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Série Ensino
TC
Pré-Universitário
____/____/____
Rumo ao ITA
Marcelo Mendes
Matemática
Aluno(a)
Turma Turno Data
Sede
N°
Professor(a)
OSG.: 28351/10
Revisão de Álgebra
Exercícios de Fixação
01. Encontre os valores das raízes racionais a, b e c de x3 + ax2 + bx + c.
02. Se f(x)f(y) – f(xy) = x + y, "x,y ∈ R, determine f(x).
03. Encontre x real satisfazendo 1 1 1+ + + =x x.
04. Numa classe com vinte alunos, as notas do exame final 
podiam variar de 0 a 100 e a nota mínima para aprovação 
era 70. Realizado o exame, verificou-se que oito alunos foram 
reprovados. A média aritmética das notas desses oito alunos 
foi 65, enquanto que a média dos aprovados foi 77. Após 
a divulgação dos resultados, o professor verificou que uma 
questão havia sido mal reformulada e decidiu atribuir 5 pontos 
a mais para todos os alunos. Com essa decisão, a média dos 
aprovados passou a ser 80 e a dos reprovados 68,8.
A) Calcule a média aritmética das notas da classe toda antes 
da atribuição dos cinco pontos extras.
B) Com a atribuição dos cinco pontos extras, quantos alunos, 
inicialmente reprovados, atingiram nota para aprovação?
05. Encontre todas a soluções reais positivas da equação 
x
x x x
+ = +
6 2
2
3
,
 onde k denota o maior inteiro menor 
que ou igual ao número real k. (Sugestão: analise o resto da 
divisão de x por 6).
06. A função f, definida sobre o conjunto dos pares ordenados de 
inteiros positivos, satisfaz as seguintes propriedades: f(x, x) = 
x, f(x, y) = f(y, x) e (x + y) f(x, y) = yf(x, x + y). Calcule f(14, 52).
07. Simplifique a expressão 1
1
1
1
1
1
1
1
2 4 2100
+



 +



 +



 +



a a a a... .
08. A soma dos algarismos de um número é 12. Invertendo-se a 
ordem dos algarismos, tem-se um novo número igual a 
4
7
 
do original. Determine o número sabendo que ele tem dois 
algarismos.
09. Encontre o menor inteiro positivo n que possui as seguintes 
propriedades:
I. Em sua representação, tem 6 como último dígito.
II. Se o último dígito (6) é apagado e colocado na frente dos 
dígitos restantes, o número resultante é quatro vezes maior 
que o número original n.
10. I. Ache todos os inteiros positivos com dígito inicial 6 tal que o 
inteiro formado apagando-se este 6 é 
1
25
 do inteiro original.
 II. Mostre que não existe inteiro tal que a retirada do primeiro 
dígito produz um novo inteiro que é 
1
35
 do inteiro original.
11. Para quais valores a desigualdade x
x
x
x
3
3
2
2
1 1
+ > + é falsa?
Ejercicios Propuestos
01. D e m o n s t r a r q u e s e 
A
a
B
b
C
c
= = , e n t ã o o c o r re 
Aa Bb Cc A B C a b c+ + = + + + +( )( ).
02. Mostre que se a
b
a
b
a
b
1
1
2
2
3
3
= = e p1, p2, p3 não são todos nulos,
 então 
a
b
p a p a p a
pb p b p b
n n n n
n n n
1
1
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3



