Apostila geometria plana Áreas (12 páginas, 58 questões, com gabarito)

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PROF. GILBERTO SANTOS JR
GEOMETRIA PLANA 
SUMÁRIO 
 
ARÉAS E MEDIDAS DE SUPERFÍCIES ................ 1 
1 . ÁREA DO RETÂNGULO ................................. 1 
2 . ÁREA DO QUADRADO .................................. 1 
3 . ÁREA DO PARALELOGRAMO ......................... 1 
4 . ÁREA DO LOSANGO .................................... 1 
5 . ÁREA DO TRAPÉZIO .................................... 1 
6 . ÁREA DO TRIÂNGULO .................................. 2 
6.1 Conhecidos um lado (base) b e a altura 
correspondente h ............................................. 2 
6.2 Conhecidos dois lados a e b e o ângulo C 
formado por eles ............................................. 2 
6.3 Conhecidos os três lados a, b e c .................. 2 
6.4 Área do triângulo isósceles .......................... 2 
6.5 Área do triângulo equilátero ........................ 2 
7 . ÁREA DO HEXÁGONO REGULAR .................... 3 
8 . ÁREA DE POLÍGONO REGULAR ..................... 3 
9 . CÍRCULO ................................................... 7 
9.1 Área do círculo........................................... 7 
9.2 Comprimento do círculo .............................. 8 
9.3 Área do setor circular ................................. 8 
Referências ...................................................... 12 
 
 
ARÉAS E MEDIDAS DE SUPERFÍCIES 
 
1 . ÁREA DO RETÂNGULO 
A área do retângulo cuja base é b e cuja al-
tura é h é dada por b ∙ h unidades de área: 
 
 
 
 
 
 
 A = bh 
 
 
 
 
Observações: 
 Tem lados opostos com medidas iguais e para-
lelos; 
 Todos os ângulos internos são retos (medida 
de 90°); 
 Teorema de Pitágoras: d2 = b2 + h2; 
 Algumas biografias chamam os lados do retân-
gulo de comprimento e largura. 
 
2 . ÁREA DO QUADRADO 
O quadrado é um caso particular de retân-
gulo de lados iguais, logo a área do quadrado cujo 
lado mede 𝓁 é igual a 𝓁 ∙ 𝓁 = 𝓁2 unidades de área: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A = 𝓁 ∙ 𝓁 = 𝓁2 
 
 
 
Observações: 
 Todos os lados têm medidas iguais e os lados 
opostos paralelos; 
 Todos os ângulos internos são retos; 
 Teorema de Pitágoras: d2 = 𝓁2 + 𝓁2; 
 É um caso particular de losango e retângulo; 
 Perímetro: P = 𝓁 + 𝓁 + 𝓁 + 𝓁 ⟹ P = 4𝓁. 
 
3 . ÁREA DO PARALELOGRAMO 
A área do paralelogramo é encontrada mul-
tiplicando-se a sua base b pela sua altura h: 
 
 
 
 
 
 
 
 A = bh 
 
 
 
Observações: 
 Tem lados opostos com medidas iguais e para-
lelos; 
 Tem ângulos opostos com medidas iguais. 
 
4 . ÁREA DO LOSANGO 
A área de um losango é igual à metade do 
produto das medidas de suas diagonais: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A = 
Dd
2
 
 
 
 
; sendo 
A – área do losango; 
D – diagonal maior; 
d – diagonal menor. 
 
 
Observações: 
 Todos os lados têm medidas iguais e os lados 
opostos paralelos; 
 Tem ângulos opostos com medidas iguais; 
 As diagonais são perpendiculares; 
 Perímetro: P = 𝓁 + 𝓁 + 𝓁 + 𝓁 ⟹ P = 4𝓁. 
 
5 . ÁREA DO TRAPÉZIO 
A área da região limitada por um trapézio é 
igual à metade do produto da altura h pela soma 
das bases maior e menor B + b. 
 
 
2 
 
 
A =
(B + b)h
2
 
; sendo 
 
 
A – área do trapézio; 
B – base maior; 
b – base menor; 
h – altura do trapézio. 
 
Observações: 
 Num trapézio as bases são paralelas; 
 Trapézio reto-retângulo: um dos lados coincide 
com a altura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 . ÁREA DO TRIÂNGULO 
A área do triângulo pode ser calculada de 
diferentes modos, dependendo dos elementos co-
nhecidos. Veja alguns: 
 
6.1 Conhecidos um lado (base) b e a altu-
ra correspondente h 
A área do triângulo é igual à metade do 
produto da base b pela altura h, ou seja, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A = 
bh
2
 
 
 
 
6.2 Conhecidos dois lados a e b e o ângu-
lo �̂� formado por eles 
 
 
 
A = 
1
2
 ∙ a ∙ b ∙ sen Ĉ1 
 
 
 
6.3 Conhecidos os três lados a, b e c 
A área do triângulo pode ser calculada pela 
fórmula de Heron; sendo o semiperímetro 
P = 
a+b+c
2
, temos: 
 
 
A = √p(p − a)(p − b)(p − c) 
 
 
 
1 Demostração: Observando a figura 
 
temos que, sen(180° ‒ ∝) = 
h
a
 ⟹ 
h = a ∙ sen(180° ‒ ∝) e como sen(180° ‒ ∝) = sen ∝, en-
tão h = a ∙ sen ∝. Logo A = 
bh
2
 ⟹ A = 
1
2
 ∙ a ∙ b ∙ sen ∝. 
 
