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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA
VESTIBULAR SIMULADO / 2007
PROVA DE LÍNGUA PORTUGUESA
INSTRUÇÕES
1. Esta prova tem duração de quatro horas.
2. Não é permitido deixar o local de exame antes de decorridas duas horas do início da prova.
3. Você poderá usar apenas lápis (ou lapiseira), caneta, borracha e régua. É proibido portar qualquer outro material
escolar.
4. Esta prova é composta de 20 questões de múltipla escolha (numeradas de 01 a 20).
5. As 20 questões de múltipla escolha correspondem a 50% do valor da prova e as questões dissertativas aos 50% restantes.
6. Você recebeu este caderno de questões e um caderno de soluções com duas folhas de rascunho. Verifique se o
caderno de questões está completo.
7. Numere seqüencialmente de 21 a 30, a partir do verso da capa, cada página do caderno de soluções. número atribuído a
cada página corresponde ao da questão a ser resolvida. Não escreva no verso da parte superior da capa (região sombreada)
do caderno de soluções. As folhas centrais coloridas deverão ser utilizadas apenas como rascunho e, portanto, não
devem ser numeradas e nem destacadas pelo candidato.
8. Cada questão de múltipla escolha admite uma única resposta.
9. As resoluções das questões dissertativas, numeradas de 21 a 30, podem ser feitas a lápis e de ser apresentadas de forma
clara, concisa e completa. Respeite a ordem e o espaço disponível no caderno de soluções. Sempre que possível, use
desenhos e gráficos.
10. Antes do final da prova, você receberá uma folha de leitura óptica, destinada à transcrição das respostas das
questões numeradas de 01 a 20. Usando caneta preta, assinale a opção correspondente à resposta de cada uma das
questões de múltipla escolha. Você deve preencher todo o campo disponível para a resposta, sem extrapolar-lhe os
limites.
11. Cuidado para não errar no preenchimento da folha de leitura óptica. Se isso ocorrer, avise o fiscal, que lhe fornecerá uma
folha extra com o cabeçalho devidamente preenchido.
12. Não haverá tempo suplementar para o preenchimento da folha de leitura óptica.
13. Na última página do caderno de soluções, existe uma reprodução da folha de leitura óptica, que deverá ser preenchida
com um simples traço a lápis, durante a realização da prova.
14. A não devolução do caderno de soluções e/ou da folha de leitura óptica implicará a desclassificação do candidato.
15. Aguarde o aviso para iniciar a prova. Ao terminá-la, avise o fiscal e aguarde-o no seu lugar.
CEARÁ
TURNO: MANHÃ DATA: 30/08/2007 No QUESTÕES: 30
PROFESSORES: MAX e ONOFRE ETAPA: 3a
D: 2007 018 3º EM MATEMÁTICA ITA IME SIMUL Rosângela
 PROVA DE MATEMÁTICA – IV SIMULADO ITA
COLÉGIO 7 DE SETEMBRO
O Colégio que ensina o aluno a estudar
FUNDADOR PROF. EDILSON BRASIL SOÁREZ
ALUNO(A):_______________________________________________________ No: ______ TURMA: ______
3o
Ensino
Médio
Central de
Atendimento: 4006.7777
CEARÁ
SEDE EDNILDO GOMES DE SOÁREZ
Av. do Imperador, 1055
SEDE EDILSON BRASIL SOÁREZ
Rua Henriqueta Galeno, 1011
SEDE NILA GOMES DE SOÁREZ
Av. do Imperador, 1330
D: 2007 018 3º EM MATEMÁTICA ITA IME SIMUL Rosângela
2
COLÉGIO
7 DE SETEMBRO
PROVA DE MATEMÁTICA - IV SIMULADO ITA/2007
Professores: Max e Onofre - 3o Ensino Médio
2
CEARÁ
QUESTÕES OBJETIVAS
QUESTÃO 01
Considere o subconjunto P, do conjunto dos números complexos C, dado por: P = {z Î C; z = x + i · y, com y2 = x + 4}. Se exatamente três
das raízes da equação x5 – 7x3 + 20x2 – 44x + 80 = 0 estão em P, duas das quais são números imaginários puros (parte real nula), o produto
das raízes desta equação que NÃO pertencem a P é:
A) – 1
B) 3
C) 3i
D) 5
E) 4 – i
QUESTÃO 02
Sabendo-se que as abscissas r1 e r2 dos focos da hipérbole x
2 – y2 = 1 são as raízes do polinômio P(t) = t3 + at2 + bt + c com a, b e c Î R e
que a terceira raiz r3 do polinômio verifica a igualdade r3 = 
3
2
- · r1 · r2.
Pode-se concluir que a + b + c é:
A) 3 2+
B) 2 3+
C) 3 2-
D) 2 3- -
E) 2 3+
QUESTÃO 03
Sabendo-se que no desenvolvimento do binômio 
6
1
mx
4x
æ ö+ç ÷
è ø
o termo independente de x é igual a distância focal relativa à hipérbole
2 2y x
1,
9 16
- = pode-se concluir que a equação da reta que passa pelo ponto m1,
2
æ ö
ç ÷
è ø
 e com coeficiente angular m é:
A) 3 3y 2 · 4 · x 4 0- + =
B) 3 3y 4 · 4 · x 4 0- + =
C) 3y x ( 4 1) 0- + - =
D) 3y 2x ( 4 2) 0- + - =
E) 3y 4x ( 4 4) 0- + - =
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PROVA DE MATEMÁTICA - IV SIMULADO ITA/2007
Professores: Max e Onofre - 3o Ensino Médio
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CEARÁ
QUESTÃO 04
Um corpo se movimenta obedecendo à função horária S(t) = t4 – 21 · t ,
3 9
æ öl l
+ +ç ÷ç ÷
è ø
 l > 0, onde S é dado em metros e t em segundos.
