6Serie Vol.1 Matematica

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1 
 
 
Caro Professor, 
Em 2009 os Cadernos do Aluno foram editados e distribuídos a todos os estudantes da 
rede estadual de ensino. Eles serviram de apoio ao trabalho dos professores ao longo de 
todo o ano e foram usados, testados, analisados e revisados para a nova edição a partir 
de 2010. 
As alterações foram apontadas pelos autores, que analisaram novamente o material, por 
leitores especializados nas disciplinas e, sobretudo, pelos próprios professores, que 
postaram suas sugestões e contribuíram para o aperfeiçoamento dos Cadernos. Note 
também que alguns dados foram atualizados em função do lançamento de publicações 
mais recentes. 
Quando você receber a nova edição do Caderno do Aluno, veja o que mudou e analise 
as diferenças, para estar sempre bem preparado para suas aulas. 
Na primeira parte deste documento, você encontra as respostas das atividades propostas 
no Caderno do Aluno. Como os Cadernos do Professor não serão editados em 2010, 
utilize as informações e os ajustes que estão na segunda parte deste documento. 
Bom trabalho! 
Equipe São Paulo faz escola. 
2 
 
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 
INVESTIGANDO SISTEMAS DE NUMERAÇÃO: DO EGITO AO 
COMPUTADOR 
GABARITO 
Caderno do Aluno de Matemática – 6ª série/7º ano – Volume 1 
 
 
 
Página 4 
1. Os “risquinhos” representam as unidades, o U de cabeça para baixo representa as 
dezenas, o rolo de papiro representa as centenas, e a flor de lótus os milhares. Dez 
“risquinhos” correspondem a um ∩, dez ∩ correspondem a um papiro, e dez papiros 
a uma flor de lótus. Por exemplo, o número 253, por ser formado por 3 unidades, 
5 dezenas e 2 centenas, será escrito no sistema egípcio com três “risquinhos”, cinco 
∩ e dois rolos de papiros. 
 
2. Não, como se pode ver no número 1 100, em que a centena foi escrita à esquerda do 
milhar. Isso indica que o sistema egípcio não é posicional, o que é uma diferença em 
relação ao nosso sistema. 
 
3. 9 999 999. 
 
4. Infinitos, sendo essa uma grande desvantagem desse sistema. 
 
3 
 
 
Página 4 
Alguns dos elementos da fauna e da flora do Egito são: camelos, dromedários, 
acácias, figus. Na região desértica, são encontrados espécimes acostumados a viver em 
ambientes de água escassa, como escorpiões, alguns tipos de aranhas, cactos, etc. 
 
Usando o símbolo  para 10 milhões e  para 100 milhões, a representação da 
distância Terra-Sol seria: 
 
 
 
Páginas 6 - 7 
1. 
 
 
2. Na posição da unidade, (1 = 60o) representaria o número 11; na posição do 60 
representaria 660; na posição do 60², o número 39 600, etc. Poderíamos ainda 
imaginar que cada um dos símbolos esteja ocupando uma posição diferente, o 
que implicaria em mais possibilidades. Por exemplo, se  ocupa a casa da unidade e 
 a casa do 60, o número representado seria o 601. Para saber qual número estaria 
sendo representado, os mesopotâmicos levavam em consideração o contexto em que 
ele havia sido escrito, o que gerava muitos erros ou ambiguidades. 
4 
 
3. O zero. Por exemplo, o número 43 203 representado no sistema mesopotâmico não 
possui algarismos na posição do 60, o que só poderia ser corretamente indicado se o 
sistema dispusesse de um símbolo gráfico especial para representar a ausência de 
unidades naquela posição. É bem provável que os mesopotâmicos ignoraram o zero 
porque, segundo suas concepções, não fazia sentido representar o “nada” por 
“alguma coisa”. Uma primeira tentativa de resolver essa ambiguidade foi feita 
deixando-se um espaço maior entre os símbolos quando eles representavam posições 
diferentes, mas isso não se mostrou satisfatório porque muitas vezes um símbolo 
aparecia sozinho. Na prática, as ambiguidades eram resolvidas pelo contexto em que 
o número aparecia, identificando-se o que ele representaria pela ordem de grandeza 
que deveria ser considerada naquele contexto. 
 