 
6.4 Área do triângulo isósceles 
 
 
 
 
 A = 
bh
2
 
 
 
 
Observações: 
 Dois lados têm medidas iguais; 
 Os ângulos da base têm medidas iguais; 
 Perímetro: P = 𝓁 + 𝓁 + b; 
 A altura é também mediana e bissetriz, obser-
ve nas figuras abaixo: 
 
 
 
 
 
6.5 Área do triângulo equilátero 
 
 
 
 
 
 A =
𝓁2√3
4
 
 
Observações: 
 Todos os lados têm medidas iguais; 
 Todos os ângulos internos têm medidas iguais; 
 Perímetro: P = 𝓁 + 𝓁 + 𝓁 ⟹ P = 3𝓁; 
 O triângulo equilátero também é triângulo isós-
celes, portanto, a altura é também mediana e 
bissetriz; 
 Triângulo equilátero inscrito numa circunferên-
cia e teorema de Pitágoras: 
 
3 
 
 
sen 30° = 
a
R
 ⟹ 
1
2
 = 
a
R
 ⟹ 2a = R ⟹ 
 
⟹ a = 
R
2
 
 
cos 30° = 
𝓁/2
R
 ⟹ 
√3
2
 = 
𝓁
2R
 ⟹ 𝓁 = R√3 
 
7 . ÁREA DO HEXÁGONO REGULAR 
O hexágono regular é um polígono especial, 
pois é formado por seis triângulos equiláteros. 
Sendo o 𝓁 lado do triângulo equilátero, então a 
área do hexágono regular será igual a: 
 
 
 
 
AH = 6 ∙ AT.E. = 6 ∙ 
𝓁2√3
4
 
 
 
Observações: 
 Como em todo polígono regular os lados e ân-
gulos internos tem medidas iguais; 
 Perímetro: P = 𝓁 + 𝓁 + 𝓁 + 𝓁 + 𝓁 + 𝓁 ⟹ P = 6 𝓁 
 
8 . ÁREA DE POLÍGONO REGULAR 
 Observe o pentágono abaixo, que é um 
exemplo de polígono regular. Se o polígono regu-
lar tem n lados, a região limitada por ele pode ser 
decomposta em n regiões limitadas por triângulos 
isósceles. Em cada um desses triângulos, a base é 
o lado 𝓁 e a altura é o apótema a do polígono re-
gular. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, a área de um polígono regular de 
n lados pode então ser escrita assim: 
 
 
AH = n∙
𝓁a
2
 ou A = 
n𝓁
2
a ou A = 
Pa
2
 
 
 
em que: 𝓁: lado; 
 a: apótema; 
 n𝓁: perímetro; 
 p: perímetro. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) Qual é a área da região trian-
gular limitada pelo triângulo cu-
jas medidas estão indicadas na 
figura ao lado? (Dado: sen 30° =
1
2
) R: 25 cm2 
 
2) Um terreno tem a forma de um trapézio de 
bases 20 m e 14 m e altura 11 m. Nesse terreno, 
construiu-se uma piscina retangular de 8 m por 5 
m. No restante do terreno foram colocadas pedras 
mineiras. Responda, com os cálculos necessários: 
a) Qual é a área do terreno? R: 187 m2 
b) Qual é a área da piscina? R: 40 m2 
c) Qual é a área onde se colocou pedra? R: 147 m2 
 
3) Na figura ao lado 
DM̅̅̅̅̅ = MN̅̅̅̅̅ = NC̅̅ ̅̅ . Calcu-
le a área da região 
colorida dessa figura. 
R: 40 cm2 
 
4) De uma placa de alumínio foi recortada uma 
região triangular equilátera de lado 20 cm. Qual é 
a área dessa região que foi recortada? (Considere 
√3 = 1,7) R: 170 cm2 
 
5) O Perímetro de um triângulo equilátero é 30 
cm. Calcule a área desse triângulo (Considere √3 = 
1,7). R: 42,5 cm2 
 
6) Qual é a área da bandeirinha abaixo, formado 
por quatro triângulos equiláteros? (Considere √3 = 
1,7) 
 
R: 6,8 cm2 
7)Calcule a área: 
a) De toda parte colorida 
da figura ao lado. R: 8 cm2 
b) Da região não colori-
da. R: 8 cm2 
 
