Cálculo Diferencial E Integral (85)

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Ensino Superior
3. Limites e Continuidade de Funções de Várias Variáveis
Amintas Paiva Afonso
Cálculo 3
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Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis
O limite da função f(x,y), quando (x,y) tende para um valor (x0,y0), é o número L (se existir) e é representado por
Se o limite existir (resultar em um valor finito e real) no ponto (x0, y0), dizemos que a função é contínua neste ponto. Caso contrário a função será descontínua no ponto. O mesmo é válido para um intervalo, isto é, a função é contínua num intervalo quando o limite existe em todos seus pontos desse intervalo. Em geral é fácil verificar a continuidade das funções, por simples inspeção da mesma.
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Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis
Nas funções abaixo o limite existirá sempre, com exceção nas restrições.
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Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis
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Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis
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Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis
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Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis
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O conceito de limite de funções ordinárias pode ser estendido para funções de várias variáveis. Assim, diz-se que f(x,y) tende para um valor definido L (ou que lim f(x,y) = L), quando o par (x,y) se aproxima de (xo,yo), se quanto mais perto (x,y) estiver de (xo,yo), mais perto f(x,y) estará de L. 
Limite
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Limite de f(x,y)
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Propriedades dos Limites
Considerando f(x,y) e g(x,y) funções de duas variáveis, com lim (x,y)(xo,yo) f(x,y) = L e lim (x,y)(xo,yo) g(x,y) = M  0. 
1º) lim (x,y)(xo,yo) L = L
2º) lim (x,y)(xo,yo) K.f(x,y) = k.lim (x,y)(xo,yo) f(x,y) = k.L 
3º) lim (f + g) = lim f + lim g = L + M
4º) lim (f / g) = lim f / lim g = L / M
5º) 
6º) De maneira geral, 
 Lim {[OP[f(x,y)]} = OP[lim f(x,y)] = OP(L)
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Calculando Limites
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Calculando Limites
Determinar o valor dos seguintes limites, quando existirem:
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Calculando Limites
Determinar o valor dos seguintes limites, quando existirem:
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Calculando Limites
Para o cálculo de limites de funções polinomiais e “funções lineares” é só substituir os valores para os quais de x e y estão tendendo. Para funções racionais, quando ocorre indeterminação, ao fazer este procedimento, deve-se então usar a regra dos “dois caminhos”.
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Exemplo da Regra dos Dois Caminhos
Mostrar que não existe.
Como f(xo,yo) = 0/0 = indeterminação 
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Então, façamos, (x,y) tender para (0,0), pelo eixo x e pela reta y = x (“dois caminhos”).
(1º caminho)
(2º caminho) 
Regra dos Dois Caminhos
Os limites são diferentes, logo não há o limite.
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Continuidade de Funções de Várias Variáveis
O conceito de continuidade de uma função f(x,y) é o mesmo já descrito para funções ordinárias.
Assim, diz-se que uma função f(x,y) é contínua em (xo,yo), se lim(x,y)⃗(xo,yo)f(x,y) existe e é igual à f(xo,yo).
EXEMPLO:
Mostrar que não é contínua em (x,y) = (0,0)
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Propriedades da Continuidade
f(x,y) + g(x,y) também é contínua.
f(x,y) . g(x,y) também é contínua.
f(x,y) / g(x,y) também é contínua.
u(x,y) = w[g(x,y)] também é contínua.
Se f(x,y) e g(x,y) são contínuas em (xo,yo), então:
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