 
Páginas 7 - 8 
1. Admitindo-se que o símbolo do zero seja , então teremos 11 = , 660 =  e 
36 001 = . 
 
5 
 
2. Para operar no sistema decimal, 10 unidades transformam-se em 1 dezena, 10 
dezenas em 1 centena e assim por diante. No sistema sexagesimal, como o 
mesopotâmico, o “vai um” para a casa seguinte será feito em grupos de 60, e não de 
dez. A seguir estão as contas armadas: 
 
3. O sistema hora–minuto–segundo de medição do tempo utiliza base 60, já que 
60 segundos formam 1 minuto e 60 minutos formam 1 hora. Esse é um resquício 
mantido até hoje desde o passado distante. As hipóteses sobre as razões pelas quais 
os mesopotâmicos estabeleceram um sistema de base 60 não estão comprovadas. 
Algumas delas relacionam o fato a aspectos da Astronomia (um ano tem, 
aproximadamente, 360 dias), outras admitem que tenha surgido da fusão de dois 
sistemas de numeração de povos antigos, um de base 10 e outro de base 6. 
 
6 
 
 
Página 9 
1. O número é 37 453. 
 
 5 . 7200 + 4 . 360 + 0 . 201 + 13 . 200 = 37 453 
 
 
Páginas 11 - 12 
1. 
15  XV (justificativa do erro pela regra “b”) 
 49  XLIX (justificativa do erro pela regra “a”) 
 1 500  MD (justificativa do erro pela regra “b”) 
 999  CMXCIX (justificativa do erro pela regra “a”) 
 
2. 
99  XCIX 
 490  CDXC 
 995  CMXCV 
 
3. No sistema romano, os símbolos usados em cada posição não necessariamente 
definem o valor daquela posição, o que dificulta sua praticidade para fazer contas 
armadas. Na verdade, os próprios romanos utilizavam seu sistema de numeração 
apenas para o registro numérico, e não para as operações, que eram feitas com o 
ábaco. Fazer a conta armada DCXCVIII  CCLXXIX não é nada prático porque as 
“posições” de cada símbolo não marcam exatamente unidade, dezena, centena, 
milhar, etc. 
.360.201 
.360.200 
.201 
.200 
7 
 
 
 
4. 
• O sistema romano não pode ser exatamente definido como decimal porque 
 utiliza símbolos para os números 5, 50 e 500, que não são potências de 10. 
 • O sistema romano não possui as posições dos agrupamentos muito bem 
 marcadas o que, dito de outra forma, significa que ele não é exatamente um 
 sistema posicional, como o nosso (esse aspecto dificulta a operacionalidade do 
 sistema para fazer contas). 
 • A escrita dos números em algarismos romanos é, em geral, mais extensa que a 
 escrita dos números no sistema indo-arábico de numeração, o que também é um 
 aspecto que torna menos práticos os registros numéricos. 
 
 
Página 14 
1. 
Observação: outras infinitas possibilidades poderiam ser elaboradas se 
incorporássemos espaçamentos com o significado de zero na posição correspondente ao 
espaçamento. 
 
2. 
 
 
8 
 
 
Páginas 15 - 17 
1. Será um número par. 
 
2. É um múltiplo de 4. 
 
3. 1 . 128 + 1 . 64 + 0 . 32 + 0 . 16 + 1 . 8 + 1 . 4 + 0 . 2 + 1 . 1 = 205 
 
4. 2 elevado a 8, ou seja, 256 possibilidades. 
 
5. 11111011000 
 
6. Aproximadamente, 1 509 949 B no disquete e 734 003 200 B no CD. 
 
7. 
P  16 
 E  5 
 R  18 
 I  9 
 G  7 
 O  15 
 2244 == 1166 2233 == 88 2222 == 44 2211 == 22 2200 == 11 
1166 1 0 0 0 0 
55 1 0 1 
1188 1 0 0 1 0 
99 1 0 0 1 
77 1 1 1 
1155 1 1 1 1 
 
A sequência de formação da palavra PERIGO em 
números no sistema binário é: 
10000 – 101 – 10010 – 1001 – 111 – 1111 
9 
 
