Anotações sobre equações diferenciais

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA ENGENHEIROS E 
CIENTISTAS
� PhD. Helder H. Ch. Sánchez, 2017
Faculdade Centro Leste - UCL
Núcleo de Engenharia Mecânica 
helderch@ucl.br
Eclesiastes 1:13 Y apliqué mi corazón a buscar e investigar con sabiduría todo lo que se ha hecho bajo el cielo. 
Tarea dolorosa dada por Dios a los hijos de los hombres para ser afligidos con ella. 
Tabela de Conteúdos
Prefacio
Capítulo 1 O básico de Mathematica para resolver EDOs
1.1 Carregando Mathematica 
1.2 Solução simbólica
Capítulo 2 Introdução as Equações diferenciais
2.1 Introdução
2.2 Conceitos gerais e definições básicas
2.2.1 Definição de EDO
2.2.2 Definição da ordem de uma EDO
2.2.3 Definição da uma EDO linear e não-linear
2.2.4 EDO versus equação diferencial em derivadas parciais
2.2.5 Definição de Solução de uma EDO
2.2.6 Definição do Problema do Valor Inicial
2.2.7 Definição do Problema do Valor de Contorno
2.3 Formação de uma EDO
2.4 Campo direcional
2.5 Isóclinas
2.6 Curvas ortogonais e oblíquas
2.7 Laboratório para o capítulo 2
Capítulo 3. Métodos de solução para EDOs lineares de primeira ordem
3.1 EDOs de Primeira Ordem
3.2 Variáveis separáveis
3.3 ED Homogêneas
3.4.1 Equação redutível a forma homogênea
3.4 Equações Lineares de Primeira Ordem
3.4.1 Equação redutível a forma linear
3.5 EDOs Exátas
3.5.1 Fator integrante
3.6 Equações Autonomas
3.7 EDOs Diversos
3.7.1 Equação de Riccati
3.7.2 Equação de Bernoulli
3.7.3 Equação de Clairaut
3.7.4 Equação de Abel de Primeira e Segunda Classe
3.8 Laboratório para o capítulo 3
Capítulo 4. Equações diferenciais lineares de segunda ordem e de ordem maior
 4.1 Equações homogêneas
2 EDO-2018-1.nb
 4.1.1 Problemas do valor inicial
 4.1.2 Problemas do valor de contorno
 4.2 Equações homogêneas com coeficientes constantes
 4.2.1 Caso 1: raízes reais diferentes
 4.2.2 Caso 2: raízes repetidas
 4.2.3 Caso 3: raízes complexas
 4.3 Equações não homogêneas
 4.3.1 Método 1: variação dos parâmetros
 4.3.2 Método 2: coeficientes indeterminados
 4.3.3 Método operacional
 4.4 Equações de Cauchy-Euler
 4.4.1 
 4.4.2
 4.5 Equações diferenciais lineares homogêneas de ordem maior que dois
 4.6 Laboratório para o capítulo 4
Capítulo 5 Sistemas de EDOs lineares de primeira ordem 
 5.1 Introdução
 5.2 Resolvendo sistemas lineares usando valores próprias e vetores próprios da matriz
5.2.1 
5.2.2 
5.2.3 
 5.3 O plano de fase para sistemas lineares de equações diferenciais
5.3.1 
5.3.2 
5.3.3 
 5.4 Laboratório para o capítulo 5
Capítulo 6 EDOs lineares de ordem mais alta
5.1 
5.2
5.2.1 
5.2.2 
5.2.3 
5.3
5.4
Capítulo 6 Solução em séries para EDOs lineares de segunda ordem
6.1 
6.2 
6.3
6.3.1 
6.3.2 
EDO-2018-1.nb 3
6.3.3 
Capítulo 7 Transformações Integrais
Capítulo 8 Equações diferenciais não-lineares e estabilidade
Capítulo 9 Equações em derivadas parciais lineares e não lineares
Capítulo 10 Método em diferencias finitas
Apéndices
A.
B. 
C. 
D. 
Referências
4 EDO-2018-1.nb
EDO-2018-1.nb 5
 
Campo elétrico dentro das placas de um capacitor de placas retangulares.
6 EDO-2018-1.nb
EDO-2018-1.nb 7
 PREFÁCIO
O presente material foi desenhado com uma filosofia fora do tradicional, isto é, saindo do modo comum em que normalmente é ministrado
a matéria de Equações Diferenciais Ordinárias. Acreditamos que a geração moderna de engenheiros e cientistas devem saber usar, ao
final de sua formação, algum software de cálculo simbólico tais como Mathematica, MatLab, SciLab, MathCAD, REDUCE, Maple, Python,
Macsyma, entre outros; alguns dos quais são de código livre e outros não. Desde minha perspetiva, os mais importantes pela enorme
variedade de suas livrarias, potência de cálculo e de gráficos são Mathematica, MatLab, Maple e Python. Nos escolhemos Mathematica
pela familiaridade do autor com o software e como ferramenta de cálculo simbólico para abordar os conteúdos. O material assume que o
estudante está familiarizado com as técnicas de cálculo básico, tais como diferenciação, integração, etc. Todos os exercícios ou problemas
resolvidos no material serão analiticamente e computacionalmente resolvidos. Isto significa que usaremos os códigos que Mathematica
fornece para encontrar as soluções simbolicamente e contrastar com a solução analítica; assim como a potência de gráficos e/ou ani-
mações computacionais a fim de entender mais profundamente as soluções encontradas. O estudante poderá manipular por si mesmo as
animações computacionais, basta para este fim instalar em seu computador o software gratuito CDF Player que Wolfram Research
fornece a seus usuários e que pode ser descarregado em: http://www.baixaki.com.br/download/wolfram-cdf-player.htm ou em http-
s://www.wolfram.com/cdf-player/ .
8 EDO-2018-1.nb
1.
INTRODUÇÃO ELEMENTAR A Mathematica PARA RESOLVER EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Mathematica é uma linguagem de programação de nível elevado que pode executar a manipulação simbólica, numérica, e gráfica de
expressões matemáticas. Neste capítulo nós aprenderemos os comandos essenciais de Mathematica relativos a resolver Equações Diferenci-
ais Ordinárias.
1.1 Correndo Mathematica
Instalar e correr Mathematica difere de um sistema de computador a outro. Entretanto, o coração do Mathematica, onde os cálculos são
executados, é o mesmo em todos os sistemas. Mathematica tem dois componentes principais, o kernel e o front end. A parte frontal (front
end) é a janela em que você datilografa seus comandos. Estas janelas são geralmente parte de cadernos (Notebooks), que estão na
interface Mathematica com o kernel. O kernel é o lugar onde os comandos são processados. Poderia residir no computador onde a parte
frontal (front end) reside, ou poderia estar em um computador remoto. Mathematica é lançado com double-click no seu ícone. 
