1 ANO Logaritmos 2007 aula

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Logaritmos
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Qual é o tempo?
Giovanna ganhou 1 000 reais de seu pai pra fazer sua festa de 15 anos. Ao receber o dinheiro, no entanto, resolveu abri mão da festa. É que ela queria comprar um computador.
Mas havia um problema: o computador que ela queria custava 1 500 reais. O jeito era aplicar o dinheiro que tinha, até conseguir o valor necessário.
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Qual é o tempo?
Giovanna foi ao banco e conseguiu uma taxa de 5 % ao mês, capitalizados mensalmente. Chegando em casa, ficou curiosa. Em quanto tempo os 1000 reais aplicados se transfor-mariam nos 1500 reais de que precisava?
Ela havia acabado de aprender a calcular juros compostos. Fez, então, as suas contas.
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Veja os cálculos
Capital aplicado: C = 1 000
Taxa: 5 % ao mês = 0,05 ao mês
Montante pretendido: M = 1 500,00
M = C.(1 + i)t
⇒ 1 500 = 1 000 . (1,05)t
⇒ 1,05t = 1,5
Giovanna concluiu, portanto, que seu objetivo seria atingido no final do 9º mês de aplicação.
1,057 ≈ 1,407
1,058 ≈ 1,477
1,059 ≈ 1,551
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Qual é o expoente?
Como poderia ser obtido, com uma aproximação razoável e sem utilizar o método das tentativas, o valor de t na equação 1,05t = 1,6?
A teoria dos logaritmos é muito útil em problemas como esse, que envolve a determinação de um expoente.
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História
A invenção dos logaritmos ocorreu no início do século XVII e é creditada ao escocês John Napier e ao suiço Jobst Burgi.
Inicialmente seu objetivo era simplificar os cálculos numéricos, principalmente em problemas ligados à Astronomia e à Navegação.
A partir dessa fabulosa invenção, tornaram-se mais simples e mais ágeis cálculos de expressões como
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História
A partir dessa fabulosa invenção, tornaram-se mais simples e mais ágeis cálculos de expressões como
2,382,5
5,13,8 
.
√12,4
3 
O valor dessa expressão equivale ao valor de
102,5.log 2,38 + (1/3).log 12,4 – 3,8.log 5,1
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História
Foi o matemático inglês Henry Briggs (1561 – 1631) quem propôs, inicialmente, a utilização do sistema de logaritmos decimais. Afinal, o nosso sistema de numeração utiliza justamente a base 10.
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História
Atualmente, são inúmeras as aplicações tecnológicas dos logaritmos. Eles são úteis, por exemplo, na resolução de problemas que envolvem desintegração radiotiva, o crescimento de uma população de animais ou bactérias, etc.
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Trabalhando com
potências de base 10
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A base 10
Todo número positivo pode ser escrito como uma potência de base 10, ou como uma aproximação dessa potência. Veja os exemplos:
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A base 10
Na maioria dos casos, torna-se difícil escrever um número como potência de base 10. Em valores aproximados apresentamos os exemplos:
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Exemplos
Usando as igualdades 2 = 100,301 e 3 = 100,477, escreva os números 4, 5 e 6 como potência de base 10.
 4 = 22
= (100,301)2
= 100,602
 5 = 
=
= 101 – 0,301
10
2 
10
100,301 
= 100,699
 6 = 2.3
= 100,301 . 100,477
= 100,301 + 0,477
= 100,778
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Exemplos
Usando as igualdades 2 = 100,301 e 3 = 100,477, escreva o número 60 como potência de base 10.
 60 = 2.3.10
= 100,301 . 100,477 . 10
⇒ 60 = 100,301 + 0,477 + 1
⇒ 60 = 101,778
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Exemplos
Usando as igualdades 2 = 100,301 e 3 = 100,477, resolva a equação exponencial 2x = 12.
2x = 12
⇒ 2x = 22.3
⇒ (100,301)x = (100,301)2 . 100,477
⇒ 100,301.x = 100,602 . 100,477
⇒ 100,301.x = 101,079
⇒ 0,301.x = 1,079
⇒ x = 
1,079
0,301 
⇒ x ≈ 3,585
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Logaritmo
como expoente
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Logaritmo como expoente
O conceito de logaritmo está associado à operação potenciação: mais precisamente à determinação do expoente. Veja:
2x = 8
⇒ x = 3
No caso, dizemos, que o logaritmo de 8, na base 2 , é igual ao expoente 3. Em símbolos,
log2 8 = 3
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Logaritmo como expoente
Observe: calcular o log2 8 é descobrir o expoente ao qual se deve elevar a base 2, para obter, como resultado, a potência 8.
Vale, portanto a equivalência:
log2 8 = 3
⇔ 23 = 8
Calcular um logaritmo é obter um expoente.
Logaritmo é o mesmo que expoente.
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Definição
Suponhamos dois reais positivos a e b (a ≠ 1). Se ax = b, dizemos que x é o logaritmo de b na base a (simbolicamente loga b = x).
loga b = x ⇔ ax = b
 a é a base;
 b é o logaritmando ou antilogaritmo;
 x é o logaritmo;
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Exemplos
 log5 √25 = 2/3, porque 52/3 = √252
 log2 32 = 5, porque 25 = 32
 log3 (1/81) = –4, porque 3–4 = 81
 log10 0,001 = –3, porque 10–3 = 0,001
3 
3 
De acordo com a definição, calcular um logaritmo é descobrir o expoente, ou seja, resolver uma equação exponencial.
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Exemplos
Calcular log4 8.
log4 8 = x
⇒ 4x = 8
⇒ (22)x = 23
⇒ 22x = 23
⇒ x = 3
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Exemplos
Calcular log1/3 √9.
5 
 log1/3 √9 = x
5 
⇒ 
1
3 
x 
=
 √9
5 
⇒ (3–1)x = 32/5
⇒ 3–x = 32/5
⇒ –x = 2/5
⇒ x = –2/5
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Condição de existência do logaritmo
Da definição, concluímos que o logaritmo só existe sob certas condições:
 loga b = x ⇔ 
 b > 0
 a > 0
 a ≠ 1
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Condição de existência
Analise quais seriam os significados de log2 (–4), log(–2) 8, log7 0, log1 6 e log0 2, caso fossem definidos.
log2 (–4) = x
⇒ 2x = –4
impossível
log–2 8 = x
⇒ (–2)x = 8
impossível
log7 0 = x
⇒ 7x = 0
impossível
log1 6 = x
⇒ 1x = 6
impossível
log0 2 = x
⇒ 0x = 2
impossível
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Observação
Muitas vezes, um logaritmo envolve variáveis. Nesse caso, devemos analisar o domínio dessas variáveis. Para isso, usamos as condições de existência do logaritmo.
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Exemplos
Resolver a equação logx (2x + 8) = 2.
1o. Vamos analisar a condição de existência do logaritmo. 
2x + 8 > 0
x > 0
x ≠ 1
⇒
x > –4
x > 0
x ≠ 1
⇒
x > 0
x ≠ 1
2o. Usando a definição de logaritmo. 
logx (2x + 8) = 2
⇒ x2 = 2x + 8
⇒ x2 – 2x – 8 = 0
⇒ x = –2 ou x = 4.
⇒ S = {4}
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Conseqüências da definição
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Conseqüências da definição
Admitindo-se válidas as condições de existência dos logaritmos, temos os seguintes casos especiais, que são conseqüências da definição.
loga 1 = 0
loga a = 1
loga ak = k
porque a0 = 1
porque a1 = a
porque ak = ak
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Exemplos
log3 3 = log10 10 = log3,7 3,7 = 1
log3 1 = log10 1 = log3,7 1 = 0
log3 39 = 9
log10 10–3 = –3
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Conseqüências da definição
Sabemos que loga k é o expoente ao qual se deve elevar a base a para se obter k. Vale por isso, a seguinte igualdade:
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Exemplos
log5 3
 5
= 3
1 + log2 6
 2
= 21.2
 log2 6
= 2.6 = 12
log3 5
 9
= (32)
 log3 5
3
 log3 5
2
=
= 52 = 25
1 – log15 3
 15
=
 log15 3
151
15 
=
15
3 
= 5
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Sistema de logaritmos
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Sistema de logaritmos
Sistema de logaritmos é o conjunto de todos os logaritmos numa determinada base. Entre os infinitos sistema de logaritmos, destacam-se dois:
O sistema de logaritmos decimais utiliza a base 10. No cálculo de logaritmos decimais, convenciona-se não escrever a base, ou seja, log x é o mesmo que log10 x.