 =
+ +
+ +
, para todo inteiro positivo n.
03. (IME/2007) Sejam a, b e c números reais não nulos. Sabendo que 
a b
c
b c
a
c a
b
+
=
+
=
+
, determine o valor numérico de a b
c
+
.
04. Se x é um número satisfazendo a equação x x+ − − =9 9 33 3 , 
então x2 está entre:
A) 55 e 65
B) 65 e 75
C) 75 e 85
D) 85 e 95
E) 95 e 105
05. Considere todas as retas que encontram o gráfico da função 
f(x) = 2x4 + 7x3 + 3x – 5 em quatro pontos distintos, digamos 
(x
1
, y
1
), (x
2
, y
2
), (x
3
, y
3
), (x
4
, y
4
). O valor de x x x x1 2 3 4
4
+ + + é:
A) 2 B)
7
8
C) 
7
2
 D) independente da reta.
E) NDA
06. Qual das sentenças seguintes não é verdadeira para a equação 
ix2 – x + 2i = 0, sendo i = −1?
A) A soma das raízes é 2.
B) O discriminante é 9.
C) As raízes são imaginárias.
D) As raízes podem ser encontradas usando a fórmula 
quadrática.
E) As raízes podem ser encontradas por fatoração, usando 
números imaginários.
07. Se a parábola y = ax2 + bx +c passa pelos pontos (–1, 12), (0, 
5) e (2, –3), então o valor de a + b + c é:
A) –4 B) –2
C) 0 D) 1
E) 2
08. (IME/2007) Sejam x
1
 e x
2
 as raízes da equação x2 + (m – 15)x + m 
= 0. Sabendo que x
1
 e x
2
 são números inteiros, determine o 
conjunto de valores possíveis para m.
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tC – matemátiCa
2
09. Se x =
+1 1996
2
 então 4x3 – 1999x – 1997 é igual a:
A) 0 B) 1
C) –1 D) 2
E) –2
10. (EUA) Para quais valores de K a equação x = K2(x – 1)(x – 2) 
tem raízes reais?
A) Nenhum 
B) –2 < K < 1
C) 
− < <2 2 2 2K 
D) K > 1 ou K < –2
E) Todos
11. (Romênia/2006) Encontre todos os números reais a e b 
satisfazendo 2(a2 + 1)(b2 + 1) = (a + 1)(b + 1)(ab + 1).
(Sugestão: Equação do 2º grau em a).
12. Suponha que a função f:  →  satisfaz f(xy) = xf(y) + yf(x) 
para todos x, y e . Podemos afirmar que:
A) f(1) = 0
B) f(1) = 1
C) f é uma função constante
D) f(4) = 2f(2)
E) NDA
13. Seja f: * →  a função definida por f x
sen
x
x
( ) .=




+
1
1 2
1
Mostre que 
 
 
existem números reais b
0
, b
1
, b
2
, ..., b
k
, ... tais que 
1 2
2 3
1
+



 = −
b
k
k f b( ) .
pi
14. (IME/2007) Seja f:  →  uma função tal que f k
n
nk
n
( ) ,= ⋅
+
+=
∑ 2008 1
20
 
 
onde  e o  são, respectivamente, o conjunto dos números 
naturais e o dos números reais. Determine o valor numérico 
de 
1
2006f( )
.
15. Seja f:  →  uma função satisfazendo f(n2) = f(n + m) f(n 
–m) + m2, "m, n ∈ . Então f(0) =
A) 0 B) 1
C) 0 ou 1 D) 4
E) NDA
16. Se f(x) = ax2 – c satisfaz –4 ≤ f(1) ≤ –1 e –1 ≤ f(2) ≤ 5, então
A) 7 ≤ f(3) ≤ 26 B) –1 ≤ f(3) ≤ 20
C) –4 ≤ f(3) ≤ 15 D) − ≤ ≤
28
3
3
35
3
f( )
E) 
8
3
3
13
3
≤ ≤f( )
17. I) Se n é um inteiro positivo tal que 2n + 1 é quadrado perfeito, 
mostre que n + 1 é a soma de dois quadrados perfeitos 
sucessivos.
 II) Se 3n + 1 é um quadrado perfeito, mostre que n + 1 é a 
soma de três quadrados.
18. Suponha que um número inteiro n é a soma de dois números 
triangulares n
a a b b
=
+
+
+2 2
2 2
. Mostre que 4n + 1 pode ser 
 
escrito como a soma de dois quadrados em termos de a e b.
19. Ache todos os inteiros positivos x, y tais que:
 y2 – x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 1
20. Para quantos inteiros positivos n entre 1 e 100 é possível 
fatorar x2 + x – n como produto de dois fatores lineares com 
coeficientes inteiros?
A) 0 B) 1
C) 2 D) 9
E) 10
21. Defina a operação “o” por xoy = 4x – 3y + xy, "x, y ∈ . Para 
quantos números reais y tem-se 3oy = 12?
A) 0 B) 1
C) 3 D) 4
E) mais que 4
22. (Latvian/1997) Quantos dígitos de n = + + + +9 99 999 99 9
2001
... ...���
são iguais a 1?
A) 1997 
B) 1998
C) 1999 
D) 2000
E) 2001
23. Seja n > 1 um inteiro. Prove que o número
11 144 4
2
... ...
n n
���� �� não 
é racional.
24. A) Se tg
α
2
 é um número racional (a ≠ kp, k ∈ ), prove que 
 
cosa e sena são números racionais.
 B) Reciprocamente, se cosa e sena são números racionais, 
prove que tg
α
2
 é um número racional.
25. Considere as afirmativas:
I. Entre dois números racionais sempre existe um outro 
número racional.
II. A soma de dois números irracionais é sempre irracional.
III. O produto de dois números irracionais é sempre irracional.
IV. Existe sempre um número racional entre dois números 
inteiros.
V. Existe sempre um número inteiro entre dois números 
racionais.
Conclua que:
A) 1 ,3, 4 são verdadeiras.
B) 1, 2, 3 são verdadeiras.
C) Somente 1 e 4 são verdadeiras.
D) Somente 2 e 4 são verdadeiras.
E) Somente 3 e 5 são falsas.
26. O número de soluções reais da equação:
 x x
x x
x
2
2
1 2
2 1
1
− + =
− +
−é:
A) 0 B) 1
C) 2 D) 3
E) maior que 3
27. Sendo |x| + x + y = 10 e x + |y| – y = 12, encontre x + y.
A) –2 B) 2
C) 
18
5
 D) 22
3
E) 22
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tC – matemátiCa
3
28. (ITA/2007) Sobre a equação na variável real x, |||x – 1| –3| –2| = 
0, podemos afirmar que:
A) ela não admite solução real.
B) a soma de todas as suas soluções é 6.
C) ela admite apenas soluções positivas.
D) a soma de todas as soluções é 4.
E) ela admite apenas duas soluções reais.
29. Qual é o produto das raízes da equação: 
 x x x x
2 218 30 2 18 45+ + = + + ?
A) 10 B) 20
C) 30 D) 40
E) NDA
30. Um número primo e positivo é formado por 2 algarismos 
não nulos. Se, entre esses algarismos, colocarmos um zero, o 
número ficará aumentado em 360 unidades. Dessa forma, a 
soma desses 2 algarismos pode ser:
A) 8 B) 7
C) 6 D) 9
E) 10
31. (EUA) No sistema de numeração de base 10, o número 526 
representa 5 10 2 10 62⋅ + ⋅ + . Em Terras Brasilis, entretanto, 
os números são escritos na base r. Wellington compra um 
automóvel lá por 440 unidades monetárias (abreviada por 
u.m.). Ele dá ao vendedor uma cédula de 1000u.m. e recebe 
de troco 340u.m. A base r é:
A) 2 B) 5
C) 7 D) 8
E) 12
32. (EUA) O número 695 é escrito no sistema de numeração de 
base fatorial, isto é, 695 = a
1
 + a
2
 ⋅ 2! + a
3
 ⋅ 3! + ...+a
n
 ⋅ n!, 
onde a
1
, a
2
, ..., a
n
 são inteiros tais que 0 ≤ a
k
 ≤ k, e n! representa 
n ⋅ (n – 1) ⋅ (n – 2) ⋅ ... ⋅ 2 ⋅ 1. Encontre a
4
.
A) 0 B) 1
C) 2 D) 3
E) 4
33. (EUA) O número 121
b
, escrito na base inteira b, é o quadrado 
de um inteiro para:
A) b = 10, apenas
B) b = 5 e b = 10, apenas
C) 2 ≤ b ≤ 10
D) b > 2
E) Nenhum valor de b
34. Se as igualdades a3 + b3 + c3 = a2 + b2 + c2 = a + b + c = 1 são 
satisfeitas, então abc =
A) 0 B) –1
C) 1 D) 26
E) NDA
35. O número de alunos prestando vestibular para o ITA era, em 
um dado ano, um quadrado perfeito. No ano seguinte, com 
um acréscimo de 100 participantes, o número de alunos 
passou a ser um quadrado perfeito mais 1. Um ano depois, 
com mais um acréscimo de 100 participantes, o número 
de alunos passa a ser novamente um quadrado perfeito. A 
quantidade inicial de alunos é um múltiplo de:
A) 3 
B) 7
C) 9 
D) 11
E) 17
36. São dados a, b, c ∈ . Sabe-se que a + b + c > 0, bc + ca + 
ab > 0 e abc > 0. Prove que a > 0, b > 0, c > 0.
37. Sejam a, b, c, d reais tais que a2 + b2 = c2 + d2 = 1, ac + bd = 