8) Baseado na figura do triângulo isóscele abaixo, 
determine, mostrando os cálculos necessários: 
4 
 
 
a) a área do triângulo. R: 12 cm2 
b) o lado 𝓁 do triângulo. R: 5 cm 
 
9) Determine, mostrando os cálculos necessários: 
 
 
a) a altura do triângulo ao lado; R: 8 cm 
b) a área do triângulo. R: 48 cm2 
 
10)(Gilberto-2018) Na planta de um imóvel o 
comprimento e a largura da sala 1 são dadas na 
figura abaixo, a escala do projeto é 
1
100
. Respon-
da: 
 
 
 
a) Qual o comprimento real da sala 1, em metros? 
b) E a largura real, da sala 1, em metros? 
c) Qual será a área da sala 1, quando o imóvel 
estiver pronto? R: a) 10 m; b) 5 m; b) 50 m2 
 
11) Feito o levantamen-
to de um terreno, foram 
determinados os dados 
indicados na figura ao 
lado. Nessas condições, 
qual é a área do terreno? 
(Veja a resolução dessa questão ) 
R: 2 320 m2 
 
12) Calcule a área da região poligonal de uma 
cartolina limitada por um hexágono regular de 
lado 10 cm (Considere √3 = 1,7). R: 255 cm2 
 
13) Um piso de cerâmica tem forma hexagonal 
regular. O lado do piso mede 8 cm. Considerando 
√3 = 1,7, qual é a área desse piso? R: 163,2 cm2 
 
14) Numa indústria metalúrgica, uma placa de 
alumínio tem a forma de um paralelogramo. Suas 
medidas estão indica-
das na figura ao lado. 
Considerando √3 = 1,7, 
calcule a área dessa 
placa). R: 850 cm2 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
15)(Enem-2017) A imagem apresentada na fi-
gura é uma cópia em preto e branco da tela qua-
drada intitulada O peixe, de Marcos Pinto, que foi 
colocada em uma parede para exposição e fixada 
nos pontos A e B. 
Por um problema na fixação de um dos 
pontos, a tela se desprendeu, girando rente à pa-
rede. Após o giro, ela ficou posicionada como ilus-
trado a figura, formando um ângulo de 45° com a 
linha do horizonte. 
 
 
 
 
 
 
Para recolocar a tela na sua posição origi-
nal, deve-se girá-la, rente à parede, no menor 
ângulo possível inferior a 360°. 
 A forma de recolocar a tela na posição ori-
ginal, obedecendo ao que foi estabelecido, é gi-
rando-a em um ângulo de 
(a) 90° no sentido horário. 
(b) 135° no sentido horário. 
(c) 180° no sentido anti-horário. 
(d) 270° no sentido anti-horário. 
(e) 315° no sentido horário. R: (b) 
 
16)(Enem-2016) Um senhor, pai de dois filhos, 
deseja comprar dois terrenos, com áreas de mes-
ma medida, um para cada filho. Um dos terrenos 
visitados já está demarcado e, embora não tenha 
um formato convencional (como se observa na 
figura B), agradou ao filho mais velho e, por isso, 
5 
foi comprado. O filho mais novo possui um projeto 
arquitetônico de uma casa que quer construir, 
mas, para isso, precisa de um terreno na forma 
retangular (como mostrado na figura A) cujo com-
primento seja 7 m maior do que a largura. 
 
 
 
Para satisfazer o filho mais novo, esse se-
nhor precisa encontrar um terreno retangular cu-
jas medidas, em metros, do comprimento e da 
largura sejam iguais, respectivamente, a 
 
(a) 7,5 e 14,5 (c) 9,3 e 16,3 (e) 13,5 e 20,5 
 (b) 9,0 e 16,0 (d) 10,0 e 17,0 R: (b) 
 
17)(Enem-2015) O prefeito de uma cidade de-
seja promover uma festa popular no parque muni-
cipal para comemorar o aniversário de fundação 
do município. Sabe-se que esse parque possui 
formato retangular, com 120 m de comprimento 
por 150 m de largura. Além disso, para segurança 
das pessoas presentes no local, a polícia recomen-
da que a densidade média, num evento dessa na-
tureza, não supere quatro pessoas por metro qua-
drado. 
Seguindo as recomendações de segurança 
estabelecidas pela polícia, qual é o número máxi-
mo de pessoas que poderão estar presentes na 
festa? 
 
(a) 1 000 (c) 18 000 (e) 120 000 
 
(b) 4 500 (d) 72 000 R: (d) 
 
18)(Enem-2015) A maior piscina do mundo, 
registrada no livro Guiness, está localizada no Chi-
le, em San Alfonso del Mar, cobrindo um terreno 
de 8 hectares de área. 
Sabe-se que 1 hectare corresponde a 1 
hectômetro quadrado. 
Qual é o valor, em metros quadrados, da 
área coberta pelo terreno da piscina? 
 
