Sistemas lineares

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COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Exercícios de Sistemas Lineares. 
 
QUESTÃO 1 
 O sistema linear nas incógnitas x, y e z 
 
 
 
é possível e determinado se e somente se: 
 
A 
B 
C 
D 
E 
 
QUESTÃO 2 
Terminou a colheita. Os grãos de soja, arroz, milho 
e trigo já estão a caminho do mercado. É a hora de 
pensar na próxima safra. O primeiro passo é reunir 
todos os restos que ficaram no chão, na estrada e 
nos terreiros e espalhar sobre os campos a fim de 
reter as águas da chuva, proteger o solo e liberar 
nutrientes, mantendo as boas condições para o 
novo plantio. 
 
A tabela a seguir apresenta as porcentagens de N, 
P e K por hectare de palhadas dos cereais 
indicados. 
 
Nutriente Milho Arroz Soja Trigo 
N 1,0 0,5 2,0 0,5 
P 0,2 0,1 0,2 0,1 
K 1,5 1,0 1,0 1,0 
 
(Adaptado de Globo Rural. Fevereiro 1989. p. 49 a 
51) 
 
Na Fazenda, um campo de 5,5 hectares foi dividido 
em três regiões e cada uma delas foi coberta com 
certo tipo de palhada: x hectares com a de milho, y 
hectares com a de arroz e z hectares com a de soja. 
Se a porcentagem total de nitrogênio dessas 
palhadas foi igual a 6,25 e a de fósforo foi igual a 
0,85, então o número de hectares cobertos com a 
palhada de 
 
(A) arroz foi 2,5. 
(B) milho foi 2. 
(C) soja foi 1,5. 
(D) arroz e milho foi 3. 
(E) arroz e soja foi 5. 
QUESTÃO 3 
Considere o sistema linear , de 
incógnitas x e y, onde k é um parâmetro real. 
 
Então: 
 
A) se k = 3, o sistema é impossível. 
B) se k = , o sistema é possível e determinado. 
C) se k = − , o sistema é possível e 
indeterminado. 
D) se k = −1, o sistema é impossível. 
E) se k = ± , o sistema é impossível. 
QUESTÃO 4 
Dados os sistemas lineares homogêneos, para 
quaisquer a, b, c, d, e, f, g, h e i reais: 
 
 
 
e supondo que cada um dos sistemas tem solução e 
que nenhuma das equações que compõem o 
sistema (1) é equivalente, é correto afirmar que 
 
(A) todas as soluções do sistema (2) também são 
soluções do sistema (1). 
(B) os dois sistemas não têm nenhuma solução 
comum. 
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(C) nem toda solução do sistema (1) é solução do 
sistema (2). 
(D) nem toda solução do sistema (2) é solução do 
sistema (1). 
(E) se a única solução do sistema (1) é a trivial 
então ela também é a única solução possível para o 
sistema (2). 
QUESTÃO 5 
O sistema linear nas incógnitas 
x, y, sendo k um número real, é impossível para: 
 
a) mais de dois valores de k . 
b) exatamente dois valores de k . 
c) apenas um valor de k . 
d) nenhum valor de k . 
QUESTÃO 6 
O sistema 
 
A) é possível, ∀a, b, c ∈ R. 
B) é possível quando a = ou c 1. 
C) é impossível quando c = 1, ∀a, b ∈ R. 
D) é impossível quando a = , ∀c ∈ R. 
E) é possível quando c = 1 e a = . 
QUESTÃO 7 
Para que o sistema 
linear de solução (x,y) não 
seja possível e determinado, o parâmetro k ∈ IN tem 
de ser igual a 
 
(A) 2. 
(B) 3. 
(C) 4. 
(D) 5. 
(E) 6. 
QUESTÃO 8 
Por causa de hábitos alimentares inadequados, um 
cardiologista nota que os seus pacientes com 
hipertensão são cada vez mais jovens e fazem uso 
de medicamentos cada vez mais cedo. Suponha 
que Pedro, Márcia e João sejam pacientes, com 
faixas etárias bem distintas e que utilizam um 
mesmo hipertensivo em comprimidos. Sabe-se que 
João utiliza comprimidos de 2 mg, Márcia de 4 mg e 
Pedro de 10 mg. Além disso, mensalmente, Pedro 
toma o triplo de comprimidos de Márcia e os três 
consomem 130 comprimidos, totalizando 780 
miligramas da droga. 
 
Com base nestas informações, é correto afirmar que 
Márcia, mensalmente, ingere 
 
A) 50 comprimidos. 
B) 20 comprimidos. 
C) 60 comprimidos. 
D) 30 comprimidos. 
QUESTÃO 9 
Assinale a alternativa CORRETA. 
 
Um agricultor recebeu R$ 9.600,00 pela venda de 
250 animais, entre leitões e galinhas caipiras. Se o 
preço unitário do leitão foi R$ 120,00 e da galinha 
caipira R$ 18,00, então o número de leitões 
vendidos foi de: 
 
A) 50. 
B) 100. 
C) 40. 
D) 80. 
QUESTÃO 10 
Considere o sistema A x = b, em que 
 
 
Sendo T a soma de todos os valores de k que 
tornam o sistema impossível, e sendo S a soma de 
todos os valores de k que tornam o sistema possível 
e indeterminado, então o valor de T – S é 
 
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A) – 4 
B) – 3 
C) 0 
D) 1 
E) 4 
QUESTÃO 11 
Considere o sistema linear de incógnitas x, y e z. 
 
 
Sendo k um parâmetro real, então: 
 
A) o sistema será impossível se k = –1 ou k = 1 
B) o sistema será determinado se k = 1 
C) o sistema será impossível se k = 0 ou k = –1 
D) o sistema será indeterminado se k = 0 ou k = –1 
E) o sistema será determinado se k = 0 ou k = –1 
QUESTÃO 12 
Em um campeonato de futebol de salão, as três 
equipes classificadas (X, Y e Z) marcaram juntas um 
total de 115 gols. A equipe X marcou 12 gols a mais 
do que a Z, e 8 gols a mais do que a Y. Nessas 
condições, é correto afirmar que a equipe Y marcou: 
 
a) 33 gols 
b) 37 gols 
c) 38 gols 
d) 40 gols 
e) 45 gols 
QUESTÃO 13 
Luiz Carlos investiu R$ 10.000,00 no mercado 
financeiro da seguinte forma: parte no fundo de 
ações, parte no fundo de renda fixa e parte na 
poupança. Após um ano ele recebeu R$ 1.018,00 
em juros simples dos três investimentos. Nesse 
período de um ano, o fundo de ações rendeu 15%, o 
fundo de renda fixa rendeu 10% e a poupança 
rendeu 8%. Sabendo que Luiz Carlos investiu no 
fundo de ações apenas metade do que ele investiu 
na poupança, os juros que ele obteve em cada um 
dos investimentos foram: 
 
a) R$ 270,00 no fundo de ações, R$ 460,00 no 
fundo de renda fixa e R$ 288,00 na poupança. 
b) R$ 300,00 no fundo de ações, R$ 460,00 no 
fundo de renda fixa e R$ 258,00 na poupança. 
c) R$ 260,00 no fundo de ações, R$ 470,00 no 
fundo de renda fixa e R$ 288,00 na poupança. 
d) R$ 260,00 no fundo de ações, R$ 480,00 no 
fundo de renda fixa e R$ 278,00 na poupança. 
e) R$ 270,00 no fundo de ações, R$ 430,00 no 
fundo de renda fixa e R$ 318,00 na poupança. 
QUESTÃO 14 
Maria, Beth, Joana e Socorro foram fazer com-pras 
em uma loja onde três itens do vestuário feminino 
estavam em promoção: calças, blusas e cintos. 
Todos os modelos e tamanhos de cada um desses 
itens estavam com o mesmo preço. Ao final das 
compras, verificou-se que: 
 
• Maria gastou R$ 100,00 ao comprar três cal-ças, 
uma blusa e um cinto; 
• Beth gastou R$ 80,00 ao comprar uma calça, 
duas blusas e dois cintos; 
• Joana gastou R$ 60,00 ao comprar três blusas e 
um cinto; 
• Socorro comprou apenas uma calça, uma blusa e 
um cinto. 
 
De acordo com essas informações, é correto afirmar 
que, nessas compras, Socorro gastou: 
 
a) R$ 45,00 
b) R$ 50,00 
c) R$ 52,00 
d) R$ 55,00 
e) R$ 40,00 
QUESTÃO 15 
O sistema linear abaixo, nas incógnitas x e y: 
 
 
 
será impossível quando: 
 
A Nunca 
B p ≠ –6 e m = 1 
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C p ≠ –6 e m ≠ 1 
D p = –6 e m = 1 
E p = –6 e m ≠ 1 
QUESTÃO 16 
O sistema 
 
com 
 , é 
 
A ( ) determinado. 
B ( ) determinado somente 
quando : 
C ( ) determinado somente 
quando 
D ( ) impossível. 
E ( ) indeterminado. 
QUESTÃO 17 
Seja (x0 , y0 ,z0) a solução do sistema linear 
 
 
 
Os números x0, y0 e z0 formam, nessa ordem, uma 
progressão: 
 
a) geométrica de razão 2. 
b) aritmética de razão 2. 
c) geométrica de razão3. 
d) aritmética de razão 3. 
QUESTÃO 18 
Uma loja vende três tipos de lâmpada (x, y e z). Ana 
comprou 3 lâmpadas do tipo x, 7 do tipo y e 1 do 
tipo z, pagando R$ 42,10 pela compra. Beto 
comprou 4 lâmpadas do tipo x, 10 do tipo y e 1 do 
tipo z, o que totalizou R$ 47,30. Nas condições 
dadas, a compra de três lâmpadas, sendo uma de 
cada tipo, custa nessa loja 
 
(A) R$ 30,50. 
(B) R$ 31,40. 
(C) R$ 31,70. 
(D) R$ 32,30. 
(E) R$ 33,20. 
QUESTÃO 19 
 
O cérebro humano ficou maior ao longo do tempo e 
passou a exigir cada vez mais energia. A figura 
apresenta, para um período de 4 milhões de anos 
de evolução dos hominídeos até o surgimento do 
Homo sapiens atual, a relação entre o tempo t, em 
milhões de anos, e a porcentagem p de energia 
gasta pelos cérebros mostrados em relação à 
energia gasta pelos respectivos organismos em 
repouso. A figura mostra, ainda, a evolução do 
volume V dos cérebros, em cm
3
, nesse período. 
 
Considere a função V = f(t) = at
2
 + bt + c, em que a, 
b e c são constantes reais, t é o tempo — em 
milhões de anos — e V é o volume do crânio — em 
cm
3
. Suponha que, no sistema de coordenadas 
cartesianas tOV, o gráfico de f(t) contenha os pontos 
da forma (t, V) correspondentes ao H. erectus, ao H. 
sapiens primitivo e ao H. sapiens atual, de acordo 
com os dados da figura do texto. 
 
Com base nessas informações, julgue os itens a 
seguir (certo ou errado). 
• Os coeficientes da função f(t) podem ser obtidos 
como solução do seguinte sistema linear: 
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• O coeficiente a da função f(t) é igual a –100. 
 
• Se a evolução do volume do crânio humano 
seguisse a tendência estabelecida pela função f(t), 
então, daqui a 1 milhão de anos, ou seja, para t = 5, 
esse volume seria superior a 1.550 cm
3
. 
QUESTÃO 20 
Dado o sistema linear nas incógnitas x, y e z 
 
 
sejam a matriz dos 
coeficientes, a matriz das incógnitas 
e a matriz dos termos independentes. 
Sabendo que a matriz inversa de A 
é podemos afirmar que 
o valor de z que satisfaz o sistema de equações é: 
 
A. 
B. 
C. 
D. 
E. 
QUESTÃO 21 
Para subir nos mirantes P, S e T da torre de TV de 
uma cidade, a prefeitura cobra valores diferenciados 
aos visitantes em função da altura dos mirantes. 
O quadro a seguir mostra o número de visitantes de 
cada mirante e o valor arrecadado em um final de 
semana. 
 
Dia Mirante 
P 
Mirante 
S 
Mirante 
T 
Valor 
arrecadado 
(R$) 
Sexta 80 40 60 2.440,00 
Sábado 60 40 50 2.080,00 
Domingo 80 30 60 2.290,00 
 
Sobre os valores das tarifas, analise as seguintes 
afirmações: 
 
I. O valor da tarifa do mirante T corresponde ao 
dobro do valor da tarifa do mirante P. 
II. O valor da tarifa do mirante S corresponde a três 
quartos do valor da tarifa do mirante T. 
III. O valor da tarifa do mirante P corresponde a 40% 
do valor da tarifa do mirante S. 
 
Está CORRETO o que se afirma em 
 
A) II. 
B) II e III. 
C) III. 
D) I e II. 
E) I e III. 
QUESTÃO 22 
Uma bolsa contém 20 moedas, distribuídas entre as 
de 5, 10 e 25 centavos, totalizando R$ 3,25. 
Sabendo que a quantidade de moedas de 5 
centavos é a mesma das moedas de 10 centavos, 
quantas moedas de 25 centavos há nessa bolsa? 
 
a) 6. 
b) 8. 
c) 9. 
d) 10. 
e) 12. 
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QUESTÃO 23 
Uma empresa produz três tipos de brindes 
diferentes que devem ser transportados em três 
tipos de caixas diferentes. A quantidade de brindes 
de cada tipo para que a empresa transporte 42 
caixas do tipo X, 27 do tipo Y e 33 do tipo Z é, 
respectivamente, 
 
Tipos de caixas A B C 
X 4 3 2 
Y 5 2 3 
Z 2 2 3 
 
(A) 1, 2 e 3. 
(B) 2, 3 e 4. 
(C) 3, 4 e 5. 
(D) 4, 5 e 6. 
(E) 5, 6 e 7. 
QUESTÃO 24 
Assinale, na coluna I, as afirmativas verdadeiras e, 
na coluna II, as falsas. 
 
Considerando o sistema 
, analise as afirmativas a seguir e conclua. 
 
 
I II 
0 0 O sistema é impossível. 
1 1 O sistema é possível e indeterminado. 
2 2 O sistema é possível e determinado. 
3 3 O sistema admite como solução única x = 
4, y = 8, z = –11. 
4 4 O sistema admite como solução, para 
qualquer valor de x, a terna (x, x, 5x). 
QUESTÃO 25 
Considere o seguinte sistema de equações no 
conjunto dos números reais , nas variáveis x, y e 
z , no qual k é um parâmetro: 
 
 
 
O conjunto que representa os valores de k para os 
quais o sistema possua uma única solução é dado 
por: 
 
(A) – {1,3} 
(B) – {–1,1} 
(C) {1,3} 
(D) {–1,1} 
QUESTÃO 26 
Considere o seguinte sistema linear: 
 
 em que a e b são 
coeficientes reais. 
A respeito desse sistema e de seus conhecimentos 
sobre o assunto, assinale o que for correto. 
 
01) Se a tripla (1, 2, 3) é uma solução do sistema 
linear, então o sistema é possível e indeterminado. 
02) Se a = b = 0 , o sistema linear é impossível. 
04) Existem a, b reais, tais que a tripla (1, 0, 1) é 
uma solução do sistema linear. 
08) Se a = 2 e b = −1 , o sistema linear é impossível. 
16) Se y = z e b = 0 , o sistema linear é possível 
para qualquer valor de a. 
QUESTÃO 27 
Considere o sistema de equações lineares nas 
incógnitas x e y: 
 
 
em que a > 0. 
 
É correto afirmar que: 
 
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a) se a = 4, então o sistema é impossível. 
b) se a = 4, então o sistema é possível e 
determinado. 
c) se a = 4, então o sistema é possível e 
indeterminado. 
d) se a 4, então o sistema é impossível. 
e) se a = 2, então o sistema é possível e 
indeterminado. 
QUESTÃO 28 
Durante um torneio de arremesso de peso, um 
atleta teve seu arremesso tabelado: a altura (y) do 
peso em função de sua distância horizontal (x), 
medida em relação ao ponto de lançamento. 
Seja y(x) = ax
2
 + bx + c a função que descreve a 
trajetória (parabólica) do peso. Alguns valores da 
distância e da altura são fornecidos na tabela. 
 
Distância 
(metros) 
Altura 
(metros) 
1 2,0 
2 2,7 
3 3,2 
 
A altura máxima alcançada pelo peso foi: 
 
a. 2,6 m 
b. 3,2 m 
c. 3,6 m 
d. 2,2 m 
e. 5,2 m 
QUESTÃO 29 
Em uma floricultura, é possível montar arranjos 
diferentes com rosas, lírios e margaridas. Um 
arranjo com 4 margaridas, 2 lírios e 3 rosas custa 42 
reais. No entanto, se o arranjo tiver uma margarida, 
2 lírios e uma rosa, ele custa 20 reais. Entretanto, se 
o arranjo tiver 2 margaridas, 4 lírios e uma rosa, 
custará 32 reais. Nessa floricultura, quanto custará 
um arranjo simples, com uma margarida, um lírio e 
uma rosa? 
 
a) 5 reais 
b) 8 reais 
c) 10 reais 
d) 15 reais 
e) 24 reais 
QUESTÃO 30 
Em uma padaria, 3 sanduíches, 2 sucos e 4 
cafezinhos custam, juntos, R$ 12,90, enquanto 2 
sanduíches, 3 sucos e 5 cafezinhos custam, juntos 
R$ 13,50. Nesta padaria, quanto custam, juntos, 4 
sanduíches, 1 suco e 3 cafezinhos? 
 
A) R$ 12,20 
B) R$ 12,30 
C) R$ 12,40 
D) R$ 12,50 
E) R$ 12,60 
QUESTÃO 31 
No centro de uma cidade, dois conjuntos de ruas de 
mão única se cruzam, como mostra a figura. 
 
 
 
Tendo em vista que, em cada cruzamento, o 
número de veículos que entra é igual ao de veículos 
que sai, e levando-se em consideração as setas 
indicadas pela figura, pode-se afirmar que a 
modelagem matemática para determinar a 
quantidade de veículos entre cada um dos quatro 
cruzamentos, envolve um sistemade equações, que 
é 
 
01) incompatível. 
02) compatível e determinado. 
03) compatível e indeterminado, com uma variável 
livre. 
04) compatível e indeterminado, com duas variáveis 
livres. 
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05) compatível e indeterminado, com três variáveis 
livres. 
QUESTÃO 32 
Num determinado dia, três amigos resolveram fazer 
investimentos em compra de moedas estrangeiras, 
da seguinte forma: 
 
• O primeiro investirá, ao todo, R$ 2.900,00 na 
compra de: 1.000 ienes mais 400 dólares mais 900 
euros. 
• O segundo investirá, ao todo, R$ 2.800,00 na 
compra de: 2.000 ienes mais 200 dólares mais 
1.000 euros. 
• O terceiro investirá, ao todo, R$ 2.500,00 na 
compra de: 5.000 ienes mais 800 dólares mais 400 
euros. 
 
Quanto exatamente gastará um quarto amigo na 
compra de 3.000 ienes mais 500 dólares mais 600 
euros, nesse mesmo dia? 
 
(A) R$ 3.000,00. 
(B) R$ 2.700,00. 
(C) R$ 2.600,00. 
(D) R$ 2.400,00. 
(E) R$ 2.300,00. 
QUESTÃO 33 
O dono de uma loja de brinquedos gastará R$ 
75.000,00 para comprar 5.000 unidades, entre 
bolas, jogos e bonecas, de um fabricante. O custo 
unitário das bolas é R$ 10,00 e dos jogos, R$ 15,00, 
enquanto o preço das bonecas ainda está em 
negociação com o fabricante. O dono da loja não 
sabe ainda qual a quantidade exata que irá comprar 
de cada brinquedo, pois isso depende da venda de 
seu estoque, mas sabe que a quantidade de bolas 
deve ser o dobro da quantidade de bonecas. 
 
Com base nessas informações, o preço unitário de 
cada boneca, para que as quantidades de cada 
brinquedo que o dono da loja pode adquirir nesta 
compra fiquem indeterminadas, deve ser: 
 
(A) R$ 10,00 
(B) R$ 15,00 
(C) R$ 20,00 
(D) R$ 25,00 
(E) R$ 30,00 
QUESTÃO 34 
O sistema abaixo admite mais de uma solução. 
 
Então, segue-se que 
(A) e . 
(B) e . 
(C) e . 
(D) e . 
(E) e . 
QUESTÃO 35 
O sistema de equações 
 
possui 
 
a) nenhuma solução. 
b) uma solução. 
c) duas soluções. 
d) três soluções. 
e) infinitas soluções. 
QUESTÃO 36 
O sistema admite solução 
diferente de (0, 0, 0) se e somente se: 
 
a) 
b) 
c) p = 1 
d) p = 0 ou p = –1 
e) p = 1 ou p = –2 
 
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QUESTÃO 37 
Os elementos {a, b, c}, todos reais e positivos, 
estão, nesta ordem, em progressão geométrica. 
Sabendo que é possível e 
indeterminado, é CORRETO afirmar que 
necessariamente 
 
A) a será o único termo não nulo no conjunto {a, b, 
c}. 
 
B) se abc 0, então os elementos {a, b, c} estão, 
nesta ordem, também em progressão aritmética. 
C) ou mas , 
D) ou mas . 
E) pelo menos dois elementos no conjunto {a, b, c} 
são diferentes de zero. 
QUESTÃO 38 
Para que o sistema 
 
 
 
nas variáveis x e y possua única solução onde a e b 
são números reais fixos, ambos diferentes de zero, 
é suficiente que 
 
A) b seja positivo. 
B) a seja positivo. 
C) a e b sejam ambos positivos. 
D) a = b 
E) a ≠ b 
QUESTÃO 39 
Sabendo-se que o sistema é 
possível e indeterminado e que m e n são números 
reais, é CORRETO afirmar que o valor de 
 
A) m é igual a -1, e o valor de n pode ser qualquer 
número real. 
B) n é igual a 1, e o valor de m pode ser qualquer 
número real. 
C) m é igual a -1, e o valor de n é igual a 1. 
D) m é igual a zero, e o valor de n é igual a 1. 
E) m é igual a 1, e o valor de n é igual a -1. 
QUESTÃO 40 
Se x, y e z constituem a solução do sistema linear 
 
 
 
então o produto x · y · z é igual a 
 
A) – 4. 
B) – 8. 
C) – 2. 
D) – 6. 
QUESTÃO 41 
Um dos componentes para o cálculo da posição de 
uma seleção de futebol no ranking da Fifa é a 
importância dos jogos disputados nos últimos quatro 
anos. A pontuação varia de acordo com três tipos de 
jogo: 
 
● Tipo 1: jogos amistosos; 
● Tipo 2: torneios continentais ou Copa das 
Confederações; 
● Tipo 3: Copa do Mundo. 
 
O quadro seguinte mostra o número de jogos 
realizados por três seleções de futebol nos últimos 
quatro anos, por tipo de competição e o total de 
pontos obtidos. 
 
 Tipo 
1 
Tipo 
2 
Tipo 
3 
Total de 
pontos 
Seleção 
Alfa 
22 3 3 43 
Seleção 
Beta 
12 5 4 43 
Seleção 
Gama 
10 6 6 52 
 
De acordo com esses dados, quantos pontos vale 
um jogo na Copa das Confederações? 
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a) 1,0 ponto. 
b) 2,5 pontos. 
c) 3,0 pontos. 
d) 3,5 pontos. 
e) 4,0 pontos. 
QUESTÃO 42 
Uma empresa deve enlatar uma mistura de 
amendoim, castanha-de-caju e castanha-do-pará. 
Sabe-se que o quilo de amendoim custa R$ 5,00, o 
quilo de castanha de caju, R$ 20,00 e o quilo de 
castanha-do-pará, R$ 16,00. Cada lata deve conter 
meio quilo da mistura e o custo total dos 
ingredientes de cada lata deve ser de R$ 5,75. Além 
disso, a quantidade de castanha-de-caju em cada 
lata deve ser igual a um terço da soma das outras 
duas. Nesse caso, as quantidades de cada 
ingrediente por lata são 
 
a) 270 g de amendoim, 125 g de castanha-de-caju e 
105 g de castanha-do-pará. 
b) 270 g de amendoim, 172,5 g de castanha-de-caju 
e 57,5 g de castanha-do-pará. 
c) 250 g de amendoim, 125 g de castanha-de-caju e 
125 g de castanha-do-pará. 
d) 228 g de amendoim, 100 g de castanha-de-caju e 
72 g de castanha-do-pará. 
QUESTÃO 43 
Uma família fez uma pesquisa de mercado, nas 
lojas de eletrodomésticos, à procura de três 
produtos que desejava adquirir: uma TV, um freezer 
e uma churrasqueira. Em três das lojas 
pesquisadas, os preços de cada um dos produtos 
eram coincidentes entre si, mas nenhuma das lojas 
tinha os três produtos simultaneamente para a 
venda. A loja A vendia a churrasqueira e o freezer 
por R$ 1.288,00. A loja B vendia a TV e o freezer 
por R$ 3.698,00 e a loja C vendia a churrasqueira e 
a TV por R$ 2.588,00. 
A família acabou comprando a TV, o freezer e a 
churrasqueira nestas três lojas. O valor total pago, 
em reais, pelos três produtos foi de 
 
(A) 3.767,00. 
(B) 3.777,00. 
(C) 3.787,00. 
(D) 3.797,00. 
(E) 3.807,00. 
QUESTÃO 44 
Uma indústria cerâmica produz tijolo, telha e lajota 
com produção diária de 90 mil peças. Sabe-se que o 
número de telhas produzidas é igual à metade da 
soma do número de tijolos com o de lajotas, que os 
custos de produção do milheiro do tijolo, da telha e 
da lajota são respectivamente 100, 200 e 300 reais 
e que o custo diário total da produção é de R$ 
16.000,00. Com base nesses dados, é correto 
afirmar que a indústria produz por dia 
 
(A) mais de 30 milheiros de tijolos e menos de 29 
milheiros de lajotas. 
(B) menos de 29 milheiros de tijolos e menos de 29 
milheiros de lajotas. 
(C) mais de 50 milheiros de tijolos e menos de 30 
milheiros de lajotas. 
(D) 30 milheiros de tijolos e 30 milheiros de telhas. 
(E) 29 milheiros de tijolos e 39 milheiros de lajotas. 
QUESTÃO 45 
Assinale o que for correto, considerando o seguinte 
sistema de equações lineares nas variáveis reais x, 
y e z, em que m, a, b e c são constantes reais. 
 
 
 
01) A regra de Cramer se aplica à resolução do 
sistema dado, quando m é um número real tal que 
m ≠ −2 , m ≠ 0 e m ≠ 2 . 
 
02) Se m = 1, existe uma única tripla (a, b, c) de 
modo que x = y = z = 0 seja a única solução do 
sistema. 
 
04) Para m = −1, a = b =1 e c = −1, a tripla (2, 2, − 
3) é uma solução do sistema.08) Se m = 0 e a = b, então o sistema é impossível. 
 
16) Se m = 2 e a = b = c = 3, então x = t, y = −2t e z 
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= 9 + 7t, em que t é um número real, são soluções 
do sistema. 
QUESTÃO 46 
Considere o sistema linear 
a) Resolva o sistema para k = 1. 
b) Ache o valor de x na solução do sistema para k = 
0, k = 2, k = 3 e k = 5. 
c) Para quais valores de k o sistema não tem 
solução? 
QUESTÃO 47 
Encontre a solução do sistema linear abaixo, 
utilizando o processo de escalonamento ou o 
processo de substituição de variáveis: 
 
 
QUESTÃO 48 
Foram estudados três tipos de alimentos, para os 
quais se determinou, para a mesma quantidade (1 
g), que: 
 
Diariamente, o corpo humano necessita de 1 100 
unidades de vitamina A, 900 unidades de vitamina B 
e 2 000 unidades de vitamina C. 
Encontre todas as possíveis quantidades dos 
alimentos I, II e III que fornecem as unidades de 
vitaminas desejadas para serem ingeridas 
diariamente. 
QUESTÃO 49 
João entrou na lanchonete BOG e pediu 3 
hambúrgueres, 1 suco de laranja e 2 cocadas, 
gastando R$ 21,50. Na mesa ao lado, algumas 
pessoas pediram 8 hambúrgueres, 3 sucos de 
laranja e 5 cocadas, gastando R$ 57,00. 
 
Sabendo-se que o preço de um hambúrguer, mais o 
de um suco de laranja, mais o de uma cocada 
totaliza R$ 10,00, calcule o preço de cada um 
desses itens. 
QUESTÃO 50 
Num certo dia, três donas de casa compraram 
produtos A, B e C, em um supermercado, a preços 
x, y e z por quilo, respectivamente. A primeira 
comprou 1, 2 e 3 quilos de A, B e C, 
respectivamente, e pagou o total de 22 reais. A 
segunda comprou 3, 4 e 2 quilos desses produtos, 
respectivamente, e pagou o total de 33 reais. A 
terceira comprou 2 quilos de A, 8 quilos de B e uma 
quantidade de m quilos de C e pagou um total de n 
reais. Calcule 
 
A) os valores de m e n para os quais não é possível 
determinar, apenas com base nos dados anteriores, 
os preços x, y e z; 
 
B) os preços x, y e z, no caso em que m = 15 e n = 
90. 
QUESTÃO 51 
A figura ilustra parte do gráfico de uma função 
polinomial p(x) de grau 3, com coeficientes reais. 
 
Sabendo que p(1 + i) = 0, em que i
2
= –1, obtenha 
p(x). 
 
 
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QUESTÃO 52 
a. Suponha que, num cruzamento de ruas de mão 
única, as médias de veículos que, por minuto, 
entram e saem desse cruzamento são mostradas 
neste diagrama: 
 
Seja x a média de veículos que entram, por minuto, 
no cruzamento, pela rua horizontal, no sentido leste-
oeste. 
 
Calculeo valor de x. 
 
b. Suponha, agora, que, numa região do centro de 
uma cidade, com ruas de mão única, as médias de 
veículos que, por minuto, entram ou saem dos 
cruzamentos são mostradas neste diagrama: 
 
 
Sejam x, y, z e w as médias de veículos que, por 
minuto, entram ou saem de cada um dos quatro 
cruzamentos mostrados nesse diagrama. 
 
Calculeos valores de x, y, z e w. 
QUESTÃO 53 
Considerando os sistemas lineares 
I: e II: , em 
que k é uma constante real, assinale o que for 
correto. 
 
01) O sistema I é possível e determinado. 
 
02) Não existe valor real de k para o qual o sistema 
II seja possível e indeterminado. 
 
04) Existe um único valor da constante real k para o 
qual o sistema II seja possível e determinado. 
 
08) Se k = −6, o sistema II é equivalente ao sistema 
I. 
 
16) O par ordenado (−1,1) é solução do sistema II, 
para algum valor real de k. 
QUESTÃO 54 
Considere o seguinte sistema de equações lineares 
de incógnitas reais x e y em que k, m e n são 
constantes reais: 
 
 
 
Com respeito ao sistema, assinale a(s) alternativa(s) 
correta(s). 
 
01) Se n = 5, o sistema pode ter infinitas soluções. 
 
02) Se m = 2, o sistema não possui solução. 
 
04) Se n = −3, m = 2 e k ≠ 3, o sistema possui uma 
única solução. 
 
08) O sistema dado não é homogêneo. 
 
16) O par ordenado (0,0) é solução do sistema para 
convenientes valores de k, m e n. 
QUESTÃO 55 
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Determine os valores reais de m e n para os quais a 
equação 
 
 
 
A) não tenha solução; 
B) tenha infinitas soluções; 
C) tenha uma única solução. 
QUESTÃO 56 
Pedro precisa comprar x borrachas, y lápis e z 
canetas. Após fazer um levantamento em duas 
papelarias, Pedro descobriu que a papelaria A cobra 
R$ 23,00 pelo conjunto de borrachas, lápis e 
canetas, enquanto a papelaria B cobra R$ 25,00 
pelo mesmo material. Em seu levantamento, Pedro 
descobriu que a papelaria A cobra R$ 1,00 pela 
borracha, R$ 2,00 pelo lápis e R$ 3,00 pela caneta e 
que a papelaria B cobra R$ 1,00 pela borracha, R$ 
1,00 pelo lápis e R$ 4,00 pela caneta. 
 
a) Forneça o número de lápis e de borrachas que 
Pedro precisa comprar em função do número de 
canetas que ele pretende adquirir. 
 
b) Levando em conta que x 1, y 1 e z 1, 
e que essas três variáveis são inteiras, determine 
todas as possíveis quantidades de lápis, borrachas 
e canetas que Pedro deseja comprar. 
QUESTÃO 57 
Seja o sistema linear de 
incógnitas x, y e z , onde k é um parâmetro real. 
 
Determine o valor de k para que o sistema seja 
possível e indeterminado. 
QUESTÃO 58 
Seja 
 um polinômio de grau n tal 
que para qualquer j entre 0 e n. 
Seja 
 o polinômio de grau n – 1 em que os 
coeficientes , são os mesmos 
empregados na definição de f(x). 
 
a) Supondo que n = 2, mostre 
que , para 
todo 
 
b) Supondo que n = 3 e que a3 = 1, determine a 
expressão do polinômio f(x), sabendo que f(1) = g(1) 
= f(–1) = 0. 
QUESTÃO 59 
Assinale a(s) proposição(ões) correta(s). 
 
01. O lucro, em reais, para a comercialização de x 
unidades de um determinado produto é dado por 
L(x) = –1.120 + 148x – x
2
. Então, para que se tenha 
lucro máximo, deve-se vender 74 produtos. 
02. Jonas possui um carro bicombustível que 
funciona com gasolina e álcool ou com a mistura 
dos dois. Em certo posto de abastecimento, em 
virtude do preço, colocou 45 litros de combustível, 
entre gasolina e álcool. Se a quantia de álcool 
colocada foi exatamente da de gasolina, então o 
total de gasolina nesse abastecimento foi de 20 
litros. 
04. Se x é um número real positivo e log10 (log10x) 
< 1, então x < 10
10
. 
08. No ano de 2014, o Brasil irá sediar a Copa do 
Mundo de Futebol. Em 1950, nosso país já foi sede 
da Copa e na ocasião obtivemos o 2º lugar. 
Sabendo que as edições desse campeonato 
ocorrem de quatro em quatro anos, então, contando 
as edições desde 1950 até a que acontecerá em 
2014, incluíndo essas, tem-se um total de 16 Copas 
do Mundo de Futebol. 
16. O fisiologista francês Jean Poisewille, no final da 
década de 1830, descobriu a fórmula matemática 
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que associa o volume V de líquido que passa por 
um vaso ou artéria de raio r a uma pressão 
constante: 
V = k · r
4 
 
 
Disponível em: 
<http://medicalimages.allrefer.com/large/developme
ntal-process of atherosclerosis.jpg>. Acesso em: 12 
nov. 2012. Adaptado. 
Com isso, pode-se estimar o quanto se deve 
expandir uma veia ou artéria para que o fluxo 
sanguíneo volte à normalidade. Portanto, uma 
artéria que foi parcialmente obstruída, tendo seu 
raio reduzido à metade, tem também o volume do 
fluxo sanguíneo reduzido à metade. 
32. O sistema é um sistema 
possível e indeterminado para . 
64.Com base nos dados do gráfico abaixo, pode-se 
concluir que, do ano de 2000 para o ano de 2010, o 
rendimento real médio dos domicílios da Região 
Centro-Oeste aumentou mais que 22%. 
 
IBGE, Censo Demográfico 2000/2010. Adaptado. 
QUESTÃO 60 
Considere o 
sistema sendo 
 
 
Classifique o sistema em função dos parâmetros a e 
b. 
QUESTÃO 61 
Suponha que seu nutricionista recomendou que 
você tomasse 350 mg de vitamina C, 4.200 UI de 
vitamina A e 500 UI de vitamina D. Cada unidade de 
suplemento X, Y e Z contém as quantidades 
indicadas na tabela das vitaminas C, A e D a 
seguir: 
 X Y Z 
Vitamina C 50 mg 100 mg 50 mg 
Vitamina A 1.000 UI 200 UI 500 UI 
Vitamina D 100 UI 200 UI 0 UI 
Admitindo essas informações analise as afirmações 
a seguir: 
 
0-0) para atender corretamente às recomendações 
de seu nutricionista você pode utilizar: três unidades 
do suplemento X, uma unidade do suplemento Y e 
duas unidades do suplemento Z. 
 
1-1) para atender corretamente às recomendações 
de seu nutricionista você pode utilizar duas 
unidades de cada um dos suplementos. 
 
2-2) é impossível atender às recomendações do 
nutricionista usando os suplementos X, Y e Z. 
 
3-3) para atender corretamente às recomendações 
de seu nutricionista você pode utilizar seis unidades 
dentre os suplementos X, Y e Z, escolhidas como 
desejar. 
 
4-4) é possível atender às recomendações do 
nutricionista de infinitas maneiras diferentes. 
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QUESTÃO 62 
Um fabricante combina cereais, frutas desidratadas 
e castanhas para produzir três tipos de granola. As 
quantidades, em gramas, de cada ingrediente 
utilizado na preparação de 100 g de cada tipo de 
granola são dadas na tabela a seguir. 
Tipo de 
granola/ingredientes 
Cereais Frutas Castanhas 
Light 80 10 10 
Simples 60 40 0 
Especial 60 20 20 
O fabricante dispõe de um estoque de 18 kg de 
cereais, 6 kg de frutas desidratadas e 2 kg de 
castanhas. Determine quanto de cada tipo de 
granola ele deve produzir para utilizar exatamente o 
estoque disponível. 
QUESTÃO 63 
Uma mesa de massa total 32 kg foi construída 
utilizando-se dois materiais: madeira e aço. Na 
confecção desse objeto, foi gasto o mesmo valor na 
compra de cada material. Sabendo que o custo de 
cada quilograma de aço foi um terço do custo de 
cada quilograma de madeira, qual a quantidade de 
aço utilizada na construção dessa mesa? 
QUESTÃO 64 
 tipo de material utilizado (em 
gramas) 
brinquedo plástico tecido espuma 
urso 200 300 500 
coelho 300 200 400 
elefante p 500 200 
 
Na confecção de ursos, coelhos e elefantes de 
pelúcia, uma indústria utiliza três tipos de materiais: 
tecido, espuma e plástico. A quantidade de material 
usado na fabricação de cada um desses brinquedos 
está indicada na tabela acima. Nessa indústria, um 
funcionário, para produzir x ursos, y coelhos e z 
elefantes de pelúcia em um dia de trabalho, utiliza 
1,8 kg de plástico; 2,3 kg de tecido e 2,7 kg de 
espuma. Com base na situação descrita, julgue os 
itens que se seguem. 
 
• Se p = 300, então o referido funcionário produziu 
três ursos de pelúcia em um dia de trabalho. 
 
• Com base nas informações apresentadas, conclui-
se que é igual a zero o determinante da matriz 
abaixo. 
 
 
• Considerando-se que a equipe de controle de 
qualidade de produção dessa indústria tenha 
decidido sortear, entre os animais produzidos por 
esse funcionário, dois animais para inspeção e 
considerando, ainda, que p = 300, então é superior 
a 10% a chance de serem escolhidos um coelho e 
um elefante. 
QUESTÃO 65 
Após pesquisas na internet, um internauta construiu 
a seguinte tabela, com produtos de seu interesse: 
 
CUSTO 
UNITÁRIO 
PRODUTOS 
PENDRIVE LIVRO DVD 
R$ 30,00 
(8GB) 
R$ 40,00 
(Infantil) 
R$ 50,00 
(Filme) 
R$ 60,00 
(16GB) 
R$ 70,00 
(Técnico) 
R$ 55,00 
(Musical) 
 
Esse internauta efetuou compras, adquirindo um 
total de 120 objetos. Os produtos comprados foram: 
pendrives, livros e DVDs. Sabe-se que as 
quantidades adquiridas de pendrives de 8GB e 
16GB foram iguais, e que valem afirmações 
análogas com relação aos tipos de livros e também 
aos tipos de DVDs. Além disso, sabe-se que 
o internauta gastou R$ 2.600,00, ao adquirir 
pendrives de 8GB, livros infantis e DVDs de música, 
e gastou R$ 3.700,00, ao adquirir pendrives de 
16GB, livros técnicos e DVDs de filme. Determine a 
quantidade de pendrives comprada por esse 
internauta. 
QUESTÃO 66 
As estudantes Angélica, Beatriz e Clarissa foram a 
uma lanchonete, e cada uma consumiu um tipo de 
lanche. Ao ser solicitada a conta detalhada, o 
garçom, que tem facilidades com aritmética, 
forneceu as seguintes informações, em tom de 
desafio: "A conta totalizou R$ 53,20. Além disso, 
observei que, somando-se R$ 56,00 à parte da 
Clarissa, obtém-se o dobro da parte da Angélica 
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mais o triplo da parte da Beatriz e, por outro lado, 
somando-se o triplo da parte da Angélica com o 
dobro da parte da Beatriz, obtém-se a parte da 
Clarissa mais R$ 63,00". Rapidamente, cada uma 
delas descobriu sua parte na conta. Se cada 
estudante pagou sua parte com uma nota de R$ 
50,00, calcule o troco que coube a cada uma. 
QUESTÃO 67 
Considerando S o sistema de equações 
lineares , em que 
α é uma constante real e x e y são as incógnitas 
reais, assinale o que for correto. 
 
01) Se , ,então o sistema S é 
possível e determinado. 
02) Se , então o sistema S não possui 
solução. 
04) O par ordenado (1, 0) é uma solução do 
sistema S para alguma constante real α. 
08) O sistema S pode ter infinitas soluções para 
alguma constante real α. 
16) Se , então o par 
ordenado é solução do sistema 
S. 
QUESTÃO 68 
Considere o seguinte sistema linear nas incógnitas x 
e y 
 
 
 
Observando-se que o coeficiente de y na segunda 
equação é um parâmetro a, 
 
a) determine para quais valores de a o sistema tem 
solução. 
 
b) determine as soluções x e y em função do 
parâmetro a, caso o sistema tenha solução. 
 
c) determine todos os valores de a para os quais o 
sistema tenha como solução números inteiros x e y. 
QUESTÃO 69 
Considere o sistema linear nas incógnitas x, y e z 
 
 
a) Determine tal que o sistema tenha infinitas 
soluções. 
b) Para encontrado em A, determine o conjunto-
solução do sistema. 
QUESTÃO 70 
Considere o sistema nas variáveis reais x e y: 
 
com e . Analise para que 
valores de , a e bo sistema é: I. possível 
determinado; II. possível indeterminado; III. 
impossível. Nos casos I e II, encontre o respectivo 
conjunto-solução. 
QUESTÃO 71 
Numa expedição arqueológica em busca de 
artefatos indígenas, um arqueólogo e seu assistente 
encontraram um úmero, um dos ossos do braço 
humano. Sabe-se que o comprimento desse osso 
permite calcular a altura aproximada de uma pessoa 
por meio de uma função do primeiro grau. 
 
a) Determine essa função do primeiro grau, sabendo 
que o úmero do arqueólogo media 40 cm e sua 
altura era 1,90 m, e o úmero de seu assistente 
media 30 cm e sua altura era 1,60 m. 
 
b) Se o úmero encontrado no sítio arqueológico 
media 32 cm, qual era a altura aproximada do 
indivíduo que possuía esse osso? 
QUESTÃO 72 
Para obter um complemento nutricional, Pedro vai 
misturar x gramas de óleo do tipo I, y gramas de 
óleo do tipo II e z gramas de óleo do tipo III. O 
preço por grama, a quantidadede vitaminas 
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presenteas em 1 grama de óleo de cada tipo estão 
dispostos na tabela a seguir. 
 
 Óleo 
tipo I 
Óleo tipo 
II 
Óleo tipo 
III 
Unidades de 
vitamina A 
2 3 5 
Unidades de 
vitamina B 
4 4 0 
Unidades de 
vitamina C 
6 7 5 
Preço por 
grama 
R$ 0,30 R$ 0,50 R$ 0,50 
 
Para Pedro obter um complemento nutricional que 
contenha exatamente 7 unidades de vitamina A, 8 
unidades de vitamina B e 15 unidades de vitamina 
C, determine 
 
A) todos os possíveis valores de x, y e z; 
B) os valores de x, y e z de forma que o preço do 
complemento seja 1 real; 
C) os valores de x, y e z de forma que o preço do 
complemento seja mínimo. 
QUESTÃO 73 
Sobre o sistema de equações lineares apresentado 
abaixo, analise as proposições a seguir, 
sendo um parâmetro real. 
 
 
0-0) Se , então o sistema admite infinitas 
soluções. 
1-1) O sistema sempre admite solução. 
2-2) Quando o sistema admite solução, temos que 
. 
3-3) Se , então o sistema admite uma única 
solução. 
4-4) Se , então o sistema admite a solução 
. 
QUESTÃO 74 
Uma padaria possui 3 tipos de padeiros, 
classificados como A, B e C. Essa padaria é bem 
conhecida na cidade pela qualidade do pão francês, 
da baguete e do pão de batata. 
 
Cada padeiro do tipo A produz, diariamente, 30 
pães franceses, 100 baguetes e 20 pães de batata. 
Cada padeiro do tipo B produz, diariamente, 30 
pães franceses, 70 baguetes e 20 pães de batata. 
Cada padeiro do tipo C produz, diariamente, 90 
pães franceses, 30 baguetes e 100 pães de batata. 
 
Quantos padeiros do tipo A, do tipo B e do tipo C 
são necessários para que em um dia a padaria 
produza, exatamente, 420 pães franceses, 770 
baguetes e 360 pães de batata? 
Apresente os cálculos realizados na resolução desta 
questão. 
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QUESTÃO 1 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
(Resolução oficial.) 
 
O sistema será possível e determinado se e 
somente se: 
 
 
 
consequentemente, 3 + 4m + 2 – 18 
0 → 
 
QUESTÃO 2 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
De acordo com as informações do enunciado e da 
tabela de nutrientes, tem-se: 
 
 
 
Subtraindo a terceira equação da primeira, 
encontra-se y = 2,5 hectares. Substituindo este valor 
nas demais equações, tem-se: 
 
 
 
Portanto, foram plantados 2 hectares de soja, 2,5 
hectares de arroz e 1 hectare de milho. 
 
QUESTÃO 3 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
Se o determinante da matriz formada pelos 
coeficientes das equações for igual a zero, o 
sistema é impossível. 
Então: 
 
Se , o sistema é impossível: 
 
Se , o sistema é impossível: 
 
Portanto, a alternativa E está correta. 
 
QUESTÃO 4 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Ambos os sistemas possuem a solução trivial (0, 0, 
0). 
Além disso, todo sistema homogêneo com menos 
equações do que incógnitas tem infinitas soluções, o 
que não ocorre quando o sistema possui a mesma 
quantidade de equações e incógnitas. 
Portanto, nem toda solução do sistema (2) é solução 
do sistema (1). 
 
QUESTÃO 5 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
O sistema será impossível se o determinante da 
matriz incompleta for nulo e o determinante 
de uma submatriz da matriz 
completa for diferente de 
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zero. Veja: 
Se k = 1, a matriz completa é e os 
determinantes possíveis são nulos. 
Se k = –1, a matriz completa é e 
o determinante da submatriz é igual a 
5. Portanto, k = –1 é o único valor que torna o 
sistema impossível. 
 
QUESTÃO 6 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Para (5c – 5) 0 → c 1, teremos um sistema 
possível e determinado. 
Para (5c – 5) = 0 → c = 1 e 3a – 7b = 0 → a = , 
teremos um sistema possível e indeterminado. 
Para (5c – 5) = 0 → c = 1 e 3a – 7b 0 → 
a , teremos um sistema impossível. 
 
QUESTÃO 7 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
O sistema não é possível e determinado se o 
determinante dos coeficientes for nulo. Assim, 
 
 
 
Como k IN, k! = 6, então k = 3. 
 