Sabendo-se que o corpo passa pela origem das posições exatamente em dois instantes distintos t1 e t2, o valor do parâmetro l para o qual
t2 = 3t1 é:
A)
49
25
B)
81
64
C)
81
49
D)
36
25
E)
16
9
QUESTÃO 05
A equação de uma determinada elipse pode ser obtida usando as seguintes informações:
I. Seu centro é o foco da parábola x = y2.
II. Seu eixo menor tem comprimento igual à distância entre as retas y – x = 1 e x – y = 1.
III. Seu eixo maior está sob o eixo das abscissas e tem comprimento igual ao perímetro do quadrilátero formado pelas raízes do polinômio
P(z) = z4 + 2z3 + 23z2: – 50z + 58, o qual tem z = 1 + i como uma de suas raízes.
Com bases nessas informações, pode-se concluir que a equação da elipse é:
A) 7(x – 4)2 + 180y2 = 420
B)
2
1
x
4
æ ö-ç ÷
è ø
+ 242y2 = 121
C) x2 + 16y2 = 80
D)
2
2
9 x
3
æ ö-ç ÷
è ø
+ 12y2 = 1
E) 4 · (x – 1)2 + 3 · (y – 1)2 = 12
QUESTÃO 06
O número de raízes reais da equação
25x 6 x
4 x · 4 (x 2) · 1 (x 5) · (x 7)
2
- -
- - - + - - =
é igual a:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
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7 DE SETEMBRO
PROVA DE MATEMÁTICA - IV SIMULADO ITA/2007
Professores: Max e Onofre - 3o Ensino Médio
4
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QUESTÃO 07
Considere o polinômio
P(x) = (1 + x)1000 + x · (1 + x)999 + x2 · (1 + x)998 + ... + x1000
Determine o coeficiente de x50 no polinômio P(x).
A)
1001
50
æ ö
ç ÷
è ø
B)
1001
51
æ ö
ç ÷
è ø
C)
1000
50
æ ö
ç ÷
è ø
D)
1000
51
æ ö
ç ÷
è ø
E)
999
50
æ ö
ç ÷
è ø
QUESTÃO 08
Determine o valor da expressão E = sec 40o + sec 80o + sec 160o.
A) 0
B) 1
C) 6
D) 3
E) 3-
QUESTÃO 09
Seja x um número complexo, tal que 
1
x 1.
x
+ = -
Calculando x2008 + x–2008, obtemos:
A) 0
B) 1
C) – 1
D) i 3
E) i 3-
QUESTÃO 10
O produto de duas das quatro raízes da equação x4 – 18x3 + k · x2 + 200x – 1984 = 0 é – 32. Determine o valor de k.
A) 78
B) 86
C) 95
D) 84
E) 76
D: 2007 018 3º EM MATEMÁTICA ITA IME SIMUL Rosângela
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7 DE SETEMBRO
PROVA DE MATEMÁTICA - IV SIMULADO ITA/2007
Professores: Max e Onofre - 3o Ensino Médio
5
CEARÁ
QUESTÃO 11
Considere as seguintes afirmações sobre os conjuntos A = {0, 1, 2, 4} e B = {1, 3, 5}:
I. A\B = {0, 2, 4}.
II. n(A x B) é um número primo.
III. B\A é um conjunto unitário.
Pode-se dizer, então, que é(são) verdadeira(s):
A) Apenas I.
B) Apenas II.
C) Apenas II e III.
D) Apenas I e III.
E) Todas as armações.
QUESTÃO 12
Sejam f, g : R ® R funções definidas por ƒ(x) = x3 e g(x) = 103cos5x. Podemos afirmar que:
A) ƒ é injetora e par e g é ímpar.
B) g é sobrejetora e g o ƒ é par.
C) ƒ é bijetora e g o ƒ é ímpar.
D) g é par e g o ƒ é ímpar.
E) ƒ é ímpar e g o ƒ é par.
QUESTÃO 13
Seja A um conjunto finito de números reais cujo número de elementos é igual a k. Seja S = {(x; y) Î A x A; x > y}. O número de elementos
de S é igual a:
A)
2k k
3
-
B) (k2 – k)2
C) k(k – 1) (k – 2)
D)
k(k 1)
2
-E)
2k k
2
+
QUESTÃO 14
Seja ƒ uma função real que satisfaz ƒ(x) . x2 + [ƒ(x)]2 . x + 2 = 0. A imagem de ƒ está contida no conjunto:
A) R
B) {y Î R; y £ 0 ou y ³ 2}
C) {y Î R; y £ 2}
D) {y Î R; y ³ 2}
E) {y Î R; 0 £ y £ 2}
QUESTÃO 15
Se x é um número real positivo, com x ¹ 1/3, 1, satisfazendo 3 x x
x 2 3
2 log x log (x 2)
log (x 2),
log x 1 log x+
+ +
- = +
+
 então x pertence ao intervalo I,
onde:
A) I = (0, 1/9)
B) I = (0, 1/3)
C) I = (1/2, 1)
D) I = (1, 3/2)
E) I = (3/2, 2)
D: 2007 018 3º EM MATEMÁTICA ITA IME SIMUL Rosângela
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7 DE SETEMBRO
PROVA DE MATEMÁTICA - IV SIMULADO ITA/2007
Professores: Max e Onofre - 3o Ensino Médio
6
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QUESTÃO 16
No triângulo ABC, temos AC = 10 cm e BC = 6 cm. Seja D um ponto sobre o lado BC tal que CD = 3 cm. A circunferência circunscrita ao
triângulo ABD corta o lado AC em um ponto interior E. Se a área do triângulo CDE é igual 4 cm2, a área do quadrilátero ABDE é igual a:
A)
354
9
B)
364
9
C)
374
9
D)
384
9
E)
394
9
QUESTÃO 17
Sejam D, E e F pontos sobre os lados AB, BC e AC, respectivamente, do triângulo ABC tais que AD/AB = a, BE/BC = b e CF/CA =l.