Depois que você escreve sua entrada Mathematica em seu caderno (Notebook), Mathematica etiqueta sua entrada com In[n]:=. A etiqueta
de saída correspondente é Out[n]= . Por exemplo: 
y�x�� � x2
x2
1.2 Solução Simbólica
Sintaxe básica
O comando básico para a solução simbólica de uma equação diferencial é DSolve. A sintaxe para uma equação diferencial ordinária
com uma variável é DSolve[eqn, y[x], x] onde eqn é uma equação diferencial bem definida envolvendo derivadas da função y[x] com
relação a uma variável independente x. As derivadas devem estar baseadas em D, e não em Dt. A solução é retornado na forma de uma
lista de substituição para y[x], com a forma detalhada dependendo da especificidade de y[x]. Para resumir até aqui, a sintaxes para o
cálculo simbólico de equações diferenciais é:
DSolve[eqn, y[x], x]
Note-se que, dependendo da ordem da equação diferencial, a solução fornecida por Mathematica retornará na forma de uma lista
substitutiva com um número de constantes indexadas como C1, C2], etc., equivalente ao ordem da equação diferencial.
Também é usado a seguinte sintaxe alternativa:
Exemplo 1. Resolva a equação diferencial: x '' �t� � 	Ω02 x �t�
Solução. Temos
resolve equação diferencial
DSolvex ''�t� � 	Ω02 x�t�, x�t�, t
x�t� � C2Cos�t Ω0� �C1 Sin�tΩ0�
A solução fornecida é x�t� � c2 cos�t Ω0� � c1 sin�tΩ0�. Logo aprenderemos os métodos para resolver equações diferencias destetipo.
DSolve[eqn, y, x]
EDO-2018-1.nb 9
que da uma solução para y em forma de uma função pura.
Se você deseja encontrar uma solução particular com uma condição inicial, a sintaxe varia um pouco:
DSolve[{eqn, y[a] == b}, y, x]
onde consideramos que para o valor de x � a, temos y�a� � b. Isto determinará o valor da constante C[1].
É importante ressaltar que equações diferencias que normalmente se escrevem como, por exemplo: y '' �x� �a y ' �x� �b � 0, em notação
Mathematica se escreve como; y ''�x� �a y '�x� �b �� 0. Não é obrigatório, em realidade, escrever produtos com "*" porque em Mathematica
isto é implementado automaticamente com um espaço em branco entre os termos a serem multiplicados, embora se você quiser pode usar
"*".
Exemplo 2. Resolva a equação diferencial: x '' �t� � 	Ω02 x �t�, x 0 � x0, x ' 0 � v0.
Solução. Temos:
apaga tudo
ClearAll"Global`�";
resolve equação diferencial
DSolvex '�t� �� 	Ω0 x�t� �a, x0 � x0, x�t�, t
x�t� � �	t Ω0 	a�a �t Ω0 �x0 Ω0Ω0 
E a solução é dada simbolicamente por
x�t� � �	t Ω0 	a�a �t Ω0 �x0 Ω0Ω0 .
10 EDO-2018-1.nb
2
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM
2.1 Introdução
A engenharia como a física tratam com a modelagem de problemas, geralmente de caráter físico. Em que consiste a modelagem de um
problema físico-técnico? A modelagem consiste na formulação do problema em termos matemáticos, usando variáveis, funções e equações.
O uso da linguagem matemática para descrever um problema físico-técnico é conhecido como o modelo matemático do problema dado.
O processo de criação de um modelo, resolve-lo matematicamente, interpretar o resultado em termos físicos ou outros termos é chamado
de modelagem matemático ou, simplesmente, modelagem.
A modelagem implica experiência, a qual podemos ganhar discutindo exemplos e problemas diversos. Conceitos físicos tais como veloci-
dade e aceleração são taxas de variação, isto é, na linguagem do cálculo, derivadas. Logo, um modelo matemático contêm muitas vezes
derivadas de uma função desconhecida. Tal modelo é chamado uma equação diferencial. Uma vez estabelecida a equação diferencial,
devemos encontrar uma solução, explorar suas propriedades, traçar gráficos, encontrar seus valores e interpreta-lo, seja fisicamente ou de
alguma outra maneira de modo a compreender o comportamento do sistema descrita pela equação diferencial (Fig.1).
Fig.1 Diagrama de um processo de modelagem
A enorme importância das equações diferenciais para o estudo da engenharia e física pode ser fundamentada de inúmeras formas, dado
que existe uma âmpla diversidade de problemas que ela descreve; que vão desde a tecnologia, descrição de problemas físicos do nível
macroscópicos até microscópicos. Por exemplo, num circuito elétrico, a variável dependente I �t� em uma equação diferencial ordinária
pode ser a corrente que flui no circuito no tempo t, no caso em que a variável independente seja o tempo. A natureza de I �t� depende do
fluxo da corrente no começo, e a especificação da informação deste tipo é chamado de uma condição inicial para a equação diferen-
cial. Da mesma forma, em engenharia química, uma variável dependente m �t� pode ser a quantidade de uma substância química
produzida por uma reação no tempo t. Aqui também a variável independente seria o tempo t, e para determinar m �t� em qualquer caso
particular, seria necessário especificar a quantidade de m �t� presente no início, que, por conveniência é normalmente levado para ser
quando t � 0.
Muitos problemas físicos são capazes de descrição em termos de uma única equação diferencial de primeira ordem, enquanto outros
envolvem problemas mais complicados tais como equações diferenciais de primeira ordem acopladas, que, após a eliminação de todas
menos uma das variáveis independentes, podem ser substituídos por uma única equação de ordem maior para a variável dependente
restante. Isto acontece, por exemplo, quando se determina a corrente em um circuito elétrico RLC.
Assim, equações diferenciais ordinárias de primeira ordem podem ser considerados como blocos de construção no estudo de equações de
ordem superior, e as suas propriedades são particularmente importantes e fáceis de obter quando as equações são lineares. O estudo e
as propriedades da classe especialmente simples de equações chamadas equações de coeficientes constantes é muito importante, pois
constitui a base do estudo de equações de coeficientes constantes de ordem superior que são desenvolvidos em muitos livros e tem muitas
e variadas aplicações. Antes de podermos estudar as técnicas de resolução dos diversos tipos de equações diferenciais, vamos introduzir
os conceitos que são necessários para o desenvolvimento do tema.
