Volume e princípio de Cavalieri

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COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Exercícios de Geometria Espacial. 
Volume e princípio de Cavalieri. 
 
QUESTÃO 1 
A esfera , de centro 0 e raio R > 0, é tangente ao 
plano . O plano é paralelo a e contém 0. 
Nessas condições, o volume da pirâmide que tem 
como base um hexágono regular inscrito na 
intersecção de com e, como vértice, um ponto 
em , é igual a 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
QUESTÃO 2 
Uma piscina tem o formato de um prisma hexagonal 
regular reto com profundidade igual a . 
Cada lado do hexágono mede 2 m. O volume de 
água necessário para encher 80% do volume da 
piscina é igual a: 
 
A. 6,9 m
3 
B. 7 m
3 
C. 7,1 m
3 
D. 7,2 m
3 
E. 7,3 m
3 
QUESTÃO 3 
 
 
Desde a Antiguidade, a humanidade tem inventado 
vários mecanismos para medir o tempo. Clepsidras 
são relógios que utilizam água para o seu 
funcionamento. Apesar dos vários modelos e 
estruturas, o princípio básico é a transferência de 
água de um recipiente para outro. A figura ilustra 
uma clepsidra romana que emprega um cone 
circular reto K e um cilindro circular reto C. 
Sabendo-se que K e C possuem bases circulares 
congruentes e que o volume de C é dez vezes o 
volume de K, pode-se afirmar que a razão entre a 
altura do cilindro e a altura do cone é igual a: 
 
(A) 
 
(B) 10 
 
(C) 3 
 
(D) 
 
(E) 
QUESTÃO 4 
Considere o prisma reto ABCDEFGH de altura 2h e 
bases quadradas ABCD e EFGH de arestas a. 
Retire desse prisma o octaedro MNPQRS onde M e 
S são os centros das bases e N, P, Q e R são os 
pontos médios das arestas AE, BF, CG e DH, 
respectivamente. O volume do sólido restante é: 
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a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
QUESTÃO 5 
Duas boias de isopor, B1 e B2 , esféricas e 
homogêneas, flutuam em uma piscina. Seus 
volumes submersos correspondem, 
respectivamente, a V1 e V2 , e seus raios obedecem 
à relação R1 = 2R2. 
A razão entre os volumes submersos é dada 
por: 
(A) 2 
(B) 3 
(C) 4 
(D) 8 
 
QUESTÃO 6 
Nas ilustrações a seguir, estão representados três 
sólidos de bases circulares, todos com raios iguais e 
mesma altura. Considere as medidas dos raios 
iguais às medidas das alturas, em centímetros. 
 
 
 
As massas específicas de quatro substâncias, três 
das quais foram empregadas na construção desses 
sólidos, estão indicadas na tabela: 
 
substâncias massa específica 
(g∙cm
-3
) 
w 2 
x 3 
y 4 
z 6 
 
Admita que os sólidos tenham a mesma massa e 
que cada um tenha sido construído com apenas 
uma dessas substâncias. 
De acordo com esses dados, o cone circular reto foi 
construído com a seguinte substância: 
 
(A) w 
(B) x 
(C) y 
(D) z 
QUESTÃO 7 
A cisterna de uma indústria tem a forma de um 
paralelepípedo retângulo com dimensões internas 
de 8 m de comprimento, 6 m de largura e 5 m de 
altura. Ela está vazia e será abastecida por uma 
torneira que tem uma vazão de 4 m
3
 por hora. Qual 
é a função h(t) que expressa, em metros, o nível de 
água no tanque, t horas após a abertura da 
torneira? 
 
A) 240t 
B) 48 – 4t 
C) 
D) 
E) 48 + 5t 
QUESTÃO 8 
A pirâmide a seguir foi construída com cubos 
maciços de mesmas dimensões. 
 
 
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Considerando-se que, na construção da pirâmide 
não foram deixados espaços vazios em seu interior 
e que o volume de cada cubo é 1m
3
, pode-se 
afirmar que o volume total e a altura desta pirâmide 
são, respectivamente: 
 
(A) 5 m
3
 e 1 m 
(B) 25 m
3
 e 5 m 
(C) 125 m
3
 e 25 m 
(D) 165 m
3
 e 5 m 
(E) 625 m
3
 e 25 m 
QUESTÃO 9 
As dimensões de uma piscina que tem 1,5 m de 
profundidade estão indicadas na figura a seguir. A 
quantidade de litros de água necessária para encher 
completamente essa piscina é de 
 
 
 
a) 11.400. 
b) 114.000. 
c) 1.140.000. 
d) 11.400.000. 
QUESTÃO 10 
Considere uma caixa de vidro, fechada, com 
formato de paralelepípedo, de dimensões internas 
20 cm, 20 cm e 50 cm. Observa-se que a água 
existente no interior dessa caixa atinge a altura de 
16 cm, quando uma face não quadrada está no 
plano horizontal. Com base nesses dados, analise 
as afirmativas a seguir: 
 
I. A área total do interior da caixa é igual a 4.800 
cm
2
. 
II. O volume de água no interior da caixa é de 16 
litros. 
III. Se for alterada a posição da caixa, de modo que 
uma face quadrada fique no plano horizontal, então 
a altura do líquido será de 40 cm. 
IV. A caixa de vidro tem a mesma capacidade de 
uma lata cilíndrica, com raio da base de 10 cm e 
altura de 50 cm, considerando = 3. 
 
Somente está CORRETO o que se afirma em 
 
A) I e II. 
B) II e III. 
C) III e IV. 
D) II, III e IV. 
E) I, II e III. 
QUESTÃO 11 
Leia o texto a seguir. 
Interceptando-se o cubo lifang com um plano que 
contém a diagonal de duas faces opostas, este fica 
dividido em dois prismas congruentes chamados 
qiandu. 
 
 
 
Interceptando-se o prisma qiandu com o plano 
determinado pela diagonal de uma face quadrada e 
a diagonal da face retangular, obtem-se as 
pirâmides yangma e a bienuan. 
 
 
 
Finalmente, interceptando-se a pirâmide yangma 
com um plano que contém a diagonal da base e o 
vértice que não pertence à base, obtem-se dois 
bienuan. 
 
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GASPAR, M. T.; MAURO, S. Explorando a 
geometria através da história da Matemática e da 
Etnomatemática. Rio Claro: Sociedade Brasileira de 
História da Matemática, 2003. 
 
As instruções apresentadas estão contidas no livro 
intitulado Jiuzhang Suanshu (Os nove capítulos 
sobre a arte matemática), representativo da 
matemática chinesa produzida no período de 1.027 
a.C. a 220 d.C. Elas indicam como obter outros 
sólidos elementares, a partir do lifang. 
 