Sabendo que a + b + l = 2/3 e a2 + b2 + l2 = 2/5, determine 
[DEF]
.
[ABC]
Obs: [ ] denota área.
A)
16
45
B)
26
49
C)
2
3
D)
3
5
E)
27
49
QUESTÃO 18
No paralelogramo ABCD, AB < AD. A bissetriz interna do ângulo ÐABC intersecta AD em P. Se PD = 5 e BP = CP = 6, quanto mede o lado
AB?
A) 5
B) 17/3
C) 18/5
D) 19/7
E) 4
QUESTÃO 19
Seja a = 
1 log 2
· .
2 log3 log5-
 O conjunto solução da desigualdade 2sen x £ 
3
5
a
æ ö
ç ÷
è ø
 no intervalo [0, 2p) é:
A) [0, p/3] È [2p/3, 2p)
B) [0, 7p/6] È [11p/6, 2p)
C) [0, 4p/3] È [5p/3, 2p)
D) [0, p/6] È [5p/6, 2p)
E) [p/6, 5p/6] È [7p/6, 11p/6]
D: 2007 018 3º EM MATEMÁTICA ITA IME SIMUL Rosângela
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7 DE SETEMBRO
PROVA DE MATEMÁTICA - IV SIMULADO ITA/2007
Professores: Max e Onofre - 3o Ensino Médio
7
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QUESTÃO 20
Se a e b são números reais positivos tais que as equações x2 + ax + 2b = 0 e x2 + 2bx + a = 0 possuem soluções reais, então o menor valor
possível de a + b é:
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
QUESTÕES SUBJETIVAS
QUESTÃO 21
Se tg 3a = tg 3b = tg 3c. Determine o valor de
M = (tg a + tg g + tg c) · (cot ga + cot gb + cot gc)
QUESTÃO 22
Determine o valor da expressão E = 4 4 4
2 3
sec sec sec
7 7 7
p p pæ ö æ ö æ ö+ +ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
.
D: 2007 018 3º EM MATEMÁTICA ITA IME SIMUL Rosângela
8
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7 DE SETEMBRO
PROVA DE MATEMÁTICA - IV SIMULADO ITA/2007
Professores: Max e Onofre - 3o Ensino Médio
8
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QUESTÃO 23
Considere os seguintes conjuntos de números complexos:
A = {z Î C| |z| = 1, Im(z) > 0} e B = {z Î C | Re(z) = 1, Im(z) > 0},
onde Re(z) e Im(z) são as partes real e imaginária do número complexo z, respectivamente.
A) Mostre que para cada z Î A, o número 
2z
z 1+
 pertence a B.
B) Mostre que cada w Î B pode ser escrito da forma 
2z
z 1+
 para algum z Î A.
QUESTÃO 24
Sobre os lados AB, AC e BC de um triângulo ABC consideram-se, respectivamente, 3 pontos, 4 pontos e 5 pontos, distintos e não
coincidentes com os vértices. Quantos segmentos podem ser traçados cujas extremidades sejam os centros das circunferências determi-
nadas pelos 12 pontos?
QUESTÃO 25
A soma das idades atuais de Maria e Ana é 44 anos. Atualmente a idade de Maria é o dobro da idade que Ana tinha quando Maria tinha a
metade da idade que Ana terá quando a idade desta for o triplo da idade que Maria tinha quando Maria tinha o triplo da idade de Ana. Com
base nessas informações calcule a idade de Ana.
D: 2007 018 3º EM MATEMÁTICA ITA IME SIMUL Rosângela
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PROVA DE MATEMÁTICA - IV SIMULADO ITA/2007
Professores: Max e Onofre - 3o Ensino Médio
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QUESTÃO 26
Mostre que não existe função ƒ: Z ® Z tal que ƒ(ƒ(x)) = x + 1, para todo x Î Z.
QUESTÃO 27
No trapézio ABCD, as bases medem AB = a e CD = b. As diagonais encontram-se em O. Ache a razão entre a área do triângulo ABO e a área
do trapézio.
QUESTÃO 28
Resolva a equação ( ) ( )x x7 48 7 48 14.- + + =
D: 2007 018 3º EM MATEMÁTICA ITA IME SIMUL Rosângela
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7 DE SETEMBRO
PROVA DE MATEMÁTICA - IV SIMULADO ITA/2007
Professores: Max e Onofre - 3o Ensino Médio
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CEARÁ
QUESTÃO 29
Seja ƒ uma função real definida por ƒ(x) = ln 2x
x
1
e .
e
æ ö-ç ÷
è ø
A) Ache o domínio da função ƒ.
B) Ache a imagem da função ƒ.
QUESTÃO 30
Seja ABCDE um pentágono convexo tal que AB = BC, CD = DE, ÐABC = 150o, ÐCDE = 30o e BD = 2. Determine a área do pentágono
ABCDE.
D: 2007 018 3º EM MATEMÁTICA ITA IME SIMUL COMENT Rosângela
QUESTÕES OBJETIVAS
QUESTÃO 01 – LETRA D
Como a equação é do quinto grau (portanto de grau ímpar), possui, pelo menos,
uma raiz real. Observando a representação geométrica do conjunto P (figura abai-
xo) vemos que as raízes que são números imaginários puros deverão ser 2i e – 2i,
pois, pelo gráfico abaixo, a interseção de P com o conjunto dos números comple-
xos imaginários puros se reduz a estes dois números.
Como a representação de P é simétrica em relação ao eixo x, e exatamente três
raízes da equação estão em P, a única saída é que a outra raiz pertencente a P seja
real e igual a – 4, que é o único número real pertencente a P. Portanto, o polinômio
x5 – 7x3 + 20x2 – 44x + 80 é divisível por (x + 4)(x2 + 4). Efetuando esta divisão,
obtemos x5 – 7x3 + 20x2 – 44x + 80 = (x + 4) (x2 + 4)(x2 – 4x + 5). Portanto, as raízes
da equação que não pertencem a P são as soluções da equação x2 – 4x + 5 = 0,
que são (2 + i) e (2 - i), cujo produto (2 + i)(2 – i) = 5. Portanto, a opção correta é a D.
QUESTÃO 02 – LETRA C
Na hipérbole x2 – y2 = 1, temos a = 1, b = 1 e protanto c = 2 .
Assim r1 = 2 e r2 = – 2
Como r3 = 
3
2
- r1 r2, então r3 = 
3
· ( 2) · ( 2) 3
2
- - =
Temos assim, que
P(t) = (t2 – 2) (t 3)-
P(t) = t3 – 3 t2 + 2t – 2 3
P(t) = t3 – 3 t2 – 2t + 2 3
a + b + c = – 3 – 2 + 2 3 = 3 – 2
QUESTÃO 03 – LETRA A
6
1
mx
4x
æ ö+ç ÷
è ø
 tem como termo independente de x, o quartermo, onde p = 3
3
3
4 3
6 1 1
T · · (mx) 20 ·
3 4x 64 x
æ ö æ ö= =ç ÷ ç ÷
è øè ø
3 3· m x 3
5
m
16
=
Na hipérbole 
2 2y x
1,
9 16
- = temos a = 3, e b = 4 assim c = 5.
Distância focal: 2c = 10
Portanto 5 3m 10
16
= 3 3m 32 m 2 4Þ = Þ =
Equação da reta
y = mx + n
y = 32 4 x n+
A reta passa por 3(1, 4), logo
3 3 34 2 4 · 1 n n 4= + Þ = -
Equação da reta
y = 3 32 4 x 4-
GABARITO – COMENTÁRIO
PROVA DE MATEMÁTICA (IV SIMULADO ITA/2007)3o
Ensino
Médio
 
-4 
2 
-2 
x 
y 
y – 3 32 4 x 4 0+ =
D: 2007 018 3º EM MATEMÁTICA ITA IME SIMUL COMENT Rosângela
2
COLÉGIO
7 DE SETEMBRO
Prova de Matemática (IV SIMULADO ITA/2007) / 3o ANO/EM
GABARITO - COMENTÁRIO 2CEARÁ
QUESTÃO 04 – LETRA C
S(t) = t4 – 21 t , 0.
3 9
æ öl l
+ + l >ç ÷ç ÷
è ø
Como a função S(t) é par, então existem duas raízes positivas e duas simétricas e portanto negativas.
Assim as raízes são: t1, 3t1, –t1, –3t1
t1 · t2 · t3t4 = 9
l
4
19 t 9
l
=
4
1t 81
l
=
4
1t 3
l
=
Não exsite problema quanto ao sinal, pois as raízes são simétricas.
t1t2 + t1t3 + t1t4 + t2t3 + t2t4 + t3t4 = 
1
3
æ öl
- +ç ÷ç ÷
è ø
2
13t
2 2
1 1t 3 t- -
2
13 t-
2 2
1 19t 3 t- + 13
æ öl
= - +ç ÷ç ÷
è ø
¨
2
110t 13
æ öl
- = - +ç ÷ç ÷
è ø
2
110 t 13
l
= +
10 3 9
9 9 10
l l
= +
7 9l =
9
7
l =
81
49
l =
QUESTÃO 05 – LETRA B
I) Foco da parábola x = y2
(y – 0)2 = 2 · 
1
2
 (x – 0)
Vértice Þ V(0, 0)
Foco Þ 
1
F , 0
4
æ ö
ç ÷
è ø
II) Distância entre as retas.
