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PROF. GILBERTO SANTOS JR GEOMETRIA ESPACIAL II SUMÁRIO CAPÍTULO III – ESTUDO DA PIRÂMIDE ............. 1 1 . DEFINIÇÃO ................................................ 1 2 . CLASSIFICAÇÃO E ELEMENTOS .................... 1 3 . CÁLCULO DAS CARACTERÍSTICAS ................ 1 3.1 Área lateral (Aℓ) ......................................... 1 3.2 Área da base (Ab) ....................................... 1 3.3 Área total (At)............................................ 2 3.4 Volume (V) ............................................... 2 CAPÍTULO IV - CONE ....................................... 3 1 . DEFINIÇÃO ................................................ 3 2 . ELEMENTOS DO CONE ................................. 3 3 . CONE RETO ................................................ 3 3.1 Secção Meridiana ....................................... 3 4 . CÁLCULO DAS CARACTERÍSTICAS ................ 3 4.1 Área lateral (Aℓ) ......................................... 3 4.2 Área da base (Ab) ....................................... 4 4.3 Área total (At)............................................ 4 4.4 Volume (V) ............................................... 4 CAPÍTULO V – TRONCO ................................... 5 1 . TRONCO DE PIRÂMIDE ................................ 5 1.1 Volume de Tronco de Pirâmide ..................... 6 2 . TRONCO DE CONE ...................................... 6 2.1 Volume de Tronco de Cone .......................... 6 CAPÍTULO VI – ESFERA .................................. 7 1 . DEFINIÇÃO ................................................ 7 2 . CÁLCULO DAS CARACTERÍSTICAS ................ 8 2.1 Área da superfície da esfera ........................ 8 2.2 Volume(V) ................................................ 8 Referências ...................................................... 10 CAPÍTULO III – ESTUDO DA PIRÂMIDE 1 . DEFINIÇÃO Uma pirâmide pode ter por base qualquer tipo de polígono. E define-se pirâmide ao conjunto de todos os segmentos de reta que partem dessa base e convergem para um ponto V do espaço, situado fora do plano do polígono da base. O pon- to V é chamado ”o vértice da pirâmide”, e a dis- tância desse ponto à base é a altura da pirâmide. 2 . CLASSIFICAÇÃO E ELEMENTOS Aresta da base (ℓ): é o lado do polígono da base; Aresta lateral (L): é o lado de uma face late- ral; Altura (h): é a distância entre o vértice e o plano da base, isto é, VO̅̅ ̅̅ ; Apótema da pirâmide (A): é a altura do tri- ângulo da face lateral; Apótema da base da pirâmide: é o apótema do polígono regular da base, na figura, o seg- mento OM̅̅̅̅̅; Pirâmide regular: é toda pirâmide cuja base é um polígono regular e cuja projeção do vérti- ce da pirâmide, coincide com o centro da base. 3 . CÁLCULO DAS CARACTERÍSTICAS 3.1 Área lateral (Aℓ) É a soma das áreas de todas as faces late- rais da pirâmide. No caso da pirâmide essas faces serão triângulos. Aℓ = 4 ∙ Atriângulo = 4 ∙ 𝓵𝐀 𝟐 3.2 Área da base (Ab) É a área do polígono da base. 2 Ab = Aquadrado = 𝓵𝟐 3.3 Área total (At) Em uma pirâmide calcular-se a área total pela soma entre a área lateral e a área da base: At = Aℓ + Ab 3.4 Volume (V) V = 𝐀𝐛∙ 𝐡 𝟑 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Uma pirâmide quadrangular regular, onde a aresta da base mede 6 cm e a altura da pirâmide é igual a 4 cm. Calcule: a) a área da base; Ab = 36 cm2 b) o apótema da pirâmide; a = 5 cm c) a área lateral; Aℓ = 60 cm2 d) a área total; At = 96 cm2 e) o volume. V = 48 cm3 2) Uma pirâmide regular cuja altura é 15 cm e cuja base é um quadrado de 16 cm de lado. De- termine: a) a área da base; Ab = 256 cm2 b) a área lateral; Aℓ = 544 cm2 c) a área total; At = 800 cm2 d) o volume. V = 1280 cm3 3) Uma pirâmide regular triangular cuja aresta lateral mede 13 m e o apótema da pirâmide mede 12 m. Calcule: a) a área lateral. Aℓ = 180 m2 b) a área da base, considere √3 = 1,7 Ab = 42,5 m2 c) a área total. At = 222,5 m2 d) o volume. V = 165,04 m3 difícil! (Precisará utilizar calcu- ladora ou considerar √ 407 3 = 11,65) 4) Uma pirâmide triangular regular possui aresta da base igual a 6 cm e altura igual a 10 cm. Calcule o volume dessa pirâmide. V = 165,04 cm3 5) Uma pirâmide quadrangular regular possui todas as suas arestas iguais a 4 m. Calcule a área total dessa pirâmide. At = 16(1 + √3) cm2 6) Uma pirâmide triangular regular possui 6 cm de aresta da base e 5 cm de altura. Calcule sua área da base e o seu volume. Ab = 9√3 cm2; V = 15√3 cm3 7) Uma pirâmide triangular regu- lar possui todas as suas arestas iguais a a. Calcule: (essa pirâmide recebe o nome de tetraedro re- gular) a) a sua apótema; a = a√3 2 cm b) a sua altura; h = a√6 6 cm c) sua área lateral; Aℓ = 3a2√3 4 cm2 d) sua área total; At = a2√3 cm2 e) seu volume. V = a 3√2 24 cm3 8) Uma pirâmide regular hexagonal tem 10 cm de altura e a aresta da sua base mede 4 cm. Calcule: a) o apótema da base; abase = 2√3 cm b) o apótema da pirâmide; apirâmide = 4√7 cm c) a aresta lateral; L = 2√29 cm d) a área lateral; Aℓ = 48√7 cm2 e) a área da base; Ab = 24√7 cm2 f) a área total; At = 24(2√7 + √3) cm2 g) o seu volume. V = 80√3 cm3 9) Numa pirâmide hexagonal regular, a aresta da base mede √3 cm e a altura mede 2 cm. Obter: a) a área total At = 12√3 cm2 b) o volume V = 3√3 cm3 10) Em uma pirâmide regular hexagonal, a altura mede 12 m e o apótema da base vale 5 m. A área total é: (a) 130√3 m2 (c) 180 m2 (e) 210√3 m2 (b) 130 m2 (d) 180√3 m2 R: (d) EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 11)(Enem-2016) A figura mostra a pirâmide Quéops, também conhecida como a grande Pirâ- mide. Esse é o monumento mais pesado que já foi construído pelo homem da Antiguidade. Possui aproximadamente 2,3 milhões de blocos de rocha, cada um pesando em média 2,5 toneladas. Consi- dere que a pirâmide de Quéops seja regular, sua base um quadrado com lados medindo 214 m, as faces laterais sejam triângulos isósceles congruen- tes e suas arestas laterais meçam 204 m. O valor mais próximo para a altura da pi- râmide de Quéops, em metros, é (a) 97,0. (b) 136,8. (c) 173,7 (d) 189,3 (e) 240,0 R: (b) 3 12)(Enem-2012) Maria quer inovar em sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas estão as planificações dessas caixas. Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas planificações? (a) Cilindro, Prisma de Base Pentagonal e Pirâmide. (b) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide. (c) Cone, tronco de pirâmide e pirâmide. (d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma. (e) Cilindro, prisma e tronco de cone. CAPÍTULO IV - CONE 1 . DEFINIÇÃO Sejam um círculo C contido em um plano ∝, e um ponto V (vértice) não pertencente a ∝. Con- sideremos todos os segmentos de reta que possu- em um extremo pertencente ao círculo e o outro extremo é V. A reunião de todos esses segmentos de reta é um sólido chamado de cone circular limitado de base C e vértice V ou simplesmente cone circular. 2 . ELEMENTOS DO CONE Dado o cone a seguir, consideramos os se- guintes elementos: Altura (h): distância do vértice V ao plano ∝. Geratriz (g): segmento com uma extremidade no ponto V e outra num ponto do círculo C. Raio da base: raio r do círculo C. Eixo de rotação: reta determinadapelo cen- tro do círculo e pelo vértice do cone. 3 . CONE RETO Todo cone cujo eixo de rotação é perpendi- cular à base é chamado cone reto, também de- nominado cone de revolução. Ele pode ser gera- do pela rotação completa de um triângulo retângu- lo em torno de um de seus catetos. Da figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação: g2 = h2 + r2 3.1 Secção Meridiana É o triângulo isósceles resul- tante da intersecção do cone com um plano que passa pelo eixo de rotação. Se o triângulo AVB for equilá- tero, o cone será chamado cone equilátero: 4 . CÁLCULO DAS CARACTERÍSTICAS 4.1 Área lateral (Aℓ) A superfície lateral de um cone de revolu- ção é equivalente a um setor circular de raio g e comprimento de arco 2r, veja figura a seguir: 4 Fazendo uma regra de três (área lateral Aℓ está para a área do círculo completo de raio g, assim como, o comprimento 2r está para o com- primento do círculo completo 2g), temos: Aℓ g2 = 2r 2g ⟹ Aℓ = rg 4.2 Área da base (Ab) Área da base é a área do círculo da base de raio r: Ab = r2 4.3 Área total (At) É a soma da área lateral com a área da ba- se: At = Aℓ + Ab 4.4 Volume (V) É um terço do produto da área da base pela medida da altura: V = 𝐀𝐛∙ 𝐡 𝟑 Observação: A medida ∝ do setor circular equiva- lente à superfície lateral do cone é tal que: ∝ 2r = 360° 2g ⟹ ∝ = 360° ∙ r g ou ∝ = 2r g rad EXERCÍCIOS PROPOSTOS 13) Calcule a medida da altura de um cone circu- lar reto cujo raio da base mede 5 cm e uma gera- triz mede 13 cm. h = 12 cm 14) Um cone tem 10 cm de altura e raio da base igual a 4 cm. Calcule a: (use = 3 e √29 = 5,4) a) medida da sua geratriz; g = 10,8 cm b) área lateral; Aℓ = 129,6 cm2 c) área da base; Ab = 48 cm2 d) área total; At = 177,6 cm2 e) volume. V = 160 cm3 15) A geratriz de um cone circular reto mede 10 cm e o raio da base é igual a 4 cm. Calcule: (use = 3 e √21 = 4,6) a) a altura do cone; h = 9,2 cm b) a área lateral; Aℓ = 120 cm2 c) a área da base; Ab = 48 cm2 d) a área total; At = 168 cm2 e) volume. V = 147,2 cm3 f) a medida do ângulo do setor circular. ∝= 144° 16) Quantos cm2 de cartolina se- rão gastos para fazer o chapéu de palhaço cujas medidas estão na figura ao lado? (use = 3 e √10 = 3,1) Aℓ = 930 cm2 17) Quantos cm2 de vidro são neces- sários para fabricar uma ampulheta cujas dimensões estão na figura ao lado? (use = 3 e √261 = 16) Aℓ = 576 cm2 18) Desenvolvendo a superfície lateral de um cone, obtemos um setor circular de raio 6 cm e ângulo central de 60°. Calcule a área lateral do cone. Aℓ = 18 cm2 19) Um tanque cônico tem 4 m de profundidade e seu topo circular tem 6 m de diâmetro. Qual é o volume máximo, em litro, que esse tanque pode conter de líquido? (use = 3) V = 36 000 ℓ 20) Observe a ampulheta cujas di- mensões estão indicadas na figura. Qual é o volume de areia necessário para encher completamente um dos cones dessa ampulheta? (use = 3) V = 160 cm3 21) Há um pirulito em forma de guarda-chuvinha, com 7 cm de altura e 2 cm de diâmetro. Qual é o volume desse pirulito? 22) O volume de um cone circular reto é 18 cm3. A altura do cone é igual ao diâmetro da base. Quanto mede a altura desse cone? 23) Calcule a área total e o volume de um cone equilátero, sabendo que a área lateral é igual a 24 cm2. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 24)(Gilberto-2017) Texto A Kepler Weber finalizou em 2013, na cidade de Primavera do Leste (MT), o Silo 156, considerado o maior silo sem torre central do mundo, com tecnologia de armazenagem para altas capacidades de grãos. Com o novo produ- to, é possível armazenar até 35 mil toneladas, ou 590 mil sacas de soja. 5 Disponível em: http://www.kepler.com.br/blog/index.php/o-maior-silo-do- mundo-com-capacidade-para-35-mil-toneladas/. Acesso em: 9 set. 2017 Calcule o volume do silo da figura abaixo, sabendo que o seu diâmetro é 20 metros, use a aproximação de igual a 3. V = 3 500 m3 EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 25)(Enem-2009) Um vasilhame na forma de um cilindro circular reto de raio da base de 5 cm e altura de 30 cm está parcialmente ocupado por 625 cm3 de álcool. Suponha que sobre o vasilha- me seja fixado um funil na forma de um cone cir- cular reto de raio da base de 5 cm e altura de 6 cm, conforme ilustra a figura 1. O conjunto como mostra a figura 2, é virado para baixo, sendo H a distância da superfície do álcool até o fundo do vasilhame. Volume do cone: Vcone = r2h 3 . Considerando essas informações, qual é o valor da distância H? (a) 5 cm (c) 8 cm (e) 18 cm (b) 7 cm (d) 12 cm R: (b) 26)(Enem-2015) Ao se perfurar um poço no chão, na forma de um cilindro circular reto, toda a terra retirada é amontoada na forma de um cone circular reto, cujo raio da base é o triplo do raio do poço e a altura de 2,4 metros. Sabe-se que o vo- lume desse cone de terra é 20% maior do que o volume do poço cilíndrico, pois a terra fica mais fofa após ser escavada. Qual é a profundidade, em metros, desse poço? (a) 1,44 (b) 6,00 (c) 7,20 (d) 8,64 (e) 36,00 27)(UEPA-2011) Leia o texto XVI para respon- der a questão. Texto XVI O matapi é um instrumento especialmente projetado para a captura de camarão, feito de talas de folha de palmeira (miriti) amarradas com cipó titica e muito utilizada na região ama- zônica. Esse é um estilo de pesca artesanal que não agride o meio ambiente. A forma do matapi é composta por dois cones dentro do cilindro. Internamente há abertura nos ápices dos cones, funcionando como funis, por onde o camarão entra para comer a isca ali colocada, ficando preso no interior do artefato. Considere, com as necessárias e devidas aproximações, que a altura do cone é 1/3 da altu- ra do cilindro e que os raios dessas duas figuras são iguais. Desse modo, a razão entre o volume do cone e o volume do cilindro é: (a) 1/9 (b) 1/6 (c) 1/3 (d) 3 (e) 9 R: (a) 28)(UFRA-2004) Três cones equiláteros idênti- cos em forma e peso, têm juntos volume igual a 8√𝟑 cm3. Calcule, em centímetros, a altura de cada um deles. (a) 2√3 (b) 3 (c) 3√2 (d) √3 (e) 4 CAPÍTULO V – TRONCO 1 . TRONCO DE PIRÂMIDE Consideremos um plano ∝ paralelo à base de uma pirâmide separando a em dois poliedros. Um desses dois poliedros é uma pirâmide, e o ou- tro é um tronco de pirâmide de bases paralelas. 6 1.1 Volume de Tronco de Pirâmide Note que o volume VT do tronco da pirâmi- de P é igual à diferença entre o volume VP da pirâmide P e o volume VP’ da pirâmide P’, isto é: VT = VP ‒ VP’ 2 . TRONCO DE CONE Consideremos um plano ∝ paralelo à base de um cone separando-a em dois poliedros. Um desses dois poliedros é um cone e o outro é um tronco de cone de bases paralelas. 2.1 Volume de Tronco de Cone O volume de tronco de cone se calcula do mesmo modo que o tronco de pirâmide, ou seja, a medida do volume de tronco de cone é a dife- rença do volume do cone maior pela medida do volume do cone menor gerado. VT = VC ‒ VC’ Para cálculo de volume do tronco de cone também se utiliza a seguinte expressão: V = 𝐤 𝟑 (r2 + rR + R2) sendo, k -altura do tronco; r - raio da base menor; R - raio da base maior. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 29) A altura de uma pirâmide regular quadrangu- lar mede 18 cm, e cada aresta da base 12 cm. Um plano ∝, paralelo à base e distante 9 cm do vértice, intercepta a pirâmide. Calcule o volume do tronco de pirâmide assim determinado. V = 756 cm3 30) Os raios das bases de um tronco de cone são 3 m e 2 m. A altura do tronco é 6 m. Calcule o seu volume (considere = 3). V = 114 m3 31) O copo da figura tem a forma da figura ao lado. Suas medidas são: 10 cm e 8 cm de diâmetro nas bases e 9 cm de altura. Qual é o volume máxi- mo de água que esse copo pode con- ter em mℓ? (considere = 3) V = 549 mℓ 32) Se apenas 30% de sua capacidade estão ocupados por combustível, qual é a quantidade, em litros, de combustível existente no depósito? (use = 3,1 e 1 m3 = 1 000ℓ) V = 1 139 250 ℓ 33) A garrafa da figura contém líquido até onde começa o gargalo. Abaixo dele, aparte inferior é um cilindro e a parte superior é um tronco de cone. Qual é o volume do líquido contido na garrafa, em mℓ? 7 34) Qual é o volume de madeira usado para fazer um carretel cu- jas dimensões estão na figura? EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 35)(Enem-2017) Uma rede hoteleira dispõe de cabanas simples na ilha de Gotland, na Suécia, conforme Figura 1. A estrutura de sustentação de cada uma dessas cabanas está representada na Figura 2. A ideia é permitir ao hóspede uma esta- da livre de tecnologia, mas conectada com a natu- reza. Figura 1 Figura 2 ROMERO, L. Tendências. Superinteressante, n. 315, fev. 2013 (adaptado). A Forma geométrica da superfície cujas arestas estão representadas na Figura 2 é (a) tetraedro. (b) pirâmide retangular. (c) tronco de pirâmide retangular. (d) prisma quadrangular reto. (e) prisma triangular reto. R: (e) 36)(Enem-2015) Em uma confeitaria, um clien- te comprou um cupcake (pequeno bolo no formato de um tronco de cone regular mais uma cobertura, geralmente composta por um creme), semelhante ao representado na figura: Como o bolinho não seria consumido no estabelecimento, o vendedor verificou que as cai- xas disponíveis para embalar o doce eram todas em formato de blocos retangulares, cujas medidas estão apresentadas no quadro: A embalagem mais apropriada para emba- lar o doce, de forma a não deformá-lo e com me- nor desperdício de espaço na caixa, é (a) I (b) II (c) III (d) IV (e) V 37)(UEPA) A figura abaixo representa uma pi- râmide quadrangular regular, cuja aresta da base mede 6 cm e a altura 10 cm. Calcule: a) o volume da pirâmide; V = 120 cm3 b) a área da secção transversal feita a 4 cm do vértice; A = 5,76 cm2 c) o volume do tronco obtido. V = 112,32 cm3 Definição: Secção transversal de uma pirâmide é qualquer intersecção não-vazia e não-unitária da pirâmide com um paralelo à sua base. CAPÍTULO VI – ESFERA 1 . DEFINIÇÃO Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R. O - centro da esfera; OP̅̅̅̅ - raio da esfera; PQ̅̅̅̅ - diâmetro da esfera; R - medida do raio da esfera. Observações: Definição da esfera de outra maneira: A esfera é formada por todos os pontos pertencentes a sua superfície e ao seu interior. 8 A esfera é o sólido gerado pela rotação comple- ta de um semicírculo em torno de um eixo, conforme a figura abaixo: 2 . CÁLCULO DAS CARACTERÍSTICAS 2.1 Área da superfície da esfera A superfície esférica de centro O e raio R é o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao ponto O é igual ao raio R. A área da superfície es- férica é dada por: A = 4𝐑𝟐 2.2 Volume(V) O volume da esfera de raio R é dado por: V = 𝟒 𝟑 𝐑𝟑 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 38) Determine a área da superfície esférica cujo raio é 6 cm. (considere = 3) A = 432 cm2 39) Numa esfera, o diâmetro é 10 cm. Qual é a área da superfície dessa esfera? (considere = 3) A = 300 cm2 40) Quantos cm2 de plástico aproximadamente são gastos para fazer o balão da figura ao lado? (considere = 3) A = 432 cm2 41) Quanto de borracha em cm2 se gasta para fazer a bola cuja medida está na figura? (considere = 3) A = 2 700 cm2 42) Qual é o volume de uma bola de basquete cujo diâmetro mede 26 cm? (considere = 3) V = 8 788 cm3 43) O diâmetro de esfera de ferro fundido é 6 cm. Qual é o volume dessa esfera? (considere = 3) V = 108 cm3 44) Considere uma laranja como uma esfera composta por 12 gomos exatamente iguais. Se a laranja tem 8 cm de diâmetro, qual é o volume de cada gomo? (considere = 3) V ≅ 5,3 cm3 45) A soma de todas as arestas de um cubo é 36 cm. Uma esfera está inscrita nesse cubo (figura ao lado). Qual é a área da superfície dessa esfera? EXERCÍCIOS DESAFIOS 46) Você sabia que: Três quartos da superfície da Terra são cober- tos de água? A linha do Equador mede, aproximadamente, 40 000 km? Pense agora nas seguintes questões, relati- vas ao planeta Terra: a) Qual é a sua área? A = 509 553 059,87 km2 b) Qual é o seu volume? V = 1 081 852 483 539,15 km3 c) Qual é a área coberta de água em sua superfí- cie? A = 382 164 794,90 km2 Considere = 3,14 e duas casas decimais nos cál- culos. 47) Quantas vezes o planeta Terra cabe dentro do Sol? Considere, para efeito de cálculo, a Terra uma esfera, = 3,14, o raio da Terra = 6 378 km e raio do Sol = 700 000 km. R = 1 322 027,76 vezes EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 48)(Enem-2017) Para decorar uma mesa de festa infantil, um chefe de cozinha usara um me- lão esférico com diâmetro medindo 10 cm, o qual servirá de suporte para espetar diversos doces. Ele irá retirar uma calota esférica do melão, con- forme ilustra a figura, e, para garantir a estabili- dade deste suporte, dificultando que o melão role sobre a mesa, o chefe fará o corte de modo que o raio r da seção circular de corte seja de pelo me- nos de 3 cm. Por outro lado, o chefe desejará dis- por da maior área possível da região em que serão afixados os doces. Para atingir todos os seus objetivos, o che- fe deverá cortar a calota do melão numa altura h, em centímetros, igual a (a) 5 – √91 2 (b) 5 – √91 (c) 1 (d) 4 (e) 5 R: (c) 9 49)(UEPA-2012) A ideologia dominante também se manifesta por intermédio do acesso aos produ- tos do mercado, sobretudo daqueles caracteriza- dos por tecnologias de ponta. O “Cubo Magnético” é um brinquedo constituído por 216 esferas iguais e imantadas. Supondo que esse brinquedo possa ser colocado perfeitamente ajus- tado dentro de uma caixa, também no formato de um cubo, com aresta igual a 30 mm, a razão entre o volume total das esferas que consti- tuem o “Cubo Magnético” e o volume da caixa que lhe ser- ve de depósito é: (a) 6 (b) 5 (c) 4 (d) 3 (e) 2 MAIS EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES (Questões analíticas discursivas) 50)(UEPA-2001) Uma fábrica de azeite usa, para embalar sua produção, latas de 2 240 ml com a forma de um paralelepípedo reto-retângulo cujas dimensões estão em progressão aritmética (P.A.) e somam 42 cm. Decide mudar a embalagem, pas- sando a usar latas cilíndricas com 3 dm de altura e 1 dm de diâmetro. Entre as duas latas, uma de cada tipo, calcule qual a mais vantajosapara essa indústria, levando em consideração o material gasto para a confecção e a capacidade das mes- mas (use = 3,14). 51)(UEPA-2004) “Os vasos sanitários represen- tam cerca de um terço do consumo de água em uma casa. O Brasil tem hoje 100 milhões de baci- as sanitárias antigas, que gastam em média 40 litros por descarga” (Fonte: Galileu, nº 140, março de 2003). Visando à economia de água, foi idealizada uma caixa de descarga de bacia sanitária com formato de um paralelepípedo reto retângulo, cuja base possui 32 cm de comprimento e 10 cm de lar- gura, sendo o consumo por descarga, em média, 20% do volume de água consumido na descarga das bacias antigas. Nestas condições, pede–se: a) A altura da caixa de descarga atual. b) Quantos litros de água são economizados em 30 dias, em uma residência com 5 pessoas que acionam, em média, a descarga 4 vezes ao dia, considerando que as bacias antigas foram substi- tuídas pelas atuais? 52)(UEPA-2005) As questões de 01 a 03 refe- rem-se ao texto abaixo: O LIXO ELÉTRICO E ELETRÔNICO Os detritos gerados por equipamentos elétricos e eletrônicos representam uma das questões ambientais mais graves do planeta. Um dos centros mais modernos de reciclagem, localizado na Suíça, reciclou 30 000 toneladas desse tipo de lixo em 2003 e tem como previ- são aumentar, linearmente, a quantidade reciclada em 12 000 toneladas anuais. Como exemplo podemos citar que, para produzir um computador, são usados combustíveis fósseis e substâncias químicas pesadas, além de 3 to- neladas de água, recurso natural escasso em várias partes do planeta. Em 2003, o número de refrigeradores e celulares que foram descartados atingiu a marca de 5 milhões de aparelhos. Estima-se que, em 2004, o número de refrigeradores descartados aumente em 10% e o de celulares aumente em 20%, tota- lizando 5,7 milhões de aparelhos. Todos os esforços de governos, fabricantes e sociedade ainda não são suficientes para dar um fim apropriado a esse tipo de lixo que prejudica a melhoria da qualidade de vida da humanidade. (Texto adaptado da revista EXAME de 24/11/2004) 01. Tomando como base o ano de 2003 e seguin- do as previsões (linhas 03 a 06), em que ano a produção de lixo reciclado será de 150 000 tonela- das? 02. De acordo com as linhas 06 a 08, qual deve ser o raio de um reservatório de formato cilíndrico reto e altura igual a 30 m, que irá armazenar o volume de água gasto na fabricação de 1 000 computadores? (considere: 1 litro de água igual a 1 kg) 03. A partir das informações contidas nas linhas 08 a 11, qual o número de celulares descartados em 2003? R: raio 10 cm 53)(UEPA-2003) Devido às mudanças climáticas e à poluição ambiental, o manancial de água doce do planeta está reduzindo. Um programa de com- bate ao desperdício de água tratada mostra, na televisão, uma torneira que vaza 1,5 cm3 a cada 6 segundos. Nestas condições, pergunta-se: a) Quantos m3 de água tratada será desperdiçado em 30 dias, por 1 000 torneiras iguais à mostrada na televisão? b) Qual deve ser a altura do tanque de formato de um prisma retangular reto, cuja base possui 6 m de largura por 9 m de comprimento, de modo a conter exatamente a água desperdiçada pelas 1 000 torneiras nos 30 dias? ARMAZÉM DE FÓRMULAS A = r2 V = Abh A = 2rh V = Abh/3 A = rg V = 4r3/3 A = 4r2 V = 2πr2h/3 At = Aℓ + Ab V = h (B1 + √B1 + B2 + B2)/3 At = Aℓ + 2Ab V = h (r12 + r1 r2 + r22)/3 10 54)(UEPA-2003) Um empresário paraense, que- rendo aproveitar o estoque de caixas de papelão existente no almoxarifado, contratou uma empre- sa para produzir embalagens cilíndricas de tal forma que cada caixa contivesse 12 unidades do produto, conforme secção reta abaixo. Sabendo-se que a altura das caixas de papelão é de 30 cm e que a altura das embala- gens deve coincidir com a altura des- sas caixas, pergun- ta-se: a) Qual o raio da embalagem cilíndrica a ser produzida? b) Qual o volume da embalagem cilíndrica a ser produzida? 55)(UFPA-2003) É comum nos campi da UFPA existirem espaços em forma de “maloca”, geral- mente utilizados para atividades de lazer. Os ata- lhos desses espaços têm a forma de um cone cir- cular reto. Se desejarmos cobrir um desses côni- cos, de 3 metros de altura e 8 metros de diâme- tros, com telhas que distribuem à razão de 30 de- las por m2, quantas telhas, no mínimo, serão ne- cessárias para cobrir o telhado? (usar = 3,14) Nunca deixe que lhe digam: Que não vale a pena Acreditar no sonho que se tem Ou que seus planos Nunca vão dar certo Ou que você nunca Vai ser alguém... Renato Russo “A perseverança alimenta a esperança.” Atualizada em 28/8/2018 Gostou da Apostila? Você a encontra no site: http://gilsilva10.wixsite.com/inicio/apostilas- de-matematica Link! Dê uma olhada. Referências DANTE, L.R. Matemática: Contexto & Aplicações. 1. Ed. São Paulo: Ática, 2000, v.2.
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