0. Calcular ab + cd.
38. Se x e y são reais tais que x x y y+ +( ) + +( ) =2 21 1 1, prove 
que x + y = 0.
39. (ITA/2007) Sendo c um número real a ser determinado, 
decomponha o polinômio 9x2 – 63x + c numa diferença de 
dois cubos (x + a)3 – (x + b)3. Neste caso, |a + |b| – c| é igual a:
A) 104 B) 114
C) 124 D) 134
E) 144
40. Para x e y números reais distintos, seja M(x, y) o maior 
número entre x e y e seja m(x, y) o menor número entre x e y. 
Se a < b < c < d < e, então M(M(a, m(b, c)), m(d, m(a, e))) =
A) a B) b
C) c D) d
E) e
41. (EUA) 
2 6
2 3 5+ +
 é igual a:
A) 2 3 5+ − B) 4 2 3− −
C) 2 3 6 5+ + − D) 2 5 3
2
+ −
E) 3 5 2
3
+ −
42. (EUA) O número de soluções distintas da equação:
 |x – | 2x + 1 || = 3 é:
A) 0 B) 1
C) 2 D) 3
E) 4
43. (EUA) O número de triplas (a, b, c) de inteiros positivos que 
satisfazem simultaneamente as equações:
 ab + bc = 44
 ac + bc = 23, é
A) 0 B) 1
C) 2 D) 3
E) 4
44. (EUA) Seja S a seguinte sentença: Se a soma dos dígitos do 
número inteiro n é divisível por 6, então n é divisível por 6.” 
Um valor de n que mostra que S é falsa é:
A) 30 
B) 33
C) 40 
D) 42
E) NDA
45. (EUA) Qual dos seguintes números está mais próximo de 
65 63− ?
A) 0,12 
B) 0,13
C) 0,14 
D) 0,15
E) 0,16
OSG.: 28351/10
tC – matemátiCa
4
46. Prove que a fração 
21 4
14 3
n
n
+
+
 é irredutível para todo número 
natural n.
47. Qual é o produto das raízes da equação 
 x x x x
2 218 30 2 18 45+ + = + + ?
A) 10 B) 20
C) 30 D) 40
E) NDA
48. Seja n um inteiro não negativo. O polinômio T
n
(x) é definido, 
para –1 ≤ x ≤ 1, por T
0
(x) = 1 e T
n
(x) = cos n (arccos x), n ≥ 1. 
Considere as afirmações sobre T
n
(x):
I. Seu grau é n;
II. Seu coeficiente líder é 2n;
III. T
4
(x) = 8x4 – 8x2 +1;
IV. A soma de seus coeficientes é 1.
Quantas são verdadeiras?
A) 0 B) 1
C) 2 D) 3
E) 4
49. O número de pares ordenados (x, y) com x, y ∈ Z, satisfazendo 
2x2 – 3xy – 2y2 = 7 é:
A) 0 B) 1
C) 2 D) 3
E) maior que 3
50. Quantos pares de números reais (a, b) existem tais 
que a função f(x) = ax + b satisfaz a desigualdade 
( ( )) cos ( ) , [ , ]?f x x f x sen x x2 2
1
4
0 2− ⋅ < ∀ ∈ pi
A) 0 B) 1
C) 2 D) 3
E) mais que 3
51. Dada a equação x ⋅ {x} + x = 2{x} + 10, sendo x a parte 
inteira de x e {x} a parte fracionária de x (0 ≤ {x} < 1):
A) mostra que ( x –1({x} + 1) = 9;
B) encontre todas as soluções dessa equação.
52. Analise as sentenças a seguir:
I. Existem exatamente 10 números naturais de 4 dígitos que 
são cubos perfeitos;
II. A soma dos cubos de três números inteiros positivos e 
consecutivos é divisível pelo número do meio e por 9;
III. O cubo de um número natural ou é múltiplo de 8 ou deixa 
resto 1 na divisão por 4;
IV. A soma dos quadrados de dois números ímpares 
consecutivos é um número par não múltiplo de 4.
Quantas são verdadeiras?
A) 0 B) 1
C) 2 D) 3
E) 4
53. Seja A = 77 ... 77 um número em que o dígito 7 aparece 1001 
vezes. Determine o quociente e o resto da dívisão de A por 
1001.
54. O conjunto solução da inequação x
x x x
4
4 3 2
1
3 2
0
−
− + −
< é:
A) (–∞, –1) ∪ (2, ∞)
B) (–∞, –1) ∪ (1, 2)
C) (–∞, –1) ∪ (0, 2)
D) (–∞, –1) ∪ (1, 2)
E) (–∞, –1) ∪ (–1, 0)
55. (ITA/2008) Dado o conjunto A x x x x= ∈ + <{ / },� 3 22 2 
expresse-o como união de intervalo da reta real.
56. a x b representa a operação sobre dois números a e b que 
seleciona o maior dos dois números, com a x a = a. Além disso, 
a + b representa a operação sobre dois números a e b que 
seleciona o menor dos dois números, com a + a = a. Qual das 
seguintes regras é(são) correta(s).
I. a x b = b x a
II. a x (b x c) = (a x b) x c
III. a + (b x c) = (a + b) x (a + c)
A) I apenas.
B) II apenas.
C) I e II apenas.
D) I e III apenas.
E) I, II e III.
57. Seja f(x) = x2 + 3x + 2 e S, o conjunto de inteiros {0, 1, 2, ..., 
25}. O número de elementos s de S tais que f(s) deixa resto 0 
(zero) na divisão por 6 é:
A) 25 B) 22
C) 21 D) 18
E) 17
58. Se p é um inteiro positivo, então 
3 25
2 5
p
p
+
−
 pode ser um inteiro 
 
positivo, se e somente se, p é:
A) pelo menos 3.
B) pelo menos 3 e não mais que 35.
C) não mais que 35.
D) igual a 35.
E) igual a 3 ou 35.
59. Calcule a soma dos valores inteiros positivos de n de modo 
que n
n
+
+
26
2
 seja um inteiro.
A) 20 B) 22
C) 43 D) 45
E) 52
60. (Cone Sul) Existem números inteiros ímpares a
1
, a
2
, ..., a
2010 
tais que ia ai
i
4
2010
4
1
2009
2010= ⋅
=
∑ ?
61. (Baltijos Kelias) Denote por d(n) quantidade de todos os 
divisores positivos de um inteiro positivo n (incluindo 1 e n). 
Prove que existem infinitos n tais que 
n
d n( )
 é um inteiro 
positivo.
62. A expressão 2n + 1 é o quadrado de um inteiro para exatamente 
quantos números naturais n?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) mais de 3
63. Os algarismos a, b e c são tais que os números de dois algarismos 
aa bc e cd, são números primos e aa bc cd aa+ + =
2
. Se b < c, 
então bc é igual a:
A) 19 B) 17
C) 37 D) 29
E) 59
OSG.: 28351/10
tC – matemátiCa
5
64. O crescimento da quantidade de coelhos do professor Fabrício 
Maia obedece, mês a mês, a sequência de Fibonacci, isto é, 
ao final do primeiro mês ele tinha c
1
 = 2 coelhos, ao finaldo segundo, c
2
 = 3 coelhos e, a partir do terceiro mês, para 
desespero do professor Fabrício, o número de coelhos ao final 
do n-ésimo mês satisfazia c
n
 = c
n
 