2.2 Conceitos gerais e definições básicas
2.2.1 Definição de EDO
EDO-2018-1.nb 11
2.2.1 Definição de EDO
Seja x uma variável independente e y uma variável dependente. Uma equação que envolve x, y e varias derivadas de y é chamada uma
equação diferencial ordinária (EDO). Em termos gerais
F x, y,
� y
�x , ...,
�n y
�xn � 0 �2.1�
Alguns exemplos são
� y
� x � 2 y �sin�x� �ln x
2 �1 ,  � y� x 
2 ��x 	2 y � �2 y� x2 �2.2�
A função desconhecida, y(x) satisfaz uma equação e seu comportamento dependerá das condições iniciais ou de contorno da função.
apaga tudo
ClearAll"Global`�";
resolve equação dife�DSolvey '�x� � 2 y�x� � senoSin�x� � logaritmoLogx
2 �1, y0 � 1, y�x�, x;
mos�Show gráficoPloty�x� �. �, x, 	2 Π , Π 2, legenda do quadroFrameLabel � x, y!, quadroFrame 	" ve�True, tema do gráficoPlotTheme � "Marketing",
PlotPoints � 30,
estilo de et�LabelStyle � diretivaDirective ne�Bold, família da fonteFontFamily � "Tw Cen MT", tamanho da fonteFontSize � 13,
Graphics
tamanh�PointSize grandeLarge, bra�White, pontoPoint0, 1, eixosAxes � ve�True, legenda do quadroFrameLabel � x, y!, intervalo d�PlotRange � tudoAll
Fig.2 Gráfico da solução da EDO �y�x � 2 y� sin�x� �ln x2 �1, para a condição inicial y(0) = 1 no intervalo x (-2Π,Π/2).
12 EDO-2018-1.nb
apaga tudo
ClearAll"Global`�";
sol2 �
resolve numéricamente equação diferencial
NDSolvey '�x�^2� �x 	2 y�x� �� y ''�x�, y0 � 0, y '0 � 	0.5, y, x, 	5, 1.4,
método
Method � "StiffnessSwitching";
mos�Show gráficoPloty�x� �. sol2, x, 	5, 1.5, legenda do quadroFrameLabel � x, y!, quadroFrame 	" ve�True, tema do gráficoPlotTheme � "Marketing",
PlotPoints � 30,
estilo de et�LabelStyle � diretivaDirective ne�Bold, família da fonteFontFamily � "Tw Cen MT", tamanho da fonteFontSize � 13,
Graphics
tamanh�PointSize grandeLarge, bra�White, pontoPoint0, 0, eixosAxes � ve�True, legenda do quadroFrameLabel � x, y!, intervalo d�PlotRange � tudoAll
Fig.3 Gráfico da solução da EDO  �y�x 2 ��x 	 2 y � �2y�x2 , para a condição inicial y(0) = 0, y’(0) = -0.5 no intervalo x (-5,1.4).
2.2.2 Definição da ordem de uma EDO
A ordem de uma EDO é a ordem da derivada mais alta aparecendo na equação diferencial. Exemplos:
# 4 �y�x � 6 x�1, é uma EDO de 1a. ordem
# �2y�x2 �6 �y�x � 2 x �5, é uma EDO de 2a. ordem
# �ny�xn � 3 �n	1y�xn	1 � ... � �2y�x2 � �y�x � x2 � x � 1, é uma EDO de ordem n.
2.2.3 Definição da uma EDO linear e não-linear
Se y e suas derivadas y ', y '', ... aparecem linearmente na equação, é uma equação diferencial linear; de outro modo, ela é não-linear.
Exemplos:
# x3 �3y�x3 �6 �y�x �y � e	x, é uma EDO de 3a. ordem, linear
# �2y�x2 �y �y�x �2 y � x, é uma EDO de 2a. ordem, não-linear em virtude do termo y dydx .
# A equação do pêndulo simples �2Θ�t2 � gL sin�Θ� � 0, é uma EDO de 2a. ordem em Θ, não-linear em virtude do termo sin(Θ), cuja expansão em
série de Taylor é um polinómioque depende de Θ.
2.2.4 EDO versus equação diferencial em derivadas parciais
Esta classificação depende de se você têm derivadas ordinárias ou parciais. Exemplos
# L �2Q�t2 �R �Q�t � QC � E�t�, relaciona a carga Q�t�) num circuito a uma força eletromotriz E�t�) (isto é, a fonte de voltagem conectado ao
circuito) na presença de um capacitor com resistência, é uma EDO.
# Α2 &2u�x,t�&x2 � &u�x,t�&t , é uma ED em derivadas parciais de 2a. ordem, descrevendo a condução do calor ao longo de uma vara fina, com Α
sendo uma constante.
2.2.5 Definição. Solução de uma EDO
Para uma EDO de ordem n Fx, y, y´, . . . , y�n� � 0, uma função y � y�x�, que é n-vezes diferenciável e satisfaz a ED em algum intervalo
EDO-2018-1.nb 13
 � � �
a ' x ' b quando substituído na equação, é chamado uma solução da EDO sobre o intervalo a ' x ' b.
Exemplo ilustrativo. Queda livre de uma massa pontual
Considere o movimento de uma massa pontual deixado cair verticalmente no tempo t = 0 desde x = 0 como mostrado na Fig.4.
Suponha que não existe resistência do meio.
Fig.4 Queda livre de uma massa pontual.
A equação do movimento é
�2 x
� t2 � g �2.3�
e a solução geral encontra-se integrando ambos os lados com relação a t duas vezes
x�t� � C0 �C1 t� 1
2
g t2. �2.4�
Duas formas possíveis de especificar as condições.
Problema do valor inicial
Se o objeto é deixado cair com uma velocidade inicial v0, as condições requeridas são
no tempo t = 0: x(0) = 0, x
( 0 � �x�t t � 0 � v0.
As constantes C0 e C1 podem ser determinados destas duas condições e a solução da ED é
x�t� � v0 t � 1
2
g t2 # �2.5�
2.2.6 Definição. Problema do valor inicial
Se uma equação diferencial é requerida para satisfazer as condições sobre a variável dependente e suas derivadas especificadas em
algum valor da variável independente, estas condições são chamadas condições iniciais e o problema é chamado um problema do
valor inicial.
Exemplo 1. Encontrar a curva da família y � C1 ex �C2 e	2 x, tal que y0 � 1, y ' 0 � 	2.
Solução. A derivada de y:
y´ � C1 ex 	2 C2 e	2 x.
Em x = 0, temos as condições
1 � C1 �C2, 	2 � C1 	2 C2,
resolvendo
resolve
Solve1 � C1�C2, 	2 � C1	2 C2, C1, C2
C1 � 0, C2 � 1
O resultado foi C1 � 0, C2 � 1, substituindo isto em y:
y � e	2 x #
Problema do valor de contorno
Se o objeto é requerido para alcançar x � L no tempo t � T, L * �1�2�g T2, as condições podem ser especificadas assim
no tempo t � 0: x0 � 0, xT � L.
A solução da ED é 
14 EDO-2018-1.nb
x�t� � L
T
	 1
2
g T t� 1
2
g t2 # �2.6�
Neste caso, ED é requerida para satisfazer as condições especificadas em dois valores de t, isto é, t � 0 e t � T.