r1: x – y + 1 = 0e r2: x – y – 1 = 0
r2 passa por (2, 1)
Centro: 
1
E , 0
4
æ ö
ç ÷
è ø
1
F , 0
4
æ ö
ç ÷
è ø
P
2
D: 2007 018 3º EM MATEMÁTICA ITA IME SIMUL COMENT Rosângela
3
COLÉGIO
7 DE SETEMBRO
Prova de Matemática (IV SIMULADO ITA/2007) / 3o ANO/EM
GABARITO - COMENTÁRIO 3CEARÁ
2 2
2 2
| 1x y 1| 2
d 2
21 ( 1)
- +
= = =
+ -
III) P(x) = x4 + 2x3 + 23x2 – 50x + 58 é divisível por x2 – 2x + 2/0
 x4 + 2x3 + 23x2 – 50x + 58 x2 – 2x + 2
– x4 + 2x3 – 2x2 x2 + 4x + 29
 / 4x3 + 21x2 – 50x + 58
 – 4x3 + 9x2 – 8x
 / 29x – 58x + 58
 – 29x2 + 58x – 58
 / / /
P(x) = x4 + 2x3 + 23x2 – 50x + 52 pode ser escrito
como
P(x) = x4 + 2x3 + 23x2 – 50x + 58
P(x) = (x2 – 2x + 2) (x0 + 4x + 29)
® Quadrilátero
A(1, 1) B(1, – 1), C(– 2, 5) e D(– 2, – 5)
Perímetro: 22
Equação da elipse
2 2
o o
2 2
(x x ) (y y )
1
a b
- -
+ =
2
2
2 2
1
x
(y 0)4
1
11 2
2
æ ö-ç ÷ -è ø + =
æ ö
ç ÷ç ÷
è ø
2
2
1
x
y4
1
1121
2
æ ö-ç ÷
è ø + =
2
21x 242y 121
4
æ ö- + =ç ÷
è ø
QUESTÃO 06 – LETRA B
Observe que – x2 + 5x – 6 deve ser maior ou igual a zero assim
2 £ x £ 3
21 (x 5)(x 7) 1 x 12x 35+ - - = + - + = 2x 12x 36- +
= |x – 6|
= 6 – x, pois x Î (2, 3)
4 (x 2) 1 (x 5)(x 7)- - + - - = 4 (x 2)(6 x)- - -
= 24 (6x x 12 2x)- - - +
– – – – – – – – –+ + + + +
2 3
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4
COLÉGIO
7 DE SETEMBRO
Prova de Matemática (IV SIMULADO ITA/2007) / 3o ANO/EM
GABARITO - COMENTÁRIO 4CEARÁ
= 4 ( x 8x 12)- - + -
= 2x 8x 16- +
= |x – 4|
= 4 – x
Assim a equação original pode ser escrita como
4 x · (4 x)- - =
25x 6 x
2
- -
24 4x x- + =
25x 6 x
2
- -
|x – 2| =
25x 6 x
2
- -
Como x Î (2, 3)
x – 2 = 
25x 6 x
2
- -
2x – 4 = 5x – 6 – x2
x2 – 3x + 2 = 0
D = 1
23 1
x
12
±
=
Apenas x = 2 é solução!
QUESTÃO 07 – LETRA A
Para o polinômio P(x), considere [xm] · P(x) o coeficiente de xm em P(x).
Temos ainda que
n
n k
k 0
n
(x 1) x
k=
æ ö
+ = ç ÷
è ø
å
[xm] (x + 1)n = 
n
m
æ ö
ç ÷
è ø
[xm] (x1000 – k · (x + 1)k) = [xm – (1000 – k)] · (x + 1)k
=
k
m (1000 k)
æ ö
ç ÷- -è ø
=
k
1000 m
æ ö
ç ÷-è ø
No polinômio, temos
1000
1000 k k
k 0
x · (x 1)-
=
+å
Assim
1000
m 1000 k k
k 0
[x ] x · (x 1)-
=
+å =
1000
1000 1000 k k
k 0
[x ](x · (x 1) )-
=
+å
=
1000
k 0
k
1000 m=
æ ö
ç ÷-è ø
å
=
1001 1001
1001 m m
æ ö æ ö
=ç ÷ ç ÷-è ø è ø
Portanto o coeficiente de x50 é 
1001
50
æ ö
ç ÷
è ø
D: 2007 018 3º EM MATEMÁTICA ITA IME SIMUL COMENT Rosângela
5
COLÉGIO
7 DE SETEMBRO
Prova de Matemática (IV SIMULADO ITA/2007) / 3o ANO/EM
GABARITO - COMENTÁRIO 5CEARÁ
QUESTÃO 08 – LETRA C
sec 40o + sec 80o + sec 160o = o 0 o
1 1 1
cos40 cos80 cos20
+ - =
o o
o o o
cos80 cos 40 1
cos40 · cos80 cos20
+
- =
2cos60
o o
o o o
· cos20 1
cos40 · cos80 cos20
- =
2 o o o
o o o
cos 20 cos40 · cos80
cos20 · cos40 · cos80
-
=
o o o
o o o
1 cos40 2cos80 cos40
2 2 2
cos20 · cos40 · cos80
+ -
=
o o o
o o o
1 cos40 cos120 cos40
2 2 2
cos20 · cos40 · cos80
+
+ -
=
+
=O O O
1 1
2 4
cos20 · cos40 · cos80
= =
3
34 · 8 6
1 4
8
QUESTÃO 09 – LETRA C
x + 
1
x
 = – 1 Þ x2 + x + 1 = 0 Þ x3 = 1
Assim, temos
x2008 + x–2008 = x2008 + 2008
1
x
 = x + 
1
x
 = – 1
QUESTÃO 10 – LETRA B
Se r1, r2, r3 e r4 são as quatro raízes, temos:
r1 · r2 = – 32
Assim r3r4 = 
1 2 3 4
1 2
r r r r 1984
62
r r 32
-
= =
-
Assim temos:
x4 – 18x3 + kx2 + 200x – 1984 = (x2 – px – 32) (x2 – qx + 62)
De onde teremos:
p + q = 18 e – 62p + 32q = 200
De onde temos
p = 4, q = 14 e k = 86
QUESTÃO 11 – LETRA A
(I) Verdadeiro. O conjunto A\B é formado por todos os elementos de A que não estão em B.