– 1
 + c
n – 2
, n ≥ 3. Se após um 
ano e meio ele tinha 6.765 coelhos e nos dois meses seguintes 
nasceu um total de 10.946 coelhos, quantos comedores de 
cenoura o professor Fabrício possuía ao final do 20º mês?
A) 17.711 B) 10.946
C) 6.766 D) 5.473
E) n.d.a.
65. (OBM) Qual é a quantidade total de letras de todas as respostas 
incorretas desta questão?
A) quarenta e oito.
B) quarenta e nove.
C) cinquenta.
D) cinquenta e um.
E) cinquenta e quatro.
66. Quantos inteiros positivos N de três dígitos existem tais que 
N e a soma de seus dígitos são divisíveis por 11?
A) 0 
B) 1
C) 2 
D) 3
E) mais de 3
67. O valor da soma S = 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + ... + 2008 ⋅ 2009 é:
A) 2008 2009 2010
3
⋅ ⋅ B) 
2008 2009 2010
6
⋅ ⋅
C) 
2007 2008 2009
3
⋅ ⋅
 D) 
2008 2009 2010
6
⋅ ⋅
E) n.d.a.
68. Dada a sequência de equações x
1
 + 1 = 1, x
2
 + 2 = 4, x
3
 + 3 = 
9, ..., x
n
 + n = n2, calcule o valor de x
1
 + x
2
 + x
3
 + ... + x
n
.
A) 
n2 1
3
−
B) 
n n( )2 1
3
−
C) n
2 1
3
+
D) 
n n( )2 1
3
+
E) n.d.a
69. (EUA) Seja N = 21002 + 20992 – 20982 – 20972 + 20962 + ... + 20042 
+ 20032 – 20022 – 20012, com somas e subtrações alternando-se 
em pares. O resto de N na divisão por 1000 é:
A) 0
B) 100
C) 200
D) 300
E) 400
70. Se x12 + 2x6 (1 – 2y2) + 1 = 0 e x ∈ r, então:
A) x < 1
B) x ≤ –2
C) y ∉ r
D) x6 – 2x3y + 1 = 0
E) n.d.a.
71. Encontre todos os a reais tais que a4 + b4 + 2aa2b2 ≥ (a + 1) 
(a3b + ab3), sempre que a e b são reais.
 Sugestão: Mostre que a desigualdade dada é equivalente a 
(a – b)2 (a2 + ab – aab + b2) ≥ 0.
72. (OBM) O maior inteiro que não supera 
3 2
3 2
2010 2010
2008 2008
+
+
 é 
 