2.2.7 Definição. Problema do valor de contorno
Se uma ED é requerida para satisfazer condições sobre a variável dependente e possivelmente suas derivadas especificadas em dois
ou mais valores da variável independente, estas condições são chamados condições de contorno e o problema é chamado um
problema de valor de contorno.
2.3 Formação de uma equação diferencial
Uma EDO é formada numa tentativa de eliminar algumas constantes arbitrárias de uma relação nas variáveis e constantes. No entanto,
equações em derivadas parciais podem ser formadas por eliminação de constantes arbitrárias ou funções arbitrárias. Em matemáticas
aplicadas, cada problema geométrico ou físico quando transladado em símbolos matemáticos dá lugar a uma equação diferencial.
Exemplo 2. A posição x de uma massa pontual atada ao extremo de uma mola que oscila é dada por x�t� � A sin�Ω t�Α�, onde A, Ω e Α
são constantes. Forme uma EDO a partir de x�t�.
Solução. Note que t é a variável independente e x a variável dependente, de modo que apenas duas constantes podemos eliminar.
Tomando a primeira e segunda derivadas:
�x�t�
� t � ΩA cos�Ωt�Α�,
�2 x
� t2 � 	AΩ2 sint�Ωt�Α� � 	Ω2 x.
A EDO procurada é ,
�2x�t2 � Ω2 x � 0. #
Exemplo 3*. Encontre a EDO da família de curvas y � ax3 �bx2, sendo a e b constantes arbitrárias.
Solução. Tomando a primeira e segunda derivadas:
�y
�x � 3 ax2 �2 bx,
�2 y
�x2 � 6 ax�2 b,
podemos resolver estas duas equações para a e b e substituir seus valores na expressão de y.
resolve
Solve1
x
y ' � 3 a x�2 b, y '' � 6 a x�2 b, a, b
a � 	y+ 	x y++
3 x2
, b � 		2 y+ �x y++
2 x

O resultado foi a � 	 y+	x y++
3 x2
, b � 	 	2 y+�x y++
2 x
, substituindo isto em y:
y � 	 y+ 	x y++
3 x2
x3 � 	 	2 y+ �x y++
2 x
x2 � 	x y+
3
� x2 y++
3
�x y+ 	 x2 y++
2
� 2
3
x y+ 	 1
6
x2 y++.
Assim, a EDO procurada é 
6 y � 4 x y+ 	x2 y++ #
EDO-2018-1.nb 15
In[211]:= sol �
resolve equação diferencial
DSolve4 x y '�x� 	x2 y ''�x� � 6 y�x�, y�x�, x;
gráfico
Ploty�x� �. sol �. 
constante
C1 � 	2,
constante
C2 � 1, y�x� �. sol �. 
constante
C1 � 	0.5,
consta�C2 � 2, constanteC3 � 	1.5, y�x� �. sol �.  constanteC1 � 	3, constanteC2 � 3,
x, 	2, 2,
tema do gráfico
PlotTheme � "Marketing",
legenda do quadro
FrameLabel � "x", "y",
legenda do gráfico
PlotLegends � "Expressions",
tamanho da imagem
ImageSize � 200,
AspectRatio � 1,
eixos
Axes �
ve�True, número de po�PlotPoints � 30, estilo de et�LabelStyle � diretivaDirective ne�Bold, família da fonteFontFamily � "Tw Cen MT", tamanho da fonteFontSize � 12
Out[212]=
y�x� �. sol �. c1 � �2, c2 � 1
y�x� �. sol �. c1 � �0.5, c2 � 2, c3 � �1.5
y�x� �. sol �. c1 � �3, c2 � 3
Exemplo 4**. Encontre a EDO de todos os círculos de raio R e com centro no ponto (a,b).
Solução. O circulo com as características dadas têm a equação �x	a�2 � y 	b2 � R2. Duas constantes podem ser eliminadas, para isto
calculamos suas duas primeiras derivadas:
�x 	a� �y 	b � y�x � 0, 1�
�y
�x
2 � y 	b �2 y�x2 � 0.
Resolvemos estas duas equações para a e b e substituímos seus valores na equação do círculo
resolve
Solve�x	a� � y	b y ' � 0, 1� y '2 � y	b y '' � 0, a, b
a � 	y+ � �y+�3 	x y++
y++ , b � 	
	1	 �y+�2 	y y++
y++ 
O resultado foi a � 	 y+�y+3	x y++
y++ , b � 	 	1	y+2	y y++y++ , substituindo isto na equação do círculo:
x� y+ � �y+�3 	x y++
y++
2 � y � 	1	 �y+�2 	 y y++
y++
2 � R2
e simplificando dá
1� �y+�23
�y++�2 � R2
ou 1� �y+�232 � R y++. Note que y ' � �y�x , y '' �
�2 y
�x2 #
16 EDO-2018-1.nb
In[213]:= R � 0.5;
sol �
resolve equação diferencial
DSolve1�y '�x�^232 � R y ''�x�, y�x�, x;
gráfico
Ploty�x� �. sol �. 
constante
C1 � 	2,
constante
C2 � 1, y�x� �. sol �. 
constante
C1 � 	0.5,
constante
C2 � 2, y�x� �. sol �. 
constante
C1 � 	3,
constante
C2 � 3, x, 	0.5, 2,
tema do gráfico
PlotTheme � "Marketing",
legenda do quadro
FrameLabel � "x", "y",
legenda do gráfico
PlotLegends � "Expressions",
tamanho da ima�ImageSize � 200, quociente de aspectoAspectRatio � 1,
Axes �
ve�True, número de po�PlotPoints � 30, estilo de et�LabelStyle � diretivaDirective ne�Bold, família da fonteFontFamily � "Tw Cen MT", tamanho da fonteFontSize � 12
Out[215]=
y�x� �. sol �. c1 � �2, c2 � 1
y�x� �. sol �. c1 � �0.5, c2 � 2
y�x� �. sol �. c1 � �3, c2 � 3
Exemplo 5**. Encontrar a EDO da família de parábolas y � C1x	C22.
