Matemática Curso Anglo n2 aulas13a15

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AULA 13 
1. Sendo a ≠ 0, b e c números reais, tais que 4a + 2b + c = 0 e a + 2b + 4c = 0, então a equação ax2 + bx + c = 0:
a) possui raízes reais r e s, com r ⋅ s � 0;
b) possui raízes simétricas;
c) possui raízes recíprocas;
d) possui raízes inteiras;
e) não possui raízes reais.
2. (XXIX OBM) As equações do 2º- grau 2007x2 + 2008x + 1 = 0 e x2 + 2008x + 2007 = 0 têm uma raiz comum. Qual é
o valor do produto das duas raízes que não são comuns?
a) 0
b) 1
c) 2007
d) 2008
e) 2007
3. Se a ⋅ c ≠ 0, ∆ = b2 – 4ac, ∆ � 0, então, na equação ax2 + bx + c = 0, temos x igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
• São dados os números reais a, b e c e a equação ax2 + bx + c = 0. Sendo ∆ = b2 – 4ac, temos que, se ∆ � 0, então
• Sendo r e s as raízes reais da equação ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), temos que o trinômio ax2 + bx + c é fatorável em IR e
ax2 + bx + c = a(x – r)(x – s)
 
x
b
a
=
− ± ∆
2
RelacionadosConceitos
2c
b− ± ∆
4a
b− ± ∆
2a
b− ± ∆
− ±b
ac
∆
− ±b
c
∆
2
ClasseEm
SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 1 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática
2008
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2008
N • Í • V • E • L 2
Treinamento para
Olimpíadas de
Matemática
SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 2 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática
1. (XXV OBM) A maior raiz da equação (x – 37)2 – 169 = 0 é:
a) 39 d) 50
b) 43 e) 53
c) 47
2. (XXIII OBM) A soma dos valores reais de x tais que é:
a) 13 d) –2
b) 6 e) –6
c) –1
3. (XXIV OBM) Uma usina comprou 2000 litros de leite puro e então retirou certo volume V de leite para produção de
iogurte e substituiu este volume por água. Em seguida, retirou novamente o mesmo volume V da mistura e substi-
tuiu novamente este volume por água. Na mistura final existem 1125 litros de leite puro. O volume V é: 
a) 500 litros d) 800 litros
b) 600 litros e) 875 litros
c) 700 litros
4. (XXI OBM) A diferença entre a maior raiz e a menor raiz da equação (2x – 45)2 – (x – 21)2 = 0 é:
a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
c) 4
5. (XXI OBM) Sendo a ≠ b e b ≠ 0, sabe-se que as raízes da equação x2 + ax + b = 0 são exatamente a e b. Então, a – b
é igual a:
a) 0 d) 3
b) 1 e) 4
c) 2
AULA 14 
1. (XXVIII OBM) Quantos ternos de números reais x, y, z satisfazem o sistema abaixo?
a) Nenhum d) 3
b) 1 e) 2006
c) 2
2. (XXIX OBM) Sejam a, b, c e k números reais diferentes de zero satisfazendo as relações .
Qual é o número de possíveis valores que k pode assumir?
a) 0 d) 3
b) 1 e) 4
c) 2
3. Sendo r e s as raízes da equação x2 – bx + c = 0, então r3 + s3 vale:
a) b2 – 2bc d) b3 + 3bc
b) b3 – 3bc e) b2 – 4ac
c) b2 + 2bc
k
a
b c
b
c a
c
a b
=
+
=
+
=
+
x(x + y + z) = 2005
y(x + y +z) = 2006
z(x + y + z) = 2007

ClasseEm
x x
x x
2
2
1
156
+ + =
+
CasaEm
2008
• Sendo r e s as raízes da equação ax2 + bx + c = 0, temos que:
⇒
⇒
1. (XXVIII OBM) O número de soluções inteiras e positivas do sistema abaixo é:
a) 45 d) 25
b) 23 e) 72
c) 24
2. Se , então é sempre verdade que
a) d)
b) e)
c)
3. (XXIX OBM) A fração , onde a e b são inteiros positivos, representa um número entre 0 e 1, na posição indicada
no desenho ao lado.
Qual é um possível valor para a soma a + b?
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
4. (XXIX OBM) Em uma certa cidade, a razão entre o número de homens e mulheres é 2 : 3 e entre o número de mu-
lheres e crianças é 8 : 1. A razão entre o número de adultos e crianças é:
a) 5 : 1 d) 40 : 3
b) 16 : 1 e) 13 : 1
c) 12 : 1
AULA 15
1. (XXVII OBM) As letras O, B e M representam números inteiros. Se O × B × M = 240, O × B + M = 46 e O + B × M = 64,
quanto vale O + B + M?
a) 19 d) 24
b) 20 e) 36
c) 21
ClasseEm
a
b
a
b
a c
b d
=
+
+
a
b
a d
b c
=
+
+
a
b
a c
d
=
+
a
b
c b
d a
=
−
−
a
b
c
d
=
+
+
1
1
a
b
c
d
=
a + b = c2
a + b + c = 30

CasaEm
 
r s
c
a
⋅ =
r s
b
a
+ =
−
RelacionadosConceitos
SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 3 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática
2008
0 1
a
b
SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 4 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática
2. (XXVII OBM) Os inteiros positivos x e y satisfazem a equação 
Qual das alternativas apresenta um possível valor de y?
a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
c) 7
3. Em um paralelepípedo reto retângulo, as áreas de três faces distintas valem 6m2, 12m2 e 8m2. Então, o volume desse
paralelepípedo, em m3, vale:
a) 12 d) 24
b) 15 e) 30
c) 21
Sistemas de equações são muito úteis na resolução de problemas. Os métodos mais comuns para resolução de
sistemas são o método da substituição e o método da adição.
Exemplo Resolvido
(Unicamp-SP) Resolva o sistema linear abaixo:
Uma solução possível:
Somando as equações dadas, temos 5x + 5y + 5z + 5w = 10, que é equivalente a x + y + z + w = 2. Subtraindo
essa equação de cada uma das equações dadas, obtemos x = –1, y = 0, z = 1 e z = 2.
1. (XXIX OBM) Qual é o máximo valor que o número a(b + c) – b(a + c) pode assumir se a, b e c, são inteiros satisfa-
zendo 1 � a � 10, 1 � b � 10 e 1 � c � 10?
a) 80 d) 90
b) 81 e) 100
c) 84
2. (XXIV OBM) Se xy = 2 e x2 + y2 = 5, então vale:
a) d)
b)
e) 1
c)
3. Considere um retângulo ABCD e os pontos E no lado AB, F no lado BC, G no lado CD e H no lado AD, de modo
que os segmentos EG e FH se cruzem em J e dividam o retângulo ABCD em quatro retângulos. Sabendo que as
área do retângulo EBFJ vale 8, a área de JFCG vale 10 e a área do retângulo JGDH valem 5, determine a área do
retângulo AEJH.
5
4
25
4
1
2
5
2
x
y
y
x
2
2
2
2
2+ +
CasaEm
2x + y + z + w = 1
x + 2y + z + w = 2
x + y + 2z + w = 3
x + y + z + 2w = 4

RelacionadosConceitos
x y x y+ − − =
1
2
1
2
1.
2008