Logaritmos (EsSA) - Sandro Carvalho

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Grupo Potência - Sistema GPI 
Data: 12/08/2015 
APOSTILA – EsSA (Matemática I) 
FUTURO SARGENTO: ________________________________________________ 
Prof.: Sandro Carvalho 
 
 
 
Logaritmo 
 
"As raízes do estudo são amargas, mais seus 
frutos são doces." 
 
Logaritmos 
 
1 .Definição 
 
 Sendo a, b e x números reais tais que a > 0 e b 
> 0 e b ≠ 1, temos que: 
 





=↔=
aritmolog:x
base:b
aritmandolog:a
abxalog xb 
 
lê-se “o logaritmo de a na base b é igual a x se, e somente 
se, o valor da potência de base b e expoente x é igual a a .” 
 
Ex: 38log2 = , pois 2
3 = 8. 
 
2. Propriedades 
 
 Eis algumas das principais propriedades dos 
logaritmos, que podem ser demonstradas a partir da 
definição anterior e que serão muito úteis para o nosso 
estudo: 
 
i) 01logb = 
ii) 1blogb = 
iii) mblog mb = 
iv) alogmalog b
m
b = ( Regra do “Peteleco” ) 
v) alog
n
1
alog bbn = 
vi) clogalogc.alog bbb += 
vii) clogalog
c
a
log bbb −= 
viii) mb
mb =
log
 
 
Obs: Estas propriedades são válidas para valores reais de 
a, b e c tais que a > 0, b > 0 e b ≠ 1 e c > 0. 
 
3. Sistema de Logaritmos Decimais ou de Briggs 
 
 É o sistema de base 10. Ao representarmos um 
logaritmo de base 10, podemos omitir a indicação da base. 
 
 log x = log10 x 
 
4. Sistema de Logaritmos Naturais ou Neperianos 
 
 É o sistema de base e ( Número de Napier ), que 
é uma constante irracional cujo valor aproximado é 2, 71. O 
logaritmo neperiano de um número real positivo pode ser 
representado pela expressão ln. 
 
 ln x = loge x 
 
 5. Mudança de Base 
 
 Sendo a, b e c números reais tais que a > 0, b > 0 
e b ≠ 1 e c > 0 e c ≠ 1, temos que: 
 
 
blog
alog
alog
c
c
b = 
 
6. Equações Logarítmicas 
 
 São as equações que envolvem a função 
logarítmica. Neste tipo de equação, devemos estar atentos 
às condições de existência dos logaritmos envolvidos, 
lembrando sempre que o logaritmando deve ser positivo e a 
base deve ser positiva e diferente de 1. 
 
Exemplo 1: Equação do tipo a)x(glog )x(f = 
 
Restrições: g(x) > 0 e f(x) > 0 e f(x) ≠ 1 
Solução: [f(x)]a = g(x) 
 
Exemplo 2: Equação do tipo )x(hlog)x(glog )x(f)x(f = 
 
Restrições: g(x) > 0, h(x) > 0 e f(x) > 0 e f(x) ≠ 1 
Solução: g(x) = h(x) 
 
Exemplo 3: Equações que envolvem variável auxiliar 
 
Ex: (log x)2 – 3.log x + 2 = 0 
 
Restrição: x > 0 
 
Substituindo log x por uma variável auxiliar y, teremos: 
 
y2 – 3y + 2 = 0 → y = 
2
13 ±
 → y = 1 ou y = 2 
 
Ao determinarmos os valores da variável auxiliar, podemos 
achar os valores da variável x através da relação y = log x : 
 
y = 1 → log x = 1 → x = 10 
y = 2 → log x = 2 → x = 100 
 
Como os dois valores encontrados satisfazem à restrição, 
temos: 
S = { 10, 100 } 
 
Nota: Cologaritmo 
aaco bb loglog −= 
É válido para valores reais de a e b tais que a > 0, b > 0 e b 
≠ 1. 
 
Exercício de fixação 
 
1) Calcule: 
 
a) 27log3 b) 125log
5
1 
c) 32log 4 d) 
27
8
log
3
2 
 
2) Calcule o valor de x: 
2 
 
a) 38log =x b) 2
16
1
log =x c) 
5log2 =x d) x=27log9 e) x=32log
2
1 
 
3) Calcule: 
a) 
3
2 2log
−
 b) 7log7 c) 
7log55 
d) 
3log7log 222 + e) 
5log22 22 + 
 
4) Dados log a = 5, log b = 3 e log c = 2, calcule 






c
ba
2.
log . 
 
5) Sendo logx 2 = a , logx 3 = b calcule 
3 12log x . 
 
6) Sendo loga 2 = 20 , loga 5 = 30 calcule 100log a . 
 
Exercício de Concurso 
 
01 – [U. E. LONDRINA] Supondo que exista, o logaritmo de 
a na base b é: 
 
a) o número ao qual se eleva a para se obter b. 
b) o número ao qual se eleva b para se obter a. 
c) a potência de base b e expoente a. 
d) a potência de base a e expoente b. 
e) a potência de base 10 e expoente a. 
 
02 – [PUC] Assinale a propriedade válida sempre: 
 
a) log (a . b) = log a . log b 
b) log (a + b) = log a + log b 
c) log m . a = m . log a 
d) log am = log m . a 
e) log am = m . log a 
 
(Supor válidas as condições de existências dos logaritmos) 
 
03 – [CESGRANRIO] Se log10123 = 2,09, o valor de 
log101,23 é: 
 
a) 0,0209 b) 0,09 c) 0,209 
 d) 1,09 e) 1,209 
 
04 – Os valores de x que satisfazem log x + log (x - 5) = log 
36 são: 
 
a) 9 e -4 b) 9 e 4 c) -4 d) 9 e) 5 e -4 
 
05 – [UDESC] Se loga b = 3 e logab c = 4, então loga c é: 
 
a) 12 b) 16 c) 24 d) 8 e) 6 
 
06 – [EsSA] Aumentando-se um número x em 75 unidades, 
seu logaritmo na base 4 aumenta em 2 unidades. Pode-se 
afirmar que x é um número: 
 
a) Irracional. b) Divisor de 8. c) Múltiplo de 3. 
d) Menor que 1. e) Maior que 4. 
 
07 – [EsSA] Se ( ) 2
5
log xxf = , com x real e maior 
que zero, então o valor de ( )( )5ff é 
 
a)
2log1
2log2
+
 b) 
22log
2log
+
 c) 
12log
2log5
+
 
d)
2log1
2log8
−
 e)
2log1
2log5
−
 
 
08 – [EsSA] Se a=3log2 e b=5log2 , então o 
valor de 75log 5,0 é 
 
a) a + b b) - a + 2 b b) a - b d) a - 2 b e) - a - 2b 
 
09 – [EsSA “Músico e Saúde”] Sabendo que 
cbaP log
2
1
log4log3log ⋅+⋅−⋅= , assinale a 
alternativa que representa o valor de P. 
 
(dados: a = 4, b = 2 e c = 16) 
 
a) 12 b) 52 c) 16 d) 24 e) 73 
 
10 – [EsSA] O logaritmo de um produto de dois fatores é 
igual à soma dos logaritmos de cada fator, mantendo-se a 
mesma base. Identifique a alternativa que representa a 
propriedade do logaritmo anunciada. 
 
a) ( ) caca bbb logloglog +=⋅ 
b) ( ) ( )caca bb +=⋅ loglog 
c) ( ) ( ) ( )caca bbb logloglog ⋅=+ 
d) ( ) ( )caca bb ⋅=+ loglog 
e) ( ) caca fbe logloglog +=⋅ 
 
11 – [EEAR] Sabendo que ( ) xbalog 4 =− e 
16
1
ba =+ , então ( )log4 2 2a b− é igual a: 
 
a) 2x b) 2 – x c) x – 2 d) 2 + x 
 
12 – [EEAR] Sendo x3x 48 =− , tem-se que ( )13 xlog − é 
igual a 
 
a) 3 b) 2 c) - 2 d) - 1 
 
13 – [EEAR] Seja k a raiz da equação 
2
1
2
xloglog 28 = . 
O valor de k8 é 
 
a) 
8
1
 b)
4
1
 c) 1 d) 2 
 
14 – [EEAR] Se 8log3log32logM
2312
−+= , então 
M vale 
 
a) 1− b) 1 c) 2− d) 2 
 
15 – [EEAR] Se a=2log3 e b=3log7 , então 
=14log3 
 
a) 
a
b 1+
 b) 
b
a 1+
 c) 
b
ab 1+
 d) 
a
ab 1+
 
 
3 
 
16 – [EEAR] O logaritmo de 8 é 
4
3
, se a ase do logaritmo 
for igual a 
 
a) 4 b) 8 c) 16 d) 64 
 
17 – [EEAR] Se a=8log , então 3 2log vale 
 
a) 
2
a
 b) 
4
a
 c) 
9
a
 d) 
6
a
 
 
18 – [EEAR] Se x e y são números reais positivos, 
xco =
32
1
log 2 , e 4256log =y , então x + y é igual 
a 
 
a) 2 b) 4 c) 7 d) 9 
 
19 – [EEAR] Sejam x, y e b números reais maiores que 1. 
Se 2log =xb e 3log =yb , então o valor de 
( )32log yxb é 
 
a) 13 b) 11 c) 10 d) 8 
 
20 – [EEAR] Considerando n > 1, nna =log , então o 
valor de a é 
 
a) n b) 
n
n c) 
n
1
 e 0 d) nn
1
 
 
21 – [EEAR] A razão entre o logaritmo de 16 e o de 4, 
numa mesma base b 10 ≠< b , é 
 
a) 
4
1
 b)
2
1
 c) 4 d) 2 
 
22 – [EFOMM] Sabendo que o a=3log30 e b=5log30 , 
que opção representa 2log10 ? 
 
a)
a
ba
+
−−
2
1
 b)
1
1
−
−−
a
ba
 c)
a
ba
+
−−
1
1
 
d) 
a
ba
−
−−
2
1
 e)
a
ba
−
−−
1
1