GAAL - Lista 1 Vetores

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GAAL- lista 1
10 de Marc¸o de 2015
1. Dados os pontos A = (−1, 4, 5) e B = (7,−2, 14) e C = (−3, 4, 5), determine
os vetores 3 ~AB − 4 ~CA e −2 ~CB − 3 ~BA + 5 ~AC
2. Sejam A = (1,−3, 7) e B = (5,−12, 4) dois pontos no espac¸o. Determine as
coordenadas de um ponto P dentro do segmento AB tal que APPB = 2
3. Seja ABC um triaˆngulo, onde A = (−1, 3, 5), B = (−4, 3, 7) e C = (−7, 9,−3).
Determine as coordenadas do baricentro, isto e´, o ponto de intersec¸a˜o das me-
dianas.
4. Sejam A, B e C como no problema anterior. Determine um vetor que seja
perpendicular a ~AB e ~AC e que tenha comprimento 10.
5. Sejam A = (−1, 3, 5), B = (−4, 3, 7) e C = (−7− x, 2x, x). Determine todos
os valores de x de tal forma que o triaˆngulo ABC seja retaˆngulo.
6. Seja ~v = (−1, 1, 0) e ~w = (2, 0,−3). Determine um vetor ~u de comprimento
5 tal forma que seja perpendicular a ~v e forme aˆngulo de 60◦ com ~w.
7. Sejam ~v e ~w como no problema anterior. Determine um vetor ~u que seja L.
D. com ~v e ~w e que forme aˆngulos iguais com estes vetores.
8. Sejam A = (−1, 3, 5), B = (−4, 3, 7), C = (−7, 9,−3). Determine as coorde-
nadas do ponto D de tal forma que ABCD seja um paralelogramo.
9. Sejam A = (−1, 3, 5), B = (−4, 3, 7), C = (−7, 9,−3) e D = (5, 3,−1).
Determine o volume do tetraedro ABCD. Determine a altura desde o ponto
D a` base ABC do tetraedro.
10. Sejam A = (−1, 3, 5), B = (−4, 3, 7), C = (−7, 9,−3) e D = (x, 6,−10).
Dado que as diagonais do quadrila´tero ABCD se intersetam em um ponto
P , determine o valor de x e as coordenadas do ponto P .
11. Sejam ~v = (−2, 3, 5) e ~w = (3,−7, 10). Determine um vetor ~u que satisfaz as
seguintes condic¸o˜es simultaneamente: ~u e´ paralelo a ~v e ~w−~u e´ perpendicular
a ~v. (~u e´ chamado projec¸a˜o de ~w sobre ~v e denotado como Projv ~w)
12. Sejam ~v = (−2, 3, 5), ~w = (3,−7, 10) e ~u = (2x, 3 + x, 5 − x). Determine os
valores de x de tal forma que ~v, ~w e ~u sejam L.D.