Matemática Pré Vestibular Impacto Determinantes Conceito e Resolução Ordem 1 2 e 3

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KL 010408
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determinantes (Conceitos e Resolução: Ordem 1, 2 e 3)
FAÇO IMPACTO - A CERTEZA DE VENCER!!!
 
PROFº: PIMENTEL 
Fa
le
 c
on
os
co
 w
w
w
.p
or
ta
lim
pa
ct
o.
co
m
.b
r 
VE
ST
IB
UL
AR
 –
 2
00
9 
 
 
CONTEÚDO 
A Certeza de Vencer 
04
4 
 
DETERMINANTE: 
É todo número gerado pela diferença entre o produto 
das diagonais. 
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
nn3n2n1n
n3333231
n2232221
n1131211
a...aaa
a...aaa
a...aaa
a...aaa
A 
 
O Determinante de uma Matriz A pode ser denotado por 
detA. 
 
Cálculo dos Determinantes 
1º caso: 
 
Determinante de 1ª Ordem 
A = (a11) 
detA = a11 
 
2º caso 
Determinante de 2ª Ordem 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
2221
1211
aa
aa
A 
 
¾ REGRA DE CRAMMER: O determinante de uma matriz 
quadrada de ordem 2 é dado pela diferença entre o 
produto dos elementos da diagonal principal e o produto 
dos elementos da diagonal secundária. 
 
det ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
2221
1211
aa
aa
A 
 
 
 
Exemplo: 
1. Calcule o valor dos determinantes das matrizes abaixo: 
 
a) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
54
26
A b) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=
xsenxcos
xcosxsen
B 
 
3º caso 
Determinante de 3ª Ordem 
 
¾ Regra de Sarrus: Essa regra só é valida para 
determinantes de ordem 3. 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A 
 
 
 
Exemplo: 
1. Calcule o determinante da matriz abaixo: 
a) 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−=
420
123
121
A 
 
¾ Menor Complementar: Chama-se menor 
complementar de uma matriz A de ordem n ≥ 2 de um 
elemento aij, ao valor ∆ij, correspondente ao determinante 
da Matriz que se obtém eliminando a linha i e a coluna j 
onde se encontra o elemento aij. 
 
 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A 
 
O menor complementar 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=∆
3232
2322
11 aa
aa
 ∆11 = a22 . a32 - a23 . a32 
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=∆
2321
1311
32 aa
aa
 ∆11 = a11 . a23 - a13 . a21 
 
Exemplo: 
1. Dada a matriz 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−=
341
423
312
A , calcule: 
a) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=∆
41
23
13 b) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=∆ 34
31
21 
 
 ∆13 = 12 - ( -2) ∆21 = -3 - 12 
 ∆13 = 14 ∆21 = -15 
 
¾ Cofator ou complementar algébrico: Chama-se 
cofator do elemento aij de uma matriz A de ordem n ≥ 2, 
ao elemento Aij que se obtém multiplicando o fator (-1)i + j 
pelo menor complementar ∆ij. 
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
nn3n2n1n
n3333231
n2232221
n1131211
a...aaa
a...aaa
a...aaa
a...aaa
A
MMMM
 
 
Aij = (-1)i + j . ∆ij 
 
A11 = (-1)1 + 1 . ∆11 A23 = (-1)2 + 3 . ∆23 
A11 = ∆11 A23 = -∆23 
 
¾ Regra de Laplace: Seja uma matriz A de ordem n ≥ 2, 
o determinante da matriz A é dado pela soma do produto 
de uma de suas filas pelos seus respectivos cofatores. 
 
21122211 aaaaA ⋅−⋅=det
 
 
 FAÇO IMPACTO – A CERTEZA DE VENCER!!!
Fa
le
 c
on
os
co
 w
w
w
.p
or
ta
lim
pa
ct
o.
co
m
.b
r 
VE
ST
IB
UL
AR
 – 
20
09
 
 
 
 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A 
 
detA = a11 . A11 + a12 . A12 + a13 . A13 
detA = a11.(-1)1+1.∆11 + a12.(-1)1+2 . ∆12 + a13.(-1)1+3.∆13 
detA = a11 . ∆11 - a12 . ∆12 + a13 . ∆13 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
3331
2321
12
3332
2322
11 aa
aa
.a
aa
aa
.aAdet + ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
3231
2221
13 aa
aa
.a 
Exemplo: 
1. Calcule o determinante das matrizes abaixo: 
 
a) 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−=
113
241
231
A 
 
detA = a11 . A11 + a12 . A12 + a13 . A13 
detA = a11.(-1)1+1.∆11 + a12.(-1)1 + 2.∆12 + a13.(-1)1 + 3 . ∆13 
detA = a11 . ∆11 - a12 . ∆12 + a13 . ∆13 
 
detA = 1. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −
11
24 − 3. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −
13
21
+ 2. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
13
41
 
 
detA = 4 − (−2) − 3.[1 − (−6)] + 2.(1 − 12) 
detA = 4 + 2 − 3.7 + 2.( −10) 
detA = 6 − 21 − 22 
detA = −37 
 
b) 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−=
231
113
231
B 
 
¾ PROPRIEDADES DE DETERMINANTES: 
P1 - Se uma fila de uma matriz (linha ou coluna) for nula, 
então seu determinante é igual a zero. 
0Adet
112
000
431
A =∴
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
= 
Exemplo: 
Determine o valor de x na equação: 
0
1204
6303
5101
124x2 2
=
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
 
 
P2 - Se duas fileiras, horizontais ou verticais, de uma 
matriz forem iguais ou proporcionais, então seu 
determinante é nulo. 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
231
142
231
A 
 
 
P3 - Permutando-se duas linhas ou duas colunas de uma 
matriz, o seu determinante muda de sinal. 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
34
12
A 
 
Permuta 1ª linha com a 2ª linha 
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
12
34
B 
 
P4 - Se os elementos que estão acima e/ou abaixo da 
diagonal principal forem nulos, então o determinante é 
dado pelo produto dos elementos da diagonal principal. 
 
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
2123
0401
0032
0001
A 
 
P5 - Fazendo a combinação linear de duas linhas ou duas 
colunas de uma matriz, seu determinante não altera. 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
41
23
A 
 
1ª linha menos a 2ª linha 
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
41
22
B 
 
P6 - Multiplicando-se uma fila de uma matriz por uma 
constante, então o determinante dessa matriz fica 
multiplicado por essa constante. 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
83
21
A 
 
multiplicar a 1ª linha por 2: 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
83
42
B 
 
P7- Multiplicando-se uma Matriz quadrada por uma 
constante k, seu determinante obedece a seguinte 
relação: 
det(k.A) = kn . detA, ⎩⎨
⎧
⇒
⇒
Amatrazdaordemn
tetanconsk
 
 
P8- detAt = detA 
 
P9- det(A.B) = detA . detB 
P10- Adet
1Adet 1 =− ⇒ detA . detA−1 = 1 
 
 
Obs.: Uma matriz só admite inversa, quando seu 
determinante for diferente de zero. 
1ªL = 3ªL 
detA = 0 
detA = 6 
− 4 
detB = 4 − 6 
detB = −2 
detB = − detA 
detA = 1 . 3 . 4 . 
2 
detA = 24 
detA = 12 − 2 
detA = 10 
detB = 8 − (−2) 
detB = 10 
detB = detA 
detA = 8 − 6 
detA = 2 
detB = 16 − 12 
detA = 4