Aula4-E.descritiva (dispersão)

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©	
  E.	
  Novaes	
   1	
  
Universidade Federal de Goiás 
Escola de Agronomia e Engenharia de Alimentos 
Engenharia Florestal 
Disciplina: Estatística e Experimentação Florestal 
Professor: Evandro Novaes 
Estatística Descritiva – medidas de dispersão 
Capítulo 2 
© E. Novaes 
Resumo	
  das	
  Esta1s2cas	
  
Medidas	
  de	
  
Posição	
  
Dispersão	
  
-­‐ 	
  Moda	
  
-­‐ 	
  Média	
  
-­‐ 	
  Mediana	
  
-­‐ 	
  Percen2l	
  
-­‐ 	
  Amplitude	
  total	
  
-­‐ 	
  Variância	
  
-­‐ 	
  Desvio-­‐padrão	
  
-­‐ 	
  Coeficiente	
  de	
  variação	
  
©	
  E.	
  Novaes	
  
©	
  E.	
  Novaes	
   2	
  
Medidas	
  de	
  dispersão	
  
ou	
  de	
  variação	
  
©	
  E.	
  Novaes	
  
Importância	
  das	
  medidas	
  de	
  dispersão	
  
•  A	
  variância	
  dos	
  erros	
  amostrais	
  é	
  fundamental	
  para	
  
determinar	
  a	
  confiança	
  de	
  se	
  rejeitar	
  ou	
  não	
  uma	
  hipótese.	
  
uro	
   gran	
   uro	
   gran	
  
33	
   42	
   33	
   42	
  
©	
  E.	
  Novaes	
  
©	
  E.	
  Novaes	
   3	
  
•  Medida	
  de	
  dispersão	
  mais	
  simples	
  de	
  ser	
  
es2mada	
  
Amplitude	
  total	
  (“range”)	
  
Produ&vidade	
  de	
  13	
  árvores	
  de	
  E.	
  urophylla	
  
24,1	
   25,7	
   26,4	
   27,2	
   27,8	
   28,1	
   28,3	
   28,9	
   29,0	
   29,5	
   30,5	
   31,0	
   32,1	
  
A	
  =	
  32,1	
  –	
  24,1	
  =	
  8,0	
  
©	
  E.	
  Novaes	
  
•  Amplitude	
  é	
  altamente	
  influenciada	
  por	
  
medidas	
  extremas	
  (“outliers”)	
  
•  Não	
  leva	
  em	
  consideração	
  todas	
  as	
  
observações	
  
•  conjuntos	
  de	
  dados	
  podem	
  ter	
  a	
  mesma	
  amplitude	
  mas	
  serem	
  
completamente	
  diferentes	
  com	
  relação	
  a	
  dispersão	
  dos	
  dados	
  
Problemas	
  
©	
  E.	
  Novaes	
  
©	
  E.	
  Novaes	
   4	
  
Amplitude	
  total	
  (“range”)	
  
Conjunto	
  1 Conjunto	
  2 
0.1 0.1 
0.4 0.8 
0.6 1.2 
0.8 1.4 
0.9 1.6 
1.2 1.8 
1.3 1.9 
1.5 1.9 
1.6 2.2 
1.8 2.3 
1.9 2.4 
2.1 2.4 
2.3 2.5 
2.5 2.5 
2.6 2.6 
2.8 2.6 
2.9 2.7 
3 2.8 
3.2 2.9 
3.4 3 
3.6 3.2 
3.8 3.4 
3.9 3.7 
4.4 3.8 
4.5 3.8 
4.7 4.2 
4.9 4.9 
©	
  E.	
  Novaes	
  
Precisamos	
  de	
  uma	
  medida	
  melhor	
  
Produ&vidade	
  de	
  13	
  árvores	
  de	
  E.	
  urophylla	
  
24,1	
   25,7	
   26,4	
   27,2	
   27,8	
   28,1	
   28,3	
   28,9	
   29,0	
   29,5	
   30,5	
   31,0	
   32,1	
  
€ 
y = 28,35 m3/ha.ano	
  
©	
  E.	
  Novaes	
  
©	
  E.	
  Novaes	
   5	
  
©	
  E.	
  Novaes	
  
Variância	
  
Produ&vidade	
  de	
  13	
  árvores	
  de	
  E.	
  urophylla	
  
24,1	
   25,7	
   26,4	
   27,2	
   27,8	
   28,1	
   28,3	
   28,9	
   29,0	
   29,5	
   30,5	
   31,0	
   32,1	
  
€ 
s2 =
yi2 −
yi
i=1
n
∑
$ 
% 
& 
' 
( 
) 
2
ni=1
n
∑
n −1
©	
  E.	
  Novaes	
  
©	
  E.	
  Novaes	
   6	
  
Variância	
  
Produ&vidade	
  de	
  13	
  árvores	
  de	
  E.	
  urophylla	
  
24,1	
   25,7	
   26,4	
   27,2	
   27,8	
   28,1	
   28,3	
   28,9	
   29,0	
   29,5	
   30,5	
   31,0	
   32,1	
  
580,81	
   660,49	
   696,96	
   739,84	
   772,84	
   789,61	
   800,89	
   835,21	
   841	
   870,25	
   930,25	
   961	
   1030,41	
  
€ 
yi
€ 
yi2
€ 
s2 =
yi2 −
yi
i=1
n
∑
$ 
% 
& 
' 
( 
) 
2
ni=1
n
∑
n −1
€ 
∑
368,6	
  
10.509,56	
  
€ 
=
10509,56 − 368,6
2
13
13 −1 =
58,33
12 = 4,86 (m
3/ha.ano)2	
  
©	
  E.	
  Novaes	
  
©	
  E.	
  Novaes	
  
©	
  E.	
  Novaes	
   7	
  
Desvio	
  padrão	
  
Produ&vidade	
  de	
  13	
  árvores	
  de	
  E.	
  urophylla	
  
24,1	
   25,7	
   26,4	
   27,2	
   27,8	
   28,1	
   28,3	
   28,9	
   29,0	
   29,5	
   30,5	
   31,0	
   32,1	
  
€ 
s = s2 = 4,86 = 2,20 (m3/ha.ano)	
  
©	
  E.	
  Novaes	
  
Inconveniente	
  
•  A	
  magnitude	
  da	
  variância	
  e	
  do	
  desvio	
  padrão	
  
dependem	
  da	
  unidade	
  de	
  medida;	
  
–  Isso	
  dificulta	
  comparações	
  
Variável Observações Média Desvio padrão 
Altura de árvores (m) 15,2 20,3 35,2 34,1 27,2 26,4 m 8,66 m 
Altura de árvores (dm) 152 203 352 341 272 264 dm 86,61 dm 
Altura de arbustos (m) 2,1 1,0 3,5 5,2 4,7 3,3 m 1,76 m 
©	
  E.	
  Novaes	
  
©	
  E.	
  Novaes	
   8	
  
©	
  E.	
  Novaes	
  
Coeficiente	
  de	
  variação	
  
•  Permite	
  comparações	
  pois	
  é	
  sempre	
  dado	
  em	
  %,	
  
independente	
  da	
  unidade	
  das	
  observações	
  
Variável Observações Média 
Desvio 
padrão CV(%) 
Altura de árvores (m) 15,2 20,3 35,2 34,1 27,2 26,4 m 8,66 m 32,80% 
Altura de árvores (dm) 152 203 352 341 272 264 dm 86,61 dm 32,80% 
Altura de arbustos (m) 2,1 1,0 3,5 5,2 4,7 3,3 m 1,76 m 53.33% 
©	
  E.	
  Novaes	
  
©	
  E.	
  Novaes	
   9	
  
Coeficiente	
  de	
  variação	
  
Produ&vidade	
  de	
  13	
  árvores	
  de	
  E.	
  urophylla	
  
24,1	
   25,7	
   26,4	
   27,2	
   27,8	
   28,1	
   28,3	
   28,9	
   29,0	
   29,5	
   30,5	
   31,0	
   32,1	
  
€ 
y = 28,35g
s = 2,20g
€ 
CV% = 7,76%
©	
  E.	
  Novaes	
  
Es2mar	
  variância,	
  desvio	
  padrão	
  e	
  CV%	
  
Conjunto	
  1 Conjunto	
  2 
0.1 0.1 
0.4 0.8 
0.6 1.2 
0.8 1.4 
0.9 1.6 
1.2 1.8 
1.3 1.9 
1.5 1.9 
1.6 2.2 
1.8 2.3 
1.9 2.4 
2.1 2.4 
2.3 2.5 
2.5 2.5 
2.6 2.6 
2.8 2.6 
2.9 2.7 
3 2.8 
3.2 2.9 
3.4 3 
3.6 3.2 
3.8 3.4 
3.9 3.7 
4.4 3.8 
4.5 3.8 
4.7 4.2 
4.9 4.9 
©	
  E.	
  Novaes	
  
©	
  E.	
  Novaes	
   10	
  
Tipos	
  de	
  esta1s2cas	
  
•  Esta1s2ca	
  Descri2va	
  Univariada	
  
– Medidas	
  de	
  posição	
  
– Medidas	
  de	
  dispersão	
  
•  Esta1s2ca	
  Descri2va	
  Bivariada	
  
– Covariância	
  
©	
  E.	
  Novaes	
  
Medidas	
  descri2vas	
  bivariadas	
  
Covariância	
  
©	
  E.	
  Novaes	
  
©	
  E.	
  Novaes	
   11	
  
©	
  E.	
  Novaes	
  
Covariância	
  
•  Idealizadores:	
  Francis	
  Galton	
  &	
  Karl	
  Pearson	
  
– Mede	
  o	
  grau	
  de	
  associação	
  linear	
  entre	
  variáveis	
  
– Ou	
  seja,	
  se	
  as	
  variáveis	
  mudam	
  juntas	
  (co-­‐
variam)ou	
  não.	
  
€ 
Cov(X,Y ) = (x − x )(y − y )∑ n −1 =
xy −
x∑( )∗ y∑( )
n∑
n −1
©	
  E.	
  Novaes	
  
©	
  E.	
  Novaes	
   12	
  
Exemplo	
  QI	
  
1.  Represente	
  os	
  dados	
  através	
  de	
  um	
  gráfico	
  de	
  dispersão	
  
2.  Es2me	
  a	
  covariância	
  entre	
  a	
  década	
  e	
  o	
  nota	
  de	
  QI	
  
©	
  E.	
  Novaes	
  
Exemplo	
  QI	
  
60	
  
65	
  
70	
  
75	
  
80	
  
85	
  
90	
  
95	
  
100	
  
105	
  
110	
  
1910	
   1920	
   1930	
   1940	
   1950	
   1960	
   1970	
   1980	
   1990	
   2000	
   2010	
  
Score	
  de	
  QI	
  médio	
  
€ 
Cov(X,Y ) = 257,50
©	
  E.	
  Novaes	
  
©	
  E.	
  Novaes	
   13	
  
Exemplo	
  soja	
  
Teor de proteína 
(%) 
Teor de óleo 
(%) 
35.8 24.2 
38.5 21 
40.2 20.5 
42.7 18.8 
45.7 16.4 
1.  Represente	
  os	
  dados	
  através	
  de	
  um	
  gráfico	
  de	
  dispersão	
  
2.  Es2me	
  a	
  covariância	
  entre	
  a	
  década	
  e	
  o	
  nota	
  de	
  QI	
  
A	
  tabela	
  abaixo	
  representa	
  o	
  teor	
  médio	
  de	
  
proteína	
  e	
  óleo	
  de	
  5	
  cul2vares	
  de	
  soja	
  
©	
  E.Novaes	
  
Exemplo	
  soja	
  
10	
  
12	
  
14	
  
16	
  
18	
  
20	
  
22	
  
24	
  
26	
  
30	
   32	
   34	
   36	
   38	
   40	
   42	
   44	
   46	
   48	
  
Te
or
	
  d
e	
  
ól
eo
	
  (%
)	
  
Teor	
  de	
  proteína	
  (%)	
  
€ 
Cov(X,Y ) = −10,83
©	
  E.	
  Novaes	
  
©	
  E.	
  Novaes	
   14	
  
Problemas	
  da	
  covariância	
  
•  Assim	
  como	
  o	
  desvio	
  padrão,	
  sua	
  magnitude	
  
muda	
  de	
  acordo	
  com	
  a	
  unidade;	
  
•  Possui	
  importantes	
  pressuposições,	
  para	
  
es2mar	
  corretamente	
  o	
  grau	
  de	
  associação:	
  
– Variáveis	
  precisam	
  ter	
  uma	
  distribuição	
  
aproximadamente	
  normal;	
  
– Relação	
  deve	
  ser	
  linear;	
  
©	
  E.	
  Novaes