Desafio! 
Página 18 
Em um sistema posicional de base 3, três símbolos são suficientes para representar 
todos os números. No caso do exemplo dado, os símbolos são:  = 0,  = 1 e  = 2. 
Usaremos na resolução do problema uma organização em tabela, como feito na 
atividade anterior: 
 3344 ==8811 3333 == 2277 3322 == 99 3311 == 33 3300 == 11 
1155 1 2 0 
1199 2 0 1 
2222 2 1 1 
2277 1 0 0 0 
9955 1 0 1 1 2 
 
 
 
10 
 
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 
FRAÇÕES E DECIMAIS: UM CASAMENTO COM SIGNIFICADO 
 
 
 
Páginas 19 - 20 
1. Os três estão certos. 
Observação: Ana encaminhou o problema para o número misto 
5
33 . 
2. 
 
 
3. 
 
 As malhas pintadas mostram que se tratam de frações equivalentes. 
 
 
 
11 
 
4. 
 
 
Página 21 
1. Algumas possíveis soluções: 
 a) 86 e 25; 430 125; 86  25 
 b) 1 e 40; 5200; 1 40 
 c) 307 e 80; 1228  320; 30780 
 
2. 
a) 
100
17
10
34
 
 20
100
17
100
340  
 
 b)  00010
0156
100
4062
 
 4000010
0156
00010
600240  
12 
 
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 
A MULTIPLICAÇÃO E A DIVISÃO COM FRAÇÕES 
 
 
 
Página 22 
1. 
a) 
2
1.
5
3
 
 b) 
7
2.
3
1
 
 c) 
6
5.
8
3
 
 d) 
3
1
5
4  
 
2. 
 a) Ao utilizar 
3
1
 da lata, restam 
3
2
. Como da última vez utilizou-se “
4
1
 de 
3
2
”, a 
operação procurada é 
4
1
. 
3
2
. 
 b) 
 
 
 
13 
 
Desafio! 
Página 23 
Fazendo uma analogia com inteiros, se o problema se referisse a duas latas de tinta 
dando para pintar seis paredes, com uma lata pintaríamos três paredes, o que pode ser 
concluído por meio da conta 6  2 = 3. Transferindo-se essa interpretação para o caso 
do problema, nossa resposta pode ser obtida por meio da divisão 
3
2
4
3  , que também 
pode ser denotada por 
3
2
4
3
. 
Se dividirmos a lata de tinta em três partes iguais, o problema nos diz que duas delas 
foram utilizadas. Dividindo-se a parede em quatro partes iguais (linhas horizontais na 
figura a seguir), e subdividirmos cada parte da parede em dois (pois foram utilizadas 
duas partes de tinta), a parede estará dividida em 4 . 2 = 8 partes. Podemos imaginar, 
portanto, que cada parte de tinta permite pintar três dessas partes da parede. Logo, a lata 
inteira, que tem três partes, permite pintar 3 . 3 = 9 das partes da parede, ou seja 
8
9 da 
parede. 
A fração 
8
9 representa, então, o resultado da divisão de 
4
3 por 
3
2 , ou seja, 
3
2
4
3
. Isto 
pode ajudar a dar significado ao fato de que, para dividir uma fração por outra, 
multiplicamos a primeira pelo inverso da segunda: 
 8
9
2
3
4
3
3
2
4
3
 
14 
 
 
Páginas 23 - 24 
1. 
8
9
2
3.
4
3
2.4
3.3
3
2.12
4
3.12
3
2
4
3
 
 
2. 
8
9
16
18
2
3.
8
6
2.8
3.6
3
2.24
4
3.24
3
2
4
3
 
 
3. 
Dadas as frações 
b
a
 e 
d
c
, temos que: 
 a) db
ca
d
c
b
a
.
..  
 b) cb
da
c
d
b
a
d
c
b
a
.
..  
 
 
Páginas 24 - 25 
1. 
 6
4
3
 
  6
1
4
3
 
 
8
1
24
3  
 
 
15 
 
2. 
1
12
1
 de horas ou, ainda, sabendo-se que 
12
1
 de 60 minutos são 5 minutos, 1h05. 
 
3. 
R$ 9,60. 
 
4. 

8
7
3
2
 
 
7
8
3
2
 
 
21
16 
 
16 
 
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 
NÚMEROS NEGATIVOS: DESVENDANDO AS REGRAS DE 
SINAIS 
 
 
 
Página 28 
1. O cliente tinha R$ 528,00 na conta; deu um cheque de R$ 145,00 e ficou, portanto, 
com R$ 383,00. Em seguida, ele deu um cheque de valor desconhecido e ficou com 
saldo de R$ 310,00. Fazendo a conta 383 – 310 = 73, descobre-se que o valor do 
cheque 346 foi de R$ 73,00 (com sinal negativo). Após o depósito de R$ 295,00 o 
cliente ficou com 310 + 295 = R$ 605,00. Após efetuar um saque de valor 
desconhecido, seu saldo parcial de R$ 605,00 ficou negativo em R$ 420,00, o que 
significa que o saque foi suficiente para esgotar os R$ 605,00 e ainda deixar negativa 
a conta em R$ 420,00. Segue, portanto, que o valor do saque foi de: 605 + 420 = 
 = R$ 1 025,00. Esse valor (com sinal negativo) corresponde ao que deve ser 
colocado no segundo espaço borrado do extrato. 
 
2. A análise desse extrato deve começar de baixo para cima, a partir do saldo negativo 
de R$ 250,00. Um depósito de R$ 560,00 e um cheque de R$ 380,00 equivalem a 
uma operação de saldo positivo de R$ 180,00. A pergunta que nos cabe responder 
agora é: qual é o saldo que, com um acréscimo de R$ 180,00 deixe como saldo final 
–R$ 250,00? Certamente o saldo inicial era negativo em um valor que, quando 
somado com R$ 180,00 resulta –R$ 250,00. O valor procurado é negativo e pode ser 
obtido através da conta 180 + 250 = R$ 430,00. Segue, portanto, que o primeiro 
valor borrado é –R$ 430,00. Partindo agora de um saldo negativo de R$ 250,00, o 
banco devolveu R$ 400,00 para o cliente por meio de uma correção, e o cliente deu 
um cheque de R$ 320,00, o que perfaz um saldo parcial de: 
 –250 –(–400) – 320 = –R$ 170,00. 
Como o saldo final do cliente é negativo em R$ 80,00, segue que o depósito feito foi 
suficiente para reduzir seu saldo parcial negativo de R$ 170,00 para um saldo 
17 
 
negativo de R$ 80,00. Fazendo a conta 170 – 80 = 90, descobrimos que o depósito 
indicado no segundo espaço borrado foi de R$ 90,00. 
 
 
Páginas 29 - 31 
1. 
a) –R$ 2 200,00 (vale comentar com os alunos que podemos nos referir ao valor 
negativo como “lucro negativo de R$ 2 200,00”, ou como “prejuízo de R$ 2 200,00”. 
 b) (2 200) ÷ 8 = R$ 275,00. 
 c) 2 200  12 000 = 14 200 (se o lucro em janeiro fosse zero, o saldo nos 8 
meses seria negativo em R$ 14 200,00). Queremos um lucro em janeiro que liquide o 
saldo negativo total de R$ 14 200,00, e que ainda deixe um lucro positivo no período 
de R$ 1 500,00, ou seja, o valor procurado é 14 200 + 1 500 = R$ 15 700,00. 
 
2. 
Partida 1: –1 
Partida 2: 3 
Partida 3: – 2 
Partida 4: – 2 
Partida 5: 1 
 Partida 6: – 2 
Partida 7: 0 
Partida 8: – 3 
Partida 9: 1 
Partida 10: – 3 
 Saldo geral: – 8 gols 
 
 
Páginas 32 - 35 
1. 
a) Mantém-se constante. 
18 
 
 b) Está diminuindo em uma unidade. 
 c) O produto está aumentando em 3 unidades de uma linha para a seguinte (de cima 
para baixo na tabela). 
 d) –1.(–3) = 3 
 
2. Se os segmentos são paralelos, os lados dos triângulos formados pelos segmentos e 
pelos eixos são proporcionais. Chamando de P o ponto verde, temos que: b
Pa


1 . 
Multiplicando-se os dois membros da igualdade por (–b) concluímos que: 
P = (–a).(–b). Esse resultado sugere (–3).(–2) = 6 
 
3. “Retirar uma torneira de vazão –1 L/min”  – (–1) 
 “Acrescentar uma torneira de vazão 1 L/min”  +1 
 Portanto, segue –(–1) = 1. 
 
4. 
a) 1,05 
 b) 3 
 c) 
3
5
 
 d) 
10
1 
 
 
19 
 
 
Páginas 36 - 38 
1. 
a) –6 
 b) –34 
 c) –7,5 
 d) –5 
 e) –10 
 f) 
2
5
 
 g) 
6
7 
 h) 
5
21 
 
 
AJUSTES 
Caderno do Professor de Matemática – 6ª série/7º ano – Volume 1 
Professor, a seguir você poderá conferir alguns ajustes. Eles estão sinalizados a cada 
página. 
 
 
32
calcular “ 
4
5
 de 
3
4
”. Compreendidos esses 
aspectos de linguagem, veremos agora como 
justificar um algoritmo para o produto de 
frações por meio de argumentos geométricos 
e, para isso, usaremos como exemplo o pro-
duto 
3
4
 ∙ 
4
5
. 
Utilizaremos retângulos para represen-
tar a unidade e, em seguida, os dividiremos 
em 4 partes iguais (marcando 3) e em 5 par-
tesiguais (marcando 4). Se queremos 
3
4
 ∙ 
4
5
, 
então estamos interessados em encontrar 
“ 
3
4
 de 
4
5
”, ou seja, devemos pegar 
4
5
 da re-
presentação correspondente aos 
3
4
, o que pode 
ser obtido por uma intersecção, como mostra a 
sequência de figuras:
Na contagem final de quadradinhos para 
representar a fração resultante da operação, 
12
20
, o numerador 12 foi obtido do produto 
das colunas marcadas em 
3
4
 pelas linhas 
marcadas em 
4
5
, ou seja, pelo numerador da 
primeira fração e o numerador da segunda. 
Raciocínio análogo justifica o denominador 
da fração resultante, 20, obtido do produ-
to de 4 por 5. A prática de situações seme-
lhantes a essa favorece a compreensão do 
algoritmo do produto de frações e deve ser 
trabalhada, mesmo sabendo-se que o objeti-
vo final ao longo do ano seja a mecanização 
de procedimentos de cálculo sem o recurso 
das barrinhas. É importante ainda destacar 
que essa forma de abordagem também pode 
ser feita com frações impróprias, bastando 
para isso iniciar o problema separando a par-
te inteira da parte não inteira. Por exemplo, a 
fração 
7
3
, que corresponde a 2 inteiros mais 
1
3
, pode ser representada por dois retângu-
los inteiros mais 
1
3
 de outro retângulo. Com 
essa representação, basta repetir os procedi-
mentos descritos anteriormente que pode-
remos indicar o produto da fração 
7
3
 por 
outra fração com o uso de figuras.
Também no que diz respeito à divisão de 
frações, muitas estratégias podem ser uti-
lizadas. Apresentaremos na sequência um 
problema que favorece a utilização de ar-
gumentos geométricos para a compreensão 
do algoritmo.
Problema: Se 
2
3
 de uma lata de tinta dão 
para pintar 3
4
 de uma parede, que fração da 
 parede conseguirei pintar com 1 lata de tinta?
.
MAT_CP_6a_vol1_FINAL.indd 32 4/16/09 4:35:29 PM
apelegrini
Oval
apelegrini
Oval
39
Matemática – 6ª- série, 1o bimestre
4. O gráfico indica o número de gols que 
um time fez e sofreu em dez partidas 
do Campeonato Brasileiro de Futebol. 
Calcule o saldo de gols desse time por parti-
da, e o saldo geral de gols nas dez partidas.
Partida 1: −1 Partida 2: 3 Partida 3: −2 
Partida 4: −2 Partida 5: 1 Partida 6: −2 
Partida 7: 0 Partida 8: –3 Partida 9: 1 
Partida 10: –3
Saldo geral: –8 gols
Quanto à multiplicação e à divisão de nú-
meros com sinais, caberá aqui uma análise 
mais detalhada e, de preferência, com o uso 
de abordagens diversificadas. Nós nos detere-
mos em apresentar apenas algumas propostas 
para a discussão sobre o “produto de números 
negativos” tendo como resultado “um número 
positivo”, porque a divisão decorre natural-
mente desse resultado, levando-se em conside-
ração que toda divisão pode ser transformada 
em uma multiplicação, como se pode observar 
nos exemplos a seguir:
6
5
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Gols Pró Gols Contra
G
ol
s
3 ÷ 2 = 3 . 0,5 ou 3 . 1
2
5 ÷ 6 = 5 . 0,16 ou 5 . 1
6
3. O gráfico indica o lucro mensal da sorve-
teria Ki-Fria ao longo dos oito primeiros 
meses de um ano. Analise o gráfico e res-
ponda as perguntas abaixo.
a) Qual o lucro total da Ki-Fria nos 
oito meses?
–R$ 2 200,00 (vale comentar com os alu-
nos que podemos nos referir ao valor nega-
tivo como “lucro negativo de R$ 2 200,00”, 
ou como “prejuízo de R$ 2 200,00”.
b) Qual o lucro médio mensal da sorve-
teria no período analisado?
(−2200) ÷ 8 = −R$ 275,00.
c) Sabe-se que o lucro de janeiro foi pu-
blicado errado e que com a correção 
o lucro nos oito meses analisados 
passa a ser de R$ 1 500,00. Determine 
qual seria o lucro correto de janeiro 
após a correção.
−2 200 − 12 000 = −14 200 (se o lucro em 
janeiro fosse zero, o saldo nos oito meses 
seria negativo em R$ 14 200,00). Queremos 
um lucro em janeiro que liquide o saldo 
negativo total de R$ 14 200,00 e que ain-
da deixe um lucro positivo no período de 
R$ 1 500,00, ou seja, o valor procurado 
é 14 200 + 1 500 = R$ 15 700,00.
15000
10000
5000
0
–5000
–10000
–15000
–20000
Lucro da sorveteria Ki-Fria
12 000
7 500
4 000
2 400
–7 000
13 400
–18 000
Janeiro Fevereiro Março Abril Maio
Junho Julho Agosto
–16 500
apelegrini
Oval
apelegrini
Oval
apelegrini
Oval
apelegrini
Oval
40
Discutiremos três estratégias diferentes 
para a discussão sobre a regra de sinais na 
multiplicação de números negativos e, em se-
guida, apresentaremos uma proposta lúdica 
para a fixação de ideias relacionadas às ope-
rações e à ordenação de números com sinais.
1ª- estratégia: regularidades
Investigando regularidades na sequência a 
seguir o aluno deve perceber que:
a) estamos diminuindo sempre uma unida-
de no primeiro fator da multiplicação;
b) estamos mantendo constante o segun-
do fator da multiplicação;
c) o produto aumenta sempre 3 unidades.
Com isso, espera-se que ele preencha a lacu-
na e possa concluir que multiplicar dois núme-
ros negativos resulta em um número positivo.
2ª- estratégia: plano cartesiano e 
proporcionalidade8
1. Admita que os segmentos indicados em 
vermelho sejam paralelos. Determine a 
localização do ponto marcado em ver-
de e, em seguida, repita o procedimento 
mostrando que –3 . (–2) = 6.
4 . (–3) = –12 3 . (–3) = –9 2 . (–3) = – 6
1 . (–3) = –3 0 . (–3) = 0 –1 . (–3) =
8 A situação descrita nesta atividade necessita de dois pré-requisitos de conteúdo: conhecimento sobre o plano 
ordenado e a localização de pontos, e conhecimento sobre proporcionalidade. Ambos são temas da 6a série que, se 
já tiverem sido discutidos pelo professor, possibilitarão o uso dessa estratégia. Vale lembrar também que, para o uso 
dessa estratégia, o professor terá de estabelecer a proporcionalidade não com a ideia de “distância” (valor positivo), 
mas sim com a de segmento orientado, em que o sinal deve ser levado em consideração.
Se os segmentos são paralelos, os lados 
dos triângulos formados pelos segmentos e 
pelos eixos são proporcionais. Chamando de 
P o ponto verde, temos que: 
–a
1
 = 
P
–b 
. Multi-
plicando-se os dois membros da igualdade 
por (–b), concluímos que P = (–a) . (–b). 
Esse resultado sugere que (–3) . ( –2)= 6.
3ª- estratégia: busca de contexto
Imagine um tanque que possa ser esvaziado 
por torneira de vazão –1 litro por minuto (o si-
nal de menos indica que o líquido é retirado do 
tanque) e enchido por torneiras de vazão 1 litro 
por minuto. Se podemos livremente colocar nes-
se tanque qualquer quantidade dessas torneiras, 
fica evidente que, para efeito de manutenção do 
fluxo de água no tanque, “retirar uma torneira de 
vazão –1 l/min” é equivalente a “acrescentar uma 
torneira de vazão 1 l/min”.
y
P
x
-a 0
-b
1
y
x
–3 0
–2
1 (–3) . (–2) = 6
mvicente
Oval
mvicente
Oval
41
Matemática – 6ª- série, 1o bimestre
Utilizando a linguagem numérica, teremos:
“retirar uma torneira de vazão 
–1 l/min” ⇒ –(–1)
“acrescentar uma torneira de vazão 
1 l/min” ⇒ +1
Portanto, segue que –(–1) = 1.
O fluxo de zero torneira de vazão –1, que 
é igual a zero, pode ser indicado da seguinte 
maneira: 0 . (–1) = 0.
Uma vez que podemos interpretar zero 
torneira como colocar e retirar uma torneira, 
podemos representar a nova expressão por: 
(1–1) . (–1) = 0.
Utilizando a propriedade distributiva no 
produto, sabemos que a expressão é equiva-
lente a: 1 . (–1) –1 . (–1) = 0.
Uma vez que 1 . (–1) é igual a “um nega-
tivo”9 e sabendo-se que o resultado da conta 
que está do lado esquerdo do sinal de igualtem de ser zero, então, necessariamente –1 . (–1) 
tem de ser igual a 1:
Além de contextualizar o produto de nú-
meros negativos por meio da verificação de 
Como 1 . (–1) é igual a –1, então, –1 
(–1) tem que ser o simétrico de –1 
para que a igualdade seja nula. Ocorre 
que o simétrico de –1, que pode ser 
representado por –1 . (–1) é 1.
1 . (–1) – 1 . (–1) = 0
 –1
9 A contextualização do produto de positivo por negativo foi citada no início da atividade.
que –1 . (–1) = 1, e da ideia de que – (–1) = 1, 
essa apresentação também tem a vantagem de 
constituir uma reformulação numérica da de-
monstração formal de que (–a) . (–b) = a . b, 
encontrada em muitos livros.
Como dissemos anteriormente, a regra de 
sinais da divisão de números negativos sai au-
tomaticamente da regra de sinais do produto 
porque toda divisão pode ser convertida em 
multiplicação. Por exemplo, sabemos que 
–12 ÷ (–4) = 3 porque –12 ÷ (–4) é equivalente 
a –12 . (–0,25), cujo resultado é 3 (trata-se de 
um produto de números negativos).
Na 6ª- série, além de ampliar seus conhe-
cimentos numéricos, o aluno aprende uma 
série de novas representações de números e 
operações numéricas. Em particular, as fra-
ções negativas são responsáveis por algumas 
confusões por unirem duas novas linguagens 
trabalhadas na série, a das frações e a dos nú-
meros negativos. 
Assim, mostrar a equivalência entre – 
a
b
 , 
–a
b
 e 
a
–b
 torna-se necessário e é uma interes-
sante oportunidade para retomar a ideia de 
fração como representação do resultado de 
uma divisão, e das regras de sinais nas opera-
ções com inteiros. Observe como isso pode ser 
feito em termos numéricos:
− =− ÷( )=− − =− ÷ =−
−
= ÷ − =−
12
4
12 4 3 12
4
12 4 3 12
4
12 4 3( )− =− ÷( )=− − =− ÷ =−
−
= ÷ − =−
12
4
12 4 3 12
4
12 4 3 12
4
12 4 3( )
− =− ÷( )=− − =− ÷ =−
−
= ÷ − =−
12
4
12 4 3 12
4
12 4 3 12
4
12 4 3( )
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