igual a:
A) 4 B) 6
C) 7 D) 8
E) 9
73. Sejam a, b, c, d inteiros distintos tais que a equação (x – a) 
(x – b) (x – c) (x – d) – 4 = 0 tem uma raiz inteira r. Então,
A) 4r = a + b + c + d B) r = a + b + c + d
C) a + b + c + d = 0 D) r = 0
E) n.d.a.
74. Quantas soluções x, y, z inteiras a equação 3x2 + y2 + z2 = 
2x(y + z) possui?
A) 0 B) 1
D) 2 C) 3
E) mais de 3
75. Sejam x, y, z números naturais. Se x é um número primo e 
x2 + y2 = z2, então y é igual a:
A) x
2 1
2
− B) 
x2 1
2
+
C) x D) x2 – 1
E) x2 + 1
76. Seja p um número primo ímpar dado. Quantos valores de k 
inteiro positivo existem tais que k pk
2
− é também um inteiro 
positivo?
A) 0 
B) 1
C) 2 
D) 3
E) mais de 3
77. Para quais valores de a as duas raízes de x2 – ax + 2 = 0 
pertencem ao intervalo [0; 3]?
78. Sendo l um parâmetro real, –1 ≤ l ≤ 1, resolva a inequação 
quadrática x2 – lx + 1 < 0.
79. Determine todas as soluções reais da inequação 
x3 – 2x2 – 4 x+ 3 < 0.
80. Resolva em R o sistema de equações 
x y z
x y
yz
+ + =
= −
=



6
2
3
. 
81. São dados os números reais a
1
, a
2
. Se a desigualdade 
x2 – (a
1
 + a
2
) x + a
1
 ⋅ a
2
 > 0 tem como conjunto solução R – {a}, 
a ≠ 0, então 
α
a a1 2+
 é igual a:
A) 2 B) 
1
2
C) 3 D) 
1
3
E) 1
OSG.: 28351/10
tC – matemátiCa
6
82. (EUA) Defina n
a
! para n e a positivos como n
a
! = n(n – a)(n – 2a)
(n – 3a) ... (n – ka), sendo k o maior inteiro para o qual n > ka. 
 
Então o quociente 
72
18
8
2
!
!
 é igual a:
A) 45 B) 46
C) 48 D) 49
E) 412
83. O número de soluções reais distintas da equação x x3 3 7 3+ − = 
é igual a:
A) 0 B) 1
C) 2 D) 3
E) 4
84. Se x é um número satisfazendo x x+ − − =9 9 33 3 , então x2 
está entre:
A) 55 e 65 
B) 65 e 75
C) 75 e 85 
D) 85 e 95
E) 95 e 105
85. Considere as afirmações:
I. A função f associa a cada real x o menor elemento do 
conjunto x
x
+
−
1
15
2
, . O valor máximo de f(x) é 
16
3
;
II. Existe apenas um valor real de x que satisfaz a inequação 
x
x
+ ≤1 2;
III. A soma das raízes reais de x3 + 3x2 + 3x – 1 = 0 é –3;
IV. Há exatamente 20 valores inteiros de x para os quais x
x
+
+
99
19
 
também é um número inteiro.
Quantas são verdadeiras:
A) 0 B) 1
C) 2 D) 3
E) 4
86. Considere o polinômio quadrático P(x) = ax2 – bx + c, abc ≠ 0,. 
Se uma de suas raízes está no intervalo de (–2; –1) e a outra 
no intervalo (2; 3), analise as seguintes sentenças e marque o 
item correto.
I. P(0) < 0
II. abc < 0
III. P P( )1
1
2
0⋅ −



 > 
A) VVV B) VFV
C) VFF D) FVV
E) FFV
87. Considere a expressão matemática f x
x
x
( ) =
+
2
6
 tal que f(a) = 
 
b, {a, b} ⊂ Z. Indique o número de valores diferentes que a 
pode assumir.
A) 18 B) 20
C) 28 D) 36
E) 40
88. O valor mínimo da função real e de variável real dada por 
f(x) = x + 3 + x – 2 + x – 4 é:
A) 0 B) 1
C) 2 D) 4
E) 7
89. Qual é a soma das soluções da equação: 
 x + 3– x – 2– x – 1= 0 ?
A) 6 B) 8
C) 10 D) –14
E) 0
90. Considere os conjuntos A = {x – 1∈ r /x2 < 1}, 
B = {x∈ z / x2 < 1}, C = {x∈ z /|x| > x}, então A – (B ∪ C) é o 
conjunto:
A) ∅ B) (1; 2)
C) (–2; 0) – {1} D) (–2; 0) – {–1}
E) (–1; 1)
91. Se a soma das soluções inteiras da inequação (x – n) (x – n – 3) 
(x – n – 6) (x – n – 9) (x – n – 12) (x – n – 15) < 0 é 39, indique 
o valor inteiro de n.
A) 5 B) 1
C) –2 D) –1
E) 3
92. Determine a quantidade de pares ordenados de números reais 
que verificam a equação 5x2 – 2xy + 2y2 – 2x – 2y + 1 = 0.
A) 0 B) 1
C) 2 D) 3
E) mais de 3
93. (China-Adaptado) Seja n um número inteiro positivo e d(n), 
a quantidade de divisores positivos de n. Encontre todos 
os inteiros c não negativos tais que existe n satisfazendo 
d(n) + j(n) = n + c, sendo j a função de Euler.
94. (IME/2010) Sejam r, s, t e v números inteiros positivos tais que 
r
s
t
v
< . Considere as seguintes relações:
I. r s
s
t v
v
+( )
<
+( )
II. 
r
r s
t
t v+( ) < +( )
III. r
s
r t
s v
<
+( )
+( )
IV. r t
s
r t
v
+( )
<
+( )
 O número total de relações que estão corretas é:
A) 0 B) 1
C) 2 D) 3
E) 4
Gabarito – Exercícios de Fixação
Revisão de Álgebra
01 02 03 04 05 06
* * * * * *
07 08 09 10 11
* * * * *
* 01: a = b = c = 0; a = 1, b = –2, c = 0; a = 1, b = c = –1
 02: f(x) = x + 1
 03: 1 5
2
+
 04: a) 72,2 b) 3
 05: x ∈ , x ≠ 6k + 1
 06: 1456
 07: 
1
1
1
1
2101
−
−
a
a
 08: 84
 09: 153846
 10: I. 2k–2 ⋅ 5k, k ≥ 2
 11: (–∞, 0] ∪ {1}
OSG.: 28351/10
tC – matemátiCa
7
* 01: Demonstração
 02: Demonstração
 03: 2 ou –1
 08: {0, 7, 9, 25, 27, 34}
 11: a = b = 1
 13: Demonstração
 14: 2007
 17: Demonstração
 18: Demonstração
 19: y = x(x + 3) + 1
 23: Demonstração
 24: Demonstração
 36: Demonstração
 38: Demonstração
 46: 
 51: B) 6, 8; 7, 5; 
58
7
; 9, 125; 10
 53: q = 777 ⋅ A ⋅ 105 ⋅ 77, sendo A = 1000001000001...1 (com 
166 1’s) e r = 700
 55: ( ; ) ; ( , )−∞ − ∪ − −



 ∪ + ∞1 1
2
3
2
Gabarito – Exercícios Propostos
01 02 03 04 05 06 07
– – * C D A C
08 09 10 11 12 13 14
* E E * A – *
15 16 17 18 19 20 21
A B – – * D E
22 23 24 25 26 27 28
B – – C C C D
29 30 31 32 33 34 35
B B D D D A B
36 37 38 39 40 41 42
– 0 – B B A C
43 44 45 46 47 48 49
C B B – B E C
50 51 52 53 54 55 56
A * C * A * C
78 79 80 81 82 83 84
∅ * * B D E C
64 65 66 67 68 69 70
A D B A B B A
92 93 94
B * D
57 58 59 60 61 62 63
E B D * * B C
85 86 87 88 89 90 91
D E A E A D B
71 72 73 74 75 76 77
* D A B A B *
 60: Não
 61: np
k
−1, p primo
 71: –3 ≤ a ≤ 1 
 77: 2 2
11
3
≤ ≤a
 79: −
−


 ∪
−



3
1 5
2
5 1
2
3, ,
 80: {(2, –1, –3), (–2, –1, –3)}
 93: c = 0 ou 1
Anotações
FM – 13/02/10
Rev.: MA
OSG.: 28351/10
tC – matemátiCa
8