Considerando-se que o lifang apresentado no texto 
tem aresta a, o volume do bienuan é: 
 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 12 
Na ilustração a seguir, temos um paralelepípedo 
retângulo e são conhecidos os ângulos que duas 
das diagonais de duas faces adjacentes formam 
com arestas da base e o comprimento da diagonal 
da face superior, como estão indicados na figura. 
Qual o volume do paralelepípedo? 
 
A) 23 cm
3 
B) 24 cm
3 
C) 25 cm
3 
D) 26 cm
3 
E) 27 cm
3 
QUESTÃO 13 
O sistema de tratamento da rede de esgoto do 
bairro de Icaraí, em Niterói, tem a capacidade de 
processar 985 litros de esgoto por segundo, ou seja, 
0,985 metros cúbicos de esgoto por segundo. 
 
Fonte: 
<http://www.aguasdeniteroi.com.br/publique/cgi/cgilu
a.exe/sys/start.htm?sid=87>. 
 
Sendo T o tempo necessário para que esse sistema 
de tratamento processe o volume de esgoto 
correspondente ao volume de uma piscina olímpica 
de 50 metros de comprimento, 25 metros de largura 
e 2 metros de profundidade, é correto afirmar que o 
valor de T está mais próximo de 
(A) 3 segundos. 
(B) 4 minutos. 
(C) hora. 
(D) 40 minutos. 
(E) 1 dia. 
QUESTÃO 14 
Observe o dado mostrado a seguir, formado a partir 
de um cubo, e com suas seis faces numeradas de 1 
a 6. 
 
 
 
Esses números são representados por buracos 
deixados por semiesferas idênticas retiradas de 
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cada 
uma das faces. Todo o materialretirado equivale a 
4,2% do volume total do cubo. 
Considerando = 3, a razão entre a medida da 
aresta do cubo e a do raio de uma das semiesferas, 
expressas na mesma unidade, é igual a: 
(A) 6 
(B) 8 
(C) 9 
(D) 10 
QUESTÃO 15 
Um cilindro circular reto contém em seu interior um 
cone circular reto cuja medida do raio da base é a 
metade da medida do raio da base do cilindro. Se o 
cone e o cilindro têm a mesma altura então a razão 
entre o volume do cilindro e o volume do cone é 
 
A) 18. 
B) 12. 
C) 6. 
D) 2. 
QUESTÃO 16 
Um cubo de aresta 12 cm é seccionado duas vezes, 
formando três prismas de bases triangulares, sendo 
dois deles congruentes, como mostra a figura 1. Em 
seguida, o cubo é novamente seccionado, como 
indicam as linhas tracejadas na figura 2, de modo 
que os dois cortes feitos dividem o cubo original em 
três prismas de bases triangulares, sendo dois deles 
congruentes, como no primeiro caso. Ao final de 
todas as secções, o cubo foi dividido em nove 
peças. 
 
 
O volume da peça final que contém o vértice P, em 
cm³, é igual a 
(A) 144. 
(B) 152. 
(C) 288. 
(D) 432. 
(E) 466. 
QUESTÃO 17 
Um cubo que está no interior de uma esfera cuja 
medida do raio é 3 m tem uma de suas faces (e, 
portanto, quatro vértices) sobre um plano que passa 
pelo centro da esfera e os demais vértices sobre a 
superfície esférica. A razão entre o volume da 
esfera e o volume do cubo é 
 
A) . 
B) . 
C) . 
D) . 
QUESTÃO 18 
Um ralador de queijo tem a forma de cone circular 
reto de raio da base 4 cm e altura 10 cm. O queijo é 
ralado na base do cone e fica acumulado em seu 
interior (figura 1). Deseja-se retirar uma fatia de um 
queijo com a forma de cilindro circular reto de raio 
da base 8 cm e altura 6 cm, obtida por dois cortes 
perpendiculares à base, partindo do centro da base 
do queijo e formando um ângulo α (figura 2), de 
forma que o volume de queijo dessa fatia 
corresponda a 90% do volume do ralador. 
 
Figura 1 – ralador 
 
Figura 2 – fatia de queijo 
 
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Nas condições do problema, α é igual a 
(A) 45º. 
(B) 50º. 
(C) 55º. 
(D) 60º. 
(E) 65º. 
QUESTÃO 19 
A prefeitura de certo município adquiriu um 
caminhão pipa para fazer o abastecimento de água 
da cidade. O tanque desse caminhão possui formato 
e medidas mostrados nas figuras 1 e 2 a seguir: 
 
 
• A figura 1 representa a perspectiva do tanque e a 
indicação de seu comprimento longitudinal de 8 m. 
• A figura 2 representa um corte da seção 
transversal do tanque, em que: 
 →ACD e BCE são setores circulares iguais, com 
ângulo central igual a 90º, e raio igual a 1 m. 
 → e são segmentos paralelos. 
Com base nessas informações, conclui-se que o 
volume do tanque do caminhão pipa, em m
3
, é de: 
 
a) 6π + 6 
b) 5π + 8 
c) 4π + 8 
d) 3π + 8 
e) 4π +10 
QUESTÃO 20 
Na figura a seguir, encontra-se representada a 
planificação de um sólido de base quadrada cujas 
medidas estão indicadas. 
 
 
 
O volume desse sólido é 
 
a) 144. 
b) 180. 
c) 216. 
d) 288. 
e) 360. 
QUESTÃO 21 
Na figura a seguir, estão representados um cubo de 
aresta 3 e uma pirâmide triangular de altura 9. Os 
pontos A, B e C são vértices da pirâmide e do cubo, 
e V pertence ao prolongamento de BG. 
 
 
 
O volume comum aos dois sólidos é 
 
(A) 
(B) 8. 
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(C) . 
(D) 9. 
(E) 
QUESTÃO 22 
O losango ABCD, indicado na figura, tem lado de 
medida 6 cm. Esse losango será rotacionado em 
360° em torno de uma reta r que contém seu lado 
. O volume do sólido de revolução gerado por 
essa rotação, em cm
3
, é igual a 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
QUESTÃO 23 
Os centros das faces de um cubo de lado igual a 1 
m são unidos formando um octaedro regular. O 
volume ocupado pelo cubo, em m
3
, e não ocupado 
pelo octaedro, é igual a 
 
(A) . 
(B) . 
(C) . 
(D) . 
(E) . 
QUESTÃO 24 
Para realizar um tratamento químico, uma peça em 
forma de paralelepípedo retângulo, de base 
quadrada, com 5 cm de lado, foi colocada em um 
recipiente cúbico cujas arestas internas têm o 
mesmo comprimento da peça. Em seguida, foi 
colocada uma substância química até que a altura 
do líquido ficasse exatamente no nível da peça, 
como mostra a figura 1. Colocando-se a peça 
apoiada na base quadrada, como mostra a figura 2, 
observou-se que a altura do líquido era de 4 cm. 
Nessas condições, que volume de substância 
química foi colocado no recipiente? 
 