QUESTÃO 8 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Montando o sistema com p = número de 
comprimidos que Pedro toma, j = comprimidos que 
João toma e m = comprimidos que Márcia toma: 
 
 
 
. 
 
QUESTÃO 9 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Considerando que tenham sido vendidos L leitões e 
G galinhas, temos: 
 
L + G = 250 (I) 
Como o agricultor recebeu R$ 9.600,00 pela venda 
desses animais, temos: 
 
120L + 18G = 9600 (II) 
 
As equações (I) e (II) formam um sistema: 
 
L + G = 250 (I) 
120L + 18G = 9600 (II) 
 
Substituíndo (I) em (II), temos: 
L = 50 e G = 200 
Foram vendidos, portanto, 50 leitões. 
 
QUESTÃO 10 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Seja X = com x, y e z reais, temos: 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Escalonando o sistema, temos: 
 
 
 
 
Observando a terceira temos que: 
I. O sistema será possível e indeterminado 
se . 
II. O sistema será impossível 
se . 
 
Sendo assim, T = –4 e S = 0, portanto, T – S = –4 – 
0 = – 4. 
 
QUESTÃO 11 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 → sistema 
impossível ou possível indeterminado. 
 → sistema impossível. 
 → sistema impossível. 
 → sistema possível indeterminado. 
 
QUESTÃO 12 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Sejam x, y e z o número de gols das equipes X, Y e 
Z, respectivamente. Então: 
 
Substituindo a segunda e a terceira equações na 
primeira, temos: 
 
Portanto, y = 45 – 8 = 37 gols. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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QUESTÃO 13 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 
 
 
Substituindo III em I e II 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
Portanto, Luiz Carlos recebeu R$ 270,00 de juros no fundo de ações, R$ 460,00 de juros no fundo de renda fixa e R$ 
288,00 de juros na poupança. 
 
QUESTÃO 14 
C 
RESOLUÇÃO: 
Sejam as incógnitas 
x = preço de uma calça 
y = preço de uma blusa 
z = preço de um cinto 
 
Então: 
 
Da segunda equação sai . 
Substituindo esta na primeira equação, 
 
temos 
 
Portanto, Socorro gastou x + y + z = 24 + 28 = R$ 
52,00. 
 
QUESTÃO 15 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
(Resolução oficial) 
 
Adicionando à 2
a
 equação a 1
a
 multiplicada por –2 
obteremos: 
 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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O sistema acima será impossível se –p – 6 = 0 e 2 – 
2m ≠ 0 , ou seja, para p = –6 e m ≠ 1. 
 
QUESTÃO 16 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Se c1 = 0 e c2 ≠ 0, então: a1 · 0 + a2 · c2 = b1 · 0 + 
b2c2 = 0 ⇒ a2 = b2 = 0 e a equação 0 · x + 0 · y = 
c2 ≠ 0 não tem solução. 
Se c1 ≠ 0 e c2 = 0, então: a1 · c1 + a2 · 0 = b1 · c1 + 
b2 · 0 = 0 ⇒ a1 = b1 = 0 e a equação 0 · x + 0y = c1 
≠ 0 não tem solução. 
Se c1 ≠ 0 e c2 ≠ 0, 
então: 
 
⇒ (a1c1 + a2c2) x + (b1c1 + b2c2) y = ⇒ 0 · 
x + 0 · y = + c
2
 ≠ 0 e, portanto, o sistema é 
impossível. 
 
QUESTÃO 17 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
 
A solução do sistema é (2, 4, 6), que forma uma 
progressão aritmética de razão 2. 
 
QUESTÃO 18 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 
Temos: 
 
 
Substituindo em I 
 
 
Somando o preço das 3 lâmpadas, temos: 
 
 
Nas condições dadas, a compra de três lâmpadas, 
sendo uma de cada tipo, custa R$ 31,70. 
 
QUESTÃO 19 
C C C 
 
RESOLUÇÃO:• C – Homo erectus (3; 900): 9a + 3b + c = 900. 
Homo sapiens primitivo (3,5; 1150): 12,25a + 3,5b + 
c = 1150. Homo sapiens atual (4; 1350): 16a + 4b + 
c = 1350. Assim, 
 
 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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• C – O coeficiente é –100, conforme mostrado a 
seguir: 
 
Fazendo (II) - (I), temos 3,25a + 0,5b = 250 
Fazendo (III) - (II), temos 3,75a + 0,5b = 200 
Com as duas novas equações encontradas, temos 
0,5a = – 50 ou a = –100. 
 
• C – Continuando a resolução do sistema da 
questão anterior, em que a = –100, temos b = 1150 
e c = – 1650. Assim, a função é: 
V = f(t) = –100t 
2
 + 1150t – 1650, portanto, f(5) = –
100 • 5
2
 + 1150 • 5 – 1650 = 1600 cm
3
. 
 
QUESTÃO 20 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
Utilizando escalonamento, temos que: 
 
 
Portanto, . 
 
QUESTÃO 21 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Escalonando a matriz, temos: 
 
 
 
Então, o valor do mirante S é 15. 
 
2S + T = 50 
T = 50 – 30 = 20 
O valor do mirante T é 20. 
 
8P + 4S + 6T = 244 
8P = 244 – 60 – 120 = 64 
P = 8 
Por fim, o valor do mirante P é 8. 
 
Considerando esses dados e analisando as 
afirmações, temos que: 
 
I. Incorreta. T não é o dobro de P: 
2P = 2 · 8 T = 20 
 
II. Correta. S é equivalente a três quartos de T. 
 
 
III. Incorreta. P não é equivalente a 40% de S. 
0,4 · 15 = 6 P = 8 
 
QUESTÃO 22 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Sendo x, y e z , respectivamente, as quantidades de 
moedas de 5, 10 e 25 centavos, então: 
 
Resolvendo o sistema temos: 
 
Multiplicando a primeira equação por –15 e a 
segunda por 2, temos: 
 
Somando as duas equações, temos: 
z = 10 
 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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QUESTÃO 23 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Resolvendo o sistema: 
 
 
 
QUESTÃO 24 
GABARITO: 
I. 0 
II. 1, 2, 3 e 4 
RESOLUÇÃO: 
Não existe x, y, z que satisfaçam as três equações 
que compõem o sistema em questão que, portanto, 
deve ser classificado como impossível. 
 
QUESTÃO 25 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Para que o sistema tenha uma única solução (seja 
possível e determinado), o determinante formado 
por seus coeficientes deve ser diferente de zero. 
Veja: 
 
 
 
Como a soma dos coeficientes é igual a zero, uma 
raiz do polinômio k
3
 – 7k
2
 + 15k – 9 é k = 1. 
Portanto, o polinômio pode ser escrito como (k – 
1)(k
2
 – 6k + 9). Assim, encontra-se as outras duas 
raízes, que são reais e iguais a 3. 
Logo, para que o sistema tenha uma única solução, 
k deve ser diferente de 1 e de 3, isto é, k pertence 
ao conjunto . 
 
QUESTÃO 26 
01 + 04 + 08 = 13 
 
RESOLUÇÃO: 
01) Correto. Substituindo (x, y, z) por (1, 2, 3), 
temos: 
 
Nesse caso, para a = 2, a segunda e a terceira 
colunas da matriz dos coeficientes desse 
sistema serão opostas uma da outra. Quando duas 
colunas são proporcionais, o determinante é nulo. 
Se o determinante é nulo, o sistema pode ser 
indeterminado ou impossível. Como nesse caso já 
foi encontrada uma solução (1, 2, 3), o sistema não 
pode ser impossível. Então será indeterminado. 
02) Incorreto. Substituindo (a, b) por (0, 0), temos: 
 
 
Logo, y = –0,75 
z = y = –0,75 
x = 3 + 2 · (–0,75) = 3 – 1,5 = 1,5 
Como o sistema apresenta solução, ele não é 
impossível. 
04) Correto. Substituindo (x, y, z) por (1, 0, 1), 
temos: 
 
Então a tripla é uma solução. 
08) Correto. Substituindo (a, b) por (2,–1), temos: 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Somando a primeira e a segunda equações temos 0 
= 3, o que é impossível. 
16) Incorreto. Substituindo y por z e b por 0, temos: 
 
Nesse caso, x = 1,5. Substituindo na primeira 
equação, temos (a – 2)z = 3 – 1,5 = 1,5. 
Logo, o sistema será determinado para todos os 
valores de a com exceção do 2. Se a = 2, teremos 0 
= 1,5, o que é impossível. 
 
QUESTÃO 27 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Como o sistema é homogêneo, deve apesentar ao 
menos uma solução, que seria a trivial (x = y = 0). 
Então, resta saber se o sistema é determinado 
(apresenta apenas a solução trivial) ou se é 
indeterminado (apresenta infinitas 
soluções, incluindo a trivial). 
 
Apenas com essa informação, elimina-se as 
alternativas A e D. Resta saber o que ocorre no 
caso de a = 4 e de a = 2. 
 
Sabem-se que se a matriz dos coeficientes tiver 
determinante nulo, o sistema será indeterminado. 
Caso contrário, o sistema será determinado. 
Vejamos o que ocorre se a = 4: 
 
 
Nesse caso, o determinante não é 0 e o sistema é 
determinado (comprovando a alternativa B e 
negando a alternativa C). Testemos a alternativa 
E, quando a = 2: 
 
 
 
Nesse caso o determinante também não é 0 e o 
sistema continua sendo determinado, o que nega a 
alternativa E. 
 
QUESTÃO 28 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
De acordo com a tabela, temos: 
 
 
 
 
Subtraindo da segunda equação o dobro da 
primeira: 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Logo, a função que descreve o movimento é y(x) = –
0,1x
2
 + x + 1,1. A altura máxima é: 
 
m. 
 
QUESTÃO 29 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Sendo M o número de margaridas, L o número de lírios e 
R o número de rosas, podemos montar o seguinte 
sistema: 
4M + 2L + 3R = 42 (equação I) 
1M + 2L + 1R = 20 (equação II) 
2M + 4L + 1R = 32 (equação III) 
 
Escalonando o sistema: 
(– I + 4 · II) 
 – 4M – 2L – 3R = –42 
 4M + 8L + 4R = 80 
 6L + R = 38 (equação IV) 
 
(– I + 2 · III) 
– 4M – 2L – 3R = –42 
 4M + 8L + 2R = 64 
 6L – R = 22 (equação V) 
 
(IV + V) 
6L + R = 38 
6L – R = 22 
12L = 60 
L = 5 reais 
 
Substituindo L em V, temos: 
6 · 5 – R = 22 
30 – R = 22 
– R = 22 – 30 = –8 
R = 8 reais 
 
Substituindo L e R em II, temos: 
M + 2 · 5 + 8 = 20 
M + 10 + 8 = 20 
M + 18 = 20 
M = 20 – 18 = 2 reais 
 
Logo, se fizermos um arranjo com 1 margarida, 1 lírio e 1 
rosa, o preço será: 
M + L + R = 2 + 5 + 8 = 15 reais. 
 
QUESTÃO 30 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
(Resolução oficial.) 
Sejam x, y e z os preços respectivos do sanduíche, 
suco e cafezinho. Temos que 3x + 2y + 4z = 12,9 e 
2x + 3y + 5z = 13,5. Multiplicando a primeira 
equação por –2, a segunda por 3 e adicionando as 
igualdades obtidas, temos 5y + 7z = 14,7 e y = –
1,4z + 2,94. Substituindo o valor de y na primeira 
equação, obtemos 3x + 5,88 – 2,8z + 4z = 12,9 e x = 
–0,4z + 2,34. Portanto, 4 sanduíches, 1 suco e 3 
cafezinhos custam 4(–0,4z + 2,34) + (–1,4z + 2,94) 
+ 3z = 12,3 reais. 
 
QUESTÃO 31 
02 
 
RESOLUÇÃO: 
Em cada um dos 4 cruzamentos será possível 
montar uma equação: 
 
A: x + 360 = y + 488 
B: y + 416 = z + 384 
C: z + 312 = t + 480 
D: t + 512 = x + 248 
 
Organizando o sistema, temos: 
 
A: 1x – 1y + 0z + 0t = 488 – 360 = 128 
B: 0x + 1y – 1z + 0t = 384 – 416 = – 32 
C: 0x + 0y + 1z – 1t = 480 – 312 = 168 
D: - 1x + 0y + 0z + 1t = 248 – 512 = –264 
 
A matriz dos coeficientes desse sistema fica assim: 
1 –1 0 0 
0 1 –1 0 
0 0 1 –1 
–1 0 0 1 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Podemos utilizar as matrizes dos cofatores da 
primeira linha para calcular seu determinante, 
assim: 
1 · (–1)
2
 · + (–1) · (–
1)³ · = 1 · 1 · 1 + (–1) · (–1) · 0 = 1 
+ 0 = 1 
Como o determinante da matriz dos coeficientes é 1 
(ou seja, não é nulo), o sistema é compatível e 
determinado. 
 
 
QUESTÃO 32 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Sejamx, y e z os valores do iene, dólar e euro, 
respectivamente. Temos: 
 
Fazendo 2 × (II) + (I), temos: 
 
Subtraindo uma da outra: 
 
Substituindo este valor nas equações (I) e (II): 
 
 
Portanto, para comprar 3.000 ienes mais 500 
dólares mais 600 euros, o quarto amigo gastará: 
 
 
 
QUESTÃO 33 
D 
RESOLUÇÃO: 
Sejam as variáveis: 
 
x = quantidade de bolas 
y = quantidade de jogos 
z = quantidade de bonecas 
p = preço de cada boneca 
 
Tem-se: 
 
 
 
Substituindo x = 2z nas duas primeiras equações: 
 
 
 
Para que o sistema seja indeterminado, a segunda 
equação deve ser equivalente à primeira, ou seja, a 
segunda equação é a primeira multiplicada por 15. 
Para isso: 
 
20 + p = 45 
p = 25 
 
Assim, cada boneca deve custar R$ 25,00. 
 
QUESTÃO 34 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
(Resolução oficial) 
 
Como o sistema admite mais de uma solução, 
segue-se que uma das equações é múltipla da 
outra. Temos que x + ay = 1 e, portanto, 3x + 3ay = 
3. Como 3x – y = b, segue-se que b = 3 e 3a = –1, 
ou seja, b = 3 e a = . Poderíamos ter usado a 
Regra de Cramer para resolver a questão. 
 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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QUESTÃO 35 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
A matriz dos coeficientes de x e y será . 
Por Cramer, temos: 
D = – 20 – 12 = – 32 
Como D não é nulo, o sistema é determinado 
(possui apenas uma solução). 
 
QUESTÃO 36 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Para que o sistema homogêneo seja indeterminado 
e apresente mais soluções do que apenas a trivial, o 
determinante de sua matriz principal deve ser nulo. 
Assim: 
 
 
 
QUESTÃO 37 
B 
RESOLUÇÃO: 
Se os termos (a, b, c) estão em progressão 
geométrica, temos a seguinte relação: 
b
2
 = a . c. (I) 
Se o sistema é indeterminado, o determinante da 
matriz 2 x 2 formado com os coeficientes das duas 
expressões é igual a zero. Assim, temos: 
a
2
 – (b · c) = 0 
a
2
 = b · c 
c = (II) 
Substituindo (II) em (I), obtemos: 
b
2
 = a · 
b
3
 = a
3 
a = b 
 
Além disso, 
b
2
 = a · c 
b
2
 = b · c 
b = c. 
Se a = b = c, temos uma P.G. de razão 1 e uma P.A. 
de razão 0. 
 
QUESTÃO 38 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 
Há duas hipóteses: 
 
Se a = 1, tem-se: 
y(b
2
 - b) = 0 → b = 1 → a = b (não convém, pois o 
sistema teria infinitas soluções) 
 
Se a ≠ 1, tem-se: 
b
2
 - ab ≠ 0 → b
2
 ≠ ab → b ≠ a 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Portanto, para que o sistema possua única solução, 
a ≠ b. 
 
QUESTÃO 39 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Para que o sistema seja possível e indeterminado, o 
determinante da matriz dos coeficientes deve ser 
nulo. Isso é: 
 
. 
 
Substituindo o valor encontrado no sistema: 
 
 
Substituindo a segunda equação na terceira: 
 
 
O sistema será indeterminado se n = 1. Logo, m = –
1 e n = 1. 
 
QUESTÃO 40 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Multiplicando a primeira linha por 2 e somando com 
a segunda linha, tem-se: 
 
 
 
 
Logo, x · y · z = 2 · 1 · (-2) = - 4. 
 
QUESTÃO 41 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
O problema pode ser reduzido à solução do 
seguinte sistema linear: 
22x + 3y + 3z = 43 
12x + 5y + 4z = 43 
10x + 6y + 6z = 52 
 
Em que x é o valor em pontos de cada jogo do tipo 
1, y do tipo 2 e z do tipo 3. 
Para escalonar esse sistema de forma conveniente, 
podemos trocar a ordem das incógnitas, da seguinte 
maneira: 
3y + 3z + 22x = 43 
5y + 4z + 12x = 43 
6y + 6z + 10x = 52 
 
Multiplicando-se a primeira linha por 5, a segunda 
por –3 e somando ambas, temos: 
 15y + 15z + 110x = 215 
–15y – 12z – 36x = –129 
 3z + 74x = 86 
 
Substituindo a segunda linha por essa nova 
equação, temos: 
3y + 3z + 22x = 43 
 3z + 74x = 86 
6y + 6z + 10x = 52 
 
Multiplicando-se a primeira linha por 2, a segunda 
por –1 e somando ambas, temos: 
6y + 6z + 44x = 86 
–6y – 6z – 10x = –52 
 34x = 34 
 
Substituindo a terceira linha por essa nova equação, 
temos o sistema escalonado: 
3y + 3z + 22x = 43 
 3z + 74x = 86 
 34x = 34 
 
Resolvendo o sistema: 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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x = 34/34 = 1 
 
3z + 74 · 1 = 86 
3z = 86 – 74 = 12 
z = 12/3 = 4 
 
3y + 3 · 4 + 22 · 1 = 43 
3y = 43 – 12 – 22 = 43 – 34 = 9 
y = 9/3 = 3 
 
Logo, cada jogo do tipo 2 vale 3,0 pontos. 
 
QUESTÃO 42 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Denominado as massas de amendoim, de castanha-
de-caju e de castanha-do-pará por, 
respectivamente, A, C e P, temos as seguintes 
igualdades: 
 
 
Multiplicando a equação (III) por –1 e reorganizando 
as três equações anteriores, obtemos: 
(I) A + C + P = 0,5 
(III) –A + 3C – P = 0 
(II) 5A + 20C + 16P = 5,75 
A resolução desse sistema leva a: A = 0,25 kg, C = 
0,125 kg e P = 0,125 kg. 
 
QUESTÃO 43 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
De acordo com o enunciado, temos o seguinte 
sistema: 
 
 
Resolvendo o sistema, obtemos os preços da TV, 
da churrasqueira e do freezer, que são, 
respectivamente, R$ 2.499,00, R$ 89,00 e R$ 
1.199,00. Assim, o preço dos três itens é R$ 
3.787,00. 
 
QUESTÃO 44 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Sejam 
 
x = número de milheiros de tijolos 
y = número de milheiros de telhas 
z = número de milheiros de lajotas 
 
Assim, 
 
 
(I) – (II)  3y = 90  y = 30 
(III) – (I)  y + 2z = 70  z = 20 
x + y + z = 90  x = 40 
 
Portanto, são produzidos 40 milheiros de tijolos, 
30 milheiros de telhas e 20 milheiros de lajotas, 
atendendo o exposto na alternativa A. 
 
QUESTÃO 45 
17 
 
RESOLUÇÃO: 
01 + 16 = 17 
 
01) Verdadeira. 
Para que se aplique a regra de Cramer, o 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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determinante formado pelos coeficientes do sistema 
deve ser não nulo. Ou seja: 
 
De fato, m
3
 – 4m = 0 quando m = –2, m = 0 ou m = 
2. 
 
02) Falsa. 
Para m = 1, o sistema fica: 
 
As soluções possíveis são a = b = t e c = – 2t, para 
todo . 
 
04) Falsa. 
Para m = −1, a = b =1 e c = −1, o sistema fica: 
 
Sua solução é a trinca (0, 0, 1). 
 
08) Falsa. 
Para m = 0 e a = b, o sistema fica: 
 
A segunda e terceira equações são iguais, portanto 
o sistema é indeterminado. 
 
16) Verdadeira. 
Para m = 2 e a = b = c, o sistema fica: 
 
Se x = t, isolando as demais incógnitas, tem-se: 
y = –2t 
z = 9 + 7t 
 
QUESTÃO 46 
GABARITO: 
(Resolução oficial.) 
 
a) Temos 3x + 2 (x + 1) = 5, donde x = . 
b) Em geral, (2k + 3) x = 3. Logo, para k = 0, 2, 3 e 5 
temos x = 1, . 
c) A equação (2k + 3) x = 3 não tem solução se e 
somente se 2k + 3 = 0, ou seja, k = . 
 
QUESTÃO 47 
GABARITO: 
Subtraindo a 4ª equação da 2ª equação obtemos w 
= – 2; 
Adicionando a 1ª e a 2ª equações, e substituindo w 
= – 2, obtemos z = 5/2; 
Adicionando a 1ª e a 3ª equações, e substituindo w 
= – 2, obtemos y = 2; 
Substituindo os valores encontrados para y, w e z 
em qualquer uma das equações obtermos x = 3/2. 
Segue que a solução do sistema é a 
quádrupla . 
 
QUESTÃO 48 
GABARITO: 
Sejam x, y e z as quantidades (em gramas) 
ingeridas dos alimentos I, II e III, respectivamente. 
 
Então, já dividindo as quantidades por 100, temos: 
 
Da segunda equação, vem . 
Da primeira, . 
Portanto, para atingir as necessidades diárias, 
podem ser consumidos gramas do alimento 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
32 | http://comissaovestibulandos.blogspot.com.br/I, gramas do alimento II e z gramas do 
alimento III, onde 0 ≤ z ≤ 3. 
 
QUESTÃO 49 
GABARITO: 
Sejam 
x o preço do hambúrger 
y o preço do suco de laranja 
z o preço da cocada 
 
Então: 
 
 
 
Multiplica-se a primeira equação por (–3) e adiciona-
se à segunda. Em seguida multiplica-se a primeira 
equação por (–8) e adiciona-se à terceira: 
 
 
 
Enfim, multiplica-se a segunda equação por (–3), 
adicionando-a à terceira equação: 
 
 
 
Portanto, x = 4; y = 2,50 e z = 3,50. 
 
QUESTÃO 50 
GABARITO: 
Montando o sistema: 
 
 
A) Para que o sistema seja indeterminado, o 
determinante da matriz dos coeficientes deve ser 
nulo. Então: 
 
 
 
 
Substituindo m por 20 na terceira equação, temos 
que os coeficientes da terceira linha 
(2 8 20) respeitam a seguinte condição: 
 
L3 = 8 × L1 – 2 × L2, onde L1 = (1 2 3) e L2 = (3 4 
2). Então, n = 8 × 22 – 2 × 33 = 176 – 66 = 110. 
 
B) Substituindo m por 15 e n por 90, temos: 
 
 
 
Os preços de A, B e C são 5,00; 2,50 e 4,00, 
respectivamente. 
 
QUESTÃO 51 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
33 | http://comissaovestibulandos.blogspot.com.br/ 
GABARITO: 
Como p(x) possui somente coeficientes reais e p(1+ 
i) = 0, então p(1− i) = 0. 
 
Pela leitura do gráfico, conclui-se que p(3) = 0 e p(0) 
= −2. 
 
Seja p(x) = ax
3
 + bx
2
 + cx + d, a b c d e a 0. 
 
Efetuando os cálculos, obtém-se: 
 
p(3) = 0 ⇒ 27a + 9b + 3c + d = 0. (I) 
p(0) = −2 ⇒ d = −2. 
p(1 + i) = 0 ⇒a(1 + i)3 + b(1 + i)2 + c(1 + i) + d = 0 
a(–2 + 2i) + b(1 + 2i + i2) + c(1 + i) – 2 = 0 
–2a + c + (2a + 2b + c)i = 2 
 
Da igualdade −2a + c + (2a + 2b + c)i = 2, obtém-se: 
 
−2a + c = 2. (II) 
 
e 
 
2a + 2b + c = 0. (III) 
 
As equações (I), (II) e (III) geram o seguinte sistema: 
 
 
Isolando c na equação (II), obtém-se: 
 
c = 2a + 2 
 
Substituindo c = 2a + 2 na equação (III) e isolando 
b, obtém-se: 
 
b = −2a − 1 
 
Substituindo c = 2a + 2 e b = −2a −1, na equação 
(I), obtém-se: 
 
 
 
Substituindo em: c = 2a + 2 e b = −2a −1, 
obtém-se: 
 e . 
 
Portanto, . 
 
QUESTÃO 52 
GABARITO: 
a. A quantidade de veículos que chegam é igual à 
quantidade que saem. 
Dessa forma: x + 10 = 20 + 20 ⇒ x = 30. 
 
Resposta: x = 30. 
 
b. Na figura temos: 
 
 
Calculando I + II: 
x + 10 + y + 40 = 20 + y + z + 25 ⇒ x + 50 = z + 45 
⇒ x = z – 5 
 
Calculando III – IV: 
w + 45 – z – 30 = x + 2w – w – 12 ⇒ – z + 15 = x – 
12 ⇒ x = – z + 27 
 
Igualando os resultados anteriores, temos: 
z – 5 = – z + 27 ⇒ 2z = 32 ⇒ z = 16 
 
Dessa forma: 
x = z – 5 ⇒ x = 16 – 5 ⇒ x = 11 
 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
34 | http://comissaovestibulandos.blogspot.com.br/ 
Em I: 
11 + 10 = 20 + y ⇒ y = 1 
 
Em IV: 
z + 30 = w + 12 ⇒ 16 + 30 = w + 12 ⇒ w = 34 
 
Resposta: x = 11; y = 1; z = 16 e w = 34. 
 
QUESTÃO 53 
11 
RESOLUÇÃO: 
01 + 02 + 08 = 11 
 
Analisando as alternativas: 
 
01) Para resolver o sistema I, vamos multiplicar a 
primeira equação por 5, dividir a segunda equação 
por –2, e somá-las: 
 
 
Logo, o par (3,5) é solução do sistema e o sistema é 
determinado. 
 
02) Uma das formas de definir 
um sistema indeterminado é quando, ao escalonar o 
sistema, encontramos 0 · x = 0. Então, multiplicando 
a segunda equação por 2 e somando à primeira, 
temos: 
 
. 
 
Nesse caso, se k = –4, temos 0 · x = 2 (sistema 
impossível). Para qualquer outro valor de k, o 
sistema será determinado. 
 
04) Como vimos acima, para qualquer valor de k, 
excetuando –4, o sistema será determinado. 
 
08) Se k = –6 e os sistemas forem equivalentes, x 
será 3 e y será 5. Então: 
 
– 6 · 3 + 2 · 5 = 2(–6) + 4 
– 18 + 10 = – 12 + 4 
–8 = –8. 
 
16) O par ordenado (–1,1) não é solução da 
segunda equação: 2(–1) – 1 = –3. 
 
QUESTÃO 54 
12 
 
RESOLUÇÃO: 
04 + 08 = 12 
 
01) Falsa. 
Para n = 5, temos 
Para k = 3, temos as equações I e III sendo 
equivalentes. 
Se m = 2, não teremos solução, pois 2x + y = –3 e 
2x + y = 5, absurdo. 
Se m 2, temos: (2 – m)x = 8 ⇒ x = . Ou 
seja, uma única solução. 
Para k 3, não teríamos solução. 
Dessa forma, para n = 5, o sistema possui uma 
única solução ou não possui solução. 
 
02) Falsa. 
Para m = 2, temos: 
 
Assim, o sistema não possui solução apenas para k 
= 3. 
 
04) Verdadeira. 
Para n = −3, m = 2 e k ≠ 3, temos: 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
35 | http://comissaovestibulandos.blogspot.com.br/ 
 
Ou seja, para k ≠ 3, o sistema assumirá uma única 
solução. 
 
08) Verdadeira. Os termos independentes de cada 
uma das equações não são nulos. 
 
16) Falsa. Por exemplo, independentemente do 
valor de k, (0, 0) não será solução da primeira 
equação. 
 
QUESTÃO 55 
GABARITO: 
A equação dada é equivalente ao sistema de 
equações lineares 
 . 
Escalonando esse sistema de equações obtém-se 
 . 
A partir desse sistema, conclui-se que a equação 
dada 
 
A) não tem solução para m = 2 e n 5 
B) tem infinitas soluções para m = 2 e n = 5; 
C) tem uma única solução para m 2. 
 
QUESTÃO 56 
GABARITO: 
a) Os dados do enunciado nos permitem formular o 
seguinte sistema de equações lineares, no qual 
cada equação está associada a uma papelaria: 
x + y + 4z = 25 
x+ 2y + 3z = 23 
 
Multiplicando a segunda linha por –2 e somando o 
resultado à primeira linha, obtemos –x – 5z = –27. 
Assim, subtraindo a segunda linha da primeira, 
obtemos y – z = –2, de modo que y = z – 2. 
 
Resposta: x = 27 – 5z e y = z – 2. 
 
b) Tomando y 1, temos z – 2 
z 3. Da mesma forma, exigindo que x 1, 
temos 27 – 5z Como z 
precisa ser um número inteiro, concluímos que 
z 5. Assim 3 z 5. 
 
Para z = 3, temos y = 1 e x = 12. Para z = 4, temos y 
= 2 e x = 7. Finalmente, para z = 5, temos y = 3 e x 
= 2. 
 
Resposta: As quantidades possíveis são (x, y, z) = 
(12, 1, 3), ou (x, y, z) = (7, 2, 4), ou ainda (x, y, z) = 
(2, 3, 5). 
 
QUESTÃO 57 
GABARITO: 
Multiplica-se a primeira equação por (–3) e soma-se 
à segunda: 
 
 
Multiplica-se a primeira equação por (–4), soma-se à 
terceira. Ao resultado, adiciona-se a segunda: 
 
 
Assim, para que o sistema seja possível e 
indeterminado, . 
 
 
QUESTÃO 58 
GABARITO: 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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a) Se n = 2, 
então e 
 . 
Assim, 
 
 
Logo, . Por 
outro 
lado, e 
 
 
b) Se n = 3 e a
3
 = 1, 
então e 
 . Como f(1) = g(1) = 
f(–1) = 0, temos o sistema linear 
 ou 
 
 
Subtraindo a segunda equação da primeira, 
obtemos 2a1 = –2, de modo que a1 = –1. Em 
seguida, da terceira equação, deduzimos que –1 
+2a 2 = –3, ou a2 = –1. 
 
Finalmente, da primeira equação, obtemos a0 – 1 – 
1 = –1, de modo que a0 = 1. 
 
Resposta: O polinômio é f(x) = x
3
 – x 
2
– x + 1. 
 
QUESTÃO 59 
01 + 08 + 64 = 73 
 
RESOLUÇÃO: 
01. Correta. O lucro máximo ocorrerá 
quando . 
02. Incorreta. Sendo x a quantidade, em litros, de 
gasolina colocada nesse abastecimento, temos: 
. 
04. Correta. Sendo x um número real maior que 1, 
temos: 
log10 (log10 x) < 1 ⇔ log10 x < 10 ⇔ x < 10
10
. 
 
08. Incorreta. Temos a sequência (1950, 1954, 
1958, ..., 2014) que é uma progressão aritmética de 
razão r = 4. 
Assim, 2014 = 1950 + (n – 1) · 4 ⇔ n = 17. 
 
16. Incorreta. Sendo r o raio inicial da artéria, temos: 
• ; 
• assim, o fluxo foi reduzido a do volume inicial. 
32.Incorreta. Para o sistema 
 é impossível, pois: 
 ⇒ as 
equações são equivalentes. 
64. Correta. Nesse período a variação percentual na 
região Centro-Oeste foi de 
. 
 
QUESTÃO 60 
GABARITO: 
(Resolução oficial) 
 
1º solução: 
 
Note inicialmente que a 4ª equação pode ser obtida 
somando-se a 2ª e a 3ª equações do sistema. 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Portanto, pode-se desconsiderar a 4ª equação do 
sistema dado, pois esta é redundante, não agrega 
nova informação. 
 
Como , da 1ª equação tem-se . 
Substituindo esse valor de z na: 
• 2ª equação, obtém-se: ; 
• 3ª equação, obtém-se: , ou 
seja, , donde 
,para . 
Portanto, o sistema tem solução única se 
. 
Finalmente, se a = 0, o sistema se reduz a: 
 
que só terá solução se b = 2 e, nesse caso terá 
infinitas soluções pois todo termo ordenado da 
forma (0,y,2) será uma solução do sistema, qualquer 
que seja y. Assim, se a = 0 e , o sistema não 
terá solução. 
 
Assim, o sistema 
 
a) admite solução única quando a 
, qualquer que seja b. 
b) admite infinitas soluções quando a = 0 e b = 2. 
c) não admite solução quando a = 0 e . 
2
a
 solução: 
 
Da 1ª equação tem-se: , já que . 
Substituindo esse valor de z na 2ª e 3ª equações 
obtém-se, respectivamente, 
 
, isto para . 
 
Verificando estes valores na 4ª equação tem-se: 
 
, já que 
. Logo, para , o sistema 
tem solução única, que é dada por 
. 
 
Finalmente, se a = 0, o sistema se reduz a: 
 
que só terá solução se b = 2 e, nesse caso terá 
infinitas soluções pois todo termo ordenado da 
forma (0,y,2) será uma solução do sistema, qualquer 
que seja y. Assim, se a = 0 e , o sistema não 
terá solução. 
 
QUESTÃO 61 
VFFFF 
 
RESOLUÇÃO: 
(Resolução oficial) 
Sejam x, y e z o número de suplementos 
respectivos de X, Y e Z necessários para atender às 
recomendações do nutricionista. Temos 
 
Simplificando as equações obtemos 
 
Subtraindo a terceira igualdade da primeira obtemos 
z = 7 – 5 = 2. Substituindo x = 5 – 2y e z = 2 na 
segunda equação obtemos 10(5 – 2y) + 2y + 10 = 
42 e y = 1. 
 
QUESTÃO 62 
GABARITO: 
(Resolução oficial) 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Do enunciado, conclui-se que as quantidades na 
tabela podem ser interpretadas como percentuais. 
Assim, para produzir l, s e e quilogramas de granola 
light, simples e especial, respectivamente, o 
fabricante precisa de 0,8l + 0,6s + 0,6e quilogramas 
de cereais, 0,1l + 0,4s + 0,2e quilogramas de frutas 
e 0,1l + 0,2e quilogramas de castanhas. 
Pelo estoque disponível, tem-se 
 
Subtraindo-se a terceira equação da segunda, 
obtém-se s = 10, o que reduz as equações restantes 
a 
 
Subtraindo-se da primeira equação o triplo da 
segunda, obtém-se l = 12, de onde se deduz que e 
= 4. Portanto, para utilizar todo o estoque, o 
fabricante deve produzir 12 kg da granola light, 10 
kg da simples e 4 kg da especial. 
 
QUESTÃO 63 
GABARITO: 
(Resolução oficial) 
 
Defina as notações: 
 (I) 
 
 (II) 
Como na confecção desse objeto, foi gasto o 
mesmo valor na compra de cada material, de (II) 
temos: 
. (III) 
Substituindo (III) em (I), obtemos: 
 . 
Então, a quantidade do aço utilizado nesta 
confecção foi 24 kg. 
 
QUESTÃO 64 
C E C 
 
RESOLUÇÃO: 
• C – Considerando p = 300 g, podemos simplificar a 
tabela e, por meio da matriz transposta à ela, 
podemos reescrever o problema da seguinte 
maneira: 
 
Note que todas as unidades foram convertidas para 
centenas de gramas (ou hectogramas). 
Assim, por Cramer, temos: 
D = (8 + 75 + 36) – (30 + 40 + 18) = 31 
Dx = (72 + 405 + 276) – (162 + 360 + 138) = 93 
Então, x = = 3 ursos, como o indicado. 
 
• E – Se o determinante dado fosse nulo 
independente do valor de p, então também seria 
nulo no caso de p = 3, calculado acima. Como o 
calculado acima resultou em 31, a afirmação está 
errada. 
 
• C – Terminando de resolver o sistema dado, 
temos: 
Dy = (92 + 450 + 243) – (345 + 270 + 108) = 62 
y = = 2 
 
2x + 3y + 3z = 18 
6 + 6 + 3z = 18 
3z = 18 – 12 = 6 
z = 2 
 
O total produzido naquele dia foi 3 ursos + 2 coelhos 
+ 2 elefantes = 7 brinquedos. 
Ao escolher 2 animais dentre esses 7, a chance de 
que seja um coelho e um elefante (nessa ordem) é 
e, na ordem inversa, mais . Enfim, a 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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probabilidade buscada é que é superior a 10% (já 
que 10% de 49 é 4,9). 
 
QUESTÃO 65 
GABARITO: 
(Resolução oficial) 
 
Sejam x, y e z as quantidades de pendrives, livros e 
DVDs adquiridas pelo internauta. Logo temos o 
seguinte sistema. 
 
 
Escalonando o sistema: fazendo E'1 = E1, E'2 = 
E2 – 6E1 e E'3 = E3 – E1, obtemos o sistema 
equivalente 
 
 
Fazendo E"3 = E'2 – 2E'3 obtemos 
 
 
Logo z = 20. 
Substituindo z = 20 em E"2, obtemos y = 30. 
Substituindo z = 20 e y = 30 em E"1, obtemos x = 
10. 
Portanto, o internauta comprou 10 pendrives de 
cada tipo. 
 
QUESTÃO 66 
GABARITO: 
(Resolução oficial) 
 
As informações fornecidas pelo garçom nos permite 
escrever o sistema de equações: 
 
 ou seja, 
 
 
Resolvendo este sistema de equações, obtemos a = 
19,60 e b = 12,60 e c = 21. 
Segue que, 50 – a = 50 – 19,60 = 30,40; 50 – b = 50 
– 12,60 = 37,40; e 50 – c = 50 – 21 = 29. 
Assim, o troco da Angélica é R$ 30,40, da Beatriz é 
R$ 37,40 e da Clarissa é R$ 29,00. 
 
QUESTÃO 67 
19 
 
RESOLUÇÃO: 
01 + 02 + 16 = 19 
 
01) Correta. 
O sistema é possível e determinado se o 
determinante da matriz de seus coeficientes não for 
nulo: 
. 
 
02) Correta. 
Nesse caso, a primeira equação do sistema fica: 
. 
Logo, o sistema não tem solução. 
 
04) Incorreta. 
Substituindo x = 1 e y = 0 no sistema, temos: 
 
Não existe α que satisfaça o sistema. 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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08) Incorreta. 
Como visto no item (01), se , o 
sistema é possível e indeterminado (infinitas 
soluções) ou impossível. 
Para que tenha infinitas soluções, o determinante 
substituído deve ser nulo: 
 
Como –2 0, o sistema não poderá ter infinitas 
soluções. 
 
16) Correta. 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 68 
GABARITO: 
a) Por Cramer, temos: 
D = 2a – 18 
Dx = 2a – 9 
Dy = 6 – 12 = –6 
 
Como Dy não é nulo, o sistema nunca será 
indeterminado. Assim, ele é impossível se D = 0, o 
que implica em a = 9, e apresenta solução 
determinada para qualquer valor de a diferente de 9. 
 
b) Por Cramer, 
x = 
y = 
 
c) Como a não precisa ser inteiro, o que sabemos é 
que para qualquer y, inteiro ou não. 
Sabemos também que: 
 
Assim, sendo y inteiro, x só será inteiro se y for par. 
Daí conclui-se que, para y ser inteiro e par, 
devemos poder escrever y como sendo 2k, com k 
inteiro. Desse modo, todos os valores de a que 
satisfazem y inteiro e par (e, portanto, x e y inteiros) 
devem ser escritos na forma 
 
com k inteiro. 
 
QUESTÃO 69 
GABARITO: 
a) Para que o sistema tenha infinitas soluções, 
devemos ter: 
 
 
 
 (não convém) 
ou 
 
 
b) Para , o sistema fica: 
 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Logo, as soluções da equação são 
. 
 
QUESTÃO 70 
GABARITO:I. Para que o sistema seja possível e determinado: 
 
Substituindo no sistema: 
 
 
II. Para que seja possível e indeterminado, e 
. 
 
III. Para que seja impossível, e . 
 
QUESTÃO 71 
GABARITO: 
(Resolução oficial) 
 
a) Coloquemos y: altura em metros e x: 
comprimento do úmero em centímetros. Então y = 
ax +b. Pelos dados: 
 
1,90 = 40a + b 
1,60 = 30a + b 
 
Resolvendo o sistema obtemos a = 0,03 e b = 0,7. 
Dessa forma, 
y = 0,03x + 0,7 
 
b) Como y = 0,03x + 0,7, para x = 32 temos: 
y = 0,03 · 32 + 0,7 = 1,66 m. 
 
QUESTÃO 72 
GABARITO: 
De acordo com os dados, obtemos o seguinte 
sistema: 
 
A) Da segunda equação, temos: 
 
Fazendo 3 vezes a primeira equação menos a 
segunda, temos: 
 
Assim, fazendo y = α, temos uma solução geral do 
sistema (que é possível e indeterminado): 
, onde α ≤ 2 (pois 2 – α 
deve ser positivo). 
B) 
 
 
C) Seja P(y) o preço do complemento em função do 
valor de y: 
P (y) = 0,1y + 0,9 
O gráfico da função assume seu menor valor 
quando y = 0, ou seja, x = 2 e z = . 
 
QUESTÃO 73 
FFVVV 
 
RESOLUÇÃO: 
(Resolução oficial) 
 
Subtraindo a primeira equação da terceira obtemos 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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x = 1. Substituindo x = 1 na primeira e na segunda 
equação obtém-se o sistema 
Eliminando z na primeira equação temos z = 1 – y, e 
substituindo na segunda equação, fica ay + 2(1 – y) 
= 0, que se simplifica como (2 – a)y = 2. Portanto: 
se a = 2 o sistema é impossível. Se a 2, a 
solução do sistema satisfaz y = e z = . 
Se a 2, o sistema admite uma única solução 
dada por (1, . Se a = 1 então a única 
solução do sistema é (1, 2, –1). 
 
QUESTÃO 74 
GABARITO: 
(Resolução oficial) 
 
Considere as notações F: pão francês; G: pão 
baguete; T: pão de batata. A produção diária de 
cada padeiro é dada pelo quadro a seguir. 
 
 F G T 
A 30 100 20 
B 30 70 20 
C 90 30 100 
 
Sendo x, y e z as quantidades de padeiros dos tipos 
A, B, C, respectivamente, temos o sistema a seguir. 
 
 
 
De (1) segue que x + y = 14 − 3z, substituindo em 
(3), (14 − 3z) + 5z = 18, logo 2z = 4 e z = 2. 
Substituindo z em (1) e (2), tem-se 
 
 
 
Dessa forma, a padaria precisa de 5 padeiros do 
tipo A, 3 padeiros do tipo B e 2 padeiros do tipo C 
para obter a produção diária desejada. 
 
Resolução alternativa: 
 
Considerando x, y e z as quantidades de padeiros 
dos tipos A, B, C, respectivamente, tem-se o 
sistema a seguir. 
 
 
 
Montando a matriz para se resolver por 
escalonamento, tem-se 
 
 
 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Disso segue que x = 5, y = 3 e z = 2. 
 
Assim, a padaria precisa de 5 padeiros do tipo A, 3 
padeiros do tipo B e 2 padeiros do tipo C para obter 
a produção diária desejada. 
 
 
 
 
	Exercícios de Sistemas Lineares.
	Questão 1
	Questão 2
	Questão 3
	Questão 4
	Questão 5
	Questão 6
	Questão 7
	Questão 8
	Questão 9
	Questão 10
	Questão 11
	Questão 12
	Questão 13
	Questão 14
	Questão 15
	Questão 16
	Questão 17
	Questão 18
	Questão 19
	Questão 20
	Questão 21
	Questão 22
	Questão 23
	Questão 24
	Questão 25
	Questão 26
	Questão 27
	Questão 28
	Questão 29
	Questão 30
	Questão 31
	Questão 32
	Questão 33
	Questão 34
	Questão 35
	Questão 36
	Questão 37
	Questão 38
	Questão 39
	Questão 40
	Questão 41
	Questão 42
	Questão 43
	Questão 44
	Questão 45
	Questão 46
	Questão 47
	Questão 48
	Questão 49
	Questão 50
	Questão 51
	Questão 52
	Questão 53
	Questão 54
	Questão 55
	Questão 56
	Questão 57
	Questão 58
	Questão 59
	Questão 60
	Questão 61
	Questão 62
	Questão 63
	Questão 64
	Questão 65
	Questão 66
	Questão 67
	Questão 68
	Questão 69
	Questão 70
	Questão 71
	Questão 72
	Questão 73
	Questão 74
	Questão 1
	A
	Resolução:
	Questão 2
	A
	Resolução:
	Questão 3
	E
	Resolução:
	Questão 4
	D
	Resolução:
	Questão 5
	C
	Resolução:
	Questão 6
	B
	Resolução:
	Questão 7
	B
	Resolução:
	Questão 8
	B
	Resolução:
	Questão 9
	A
	Resolução:
	Questão 10
	A
	Resolução:
	Questão 11
	C
	Resolução:
	Questão 12
	B
	Resolução:
	Questão 13
	A
	Resolução:
	Questão 14
	C
	Resolução:
	Questão 15
	E
	Resolução:
	Questão 16
	D
	Resolução:
	Questão 17
	B
	Resolução:
	Questão 18
	C
	Resolução:
	Questão 19
	C C C
	Resolução:
	Questão 20
	E
	Resolução:
	Questão 21
	A
	Resolução:
	Questão 22
	D
	Resolução:
	Questão 23
	C
	Resolução:
	Questão 24
	Gabarito:
	Resolução:
	Questão 25
	A
	Resolução:
	Questão 26
	01 + 04 + 08 = 13
	Resolução:
	Questão 27
	B
	Resolução:
	Questão 28
	C
	Resolução:
	Questão 29
	D
	Resolução:
	Questão 30
	B
	Resolução:
	Questão 31
	02
	Resolução:
	Questão 32
	D
	Resolução:
	Questão 33
	D
	Resolução:
	Questão 34
	E
	Resolução:
	Questão 35
	B
	Resolução:
	Questão 36
	D
	Resolução:
	Questão 37
	B
	Resolução:
	Questão 38
	E
	Resolução:
	Questão 39
	C
	Resolução:
	Questão 40
	A
	Resolução:
	Questão 41
	C
	Resolução:
	Questão 42
	C
	Resolução:
	Questão 43
	C
	Resolução:
	Questão 44
	A
	Resolução:
	Questão 45
	17
	Resolução:
	Questão 46
	Gabarito:
	Questão 47
	Gabarito:
	Questão 48
	Gabarito:
	Questão 49
	Gabarito:
	Questão 50
	Gabarito:
	Questão 51
	Gabarito:
	Questão 52
	Gabarito:
	Questão 53
	11
	Resolução:
	Questão 54
	12
	Resolução:
	Questão 55
	Gabarito:
	Questão 56
	Gabarito:
	Questão 57
	Gabarito:
	Questão 58
	Gabarito:
	Questão 59
	01 + 08 + 64 = 73
	Resolução:
	Questão 60
	Gabarito:
	Questão 61
	VFFFF
	Resolução:
	Questão 62
	Gabarito:
	Questão 63
	Gabarito:
	Questão 64
	C E C
	Resolução:
	Questão 65
	Gabarito:
	Questão 66
	Gabarito:
	Questão 67
	19
	Resolução:
	Questão 68
	Gabarito:
	Questão 69
	Gabarito:
	Questão 70
	Gabarito:
	Questão 71
	Gabarito:
	Questão 72
	Gabarito:
	Questão 73
	FFVVV
	Resolução:
	Questão 74
	Gabarito: