prova2 numerico2011

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Curso: ESA e BC&T
Disciplina: Ca´lculo Nume´rico
Aluno:
Professor: Juarez dos Santos Azevedo
2a Avaliac¸a˜o
2011.1
1. Desligue o celular ou coloque-o no modo vibrata´rio. Na˜o e´ permitido o seu uso durante a prova;
2. So´ sera˜o aceitas as questo˜es justificadas com os ca´lculos no espac¸o reservado;
3. Resolva a avaliac¸a˜o a la´pis e apresente a resposta final a caneta;
4. Seja organizado e evite rasurar a avaliac¸a˜o.
Q. 1. Determine o menor nu´mero de subintervalos em que podemos dividir o intervalo [0, 1] para obter o
valor da
∫ 1
0
e4−2x dx, pela regra 1/3 e 3/8 de Simpson Generalizada, com erro ≤ 10−4. Logo em seguida
calcule o valor aproximado usando a regra 1/3 generalizada com 6 subintervalos e um limitante superior para
o erro.
Q. 2. Sejam x0 = −1, x1 = 0, x2 = 2 e x3 = 3.
1. Determine os polinoˆmios de Lagrange Li(x) correspondentes a estes pontos e mostre que eles sa˜o dois
a dois ortogonais com relac¸a˜o ao produto interno
〈φ,ψ〉 =
3∑
i=1
φ(xi)ψ(xi)
2. Encontre o polinoˆmio de grau ≤ 3 que melhor aproxima a func¸a˜o f(x) = sen(pix/2) segundo o produto
interno dado. Qual o erro quadra´tico cometido? Surpreso?
Q. 3. Desejamos aproximar o valor de log2(
5
2 ) atrave´s de interpolac¸a˜o polinomial, usando para tal os valores
conhecidos de log2 x, nos pontos 1, 2, 4 e 8. Usando diferenc¸as divididas, calcule os polinoˆmios interpoladores
de log2 x nos pontos 2 e 4 (linear), 2, 4 e 8 (quadra´tico) e 1, 2, 4 e 8 (cu´bico). Delimite o erro cometido na
aproximac¸a˜o de log2(
5
2 ) em cada caso. Dado: erro na interpolac¸a˜o e´ menor ou igual a
maxy∈[x0,xn] |fn+1(y)|
(n+ 1)!
n∏
i=0
(x− xi)
Q. 4. E´ dada a seguinte fo´rmula de integrac¸a˜o nume´rica:∫ 1
−1
f(x) dx = wf(x1) + f(−x1) + (1− w)f(x2) + f(−x2),
onde w = 0.347855, x1 = 0.861136 e x2 = 0.339981. Esta fo´rmula e´ exata (a menos de erros de arredonda-
mento) para polinoˆmios de grau ate´ 7. Verifique este fato integrando:
∫ 1
0
x5 dx (sim, use uma mudanc¸a de
varia´veis!) e determine o erro efetivamente ocorrido.
Q. 5. Dados pontos x0 < x1 < . . . < xn sabemos que p(x) =
∑n
i=1 f(xi)Li(x) e´ o polinoˆmio interpolador de
f de grau menor ou igual a n (escrito na forma de Lagrange). Use este fato para mostrar que:
1.
∑n
i=0 Li(x) = 1;
2.
∑n
i=0 Li(0)x
k
i = 0, k = 1, 2, . . . ,n.
1