 
 
a) 1,5 L 
b) 2,5 L 
c) 4,0 L 
d) 4,5 L 
e) 5,0 L 
QUESTÃO 25 
Um torneiro mecânico pretende construir duas 
peças idênticas a partir de um bloco maciço de aço 
em formato de cubo e com aresta de 10 cm. Para a 
construção dessa peça, seguiu as seguintes etapas: 
 
1. Escolheu uma face do cubo e sua oposta, em 
seguida, marcou um ponto no centro destas faces; 
2. Com uma broca, perfurou o cubo a partir das 
marcações efetuadas anteriormente, deixando um 
orifício em formato cilíndrico de raio igual a 1 cm. 
Em seguida, dividiu o cubo em duas peças 
idênticas, conforme a figura: 
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Desprezando possíveis perdas nesse processo de 
elaboração das peças, qual o volume de uma 
peça? 
Dado: . 
 
a) 968,6 cm
3
. 
b) 500 cm
3
. 
c) 484,3 cm
3
. 
d) 468,6 cm
3
. 
e) 1.000 cm
3
. 
QUESTÃO 26 
Uma caixa aberta, na forma de um paralelepípedo 
retângulo, será formada cortando quatro quadrados 
congruentes nos cantos de uma folha retangular de 
papelão e dobrando ao longo das direções dos 
lados dos quadrados, como ilustrado a seguir. Se a 
altura da caixa terá medida 3 cm, o volume da caixa 
será de 288 cm
3
, e o perímetro da folha de papelão 
mede 64 cm, qual a medida da área da folha de 
papelão? 
 
 
 
A) 250 cm
2 
B) 252 cm
2 
C) 254 cm
2 
D) 256 cm
2 
E) 258 cm
2 
QUESTÃO 27 
A caixa de um produto longa vida é produzida como 
mostra a sequência de figuras. A folha de papel da 
figura 1 é emendada na vertical, resultando no 
cilindro da figura 2. Em seguida, a caixa toma o 
formato desejado, e são feitas novas emendas, uma 
no topo e outra no fundo da caixa, como mostra a 
figura 3. Finalmente, as abas da caixa são 
dobradas, gerando o produto final, exibido na figura 
4. Para simplificar, consideramos as emendas como 
linhas, ou seja, desprezamos a superposição do 
papel. 
 
 
 
 
a) Se a caixa final tem 20 cm de altura, 7,2 cm de 
largura e 7 cm de profundidade, determine as 
dimensões x e y da menor folha que pode ser usada 
na sua produção. 
 
b) Supondo, agora, que uma caixa tenha seção 
horizontal quadrada (ou seja, que sua profundidade 
seja igual a sua largura), escreva a fórmula do 
volume da caixa final em função das dimensões x e 
y da folha usada em sua produção. 
QUESTÃO 28 
Em uma caixa cujo formato é um paralelepípedo 
retângulo, deseja-se armazenar 35 cilindros 
circulares retos, todos com altura igual à da caixa e 
com bases iguais. A figura a seguir ilustra um dos 
cantos da caixa (vista de cima) e mostra como estão 
armazenados os cilindros. 
 
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Sabe-se que 
• as dimensões da base da caixa são 42 cm × 30 cm 
e sua altura 10 cm; 
• a caixa é sem tampa; 
• o númeroπ vale aproximadamente 3,14. 
 
Pede-se 
a) uma planificação da caixa, sem as bordas para 
colagens, indicando suas dimensões; 
b) o raio da base do cilindro; 
c) a diferença entre o volume da caixa e a soma dos 
volumes de todos os cilindros. 
QUESTÃO 29 
A figura indica um paralelepípedo reto-retângulo de 
dimensões 5 · 5 · 4, em centímetros, sendo A, B, C 
e D quatro dos seus vértices. 
 
 
 
a) Calcule a área do triângulo ABC. 
 
b) Calcule a distância entre o vértice D e o plano 
que contém o triângulo ABC. 
QUESTÃO 30 
Em um sistema de piscicultura superintensiva, uma 
grande quantidade de peixes é cultivada em 
tanques-rede colocados em açudes, com alta 
densidade populacional e alimentação à base de 
ração. Os tanques-rede têm a forma de um 
paralelepípedo e são revestidos com uma rede que 
impede a fuga dos peixes, mas permite a passagem 
da água. 
 
a) Um grupo de 600 peixes de duas espécies foi 
posto em um conjunto de tanques-rede. Os peixes 
consomem, no total, 800 g de ração por refeição. 
Sabendo-se que um peixe da espécie A consome 
1,5 g de ração por refeição e que um peixe da 
espécie B consome 1,0 g por refeição, calcule 
quantos peixes de cada espécie o conjunto de 
tanques-rede contém. 
 
b) Para uma determinada espécie, a densidade 
máxima de um tanque-rede é de 400 peixes adultos 
por metro cúbico. Suponha que um tanque possua 
largura igual ao comprimento e altura igual a 2 m. 
Quais devem ser as dimensões mínimas do tanque 
para que ele comporte 7200 peixes adultos da 
espécie considerada? 
QUESTÃO 31 
Em uma estrada de ferro, os dormentes e os trilhos 
são assentados sobre uma base composta 
basicamente por brita. Essa base (ou lastro) tem 
uma seção trapezoidal, conforme representado na 
figura. A base menor do trapézio, que é isósceles, 
tem 2 m, a base maior tem 2,8 m e as arestas 
laterais têm 50 cm de comprimento. Supondo que 
um trecho de 10 km de estrada deva ser construído, 
responda às seguintes questões. 
 
 
 
a) Que volume de brita será gasto com o lastro 
nesse trecho de ferrovia? 
b) Se a parte interna da caçamba de um caminhão 
basculante tem 6 m de comprimento, 2,5 m de 
largura e 0,6 m de altura, quantas viagens de 
caminhão serão necessárias para transportar toda a 
brita? 
QUESTÃO 32 
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Para transportar areia, uma loja dispõe de um 
caminhão cuja caçamba tem 1 m de altura e a forma 
de um paralelepípedo retângulo de base quadrada. 
A maior distância entre dois pontos desse 
paralelepípedo é igual a 3 m. 
 
Determine a capacidade máxima, em metros 
cúbicos, dessa caçamba. 
QUESTÃO 33 
Uma calha para drenagem de água é construída 
usando-se uma chapa metálica retangular medindo 
60 cm × 20 m, dobrada no sentido longitudinal. A 
seção transversal da calha é mostrada na figura. 
 
