Matemática Gabarito Pism1 UFJF 2012

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UFJF – MÓDULO I DO PISM – TRIÊNIO 2011-2013 – PROVA DE MATEMÁTICA 
PARA O DESENVOLVIMENTO E A RESPOSTA DAS QUESTÕES, SÓ SERÁ ADMITIDO USAR CANETA ESFEROGRÁFICA AZUL OU PRETA 
Proibido escrever na prova informações como: apelidos, desenhos, nome, números, símbolos e tudo o que possa identificar o candidato. 
 
1 
 
 
 
 
Questão 1 – Sejam ABCD e BCEF dois quadrados, de lado 1cm, justapostos pelo lado comum BC . Considere 
Q um ponto sobre o lado BF e P o ponto de intersecção dos segmentos DQ e BC . Sabendo que o segmento 
CP mede 2
3
cm, responda ao que se pede. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Qual é a medida da área do triângulo DQE ? 
 
Note que a altura h do triângulo DQE relativa à base DE é EF . Assim, 
 
S = área do triângulo DQE 1
2
DE EF×
= = cm2. 
 
 
 
b) Quais são as medidas dos segmentos BQ e QE ? 
 
Os triângulos BQP e DPC são semelhantes. Logo, 
 
DC
BQ
CP
PB
= ⇒
13/2
3/1 BQ
= ⇒
2
1
=BQ . 
 
Pelo Teorema de Pitágoras, 
222 FEQFQE += ⇒
4
51
4
12
=+=QE ⇒ 5
2
QE = cm. 
 
 
 
c) Qual é a medida da altura do triângulo DQE relativa à base QE ? 
 
Defina h como a altura do triângulo DQE relativa à base QE . 
Sabemos que a área S do triângulo DQE é dada por 
1
2
QE hS ×= = . 
Portanto, 
52
2
h= × ⇒ 4 5
5
h = cm. 
 
 
 
 
 
 
 
D 
A 
E 
F 
C 
B Q 
P 
UFJF – MÓDULO I DO PISM – TRIÊNIO 2011-2013 – PROVA DE MATEMÁTICA 
PARA O DESENVOLVIMENTO E A RESPOSTA DAS QUESTÕES, SÓ SERÁ ADMITIDO USAR CANETA ESFEROGRÁFICA AZUL OU PRETA 
Proibido escrever na prova informações como: apelidos, desenhos, nome, números, símbolos e tudo o que possa identificar o candidato. 
 
2 
 
 
 
 
Questão 2 – A figura a seguir representa, no plano cartesiano, o gráfico da função :[0, [+∞ →ℝf que descreve 
o crescimento de uma cultura de microrganismos em função do tempo x medido, em meses, a partir de uma certa 
data. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Qual o número inicial de microrganismos nessa cultura? 
 
Primeiramente observamos que quando o tempo é 0x = , temos 5(0) 4f = . Logo, o número inicial de 
microrganismos, nessa cultura, é igual a 54 . 
 
 
b) Admitindo que a lei de formação da função que descreve o crescimento dessa cultura é dada por 
( ) = xf x ka , , ∈a k ℝ , determine os valores de a e k . 
 
Observamos, inicialmente, que 0a ≠ . Pelo item (a), sabemos que 5(0) 4f = . Portanto 5 04 (0)f ka= = . 
Assim, 54 1k= ⋅ , logo 54k = . 
 
De acordo com o gráfico, aos 12 meses ( 12x = ), temos 114 microrganismos nessa cultura. Assim, 
11(12) 4f = ⇒ 11 5 124 (12) 4f a= = ⇒ 
11
12
5
4
4
a = ⇒ 12 11 5 64 4a −= = . 
Como 6 2 6 124 (2 ) 2= = , temos 12 122a = . Logo, 2a = . 
 
Portanto, 5( ) 4 2xf x = ⋅ . 
 
 
c) Se 4r representa o número de microrganismos após seis meses, determine o valor de ,r considerando a 
lei de formação da função obtida no item b desta questão. 
 
 
Considere 6z ≥ o número de meses. Como 4r representa o número de microrganismos após seis meses, 
temos ( ) 4rf z = . Pela lei de formação da função obtida no item (b) desta questão temos, 54 ( ) 4 2r zf z= = . 
Assim, 
5 2 10 2 104 4 2 2 2 2 2 2 2 10 5
2
r z r z r z z
r z r+= ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ = + ⇒ = + . 
Portanto, 5
2
z
r = + . 
 
 
 
 
54 
114 
12 
(População em potências de base 4) y 
x
 (meses) 0