(II) Falso. n(A x B) = n(A) x n(B) = 12 é composto.
(III) Falso. B\A = {3; 5} não é unitário.
QUESTÃO 12 – LETRA E
Como ƒ(– x) = (– x)3 = – x3 = – ƒ(x), segue que ƒ é ímpar. Além disso, g(– x) = 103 · cos(– 5x) =
103 . cos 5x = g(x), de modo que g é par. Logo, (g º ƒ)(– x) = g(ƒ(– x)) = g(–ƒ(x)) = g(ƒ(x)) =
(g º ƒ)(x) implica que g º ƒ é par.
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COLÉGIO
7 DE SETEMBRO
Prova de Matemática (IV SIMULADO ITA/2007) / 3o ANO/EM
GABARITO - COMENTÁRIO 6CEARÁ
QUESTÃO 13 – LETRA D
Suponha A = {1, 2, ..., k}. Representando o conjunto S no sistema cartesiano, obtemos um conjunto de pontos de coordena-
das inteiras que são interiores a um quadrado de lado k limitados pelas retas y = x, y = 0 e x = k.
Logo, o total de pontos é 1 + 2 + 3 + ... + (k – 1) = k(k 1)
2
- .
QUESTÃO 14 – LETRA B
Devemos encontrar todos os y Î R tais que a equação ƒ(x) = y tenha solução x Î R. Para isso, a equação do segundo grau
em x dada por y · x2 + y2 · x + 2 = 0 deve ter solução real. Logo, D = y4 – 8y ³ 0. Daí, obtemos
y4 – 8y = y(y3 – 8) = y(y – 2)(y2 + 2y + 4) ³ 0.
Como y2 + 2y + 4 = (y + 1)2 + 3 > 0, a inequação acima equivale a y(y – 2) ³ 0. Dessa forma, devemos ter 0 £ y ou y ³ 2.
QUESTÃO 15 – LETRA B
Da equação inicial, obtemos:
3
x 2
2 log x
log x+
+
=
x
3
log (x 2)
1 log x
+
+ + logx(x + 2)
= logx(x + 2) 
3
1
1
1 log x
æ ö
+ç ÷
+è ø
= logx(x + 2) 
3
3
2 log x
1 log x
æ ö+
ç ÷
+è ø
.
Daí, ou 2 + log3 x = 0 ou 
x
x 2 3
log (x 2)1
.
log x 1 log x+
+
=
+
 No primeiro caso, obtemos x = 
1
.
9
No segundo, f icamos com
1 + log3 x = logx+2x · logx(x + 2) = 1, de onde concluímos que x = 1. Porém, este resultado não satisfaz à condição de
existência da equação. Logo, a única solução é x = 1/9, que pertence ao intervalo (0; 1/3).
QUESTÃO 16 – LETRA B
Veja que os triângulos ABC e DEC são semelhantes (pois ÐABC = ÐDEC e ÐACB = ÐDCE). Então, a razão entre suas áreas
ao quadrado da razão de semelhança. Se [ABDE] = x, então
24 9(3 /10) .
4 x 100
= =
+
daí, obtemos x = 
364
9
.
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COLÉGIO
7 DE SETEMBRO
Prova de Matemática (IV SIMULADO ITA/2007) / 3o ANO/EM
GABARITO - COMENTÁRIO 7CEARÁ
QUESTÃO 17 – LETRA A
Denote por SA, SB, SC, T e S as áreas dos triângulos ADF, BED, CFE, DEF e ABC, respectivamente. Dessa forma, podemos
escrever
SA + SB + SC + T = S.
Veja que
A
1
· AD · AF · senAS AD AF2 · · (1 ).
1S AB AC· AB · AC · senA
2
= = = a - g
Com o mesmo raciocínio, obtemos: CB
SS
· (1 ) e · (1 ),
S S
= b - a = g - b e da igualdade T = S – SA – SB – SC, obtemos
T
S
= CA B
SS S
1
S S S
- - -
= 1 – a · (1 – l) – b · (1 – a) – g · (1 – b)
= 1 – (a + b + g) + (ab + bg + ga).
Do enunciado, ainda obtemos ab + bg + ga = 
1
2
[(a + b + g) – (a2 + b2 + g2)] = 
1 4 2 1
.
2 9 5 45
æ ö- =ç ÷
è ø
Logo, 
T 2 1 26
1 .
S 3 45 45
= - + =
QUESTÃO 18 – LETRA E
Seja AB = x. Veja que ÐAPB = ÐPBC = ÐPBA. Logo, o triângulo ABP é isósceles e AP = x. Também, veja que ÐPCB = ÐPBC,
de modo que DABP ~ DPBC. Portanto,
2x 6 x 5x 36 0 x 4.
6 x 5
= Þ + - = Þ =
+
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8
COLÉGIO
7 DE SETEMBRO
Prova de Matemática (IV SIMULADO ITA/2007) / 3o ANO/EM
GABARITO - COMENTÁRIO 8CEARÁ
QUESTÃO 19 – LETRA D
Veja que a = 
1 log2 1
·
2 log(3 / 5) 2
= log3/52 = log3/52
1/2. Logo, 1/ 2
3
2 ,
5
a
æ ö =ç ÷
è ø
 de modo que nossa desigualdade resume-se a
2sen x £ 21/2, daí, devemos ter sen x £
1
2
. No intervalo [0; 2p), o conjunto solução desta inequação é [0, p/6] È [ [5p/6, 2p).
QUESTÃO 20 – LETRA E
Calculando os discriminantes das equaçõesdadas, obtemos
a2 ³ 2 e b2 ³ a.
Daí, a4 ³ 64b2 ³ 64a Þ a3 ³ 64. Logo, a ³ 4. Também, b4 ³ a2 ³ 8b Þ b3 ³ 8. Logo, b ³ 2.
Portanto, a + b ³ 6. A igualdade ocorre quando a = 4 e b = 2.
QUESTÕES SUBJETIVAS
QUESTÃO 21
Fazendo tg 3a = tg 3b = tg 3c = k, temos:
tg3 a – 3k · tg2 a – 3 tg a + k = 0
tg3 b – 3k · tg2 b – 3 tg b + k = 0
tg3 c – 3k · tg2 c – 3 tg c + k = 0
Portanto tg a, tg b, tg c são as raízes da equação:
x3 – 3k · x2 – 3x + k = 0
De onde podemos supor x1 = tg a, x2 = tg b e x3 = tg c.
Então podemos calcular o valor da expressão
(tg a + tg b + tg c) · (cotg a + cotg b + cotg c)
Usando, as relações de Girard
(x1 + x2 + x3) · 
1 2 3
1 1 1
x x x
æ ö
+ +ç ÷
è ø
 = (x1 + x2 + x3) · 
1 2 1 3 2 3
1 2 3
x x x x x x
x x x
æ ö+ +
ç ÷
è ø
(tg a + tg b + tg c) · (cotg a + cotg b + cotg c) = 
(3k) · ( 3)
k
-
-
 = 9
QUESTÃO 22
Considere a equação cujas raízes são: tan2 
r ·
,
7
pæ ö
ç ÷
è ø
 r = 1, 2, 3. Para encontrar essa equação, primeiro encontraremos a
equação cujas raízes sejam tan
r ·
,
7
pæ ö
ç ÷
è ø
 onde r = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Se tan(7q) = 0 Þ 7q = r · p Þ q = 
r ·
,
7
p
 r = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Temos ainda que:
tan(7q) = 0 Þ 7 tan q – 35 tan3q + 21 tan5q – tan7q = 0
Fazendo y = tan q, temos y6 – 21y4 + 35y2 – 7 = 0 onde as raízes são
r
r ·
y tan ,
7
pæ ö= ç ÷
è ø
 r = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Fazendo agora y2 = x, temos a equação: x3 – 21x2 + 35x – 7 = 0, cujas raízes são:
2 r ·tan ,
7
pæ ö
ç ÷
è ø
 r = 1, 2, 3.
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7 DE SETEMBRO
Prova de Matemática (IV SIMULADO ITA/2007) / 3o ANO/EM
GABARITO - COMENTÁRIO 9CEARÁ
Utilizando a identidade: sec4 q = 1 + 2 tan2q + tan4q, temos
3 3 3
4 2 4
n 1 n 1 n 1
n · n · n ·
sec 3 2 · tan tan
7 7 7= = =
p p pæ ö æ ö æ ö= + +ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
å å å
3
4
n 1
n ·
sec
7=
pæ ö =ç ÷
è ø
å 3 + 2 · 21 + (212 – 2 · 35)
3
4
n 1
n ·
sec
7=
pæ ö =ç ÷
è ø
å 416
QUESTÃO 23
a) Seja z = eiq, com q Î (0, p). Logo,
 s =
2z
z 1+
=
i
i
2e
1 e
q
q+
=
i i
i i
2e (1 e )
(1 e )(1 e )
q - q
q - q
+
+ +
=
i
i i
2(e 1)
2 (e e )
q
q - q
+
+ +
=
1 cos isen
1 cos
+ q + q
+ q
=
sen
1 i
1 cos
q
+
+ q
Logo, as partes real e imaginária de s são tais que
Re(s) 1
sen
Im(s) 0, (0, )
1 cos
=ì
ï
qí = > "q Î pï + qî
de modo que s Î B.
b) Seja w = 1 + ki, com k > 0. Logo, forçando as relações
2 2 2
2 2
a
k
1 b k (1 b) b 1
a b 1
ì =ï + Þ + + =í
ï + =î
e assim
2 4 2 2 2
2 2
2k 4k 4(k 1)(k 1) k 1
b
2(k 1) k 1
- - + - -
= =
+ +
m m
Desprezando a opção b = – 1, têm-se para k > 0 que
2
2
2
1 k
1 b cos 1
1 k
2k
0 a sen 1
1 k
ì æ ö-
- < = = q <ï ç ÷
+ï è ø
í
æ öï < = = q £ç ÷ï +è øî
w = 1 + ik = 1 + i
a sen 2z
1 i
1 b 1 cos z 1
q
= + =
+ + q +
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7 DE SETEMBRO
Prova de Matemática (IV SIMULADO ITA/2007) / 3o ANO/EM
GABARITO - COMENTÁRIO 10CEARÁ
QUESTÃO 24
Considerando o máximo de segmentos.
Total de circunferências: C12,3 – C3,3 – C4,3 – C5,3
= 200 – 1 – 4 – 10
= 205
Como cada dois centros determinam um segmento, temos então como resposta
C205,2 = 20910
QUESTÃO 25
Usando as variáveis 18x, 18y pois são múltiplo dd 3 e de 2.
As diferenças são constantes, assim:
9x – 4y = 18y – 12y
9x – 4y = 6y
9x = 10y
De onde temos 18x = 20y
Assim Soma das idades
A – 9x = 18x – 18y A + 18x = 44 20y = 27,5
A – 10y = 20y – 18y 12y + 20y = 44 18x = 27,5 anos
A = 12y 3y + 5y = 11 A = 12y = 16,5 anos
8y = 11
4y = 5,5
QUESTÃO 26
Suponha que exista tal função. Então, ƒ deve ser injetiva, pois
ƒ(x) = ƒ(y) Þ ƒ(ƒ(x)) = ƒ(ƒ(y)) Þ x + 1 = y + 1 Þ x = y.
Além disso, para todo x Î Z, temos ƒ(x + 1) = ƒ(ƒ(ƒ(x))) = ƒ(x) + 1. Daí, mostramos por indução que ƒ(x + n) = ƒ(x) + n, para
todo n Î Z. Assim, fazendo ƒ(0) = a e escolhendo n = – x, obtemos ƒ(0) = ƒ(x) – x = a, de modo que ƒ(x) = x + a, para todo
x Î Z. Agora,
ƒ(x + a) = ƒ(ƒ(x)) = x + 1.
Mas, por outro lado, ƒ(x + a) = (x + a) + a = x + 2a. Daí, obtemos x + 2a = x + 1, ou ainda, a = 
1
,
2
o que é um absurdo, já que
a Î Z. Logo, não existe tal função.
QUESTÃO 27
Sejam h1 e h2 as distâncias de O aos lados AB e AC, respectivamente. Como os triângulos OAB e OCD são semelhantes,
obtemos 1
2
h a
,
h b
= ou ainda, 1
1 2
h a
.
h h a b
=
+ +
 Fazendo h1 + h2 = h (altura do trapézio), ficamos com:
2
1 1(a · h ) / 2 a h[OAB] a .
[ABCD] (a b)h / 2 a b h a b
æ ö
= = = ç ÷+ + +è ø
A
B C
 ANTES 2 ANTES 1 ATUALMENTE DEPOIS 
MARIA 12y 18y 18x 
ANA 4y 9x A 36y 
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7 DE SETEMBRO
Prova de Matemática (IV SIMULADO ITA/2007) / 3o ANO/EM
GABARITO - COMENTÁRIO 11CEARÁ
QUESTÃO 28
Seja a = x( 7 48 )- . Veja que x
1
( 7 48 ) .
a
- = Logo, a + 
1
a
 = 14, ou seja, a2 – 14a + 1 = 0. Logo, a = 7 48 .±
• Se a = 7 48,± obtemos 
x
12(7 48) 7 48 (7 48) .-- = + = -
• Se a = 7 48,± obtemos 
x
2(7 48) 7 48 .- = - Neste caso, x = 2.
Logo, S = {2, 2}.
QUESTÃO 29
a) A função ƒ está bem denida se, e somente se, 2x 2x 3xx x
1 1
e 0 e e 1 x 0.
e e
- > Û > Û > Û > Logo, o domínio da função
ƒ é o intervalo (0, +¥).
b) Fazendo ex = z, para x > 0, obtemos z > 1. Então, queremos encontrar todos os y reais tais que ln 2
1
z
z
æ ö-ç ÷
è ø
 = y, para
algum z > 1. Como a imagem da função 2
1
z z ,
z
® - para z > 1, é o intervalo (0, +¥), então a imagem da função
2 1z In z y
z
æ ö® - =ç ÷
è ø
é o intervalo (– ¥,+¥), ou seja, Im(ƒ) = R.
QUESTÃO 30
Sejam AB = BC = x e CD = DE = y. Se ÐACE = a, observe que ÐBCD = 90o + a.
Veja que
[ABCDE] = [ABC] + [CDE] + [ACE]
= 2 o 2 o
1 1 1
x sen150 y sen30 AC · CE · sen .
2 2 2
+ + a
Agora, observe que nos triângulos ABC, BCD e CDE, pela lei dos cossenos, obtemos:
AC2 = x2 + x2 – 2x2 cos 150o Þ AC2 = 2x (2 3)+ ;
CE2 = y2 + y2 – 2y2 cos 30o Þ CE2 = 2y (2 3)- .
Logo, AC2 · CE22 = 2 2x y (2 3)(2 3)+ - = x2y2 Þ AC · CE = xy..
Portanto, a área de ABCDE é dada por [ABCDE] = 
1
4
 (x2 + y2 + 2xy · sen a) (**).
Finalmente, no triângulo BCD, temos:
22 = x2 + y2 – 2xy · cos(90o + a).
Como cos(90o + a) = cos(90o – a) = – sen a, segue que x2 +y2 +2xy · sen a = 4, e em (**) ficamos com [ABCDE] = 1.
	artigo6_simulado4_c7s
	artigo6_simulado4_c7s_sol