 
 
O ângulo é medido a partir da reta 
horizontal que contém a base da seção da calha e 
as medidas x e y satisfazem à equação x + 2y = 60 
cm. 
 
Considerando o conteúdo exposto anteriormente e 
supondo que x = y, que a medida de B é 40 cm, 
que e que , assinale o que for 
correto. 
 
01) A medida do ângulo t é radianos. 
02) O volume suportado pela calha é 1 m
3
, 
desprezando-se as frações do metro cúbico. 
 
04) O volume suportado pela calha é equivalente ao 
volume total de 4 reservatórios com o formato de 
cubos com arestas medindo 50 cm. 
 
08) A área da seção transversal da calha é igual à 
de um círculo cujo diâmetro mede exatamente 20 
cm. 
 
16) Em caso de entupimento na saída da calha e 
considerando que a mesma receba água a uma 
vazão de 30 litros por minuto, ocorrerá 
transbordamento antes que decorram 35 minutos. 
QUESTÃO 34 
Em uma lata cilíndrica fechada de volume 5.175 
cm
3
, cabem exatamente três bolas de tênis. 
 
A) Calcule o volume da lata não ocupado pelas 
bolas. 
 
B) Qual é a razão entre o volume das três bolas e o 
volume da lata? 
 
QUESTÃO 35 
O interior de um recipiente tem o formato de um 
paralelepípedo reto retângulo e apresenta a 
seguinte particularidade: as medidas das arestas 
concorrentes em um mesmo vértice são números 
em progressão geométrica. Sabe-se que a aresta, 
cuja medida é o 2
o
 termo da progressão, tem 1,2 
metros de comprimento. 
O volume desse recipiente, em litros, é: 
 
a) 1.652 
b) 1.728 
c) 1.480 
d) 1.844 
QUESTÃO 36 
Um losango ABCD de lado 12 cm e medida do 
ângulo DÂB igual a α é rotacionado por um eixo 
sobre , gerando um sólido de revolução 
denotado por S. 
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a) Calcule o volume de S, em cm
3
, quando α = 30º. 
b) Considere < < . Seccionando S por um 
plano que contém e é perpendicular a , 
dividimos S em dois sólidos, S1 e S2. 
Sendo R a razão entre o maior volume dentre os 
dois sólidos e o menor, determine R em função de 
cosα. 
QUESTÃO 37 
Um reservatório de água A tem a forma de um cone 
circular reto de 3 m de raio por 6 m de altura. Ele 
está completamente cheio e com a base apoiada 
num piso horizontal. Por motivo de reparos, todo o 
conteúdo de A será transferido para um reservatório 
B, inicialmente vazio, com formato de um cilindro 
circular reto, com 2 m de raio na base, com 5 m de 
altura e com a base no mesmo piso horizontal da 
base de A. Considere que, em cada instante, o 
volume da água que sai de A chega completamente 
em B. Calcule 
 
A) os volumes de A e B; 
B) o nível da água em B quando o nível da água em 
A estiver na metade da altura de A; 
C) o nível da água em A quando o nível da água em 
B estiver na metade da altura de B; 
D) a expressão que dá o nível da água em B em 
função do nível da água em A. 
QUESTÃO 38 
Uma empresa de sorvete utiliza como embalagem 
um prisma reto, cuja altura mede 10 cm e cuja base 
é dada conforme descrição a seguir: de um 
retângulo de dimensões 20 cm por 10 cm, extrai-se 
em cada um dos quatro vértices um triângulo 
retângulo isósceles de catetos de medida 1 cm. 
 
 
 
a) Calcule o volume da embalagem. 
 
b) Sabendo que o volume ocupado por esse sorvete 
aumenta em quando passa do estado líquido 
para o estado sólido, qual deve ser o volume 
máximo ocupado por esse sorvete no estado 
líquido, nessa embalagem, para que, ao congelar, o 
sorvete não transborde? 
QUESTÃO 39 
Deseja-se transportar 12 bolas de boliche esféricas 
de mesmo raio R em uma caixa em forma de 
paralelepípedo reto retângulo, de modo que as 
bolas fiquem tangentes entre si, e aquelas situadas 
na extremidade de uma mesma fileira tangenciem 
as faces da caixa. Além disso, nenhuma bola 
tangencia faces opostas da caixa. Lembre-se de 
que a caixa terá de ser tampada. Sabendo que o 
volume das bolas ocupa do volume da caixa, 
determine, em função de R, as dimensões da caixa. 
QUESTÃO 40 
No poliedro ABCDEFGH, as arestas , , e 
são perpendiculares ao plano que contém a 
face retangular ABCD, conforme indica a figura. 
Sabe-se ainda que AE = 1, AB = DH = 4 e 2AD = 
2BF = CG = 6. 
 
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a) Calcule a distância entre os pontos A e G. 
 
b) Calcule o volume do poliedro ABCDEFGH. 
QUESTÃO 41 
Numa piscina em formato de paralelepípedo, as 
medidas das arestas estão em progressão 
geométrica de razão q >1. 
 
a) Determine o quociente entre o perímetro da face 
de maior área e o perímetro da face de menor área. 
 
b) Calcule o volume dessa piscina,considerando q 
= 2 e a área total do paralelepípedo igual a 252 m
2
. 
QUESTÃO 42 
Para fazer uma caixa, foi utilizado um quadrado de 
papelão de espessura desprezível e 8 dm de lado, 
do qual foram recortados e retirados seis quadrados 
menores de lado x. 
 
Observe a ilustração. 
 
 
Em seguida, o papelão foi dobrado nas linhas 
pontilhadas, assumindo a forma de um 
paralelepípedo retângulo, de altura x, como 
mostram os esquemas. 
 
 
Quando x = 2 dm, o volume da caixa é igual a 
8 . 
Determine outro valor de x para que a caixa tenha 
volume igual a 8 . 
QUESTÃO 43 
Uma jarra de vidro em forma cilíndrica tem 15 cm de 
altura e 8 cm de diâmetro. A jarra está com água até 
quase a borda, faltando 1 cm de sua altura para 
ficar totalmente cheia. 
 
a) Se uma bolinha de gude de 2 cm de diâmetro for 
colocada dentro dessa jarra, ela deslocará que 
volume de água? 
 
b) Quantas bolinhas de gude de 2 cm de diâmetro 
serão necessárias para fazer com que a água se 
desloque até a borda superior da jarra? 
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QUESTÃO 1 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
A partir das informações do enunciado, temos que a 
base da pirâmide de base hexagonal está inscrita 
numa circunferência de raio r . Como e são 
paralelos, a altura da pirâmide é a distância entre os 
dois planos, r. 
Logo, 
 
 
QUESTÃO 2 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Primeiramente, calcularemos o volume total da 
piscina . 
Para calcular a área do hexágono, basta traçar suas 
diagonais e obtém-se 6 triângulos equiláteros. 
Assim, 
 . 
Então, m
3
. 
 
