4.1.2.1 Intervalo de Confiança para proporção p
Consideremos uma população cujos elementos podem ser classificados em dois tipos: Sucesso
e Insucesso. Pretende-se estimar a proporção p de sucessos na população.
Dada uma amostra de tamanho n, uma estimativa pontual de p da proporção de sucessos é
dada por
pˆ =
x
n
.
Pelo teorema do limite cental, quando n for suficientemente grande pˆ tem distribuição apro-
ximadamente normal, com média µpˆ = p e variância a σ2pˆ =
pq
n , em que:
z =
pˆ− p√
pq
n
Inferência Estatística 76
Fixando uma probabilidade de confiança (1−α) , o intervalo de confiança para uma proporção
pode ser obtido da seguinte forma:
P
(
pˆ− zα
2
√
pˆqˆ
n
≤ p ≤ pˆ+ zα
2
√
pˆqˆ
n
)
= 1− α
onde:zα
2
√
pˆqˆ
n
é a margem de erro da proporção e zα
2
é o valor da curva normal padrão acima
do qual encontramos uma área de α2 .
Exemplo: Uma empresa de pesquisa de mercado faz contato com 30 pessoas para saber a
satisfação a uma determinada marca de refrigerante, 12 delas respondem que gosta da referida
marca. Obtenha o intervalo de confiança de 95% para proporção de pessoas que gostam da
marca.
Nesse caso o sucesso é o gosto pela marca de refrigerante
pˆ =
x
n
=
12
30
= 0, 40
Como pˆ = 0, 40, temos que qˆ = 1− pˆ = 1− 0, 40 = 0, 60
Como queremos o intervalo de confiança a 95%, temos que:
1− α = 0, 95⇒ α = 1− 0, 95 = 0, 05⇒ α
2
=
0, 05
2
= 0, 025
Assim, temos que o valor tabelado de zα
2
= 1, 96
P
(
pˆ− zα
2
√
pˆqˆ
n
≤ p ≤ pˆ+ zα
2
√
pˆqˆ
n
)
= 0, 95
P
(
0, 40− 1, 96
√
0, 40× 0, 60
30
≤ p ≤ 0, 40 + 1, 96
√
0, 40× 0, 60
30
)
= 0, 95
P (0, 40− 0, 08 ≤ p ≤ 0, 40 + 0, 80) = 0, 95
P (0, 32 ≤ p ≤ 0, 48) = 0, 95
Assim,
IC95%(µ) = [0, 32; 0, 48]
4.1.2.2 Intervalo de Confiança para média µ com variância σ2 conhecida
Como já vimos anteriormente, X (média amostral) tem distribuição normal de média µ e
variância σ
2
n , assim um intervalo de (1− α) de confiança para µ será dado por:
P
(
X − Zα
2
σ√
n
≤ µ ≤ X + Zα
2
σ√
n
)
= 1− α
Exemplo: Um pesquisador obteve a partir de uma amostra uma médiaX = 180cm para altura
de uma determinado grupo de pessoas utilizando uma amostra n=40, sabe-se que a variância
Inferência Estatística 77
populacional da altura é de σ2 = 100cm2. Qual o intervalo de confiança a 90% e 95% para a
média populacional.
Primeiramente temos que obter o valor tabelado de Z, como queremos o intervalo de confiança
a 90%, temos que:
1− α = 0, 90⇒ α = 1− 0, 90 = 0, 10⇒ α
2
=
0, 10
2
= 0, 05
Assim, temos que procurar na tabela qual o valor de Z que deixa 0, 05 de probabilidade acima
dele.
Olhando na tabela o valor em que P (0 < Z < z) = 0, 45, temos que z = 1, 65, logo o valor
Zα
2
= 1, 65
P
(
X − Zα
2
σ√
n
≤ µ ≤ X + Zα
2
σ√
n
)
= 1− α
P
(
180− 1, 65
√
200√
40
≤ µ ≤ 180 + 1, 65
√
200√
40
)
= 0, 90
P (176, 31 ≤ µ ≤ 183, 69) = 0, 90
ou seja, o intervalo de confiança a 90% para a média é
IC90%(µ) = [176, 31; 183, 69]
Fazendo o mesmo processo temos que a95%:
1− α = 0, 95⇒ α = 1− 0, 95 = 0, 05⇒ α
2
=
0, 05
2
= 0, 025
Então Z0,025 = 1, 96, assim
P
(
X − Zα
2
σ√
n
≤ µ ≤ X + Zα
2
σ√
n
)
= 1− α
P
(
180− 1, 96
√
200√
40
≤ µ ≤ 180 + 1, 96
√
200√
40
)
= 0, 95
P (178, 61 ≤ µ ≤ 187, 38) = 0, 95
Inferência Estatística 78
Assim,
IC95%(µ) = [178, 61; 187, 38]
Observa-se que aumentando o nível de confiança, também temos o aumento do intervalo de
confiança.
4.1.2.3 Intervalo de Confiança para média µ com variância σ2 desconhecida
Na prática quando não se conhece a média X também não se conhece a variância, nesse caso
utilizamos o intervalo de confiança:
P
(
X − tα
2
S√
n
≤ µ ≤ X + tα
2
S√
n
)
= 1− α
Exemplo: Em uma determinada industria para verificar a qualidade dos rolamentos esféricos
produzidos foi tomado uma amostra ao acaso um lote de 15 peças, fornecendo um diâmetro
médio de 240cm com desvio padrão de 15cm . Encontre um intervalo de confiança de 95% para
o diâmetro.
Primeiramente temos que obter o valor tabelado de t, como queremos o intervalo de confiança
a 95%, temos que:
1− α = 0, 95⇒ α = 1− 0, 95 = 0, 05⇒ α
2
=
0, 05
2
= 0, 025
Olhando na tabela o valor que deixa 0,025 de área acima com ν = 15 − 1 = 14, temos
tα
2
= 2, 145
P
(
X − tα
2
S√
n
≤ µ ≤ X + tα
2
S√
n
)
= 1− α
P
(
240− 2, 145 15√
15
≤ µ ≤ 180 + 2, 145 15√
15
)
= 0, 95
P (231, 69 ≤ µ ≤ 248, 31) = 0, 95
Assim,
IC95%(µ) = [231, 69; 248, 31]
Inferência Estatística 79
4.1.2.4 Intervalo de Confiança para variância σ2 e para o desvio padrão σ
Quando a população da qual foi amostra foi coletada for Normal, pode-se obter um intervalo
de confiança para a variância σ2 dada por:
P
(
(n− 1)S2
χα
2
≤ σ2 ≤ (n− 1)S
2
χ(1−α2 )
)
= 1− α
e IC para o desvio padrão é dado por
P
(√
(n− 1)S2
χα
2
≤ σ2 ≤
√
(n− 1)S2
χ(1−α2 )
= 1− α
)
Exemplo: No exemplo dos 15 peças de rolamentos esféricos, obter o intervalo de confiança de
95% para a variância e para o desvio padrão do maior eixo.
Temos que 0,052 = 0, 025, nesse caso precisamos obter na tabela Qui-Quadrado o valores χ0,025
e χ1−0,025 = χ0,975, com ν = 14 graus de liberdade, então
χ0,025 = 26, 119 χ0,975 = 5, 629
Nesse exemplo foi fornecido a variância amostral é S2 = 144.
P
(
(n− 1)S2
χα
2
≤ σ2 ≤ (n− 1)S
2
χ(1−α2 )
)
= 0, 95
P
(
14× 144
26, 119
≤ σ2 ≤ 14× 144
5, 629
)
= 0, 95
P
(
77, 18 ≤ σ2 ≤ 358, 14) = 0, 95
A partir do intervalo da variância obtemo o IC do desvio padrão
P
(√
77, 18 ≤ σ ≤
√
358, 14
)
= 0, 95
P (8, 78 ≤ σ ≤ 18, 92) = 0, 95
Assim,
IC95%(σ
2) = [77, 18; 358, 14] IC95%(σ) = [8, 78; 18, 92]
Inferência Estatística 80
4.2 TEORIA DA DECISÃO ESTATÍSTICA
4.2.1 Teste de Hipótese
É uma metodologia estatística que permite tomar decisão sobre uma ou mais populações
baseando no conhecimento de informações da amostra.
Ao tentarmos a fixação de decisões, é conveniente a formulação de suposições ou de conjeturas
acerca das populações de interesse, que, em geral, consistem em considerações sobre parâmetros
das mesmas. Essas suposições, que podem ser ou não verdadeiras, são denominadas de Hipóteses
Estatísticas, que podem ser:
• HIPÓTESE NULA - É aquela Hipótese Estatística, prefixada, formulada sobre o parâmetro
populacional estudado, e é sempre uma afirmativa. É representada por H0.
• HIPÓTESE ALTERNATIVA - São quaisquer hipóteses que difiram da Hipótese Nula. Pode
ser representada por H1 ou Ha
Os processos que habilitam a decidir se aceitam ou rejeitam as hipóteses formuladas, ou
determinar se a amostra observada difere, de modo significativo, dos resultados esperados, são
denominados de Testes de Hipóteses ou Testes de Significância.
Tabela 4.1: Erros possíveis de se cometer no processo de tomada de decisão
Decisões possíveis Estados possíveis
Ho verdadeira Ho falsa
Aceitação de Ho Decisão correta Erro do tipo II
Rejeição de Ho Erro do tipo I Decisão correta
Ao testar uma hipótese estabelecida, a probabilidade máxima com a qual se sujeitaria a correr
o risco de um erro do tipo I é denominada de Nível de Significância do Teste e é representada
por α.
Estudaremos testes de hipóteses com uma hipótese nula (H0) e uma hipótese alternativa(Ha). A partir da formulação de (H0) e (Ha), podemos definir se teste de hipótese é unilateral
ou bilateral.
Consideremos θ o parâmetro estudado e θ0 valor inicialmente suposto para. Podemos formular
as seguintes hipóteses: {
H0 : θ = θ0
H1 : θ 6= θ0
Teste Bilateral{
H0 : θ = θ0
H1 : θ > θ0
Teste Unilateral{
H0 : θ = θ0
H1 : θ < θ0
Teste Unilateral
4.2.2 Teste para médias, variância conhecida
Suponha que X é uma variável aleatória com média µ desconhecida e variância σ2conhecida.
E queremos testar a hipótese de que a média é igual a um certo valor especificado µ0. O teste
Inferência Estatística 81
de hipótese pode ser formulado como segue:{
H0 : µ = µ0
H1 : µ 6= µ0
Para testar a hipótese, toma-se uma amostra aleatória de n observações e se calcula a esta-
tística
zc =
x− µ0
σ√
n
Como se trata de um teste bilateral temos duas alternativas para verificar se a hipótese H0
é rejeitada
• se |zc| > zα
2
.
• se 2P
[
|zc zα
2
]
≤ α
Se a hipótese formulada fosse{
H0 : µ = µ0
H1 : µ > µ0
{
H0 : µ = µ0
H1 : µ < µ0
Como se trata de testes unilaterais temos duas alternativas para verificar se a hipótese H0 é
rejeitada
• se |zc| > zα.
• se P [|zc| > zα] ≤ α
Exemplo: Uma industria elétrica fabrica lâmpadas afirma que o tempo de vida médio é de
800horas. Tomaram-se o tempo de vida de 40 lâmpadas e obteve-se uma média X = 750 e
Inferência Estatística 82
sabe-se que a variância populacional é σ2 = 1600cm2. Pode-se afirmar que a indústria estava
correta.
Utilizando um teste unilateral {
H0 : µ = 800
H1 : µ < 800
Calculando o valor de zc
zc =
X − µ0
σ√
n
=
750− 800
40√
40
= −7, 90
Como não foi especificado o nível de significância, vamos assumir α = 0, 05. Nesse caso,
trata-se de um teste unilateral, temos que observar o valor tabelado para zα = z0,05 = 1, 65.
Conclusão: Observando |zc| = 7, 90, temos que como 7, 90 > 1, 65, rejeita-se H0, a um nível
de significância de 5%, ou seja, com 95% de probabilidade a empresa estava errada ao afirmar
que o tempo de vida médio é de 800horas.
4.2.3 Teste para médias, variância desconhecida
Suponha que X é uma variável aleatória Normal com média µ desconhecida e variância σ2
desconhecida. E queremos testar a hipótese de que a média é igual a um certo valor especificado
µ0. O teste de hipótese pode ser formulado como segue:{
H0 : µ = µ0
H1 : µ 6= µ0
{
H0 : µ = µ0
H1 : µ < µ0
{
H0 : µ = µ0
H1 : µ > µ0
Para testar a hipótese, toma-se uma amostra aleatória de n ≤ 30 observações com variância
desconhecida se calcula a estatística
tc =
x− µ0
S√
n
Rejeita-se H0
• teste bilateral:
– se |tc| > tα
2
.
– se 2P
[
|tc| > tα
2
]
≤ α
• teste unilateral:
– se |tc| > tα.
– se P [|tc| > tα] ≤ α
Para testar a hipótese, toma-se uma amostra aleatória de n > 30 observações com variância
desconhecida se calcula a estatística
zc =
x− µ0
S√
n
Inferência Estatística 83
Rejeita-se H0
• teste bilateral:
– se |zc| > zα
2
.
– se 2P
[
|zc| > zα
2
]
≤ α
• teste unilateral:
– se |zc| > zα.
– se P [|zc| > zα] ≤ α
Exemplo: Em uma determinada industria um determinado rolamento esféricos é dito de
qualidade se o seu diâmetro médio for igual a 240cm. Para verificar se os diâmetros médios
estão atendendo as especificações, foi tomado uma amostra ao acaso de 20 peças, fornecendo um
diâmetro médio de 236cm com desvio padrão de 15cm.
Utilizando um teste bilateral {
H0 : µ = 240
H1 : µ 6= 240
Calculando o valor de tc
tc =
x− µ0
S√
n
=
236− 240
15√
20
= −1, 193
Como não foi especificado o nível de significância, vamos assumir α = 0, 05. Nesse caso, trata-
se de um teste unilateral, temos que observar o valor tabelado para tα
2
= t 0,05
2
= t0,025 = 2, 093.
Conclusão: Observando |tc| = 1, 193, temos que como 1, 193 < 2, 093 não existe razão para
rejeitar H0, logo os diâmetros médios estão atendendo as especificações.
Exemplo: Uma amostra de 76 peixes pescados numa certa represa produziu um peso médio
de 13,36g e desvio-padrão 4,79g. Suspeita-se que a média de peso da população desses peixes
nessa região seja 12g. Teste essa hipótese com um nível de significância de 5%.
Utilizando um teste unilateral. {
H0 : µ = 12, 0
H1 : µ > 12, 0
Calculando o valor de zc
zc =
x− µ0
S√
n
=
13, 36− 12, 0
4, 79√
76
= 2, 475
Nesse caso, trata-se de um teste bilateral, temos que observar o valor tabelado para zα
2
=
z 0,05
2
= z0,025 = 1, 960.
Conclusão: Observando |zc| = 2, 475, temos que como 2, 475 > 1, 65 rejeita-se H0 ao nível de
5% de significância. Portanto, a média de peso da população desses peixes é superior a 12g.
Inferência Estatística 84
4.2.4 Teste de hipóteses para proporção
Assim como para a média, existem testes de hipóteses associados a proporções, estes testes
são a respeito do parâmetro populacional p. Com os dados coletados de uma amostra de tamanho
n, pode-se verificar o numero de sucessos X, e estimar a proporção pˆ.
Para testar as hipóteses sobre proporções pode-se utilizar a distribuição normal , nesse caso
se calcula a estatística
zc =
pˆ− p0√
p0q0
n
Rejeita-se H0
• teste bilateral se |zc| > zα
2
.
• teste unilateral se |zc| > zα.
Para obter os valores de z tabelados, o mais prático é consultar a tabela de t, na última linha,
quando os graus de liberdades são suficientemente grandes.
Exemplo: Um centro de pesquisas afirma que 30% das pessoas são usuários de internet sem
fio em uma determinada região. Em uma amostra aleatória de 30 pessoas, em 12 dizem ter rede
sem fio em casa. Teste a afimarção do centro de pesquisa utilizando a significância α = 0, 05.
Temos que p0 = 0, 30⇒ q0 = 1−p0 = 1−0, 30 = 0, 70, número de sucessos X = 12, tamanho
da amostra n = 30, assim temos:
pˆ =
X
n
=
12
30
= 0, 40
Utilizando um teste bilateral {
H0 : p = 0, 30
H1 : p 6= 0, 30
Calculando o valor de zc
zc =
pˆ− p0√
p0q0
n
=
0, 40− 0, 30√
0, 3× 0, 7
30
= 1, 20
Nesse caso, trata-se de um teste bilateral, temos que observar o valor tabelado para zα
2
=
z 0,05
2
= z0,025 = 1, 960.
Conclusão: Observando |zc| = 1, 20, temos que como 1, 20 < 1, 96 ⇒ |zc| < zα
2
não existe
evidências para rejeitar H0 ao nível de 5% de significância, logo a proporção de pessoas que
utilizam a internet sem fio em de 30%.
4.2.5 Resumo das etapas aplicadas a qualquer teste de hipóteses
1. Determinar as hipóteses nula e alternativa.
2. Selecionar a estatística de teste que será usada para decidir rejeitar ou não a hipótese nula.
3. Especificar o nível de significância α para o teste.
Inferência Estatística 85
4. Usar o nível de significância α para desenvolver regra de decisão que indica os valores
críticos da estatística de teste que levará a rejeição de H0.
5. Coletar os dados amostrais e calcular a estatística de teste.
6. Comparar o valor da estatística do teste com o(s) valor(es) crítico(s) especificado(s) na
regra de decisão para determinar se H0 deve ser rejeitado;
Inferência Estatística 86
4.3 REGRESSÃO E CORRELAÇÃO
Nas unidades anteriores, descrevemos a distribuição de valores de uma única variável, com
esse objetivo aprendemos a calcular medidas de tendência central e variabilidade. Porém, se
considerarmos duas ou mais variáveis surge um novo problema: as relações que podem existir
entre as variáveis estudadas.
Vamos verificar as relações entre as seguintes variáveis:
• Altura e peso - espera-se que quanto mais alto mais pesado é o individuo;
• Quantidade de memória RAM e tempo de processamento - espera-se que com mais memória
RAM tenha-se um tempo menor de processamento;
• Temperatura e Umidade do ar - não se pode associar a temperatura a uma menor ou maior
umidade do ar.
Para estudar a relação entre duas variáveis quantitativasna utilizamos a análise de regressão
e correlação destas variáveis.
Correlação é um número entre -1 e 1 que mede o grau relacionamento entre duas variáveis
quantitativas
Regressão é o estudo que busca ajustar uma equação a um conjunto de dados de forma que
a relação entre duas variáveis quantitativas possa ser expressa matematicamente.
Definimos um conjunto de variáveis (x, y), sendo x a variável independente e y a variável
dependente. A primeira forma de verificar a relação de duas variáveis é traçar o gráfico de
dispersão do dados.
O gráfico de dispersão contém uma variável independente representada no eixo horizontal e
a variável dependente representada no eixo vertical.
O gráfico de dispersão da um idéia da existência de correlação, entretanto não apresenta qual
a magnitude da correlação. Para determinar a magnitude da correlação utilizamos o coeficiente
de correlação populacional (ρ). Em geral trabalhamos com amostras, e para estimar o coeficiente
de correlação populacional pode-se utilizar o coeficiente de correlação amostral.
r =
∑
i
(xi − x¯)(yi − y¯)√∑
i
(xi − x¯)2
∑
i
(yi − y¯)2
sendo que:
• r > 0 - correlação positiva;
• r < 0 - correlação negativa;
• r = 0 - ausência de correlação.
O valor obtido para o coeficiente de correlação amostral tem como finalidade estimar o po-
pulacional, ou seja, verificar se na população existe uma associação entre as variáveis em estudo.
Inferência Estatística 87
Figura 4.1: indícios de correlação positiva, aumentando x, y também aumenta
Figura 4.2: indícios de correlação negativa, aumentando x, y diminui
Figura 4.3: indícios de ausência correlação
Desta forma, deve ser realizado um teste de hipótese sobre o coeficiente populacional, com
base no resultado obtido na amostra, que pode ser definido da seguinte maneira:{
H0 : ρ = 0
H1 : ρ 6= 0
Rejeita-se H0 se |tc| > tα
2
, em que
tc =
r − 0√
1−r2
n−2
nesse caso v = n− 2 graus de liberdade
Exemplo: Numa pesquisa feita com 7 famílias com renda bruta mensal entre 10 e 25 salários
mínimos mediram-se:
• X: renda bruta mensal (em salários mínimos)
• Y: porcentagem da renda bruta anual gasta com assistência médica
Inferência Estatística 88
x 10 12 14 16 18 20 22
y 11,8 10,2 12,1 13,2 15,1 15,4 15,6
Figura 4.4: Gráfico de dispersão
x =
n∑
i
xi
n
=
112
7
= 16
y =
n∑
i
yi
n
=
93, 4
7
= 13, 3
r =
∑
i
(xi − x¯)(yi − y¯)√∑
i
(xi − x¯)2
∑
i
(yi − y¯)2
=
49, 6√
112× 26, 25 = 0, 9148
Verificou que o valor da correlação é r=0,9148. Vamos testar a hipótese se este valor é
diferente de zero. {
H0 : ρ = 0
H1 : ρ 6= 0
Temos v = n− 2 = 7− 2 = 5 graus de liberdade
tc =
r − 0√
1−r2
n−2
=
0, 9148√
1−0,91482
5
= 5, 06
Tomando-se α = 0, 05, temos t0,025;5 = 2, 571.
Como |tc| > tα
2
, rejeita-se H0 ao nível de 5% de significância. Logo a correlação é diferente
de zero e é igual a 0,9148.
Pelo diagrama de dispersão e pelo coeficiente de correlação, verificamos que existe uma relação
linear entre as variáveisX e Y , podemos determinar uma função que exprima esse relacionamento.
Inferência Estatística 89
Tabela 4.2: Tabela auxiliar para o calculo da correlação
Observação x y (x− x) (y − y) (x− x)(y − y) (x− x)2 (y − y)2
1 10 11,8 -6 -1,5 9 36 2,25
2 12 10,2 -4 -3,1 12,4 16 9,61
3 14 12,1 -2 -1,2 2,4 4 1,44
4 16 13,2 0 -0,1 0 0 0,01
5 18 15,1 2 1,8 3,6 4 3,24
6 20 15,4 4 2,1 8,4 16 4,41
7 22 15,6 6 2,3 13,8 36 5,29
Total 112 93,4 49,6 112 26,25
A função que expressa a relação linear entre X e Y é dada por
y = a+ bx+ �
em que:
• a é coeficiente linear, interpretado como o valor da variável de dependente quando a variável
inpendente é igual a 0;
• b é coeficiente de regressão, interpretado como acréscimo na variável dependente para a
variação de uma unidade na variável.
• � são os erros aleatórios de uma população normal, com média 0 e variância constante.
Os estimadores para os coeficientes são:
a = y − bx b =
∑
i
(xi − x¯)(yi − y¯)∑
i(xi − x¯)2
Após ajustar o modelo de regressão deve-se realizar um teste de hipótese para verificar se os
coeficientes são diferentes de zero:{
H0 : a = 0
H1 : a 6= 0
H0 : b = 0
H1 : b 6= 0
Para testar os coeficientes de regressão pode-se utilizar as estatísticas:
ta =
A análise de variância é uma técnica utilizada para se testar o ajuste da equação como um
todo, ou seja, um teste para verificar se a equação de regressão obtida é significativa ou não.
Inferência Estatística 90
Tabela 4.3: Análise de Variância para Regressão Linear Simples
Fontes de Variação GL Soma de Quadrados (SQ) Quadrado Médio (QM) Fc
Regressão 1 SQRegressão QMRegressão QMRegressão/QMErro
Erro n-2 SQErro QMErro
Total n-1 SQTotal
SQTotal =
∑
i
(yi − y¯)2
SQRegressão = b2
∑
i
(xi − x¯)2
SQErro = SQTotal− SQRegressão
QMRegressão = SQRegressão
QMErro =
SQErro
n− 2
{
H0 : a = 0 ou b = 0
H1 : a 6= 0 e b 6= 0
O teste de hipótese para avaliar se o modelo de regressão é significativo é feito da seguinte
forma:
• Estabelecer o nível de significância α;
• Obter o valor tabelado Fα;
• Rejeita-se a hipótese H0, se Fc > Fα.
O coeficiente de determinação r2, é definido por:
r2 =
SQRegressão
SQTotal
0 < r2 < 1
ele representa a porcentagem da variação total que é explicada pela equação de regressão, quanto
maior o seu valor melhor.
Após ter verificado o ajuste da equação de regressão pode-se utiliza-la para fazer previsões.
Exemplo: Utilizando o exemplo da renda bruta mensal (em salários mínimos) e a porcentagem
da renda bruta anual gasta com assistência médica.
Vamos ajustar o modelo
y = a+ bx
Utilizando os calculo da tabela 4.2
b =
∑
i
(xi − x¯)(yi − y¯)∑
i(xi − x¯)2
=
49, 6
112
= 0, 44
a = y − bx
= 6, 26
Inferência Estatística 91
Assim a equação de regressão é igual a
y = 6, 26 + 0, 44x
Vamos verificar se a regressão é significativa
SQTotal =
∑
i
(yi − y¯)2 = 26, 25
SQRegressão =
(∑
i
(xi − x¯)(yi − y¯)
)2
∑
i(xi − x¯)2
=
(49, 6)2
112
= 21, 97
SQErro = SQTotal− SQRegressão
= 26, 25− 21, 97 = 4, 28
Tabela 4.4: Análise de Variância para Regressão Linear Simples
Fontes de Variação GL Soma de Quadrados (SQ) Quadrado Médio (QM) Fc Fα
Regressão 1 21,97 21,97 25,55 6,60
Erro 5 4,28 0,86
Total 6 26,25
Como o Fc > Fα, rejeita-se H0, logo o modelo de regressão linear é significativo.
Obtendo o r2
r2 =
SQRegressão
SQTotal
=
21, 97
26, 25
= 0, 8370 = 83, 70%
Assim verifica-se que é a renda bruta explica 83, 70% da variação do gasto com assistência
médica.