log x → logaritmo decimal de x (base 10)
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Exemplos
log 1000 = log10 1000 = 3
log 0,01 = log10 10–2 = –2
log 1 = log10 1 = 0
log 100 = log10 100 = 2
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Sistema de logaritmos
O sistema de logaritmosnaturais ou neperianos, utiliza, como base, o número irracional e.
Esse número foi introduzido por Euler, em meados do século XVIII. Seu valor aproximado é e = 2,71828.
O logaritmo natural de um número x pode ser indicado por Ln x.
Ln x → logaritmo natural de x (base e)
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Exemplos
Ln e = loge e = 1
Ln 10 = loge 10 ≈ 2,3
Ln e3 = loge e3 = 3
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Observação
Chama-se co-logaritmo de a na base b (em símbolos, cologb a) o oposto do logaritmo de a na base b.
cologb a = – logb a
 colog2 8 = – log2 8 = –3 
 colog3 (1/9) = – log3 (1/9) = 2 
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Logaritmos decimais
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Logaritmos decimais
O primeiro a utilizar os logaritmos decimais foi o matemático inglês Henry Briggs (1561-1631).
Foi ele quem construiu a primeira tábua de logaritmos decimais.
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Tábua de logaritmos decimais
log 13 = 1,114
ou
101,114 = 13
log 35 = 1,544
ou
101,544 = 35
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Exemplos
Calcule os logaritmos decimais
	a) log 10
	b) log 10 000
	c) log 1013
	d) log 10–30
	e) log 0,000001
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Exemplos
Consultando a tábua de logaritmos calcule
	a) log 60 + log 31 – log 5
	b) 100,903 + 101,505 – 1000,69
	c) os valores de x e y tais que 10x = 26 e 	1000y = 15
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Exemplos
Em valores aproximados, a tábua de logaritmos mostra que log 13 = 1,114 ou 101,114 = 13. A partir desses valores, sem uso de calculadora, obtenha os números seguintes.
	a) 102,114; 104,114; 100,114 e 1001,557.
	b) log 130; log 13000; log 1,3 e log 1300
	c) os valores de x e y tais que 10x = 0,13 e 	13y = 103,342.
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Mudança de base
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Mudança de base
Observe uma calculadora científica. Ela permite o cálculo apenas dos logaritmos decimais (tecla log) e dos logaritmos naturais (tecla Ln).
Como obter então, numa calculadora, logaritmos em outras bases?
Será possível achar, por exemplo, os valores de log3 5 e log7 23?
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Mudança de base
Na tábua de logaritmos decimais, encontramos que log10 23 = 1,362 e log10 7 = 0,845. A partir deles, determine o valor log7 23. 
log10 23 = 1,362
⇒ 101,362 = 23
log10 7 = 0,845
⇒ 100,845 = 7
log7 23 = x
⇒ 7x = 23
⇒ (100,845)x = 101,362
⇒ 100,845.x = 101,362
⇒ 0,845.x = 1,362
1,362
0,845 
⇒ x = 
= 1,612 
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Fórmula de mudança de base
De modo geral, podemos calcular logba, utilizando uma outra base k arbitrária. Para isso, dividimos o logaritmo de a pelo logaritmo de b, na base k escolhida.
logk a
logk b
Logb a = 
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Exemplos
Pela tecla Ln (logaritmo natural) de uma calculadora, obtemos Ln 6 = 1,792 e Ln 2 = 0,693. A partir desses valores, calcular log2 6.
loge 6
loge 2
log2 6 = 
Ln 6
Ln 2
=
1,792
0,693
=
= 2,586
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Exemplos
Resolver a equação 5x = 20, dados os logaritmos decimais log 5 = 0,699 e log 20 = 1,301.
5x = 20
⇒ x = log5 20 
log10 20
log10 5
log5 20 = 
log 20
log 5
=
1,301
0,699
=
= 1,861
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Exemplos
Se logk x = 2, calcular logx (1/k).
logk (1/k)
logk x
logx (1/k) = 
–1
2
=
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Exemplos
Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, calcular log2 3.
log 3
log 2
log2 3 = 
0,48
0,30
=
1o. Vamos a fórmula de mudança de base. 
= 1,6
Observe que, log2 3 = 1,6 ⇔ 21,6 = 3.
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Exemplos
Escrevendo os logaritmos numa mesma base, obtenha o valor mais simples do produto
log2 7 . Log7 13 . Log13 2
log 7
log 2
.
1o. Vamos a fórmula de mudança de base. 
log 13
log 7
.
log 2
log 13
= 1
1
1
1
1
1
1
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Conseqüência – mudança de base
Compare os valores dos log5 25 e log25 5.
Compare, também, os valores log2 8 e log8 2.
Que conclusão se pode tirar dessas comparações?
Se logx y = 3/5, calcule logy x.
log5 25 = 2 e log25 5 = 1/2
log2 8 = 3 e log8 2 = 1/3
logb a = 1/loga b
logy x = 5/3
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Generalizando
Como conseqüência da fórmula de mudança de base, temos:
loga a
loga b
logb a = 
1
loga b
logb a = 
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Propriedades dos logaritmos
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Propriedades dos logaritmos
O logaritmo tem uma particularidade importante. Ele transforma operações mais complicadas em operações mais simples.
Com as propriedades dos logaritmos podemos transformar:
multiplicações em adições;
divisões em subtrações;
potenciações em multiplicações;
radiciações em divisões.
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Logaritmo do produto
Vamos calcular o valor do log 21, a partir dos valores de log 3 = 0,477 e log 7 = 0,845.
log 3 = 0,477
⇒ 100,477 = 3
log 7 = 0,845
⇒ 100,845 = 7
log 21 = x
⇒ 10x = 21
⇒ 10x = 3.7
⇒ 10x = 100,477.100,845
⇒ x = 0,477 + 0,845
⇒ x = 1,322 
⇒ 10x = 100,477 + 0,845
log 21 = log (3.7) = log 3 + log 7
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Logaritmo do produto
De modo geral, o logaritmo do produto de dois números, numa certa base, é a soma dos logaritmos desses números, na mesma base.
Loga (x.y) = loga x + loga y
Para o produto de três ou mais fatores, a propriedade continua válida.
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Exemplos
A partir de log 2 = 0,301 e log 13 = 1,114, calcular log 26 e log 2000.
 log 26 = log (2.13)
= log 2 + log 13
log 26 = 0,301 + 1,114 = 1,415
 log 2000 = log (2.1000)
= log 2 + log 1000
log 2000 = 0,301 + 3 = 3,301
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Exemplos
Sendo x e y reais positivos, decompor log3 (9xy) numa soma de logaritmos.
log3 (9xy) =
log3 9 + log3 x + log3 y
log3 (9xy) =
2 + log3 x + log3 y
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Exemplos
Transformar num único logaritmo e calcular o valor da expressão log 4 + log 5 + log 50.
log 4 + log 5 + log 50 
= log (4.5.50)
log 4 + log 5 + log 50 
= log 1000
= 3
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Logaritmo do quociente
Vamos calcular o valor do log (3/2), a partir dos valores de log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477.
log 2 = 0,301
⇒ 100,301 = 2
log 3 = 0,477
⇒ 100,477 = 3
log (3/2) = x
⇒ 10x = 3/2
⇒ 10x =
 3
2
=
 100,477
100,301
= 100,477 – 0,301
⇒ x = 0,477 – 0,301
⇒ x = 0,176
log (3/2) = log 3 – log 2
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Logaritmo do quociente
De modo geral, o logaritmo do quociente de dois números, numa certa base, é a diferença dos logaritmos desses números, na mesma base.
Loga = loga x – loga y
 x
y
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Exemplos
A partir de log 2 = 0,301 obter log 5.
log 5 = log 
 10
2
= log 10 – log 2 
= 1 – 0,301
⇒ log 5 = 0,699
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Exemplos
Se x e y são reais positivos, decompor em parcelas log2 (x/4y).
log2 
 x
4y
= log2 x – log2 4y 
= log2 x – (log2 4 + log2 y)
= log2 x – (2 + log2 y)
= log2 x – 2 – log2 y
= log2 x – log2 y – 2
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Exemplos
Compor (transformar num único logaritmo) a expressão E = log m – log 3 + 2 – log n.
1º. Vamos transformar a parcela 2 na forma de logaritmo decimal. log 100 = 2.
E = log m – log 3 + log 100 – log n
E = (log m + log 100) – (log 3 + log n)
E = (log 100m) – (log 3n)
E = log 
 100m
3n
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Logaritmo da potência
Vamos calcular o valor do log 34, a partir do valor de log 3 = 0,477.
log 3 = 0,477
⇒ 100,477 = 3
log 34 = x
⇒ 10x = 34
⇒ 10x = (100,477)4
⇒ x = 4 . 0,477
⇒ x = 1,908
log 34 = 4 . log 3
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Logaritmo da potência
Generalizando, o logaritmo de uma potência, é igual ao produto do expoente da potência pelo logaritmo da base.
Loga xk = k . loga x
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Exemplos
A partir do log 3 = 0,477, calcular log 0,009.
log 0,009 = log 
 9
100
= log 9 – log 100 
= log 32 – 2 
= 2 . log 3 – 2 
= 2 . 0,477 – 2 
= 0,954 – 2 
= – 1,046 
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Exemplos
Calcular log , a partir dos valores log 2 = 0,301, log 3 = 0,477 e log 13 = 1,114.
13√3
4
log 
 13√3
4
=log 13 + log √3 – log 4
= log 13 + log 31/2 – log 22
= log 13 + . log 3 – 2 . log 2
 1 
2
= 1,144 + 0,5.0,477 – 2.0,301
= 1,144 + 0,2385 – 0,601
= 0,7505
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Exemplos
Compor e simplificar a expressão
	E = 2.log3 12 – log3 8 – 2
 1 
3
1º. Vamos transformar a parcela 2 na forma de logaritmo de base 3. (log3 9 = 2).
E = 2.log3 12 – log3 8 + log3 9
 1 
3
E = log3 122 – log3 81/3 + log3 9
E = log3 144 – log3 2 + log3 9
= log3 144 – log3 (2.9)
E = log3 144 – log3 18
⇒ E = log3
 144 
18
= log3 8
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Utilizando as propriedades dos logaritmos complete a tabela de logaritmos decimais.
1 + 2A
40
1 + B
30
1 + A
20
1
10
B + E
39
I
29
G
19
2B
9
A + G
38
2A + C
28
A + 2B
18
3A
8
K
37
3B
27
F
17
C
7
2(A+B)
36
A + E
26
4A
16
A + B
6
1–A + C
35
2(1 – A)
25
1 + B – A
15
1 – A
5
A + F
34
3A + B
24
A + C
14
2A
4
B + D
33
H
23
E
13
B
3
5A
32
A + D
22
2A + B
12
A
2
J
31
B + C
21
D
11
0
1
log n
n
log n
n
log n
n
log n
n
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Exemplos 
(FGV-RJ) A tabela abaixo fornece os valores dos logaritmos naturais (base e) dos números inteiros de 1 a 10. Ela pode ser usada para resolver a equação exponencial 3x = 24, encontrando-se, aproximadamente,
2,1.
2,3.
2,5.
2,7
2,9
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Exemplos
Se log 2 = a e log 3 = b, escreva o log2 72 em função de a e b.
log2 72 =
 log 72
log 2
=
 log 23.32
log 2
=
 log 23 + log 32
log 2
=
 3.log 2 + 2.log 3
log 2
=
 3a + 2b
a