Apostila de vetores (5 páginas, 27 questões)

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PROF. GILBERTO SANTOS JR
 VETORES
 
1 . Introdução 
 
Listas de números 
Suponha que os pesos de oito estudantes 
estão listados abaixo: 
 
156, 125, 145, 134, 178, 145, 162, 193 
 
Podemos denotar todos os valores dessa 
lista usando apenas um símbolo, por exemplo 
w, com diferentes índices; ou seja, 
 
w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8 
 
Observe que cada índice denota a posi-
ção do valor na lista. Por exemplo, w1 = 156, 
w2 = 125, w3 = 145, ... 
Uma lista de valores como essa, 
 
 w = (w1, w2, w3,..., w8) 
 
é chamada de tabela linear ou vetor. Na qual 
os números w1, w2, w3,..., w8 são chamados de 
coordenadas, componentes ou elementos do 
vetor w. 
Já conhecemos (x, y), é um par ordena-
do e tem representação geométrica no plano 
cartesiano, será representado pelo símbolo 
2
. 
Agora, (x, y, z) é chamado terno ordenado 
que tem representação geométrica no espaço, é 
representado pelo símbolo 
3
. 
 
Por exemplo, 
representa-
ção do terno 
ordenado 
P(2, 3, 5): 
 
y
z
x
0
2
3
5
P(2, 3, 5)
 
Agora, para 
efeito de 
comparação, 
a representa-
ção geomé-
trica do vetor 
u = (2, 3, 5): 
 
y
z
x
0
2
3
5
 
 
Observações: 
 No exemplo anterior, observe que, as extre-
midades do vetor u: na origem (0, 0, 0) e 
ponto final em (2, 3, 5). 
 Vetores sempre terão origem em (0, 0) em 
2
, (0, 0, 0) em 
3
, assim por diante. 
 
2. Igualdade de Vetores 
 Dois vetores, u e v, são iguais (escreve-
se u = v) se possuem a mesma quantidade de 
componentes e se as componentes correspon-
dentes são iguais. Embora os vetores (1, 2, 3) e 
(2, 3, 1) contenham os mesmos três números, 
eles não são iguais uma vez que não possuem 
as coordenadas correspondentes iguais. 
 O vetor (0, 0, ..., 0) cujas coordenadas 
são todas 0 é chamado de vetor nulo e é usu-
almente denotado por 0. 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
Determine x, y e z para que (x – y, x + y, z - 1) 
= (4, 2, 3). 
 
Resolução: Pela definição de igualdade de vetores 
as componentes correspondentes devem ser 
iguais. Assim, 
 
x – y = 4, x + y = 2 e z – 1 = 3 
 
Resolvendo o sistema de equações obtemos 
x = 3, y = -1, z = 4. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) Represente graficamente o ponto 
P(3, 4, 6). 
 
2) Represente graficamente o vetor 
u = (4, -3, 5). 
 
3) Determine x e y onde: 
a) (x, 3) = (2, x + y) b) (4, y) = x(2, 3) 
 
4) Determine os números reais x e y, se 
(x + y, x – y) = (5, 8). 
 
5) Determine os números reais x e y, se 
(x2 + 2x, 2x2 + 3x) = (-1, -1). 
 
6) Determine os números reais x, y e z, se 
(2x + y, x + 3z, 5y - z) = (5, 16, 10). 
 
3. Adição de Vetores 
 Considere dois vetores u e v, por exem-
plo, u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2). Sua soma, 
denotada pelo vetor 
 
u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) 
 
3.1 Interpretação Geométrica 
O vetor resultante u + v de dois vetores 
u e v é obtida pela lei do paralelogramo; ou 
seja, u + v é a diagonal do paralelogramo for-
mado por u e v. Além disso, se (x1, y1, z1) e 
 
 
2 
(x2, y2, z2) são os pontos finais dos vetores u e 
v, então (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) é o ponto 
final do vetor u + v. Essas propriedades podem 
ser vistas na figura abaixo: 
 
(x , y , z )1 1 1
(x , y , z )2 2 2
(x + x , y + y , z + z )1 2 1 2 1 2
v
u
u +
 v
y
z
x
0
 
 
4. Multiplicação por Escalar 
 A multiplicação por escalar, ou simples-
mente produto do vetor u = (x, y, z) por um 
número real k, denotado por ku, é o vetor obti-
do pela multiplicação de k por cada coordenada 
de u, isto é, 
 
Ku = k(x, y, z) = (kx, ky, kz) 
 
4.1 Interpretação Geométrica 
O produto ku de um vetor u por um nú-
mero real k é obtido multiplicando-se o tama-
nho de u por k mantendo-se a mesma direção 
se k > 0 ou a direção contrária se k < 0. Além 
disso, se (x, y, z) é o ponto final do vetor u, 
então (kx, Ky, kz) é o ponto final do vetor ku. 
Essas propriedades podem ser vistas na figura 
abaixo: 
 
(x , y , z)
x
z
y
( x, y, z)k k k
u
ku
y
z
x
0
 
 
5. Oposto e Subtração de Vetores 
 O oposto e a subtração são definidos 
como: 
-u = (-1)u e u – v = u + (-v) 
 
 O vetor –u é chamado de oposto de u, e 
o vetor u – v é chamado de diferença de u e v. 
5.1 Representação Geométrica: 
 De oposto de um vetor no plano: 
 
(x, y)
(-x, -y)
u
-u
x
y
 
 
 De diferença de vetores no espaço: 
 
(x , y , z )1 1 1
(x , y , z )2 2 2
(x - x , y - y , z - z )1 2 1 2 1 2
v
u
u - v
y
z
x
0
 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
Sejam u = (2, 4, -5) e v = (1, -6, 9). Determi-
ne: 
a) u + v b) 7u c) –v d) 3u + 5v 
 
Resolução: 
u + v = (2 +1, 4 + (-6), -5 + 9) = (3, -2, 4) 
7u = (7.2, 7.4, 7.(-5)) = (14, 28, -35) 
–v = (-1).(1, -6, 9) = (-1, 6, -9) 
3u + 5v = (6, 12, -15) + (-5, 30, -45) = (1, 42, 
-60). 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
7) Determine as coordenadas do vetor 
v = 3(1, 0, 1) – 4(0, 1, 1) -3(1, -1, 0) 
 
8) Dados os vetores 
u
 = (-1, 4, -15) e 
v
 = (-3, 2, 5), pede-se determinar um vetor 
x
 

 
3
, tal que 
u
 = 2
v
 + 5
x
. 
 
9) Sejam u = (2, -7, 1), v = (-3, 0, 4) e 
w = (0, 5, -8). Determine: 
 
a) 3u – 4v b) 2u + 3v – 5w 
 
10) Sejam u = 5
3
-4
 
 
 
  
, v = -1
5
2
 
 
 
  
 e w = 3
-1
-2
 
 
 
  
. 
Determine: 
a) 5u – 2v b) -2u + 4v – 3w 
 
 
3 
Observação: Os vetores u, v e w do Exercício 
10) são chamados vetores coluna, segue que 
 
x
y
z
 
 
 
 
 
 = (x, y, z) 
 
6. Norma, Módulo ou Comprimento de 
Vetor 
 A norma, módulo ou comprimento de um 
vetor u, denotada por 
u
 é a distância entre a 
origem do sistema de coordenadas O e o ponto 
final P do vetor u. Como exemplo, adotando 
u = (x, y) (figura abaixo), aplicando o teorema 
de Pitágoras no triângulo AOP, segue que 
 
|u|2 = x2 + y2 

 |u| = 
22 y x 
 
 
Agora, se u = (x, y, z), então 
 
|u| = 
222 z y x 
 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
Considere u = (1, -2, -4, 5, 3), para determinar
u
. 
Resolução: 
u
 = 
2 2 2 2 21 ( 2) ( 4) 5 3     
 
u
 = 
1 4 16 25 9   
 
u
 = 
55
. 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
11) Determine 
u
 onde: 
a) u = (3, -12, -4) b) u = (2, -3, 8, -7) 
 
7. Produto Escalar ou Produto Interno 
 Considere dois vetores quaisquer u e v, 
por exemplo, 
 
u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) 
 
O produto escalar ou produto interno de u e v é 
denotado e definido por 
 
u.v = x1x2 + y1y2 + z1z2 
 
ou seja, u.v é obtido multiplicando-se as coor-
denadas correspondentes e somando-se os pro-
dutos obtidos. 
Os vetores u e v são chamados ortogo-
nais (ou perpendiculares) se seu produto es-
calar é igual à zero, isto é u.v = 0. 
Se for dado o módulo dos vetores u e v, 
ou seja, 
u
, 
v
 e o ângulo  entre os vetores, 
então o produto escalar é definido por 
 
u.v = 
u
.
v
.cos  
 
, onde 0 ≤  ≤ 180°. 
 Utiliza-se a mesma fórmula para encon-
trar o ângulo entre dois vetores 
 
cos  = 
vu
vu
.
.
 
 
Exemplo: Sejam u = (1, -2, 3), v = (4, 5, -1), 
w = (2, 7, 4), então 
u.v = 1.4 – 2.5 + 3(-1) = 4 – 10 – 3 = -9, 
u.w = 2 – 14 + 12 = 0, 
v.w = 8 + 35 – 4 = 39. 
 Observa-se u e w são ortogonais. 
 
7.1 Interpretação Geométrica 
 Faremos a interpretação geométrica do 
produto escalar em 
2
 através do exemplo quesegue. 
Dados os vetores u = 
O A
 = (3, 5) e v = 
O B
 = 
(-5, 3), eles são ortogonais, pois 
 
u.v = -15 + 15 = 0 
 
 Este resultado é confirmado geometrica-
mente na figura abaixo: 
 3-5 o
A
5
3
u
v
B
 
 
Observação: A norma de u = (x, y), 
|u| = 
22 y x 
 e |u|2 é igual ao produto escalar 
u.u. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
12) Determine u.v para: 
a) u = (2, -5, 6) e v = (8, 2, -3) 
b) u = (4, 2, -3, 5, -1) e v = (2, 6, -1, -4, 8) 
 
13) Sendo u = (3, 0, 1) e v = (-1, 2, -1), cal-
cule (u – v)2. 
 
14) Sejam u = (5, 4, 1), v = (3, -4, 1) e 
w = (1, -2, 3). Algum par destes vetores é per-
pendicular (ortogonal)? Qual(is)? Determine o 
produto interno de cada par de vetores. 
 
15) Determine k para que u e v sejam ortogo-
nais, onde: 
a) u = (1, k, -3) e v = (2, -5, 4) 
b) u = (2, 3k, -4, 1, 5) e v = (6, -1, 3, 7, 2k). 
 
16) Sabendo que 
u
 = 4, 
v
 = 6 e que 
 = 120°, calcule u.v. 
 
17) Dados u = (1, 
3
) e v = (-2, 2
3
), calcu-
le o  = ang(u, v). 
 
x 
y 
P(x, y) 
A O 
 
 
4 
18) Calcule o ângulo entre os vetores 
u = (1, 1, 1) e v = (1, 2, -3). 
 
19) Considere o triângulo ABC, com A(1, 2), 
B(4, 3) e C(3, -4). Calcule os ângulos 
Aˆ
 e 
Bˆ
 
deste triângulo. 
 
8. Produto Vetorial 
Um vetor u = (x, y) também pode ser 
escrito como u = xi + yj, onde i = (1, 0) e 
j = (0, 1), também, se u = (x, y, z)  
u = xi + yj + zk, onde i = (1, 0, 0), 
j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1). 
Há uma operação especial para vetores 
de 
3
 que não está definida em 
n
 para n ≠ 3. 
Essa operação é chamada produto vetorial e é 
denotada por u × v. 
 Sendo u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) 
escritos da forma u = x1i + y1j + z1k e 
v = x2i + y2j + z2k, respectivamente, então 
 
u × v = 
1 1
2 2
y z
y z
i - 
1 1
2 2
x z
x z
j + 
1 1
2 2
x y
x y
k 
 
ou seja, as três coordenadas do vetor u × v são 
obtidas da matriz 
1 1 1
2 2 2
x y z
x y z
 
 
 
 
(que contém as coordenadas de u sobre as de 
v) assim: 
(1) Exclua a primeira coluna e calcule o deter-
minante. 
(2) Exclua a segunda coluna e calcule oposto do 
determinante. 
(3) Exclua a terceira coluna e calcule o deter-
minante. 
Observe que u × v é um vetor, chamado de 
vetor produto ou produto externo entre u e v. 
 
Exemplo: Determine u × v onde: 
a) u = 4i + 3j + 6k e v = 2i + 5j – 3k, 
b) u = (2, -1, 5) e v = (3, 7, 6). 
 
Resolução: 
a) Use 
4 3 6
2 5 -3
 
 
 
 para obter u × v = (- 9 – 30)i 
- (-12 - 12)j + (20 – 6)k = -39i + 24j + 14k. 
 
b) Use 
2 -1 5
3 7 6
 
 
 
 para obter u × v = (-6 - 35, -
(12 – 15), 14 + 3) = (-41, 3, 17). 
 
8.1 Modo Prático 
O produto vetorial entre os vetores 
u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2), também é 
dado por 
 
u × v = 
222
111
zyx
zyx
kji 
 
Resolva o exemplo anterior por esta fór-
mula e veja que dá o mesmo resultado. 
 
 
 
 
8.2 Interpretação Geométrica 
 Sejam os vetores u e v, o módulo do 
produto vetorial u × v é igual a área do parale-
logramo de lados u e v. 
 
 
 
|u × v| = Área do paralelogramo formado por u e v 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
Calcule a área do paralelogramo dado os vérti-
ces A(2, 1, 3), B(6, 4, 1) e C(-6, -2, 6). 
Resolução: 
A B
C D
 
 
u = B – A = (4, 3, -2) 
v = C – A = (-8, -3, 3) 
 
Área do paralelogramo: A = 
vu 
 
u × v = 
33-8-
2-34
kji = (3, 4, 12) 
 
A = 
vu 
 = 
222 12 4 3 
= 13. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
20) Sejam u = 2i – 3j + 4k, v = 3i + j - 2k e 
w = i + 5j + 3k. Determine: 
a) u × v b) u × w 
 
21) Determine u × v onde: 
a) u = (1, 2, 3) e v = (4, 5, 6) 
b) u = (-4, 7, 3) e v = (6, -5, 2) 
 
22) Dados u = 3i – 4j + 2k, v = 2i + 5j - 3k e 
w = 4i + 7j + 2k, calcule: 
a) u × v c) v × w 
 
b) u × w 
 
23) Calcule a área do paralelogramo ABCD, 
onde u = 
A B
 = 4i - 2j + k e v = 
A D
 = i + k. 
 
24) Calcule a área do triângulo ABC, sendo 
A(2, 3, 5), B(-2, 1, 0) e C(3, -1,1) 
 
9. Produto Misto 
 Chama-se produto misto de três vetores 
u, v e w, tomados nessa ordem e que se deno-
ta por [u, v, w] a expressão: 
 
[u, v, w] = u.(v × w) 
 
O produto misto de três vetores u, v e 
w, tomados nessa ordem, é, portanto o produto 
escalar do vetor u pelo vetor v × w. 
 
 
 
 
 
5 
9.1 Modo Prático 
O produto misto entre os vetores 
u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) e 
w = (x3, y3, z3) também é dado por 
 
[u, v, w] = 
333
222
111
zyx
zyx
zyx 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
Dados os vetores u = (-2, 1, 2), v = (1, -1, 1) 
e w = (1, 1, 1). Calcule [u, v, w]: 
 
Resolução: 
[u, v, w] = 
111
11-1
212- = 8 
 
9.2 Interpretação Geométrica: 
O módulo do produto misto [u, v, w] é 
igual ao volume do paralelepípedo, cujas ares-
tas são respectivamente os representantes ge-
ométricos dos vetores u, v e w. 
v
u
w
u v 
D
A
B
C
H
G
F
E
 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
Determine o volume do paralelepípedo ABCD 
cujos vértices são A(1, 1, -1), B(2, 2, -1), 
C(3, 1, -1) e D(2, 3, 1). 
Resolução: 
u = B – A = (1, 1, 0) 
v = C – A = (2, 0, 0) 
w = D – A = (1, 2, 2) 
Volume do Paralelepípedo: V = |[u, v, w]| 
[u, v, w] = 
221
002
011 = -4 
Portanto, V = |[u, v, w]| = |-4| = 4. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
25) Calcule o volume do paralelepípedo de 
arestas u = (2, 1, 4), v = (10, 10, 1) e 
w = (2, 5, 3). 
 
26) Determine o volume V do paralelepípedo 
formado pelos vetores u, v e w em cada caso: 
a) u = 3i -4j + 2k e v = 2i + 5j – 3k, w = 4i 
+ 7j + 2K. 
b) u = [2, 1, 3], v = [4, -2, 2] e w = [1, 1, 5]. 
 
27) Achar o volume do paralelepípedo cujas 
arestas são os representantes geométricos dos 
vetores u = 8i – 3j + 3k, v = 4i + 2j + 3k e 
w = -3i + 4j + k. 
 
 
Referências 
 
LIPSCHUTZ, S. Teoria e Problemas de Álgebra Linear. 3 
ed. Porto Alegre: Bookman, 2004 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nunca deixe que lhe digam: 
Que não vale a pena 
Acreditar no sonho que se tem 
Ou que seus planos 
Nunca vão dar certo 
Ou que você nunca 
Vai ser alguém... 
 Renato Russo 
 
 
 
Atualizada em 28/3/2016 
 
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