Logo, 80% de 9 = 0,8 · 9 = 7,2 m
3
. 
 
QUESTÃO 3 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 
Logo: 
 
 
QUESTÃO 4 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
A partir do enunciado, considera-se a seguinte 
figura: 
 
O volume VP do prisma é: 
 
 
O octaedro é formado por duas pirâmides de base 
quadrada igual à base do prisma. Seu volume VO é: 
 
 
Portanto, o volume resultante procurado é: 
 
 
QUESTÃO 5 
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D 
 
RESOLUÇÃO: 
O volume V1 da boia B1 é dado por 
. 
Como R1 = 2R2, o volume V1 pode ser escrito 
como . 
O volume V2 da boia B2 é dado por 
. 
Assim, a razão será: 
 
 
QUESTÃO 6 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Os volumes dos sólidos são: 
 
 
 
As massas dos três sólidos são iguais e, para cada 
cm
3
 de volume, foi dada a massa específica. Então: 
 
 
 
Onde m1, m2 e m3 são as massas específicas da 
semiesfera, cilindro e cone, respectivamente. Dessa 
relação, conclui-se que m3 = 3m2 e, portanto, m3 = 
6, que é referente à substância z. 
 
QUESTÃO 7 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
O volume total da cisterna é 8 × 6 × 5 = 240 m
3
. A 
cada hora entra no tanque um volume de 4m
3
, ou 
seja = do tanque. Em relação à altura de 5 
m, essa fração representa da altura. Assim, 
o nível da água aumenta a cada hora e a função 
fica: h(t) = . 
 
QUESTÃO 8 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
A pirâmide foi construída em 5 partes, 
sendo que: 
 
• a primeira parte (base) é formada por 81 
cubos maciços de 1 m de aresta. 
Sendo v1 o volume dessa parte, 
v1 = 81 m
3. 
 
• a segunda parte é formada por 49 cubos 
maciços de 1 m de aresta. Sendo v2 o 
volume dessa parte, 
v2 = 49 m
3. 
 
• a terceira parte é formada por 25 cubos 
maciços de 1 m de aresta. Sendo v3 o 
volume dessa parte, 
v3 = 25 m
3. 
 
• a quarta parte é formada por 9 cubos 
maciços de 1 m de aresta. Sendo v4 o 
volume dessa parte, 
v4 = 9 m
3. 
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• a quinta parte (topo) é formada por 1 cubo 
maciço de 1 m de aresta. Sendo v5 o 
volume dessa parte, 
v1 = 1 m
3. 
 
O volume total vP dessa pirâmide é, 
portanto, dado por: 
 
VP = v1 + v2 + v3 + v4 + v5- 
VP = 81 m
3 + 49 m3 + 25 m3 + 9 m3 + 1 m3 
VP = 165 m
3 
 
A altura total dessa pirâmide é formada 
pela soma das alturas de cada parte. 
Sabendo que cada parte é formada por 
cubos maciços de 1 m de aresta, temos: 
 
H = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 
H = 5 m 
 
QUESTÃO 9 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
A área do fundo da piscina pode ser calculada como 
a composição de dois retângulos: um de 9 m × 6 
m e um de 11 m × 2 m (dividindo a aresta maior, de 
20 m, em um segmento de 9 m e outro de 11 m). 
 
Assim, somando as áreas dos dois retângulos, 
temos: 
9 · 6 + 11 · 2 = 54 + 22 = 76 m
2
. 
 
O volume de água pode ser calculado multiplicando-
se a área do fundo da piscina pela sua 
profundidade: 
76 · 1,5 = 114 m
3
. 
 
Como cada 1 m
3
 equivale a 1.000 L, a capacidade 
da piscina, em litros, é de 114.000. 
 
QUESTÃO 10 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
Se uma face não quadrada está para baixo, as 
medidas dessa face são 20 × 50. Assim, temos: 
 
I. Correta. A área total da caixa é dada por: 2(20 · 
20 + 20 · 50 + 20 · 50) = 2 · 2.400 = 4.800 cm
2
. 
 
II. Correta. O volume de água é dado por: 20 · 50 · 
16 = 16.000 cm
3
 = 16.000 ml = 16 litros. 
 
III. Correta. Sendo x a altura da água e 20 · 20 a 
nova base, considerando que o volume de água não 
mudou, temos 
400x = 16.000, então x = 40 cm de altura. 
 
IV. Incorreta. A capacidade da caixa é de: 
20 · 20 · 50 = 20.000 cm
3
. 
Capacidade do cilindro: 3 · 10
2
 · 50 = 15.000 cm
3
. 
 
QUESTÃO 11 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
O volume desse lifang será a
3
. Pelas divisões, 
temos: 
 
1 lifang = 2 qiandu 
1 qiandu = 1 yangma + 1 bienuan 
 
Então: 
 
1 lifang = 2 yangma + 2 bienuan 
1 yangma = 2 bienuan 
 
Assim, 1 lifang = 4 bienuan + 2 bienuan = 6 bienuan. 
Dessa forma, cada bienuan é a sexta parte do lifang 
e seu volume será . 
 
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QUESTÃO 12 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Se a altura do paralelepípedo é h, a sua 
profundidade será e a sua largura será . 
Temos e 10h
2
 = 90 e h 
= 3 cm. O volume do paralelepípedo 
será . 
 
QUESTÃO 13 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Sendo V o volume em metros cúbicos da piscina, 
temos: 
 
V = 50 · 25 · 2 = 2.500 m
3
. 
Sabendo que a capacidade de processar é de 0,985 
m
3
/s, temos: 
 ou x = 40 minutos. 
 
QUESTÃO 14 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Seja r o raio de cada semiesfera. Então o volume de 
cada semiesfera é . 
Existem 21 semiesferas no dado (pois as faces são 
numeradas de 1 a 6). Assim, o volume total retirado 
do cubo foi . 
Sendo a a aresta do cubo, e sabendo que a razão 
entre o volume retirado dele e o volume total é 
0,042, temos: 
 
 
QUESTÃO 15 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Volume do cone = · = 
Volume do cilindro = · R
2 
·h 
 
Razão = 
Razão = = 12 
 
QUESTÃO 16 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
 
O volume dessa pirâmide será: 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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QUESTÃO 17 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
De acordo com o enunciado, temos: 
 
A aresta do cubo é dada por: 
 . 
O volume do cubo é igual a: 
 . 
O volume da esfera é: 
 . 
Assim, a razão entre o volume da esfera e do cubo 
é: 
 . 
 
QUESTÃO 18 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Ralador: 
 
Fatia: 
 . 
Mas . 
Então: 
Então . 
 
QUESTÃO 19 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Para calcular o volume V do tanque do caminhão, 
precisamos multiplicar a área A da secção 
transversal pelo comprimento do tanque (8m). 
Logo, V = 8A. 
 
Para o cálculo da área A, podemos observar que: 
 
• Os triângulos ABC e CDE, se unidos pela sobreposição 
das arestas DE e AB, formarão um quadrado de lado 1 m, 
cuja área será 1 m² 
• Os dois setores unidos pela sobreposição de um raio 
formarão um semicírculo de raio 1 m, cuja área será 
 
Logo, A = (0,5π + 1)m² e V = 8A = 8(0,5π + 1) = 4π + 8 m² 
 
QUESTÃO 20 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Para ser considerado um prisma (e usar a fórmula 
de volume de prisma) o sólido deve ter duas bases 
opostas idênticas. Assim, consideraremos como 
base do prisma o triângulo retângulo de lados 6 e 
10. 
 
A distância entre esses dois triângulos (que será a 
altura do prisma) é 6. 
 
Para calcular a área do triângulo, é preciso dos dois 
catetos. Chamando de x o cateto não numerado, 
temos: 
x
2
 + 6
2
 = 10
2 
x
2
 = 100 – 36 = 64 
x = 8. 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Área do triângulo (base do prisma) = 6 · 
 
Volume do prisma (área da base . altura) = 24 · 6 = 
144 
 
QUESTÃO 21 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
O volume da pirâmide é: V = , sendo Ab a 
área da base e H a altura. Sabemos que a altura 
mede 9 e a área da base é metade de uma das 
faces do cubo. Logo, Ab = = 4,5 e V = = 
13,5. Como a pirâmide que fica acima do cubo e a 
pirâmide total são homotéticas e proporcionais, 
sabemos que a razão entre seus volumes é o cubo 
da razão entre as alturas. Sendo v o volume da 
pirâmide menor, temos: 
 
 
 
Por fim, conclui-se que o volume procurado é V – v 
= 13,5 – 4 = 9,5 = . 
 
QUESTÃO 22 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
O sólido gerado pela rotação completa do losango 
ABCD em torno da reta r, que contém o lado , 
está representado na figura seguinte: 
 
R= 6 · sen 30° = 3 cm. 
 
O sólido gerado é equivalente a um cilindro circular 
reto de altura 6 cm e raio da base 3 cm. Assim, o 
volume (V) desse sólido, em cm³, é: 
 
 
QUESTÃO 23 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
A partir das informações fornecidas, podemos 
construir a seguinte figura: 
 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Lembrando que e 
que 
Temos que: 
 
 
QUESTÃO 24 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Sendo V o volume do líquido, x o comprimento da 
peça e o volume da peça 5
2
 · x = 25x cm
2
. 
 
Na situação 1, o volume da peça inteira somado ao 
volume do líquido equivalem a um volume de base 
quadrada com aresta x e altura 5. Ou seja, 25x + V 
= 5x
2
. (I) 
 
Na situação 2, o volume imerso da peça (5
2
 · 4 = 
100 cm
3
) somado ao volume do líquido equivalem a 
um volume de base quadrada com aresta x e altura 
4. Ou seja, 100 + V = 4x
2.
 (II) 
 
Isolando V em II e substituindo em I, temos: 
25x + 4x
2
 – 100 = 5x
2 
5x
2
 – 4x
2
 – 25x + 100 = 0 
x
2
 – 25x + 100 = 0 
Por soma e produto, x = 20 ou x = 5. 
Como a peça não é cúbica, x não pode ser 5. Nesse 
caso, x = 20. 
 
Substituindo x em II, temos: 
V = 4 · 20
2
 – 100 = 4 · 400 – 100 = 1.600 – 100 = 
1.500 cm
3
 = 1,5 litros. 
 
QUESTÃO 25 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Volume do cubo original: 10
3
 = 1.000 cm
3
. 
Volume do cilindro retirado: 3,14 · 1
2
 · 10 = 31,4 
cm
3
. 
Volume do que restou após o furo com a broca: 
1.000 – 31,4 = 968,6 cm
3
. 
Volume de cada peça: = 484,3 cm
3
. 
 
QUESTÃO 26 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Seja x a medida de um dos lados da folha retangular 
de papelão. O outro lado terá 
medida . A base da caixa será 
um retângulo com lados medindo x – 6 e 26 – x, e o 
volume da caixa será 3(x – 6)(26 – x), que é igual a 
288. Assim, (x – 6)(26 – x) = 96 e –x
2
 + 32x – 252 = 
0. A equação quadrática se escreve como (x – 16)
2
 
= 4 e x = 16 ± 2 = 18 ou 14. A área da folha 
retangular é 18 × 14 = 252 cm
2
. 
 
QUESTÃO 27 
GABARITO: 
 
a) Como desprezamos as emendas, o valor de x 
corresponde ao perímetro do retângulo da base da 
caixa. Assim, x = 2 · 7,2 + 2 · 7 = 28,4 cm. Já o 
valor de y é dado pela soma da altura da caixa com 
o dobro da metade da menor dimensão de sua 
base, ou seja, y = 20 + 2 × = 27 cm. 
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Resposta: A folha de papel deve ter dimensões x = 
28,4 cm e y = 27 cm. 
 
b) Como a caixa tem seção quadrada, o lado de sua 
base mede . 
Além disso, a altura da caixa mede y – 2 × = y 
– . Logo, o volume da caixa é dado por V 
= , ou V = . 
 
Resposta: O volume da caixa é dado por V 
= . 
 
QUESTÃO 28 
GABARITO: 
a) Planificação da caixa: 
 
b) Numa área de 42 · 30 cm = 1260 cm
2
 serão 
colocadas 35 latas. Se a lata fosse quadrada, 
ocuparia uma área de 1260 ÷ 35 = 36 cm
2
, ou seja, 
teria lado de 6 cm. Portanto, a base da lata deve ter 
diâmetro igual a 6 cm, e seu raio será de 3 cm. 
 
c) Volume da caixa = 42 · 30 · 10 = 12600 cm
3
. 
Volume de 35 cilindros = 35 · 3,14 · 3
2
 · 10 = 9891 
cm
3
. 
Diferença entre o volume da caixa e dos cilindros = 
12600 – 9891 = 2709 cm
3
. 
 
QUESTÃO 29 
GABARITO: 
 
 
a) Da figura temos que: 
AB2 = 52 + 42 ⇒ AB2= 41 ⇒ AB = 
AC2 = 52 + 42 ⇒ AC2 = 41 ⇒ AC = 
BC2 = 52 + 52 ⇒ BC2 = 50 ⇒ BC = 5 
Seja h a altura do triângulo ABC relativa à 
base . Por ser um triângulo isósceles, a 
altura também é mediana. Assim, por 
Pitágoras novamente: 
 
 
 
Dessa forma, a área do triângulo ABC é 
dada por: 
 
 
b) O volume do tetraedro ABCD é dado por: 
 
 
Seja x a distância do vértice D ao plano 
ABC, temos que tal distância pode ser 
interpretada como a altura relativa à base 
ABC do tetraedro ABCD, assim: 
 
. 
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QUESTÃO 30 
GABARITO: 
a) Seja o número de peixes da espécie 
A e o número de peixes da espécie B 
postos nos tanques-rede. Como o número 
total de peixes é igual a 600, tem-
se = 600. Conhecendo os hábitos 
alimentícios dos peixes, tem-se também a 
equação 1,5 + 1 = 800. Obtemos, 
assim, o sistema linear 
 
 
Subtraindo a segunda equação da primeira, 
chegamos a 0,5 = 200. Assim, = 400, o 
que implica 
xB = 600 − xA xB = 600 − 400 xB = 200. 
 
Resposta: o grupo continha 400 peixes da espécie A 
e 200 peixes da espécie B. 
 
b) Para comportar 7.200 peixes, o tanque deve ter 
um volume igual a . Sejam l, c e h, 
respectivamente, a largura, o comprimento e a 
altura do tanque-rede. Com base nos dados do 
problema, concluímos que o volume do tanque é V 
= l · c · h V = 2l
2
. Assim, temos: 
2l
2
 = 18 l
2
 = 9 l = l = 3 m 
Desta forma, c = 3 m. 
Resposta: o tanque deve ter largura e comprimento 
iguais a 3 m e altura igual a 2 m. 
 
QUESTÃO 31 
GABARITO: 
a) O trapézio em questão tem 2,8 m de 
base maior e 2 m de base menor. A 
diferença entre as bases é de 0,8 m, o que, 
dada a simetria do trapézio, implica uma 
diferença de 0,4 m de cada lado. Dado que 
a aresta lateral tem 0,5 m, a altura do 
trapézio vale 
Assim, a área do trapézio é igual 
a = 0,72 m
2 e o volume de brita 
para construir 10 000 m de estrada é 0,72 · 
10.000 = 7.200 m3. 
Serão gastos 7.200 m3 de brita. 
 
b) A caçamba do caminhão tem um volume 
interno de 6 · 2,5 · 0,6 = 9 m3. O número de 
viagens é igual a = 800. 
 
São necessárias 800 viagens de caminhão. 
 
 
 
QUESTÃO 32 
GABARITO: 
Medida da aresta da base quadrada do 
paralelepípedo retângulo = x 
 
Maior distância entre dois pontos desse 
paralelepípedo= medida de uma diagonal 
= D 
 
1 + 2x2 = 9 → x = 2 metros 
Capacidade máxima = 4 m3 
 
QUESTÃO 33 
18 
 
RESOLUÇÃO: 
02 + 16 = 18 
 
01) Falsa. 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Se B = 40 cm, temos que k = 10 cm. 
Assim cos t = cos t = t = rad 
 
02) Verdadeira. Se t = rad, temos 
que 
 
Portanto, o volume V que a calha comporta, 
em m3, é de: 
 
 
 
04) Falsa. Cada reservatório tem o formato 
cúbico com 50 cm de aresta, ou seja, 0,5 
m. Portanto, o volume de cada reservatório 
é 0,125 m3. Assim, o volume de 4 
reservatórios é 0,5 m3. Dessa forma, não 
comportam o volume suportado pela calha. 
 
08) Falsa. A área da secção da calha 
é = 0,051 m
2. Já a área do 
círculo é × 102 = 3,1 × 100 = 310 cm2 = 
0,031 m2. 
 
16) Verdadeira. A capacidade da calha é de 1 m
3
, 
dessa forma como 1 dm
3
 = 1 L, temos que a calha 
suporta 1.000 L. Portanto, se a vazão é de 30 litros 
por minuto, demorará 1.000/30 33 minutos e 20 
segundos para enchê-la. Assim, transbordará em 
menos de 35 minutos. 
 
QUESTÃO 34 
GABARITO: 
A) 
 
O volume não ocupado pelas bolas é igual a 5.175 – 
3.450 = 1.725 cm
3
. 
B) 
Razão = . 
 
QUESTÃO 35 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Considerando uma progressão geométrica de razão 
r, na qual o termo do meio vale 1,2, temos que o 
primeiro termo vale e o terceiro termo vale 
1,2r. Assim, o volume do recipiente 
será m
3
. 
 
QUESTÃO 36 
GABARITO: 
 
a) O cone formado na parte vazada do sólido, cujo 
raio é FC e altura BF, é exatamente igual ao cone 
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formado na rotação na parte de cima, cujo raio é 
igual a CD (–FC) e a altura AE é igual a BF. 
Logo, o volume a calcular é apenas o de um cilindro 
de raio ED ou FC e a altura EF. 
Mas = sen 30
°
...... ED = · 12 = 6 cm. 
Assim, V = · 6
2
 · 12 = 432 cm
3 
 
b) Mantendo a posição de ED e apenas deslocando 
C, o ângulo será maior que 90°, sendo que o raio 
continua sendo ED e o lado do losango continua 
sendo AC ou CD. 
A altura do cone é AE' que tem o mesmo valor de 
BE. 
Mas AE' = AC cos 
Volume do cone 
= 
R 
= 
 
R = 
RESOLUÇÃO: 
 
 
QUESTÃO 37 
GABARITO: 
O reservatório A é um cone circular reto com altura 
6 m e raio da base 3 m, logo seu volume é 
. O reservatório 
B é um cilindro circular reto com altura 5 m e raio da 
base 2 m, logo seu volume é 
. (item A). 
 
Denotemos por o volume de água que saiu 
do cone A quando o nível da água em A está a uma 
altura de H metros do piso horizontal, . 
Seja r(H) o raio da seção circular do cone A quando 
o nível da água no cone está na altura H. Desse 
modo vê-se que é o volume de um cone 
circular reto de altura metros cujo raio da 
base é r(H) metros, ou seja, 
 
 
Utilizando semelhança de triângulos em uma seção 
do cone A que contenha o eixo e um diâmetro 
podemos calcular r(H), obtendo , 
ou seja, . Assim 
 
De maneira análoga, denotemos por o 
volume de água que chegou ao cilindro B quando o 
nível da água em B está a uma altura de h metros 
do piso horizontal, . Desse modo vê-se 
que é o volume de um cilindro circular reto 
de altura h metros e raio da base 2 m, portanto 
. 
Para H = 3, obtém-se 
. Portanto, o nível 
da água em B quando o nível da água em A está na 
metade da altura de A é igual a (item B). 
Para h = 2,5 tem-se 
, ou seja, , portanto o 
nível da água em A quando o nível da água em B 
está na metade da altura de B é igual a 
 m (item C). 
Como o volume de água que sai de A chega 
completamente em B, segue-se que 
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, donde 
se obtém que (item D). 
RESOLUÇÃO: 
 
 
QUESTÃO 38 
GABARITO: 
a) Seja V o volume da embalagem, isto é, V 
= A · h, onde: 
h = altura da embalagem, 
A = área da base desta embalagem. 
Temos que cada um dos quatro triângulos 
extraídos tem área igual a cm2. Logo, 
A = (20 · 10 – 4 ) = 198 cm2. 
Assim, o volume desta embalagem é dado 
por 
V = 198 · 10 = 1.980 cm3. 
 
 
b) Sejam 
V = volume da embalagem, isto é, V = A · 
h. 
V0 = o volume que deve ser colocado na 
embalagem, para que, ao congelar, o 
sorvete não transborde. 
Então, 
 
. 
Portanto, 
V0 = · 1.980 = 1.650 cm
3. 
 
QUESTÃO 39 
GABARITO: 
(Resolução oficial) 
 
Denote-se por x, y, z as dimensões da caixa. Sabe-
se que o volume da caixa é VC = xyz e o volume de 
cada esfera de raio R é 
 
O volume das 12 esferas ocupam do volume da 
caixa, isto é, 
(1) 
Colocando-se N esferas ao longo de cada dimensão 
da caixa, a mesma terá ao longo dessa dimensão 
comprimento de 2NR, pois cada esfera tem 
diâmetro 2R. 
Denotando-se por Nx ,Ny ,Nz, respectivamente, o 
número de esferas colocadas ao longo das 
dimensões x, y, z, conclui-se que 
x = 2RNx , 
y = 2RNy , 
z =2RNz. 
Logo, substituindo-se estas expressões na equação 
(1), obtêm-se Nx Ny Nz = 12. Como cada esfera não 
tangencia simultaneamente faces opostas da caixa, 
o número de esferas, em cada dimensão não pode 
ser igual a um. Portanto, conclui-se que Nx Ny Nz = 
12 = 2 × 2 × 3 e as dimensões da caixa são 4R, 4R 
e 6R. 
 
QUESTÃO 40 
GABARITO: 
(Resolução oficial) 
 
a) De acordo com os dados, temos: 
 
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Aplicando o teorema de Pitágoras no ΔACG, segue 
que: 
AG
2
 = 6
2
 + 5
2
 
unidades de comprimento 
 
b) 
 
 
Chamando de V o volume do poliedro ABCDEFGH, 
temos: 
 
 
V = 12 + 30 
V = 42 unidades de volume 
 
QUESTÃO 41 
GABARITO: 
(Resolução oficial) 
 
a) Se as arestas medem a, qa e q
2
a com q > 1, 
então o perímetro da menor face é 2(a + qa) e o da 
maior face é 2(qa + q
2
a). Portanto, o quociente 
pedido é 
. 
 
b) A área total da piscina é 
2(a
2
q + a
2
q
2
 + a
2
q
3
) = 2a
2
q (1 + q + q
2
) = 4a
2
(1 + 
2 + 2
2
) = 28a
2
 = 252. 
 
Portanto, . 
 
Assim, as arestas medem 3, 6 e 12m. 
Logo, o volume da piscina é V = a · qa · q
2
a = (qa)
3
 
= (2 · 3)
3
 = 216 m
3
. 
 
QUESTÃO 42 
GABARITO: 
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como x < , x = 
 
QUESTÃO 43 
GABARITO: 
a) O volume de água deslocada será o mesmo volume da bolinha com 1 cm de raio, ou seja, cm
3
. 
 
b) O volume que falta ser preenchido é o de um cilindro com 8 cm de diâmetro (4 cm de raio) e 1 cm de altura. 
Esse volume é de cm
3
. 
O número de bolinhas necessário para preencher esse volume é bolinhas. 
 
 
 
	Exercícios de Geometria Espacial.
	Volume e princípio de Cavalieri.
	Questão 1
	Questão 2
	Questão 3
	Questão 4
	Questão 5
	Questão 6
	Questão 7
	Questão 8
	Questão 9
	Questão 10
	Questão 11
	Questão 12
	Questão 13
	Questão 14
	Questão 15
	Questão 16
	Questão 17
	Questão 18
	Questão 19
	Questão 20
	Questão 21
	Questão 22
	Questão 23
	Questão 24
	Questão 25
	Questão 26
	Questão 27
	Questão 28
	Questão 29
	Questão 30
	Questão 31
	Questão 32
	Questão 33
	Questão 34
	Questão 35
	Questão 36
	Questão 37
	Questão 38
	Questão 39
	Questão 40
	Questão 41
	Questão 42
	Questão 43
	Questão 1
	E
	Resolução:
	Questão 2
	D
	Resolução:
	Questão 3
	D
	Resolução:
	Questão 4
	C
	Resolução:
	Questão 5
	D
	Resolução:
	Questão 6
	D
	Resolução:
	Questão7
	D
	Resolução:
	Questão 8
	D
	Resolução:
	Questão 9
	B
	Resolução:
	Questão 10
	E
	Resolução:
	Questão 11
	A
	Resolução:
	Questão 12
	E
	Resolução:
	Questão 13
	D
	Resolução:
	Questão 14
	D
	Resolução:
	Questão 15
	B
	Resolução:
	Questão 16
	A
	Resolução:
	Questão 17
	D
	Resolução:
	Questão 18
	A
	Resolução:
	Questão 19
	C
	Resolução:
	Questão 20
	A
	Resolução:
	Questão 21
	E
	Resolução:
	Questão 22
	D
	Resolução:
	Questão 23
	B
	Resolução:
	Questão 24
	A
	Resolução:
	Questão 25
	C
	Resolução:
	Questão 26
	B
	Resolução:
	Questão 27
	Gabarito:
	Questão 28
	Gabarito:
	Questão 29
	Gabarito:
	Questão 30
	Gabarito:
	Questão 31
	Gabarito:
	Questão 32
	Gabarito:
	Questão 33
	18
	Resolução:
	Questão 34
	Gabarito:
	Questão 35
	B
	Resolução:
	Questão 36
	Gabarito:
	Resolução:
	Questão 37
	Gabarito:
	Resolução:
	Questão 38
	Gabarito:
	Questão 39
	Gabarito:
	Questão 40
	Gabarito:
	Questão 41
	Gabarito:
	Questão 42
	Gabarito:
	Questão 43
	Gabarito: