Cones e troncos de cones

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COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Exercícios de Geometria Espacial. 
Cones e troncos de cones. 
 
QUESTÃO 1 
A figura a seguir representa um recipiente cônico 
com solução aquosa de hipoclorito de sódio a 27%. 
O nível desse líquido tem 12 cm de altura. 
 
 
 
Para o preparo de um desinfetante, diluiu-se a 
solução inicial com água, até completar o recipiente, 
obtendo-se a solução aquosa do hipoclorito de sódio 
a 8%. 
Esse recipiente tem altura H, em centímetros, 
equivalente a: 
 
a) 16. 
b) 18. 
c) 20. 
d) 22. 
QUESTÃO 2 
A figura indica a planificação da lateral de um cone 
circular reto: 
 
 
 
O cone a que se refere tal planificação é 
 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 3 
A primeira figura a seguir é uma vista ortogonal de 
um cone de revolução cortado parcialmente. A 
planificação da superfície lateral curva pode variar 
com a altura do cone, tomando a forma de algumas 
das figuras seguintes (A, B, C, D e/ou E): 
 
0-0) Pode ter a forma da figura A. 
1-1) Pode ter a forma da figura B. 
2-2) Pode ter a forma da figura C. 
3-3) Pode ter a forma da figura D. 
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4-4) Pode ter a forma da figura E. 
 
 
QUESTÃO 4 
A secção meridiana de um cone é um triângulo 
isósceles de 96 cm de perímetro cuja altura vale 
do raio da base do cone. Corta-se o cone por um 
plano paralelo à base e a uma distância do vértice 
igual a da altura. A razão entre as áreas laterais 
do tronco e do cone parcial obtidos é igual a: 
 
A) 5 
B) 6 
C) 7 
D) 8 
E) 9 
QUESTÃO 5 
Marcos, sentindo muito calor, senta-se em um bar e 
pede um chope, o qual lhe é servido em uma 
“tulipa”, que é um copo na forma de um cone 
invertido. O garçom chega com a bebida ao mesmo 
tempo em que “Purê”, seu grande amigo, passa em 
frente ao bar. Marcos grita: – “Purê, sente-se aqui e 
tome a metade do chope desta tulipa comigo!” Purê 
senta-se, faz cara de quem não sabe o que fazer e 
diz: – “Marcos, mas até que altura do copo eu devo 
beber o chope para que sobre exatamente a metade 
para você?” Marcos pega um guardanapo de papel, 
uma caneta e mede a altura da tulipa, que era de 20 
cm. Após alguns minutos e algumas contas, Marcos 
diz ao amigo: – Você deve beber os primeiros... 
 
Use: 4
1/3
 ≈ 1,6 
 
(A) 4 cm de chope na tulipa. 
(B) 5 cm de chope na tulipa. 
(C) 10 cm de chope na tulipa. 
(D) 15 cm de chope na tulipa. 
(E) 16 cm de chope na tulipa. 
QUESTÃO 6 
Um cone circular reto, cuja medida da altura é h, é 
seccionado, por um plano paralelo à base, em duas 
partes: um cone cuja medida da altura é e um 
tronco de cone, conforme a figura. 
 
 
A razão entre as medidas dos volumes do cone 
maior e do cone menor é: 
 
A) 15 
B) 45 
C) 90 
D) 125 
QUESTÃO 7 
Um sólido com a forma de um cone circular reto, 
constituído de material homogêneo, flutua em um 
líquido, conforme a ilustração a seguir. 
 
 
Se todas as geratrizes desse sólido forem divididas 
ao meio pelo nível do líquido, a razão entre o 
volume submerso e o volume do sólido será igual a: 
 
(A) 
(B) 
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(C) 
(D) 
QUESTÃO 8 
Uma rasa é um paneiro utilizado na venda de frutos 
de açaí. Um típico exemplar tem forma de um tronco 
de cone, com diâmetro de base 28 cm, diâmetro de 
boca 34 cm e altura 27 cm. Podemos afirmar, 
utilizando = 3,14, que a capacidade da rasa, em 
litros, é aproximadamente 
 
(A) 18 
(B) 20 
(C) 22 
(D) 24 
(E) 26 
QUESTÃO 9 
Ao seccionarmos um cone circular reto por um plano 
paralelo a sua base, cuja distância ao vértice do 
cone é igual a um terço da sua altura, obtemos dois 
sólidos: um cone circular reto S1 e um tronco de 
cone S2. A relação é igual a: 
A) 33. 
B) 27. 
C) 26. 
D) 9. 
E) 3. 
QUESTÃO 10 
Uma chapa com forma de um setor circular de raio 
20 cm e ângulo de x graus é manuseada para se 
transformar num cone. Se o raio da base do cone 
obtido é r = 5 cm, então o valor de x é: 
 
a) 60° 
b) 75° 
c) 80° 
d) 85° 
e) 90° 
 
 
 
 
QUESTÃO 11 
Um recipiente tem forma de um tronco de cone reto 
de bases paralelas e raios das bases medindo 9 cm 
e 3 cm. Considerando que a altura do recipiente é 
igual a 10 cm, pode-se afirmar que sua capacidade, 
em cm
3
, é igual a: 
 
01) 300 
02) 315 
03) 350 
04) 375 
05) 390 
QUESTÃO 12 
 
 
Considere que o túnel de luz na figura I seja 
formado pela sobreposição de cinco anéis de um 
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mesmo cone circular reto – secções obtidas por 
planos perpendiculares ao eixo do cone –, tendo 
cada anel altura igual a 2 m, e sendo o maior e o 
menor raio interno medidos dentro do túnel iguais a 
2 m e 4,5 m, respectivamente, conforme ilustrado na 
figura II. Considere, ainda, que, na figura I, z1, z2, 
z3 e z4 sejam números complexos que satisfazem à 
equação z
4
 = 256. Com base nessas informações, 
julgue os itens (certo ou errado). 
 
• Se o tronco de cone correspondente ao túnel fosse 
prolongado de modo a obter o cone de altura H 
especificado na figura II, então deveria ser 
acrescentado um cone de altura h = 8 m. 
 
• O volume interno do túnel de luz ilustrado na figura 
I é superior a 111 m
3
. 
 
• Identificado-se o número complexo z = x + iy com 
o ponto P = (x, y) em um sistema de coordenadas 
cartesianas xOy, a equação da circunferência que 
contém os pontos z1, z2, z3 e z4 será dada por x
2
 + 
y
2
 = 4. 
 
• Se a circunferência que passa pelos pontos z1, z2, 
z3 e z4 for esboçada no plano complexo, então o 
eixo imaginário será perpendicular ao segmento 
z1z2 ou ao segmento z2z3. 
• É correto concluir que z1+ z2 + z3 + z4 = 0. 
QUESTÃO 13 
A superfície lateral de um cone circular reto é um 
setor circular de 120º e área igual a 3 cm
2
. A área 
total e o volume deste cone medem, em cm
2
 e cm
3
, 
respectivamente 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) . 
QUESTÃO 14 
Sr. Ptolomeu construirá em sua chácara um jardim 
de formato circular com 16 m de diâmetro. 
Contornando o jardim, haverá uma calçada, 
medindo 1 m de largura por 0,1 m de altura, 
conforme figura a seguir: 
 
 
Use: π = 3,14 
 
Supondo que o preço médio do m
3
 da calçada a ser 
construída é de 100 reais, conclui-se que a despesa 
do sr. Ptolomeu com a construção da calçada será, 
aproximadamente, de: 
 
a) 685,30 reais. 
b) 653,80 reais. 
c) 583,30 reais. 
d) 533,80 reais. 
e) 835,30 reais. 
QUESTÃO 15 
Um cone circular reto de altura 1 cm e geratriz 
 cm é interceptado por um plano paralelo à sua 
base, sendo determinado, assim, um novo cone. 
Para que este novo cone tenha o mesmo volume de 
um cubo de aresta cm, é necessário que a 
distância do plano à base do cone original seja, em 
cm, igual a 
A) . 
B) . 
C) . 
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D) . 
E) . 
QUESTÃO 16 
O sutiã de Madonna 
Os sutiãs em forma de cone usados por Madonna 
durante a sua "Blond Ambition Tour" é 
provavelmente o item mais reconhecível entre os 
vários popularizados ou que geram identificação 
com a estrela (assim como o vestido de noiva dos 
anos 1980 ou as roupas de ginástica usadas mais 
recentemente). 
 
 
Disponível em: 
<www.vagalume.com.br/news/2011/05/14/saiba-
quais-sao-alguns-dos-objetos-ou-simbolos-mais-
iconicos-do-mundoda-musica.html#ixzz1SGqj3e6p>. Acesso em: 23 jul. 
2011. Adaptado. 
 
Considere-se que o "polêmico" sutiã seja formado 
por duas taças cônicas equiláteras, capazes de 
armazenar, cada uma, um volume máximo 
de cm
3
. 
 
Nessas condições, o cone de cada taça do sutiã tem 
uma altura, em cm, igual a 
 
01) 
02) 
03) 
04) 
05) 
QUESTÃO 17 
A areia contida em um cone fechado, de altura 18 
cm, ocupa da capacidade do cone. 
 
 
 
Voltando-se o vértice do cone para cima, conforme 
indica a figura, a altura h do tronco de cone ocupado 
pela areia, em centímetros, é 
 
(A) 7. 
(B) 8. 
(C) 9. 
(D) 10. 
(E) 11. 
QUESTÃO 18 
A força exercida contra o chão pela ponta da perna 
de um inseto saltador terá componentes vertical e 
horizontal, conforme mostrado na figura. 
 
 
 
Uma força é transmitida para o chão através da 
articulação dos pés posteriores. As pernas longas 
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aumentam o tempo durante o qual a força pode agir 
e assim contribuem para a aceleração adquirida, 
mas quanto mais alto o salto, menos tempo as 
pernas empurram o chão. 
 
(Adaptado de R. S. K. Barnes, et alli. Os 
invertebrados. São Paulo: Atheneu Ltda., 2007. p. 
270) 
 
Um gafanhoto, ao saltar de um ponto R a um ponto 
S, em um chão plano, tem como trajetória uma 
parábola de equação , com x e 
y medidos em centímetros. 
Sejam O a origem de um sistema de eixos 
cartesianos ortogonais e R e S pontos pertencentes 
à reta r, como é mostrado a seguir. 
 
 
 
Se girarmos o triângulo RSO no espaço, usando OS 
como eixo de rotação, será gerado um 
 
(A) losango de diagonal OS . 
(B) cilindro circular reto de altura OS . 
(C) cone circular reto de altura OS . 
(D) sólido formado pela reunião de dois cones 
circulares retos e cuja altura é OS . 
(E) sólido formado pela reunião de dois cones 
circulares retos, cujas bases têm diâmetro OS . 
QUESTÃO 19 
A superfície lateral de um cone circular reto, quando 
planificada, torna-se um setor circular de 12 cm de 
raio com um ângulo central de 120 graus. A medida, 
em centímetros quadrados, da área da base deste 
cone é 
 
A) 144 . 
B) 72 . 
C) 36 . 
D) 16 . 
QUESTÃO 20 
Ao se planificar um cone reto, sua superfície lateral 
é igual a um quarto de um círculo com área igual a 
12π. Nessas condições, a área de sua base é igual 
a 
 
a) π 
b) 2π 
c) 3π 
d) 4π 
e) 5π 
QUESTÃO 21 
Calvin, por natureza, é um menino maldoso e 
"arteiro". A tira abaixo mostra a "engenhoca" que ele 
construiu para perturbar o sossego de seu pai. Ele 
espera que, ao ser aberta a porta, a água existente 
no balde escorra pela canaleta e molhe seu pai! 
 
 
O Estado de S. Paulo, C2 + música, 29 set. 2012. 
 
Sabe-se que o balde tem a forma de um tronco de 
cone de 16 cm de altura e raios das bases de 
medidas 11 cm e 8 cm; a água em seu interior 
ocupa de sua capacidade. Assim sendo, quantos 
litros de água Calvin pretende jogar no seu pai? 
(Considere a aproximação: ) 
 
a) 2,965 
b) 2,912 
c) 2,904 
d) 2,894 
e) 2,890 
QUESTÃO 22 
Considere o sólido de revolução obtido pela rotação 
de um triângulo isósceles ABC em torno de uma 
reta paralela à base que dista 0, 25 cm do 
vértice A e 0, 75 cm da base . Se o lado 
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mede cm, o volume desse sólido, em 
cm
3
, é igual a 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
QUESTÃO 23 
No interior de um cilindro circular reto de altura H e 
base de raio , são inseridos dois cones circulares 
retos C1 e C2 com vértices coincidentes, conforme a 
figura a seguir. Supondo que a base do cone C1 
coincide com a base do cilindro e sua altura é da 
altura do cilindro e que a base do cone C2 está 
sobre a base superior (tampa) do cilindro, e, ainda, 
que qualquer secção produzida pela intersecção dos 
cones com um plano que contém seus eixos é dada 
por dois triângulos semelhantes, é correto afirmar 
que o volume da região compreendida entre o 
cilindro e os dois cones é: 
 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
QUESTÃO 24 
O volume de um cone circular reto cuja medida da 
altura é 3 m e a área de sua superfície lateral é 20π 
m
2
, será 
 
 
A) 60π m
3
. 
B) 48π m
3
. 
C) 30π m
3
. 
D) 16π m
3
. 
QUESTÃO 25 
Um cone circular reto de madeira, homogêneo, com 
20 cm de altura e 20 cm de diâmetro da base, flutua 
livremente na água parada em um recipiente, de 
maneira que o eixo do cone fica vertical e o vértice 
aponta para baixo, como representado na figura a 
seguir. 
 
 
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Denotando-se por h a profundidade do vértice do 
cone, relativa à superfície da água, por r o raio do 
círculo formado pelo contato da superfície da água 
com o cone e sabendo-se que as densidades da 
água e da madeira são 1,0 g/cm
3
 e 0,6 g/cm
3
, 
respectivamente, os valores de r e h, em 
centímetros, são, aproximadamente: 
 
Dados: 
 
 
a) 5,8 e 11,6 
b) 8,2 e 18,0 
c) 8,4 e 16,8 
d) 8,9 e 15,0 
e) 9,0 e 18,0 
QUESTÃO 26 
Um cone reto com raio da base medindo 10 cm e 
altura de 12 cm será seccionado por um plano 
paralelo à base, de forma que os sólidos resultantes 
da secção tenham o mesmo volume. 
A altura do cone resultante da secção deve, em cm, 
ser 
 
a) 6. 
b) 8. 
c) 
d) 
e) 
QUESTÃO 27 
Um copo com formato cônico contém suco até a 
metade de sua altura H. Despeja-se o suco contido 
neste copo em outro copo, com formato cilíndrico, 
com a mesma altura H e o mesmo raio da base do 
copo cônico. 
A figura a seguir ilustra a situação: 
 
 
 
A altura atingida pelo suco após ter sido colocado 
no copo cilíndrico é 
 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
e) . 
QUESTÃO 28 
Um plano paralelo à base de um cone circular reto o 
secciona de tal modo que a altura do tronco de cone 
resultante é da altura do cone. 
A razão entre o volume do cone e o volume do 
tronco de cone é 
 
A) . 
B) . 
C) . 
D) . 
QUESTÃO 29 
Um recipiente cônico foi projetado de acordo com o 
desenho a seguir, no qual o tronco do cone foi 
obtido de um cone de altura igual a 18 cm. 
 
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O volume desse recipiente, em cm
3
, é igual a: 
 
A) 216 
B) 208 
C) 224 
D) 200 
QUESTÃO 30 
Um torneiro mecânico construiu uma peça retirando, 
de um cilindro metálico maciço, uma forma cônica, 
de acordo com a figura 01 a seguir: 
 
 
 
Qual é o volume aproximado da peça em milímetros 
cúbicos? Considere π = 3. 
 
a) 2,16 × 10
5 
b) 7,2 × 10
4 
c) 2,8 × 10
5 
d) 8,32 × 10
4 
e) 3,14 × 10
5 
QUESTÃO 31 
A figura A mostrada a seguir representa um copo na 
forma de um tronco de cone reto, cujos raios das 
bases são R1 e R2 e cuja geratriz tem comprimento 
L. Ao rolar esse copo sobre uma superfície 
horizontal, sem escorregar, ele descreve uma coroa 
circular, conforme a figura B apresentada. 
 
 
Obtenha uma expressão para a área de coroa 
circular descrita pelo copo na figura B, em função 
dos raios das bases e da geratriz do tronco de cone. 
QUESTÃO 32 
A parte superior de uma taça tem o formato de um 
cone, com as dimensões indicadas na figura. 
 
 
 
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a) Qual o volume de líquido que essa taça comportaquando está completamente cheia? 
 
b) Obtenha uma expressão para o volume V de 
líquido nessa taça, em função da altura x indicada 
na figura. 
QUESTÃO 33 
O poder da exploração do petróleo é alvo de muitas 
guerras no mundo. Pelo seu valor, um barril de 
petróleo, de forma cilíndrica, foi protegido por raios 
de segurança que se projetam a partir de um ponto 
P e formam uma superfície cônica onde o barril está 
inscrito. 
 
 
 
 
Sabendo-se que o raio da circunferência da base do 
cone mede o triplo do raio do barril, e a altura do 
cone mede 1,5 m, determine a altura do barril. 
QUESTÃO 34 
Fernando utiliza um recipiente, em forma de um 
cone circular reto, para encher com água um 
aquário em forma de um paralelepípedo retângulo. 
As dimensões do cone são: 20 cm de diâmetro de 
base e 20 cm de altura e as do aquário são: 120 cm, 
50 cm e 40 cm, conforme ilustração abaixo. 
 
 
 
Cada vez que Fernando enche o recipiente na 
torneira do jardim, ele derrama 10% de seu 
conteúdo no caminho e despeja o restante no 
aquário. Estando o aquário inicialmente vazio, qual 
é o número mínimo de vezes que Fernando deverá 
encher o recipiente na torneira para que a água 
despejada no aquário atinja de sua capacidade? 
QUESTÃO 35 
Uma ampulheta foi construída tendo-se feito um 
pequeno furo nos vértices de dois cones circulares 
retos iguais, que foram unidos por esses vértices. O 
raio da base – r – de cada cone equivale a 20% da 
sua altura – h. A areia colocada na ampulheta ocupa 
inicialmente todo o volume – – de um 
dos cones e demorava exatamente 1 hora para cair 
do cone superior para o inferior, à vazão de 6 cm
3
 
por minuto. Com base nessas informações, calcule, 
em centímetros, o raio da base de cada cone 
utilizado para construir a ampulheta. 
QUESTÃO 36 
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Antes de assistir a um filme, Maria comprou um 
copo de refrigerante, no qual a atendente colocou 5 
cubos de gelo, sendo que cada aresta de cada cubo 
de gelo media 2 cm. O copo utilizado por Maria tinha 
o formato de um tronco de cone circular reto com 
altura igual a 10 cm, com fundo e borda circulares 
de raios iguais a, respectivamente, 3 cm e 4 cm, 
conforme ilustrado na figura. O copo com 
refrigerante e cubos de gelo recebido por Maria 
estava cheio até a borda, sem haver 
transbordamento. Nessa situação, assumindo que 
as densidades do gelo e do refrigerante são, 
respectivamente, iguais a 0,92 g · cm
–3
 e 1,08 g · 
cm
–3
 e tomando 3,14 como valor aproximado de π, 
faça o que se pede no item a seguir. 
 
• Calcule, em cm
3
, o volume de refrigerante contido 
nesse copo antes de o gelo começar a derreter. 
QUESTÃO 37 
 
Disponível em: <www.colorirgratis.com>. 
 
Na situação ilustrada acima, uma criança faz quicar 
uma bola iluminada por uma fonte de luz pontual, 
que, posicionada no ponto P, projeta a sombra da 
bola no chão. Considere que a bola é uma esfera, o 
chão é um plano horizontal e, portanto, a sombra da 
bola é uma região delimitada por uma elipse. A 
respeito das propriedades físicas e geométricas 
envolvidas nesse fenômeno, julgue os itens a seguir 
(certo ou errado). 
 
• Se a fonte de luz e o centro da bola pertencerem à 
mesma reta vertical ao chão e estiverem, 
respectivamente, a 3 m e 1,5 m do chão, então a 
sombra formada no chão terá área igual a 4πR², em 
que R é o raio da bola. 
 
• Considere que uma bola de 300 g, após ser 
chutada pela criança, tenha velocidade inicial de 1 
m/s à altura de 0,5 m e que, depois de quicar no 
chão, retorne até 0,4 m de altura. Considere, ainda, 
que o calor específico do ar contido na bola seja 
0,240 cal/(g °C), que sua cobertura tenha calor 
específico desprezível e que toda a energia perdida 
no choque inelástico seja transformada em calor. 
Nesse caso, assumindo-se que a aceleração da 
gravidade seja igual a 10 m/s
2
, e 1 cal = 4,186 J, 
conclui-se que a temperatura interna da bola 
aumentou em menos de um milésimo de grau 
Celsius. 
 
• Se sair girando das mãos do garoto, a bola levará 
menos tempo para chegar ao solo que se saísse 
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sem girar. 
 
• Considere que a fonte de luz e o centro da bola 
pertençam à mesma reta vertical ao chão (plano). 
Considere, ainda, que o cone com vértice na fonte 
de luz e cuja base corresponde à região da sombra 
da bola no chão seja um cone circular equilátero de 
geratriz igual a cm. Nessa situação, em que 
a bola está inscrita no cone, o volume da bola é 
inferior a 280π cm³. 
QUESTÃO 38 
A palavra cerâmica tem origem na palavra grega 
keramos, que significa oleiro ou olaria. Keramos, por 
sua vez, deriva do sânscrito e quer dizer “queimar”. 
Assim, os antigos gregos aplicavam esse termo 
quando mencionavam um material queimado ou 
barro (argila) queimado, provavelmente referindo-se 
aos primeiros objetos cerâmicos (jarros, pratos, 
tijolos) feitos de barro, que necessitam de calor para 
obtenção de uma forma moldada permanente, 
exemplificada no vaso homogêneo ilustrado na 
figura a seguir. 
 
 
 
A argila, ou barro, corresponde a partículas do solo 
terrestre com diâmetros menores que 0,005 mm. 
Essas partículas se caracterizam pela presença de 
minerais argilosos misturados com quantidades 
variadas de resíduos orgânicos ou de detritos 
inorgânicos, sobretudo de quartzo (óxido de silício, 
SiO2). 
 
Internet: <www.moderna.com.br> e 
<www.artesanatosbrasileiros.com.br> (com 
adaptações). 
 
Considere que a figura ilustra um vaso na forma de 
um tronco de cone circular reto, em que a espessura 
das paredes é igual a 2 cm (inclusive a do fundo), o 
diâmetro externo da base maior é igual a 32 cm, o 
diâmetro externo da base menor, igual a 20 cm e a 
altura externa do tronco de cone, igual a 12 cm. 
Tomando 3,14 como valor aproximado para π e 
2,236 como valor aproximado para , e, com 
base nas informações anteriores, faça o que se 
pede. 
 
• Considerando que 42% da superfície lateral 
externa do vaso esteja coberta pelas figuras 
pintadas e que não inclua, naturalmente, a 
superfície do fundo do vaso, calcule, em cm
2
, o 
valor da área coberta pelas figuras. 
QUESTÃO 39 
A palavra cerâmica tem origem na palavra grega 
keramos, que significa oleiro ou olaria. Keramos, por 
sua vez, deriva do sânscrito e quer dizer “queimar”. 
Assim, os antigos gregos aplicavam esse termo 
quando mencionavam um material queimado ou 
barro (argila) queimado, provavelmente referindo-se 
aos primeiros objetos cerâmicos (jarros, pratos, 
tijolos) feitos de barro, que necessitam de calor para 
obtenção de uma forma moldada permanente, 
exemplificada no vaso homogêneo ilustrado na 
figura a seguir. 
 
 
 
A argila, ou barro, corresponde a partículas do solo 
terrestre com diâmetros menores que 0,005 mm. 
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Essas partículas se caracterizam pela presença de 
minerais argilosos misturados com quantidades 
variadas de resíduos orgânicos ou de detritos 
inorgânicos, sobretudo de quartzo (óxido de silício, 
SiO2). 
 
Internet: <www.moderna.com.br> e 
<www.artesanatosbrasileiros.com.br> (com 
adaptações). 
 
Considere que a figura ilustra um vaso na forma de 
um tronco de cone circular reto, em que a espessura 
das paredes é igual a 2 cm (inclusive a do fundo), o 
diâmetro externo da base maior é igual a 32 cm, o 
diâmetro externo da base menor, iguala 20 cm e a 
altura externa do tronco de cone, igual a 12 cm. 
Tomando 3,14 como valor aproximado para π e 
2,236 como valor aproximado para , e, com 
base nas informações anteriores, julgue os itens a 
seguir (certo ou errado). 
 
• Considerando-se que a densidade volumétrica do 
vaso seja de 2 g/cm
3
 e que ele tenha sido fabricado 
com partículas esféricas do solo terrestre com 
diâmetros inferiores a 0,005 mm, então um pedaço 
desse vaso com massa igual a 1 grama deve ter 
sido originado de uma porção de argila com mais de 
7 bilhões dessas partículas. 
 
• A capacidade de armazenamento de água do vaso 
mostrado na figura é superior a 4 litros. 
QUESTÃO 40 
O principal monumento da cidade de Maringá é a 
sua catedral, cuja altura é de 124 m, já incluída a 
cruz, que é de 10 m. A catedral possui o formato de 
um cone com, aproximadamente, 50 m de diâmetro 
externo e 40 m de diâmetro interno. Além disso, a 
geratriz do cone externo que delimita a catedral 
mede, aproximadamente, 116,7 m. Levando-se em 
conta esses dados e supondo a catedral formada 
por uma “casca” delimitada por dois cones de bases 
concêntricas e geratrizes paralelas e usando π = 3, 
é correto afirmar que 
 
01) a altura livre da catedral (distância entre a base 
e o ponto mais alto do teto) é superior a 80 m. 
 
02) a superfície lateral do cone externo que delimita 
a catedral é superior a 9.600 m
2
. 
 
04) em aglomerações estima-se o número de 
pessoas presentes, considerando que cada metro 
quadrado comporte 6 pessoas. Sendo assim, se o 
térreo da catedral, completamente vazio, pudesse 
ser livremente tomado por pessoas em uma 
aglomeração, poderia comportar mais de 8.000 
pessoas. 
 
08) a coroa circular, na base da catedral, delimitada 
pelos cones externo e interno, possui área inferior a 
600 m
2
. 
 
16) se o cone externo que delimita a catedral fosse 
planificado teríamos um setor circular de ângulo 
superior a 45 graus. 
QUESTÃO 41 
A imagem mostra uma taça e um copo. A forma da 
taça é, aproximadamente, de um cilindro de altura e 
raio medindo R e de um tronco de cone de altura R 
e raios das bases medindo R e r. A forma do copo é, 
aproximadamente, de um tronco de cone de altura 
3R e raios das bases medindo R e 2r. 
 
 
 
Sabendo que o volume de um tronco de cone de 
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altura h e raios das bases B e b é · h · (B
2
 + B 
· b + b
2
) e dado que , determine o raio 
aproximado da base do copo, em função de R, para 
que a capacidade da taça seja da capacidade do 
copo. 
QUESTÃO 42 
Considere que, pelo movimento de rotação, durante 
sua formação, a placa de lixo gigante tenha o 
formato de um cone reto, de altura H e raio da base 
R, como ilustra a figura a seguir, na qual a superfície 
do sétimo continente corresponde à base do cone, a 
qual está virada para cima. 
 
 
 
Com base nessas informações e considerando o 
texto, julgue os itens a seguir (certo ou errado). 
 
• Se a base do cone permanecer horizontal e os 
seus 10 metros mais profundos representarem 1% 
do seu volume total, então a altura H será maior que 
50 m. 
 
• Sabendo-se que a área da superfície do sétimo 
continente é de 3,4 × 10
6
 km
2 
e tomando 3,14 como 
valor aproximado de , conclui-se que o raio R da 
base do cone é maior que 1.000 km. 
QUESTÃO 43 
De um disco circular, de raio medindo 6 e centro C, 
cortamos um setor cujo arco mede 13. Usando o 
pedaço maior, fazemos um cone reto juntando os 
lados CA e CB, como nas figuras a seguir. 
 
 
 
 
Não use aproximações para π e determine: 
 
a) o perímetro da base do cone; 
 
b) o raio da base do cone; 
 
c) o volume do cone. 
QUESTÃO 44 
Em um período de festas, pretende-se decorar um 
poste de uma praça com fios de luzes pisca-piscas. 
A estrutura da decoração possui o formato de tronco 
de cone circular reto com 2,4 m de altura e 
diâmetros de 2 m na base e 0,6 m no topo. Os fios 
de luzes serão esticados, do aro superior ao inferior, 
ao longo de geratrizes do tronco de cone e, para 
distribuí-los de maneira uniforme, marcam-se na 
circunferência da base pontos igualmente 
espaçados, de modo que o comprimento do arco 
entre dois pontos consecutivos seja no máximo 10 
cm. 
De acordo com os dados apresentados, determine o 
número mínimo de fios de luzes necessário para 
cobrir a superfície lateral do tronco de cone e a 
soma total de seus comprimentos. 
 
Dado: 
QUESTÃO 45 
Num sistema de coordenadas cartesianas 
ortogonais, considere a região R delimitada S pelos 
eixos coordenados e pelas retas de equações y = 
10 e y = 10x – 30. Um sólido pela rotação da região 
R em torno do eixo Y. 
 
Um copo descartável, sem tampa, tem o formato do 
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sólido S e sua base menor está totalmente apoiada 
em um plano horizontal. Com base nessas 
informações, determine 
 
A) a área da região R; 
 
B) o volume máximo da água que o copo pode 
conter; 
 
C) a expressão do volume de água no copo em 
função da altura h do nível de água; 
 
D) a área da superfície do copo. 
QUESTÃO 46 
O volume de um cone reto é 1.024 cm
3
. Se a 
altura, o raio da base e a geratriz desse cone 
formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, 
então calcule a medida da geratriz, em centímetros. 
QUESTÃO 47 
Três circunferências C1, C2 e C3 são tangentes 
entre si, duas a duas, externamente. Os raios r1, r2 
e r3 destas circunferências constituem, nesta 
ordem, uma progressão geométrica de razão . A 
soma dos comprimentos de C1, C2 e C3 é igual a 
26 cm. Determine: 
 
a) a área do triângulo cujos vértices são os centros 
de C1, C2 e C3; 
b) o volume do sólido de revolução obtido pela 
rotação do triângulo em torno da reta que contém o 
maior lado. 
QUESTÃO 48 
Um cone circular reto de raio e altura 
é iluminado pelo sol a um ângulo de 45°, 
como ilustrado a seguir. 
 
 
 
A sombra projetada pelo cone é delimitada pelos 
segmentos PA e PB, tangentes ao círculo da base 
do cone nos pontos A e B, respectivamente. 
 
Com base nessas informações, 
 
a) determine a distância de P ao centro O do círculo. 
 
b) determine o ângulo AÔB 
 
c) determine a área da sombra projetada pelo cone. 
QUESTÃO 49 
Um funil é formado por um tronco de cone e um 
cilindro circular retos, como representado na figura. 
Sabe-se que g = 8 cm, R = 5 cm, r = 1 cm e h = 
 cm. 
 
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Considerando essas informações, 
 
1. Calcule o volume do tronco de cone, ou seja, do 
corpo do funil. 
 
2. Calcule o volume total do funil. 
 
3. Suponha que o funil, inicialmente vazio, começa a 
receber água a 127 mL/s. 
Sabendo que a vazão do funil é de 42 mL/s, calcule 
quantos segundos são necessários para que o funil 
fique cheio. 
QUESTÃO 50 
Um funil de metal será construído para fins 
industriais. A parte superior do funil tem a forma de 
um tronco de cone circular reto e a inferior tem a 
forma de um cilindro circular reto, como mostra a 
figura, a seguir. 
 
 
 
O tronco de cone tem raio da base maior R = 2 m, 
raio da base menor r = 1 m e altura h1 = 3 m. O 
cilindro tem altura h2 = 2 m. Planificando-se a parte 
superior do funil, obtém-se uma folha de metal com 
a forma de um setor de coroa circular com ângulo 
central igual a α radianos, de raio maior G (em 
metros) e tal quea diferença entre os raios maior e 
menor é igual a g (em metros), como ilustrado na 
figura da direita Considerando o exposto, assinale o 
que for correto. 
 
01) O cone reto que, quando seccionado por um 
plano paralelo à sua base, produz o tronco de cone 
da parte superior do funil tem altura H = 6 m. 
 
02) A folha de metal, ilustrada na figura da direita, 
em forma de um setor de coroa circular tem raio 
maior e ângulo central 
 radianos. 
04) A área da superfície da parte superior do funil é 
igual a 27 m
2
. 
 
08) A razão entre a capacidade volumétrica da parte 
superior do funil em relação à da parte inferior é 
igual a . 
16) A capacidade volumétrica do funil é 9π m
3
. 
QUESTÃO 51 
Um reservatório de água tem a forma de um tronco 
de cone circular reto de bases paralelas, em que o 
raio da base menor mede 1,5 m, o raio da base 
maior mede 2 m e a distância entre a base menor e 
a base maior é de 2 m. 
O reservatório encontra-se suspenso, e a base 
menor, paralela ao solo, está mais próxima a este 
do que a base maior. A distância da base menor ao 
solo é de 8 m. 
Considere as seguintes informações: S é o cone 
que contém o tronco, V é o vértice de S, C1 é o 
centro da base menor, C2 é o centro da base maior, 
e A é um ponto qualquer fixado na circunferência da 
base maior. 
Considerando essas informações, que a quantidade 
de água dentro do reservatório tem 1m de 
profundidade e que 3,14, assinale a(s) 
alternativa(s) correta(s). 
 
01) A distância de V até a base menor é de 6 m. 
 
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02) O volume do cone S é de 32 m
3
. 
 
04) Se P é o ponto onde a reta intercepta o solo 
e Q é o ponto onde a reta intercepta o solo, a 
distância entre P e Q é de 1 m. 
 
08) A superfície da água contida no reservatório 
determina um círculo de diâmetro igual a 3,5 m. 
 
16) O volume de água no reservatório é de 
 m
3
. 
QUESTÃO 52 
Uma empresa que produz embalagens plásticas 
está elaborando um recipiente de formato cônico 
com uma determinada capacidade, conforme o 
modelo a seguir. 
 
 
 
Sabendo que o raio desse recipiente mede 36 cm e 
que sua altura é de 48 cm, a que distância do 
vértice deve ser feita uma marca na superfície 
lateral do recipiente para indicar a metade de sua 
capacidade? 
 
Despreze a espessura do material do qual é feito o 
recipiente. Apresente os cálculos realizados na 
resolução desta questão. 
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QUESTÃO 1 
B 
RESOLUÇÃO: 
A quantidade de hipoclorito de sódio inicial era de 
27% do volume inicial V1. Após a diluição, passou a 
ser de 8% do volume final V2. Assim: 
. 
Como os dois cones são semelhantes, temos: 
 c
m. 
 
QUESTÃO 2 
B 
RESOLUÇÃO: 
A área lateral do cone cuja geratriz mede 10 é 
igual à área do setor circular que o representa, cujo 
raio também mede 10. Assim, 
 
. 
 
O cone então tem raio da base igual a 7 e geratriz 
igual a 10. 
 
QUESTÃO 3 
FVVVF 
RESOLUÇÃO: 
O candidato precisará usar a escala linear 
e o transferidor ou o compasso para ter 
certeza da veracidade de algumas das 
figuras, como a planificação do cone, 
apesar de poder confiar na sua percepção 
visual, usando apenas o compasso para 
maior segurança. 
 
0-0) FALSA, pois a planificação do cone de 
revolução tem a forma de um setor circular. 
1-1) VERDADEIRA, pois a geratriz do cone 
inteiro mede o dobro do raio da base. 
2-2) VERDADEIRA, pois a geratriz do cone 
inteiro mede quatro vezes o raio da base. 
3-3) VERDADEIRA, pois a geratriz do cone 
inteiro mede 3/2 do raio da base. 
4-4) FALSA, pois não há porção cilíndrica 
no cone cortado. 
 
QUESTÃO 4 
D 
RESOLUÇÃO: 
Seja R a medida do raio da base do cone. Assim, o 
triângulo isósceles formado pela secção meridiana 
tem altura H = . Pelo Teorema de Pitágoras, 
encontramos a medida G da geratriz do cone: 
 
 cm. 
Assim, a área lateral do cone será: 
 cm
2
. 
Ao cortar o cone, obtendo um novo cone de altura 
, formam-se dois triângulos semelhantes, cuja razão 
de proporcionalidade é de . Logo, se a geratriz, 
raio da base e altura do novo cone são 
respectivamente g, r e h, temos 
 . 
Área lateral do novo cone 
= 
 cm
2
. 
Área lateral do tronco de cone 
= cm
2
. 
Razão entre as áreas laterais do tronco e do novo 
cone = . 
 
QUESTÃO 5 
A 
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RESOLUÇÃO: 
Considerando a figura a seguir, onde x representa a 
altura procurada, temos: 
 
 
 
 
 cm. 
 
QUESTÃO 6 
D 
RESOLUÇÃO: 
Seja r a medida do raio do cone original, temos que, 
por semelhança de triângulos, o raio do cone menor 
será . 
Assim, sendo V1 e V2 o volume do cone original e 
do cone menor, temos: 
 
 
A razão entre as medidas dos volumes do cone 
maior e do cone menor é 125. 
 
QUESTÃO 7 
D 
RESOLUÇÃO: 
A razão entre o volume da parte que está fora da 
água e o volume do cone é diretamente proporcional 
ao cubo da razão entre a geratriz que está fora da 
água e a geratriz do cone. Então, 
 
. 
Logo, a parte do cone que está dentro da água 
é . 
 
QUESTÃO 8 
B 
RESOLUÇÃO: 
Sendo r = = 14 cm o raio da base, R = = 17 o 
raio da boca e h = 27 a altura, temos que o volume 
de um tronco de cone é dado por: 
 
 
 
Como a resposta é em cm
3
 e 1cm
3
 = 1 ml, a 
resposta será 20,43198 L. 
 
QUESTÃO 9 
C 
RESOLUÇÃO: 
Sejam h e r a altura e o raio da base do 
cone seccionado C, respectivamente. 
Sabemos que volume (C) = . Dado 
que a altura do cone S1é h1 = , por 
semelhança de triângulos podemos deduzir 
que seu raio é . 
 
Portanto, temos 
volume . 
A razão pedida fica sendo 
 
 
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QUESTÃO 10 
E 
RESOLUÇÃO: 
Se o raio da base do cone é 5 cm, o comprimento 
da base do cone (circunferência) é 2 · π · 5 = 10π. 
 
O comprimento da base do cone é igual ao comprimento 
do arco do setor circular. Assim, encontra-se o ângulo x 
com uma regra de três simples (sabendo que o 
comprimento da circunferência toda seria 2 · π · 20 = 
40π). 
 
 
 
QUESTÃO 11 
05 
RESOLUÇÃO: 
Observe a figura: 
 
Se as bases do tronco de cone são paralelas, 
formam-se dois triângulos semelhantes, seguindo a 
relação: 
 
 
Assim, o volume do recipiente é: 
 cm
3
 
 
QUESTÃO 12 
C E E E C 
RESOLUÇÃO: 
• C – Por semelhança de triângulos, e como o tronco 
é formado por 5 anéis de altura 2 m cada, temos: 
 
 
• E – Sabendo que h = 8 m e, portanto, H = 10 + 8 = 
18 m, temos que o volume do cone é: 
 
 
• E – Temos que: 
 
Assim, a circunferência que contém os pontos z1, 
z2, z3 e z4 será dada por x
2
 + y
2
 = 4
2
. 
 
• E – O eixo imaginário será perpendicular ao 
segmento z1z3 ou ao segmento z2z4. 
 
• C – De 
fato, 
 
QUESTÃO 13 
A 
RESOLUÇÃO: 
Área = 
..................então: g = 3 cm 
Esta área poderia ser calculada pela 
expressão: , logo: 
 , e sendo g = 3, R = 1 cm, a área total 
será: 
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Volume = 
 
 
QUESTÃO 14 
D 
RESOLUÇÃO: 
Volume total = π · 92 · 0,10 = 25,434 
Volume do Jardim = π · 82 · 0,10 = 20,096 
Volume da Calçada = 25,434 – 20,096 = 
5,338 
Valor em metros cúbicos = 5,33 · 100 = R$ 
5.338,80.QUESTÃO 15 
D 
RESOLUÇÃO: 
 
A distância (d) que estamos procurando será: h + d 
= 1 cm, logo h = 1 – d 
No triângulo retângulo ABC: . 
Assim: 
No cone maior: 
 
A razão entre as medidas lineares dos 2 cones será 
a razão entre os volumes dos dois cones elevada ao 
cubo. 
Temos a razão: , logo 
 
Dessa forma: 
 
 
 
Ou d = . 
 
QUESTÃO 16 
02 
RESOLUÇÃO: 
Um cone equilátero é aquele no qual o triângulo 
formado por sua secção vertical é equilátero. Para 
esse tipo de cone, pela fórmula do triângulo 
equilátero, tem-se , onde h é a 
altura do cone, r é o raio da base e 2r é o diâmetro 
da base. 
Como o volume V de um cone é dado por 
, no caso do cone equilátero tem-se 
. 
Igualando essa fórmula com o volume dado, temos 
a seguinte equação: 
 
Como vimos acima, se temos r = 6, então teremos h 
= 6 . 
 
QUESTÃO 17 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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C 
RESOLUÇÃO: 
Observando o cone com o vértice voltado para cima, 
verificamos que a parte não ocupada pela areia é 
um cone cuja altura é 18 – h e cujo volume é do 
volume V do cone fechado de altura 18 cm. 
Os dois cones são semelhantes, pois têm o mesmo 
ângulo do vértice. Então, , ou 
seja, . 
Logo, , donde 2 (18 – h) = 18. 
Portanto, 18 – h = 9, ou seja, h = 9. 
Logo, a altura h do tronco de cone ocupado pela 
areia, é 9 cm. 
 
QUESTÃO 18 
D 
RESOLUÇÃO: 
Rotacionando o triângulo RSO, conforme descrito, 
obtem-se a seguinte figura: 
 
 
Trata-se da reunião de dois cones circulares retos e 
cuja altura total é OS. 
 
QUESTÃO 19 
D 
RESOLUÇÃO: 
O comprimento do arco do setor circular, 
equivalente a é igual ao 
comprimento da base do cone. Então: 
 
 
. 
 
QUESTÃO 20 
C 
RESOLUÇÃO: 
Uma vez que superfície lateral do cone é 
igual a um quarto de um círculo com área 
igual a 12π, podemos deduzir que esse 
círculo tem área total de 48π e raio dado 
por: 
A = π . r2 
48π = π . r2 
r = 43 
 
O raio desse círculo é igual à geratriz do 
cone, e sabendo que a superfície lateral 
desse cone é de 12π, o raio de sua base é 
de: 
A = π . r . g 
12π = π . r . 43 
r = 3 
 
A área da base do cone, portanto, é dada 
por: 
A = π . r2 
A = π . (3)2 
A = 3π 
 
QUESTÃO 21 
B 
RESOLUÇÃO: 
O volume do tronco de cone será dado por: 
 
 
O volume de água então será de de 4.368 = 2.912 
cm
3
 = 2.912 mL = 2,912 litros. 
 
QUESTÃO 22 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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C 
RESOLUÇÃO: 
A partir dos dados do enunciado, construímos a 
seguinte figura: 
 
 
 
 
 
O volume do sólido de revolução é o resultado da 
subtração entre o volume do cilindro regular de 
altura e raio 0,75, e o sólido formado 
pela união de dois troncos de cones de raios 0,25 e 
0,75, e altura . Logo 
 
 
 
 
QUESTÃO 23 
A 
RESOLUÇÃO: 
No cilindro, a altura é H e o raio é . Seu volume 
será: 
 
No cone maior, a altura é e o raio . Portanto, 
seu volume será: 
 
 
No cone menor (que é proporcional ao 
maior), a altura é . Como essa altura é metade 
da altura do cone maior, o raio é metade do raio 
maior. Então, o raio é igual a . Logo, seu volume 
será: 
 
 
Assim, o volume entre o cilindro e os cones será: 
V1 – V2 – V3 = 
 
 
 
 
QUESTÃO 24 
D 
RESOLUÇÃO: 
Se a área lateral do cone tem medida 20π m
2
, 
então: 
 
Pelo Teorema de Pitágoras: 
 
Como r
2
 é um número positivo, temos que r
2
 = 16, e 
o volume V do cone é: 
 
 
QUESTÃO 25 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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C 
RESOLUÇÃO: 
Como o cone está em equilíbrio, podemos 
considerar a seguinte relação (onde V é volume e d 
é densidade): 
Vcone · dmadeira = Vsubmerso · dágua 
 
Substituindo pelos valores do enunciado e pela 
fórmula do volume do cone, temos: 
 
Como as secções do cone serão semelhantes, 
temos também que 
 
Substituindo h na relação acima, temos: 
r
2
(2r) = 1200 
2r
3 
= 1200 
r
3
 = 600 
 
h = 2r = 16,842816 
 
QUESTÃO 26 
E 
RESOLUÇÃO: 
A razão entre os volumes de sólidos semelhantes é 
o cubo da razão entre as alturas. 
Seja x a altura do cone resultante da secção e 
sabendo que o volume desse cone será metade do 
volume do cone original, temos: 
 
 
QUESTÃO 27 
E 
RESOLUÇÃO: 
Denominamos A a área do círculo que forma a 
borda do copo cônico. 
A proporção entre essa área e a área do círculo que 
forma a superfície do líquido (Aliq) é tal que: 
 
Assim, o volume do líquido será dado por: 
. 
 
Como o volume do líquido não varia ao mudar de 
copo, e como a área da base do copo cilíndrico 
também é A, temos que a altura atingida por esse 
volume é dada por: 
. 
 
QUESTÃO 28 
D 
RESOLUÇÃO: 
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Se o raio do cone original for chamado de R, o cone 
menor terá raio , por semelhança de triângulos. 
 
 
 
Assim, 
 
 
 
 
QUESTÃO 29 
B 
RESOLUÇÃO: 
O volume do recipiente, em cm
3
, é o volume do 
tronco original subtraído o volume do cone de altura 
18 - 12 = 6 cm: 
 
 
QUESTÃO 30 
A 
RESOLUÇÃO: 
Vcilindro orig. = π · r
2
 · h = π · 3
2
 · 10 = π · 9 · 10 = 
90π. 
Vcone retirado = π · r
2
 · = π · 3
2
 · = π · 9 · 2 
= 18π. 
Vpeça final = 90π – 18π = 72π = 72 · 3 = 216 cm
3
. 
 
Em mm e em notação científica, temos 216 cm
3
 
= 216.000 mm
3
 = 2,16 × 10
5
 mm
3
. 
 
QUESTÃO 31 
GABARITO: 
Denotando por x o raio do círculo interior, a área da 
coroa circular é dada pela 
expressão: 
Considerando um corte passando pelo centro do 
cone que contém o copo, 
 
 
pela semelhança dos triângulos BCE e FDE obtém-
se a relação: 
Resolvendo esta equação, obtém-se a expressão 
para x como sendo 
Substituindo o valor de x na expressão da área da 
coroa circular, obtém-se que a área é dada 
por 
 
QUESTÃO 32 
GABARITO: 
a) Como o cone que representa a taça tem 2 cm de 
raio da base, o volume V da taça é dado por: 
 
 cm
3
. 
 
b) Seja r o raio do círculo formado pela bebida, 
como mostra a figura: 
 
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Por semelhança de triângulos, tem-se: 
 
 
 
Assim, o volume V(x) do líquido na taça será: 
 
. 
 
QUESTÃO 33 
GABARITO: 
 
 
 
 
Considerando r o raio do barril, o raio do cone deve 
ser 3r, e, chamando de h a altura do barril, temos a 
semelhança: 
 
 
 
Pontanto, h = 1 m 
 
QUESTÃO 34 
GABARITO: 
 
Vaq = volume do aquário ⇒ Vaq = 40.50.120 
= 240.000 
Va= do volume do aquário ⇒ Va = 
 240.000 = 48.000 
Vc = volume do 
cone ⇒ Vc = 
Vt = volume de água transportada no cone 
 
N = número de viagens ⇒ N 
= (se 3,14) 
 
Portanto, o número de viagens usando a 
aproximação “superior” para π fica 
acima de 25 e o número de viagens 
usando a aproximação “inferior” fica 
abaixo de 26. 
 
 
QUESTÃO 35 
GABARITO: 
Se a cada minuto a vazão é de 6 cm
3
, em uma 
hora o volume V total será 6 · 60 = 360 cm
3
. 
Como r = 0,20h, ou, h = r ÷ 0,20, tem-se: 
 
Assim, r
3
 = 216, ou seja, o raio é igual a raiz cúbica 
de 216: 6 cm. 
 
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QUESTÃO 36 
353 
RESOLUÇÃO: 
Volume do copo:. 
Volume da parte submersa de cada cubo de gelo: 
 
 
Volume de refrigerante: 
c
m
3
. 
 
QUESTÃO 37 
E E E E 
RESOLUÇÃO: 
• E – Supondo que a afirmação esteja correta e 
sendo x o raio da sombra, temos que a área da 
sombra será: 
A = πx² 
4πR² = πx² 
4R² = x² 
x = 2R 
 
Agora observe a figura: 
 
 
Por semelhança de triângulos, temos que, como 1,5 
é metade de 3, y será metade de x. 
Se x = 2R, y = R. Note pela imagem, que y é maior 
que o raio da bola. Assim, x deve ser maior que 2R 
e a área da sombra deve ser maior do que a 
indicada. 
 
• E – A energia inicial da bola seria: 
Potencial = 0,3 . 10 . 0,5 = 1,5 J 
Cinética = (0,3 . 1²) : 2 = 0,15 J 
TOTAL = 1,5 + 0,15 = 1,65 J 
 
Após quicar no chão e subir, a energia da bola 
passou a ser: 
Potencial: 0,3 · 10 · 0,4 = 1,2 J 
 
Logo, a energia absorvida pelo choque foi de 1,65 – 
1,2 = 0,45 J e que, transformada em calor, 
representa 0,1075 calorias. 
 
De acordo com o calor específico do ar, sendo T a 
variação da temperatura interna da bola e supondo 
que a massa da bola seja desprezível (ou seja, 
consideremos 300g de ar), temos: 
300 . 0,240 . T = 0,1075 
72T = 0,1075 
T = 0,0015 que é mais de um milésimo. 
 
• E – A velocidade com que a bola chega ao chão 
depende exclusivamente da gravidade, que não 
varia de acordo com o movimento da bola. 
 
• E – Um cone circular equilátero possui o diâmetro 
da base igual à geratriz. A relação métrica 
linear entre um cone e a esfera máxima inscrita nele 
é a mesma de um triângulo e o círculo inscrito nele. 
Seja x o lado de um triângulo equilátero, temos que 
sua altura será e o raio da circunferência 
inscrita será um terço dessa altura, portanto . 
Assim, substituindo x pelo valor da geratriz, temos 
que o raio da esfera será . 
Assim, o volume máximo da esfera será V 
= (4π6³):3 = 288π cm³, que é superior ao 
valor indicado. 
 
QUESTÃO 38 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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GABARITO: 
A área lateral de um tronco de cone é dada por A 
=π(R + r)g, onde g é a geratriz do tronco, R é o raio 
da base maior ( = 16 cm) e r é o raio da base 
menor ( = 10). A figura a seguir mostra, em uma 
secção vertical do vaso, o triângulo que nos permite 
calcular a geratriz: 
 
 
 
Aplicando Pitágoras: 
 
 
Dessa forma, a área lateral será A = π(16 + 10) 
13,416 = 3,14 · 26 · 13,416 = 1.095,28224 cm
2
 
A parte pintada representa 42% dessa área, ou seja, 
0,42 · 1.095,28224 = 460,0185408. 
 
QUESTÃO 39 
C,E 
RESOLUÇÃO: 
• C – Se cada partícula tivesse 0,005 mm de 
diâmetro, seu volume 
seria 
 mm³. 
7 bilhões de partículas como essa teriam um volume 
de 7.000.000.000 · 0,000000065421875 = 
457,95 mm³. 
 
Se 2 g de argila têm 1 cm³, então 1 g tem 0,5 cm³ = 
500 mm³, que correspondem a mais de 7 bilhões 
dessas partículas. 
 
• E – O diâmetro maior da região interna do cone é 
D = 32 – 4 = 28 cm (raio R = = 14 cm). 
O diâmetro menor da região interna do cone é d = 
20 – 4 = 16 cm (raio r = = 8 cm). 
A altura interna do tronco é h = 12 – 2 = 10 cm. 
O volume do tronco será: 
 
 
QUESTÃO 40 
01 + 16 = 17 
RESOLUÇÃO: 
Para facilitar os cálculos, vamos chamar a altura, a 
geratriz e o raio do cone externo de H, G e R. As 
medidas referentes ao cone interno serão, 
respectivamente, h, g e r. Pelo enunciado, temos: H 
= 124 – 10 = 114 m (a altura do cone externo é a 
altura da igreja descontada a cruz); R = = 25 m 
(o raio é metade do diâmetro); G = 116,7; r = = 
20 m. 
Sabendo que a razão entre as medidas do cone 
menor e do maior é sempre a mesma, vamos 
analisar as alternativas a seguir. 
 
01) Correta. 
 
 
 
02) Incorreta. A superfície lateral do cone externo é 
πRG = = 8.752,5 m
2
. 
 
04) Incorreta. A área da base do cone interno é πr
2
 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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= = 1.200m
2
. Multiplicando por 6, temos 
7.200 pessoas. 
 
08) Incorreta. A área do círculo delimitado pelo cone 
externo será πR
2
 = = 1.875 m
2
. 
Subtraindo o círculo interno, temos 1.875 – 1.200 = 
675 m
2
. 
 
16) Correta. O ângulo do setor de planificação do 
cone, em radianos, pode ser encontrado 
fazendo . Esse 
ângulo, em graus, será dado por = 77°. 
 
QUESTÃO 41 
GABARITO: 
Volume da taça: 
 
 
Volume do copo: 
 
 
Para que a capacidade da taça seja da 
capacidade do copo, temos: 
 
 
E então, 
r = (não convém) 
r = 
 
Raio da base do copo (2r): 
 
 
QUESTÃO 42 
E C 
RESOLUÇÃO: 
• E – A proporção entre a profundidade H e a 
profundidade dos últimos 10 m será a raiz cúbica da 
proporção entre o volume total de lixo e o volume 
apenas desses últimos metros, ou seja: 100 : 1. 
 
Assim, temos: 
m. 
Como 4³ = 64 e 5³ = 125, temos que H será um 
número entre 40 e 50. Portanto, menor que 50. 
 
• C – A área da superfície será 3,14 · R². Pelo texto, 
essa área corresponde a 3,4 × 10
6 
km
2
. 
Como 3,14 < 3,4, temos que R
2
 > 10
6 
e, assim, R > 
10
3
. Logo, o raio deve ter mais de 1.000 km. 
 
QUESTÃO 43 
GABARITO: 
RESOLUÇÃO: 
a) O círculo da base do cone é feito com o arco que 
sobrou depois de retirarmos o arco de medida 13, 
portanto o perímetro da base do cone é 2π6 – 13 = 
12π – 13. 
 
b) 2πr = 12π – 13, logo r = 
 
c) Altura do cone: h
2
 + r
2
 = 6
2
, logo h = 
 e V = 
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 = 
 
 
QUESTÃO 44 
GABARITO: 
O comprimento, em centímetros, da circunferência 
da base maior é de 
 
 
Como o espaçamento entre os fios ao longo da 
base maior deve ser de, no máximo, 10 cm e 
, conclui-se que são necessários pelo 
menos 63 fios de luzes. 
 
O comprimento de cada fio de pisca-piscas é igual 
ao comprimento da geratriz do tronco de cone. Para 
calcular o comprimento da geratriz, consideremos o 
triângulo retângulo, como mostra a figura a seguir. 
 
 
 
Pelo Teorema de Pitágoras, obtém-se 
 
 
Assim, d = 2,5 m e, como são 63 fios de 2,5 m, o 
comprimento total dos fios é de 157,5 m. 
 
QUESTÃO 45 
GABARITO: 
A) A região R é um trapézio, de bases de medidas 3 
e 4, e altura 10, conforme mostra a figura: 
 
 
 
Assim, a área da região R é: 
 
B) O sólido S é um tronco de cone, de raios R = 4 er 
= 3, e altura 10. Seu volume é: 
 
C) Conforme a altura h, o volume do tronco de cone 
é: 
 
D) A área da superfície do tronco de cone 
é . Nesse caso, 
em que R = 4, r = 3 e h = 10, temos: 
 
 
QUESTÃO 46 
GABARITO: 
A geratriz (g), o raio (r) e a altura (h) de um cone, 
juntas, formam um triângulo retângulo. Assim, 
aplicando pitágoras, temos: g
2
 = r
2
 + h
2
. Como, 
nesse caso, h, r e g estão em progressão aritmética, 
podemos dizer que h = r – n e g = r + n. Substituindo 
essa relação na equação anterior, temos: 
 
(r + n)
2
 = r
2
 + (r – n)
2 
r
2
 + 2rn + n
2
 = r
2
 + r
2
 – 2rn + n
2 
2rn – r
2
 + 2rn = 0 
4rn – r
2
 = 0 
r (4n – r) = 0 
Como r é não nulo, 4n – r = 0, r = 4n. 
 
O volume de um cone é dado por . 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Nesse caso, temos: 
 
 
Então, r = 4n = 16; h = r – n = 12 e g = r + n = 20. 
 
QUESTÃO 47 
GABARITO: 
Se os raios das circunferências estão em PG de 
razão , podemos dizer que: 
 
 
 
Como a somados comprimentos também foi dada, 
temos 
 
 
Logo, obtemos a seguinte figura: 
 
 
a) Os lados do triângulo medem 9 + 3 = 12 cm, 9 + 
1 = 10 cm e 3 + 1 = 4 cm. Sendo p o semiperímetro 
do triângulo e A sua área, temos, pela fórmula de 
Heron: 
 
 
 
b) Considere a figura, em que y é o raio dos cones 
obtidos na revolução do triângulo e x é a altura do 
cone menor: 
 
 
Pelo teorema de Pitágoras: 
 
 
O volume V procurado (da união de dois cones) 
é:.
 
 
QUESTÃO 48 
GABARITO: 
a) Como o cone é reto, sua altura é perpendicular 
ao solo. Assim, o triângulo TOP é reto em Ô e tem P 
= 45°. Logo, T = 45° o que o torna isósceles. Assim, 
a distância PO = h. 
 
b) Como o triângulo OPA é retângulo em A (ponto 
de tangência), temos que o seno do ângulo OPA é 
. Note que h = 2r, de modo que , 
o que nos leva à conclusão de que OPA = 30° e 
POA = 60°. Assim, BOA = 2 · 60 = 120°. 
 
3. Metade da área dessa sombra pode ser calculada 
como a área do triângulo OPA menos a área do 
setor limitado pelo arco AC, que é um setor de 60° 
e, portanto, do círculo. 
A área do triângulo OPA será dada por 
AP é tal que AP² = OP² – AO² = h² – r² = 12 – 3 = 9 
AP = 3 e a área do triângulo será 1,5r. 
 
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da área do círculo será dada por 
Logo, a área da sombra será . 
QUESTÃO 49 
GABARITO: 
 
1. Pelo triângulo hachurado podemos 
descobrir a altura do tronco: 
 
A geratriz será a hipotenusa do triângulo 
hachurado. O cateto menor será a 
diferença R – r = 5 – 1 = 4 cm. Assim, 
temos 82 = 42 + hT 
hT = cm. 
Dessa forma, o volume do tronco de cone 
será dado por: 
 
 
2. O volume do funil na sua totalidade será 
a soma do volume do tronco do cone com o 
volume do cilindro circular reto: 
 
 
3. Se o funil recebe água à vazão de 127 
mL/s e extravasa a vazão de 42 mL/s, 
então a velocidade de enchimento será a 
diferença 127 – 42 = 85 mL/s. 
Se dividirmos seu volume em mL (lembrar 
que 1 mL = 1 cm3) pela velocidade de 
enchimento, teremos o tempo para enchê-
lo: 
 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 
QUESTÃO 50 
19 
 
RESOLUÇÃO: 
01+ 02 + 16 = 19 
 
01) Verdadeira. 
Na figura, a secção que forma o tronco de cone gera 
dois triângulos semelhantes, em que x representa a 
altura da parte seccionada do cone. 
 
 
 
Assim, 
 
Logo, a altura do cone original era h1 + x = 3 + 3 = 6 
m. 
 
02) Verdadeira. 
Utilizando a mesma figura do item anterior, e pelo 
Teorema de Pitágoras, calcula-se: 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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G
2
 = R
2
 + (h1 + x)
2 
G
2
 = 2
2
 + 6
2 
G
2
 = 40 
G = 
O ângulo α, equivalente ao comprimento de 
circunferência da base maior do cone, será 
proporcional à circunferência completa: 
 
 
04) Falsa. 
A área hachurada na figura B será a diferença entre 
as áreas A1 e A2, em que A1 é a área do setor de 
raio G e A2 é a área do setor de raio G – g. Como 
 , temos: 
 
Logo, a área da superfície do tronco de cone 
é m
2
. 
 
08) Falsa. 
O volume da parte superior Vs é dado por 
 
O volume da parte infeiror Vi é dado por 
 
Logo, 
16) Verdadeira. 
A capacidade volumétrica do funil é Vs + Vi = 7π + 
2π = 9π m
3
. 
 
QUESTÃO 51 
25 
 
RESOLUÇÃO: 
01 + 08 + 16 = 25 
 
 
 
01) Correta. 
Por semelhança de triângulos: 
. 
 
02) Incorreta. 
 m
3
. 
 
04) Incorreta. 
Ainda por semelhança de triângulos, e sabendo que 
VQ = 8 − d = 8 − 6 = 2 m, temos: 
. 
 
08) Correta. 
. 
O diâmetro é de 2 × 1,75 = 3,5 m. 
 
16) Correta. 
 
 
QUESTÃO 52 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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GABARITO: 
(Resolução oficial) 
 
É possível identificar, a partir das medidas do cone, 
relações métricas no triângulo retângulo. Com as 
medidas do raio, da altura e da geratriz (g), tem-se 
 
 
 
g
2
 = 36
2
 + 48
2 
g
2
 =1.296 + 2.304 
g
2
 = 3.600 
g = 
g = 60 
Portanto, a medida da geratriz do cone é 60 cm. 
 
Sabendo que a razão entre os volumes é igual ao 
cubo da razão de semelhança entre algumas das 
medidas do cone, toma-se como base a razão de 
semelhança entre as medidas das geratrizes dos 
cones. 
 
Considere 
g2: a geratriz do cone maior. 
V2: o volume do cone maior. 
g1: a geratriz do cone menor. 
V1: o volume do cone menor. 
 
Como o volume do cone menor é a metade do cone 
maior, tem-se 
 
 e 
Logo: = 2 ⇒ = 216.000 ⇒ = 
108.000 ⇒ g1= ⇒ g1= 
 
Portanto, a marca a ser feita no cone deve estar 
a cm do vértice. 
 
Resolução alternativa: 
 
Considere 
g2: a geratriz do cone maior. 
V2: o volume do cone maior. 
g1: a geratriz do cone menor. 
V1: o volume do cone menor. 
 
Usando a fórmula do volume do cone V = 
= π · 36
2
 · 16 = 20.736 π 
V1 = = 10.368 π 
Como V1 = = 10.368 π, segue que 
 = 31.104 (I). 
Por semelhança de triângulos, segue que 
⇒ h1 = (II). 
Por (I) e (II), tem-se 
= 31.104 
Logo = 23.328 ⇒ r1 = e h1 
= 
Pelas relações métricas no triângulo retângulo 
(24
2
 
+ 18
2
) · = 900 · 
Assim, = 900 · ⇒ g1 = 
Portanto, a marca a ser feita no cone deve estar 
a cm do vértice. 
	Exercícios de Geometria Espacial.
	Cones e troncos de cones.
	Questão 1
	Questão 2
	Questão 3
	Questão 4
	Questão 5
	Questão 6
	Questão 7
	Questão 8
	Questão 9
	Questão 10
	Questão 11
	Questão 12
	Questão 13
	Questão 14
	Questão 15
	Questão 16
	Questão 17
	Questão 18
	Questão 19
	Questão 20
	Questão 21
	Questão 22
	Questão 23
	Questão 24
	Questão 25
	Questão 26
	Questão 27
	Questão 28
	Questão 29
	Questão 30
	Questão 31
	Questão 32
	Questão 33
	Questão 34
	Questão 35
	Questão 36
	Questão 37
	Questão 38
	Questão 39
	Questão 40
	Questão 41
	Questão 42
	Questão 43
	Questão 44
	Questão 45
	Questão 46
	Questão 47
	Questão 48
	Questão 49
	Questão 50
	Questão 51
	Questão 52
	Questão 1
	B
	Resolução:
	Questão 2
	B
	Resolução:
	Questão 3
	FVVVF
	Resolução:
	Questão 4
	D
	Resolução:
	Questão 5
	A
	Resolução:
	Questão 6
	D
	Resolução:
	Questão 7
	D
	Resolução:
	Questão 8
	B
	Resolução:
	Questão 9
	C
	Resolução:
	Questão 10
	E
	Resolução:
	Questão 11
	05
	Resolução:
	Questão 12
	C E E E C
	Resolução:
	Questão 13
	A
	Resolução:
	Questão 14
	D
	Resolução:
	Questão 15
	D
	Resolução:
	Questão 16
	02
	Resolução:
	Questão 17
	C
	Resolução:
	Questão 18
	D
	Resolução:
	Questão 19
	D
	Resolução:
	Questão 20
	C
	Resolução:
	Questão 21
	B
	Resolução:
	Questão 22
	C
	Resolução:
	Questão 23
	A
	Resolução:
	Questão 24
	D
	Resolução:
	Questão 25
	C
	Resolução:
	Questão 26
	E
	Resolução:
	Questão 27
	E
	Resolução:
	Questão 28
	D
	Resolução:
	Questão 29
	B
	Resolução:
	Questão 30
	A
	Resolução:
	Questão 31
	Gabarito:
	Questão 32
	Gabarito:
	Questão 33
	Gabarito:
	Questão 34
	Gabarito:
	Questão 35
	Gabarito:
	Questão 36
	353
	Resolução:
	Questão 37
	E E E E
	Resolução:
	Questão 38
	Gabarito:
	Questão 39
	C,E
	Resolução:
	Questão 40
	01 + 16 = 17
	Resolução:
	Questão 41
	Gabarito:
	Questão 42
	E C
	Resolução:
	Questão 43
	Gabarito:
	Resolução:
	Questão 44
	Gabarito:
	Questão 45
	Gabarito:
	Questão 46
	Gabarito:
	Questão 47
	Gabarito:
	Questão 48
	Gabarito:
	Questão 49
	Gabarito:
	Resolução:
	Questão 50
	19
	Resolução:
	Questão 51
	25
	Resolução:Questão 52
	Gabarito: