Sistemas Lineares

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Sistemas lineares 
a
Equação linear ftp.g.Xg-d/z.Xzt...-AgnXN--b1
É toda equação do tipo : 921.4 -1922 -Xzt . . . -1 AZNXN = bz
AH, -192×2+93×3-1 . . . - Xríb i. : : :
↳ anda, a }, . . .
→ coeficientes { Amsxgtamzlzt . . . -19mnXn -- bn
↳ ✗11×2 , X}, . . .ie/n → Variáveis
↳ b •Termo independente da equa- Forma matricial
çáo linear. Ai, diz 913 ×, by
Clz, Qzz 023 Xz = bz
→Exemplo: 2×+34=7 931 032 933 ×} ↳
TÍXY -1×2=9
8×+9=3/1 {3×+2×-52--72- ZX - ley -197=104×1 -17×2-9×3=0 ✗ +8×-37=-9
Solução de uma equação linear 3 2 -5 ✗ 7
são os valores das variáveis que tornam 2
- 4 g y
=
SO
a solução verdadeira. 1 8 - 3 2- -9
→ Exemplo: 4×-34=12 Classificação de sistemas lineares
S→ LO, - 4) 113101,1614) , . . . ☐Possível ☒Determinado S.p.rs
↳ Infinitas soluções Possui Única solução
y
= ✗ Sistema solução • Indeterminados.PE
4×-3✗ = 12 linear Infinitas soluções
4/1=12 -13in ✗ = 12-134 ☐ Impossível 5.1
4 não possui solução
S→{IXIYIEIRXIR/ ( 12 -13A
,
✗ ✗ EIR} Sistemas escalonados
4 Exemplo
:{
2×+3×-52=8-• É?À:{D-☐ n° de
la0×+5×-47=7 mede variáveis
Mv)
Sistema linear 0×+8×+22=8 equações
.
Escalonado (ne)
OBS: Todo sistema escalonado em que NÉNV, • Exemplos : % ¥
este ÉSPD. {4×+54=-1 M -2×+4=4 -
4 5 D=/2- so
2 3 D= 2
Sistemas equivalentes
Exemplo:{2×+34=-10 {
× -321=-5 Má. 1 5 Dá -20-3 My: 4- ID -16-1-2)J
4×+1--8 -12×-31=-24 -43 Dx: -23 24 D= 18
y
S:{UM}
Equivalentes . Justificativa :
Como escalonar um sistema
cidy f. c. a) {"✗ + bcy :(e
{
✗+4+2=9 .-2 -acx - ady=
-af
-4-37=-15
{"
(-adtbcy - aftce④+y - 2- =3
4- {
✗+24+2 .- g
3×-4-27=4 - 1-y -57=-23 y -aftce I
- I )
- adtbc (t)
{
✗+417=9 a e
- Y - 2- =
- g. pz, {
✗+4+2=9→ ✗⇒
Y -17=5
→ ✗ = -1
s.p.pt af
- cc . y
ad - be c f
-7g -Sz :-234 2¥12-r y:b a b
5-{( 5,-1,6) c d
Grande indeterminação de um sistema • Em geral temos:
D O 5.RD
n° de variáveis- n° deequações D O . 5.PI Ou 5.I
Regra de Cramer Exemplo 2 :{
✗ +2g z 5
Considere o sistema abaixo. 2J 32 3
axtby - e µ ab
'
matriz incom- 4 y z 4{cxtdy - f c d pletadoscoe -
- ficientes. D 1 2 I
a b e D= ad - bc 1 23
c d f 4 11
- se D , então o
sistema é s.p.rs e sua
solução (✗A) é dada por :
✗ = DX e Y -- Dy
D D
- Exemplo }
:{
✗ + y -17=0 determinado .
ytmz 2
M 2J Z 1Extrair
1
{
- × - y -17=0
D 1 1 1 DMZ 1 (M -11 2×+9+7=1
I - I m ] MZM 5×+44-27=1
m 2 t.TO/S.p.d) 'S . - z -
'
I l M
'
M O - M O il -II - = o > spiousi
MIM 1 O •M 1 y .
-
2- kii :S
5. 5 4
2
• M O _ y .
- l
-
'
'
t g
{
✗ + y -12=0.1-1) T g
✗ y 2. ( - × - y -17=07.2 (- X -y -17=01.5
+
2g Z 1 { 2×+9+7--1 - y -137=1 +
5×+44-27=1 5×+44-27=1
%:: :-ayz 2. (1) {
✗ +
? É
,
2g Z 2 I:::- y-137=1 =S.p.I.tl
1
✗ + y -17=0.1
- 1)
{
✗ + y -12=0 { ×
- y -17=0 Grande indeterminação{× y z 2 -24=2 y -37=-1 do sistema :
2g / Z 1 y
- 1 vivariáveis - ríequaçies:
s.fi
⇐✗ 3-2=1
sistema linear homogêneo rede variáveis livres
Y
- 3.✗ = - I%:::: :dxteytfz -0 Próprias y --3×-1 - x - 3×-11-1×-0
s.p.at ✗ =\ - 2x
• Solucao trivial :(010,0) 5={11-29}×-1 , a)}
• Imprópria
se D O
,
então 5 é possível e
determinado .
SED O > então 5 é possível ein