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Blog do Prof. Gilberto PROF. GILBERTO SANTOS JR FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU *** RECURSO PEDAGÓGICO DE DISTRIBUIÇÃO GRATUITA *** SUMÁRIO 1. DEFINIÇÃO .......................................................... 1 2. O GRÁFICO .......................................................... 1 2.1 Concavidade ...................................................... 1 2.2 Raiz ou zero da função ........................................ 2 2.3 Vértice da parábola (xv, yv).................................... 2 2.4 Construindo o gráfico .......................................... 3 2.5 Comportamentos da parábola em relação aos coeficientes a e b ...................................................... 4 3. VALOR MÍNIMO OU VALOR MÁXIMO ....................... 5 4. IMAGEM DA PARÁBOLA (Imf) .................................. 7 Recursos Pedagógicos Suplementares ........................ 9 Referências ............................................................. 9 McDonald's e as parábolas 1. DEFINIÇÃO Chama-se função polinomial do 2º grau a qualquer função f: ℝ → ℝ dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são núme- ros reais fixos (coeficientes) e a ≠ 0; x e f(x) são números reais variáveis ou chamados simples- mente de variáveis. Exemplos: a) f(x) = 3x2 ‒ 4x + 1, onde a = 3, b = ‒ 4 e c = 1; b) f(x) = x2 ‒ 1, onde a = 1, b = 0 e c = ‒ 1; c) f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5; d) f(x) = ‒ x2 + 8x, onde a = ‒ 1, b = 8 e c = 0; e) f(x) = ‒ 4x2, onde a = ‒ 4, b = 0 e c =0. Observações: • f: ℝ → ℝ significa que a função é definida do domínio números reais ao contra domínio nú- meros reais; • Alguns editais de processos seletivos e concur- sos públicos e até alguns livros didáticos, no Brasil, chamam função polinomial do 2º grau de função quadrática. 2. O GRÁFICO O gráfico de uma função polinomial do 2º grau é uma curva chamada parábola. Exemplo: Construir o gráfico da função y = 𝐱𝟐 + x: Resolução: Primeiro atribuímos alguns valores a va- riável x e calculamos as respectivas imagens f(x), formando os pares ordenados (x, f(x)), que em seguida são representados no plano cartesiano, ligamos os pontos assim obtidos. x f(x) ‒ 3 6 ‒ 2 2 ‒ 1 0 0 0 1 2 2 6 Para evitar a determinação de um número muito grande de pontos e obter uma boa repre- sentação gráfica, vamos destacar três pontos im- portantes características do gráfico da função do 2º grau: • Concavidade; • Zero da função ou raiz da função; • Vértice. 2.1 Concavidade Ao construir o gráfico de uma função poli- nomial do 2º grau, y = a𝐱𝟐 + bx + c, a ≠ 0, se • a > 0 a parábola tem a concavidade voltada para cima; • a < 0 a parábola tem a concavidade voltada para baixo. EXERCÍCIO PROPOSTO 1) Observando as seguintes funções polinomiais do 2º grau, diga se a parábola tem concavidade voltada para cima ou para baixo. Justifique: a) f(x) = x2 ‒ 5x + 6 d) f(x) = 2x2 ‒ 4x b) f(x) = ‒ x2 – x + 6 e) y = 1 ‒ 4x2 c) y = 3x2 EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 2)(Enem-2014) Um professor, depois de corrigir as provas de sua turma, percebeu que várias questões estavam muito difíceis. Para compensar, decidiu utilizar uma função polinomial f, de grau menor que 3, para alterar as notas x da prova pa- ra notas y = f(x), da seguinte maneira: • A nota zero permanece zero. • A nota 10 permanece 10. https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ 2 Blog do Prof. Gilberto • A nota 5 passa a ser 6. A expressão da função y = f(x) a ser utiliza- da pelo professor é a) y = − 1 25 x2 + 7 5 x c) y = 1 24 x2 + 7 12 x e) y = x b) y = − 1 10 x2 + 2x d) y = 4 5 x2 + 2 R: (a) 3)(UEPA-2008) Um incêndio numa Reserva Flo- restal iniciou no momento em que um fazendeiro vizinho à Reserva ateou fogo em seu pasto e o mesmo se alastrou até a reserva. Os prejuízos para o meio ambiente foram alarmantes, pois a área destruída foi crescendo diariamente até que, no 10º dia, tempo máximo de duração do incêndio, foi registrado um total de 16 000 hectares de área dizimada. A figura abaixo é um arco de parábola que representa o crescimento da área dizimada nessa reserva em função do número de dias que durou o incêndio. Nestas condições, a expressão que representa a área dizimada A em função do tempo T, em dias, é: (a) A = ‒ 16.000T2 + 10T (d) A = 160T2 ‒ 3.200T (b) A = 16.000T2 ‒ 3.200T (e) A = 16.000T2 ‒ 10T (c) A = ‒ 160T2 + 3.200T R: (c) 4)(UEPA-2007) Partindo do princípio de que a altura H da barragem de uma usina hidrelétrica pode ser função da velocidade v da queda d’água; da gravidade g local e representada pela expres- são H(v) = v2 2g , o gráfico que melhor se assemelha a esta função é: (a) (c) (e) (b) (d) R: (a) 2.2 Raiz ou zero da função Chama-se raiz ou zero da função polinomial do 2º grau f(x) = a𝐱𝟐 + bx + c, a ≠ 0, o número real x tais que f(x) = 0. Exemplo: Determinar as raízes da função f(x) = x2 ‒ 6x + 5. ⃰ Resolução: f(x) = 0 ⟹ x2 ‒ 6x + 5 = 0 (equação do 2º grau) = 16 x’ = 1 ou x” = 5 Interpretação geométrica das raízes: As raízes são abscissas dos pontos em que parábola intercepta o eixo x. Observação: A quantidade de raízes reais de uma função do 2º grau depende do valor obtido para o = 𝐛𝟐 ‒ 4ac, chamado discriminante, a saber: • Quando é positivo, há duas raízes reais e distintas; • Quando é igual à zero, há somente uma ra- iz real (ou duas raízes reais e iguais); • Quando é negativo, não há raiz real. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 5) Determine os zeros ou raízes das funções: a) f(x) = x2 ‒ 4x ‒ 5 R: S = {‒ 1, 5} b) f(x) = x2 ‒ 4x + 4 R: S = {2} c) f(x) = x2 ‒ 2x + 6 R: S = 6) Seja a função f(x) = x2 ‒ 2x + 3k. Sabendo que essa função possui duas raízes reais e iguais, de- termine o valor real de k. R: S = 1/3 7) Os valores de m para os quais as raízes da função y = ‒ x2 ‒ mx ‒ 4 sejam reais e diferentes pertencem ao intervalo: (a) (–2,2) (c) (4,∞) (e) ℝ ‒ [– 4,4] (b) [–4,4] (d) [–2,2] R: (e) 2.3 Vértice da parábola (xv, yv) • Quando a > 0, a parábola tem concavidade vol- tada para cima e um ponto mínimo V; • Quando a < 0, a parábola tem concavidade vol- tada para baixo e um ponto máximo V; • O ponto V é chamado vértice da parábola. Observe os gráficos: https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ 3 Blog do Prof. Gilberto a > 0 a < 0 As fórmulas para calcular o vértice da pa- rábola V(xv, yv) são: 𝐱𝐯 = – 𝐛 𝟐𝐚 𝐲𝐯 = – 𝟒𝐚 EXERCÍCIO PROPOSTO 8) Determine o ponto V(xv, yv), vértice da parábo- la que representa o gráfico das seguintes funções: a) y = x2 ‒ 6x + 5 R: V(3, ‒ 4) d) y = x2 ‒ 4 R: V(0, -4) b) y = 3x2 ‒ 4x R: V(2/3, ‒ 4/3) e) y = ‒ 6x2 R: V(0, 0) c) y = ‒ x2 + x ‒ 3 R: V(1/2, ‒ 11/4) 2.4 Construindo o gráfico Agora que já conhecemos as principais ca- racterísticas da parábola, podemos esboçar com mais facilidade o gráfico da função polinomial do 2º grau. Observações: • A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de simetria da parábola; • Para x = 0, temos y = a ∙ 02 + b ∙ 0 + c = c ⟹ y = c, gerando, portanto o par ordenado (0,c), que, no plano cartesiano, é o ponto em que a parábola corta o eixo y. Observe geometrica- mente na figura abaixo: EXERCÍCIOS PROPOSTOS 9) Construa o gráfico das seguintes funções do 2º grau: a) y = x2 ‒ 5x + 6 d) f(x) = x2 ‒ 7x + 10 b) y = x2 ‒ 5x + 4 e) f(x) = ‒ x2 + 7x ‒ 10 c) f(x) = ‒ x2 + 5x ‒ 4 f) y = x2 ‒ 7x + 12 10) Trace, no plano cartesiano, o gráfico das se- guintes funções do 2º grau: a) y =x2 ‒ 4x + 3 d) y = ‒ 5x2 + 2x ‒ 1 b) y = ‒ x2 + 6x ‒ 9 e) f(x) = x2 ‒ 4x c) f(x) = x2 ‒ 4 f) y = x2 ‒ 6x + 5 11) Esboçar o gráfico da função y = 2x2 ‒ 3x + 1, determinando: a) as raízes; R: S = {1/2, 1} b) as coordenadas do vértice; R: V(3/4, ‒ 1/8) c) a classificação de yv; (valor mínimo ou valor máximo da função) R: Valor mínimo d) intersecção da curva com o eixo y. R: 1 12) Dada a função f(x) = ‒ x2 + 4x ‒ 2: a) Determine as raízes de f, se houver; R: S = {2 ‒ √2, 2 + √2} b) Calcule as coordenadas do vértice de seu gráfi- co; R: V(2, 2) c) Esboce seu gráfico. 13) Determine os intervalos nos quais a função f(x) = x2 ‒ 6x + 5 é: a) crescente; R: (3, +∞) b) decrescente. R: (‒ ∞, 3) EXERCÍCIOS CONTEXTUALIZADOS 14) Uma pedra é lançada do solo verticalmente para cima. Ao fim de t segundos (s), atinge a altura h, em metros(m), dada por: h = 40t ‒ 5t2. a) Calcule a posição da pedra no instante 2s. R: 60 m b) Calcule o instante em que a pedra passa pela posição 75 m, durante a subida. R: 3s e 5s c) Determine a altura máxima que a pedra atinge. R: 80 m d) Construa o gráfico da função h para 0 ≤ t ≤ 8 s. 15) Um corpo lançado do solo verticalmente para cima tem posição em função do tempo dada pela função h(t) = 28t ‒ 4t2, onde a altura h é dada em metros (m) e o tempo t é dado em segundos (s). Determine: a) a altura em que o corpo se encontra em relação ao solo no instante t = 3 segundos; R: 48 m b) os instantes em que o corpo está a uma altura de 48 metros do solo. R: 3 s ou 4 s c) Determine a altura máxima que o corpo atinge. R: 49 m d) Construa o gráfico da função h para 0 ≤ t ≤ 7 s. 16) O dono de uma marcenaria, que fabrica certo tipo de armário, sabe que o número de armários N que ele pode fabricar por mês depende do número x de funcionários trabalhando na marcenaria, e essa dependência é dada pela função N(x) = x2 + 2x. Qual é o número de empregados necessários para fabricar 168 armários em um mês? R: 12 empregados https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ 4 Blog do Prof. Gilberto EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 17) Dado o gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c, encontre os valores de a, b e c. R: x2 ‒ 4x + 3 = 0 2.5 Comportamentos da parábola em re- lação aos coeficientes a e b De um modo geral, a parábola tem com- portamento em relação ao eixo do y e sua conca- vidade em relação aos coeficientes a e b da função do 2º grau, f(x) = a𝐱𝟐 + bx + c, respectivamente, conforme o esquema abaixo: a > 0 e b < 0 a > 0 e b > 0 a < 0 e b > 0 a < 0 e b < 0 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 18) O trinômio y = ax2 + bx + c está representado na figura. A afirmativa certa é: y x 0 (a) a > 0, b > 0, c > 0 (d) a < 0, b > 0, c > 0 (b) a < 0, b < 0, c < 0 (e) a < 0, b > 0, c > 0 (c) a < 0, b > 0, c < 0 R: (b) 19) Considere a função f, de ℝ em ℝ, dada por f(x) = 4x ‒ x2. Representando-a graficamente no plano cartesiano, obteremos: (a) (d) –4 0 x y –2 0 x y (b) (e) –4 0 x y –2 0 x y 2 (c) 0 4 x y R: (c) 20) O gráfico da função do 2º grau y = ax2 + bx + c é: Pode-se afirmar que: (a) a > 0, b > 0, c = 0 (d) a > 0, b = 0, c < 0 (b) a > 0, b > 0, c > 0 (e) a > 0, b > 0, c < 0 (c) a < 0, b = 0, c > 0 R: (d) EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 21)(Enem-2016) Um túnel deve ser lacrado com uma tampa de concreto. A secção transversal do túnel e a tampa de concreto têm contornos de um arco de parábola e as mesmas dimensões. Para determinar o custo da obra, um engenheiro deve calcular a área sob o arco parabólico em questão. Usando o eixo horizontal no nível do chão e o eixo de simetria da parábola como eixo vertical, obteve a seguinte equação para a parábola: y = 9 ‒ x2, sendo x e y medidos em metros. Sabe-se que a área sob uma parábola como esta é igual a 2 3 da área do retângulo cujas dimensões são, respectivamente, iguais à base e à altura do túnel. Qual é a da parte frontal da tampa de con- creto, em metro quadrado? (a) 18 (b) 20 (c) 36 (d) 45 (e) 54 R: (c) 22)(UFPA-97) O gráfico da função y = ax2 + bx + c está esboçado pela parábola no painel. Sendo o discriminante, podemos afirmar que: (a) a < 0, > 0 e c > 0 (d) a < 0, > 0 e c < 0 2 1 3 0 x y 3 https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ 5 Blog do Prof. Gilberto (b) a > 0, > 0 e c < 0 (e) a < 0, > 0 e c = 0 (c) a < 0, = 0 e c < 0 R: (a) 23)(UFPA-2010) O faturamento de uma empre- sa na venda de produtos pode ser modelado por uma função quadrática, do tipo F(p) = ap2 + bp + c, sendo p o preço de venda praticado. A figura abai- xo apresenta os faturamentos obtidos em função do preço e o gráfico da função quadrática que aproxima esse faturamento. Sobre os coeficientes da função quadrática, é correto afirmar que (a) a > 0, b < 0 e c < 0 (d) a < 0, b < 0 e c = 0 (b) a < 0, b > 0 e c < 0 (e) a < 0, b > 0 e c = 0 (c) a > 0, b < 0 e c > 0 R: (e) 24)(Cesgranrio-RJ) O gráfico da função quadrática f(x) = x2 + bx + c é o da figu- ra. Então, podemos concluir que: (a) b = ‒ 1 e c = 0 (d) b = 4 e c = 0 (b) b = ‒ 2 e c = 0 (e) b = 1 e c = 1 (c) b = 0 e c = – 1 R: (b) 25)(UEPA-2003) Com os recursos do computa- dor, as arbitragens nos jogos de futebol ficaram mais transparentes, pois nas transmissões pela TV, se tornou possível identificar se um lance foi falta; impedimento; se a bola saiu; qual o ângulo, trajetória e a velocidade do chute, etc. Uma emis- sora, usando essa tecnologia, detectou que o tiro de meta cobrado por um zagueiro é tal que, a al- tura h da bola varia com o tempo t (em segun- dos), de acordo com a equação h(t) = ‒ 2t2 + 16t. Nessas condições, o tempo decorrido entre a co- brança do tiro de meta e o momento em que a bola atinge o solo é: (a) 16 segundos (d) 8 segundos (b) 12 segundos (e) 4 segundos (c) 10 segundos R: (d) 3. VALOR MÍNIMO OU VALOR MÁXIMO Weirstrass (1815—1897) provou que toda função contínua com domínio em um intervalo fechado possui máximo e mínimo. Seja a função polinomial do 2º grau, f(x) = a𝐱𝟐 + bx + c, a ≠ 0, se • a > 0, yv é o valor mínimo da função; • a < 0, yv é o valor máximo da função. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 26) Determine se as funções têm valor máximo ou mínimo, em seguida calcule esse valor. a) f(x) = 3x2 ‒ 6x + 2 R: Valor mínimo de ‒ 1 b) f(x) = ‒ 2x2 + 4x ‒ 1 R: Valor máximo de 1 c) f(x) = x2 ‒ 1 R: Valor mínimo de ‒ 1 d) f(x) = 4 ‒ x2 R: Valor máximo de 4 27) A função f(x) = x2 ‒ 2x + 1 tem mínimo no ponto em que x vale: (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 4 R: (b) EXERCÍCIOS CONTEXTUALIZADOS 28) O custo para se produzir x unidades de um produto é dado por C = 2x2 – 100x + 5000. Deter- mine o valor do custo mínimo. R: 3 750 29) Uma bola é lançada ao ar. Suponha que sua altura h, em metros (m), t segundos (s) após o lançamento, seja h = ‒ t2 + 4t + 6. Determine: a) o instante em que a bola atinge a sua altura máxima; R: t = 2 s b) a altura máxima atingida pela bola; R: 10 m c) quantos segundos depois do lançamento ela toca o solo. R: t = 2 + √10 s 30) Sabe-se que o custo C para produzir x unida- des de certo produto é dado por C = x2 ‒ 80x + 3000. Nessas condições, calcule: a) a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo; R: 40 unidades b) o valor mínimo do custo. R: 1 400 31) Sabe-se que o lucro total de uma empresa é dado pela fórmula L = R ‒ C, em que L é o lucro total, R é a receita total e C é o custo total da pro- dução. Numa empresa que produziu x unidades, verificou-se que R(x) =6000x ‒ x2 e https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ 6 Blog do Prof. Gilberto C(x) = x2 ‒ 2000x. Nessas condições, qual deve ser a produção x para que o lucro da empresa seja máximo? R: 2 000 unidades 32) Um engenheiro pretende construir uma casa de formato retangular com 100 m de perímetro e de maior área possível. O valor dessa área será de: (a) 50 m2 (c) 100 m2 (e) 625 m2 (b) 75 m2 (d) 125 m2 R: (e) 33) Um fazendeiro quer construir um curral re- tangular. Para cerca- lo, dispõe de 400 m de arame e de uma pare- de já existente (figura ao lado). Sabendo que a cerca de arame terá 4 voltas, determi- ne as dimensões desse curral para que sua área seja máxima. R: 25 metros por 50 metros. EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 34)(Enem-2017) Viveiro de lagostas são cons- truídos, por cooperativas locais de pescadores, em formatos de prismas retangulares, fixados ao solo e com telas flexíveis de mesma altura, capazes de suportar a corrosão marinha. Para cada viveiro a ser construído, a cooperativa utiliza integralmente 100 metros lineares dessa tela, que é usada ape- nas pelas laterais. Quais devem ser os valores de X e de Y, em metros, para que a área da base do viveiro seja máxima? (a) 1 e 49 (c) 10 e 10 (e) 50 e 50 (b) 1 e 99 (d) 25 e 25 R: (d) 35)(Enem-2017) A Igreja de São Francisco de Assis, obra arquitetônica modernista de Oscar Niemeyer, localizada na Lagoa da Pampulha, em Belo Horizonte, possui abóbadas parabólicas. A seta da Figura 1 ilustra uma das abóbadas na en- trada principal da capela. A Figura 2 fornece uma vista frontal dessa abobada, com medidas hipoté- ticas para simplificar os cálculos. Qual a medida da altura H, em metros, in- dicada na Figura 2? (a) 16 3 (b) 31 5 (c) 25 4 (d) 25 3 (e) 75 2 R: (d) 36)(Enem-2015) Um estudante está pesquisan- do o desenvolvimento de certo tipo de bactéria. Para essa pesquisa, ele utiliza uma estufa para armazenar as bactérias. A temperatura no interior dessa estufa, em graus Celsius, é dada pela ex- pressão T(h) = ‒ h2 + 22h ‒ 85, em que h represen- ta as horas do dia. Sabe-se que o número de bac- térias é o maior possível quando a estufa atinge a sua temperatura máxima e, nesse momento, ele deve retirá-las da estufa. A tabela associa interva- los de temperatura, em graus Celsius, com as classificações: muita baixa, baixa, média, alta e muito alta. Quando o estudante obtém o maior número possível de bactérias, a temperatura no interior da estufa está classificada como (a) muito baixa. (c) média. (e) muito alta. (b) baixa. (d) alta. 37)(UEPA-2006) Uma fábrica de beneficiamento de peixe possui um custo de produção de x quilos de peixe, representado por C(x) = x2 + 10x + 900. O valor mínimo do custo, em reais, é: (a) 700 (b) 720 (c) 750 (d) 800 (e) 875 R: (e) 38)(UEPA-2005) Ao chutar uma lata, um cien- tista observou que sua trajetória seguiu a lei ma- temática h(t) = 6 + 4t ‒ t², na qual h é a altura, em metros, atingida pela lata em função do tempo t, em segundos, após o chute. Com base nesta situ- ação e analisando as afirmativas a seguir: I. O gráfico que traduz a função acima descrita é uma parábola com concavidade voltada para cima. II. A altura máxima atingida por essa lata é de 10 m. III. Essa função possui duas raízes reais. É correto afirmar que: (a) todas as afirmativas são verdadeiras (b) todas as afirmativas são falsas (c) somente a afirmativa I é falsa (d) somente a afirmativa II é verdadeira (e) somente a afirmativa III é verdadeira R: (c) parede https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ 7 Blog do Prof. Gilberto 39)(UEPA-2006) Um agricultor observou que a expressão P(x) = 25 + 16x ‒ 2x2 descreve a produ- ção (P), em toneladas, de cacau que colhe em suas terras em função da quantidade (x), em to- neladas, de fertilizante empregado. A produção de cacau será máxima quando a quantidade de fertili- zante x empregada for igual a: (a) 1 tonelada (d) 16 toneladas (b) 4 toneladas (e) 25 toneladas (c) 9 toneladas R: (b) 40)(UEPA-2001) Num jogo de futebol, obser- vou-se que, num chute a gol, a trajetória da bola descreveu uma parábola. Considerando que a altu- ra (h), em metros, alcançado pela bola num tempo (t), em segundos, seja dada por h = ‒ t2 + 4t, qual a altura máxima alcançada pela bola e o tempo gasto para isto? (a) 2 metros e 2 segundos (b) 3 metros e 4 segundos (c) 4 metros e 2 segundos (d) 8 metros e 2 segundos (e) 8 metros e 4 segundos R: (c) 41)(UEL) A função real f, de variável real dada por f(x) = ‒ x2 + 12x + 20, tem um valor: (a) mínimo, igual a ‒ 16, para x = 6 (b) mínimo, igual a 16, para x = ‒ 12 (c) máximo, igual a 56, para x = 6 (d) máximo, igual a 72, para x = 12 (e) máximo, igual a 240, para x = 20 R: (c) 42)(UEPA-2003) No Círio, a queima de fogos é realizada pelo Sindicato dos Estivadores é uma das emocionantes homenagens prestadas a Nossa Se- nhora de Nazaré. Imaginemos que um destes fo- gos, lançado do solo, apresentou problemas e des- creveu uma trajetória tal que a sua altura h, em metros, variou de acordo com o tempo t, em se- gundos, conforme a lei h(t) = 10t ‒ 5t2. Qual a alternativa que indica a altura máxima atingida por ele? (a) 2 m (b) 5 m (c) 10 m (d) 15 m (e) 50 m R: (b) 43)(Vunest-SP) Suponha que um grilo, ao saltar do solo, tenha sua posição no espaço descrita em função do tempo (em segundos) pela expressão h(t) = 3t ‒ 3t2, onde h é altura atingida em metros. a) Em que instante t o grilo retorna ao solo? R: 1s b) Qual a altura máxima em metros atingida pelo grilo? R: 3/4 m 4. IMAGEM DA PARÁBOLA (Imf) O conjunto imagem Imf da função f(x) = a𝐱𝟐 + bx + c, a ≠ 0, é o conjunto dos valores reais que f(x) assume. Há duas possibilidades: 1ª) Quando a > 0, Imf = {f(x) ∈ ℝ/f(x) ≥ yv} 2ª) Quando a < 0, Imf = {f(x) ∈ ℝ/f(x) ≤ yv} EXERCÍCIOS PROPOSTOS 44) Determine o conjunto imagem das seguintes funções do 2º grau: a) f(x) = x2 ‒ 10x + 9 R: Im = {x ∈ ℝ/ x ≥ ‒ 16} b) f(x) = 3x2 ‒ 2x ‒ 1 R: Im = {x ∈ ℝ/ x ≥ ‒ 4/3} c) f(x) = x2 ‒ 5x + 4 R: Im = {x ∈ ℝ/ x ≥ ‒ 9/4} d) f(x) = ‒ 2x2 + 1 R: Im = {x ∈ ℝ/ x ≥ 1} e) f(x) = x2 ‒ 6x R: Im = {x ∈ ℝ / x ≥ ‒ 9} f) f(x) = ‒ 3x2 + 2x ‒ 1 R: Im = {x ∈ ℝ/ x ≤ ‒ 2/3} g) f(x) = x2 – x ‒ 1 R: Im = {x ∈ ℝ/ x ≥ ‒ 5/4} h) f(x) = ‒ x2 + 4 R: Im = {x ∈ ℝ/ x ≤ 4} i) f(x) = ‒ x2 + 6x ‒ 10 R: Im = {x ∈ R/x ≤ ‒ 1} MAIS EXERCÍCIOS DE VERTIBULARES 45)(UNIRIO) A função linear f(x) = ax + b é re- presentada por uma reta que contém o ponto (2, ‒ 1) e que passa pelo vértice da parábola y = 4x ‒ 2x2. A função é: (a) f(x) = ‒ 3x + 5 (d) f(x) = 3x ‒ 7 (b) f(x) = 2x – 5 (e) f(x) = x ‒ 3 (c) f(x) = x 3 − 7 3 R: (a) https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ 8 Blog do Prof. Gilberto 46)(UFRS) Um menino chutou uma bola. Esta atingiu altura máxima de 12 metros e voltou ao solo 8 segundos após o chute. Sabendo que uma função quadrática expressa a altura y da bola em função do tempo t de percurso, esta função é: (a) y = ‒ t2 + 8t (d) y = − 1 4 t2 + 2t (b) y = − 3 8 t2 + 3t (e) y = − 2 3 t2 + 16 3 t (c) y = − 3 4 t2 + 6t R: (c) 47)(UFOP-MG) Em relação ao gráfico da função f(x) = ‒ x2 + 4x ‒ 3, pode-se afirmar: (a) é uma parábola de concavidade voltada para cima. (b) seu vértice é o ponto V(2,1). (c) intersecta o eixo das abscissas em P(‒ 3,0) e Q(3,0). (d) o seu eixo de simetria é o eixo das ordenadas. (e) nda.R: (b) 48)(UFPA-2008) O vértice da parábola y = ax2 + bx + c é o ponto (‒ 2,3). Sabendo que 5 é a ordenada onde a curva corta o eixo vertical, po- demos afirmar que (a) a > 1, b < 1 e c < 4 (d) a < 1, b > 1 e c > 4 (b) a > 2, b > 3 e c > 4 (e) a < 1, b < 1 e c < 4 (c) a < 1, b < 1 e c > 4 R: (d) 49)(UFPA-2006) Sobre um rio foi construída uma ponte, de 10 metros de largura, sobre vigas apoiadas em um arco de parábola, como mostra a figura abaixo. Se a distância da lâmina d’água até o ponto mais alto do arco da parábola é constante e igual a 5 metros, então o comprimento da viga que dista 8 metros da extremidade da ponte é, em metros, igual a (a) 0,2 (b) 1,6 (c) 1,8 (d) 3,2 (e) 3,4 R: (c) 50)(UFPA-2008) Um fornecedor A oferece a um supermercado, um certo produto com os seguintes custos: R$ 210,00 de frete mais R$ 2,90 por cada kilograma. Um fornecedor B oferece o mesmo produto, cobrando R$ 200,00 de frete mais R$ 3,00 por cada kilograma. O gráfico que representa os custos do supermercado com os fornecedores, em função da quantidade de kilogramas é: (a) (d) (b) (e) (c) R: (a) 51)(UEPA-2005) Com vistas à reforma agrária, uma fazenda foi desapropriada pelo Governo Fe- deral e dividida em 100 lotes, todos de forma qua- drada e de mesma área, para distribuição entre os “sem-terra”. A lei matemática que expressa a área z do terreno em função da medida x do lado de cada lote é: Dado: área do quadrado = (medida do lado)² (a) z = 100x (c) z = x² (e) z = x² + 100 (b) z = 100x² (d) z = 100 R: (b) 52)(UEPA-2003) Após uma cobrança de falta, uma bola de futebol descreveu uma trajetória pa- rabólica. Observou-se que a altura h, em metros, da bola variava de acordo com o tempo t, em se- gundos, após o chute. Considerando que a bola foi chutada no instante t = 0 segundo e que a altura máxima atingida por ela foi de 4 metros em 2 se- gundos do chute, qual a lei matemática que define esta função? (a) h(t) = ‒ t2 + 4t (d) h(t) = ‒ 2t2 + 4t (b) h(t) = ‒ t2 ‒ 4t (e) h(t) = ‒ 2t2 ‒ 4t https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ 9 Blog do Prof. Gilberto (c) h(t) = ‒ 4t2 + 2t R: (a) 53)(UFPA-2007) Um cidadão, ao falecer, deixou uma herança de R$ 200 000,00 para ser distribuí- da, de maneira equitativa, entre os seus x filhos. No entanto, três desses filhos renunciaram às suas respectivas partes nessa herança, fazendo com que os demais x ‒ 3 filhos, além do que receberiam normalmente, tivessem um adicional de R$ 15 000,00 em suas respectivas partes dessa herança. Portanto, o número x de filhos do referi- do cidadão é (a) 8 (b) 10 (c) 5 (d) 4 (e) 7 R: (a) 54)(UFPA-2009) Em um planeta de atmosfera rarefeita, um vulcão em erupção expele para fora de sua cratera uma pedra incandescente localizada 100 metros abaixo da superfície. Sabendo que a pedra demora 10 segundos para atingir a altura máxima de 400 metros e que sua trajetória é uma parábola, podemos afirmar que a pedra demora (a) 20 segundos para retornar à superfície e sua altura h em função do tempo t é dada pela expres- são h(t) = t2 ‒ 10t ‒ 200. (b) 15 segundos para retornar à superfície e sua altura h em função do tempo 𝒕 é dada pela ex- pressão h(t) = ‒ 2t2 + 20t + 150. (c) aproximadamente 18,94 segundos para retor- nar à superfície e sua altura h em função do tem- po t é dada pela expressão h(t) = ‒ t2 + 20t ‒ 20. (d) aproximadamente 18,94 segundos para retor- nar à superfície e sua altura h em função do tem- po t é dada pela expressão h(t) = ‒ 5t2 + 100t ‒ 100. (e) 17 segundos para retornar à superfície e sua altura h em função do tempo t é dada pela expres- são h(t) = t2 ‒ 20t + 51. R: (d) EXERCÍCIOS EXTRAS 55) Um projétil da origem O(0,0), segundo um referencial dado, percorre uma trajetória parabólica que atinge sua altura máxima no ponto (2,4). Es- creva a equação dessa trajetória. R: y = ‒ x2 + 4x 56) O gráfico abaixo é uma parábola cuja equação é da for- ma y = ax2 + bx + c. Calcule: 2a + 3b + 8c. R: 0 ou 20 Recursos Pedagógicos Suplementares (Ensino Híbrido) • Apostila de Função do 2º Grau (7 páginas, 39 questões) • Laboratório de Função do 2º Grau com Geoge- bra (3 páginas) • Apostila de Função e Função do 1º Grau (9 pá- ginas, 36 questões) • Apostila de Função e Função do 1º Grau (24 páginas, 118 questões) com gabarito • Apostila de Função Exponencial (8 páginas, 38 questões) com gabarito • Apostila de Função Logarítmica (6 páginas, 43 questões) • Apostila de Função Modular (6 páginas, 32 questões) • Laboratório de Função do 1º Grau com Geoge- bra (4 páginas, 10 exercícios) • Laboratório de Funções com planilhas eletrôni- cas (7 páginas, 10 exercícios) • Apostila de Matemática Financeira (9 páginas, 62 questões) • Apostila de Matemática Financeira (20 páginas, 140 questões) com gabarito • Laboratório de Matemática Financeira em plani- lhas eletrônicas (8 páginas, 10 exercícios) • Todas as apostilas de Matemática de Ensino Médio do Prof. Gilberto • Videoaulas de Matemática de Ensino Médio do Prof. Gilberto Referências DANTE, L.R. Matemática: Contexto & Aplicações. 2. Ed. São Paulo: Ática, 2000, v.1. Atualizada em 3/1/2021 Gostou da apostila? Você encontra várias apostilas como essa no blog do Professor Gilberto Santos, no endereço https://professorgilbertosantos.blogspot.co m/ 0 x y -1/3 1 2/3 https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/apostila-de-funcao-do-2-grau-7-paginas.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/apostila-de-funcao-do-2-grau-7-paginas.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/apostila-de-funcao-do-2-grau-7-paginas.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/laboratorio-de-funcao-do-2-grau-com-o.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/laboratorio-de-funcao-do-2-grau-com-o.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-funcao-e-funcao-do-1-grau-8.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-funcao-e-funcao-do-1-grau-8.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-funcao-e-funcao-do-1-grau-8.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-funcao-e-funcao-do-1-grau.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-funcao-e-funcao-do-1-grau.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-funcao-e-funcao-do-1-grau.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/apostila-de-funcao-exponencial-8.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/apostila-de-funcao-exponencial-8.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-funcao-logaritmica-6.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-funcao-logaritmica-6.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/apostila-de-funcao-modular-6-paginas-32.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/apostila-de-funcao-modular-6-paginas-32.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/laboratorio-de-funcao-do-1-grau-com.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/laboratorio-de-funcao-do-1-grau-com.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/laboratorio-de-funcoes-com-planilhas.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/laboratorio-de-funcoes-com-planilhas.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-matematica-financeira-8.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-matematica-financeira-8.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-matematica-financeira-19.htmlhttps://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-matematica-financeira-19.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/laboratorio-de-matematica-financeira-8.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/laboratorio-de-matematica-financeira-8.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/p/blog-page.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/p/blog-page.html https://professorgilbertosantosjr.blogspot.com/p/videos.html https://professorgilbertosantosjr.blogspot.com/p/videos.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ https://professorgilbertosantos.blogspot.com/
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