(a) 8 (b) 80 (c) 800 (d) 8 000 (e) 80 000 
R: (e) 
19)(Enem-2015) Uma família fez uma festa de 
aniversário e enfeitou o local da festa com bandei-
rinhas de papel. Essas bandeirinhas foram feitas 
da seguinte maneira: inicialmente, recortaram as 
folhas de papel em forma de quadrado, como 
mostra a Figura 1. Em seguida, dobraram as fo-
lhas quadradas ao meio sobrepondo os lados BC e 
AD, de modo que C e D coincidam, e o mesmo 
ocorra com A e B, conforme ilustrado na Figura 2. 
Marcaram os pontos médios O e N, dos lados FG e 
AF, respectivamente, e o ponto M do lado AD, de 
modo que AM seja igual a um quarto de AD. A se-
guir, fizeram corte sobre as linhas pontilhadas ao 
longo da folha dobrada. 
 
 
 
Após os cortes, a folha é aberta e a bandei-
rinha está pronta. 
A figura que representa a forma da bandei-
rinha é 
 
(a) (c) (e) 
 
 
 
(b) (d) 
 
 R: (e) 
 
20)(Enem-2014) Diariamente, uma residência 
consome 20 160 Wh. Essa residência possui 100 
células solares retangulares (dispositivos capazes 
de converter a luz solar em energia elétrica) de 
dimensões 6 cm  8 cm. Cada uma das tais células 
produz, ao longo do dia, 24 Wh por centímetro de 
diagonal. O proprietário dessa residência quer 
produzir, por dia, exatamente a mesma quantida-
de de energia que sua casa consome. 
Qual deve ser a ação desse proprietário 
para que ele atinja o seu objetivo? 
(a) Retirar 16 células. 
(b) Retirar 40 células. 
(c) Acrescentar 5 células. 
(d) Acrescentar 20 células. 
(e) Acrescentar 40 células. R: (a) 
 
21)(Enem-2013) Uma fábrica de fórmicas pro-
duz placas quadradas de lados de medida igual a y 
centímetros. Essas placas são vendidas em caixas 
com N unidades e, na caixa, é especificada a área 
máxima S que pode ser coberta pelas N placas. 
Devido a uma demanda de mercado por 
placas maiores, a fábrica triplicou a medida dos 
lados de suas placas e conseguiu reuni-las em 
uma nova caixa, de tal forma que a área coberta S 
não fosse alterada. 
A quantidade x, de placas do novo modelo, 
em cada nova caixa será igual a: 
 
(a) 
N
9
 (b) 
N
6
 (c) 
N
3
 (d) 3N (e) 9N 
R: (a) 
6 
22)(Enem-2013) Um programa de edição de 
imagem possibilita transformar figuras em outras 
mais complexas. Deseja-se construir uma nova 
figura a partir da original. A nova figura deve 
apresentar simetria em relação ao ponto O. 
 
 
Figura original 
 
A imagem que representa a nova figura é 
 
(a) 
 
 
(d) 
 
 
(b) 
 
 
(e) 
 
 
(c) 
 
 
 
R: (e) 
(Resolução em videoaula ) 
 
23)(Enem-2013) A cerâmica constitui-se em um 
artefato bastante presente na história da humani-
dade. Uma de suas várias propriedades é a retra-
ção (contração), que consiste na evaporação da 
água existente em um conjunto ou bloco cerâmico 
quando submetido a uma determinada temperatu-
ra elevada. Essa elevação de temperatura, que 
ocorre durante o processo de cozimento, causa 
uma redução de até 20% nas dimensões lineares 
de uma peça. 
Disponível em: www.arq.ufsc.br. Acesso em: 3 mar. 2012. 
 
 Suponha que uma peça, quando moldada 
em argila, possuía uma base retangular cujos la-
dos mediam 30 cm e 15 cm. Após o cozimento, 
esses lados foram reduzidos em 20%. Em relação 
à área original, a área dabase dessa peça, após o 
cozimento, foi reduzida em 
 
(a) 4% (b) 20% (c) 36% (d) 64% (e) 96% 
R: (c) 
24)(Enem-2012) Um forro retangular de tecido 
traz em sua etiqueta a informação de que encolhe-
rá após a primeira lavagem mantendo, entretanto, 
seu formato. A figura a seguir mostra as medidas 
originais do forro e o tamanho do encolhimento (x) 
no comprimento e (y) na largura. A expressão al-
gébrica que representa a área do forro após ser 
lavado é (5 – x)(3 – y). 
 
 
 
Nestas condições, a área perdida do forro, 
após a primeira lavagem, será expressa por 
 
(a) 2xy (c) 15 – 5y (e) 5y + 3x ‒ xy 
 
(b) 15 – 3x (d) ‒ 5y – 3x R: (e) 
 
25)(Enem-2012) Para decorar a fachada de um 
edifício, um arquiteto projetou a colocação de vi-
trais compostos de quadrados de lado medindo 1 
m, conforme a figura a seguir. 
 
 
 
Nesta figura, os pontos A, B, C e D são 
pontos médios dos lados do quadrado e os 
segmentos AP e QC medem 1/4 da medida do lado 
do quadrado. Para confeccionar um vitral, são 
usados dois tipos de materiais: um para a parte 
sombreada da figura, que custa R$ 30,00 o m
2
, e 
outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e 
BCDQB), que custa R$ 50,00 o m
2
. 
De acordo com esses dados, qual é o custo 
dos materiais usados na fabricação de um vitral? 
 
(a) R$ 22,50 (c) R$ 40,00 (e) R$ 45,00 
 
(b) R$ 35,00 (d) R$ 42,50 R: (b) 
 
26)(Enem-2012) Jorge quer instalar aquecedo-
res no seu salão de beleza para melhorar o confor-
to dos seus clientes no inverno. Ele estuda a com-
pra de unidades de dois tipos de aquecedores: 
modelo A, que consome 600 g/h (gramas por hora) 
de gás propano e cobre 35 m
2 de área, ou modelo 
B, que consome 750 g/h de gás propano e cobre 45 
m
2 de área. O fabricante indica que o aquecedor 
deve ser instalado em um ambiente com área me-
nor do que a da sua cobertura. Jorge vai instalar 
uma unidade por ambiente e quer gastar o mínimo 
possível com gás. A área do salão que deve ser 
climatizada encontra-se na planta seguinte (ambi-
entes representados por três retângulos e um tra-
pézio). 
7 
 
 
Avaliando-se todas as informações, serão 
necessários 
(a) quatro unidades do tipo A e nenhuma unidade 
do tipo B. 
(b) três unidades do tipo A e uma unidade do tipo 
B. 
(c) duas unidades do tipo A e duas unidades do 
tipo B. 
(d) uma unidade do tipo A e três unidades do tipo 
B. 
(e) nenhuma unidade do tipo A e quatro unidades 
do tipo B. R: (c) 
 
27)(UEPA-2011) Um pesquisador preocupado 
com os constantes 
focos de incêndios 
florestais ocorridos 
em uma cidade re-
solveu mapear es-
ses focos em uma 
malha. As distân-
cias entre as linhas 
paralelas da malha 
são todas iguais a 
uma unidade de 
comprimento, con-
forme figura abai-
xo. A distância em 
linha reta do foco 1 
para o foco 3 é: 
 
(a) √58 u.c (c) √73 u.c (e) 5√6 u.c 
 
(b) √70 u.c (d) 4√5 u.c R: (c) 
 
28)(UEPA-2009) Preocupado com a falta de 
área verde em sua cidade, um prefeito resolveu 
aproveitar um terreno triangular, localizado no 
cruzamento de duas ruas, para construir uma pra-
ça, conforme 
representado na 
figura ao lado. A 
área da praça a 
ser construída, 
em m2, é: 
 
(a) 250 (c) 300 (e) 500 
 
(b) 250√3 (d) 300√3 R: (c) 
 
29)(UEPA-2003) Uma área retangular de 2 km 
de largura por 3 km de comprimento foi refloresta-
da por determinada espécie de árvore que neces-
sita de uma área quadrada de 4 m de lado, para 
sua melhor preservação. Nestas condições, o nú-
mero de árvore existente na área é: 
 
(a) 375 000 (c) 475 000 (e) 550 000 
 
(b) 425 000 (d) 525 000 R: (a) 
 
30)(UFPA-2002) Um terreno retangular, cujas 
dimensões são 400 m e 500 m, será usado para 
abrigar famílias remanejadas da área de macro-
drenagem. Pretende-se fazer lotes de 20 m  20 m 
para cada família e usar uma área equivalente a 
20% da área total para um complexo de lazer e 
para circulação. Quantas famílias podem ser alo-
cadas? R: 400 famílias 
 
9 . CÍRCULO 
9.1 Área do círculo 
 
 
 
 
 
 
 A = R2 
 
; sendo 
A – área do círculo; 
 – o número irracional 3,141592 …; 
R – raio. 
 
Observações: 
a) Isto não é uma prova, mas é pelo menos uma 
maneira de tentar justificar a fórmula da área do 
círculo: 
 
 
A = 
2R
2
R = R2 
 
b) A medida do diâmetro do círculo é igual à me-
dida de dois raios, observe a figura abaixo: 
 
 
 
 
D = 2R 
 
; sendo 
D – diâmetro; 
R – raio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
9.2 Comprimento do círculo 
 
 
 
Comprimento do círculo: C = 2R 
 
; sendo 
C – comprimento do círculo; 
 – o número irracional 3,141592 …; 
R – raio. 
 
9.3 Área do setor circular 
 A parte pintada da figura é conhecida como 
setor circular de um círculo de raio R. Todo setor 
circular tem um arco correspondente 𝓁 e um ângu-
lo ∝. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lembrando que o círculo todo tem compri-
mento de arco 2R e como área R2, podemos 
determinar o arco 𝓁 e a área do setor circular As 
utilizando regras de três: 
 Conhecido o arco 𝓁: 
 
2R  R2
 ⟹ AS = 
𝓁R2
2R
 ⟹ AS = 
𝓁R
2
 
𝓁  As 
 
 Conhecido ∝, em grau: 
 
360°  R2
 ⟹ AS = 
∝R2
360°
 ∝  As 
 
 Conhecido ∝, em radianos: 
2R  R2
 ⟹ AS = 
∝R2
2
 ⟹ AS = 
∝R2
2
 ∝  As 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
31) Seja 20 cm o raio de uma circunferência. Cal-
cule seu comprimento (Considere  = 3,1). R: 124 cm 
 
32) Se a corda pela qual o cavalo está amarrado 
mede 4,3 m, quantos metros tem o cercado? (Con-
sidere  = 3) 
 
R: aproximadamente 25,8 m 
 
33) A figura ao lado mostra 
uma folha circular de zinco, 
de onde foi recortado a regi-
ão triangular equilátera colo-
rida. Calcule a área dessa 
região colorida (Considere √3 
= 1,7). R: 127,5 cm2 
 
34) O lado de um triângulo equilátero inscrito 
numa circunferência mede 18 cm. Calcule a medi-
da do seu apótema. R: a = 3√3 cm 
 
35) Uma pizzaria oferece aos seus clientes pizzas 
grandes, de forma circular, por R$ 5,40. Para aten-
der alguns pedidos, a pizzaria passará a oferecer a 
seus clientes pizzas médias, também de forma 
circular. Sabendo que o raio da pizza grande é de 
18 cm, raio da pizza média é de 12 cm e que os 
preços das pizzas são proporcionais as suas áreas, 
qual deverá ser o preço da pizza média? R: R$ 2,40 
 
36) O piso (fundo) de uma piscina circular tem 
2,80 m de diâmetro (internamente). Qual é a área 
do piso dessa piscina? (use  = 3,1) R: 6,07 m2 
 
37) Qual é a área da região 
colorida da figura ao lado? 
(Considere  = 3) R: 4 cm2 
 
38) Uma praça tem a forma da 
figura abaixo. A prefeitura quer 
revestir o piso dessa praça com 
um tipo de pedra. Na figura 
estão registrados alguns dados 
da praça, considere a aproxi-
mação de  igual a 3. Calcule a 
área dessa praça. R: 15,3 m2 
 
39) O perímetro do qua-
drado ABCD da figura ao 
lado é 32 cm. Calcule a área 
da região colorida da figura 
(Considere  = 3,1). 
(Veja a resolução dessa questão ) 
R: 14,4 cm2 
 
40) Calcule a área 
do setor circular da 
figura ao lado. 
(Veja a resolução dessa questão 
) R: 20 cm2 
 
9 
41) Quantos cm2 de alumí-
nio são necessários para se 
fazer uma arruela cujas 
dimensões r1 = 3 cm e r2 = 1 
cm, conforme a figura ao 
lado (Considere  = 3). 
R: 24 cm2 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
42)(Enem-2017) Pivôé um sistema de irrigação 
muito usado na agricultura, em que uma área cir-
cular é projetada para receber uma estrutura sus-
pensa. No centro dessa área, há uma tubulação 
vertical que transmite água através de um cano 
horizontal longo, apoiado em torres de sustenta-
ção, as quais giram, sobre rodas, em torno do 
centro do pivô, também chamado de base, con-
forme mostram as figuras. Cada torre move-se 
com velocidade constante. 
 
 
 
 
 
Um pivô de três torres (T1, T2 e T3) será ins-
talado em uma fazenda, sendo que as distâncias 
entre torres consecutivas bem como da base a 
torre T1 são iguais a 50 m. O fazendeiro pretende 
ajustar as velocidades das torres, de tal forma que 
o pivô efetue uma volta completa em 25 horas. 
Use 3 como aproximação para . 
Para atingir seu objetivo, as velocidades 
das torres T1, T2 e T3 devem ser, em metros por 
hora, de 
 
(a) 12, 24 e 36 (d) 300, 1 200 e 2 700 
 
(b) 6, 12 e 18 (e) 600, 2 400 e 5 400 
 
(c) 2, 4 e 6 
 
43)(Enem-2017) Uma manchete demonstra que 
o transporte de grandes cargas representa cada 
vez mais preocupação quando feito em vias urba-
nas. 
 
Caminhão entala em viaduto no centro 
 
Um caminhão de grande porte entalou em-
baixo do viaduto no cruzamento das avenidas Bor-
ges de Medeiros e Loureiro da Silva no sentido 
Centro-Bairro, próximo à Ponte de Pedra, na capi-
tal. Esse veículo vinha de São Paulo para Porto 
Alegre e transportava três grandes tubos, confor-
me ilustrado na foto. 
 
 
Disponível em: www.caminhoes-e-carretas.com. Acesso em: 21 maio 2012 (adaptado). 
 
Considere que cada raio externo de cada 
cano da imagem seja 0,6 cm e que eles estejam 
em cima de uma carroceria cuja parte superior 
está a 1,30 m do solo. O desenho representa a vis-
ta traseira do empilhamento dos canos. 
 
 
 
 A margem de segurança recomendada para 
que um veículo passe sob um viaduto é a altura 
total do veículo com carga seja, no mínimo, 0,50 
cm menor do que a altura do vão do viaduto. 
 Considere 1,7 como aproximação para √3. 
Qual deveria ser a altura mínima do viaduto, em 
metros, para que esse caminhão pudesse passar 
com segurança sob seu vão. 
 
(a) 2,82 (b) 3,52 (c) 3,70 (d) 4,02 (e) 4,20 
R: (d) 
44)(Enem-2017) Um garçom precisa escolher 
uma bandeja de base retangular para servir qua-
tro taças de espumante que precisam ser disposta 
em uma única fileira, paralela ao lado maior da 
bandeja. A base e a borda superior das taças são 
círculos de raio 4 cm e 5 cm, respectivamente. 
 
 
 
 A bandeja a ser escolha deverá ter uma 
área mínima, em centímetro quadrado, igual a 
 
(a) 192 (b) 300 (c) 304 (d) 320 (e) 400 
10 
R: (e) 
45)(Enem-2015) O tampo de vidro de uma me-
sa quebrou-se e deverá ser substituído por outro 
que tenha a forma de um círculo. O suporte de 
apoio da mesa tem o formato de um prisma reto, 
de base em forma de triângulo equilátero com 
lados medindo 30 cm. 
Uma loja comercializa cinco tipos de tam-
pos de vidros circulares com cortes já padroniza-
dos, cujos raios medem 18 cm, 26 cm, 30 cm, 35 
cm e 60 cm. O proprietário da mesa deseja adquirir 
nessa loja o tampo de menor diâmetro que seja 
suficiente para cobrir a base superior do suporte 
da mesa. 
Considere 1,7 como aproximação para √3. 
O tampo a ser escolhido será aquele cujo raio, em 
centímetros, é igual a (Resolução em videoaula ) 
 
(a) 18 (b) 26 (c) 30 (d) 35 (e) 60 
R: (a) 
46)(Enem-2015) Uma empresa de telefonia 
celular possui duas antenas que serão substituídas 
por uma nova, mais potente. As áreas de cobertu-
ra das antenas que serão substituídas são círculos 
de raio 2 km, cujas circunferências se tangenciam 
no ponto O, como mostra a figura. 
 
 
 O ponto O indica a posição da nova antena, 
e sua região de cobertura será um círculo cuja 
circunferência tangenciará externamente as cir-
cunferências das áreas de cobertura menores. 
Com a instalação da nova antena, a medida 
da área de cobertura, em quilômetros quadrados, 
foi ampliada em 
 
(a) 8 (b) 12 (c) 16 (d) 32 (e) 64 
R: (a) 
47)(Enem-2014) Uma empresa que organiza 
eventos de formatura confecciona canudos de di-
plomas a partir de folhas de papel quadradas. Para 
que todos os canudos fiquem idênticos, cada folha 
é enrolada em torno de um cilindro de madeira de 
diâmetro d, em centímetros, sem folga, dando-se 
5 voltas completas em torno de tal cilindro. Ao 
final, amarra-se um cordão no meio do diploma, 
bem ajustado, para que não ocorra o desenrola-
mento, como ilustrado na figura. 
 
 Em seguida, retira-se o cilindro de madeira 
do meio do papel enrolado, finalizando a confecção 
do diploma. Considere que a espessura da folha de 
papel original seja desprezível. Qual é a medida, 
em centímetros, do lado da folha de papel usado 
na confecção do diploma? 
 
(a) d (b) 2d (c) 4d (d) 5d (e) 10d 
R: (d) 
48)(Enem-2012) O losango representado na 
Figura 1 foi formado pela união dos centros das 
quatro circunferências tangentes, de raios de 
mesma medida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Dobrando-se o raio de duas das circunfe-
rências centradas em vértices opostos do losango 
e ainda mantendo-se a configuração das tangên-
cias, obtém-se uma situação conforme ilustrada 
pela Figura 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O perímetro do losango da Figura 2, quando 
comparado ao perímetro do losango da Figura 1, 
teve um aumento de 
 
(a) 300% (b) 200% (c) 150% (d) 100% (e) 50% 
R: (e) 
49)(UEPA-2010) A larga experiência tem levado 
profissionais ligados às diversas áreas de produção 
de conhecimento tecnológico a escreverem manu-
ais técnicos com a finalidade de 
orientar estudantes, projetistas 
de máquinas e professores de 
cursos técnicos. A figura ao lado 
ilustra o desenho técnico planifi-
cado de uma peça que será pro-
duzida em escala industrial. 
Fonte: Elementos de máquina, Sarkis Melconian – edição atualizada e revisada, São Paulo: Érica, 2000. 
 
Com base nessa figura, a área delimitada 
pelo desenho planificado da peça é: 
 
(a) r2 (
3+1
4
) unidades de área. 
 
(b) r2 (
3+4
4
) unidades de área. 
 
(c) r2 (
3
4
+ 4) unidades de área. 
 
(d) r (
3+4
4
) unidades de área. 
 
(e) r2 (3 +
1
4
) unidades de área. 
R: (b) 
11 
50)(UEPA-2007) A água é um recurso natural 
essencial para a sobrevivência de todas as espé-
cies que habitam a Terra. O volume total de água 
na Terra não aumenta nem diminui, é sempre o 
mesmo. A água ocupa apro-
ximadamente 70% da superfí-
cie do nosso planeta. Conside-
rando o diagrama circular 
abaixo, a área de ocupação da 
água corresponde ao setor 
circular, cujo ângulo central θ, 
em radianos (rd), vale: 
 
(a) 
3
5
 (b) 
5
6
 (c) 
10
9
 (d) 
4
3
 (e) 
7
5
 
R: (e) 
MAIS QUESTÕES DE VESTIBULARES 
51)(UFPA-2007) Durante muito tempo, quando 
se precisava usar a área do círculo em problemas 
de Geometria, o cálculo era feito por aproximação. 
Uma dessas maneiras era usar o Método da Exa-
ustão, que consiste em aproximar o círculo por 
polígonos regulares nele inscritos, conforme mos-
tram as figuras a seguir: 
 
 
 
Supondo que os círculos acima possuam 
raio de comprimento igual a 1 m, qual o erro co-
metido ao aproximar a área do círculo pela área 
do hexágono regular nele inscrito, conforme mos-
tra a Fig. 4? Admita que p = 3,14, √3 = 1,73 e use 
duas casas decimais após a vírgula. R: 0,55 m2 
 
52)(Unama-2007, modificada) Considere o 
texto a seguir para responder à questão. 
 
O RIO AMAZONAS 
O Rio Amazonasnasce no lago Lauricocha, no 
Andes do Peru, possui 5 825 km de extensão e 
sua bacia é a mais vasta do mundo com 5 846 
100 km2. A diferença entre os níveis mínimo e 
máximo de suas águas chega a 10,5 m e, em 
alguns trechos, a distância entre as margens 
mede 15 km. Em 1963, constatou-se que a va-
zão do Amazonas, num determinado trecho, é 
de 216 000 m3/s de água. Nos trechos de baixo 
e médio curso as águas correm a uma velocida-
de de 2,5 km/h, chegando à velocidade de 8 
km/h na parte mais estreita. 
 
Um círculo de raio R é equivalente à bacia 
do Amazonas (linha 3). Tomando  = 3, o valor de 
R, em quilômetros, está entre: 
 
(a) 1 000 e 1 200 (c) 1 400 e 1 600 
 
(b) 1 200 e 1 400 (d) 1 600 e 1 800 
R: (c) 
53)(Unicamp-SP) Alguns jornais calculam o 
número de pessoas presentes em atos públicos 
considerando que cada metro quadrado é ocupado 
por 4 pessoas. Qual a estimativa do número de 
pessoas presentes numa praça de 4 000 m2 que 
tenha ficado lotada para um comício, segundo es-
sa avaliação? R: 16 mil pessoas 
 
54)(PUC-SP) Um mapa é feito em uma escala de 
1 cm para cada 200 km. O município onde se en-
contra a capital de certo Estado está representado, 
nesse mapa, por um losango que tem um ângulo 
de 120° e cuja diagonal menor mede 0,2 cm. De-
termine a área desse município. 
 
55)(Unama-2004, modificada) Responda a 
questão tomando por base o TEXTO abaixo: 
 
 
 
Caso o círculo acima possuísse 4 cm de di-
âmetro, a razão entre a área e o comprimento do 
arco correspondente ao setor circular que repre-
senta o "Trabalho" seria: 
 
(a) 
1
4
 (b) 
1
2
 (c) 1 (d) 4 
R: (c) 
56)(UFMT) O lado, o semiperímetro e a área de 
um hexágono regular formam, nessa ordem, uma 
PG. Determine o apótema desse hexágono. 
 
57)(Vunesp-SP) Certos registros históricos babi-
lônicos indicam o uso de uma regra para o cálculo 
da área do círculo equivalente á fórmula (em no-
tação atual) A = 
c2
12
, em que C representa o com-
primento da circunferência correspondente. De-
termine o valor de  oculto nesses registros. 
 
58)(UFRA-2004) Em um triângulo retângulo, a 
medida da mediana relativa à hipotenusa é 6 cm e 
o perímetro é 4(5 + √5) cm. A área desse triângulo 
em, cm2, é 
 
(a) 8√5 (b) 16√5 (c) 18 (d) 24√5 (e) 50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Por que nos torna tão pouco felizes esta maravilhosa 
ciência aplicada que economiza trabalho e torna a vida 
mais fácil? A resposta é simples: porque ainda não apren-
demos a nos servir dela com bom senso”. 
Albert Einstein. 
 
 
“A perseverança alimenta a esperança.” 
 
Atualizada em 10/9/2018 
 
 
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Referências 
 
DANTE, L.R. Matemática: Contexto & Aplicações. 1. Ed. São 
Paulo: Ática, 2000, v.2.