Solução. Calculamos suas duas primeiras derivadas:
�y
�x � 2 C1x	C2,
�2 y
�x2 � 2 C1
Resolvemos estas duas equações para C1 e C2 e substituímos seus valores na equação da função y:
apaga tudo
ClearAll"Global`�";
resolve
Solvey ' � 2 C1 x	C2, y '' � 2 C1, C1, C2
C1 � y++
2
, C2 � 	y+ �x y++
y++ 
O resultado foi C1 � y++2 , C2 � 	y+�x y++y++ , substituindo isto na equação de y:
y � C1x	C22� y++
2
x	 	y+ �x y++
y++
2 � 1
2 y++ �xy++ � y+ 	x y++�2 �
1
2 y++ y
+2
ou
2 y y++ 	y+2 � 0 #
EDO-2018-1.nb 17
In[216]:=
apaga tudo
ClearAll"Global`�";
sol �
resolve equação diferencial
DSolve2 y�x� y ''�x� 	y '�x�^2 � 0, y�x�, x;
gráfico
Ploty�x� �. sol �. 
constante
C1 � 	2,
constante
C2 � 1, y�x� �. sol �. 
constante
C1 � 	5,
constante
C2 � 2, y�x� �. sol �. 
constante
C1 � 	4,
constante
C2 � 4, x, 	5, 7,
tema do gráfico
PlotTheme � "Marketing",
legenda do quadro
FrameLabel � "x", "y",
legenda do gráfico
PlotLegends � "Expressions",
tamanho da ima�ImageSize � 200, quociente de aspectoAspectRatio � 1,
Axes �
ve�True, intervalo d�PlotRange � �All, número de po�PlotPoints � 30, estilo de et�LabelStyle � diretivaDirective ne�Bold, família da fonteFontFamily � "Tw Cen MT", tamanho da fonteFontSize � 12
Out[218]=
y�x� �. sol �. c1 � �2, c2 � 1
y�x� �. sol �. c1 � �5, c2 � 2
y�x� �. sol �. c1 � �4, c2 � 4
Exemplo 6 ***. Encontrar a EDO que descreve a família de elipses cujo centro encontra-se no eixo x e com um dos seus semi-eixos, a,
definido .
Solução. A equação de uma elipse com semelhante descrição do problema tem a equação:
�x	x0�2
a2
� y2
b2
� 1.
Derivando implicitamente em relação a x:
2 �x	x0�
a2
� 2 y y '
b2
� 0, . �x	x0� � 	a2
b2
y y '.
Derivando implicitamente uma segunda vez em relação a x da última relação:
1 � 	a2
b2
y '2 �y y '', . b2 � 	a2y '2 �y y ''.
Inserindo b2 em �x 	 x0� 
�x	x0� � 	a2
b2
y y ' � y y '
y '2 �y y ''
Por último, inserindo �x 	 x0� e b2 na equação da elipse
y y'
y'2�y y''
2
a2
� y2	a2y '2 �y y '' � 1 .
y2
y '
2 � y y '' 
y '2
y '
2 �y y '' 	1 � a
2 . y3 y ''y '2 � y y ''2 � 	a
2.
Usamos agora Mathematica para, através de um valor numérico de a, mostrar que nosso resultado anterior é correto. 
18 EDO-2018-1.nb
In[219]:=
apaga tudo
ClearAll"Global`�";
a � 0.5;
sol �
resolve equação diferencial
DSolve y�x�3 y ''�x�y '�x�2 �y�x� y ''�x�2 � 	a
2, y�x�, x;
gráfico
Ploty�x� �. sol �. 
constante
C1 � 0.5,
constante
C2 � 	1, y�x� �. sol �. 
consta�C1 � 1, constanteC2 � 	2,
y�x� �. sol �. 
constante
C1 � 	0.1,
constante
C2 � 0, y�x� �. sol �. 
constante
C1 � 	0.5,
constante
C2 � 1, x, 	2, 3,
legenda do quadro
FrameLabel � x, y!,
ImageSize � 200,
tema do gráfico
PlotTheme � "Marketing",
legenda do gráfico
PlotLegends � "Expressions",
quociente de a�AspectRatio � 1, eixosAxes � verdadeiroTrue,
PlotPoints � 30,
estilo de et�LabelStyle � diretivaDirective ne�Bold, família da fonteFontFamily � "Tw Cen MT", tamanho da fonteFontSize � 12
Out[222]=
y�x� �. sol �. c1 � 0.5, c2 � �1
y�x� �. sol �. c1 � 1, c2 � �2
y�x� �. sol �. c1 � �0.1, c2 � 0
y�x� �. sol �. c1 � �0.5, c2 � 1
Fig.5. Família da elipses centradas no eixo x, com semieixo a �0.5 são descritas pela EDO y3 y''y'2�y y''2 � 	a2.
Exemplo 7 **. Encontre a EDO da família de circunferências com centro na reta x � a, e que passam pelo centro de coordenadas.
Solução. Na Fig.6 abaixo mostra-se uma circunferência com centro em (a, y0) e raio R passando pelo centro de coordenadas. A equação
da circunferência será
�x 	 a�2 � �y 	 y0�2 � R2,
Fig.6.
Note da geometria
R2 � a2 �y02
inserindo isto na equação da circunferência
�� �x 	 a�2 � �y 	 y0�2 � a2 � y02, . x2 	 2 ax � y2 	 2 yy0 � 0.
Como vemos, apenas um parâmetro é variável, y0, por tanto, uma derivação será suficiente
2 x	2 a�2 yy '	2 y0 y ' � 0, . y0 � x	a�yy '
y '
Inserindo isto em (�)
EDO-2018-1.nb 19
x2 	 2 ax � y2 	 2 y x 	 a � yy '
y '
� 0 . x2 	 2 ax � y2 y ' 	 2 y�x 	 a � yy '� � 0
ou
x2 	 2 ax 	 y2 y ' 	 2 y�x 	 a� � 0
Agora mostramos um código Mathematica mostrando que esta equação descreve a família de circunferências que passam por x � a.
In[223]:=
apaga tudo
ClearAll�"Global`�"�;
a � 1;
mostra
Showsol �
resolve equação diferencial
DSolvex2 	 2 a x	 y�x�2 y '�x� � 2 y�x� �x	a�, y�x�, x;
gráfico
Plot� y�x� �. sol �. 
constante
C�1� � 0.5!, y�x� �. sol �. 
constante
C�1� � 	2!, y�x� �. sol �. 
constante
C�1� � 0!, y�x� �. sol �. 
constante
C�1� � 1!!, x, 	1, 3!,
legenda do quadro
FrameLabel � x, y!,
ImageSize � 200,
tema do gráfico
PlotTheme � "Marketing",
legenda do gráfico
PlotLegends � "Expressions",
quociente de as�AspectRatio � 1, eixosAxes � ve�True, número de pontos no gráficoPlotPoints � 30,
LabelStyle �
diretiva
Directive�
neg�Bold, família da fonteFontFamily � "Tw Cen MT", tamanho da fonteFontSize � 12��, gráfico de contornosContourPlot�x � 1, x, 	1, 3!, y, 	2.5, 1.8!, legenda do quadroFrameLabel � x, y!,
ImageSize � 200,
estilo de contorno
ContourStyle � 
branco
White,
tracej�Dashed, esp�Thick!, tema do gráficoPlotTheme � "Marketing", quociente de as�AspectRatio � 1, eixosAxes � verdadeiroTrue�
Out[225]=
y�x� �. sol �. c1 � 0.5
y�x� �. sol �. c1 � �2
y�x� �. sol �. c1 � 0
y�x� �. sol �. c1 � 1
Fig.7 Família de circunferências com centro na reta x �1 passando pela origem de coordenadas.
Exemplo 8 ***. Dada a reta y � mx�b, encontre a EDO que descreve a família de circunferências que têm centro sobre a reta e que
passam pela origem de coordenadas.
Solução. Na Fig.7 abaixo mostra-se uma circunferência satisfazendo os requisitos do problema. A equação da circunferência será
�x	 c�2 � y	d2 � R2,
Fig.6. Circunferência passando pelo centro de coordenadas e tendo seu centro na reta y � m x�b.
onde nos temos assumido a posição do centro da circunferência, no ponto P(c,d). Como este ponto está sobre a reta, teremos
d � mc�b,
o interceto vertical da circunferência tem x = 0
c2 � y	d2 � R2 . y 	d � / R2 	 c2 , além disso
20 EDO-2018-1.nb
0	 c2 � 0	d2 � R2, . c2 �d2 � R2. Por isto, y � 2 d, 0 � 2 mc�2 b, 0 são os intercetos verticais da circunferência.
Além disso, temos que
�x	 c�2 � y	d2 � R2 � c2 �d2 . x2 	2 cx� y2 	2 dy � 0
Derivando duas vezes em relação a x (e substituímos d = mc + b) temos
2 x	2 c�2 yy '	2 mc�b y ' � 0, . 1�y '2 �yy ''	 mc�b y '' � 0
Resolvemos o sistema anterior para b e c
apaga tudo
ClearAll"Global`�";
resolve
Solvex	 c�y y '	 m c�b y ' �� 0, 1�y '2 �y y '' 	 m c�b y '' � 0, b, c
b � 		1	m y+ 	 �y+�2 	m �y+�3 �m x y++ 	y y++
y++ , c � 	
y+ � �y+�3 	x y++
y++ 
com isto, d e R2 resultam
apaga tudo
ClearAll"Global`�";
b � 	 	1	m y+ 	 �y+�2 	m �y+�3 �m x y++ 	y y++
y++ ;
c � 	y+ � �y+�3 	x y++
y++ ;
d �
simplifica
Simplifym c�b
1� �y+�2 �y y++
y++
A ED da família de circunferências é
x2 	2 cx�y2 	2 dy � 0 . x2 	2 	 y+ � �y+�3 	x y++
y++ x�y2 	2
1� �y+�2 � y y++
y++ y � 0
simplificando
apaga tudo
ClearAll"Global`�";
simplifica
Simplifyx2 	2 	y+ � �y+�3 	x y++
y++ x�y2 	2
1� �y+�2 �y y++
y++ y
	2 y�2 x y+ 	2 y �y+�2 �2 x �y+�3 	 x2 �y2 y++
y++
Finalmente
	2 y�2 x y+ 	2 y �y+�2 �2 x �y+�3 	 x2 �y2 y++ � 0.
Agora Mathematica para que esta EDO descreve corretamente nosso problema. Primeiro resolvemos exatamente a EDO e logo traçamos o
gráfico da solução.
apaga tudo
ClearAll"Global`�";
sol �
resolve equação diferencial
DSolve	2 y�x� �2 x y '�x� 	2 y�x� y '�x�2 �2 x y '�x�3 	 x2 �y�x�2 y ''�x� � 0, y�x�, x
y�x� � 1
2
	�C2 CotC1 	 4 �C2 	x x� �2 C2 CotC12 , y�x� � 1
2
	�C2 CotC1 � 4 �C2 	x x��2 C2 CotC12 
A solução fornecida por Mathematica pode ser escrita na forma
2 y� �c2 cot�c1�2 � 4 �c2 	x x��2 c2 Cot�c1�2,
EDO-2018-1.nb 21
fazemos um ContourPlot da equação anterior:
apaga tudo
ClearAll"Global`�";
c1 � 	0.5, 0.43, 0.5;
c2 � 	0.4, 0.3, 0.2;
mo�Show gráfico decontornosContourPlot 2 y � �
c2 Cotc12 �� 4 �c2 	 x x � �2 c2 Cotc12, x, 	1.25, 3.0,
y, 	3.1, 1.5,
tema do gráfico
PlotTheme � "Marketing",
legenda do qua�FrameLabel � x, y, tamanho da �ImageSize � 200, quociente d�AspectRatio � 1, número de pontos no gráficoPlotPoints � 30,
LabelStyle �
diret�Directive n�Bold, família da fonteFontFamily � "Tw Cen MT", tamanho d�FontSize � 13, estilo de co�ContourStyle �  cores do sistema�RGBColor0, 1, 1, 1.5, e�Thick, espessuraThickness0.010,
Graphics
tama�PointSize gra�Large, v�Red, pontoPoint0, 0, eixosAxes � v�True, legenda do qua�FrameLabel � x, y, intervalo�PlotRange � tudoAll
Fig.8. Família de circunferências satisfazendo os requerimentos do problema.
Exemplo 9 ***. Encontrar a EDO que descreve a família de elipses cujo centro encontra-se no eixo y e com um dos seus semi-eixos b
definido ao longo do eixo y .
Solução. Uma elipse descrevendo o problema é mostrado na Fig.9 A equação de uma elipse com semelhante descrição tem a equação:
�y	 y0�2
b2
� x2
a2
� 1.
Fig.9. Família de elipses com centro em 0, y0 e com semieixo b fixo ao longo do eixo y.
A elipse contém dois parâmetros que podem variar, a e y0, por tanto fazemos duas derivações. Derivando implicitamente em relação a x:
�� 2 �y 	y0� y '
b2
� 2 x
a2
� 0, . �y	y0� � 	 b2
a2 y '
x.
Derivando implicitamente uma segunda vez em relação a x da última relação:
���� 1
b2
y '2 � �y	y0� y '' � 1
a2
� 0 . 1
a2
� 	 1
b2
y '2 	 b2
a2 y '
x y '' � 	 1
b2
y '2 � 1
a2 y '
x y '' . 1
a2
y '	x y '' � 	 1
b2
y '3
Resolvemos o sistema (*) e (**) dá
1
a2
� y '
3
b2x y ''	y ' , �y	y0� � 	
y '
2
x y ''	y ' x.
inserindo na equação da elipse
22 EDO-2018-1.nb
1
b2
	 y '
2
x y ''	y ' x
2
� y '
3
b2x y ''	 y ' x2 � 1 .
x2 y '3
b2x y '' 	y '
y '
x y ''	 y ' �1 � 1
x3 y '3 y ''
x y ''	y '2 � b
2
Resolvemos esta equação exatamente mediante Mathematica e logo traçamos o gráfico.
apaga tudo
ClearAll"Global`�";
sol1 �
resolve equação diferencial
DSolvey '�x�3 x3 y ''�x� � b2 x y ''�x� 	y '�x�2, y�x�, x
y�x� � 	b �	C1 �2 C1 	2 x2 �C2, y�x� � b �	C1 �2 C1 	2 x2 �C2,
y�x� � 	1
2
�	C1 4 b2 �2 C1 �2 x2 �C2, y�x� � 1
2
�	C1 4 b2 �2 C1 �2 x2 �C2
A primeira solução é y	 c22 �� b2 �	2 c1 �2 c1 	2 x2 que mostramos abaixo.
In[226]:=
apaga tudo
ClearAll"Global`�";
c1 � 	0.3, 	0.5, 	1.2, 0.7;
c2 � 1.4, 0.1, 0.8, 1.5;
b � 1;
gráfico de contornos
ContourPlot y	 c22 �� b2 �	2 c1 �2 c1 	2 x2, x, 	1.5, 1.5, y, 	1, 2.7,
tema do gráfico
PlotTheme � "Marketing",
legenda do quadro
FrameLabel � x, y,
tamanho da �ImageSize � 200, quociente de a�AspectRatio � 1, eixosAxes � ve�True, estilo de cont�ContourStyle �  cores do sistem�RGBColor1, 0, 2, es�Thick, espessuraThickness0.010,
PlotPoints � 30,
estilo de et�LabelStyle � diretivaDirective ne�Bold, família da fonteFontFamily � "Tw Cen MT", tamanho da fonteFontSize � 12
Out[230]=
A outra solução é y 	 c22 �� 1
4
�	2 C1 4 b2 �2 C1 �2 x2 não representa elipses devido a sinal positiva diante do termo x2.
2.4 Campo de direções
Foi o matemático Leonard Euler (1707-1783) quem descobriu uma maneira de desenhar um gráfico que mostra o comportamento de
todas as soluções para uma determinada equação diferencial, sem resolver a equação!. Este procedimento, chamado campo de direções, é
um método de análise qualitativo pela qual, algumas equações diferenciais não-lineares de primeira ordem que não podem ser resolvidas
por integração, permite a obtenção de informações sobre o comportamento de suas soluções. 
Para estudar este método, considere que a seguinte equação não pode ser resolvida por integração
dy
dx
� f�x, y�, �2.7�
como 
dy
dx
 representa o coeficiente angular da reta tangente no ponto �x0, y0�, o valor da função nesse ponto f�x0, y0� representa o
coeficiente angular da reta tangente. Traçamos, desde o ponto �x0, y0� um segmento de reta curto, com cateto adjacente de comprimento
1 e altura tan�Θ� � f�x0, y0�, como mostramos na Fig.11(a). Se uma curva solução y�x� passa pelo ponto �x0, y0�, o segmento curto será
tangente à curva y�x� (Fig.11(b)). Repetindo este processo para qualquer ponto �x, y� de uma grade construída no plano xy, é possível
EDO-2018-1.nb 23
tangente à curva (Fig.11(b)). Repetindo este processo para qualquer ponto de uma grade construída no plano xy, é possível
observar um campo de segmentos curtos indicando as soluções da equação (2.7) dada. Expliquemos com um exemplo.
Fig.11
Podemos construir um código Mathematica para visualizar o campo de direções da ED 2.7. Para este fim, note de 2.7
dy
dx
� tan�Θ� � f�x, y�. �2.8�
é o coeficiente angular do segmento tangente a curva integral y�x� que satisfaz a ED anterior. Se consideramos segmentos curtos de
hipotenusa com comprimento 1, o cateto adjacente x e o cateto oposto y serão
x � cosArctanf�x, y�, y � sinArctanf�x, y�. �2.9�
Agora, visualizamos estas coordenadas como as componentes de um campo vetorial
V 	 cosArctanf�x, y� i
 � sinArctanf�x, y� j
 �2.10�
com módulo 1 traçado em cada ponto �x, y� do plano x-y.
Outra alternativa é considerar o campo de direções como consistente de vetores com componente arbitrária X � 1 e componente Y � f�x, y�.
Agora, nosso campo de direções pode ser
V 	 i
 � f�x, y� j
. �2.11�
Usemos o mesmo exercício 1 para ilustrar estas duas possibilidades.
24 EDO-2018-1.nb
In[231]:=
grade
Grid�"Usando o campo �2.10�", "Usando o campo �2.11�"�,

gráfico de fluxo
StreamPlot
co�Cos arco tangenteArcTan�y x2 � y2, senoSin arco tangenteArcTan�y x2 � y2, �x, �1.5, 1.5�,
�y, �2.5, 2.5�,
número de pontos�VectorPoints � nen�None, estilo de fluxoStreamStyle � � pretoBlack, diretivaDirective� espessoThick, pretoBlack
�,
StreamPoints � 25,
tamanho da imagem
ImageSize � 200,
legenda do quadro
FrameLabel � �x, y�,
quociente de aspecto
AspectRatio � 1,
intervalo do g�PlotRange � tudoAll, eixosAxes � verd�True, quadroFrame � verd�True, imagem de fu�Background � cores do sistema RGBRGBColor�0, 1, 0, 0.32
,
estilo de etiqueta
LabelStyle �
diretiva
Directive�
negrito
Bold,
família da fonte
FontFamily � "Tw Cen MT",
tamanho da fonte
FontSize � 12
,
StreamPlot1, �y x2 � y2, �x, �1.5, 1.5�, �y, �2.5, 2.5�,
número de pontos�VectorPoints � nenhumNone,
StreamStyle � �
preto
Black,
diretiva
Directive�
espesso
Thick,
preto
Black
�,
número de pontos de fluxo
StreamPoints � 25,
ImageSize � 200,
legenda do quadro
FrameLabel � �x, y�,
quociente de aspecto
AspectRatio � 1,
intervalo do g�PlotRange � tudoAll,
Axes �
verd�True, quadroFrame � verd�True, imagem de fu�Background � cores do sistema RGBRGBColor�0, 2, 1, 0.32
,
LabelStyle �
diretiva
Directive�
negrito
Bold,
família da fonte
FontFamily � "Tw Cen MT",
tamanho da fonte
FontSize � 12
,
quadro
Frame �
tudo
All
Out[231]=
Usando o campo �2.10� Usando o campo �2.11�
�1.5 �1.0 �0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
�2
�1
0
1
2
x
y
�1.5 �1.0 �0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
�2
�1
0
1
2
x
y
Fig.12 Campo de direções do exercício 1 usando �2.10� e �2.11�. Os dois produzem resultados idênticos.
Exemplo 1. Considere a equação diferencial y ' � 	yx2 �y2. Encontre a família de soluções mediante o método do campo de direções,
para isto considere os pontos 	1, 	1; 	1, 0; 	1, 1; 0, 	1; 0, 	2; 0, 1; 1, 	1; 1, 0; 1, 1; 1, 2.
Solução. Construimos a Tabela 1 com os pontos dados e calculando os valores do coeficiente angular 
dydx
� tan�Θ�.
Tabela 1
x y
dy
dx
� tan �Θ� x y dy
dx
� tan �Θ�
�1 �1 2 0 1 1
�1 0 0 1 �1 2
�1 1 0 1 0 0
0 �1 1 1 1 0
0 �2 4 1 2 2
In[233]:= �� VisualDSolve`
EDO-2018-1.nb 25
In[234]:= VisualDSolvex��t
 � �x�t
 t2 � x�t
2, �t, �1.5, 1.5�, �x, �2.5, 2.5�,
WindowShade �
cores do sistema RGB
RGBColor�0, 1, 0, 0.32
, DirectionField �
verdadeiro
True, FieldMeshSize � 15,
FrameLabel � �x, y�,
quociente de aspecto
AspectRatio � 1,
estilo do gráfico
PlotStyle � �
ve�Red, espessuraThickness�0.009
�,
ImageSize � 220, ShowInitialValues �
verdadeiro
True, InitialValues �
���1, �1�, ��1, 0�, ��1, 1�, �0, �1�, �0, �2�, �0, 1�, �1, �1�, �1, 0�, �1, 1�, �1, 2��,
InitialPointStyle � �
azul
Blue,
tamanho do ponto
PointSize�0.034
�,
número de pontos no gráfico
PlotPoints � 30,
LabelStyle �
diretiva
Directive�
negrito
Bold,
família da fonte
FontFamily � "Tw Cen MT",
tamanho da fonte
FontSize � 12

Out[234]=
Fig.13 Os pontos em azul representam as condições iniciais da tabela 1, as curvas em vermelho são as curvas integrais que são soluções da equação dada passando 
pela condição inicial correspondente.
Exemplo 2. O modelo de crescimento individual de Von Bertalanffy. O modelo de crescimento individual publicado por von
Bertalanffy em 1934 é amplamente usado em modelos biológicos e existe em um número de permutações. Em uma das suas formas,
diz que a mudança do peso corporal W de um indivíduo é dada pela diferença entre o processo de construção (anabolismo) e
desintegração (catabolismo) dW
dt
� Η W23 	Κ W com W0 � W0, onde Η e Κ são as constantes do anabolismo e do catabolismo,
respectivamente. Os expoentes 2 3 e 1 indicam que o último (anabolismo e catabolismo) são proporcionais a algumas potencias do
peso corporal W. a) Encontre a solução da ED mediante o método do campo de direções considerando Η � 0.5, Κ � 0.1, W0 � 3, b)
Construa uma animação para o campo de direções da equação de Von Bertalanffy para diferentes valores de Η e Κ.
Solução. (a) Usando VisualDSolve construimos o código para Η � 0.5, Κ � 0.1, W0 � 3.
26 EDO-2018-1.nb
In[235]:= VisualDSolvex��t
 � 0.5 x�t
2�3 � 0.1 x�t
, �t, 0, 50�,�x, 0, 80�, WindowShade �
cores do sistema RGB
RGBColor�0, 1, 0, 0.32
, DirectionField �
verdadeiro
True,
FieldMeshSize � 15,
legenda do quadro
FrameLabel � �"t�anos�", "W�Kg�"�,
quociente de aspecto
AspectRatio � 1,
PlotStyle � �
ve�Red, espessuraThickness�0.013
�, tamanho da imagemImageSize � 220, ShowInitialValues � verdadeiroTrue,
InitialValues � �0, 3�, InitialPointStyle � �
azul
Blue,
tamanho do ponto
PointSize�0.034
�,
número de pontos no gráfico
PlotPoints � 30,
LabelStyle �
diretiva
Directive�
negrito
Bold,
família da fonte
FontFamily � "Tw Cen MT",
tamanho da fonte
FontSize � 13

Out[235]=
Fig.14 A linha vermelha mostra a curva solução com a condição inicial W �0� � 3 mostrado como ponto azul.
b) Para diferentes valores Η e Κ, um código é mostrado abaixo.
apaga tudo
ClearAll�"Global`�"
;
EDO-2018-1.nb 27
In[236]:=
manipula
Manipulate
gráfico de fluxo
StreamPlot
co�Cos arco tangenteArcTanΗ W2�3 � W Κ, senoSin arco tangenteArcTanΗ W2�3 � W Κ, �t, 0, 50�,
�W, 0, 80�,
número de pontos�VectorPoints � nen�None, estilo de fluxoStreamStyle � � pretoBlack, diretivaDirective� espessoThick, pretoBlack
�,
StreamPoints � 25,
tamanho da imagem
ImageSize � 220,
legenda do quadro
FrameLabel � �t, W�,
quociente de aspecto
AspectRatio � 1,
intervalo do g�PlotRange � tudoAll,
Axes �
verd�True, quadroFrame � verd�True, imagem de fu�Background � cores do sistema RGBRGBColor�0, 1, 0, 0.32
, estilo de etiquetaLabelStyle �
Directive�
negrito
Bold,
família da fonte
FontFamily � "Tw Cen MT",
tamanho da fonte
FontSize � 12
, �Η, 0.1, 0.7�, �Κ, 0.1, 0.5�
Out[236]=
Η
Κ
0 10 20 30 40 50
0
20
40
60
80
t
W
ANIMAÇÃO 1. Para diferentes valores de Η e Κ
2.5 Isóclinas
As curvas de coeficiente angular constante chamam-se isóclinas. Por isto, se �y�x � f�x, y� � k, uma constante, a curva descrita pela equação
para k � constante
f�x, y� � k �2.12�
descreve uma isóclina, um gráfico de contorno ou uma curva de nível. Em particular, se k � 0, esta classe de isóclinas chamam-se nulcli-
nas, isto é, são curvas de inclinação zero. 
Diferentes constantes k definem diferentes isóclinas, e cada uma tem a propriedade de que todos os elementos que emanam dos pontos
dessa isóclina têm a mesma inclinação, uma inclinação igual à constante que gerou o isóclina. Quando eles são simples de desenhar,
isóclinas produzem muitos elementos de linha ao mesmo tempo, que são úteis para a construção de campos de direção. 
Para traçar o campo de direções usamos VisualDSolve, um código Mathematica desenvolvido por Antonín Slavík, Stan Wagon, and Dan
Schwalbe. Aqui mostramos alguns exemplos
Exemplo 3. Considere a equação dx
dt
� �	2 t 	3� 5	2 �	2 t x� �	2 t 	2 x2 no retângulo 	2.0 4 t 4 2.0 e 	2.0 4 x 4 2.5. Considere os
pontos 	1.5, 	1, 	1, 	1, 	1, 1, 	1, 2, 0, 0, 0, 1.5, 0, 2, 1, 0, 1, 1 a) Esboce suas soluções mediante um campo de direções
usando VisualDSolve. b) Usando 2.11 ou 2.12 visualize o campo de direções da ED dada. c) Usando VisualDSolve compare num
gráfico, o campo de direções, a curva solução, a isóclina para k � 1 e a nulclina k � 0 passando pelo ponto 0, 2.
Solução. a) Aqui o código.
28 EDO-2018-1.nb
In[237]:= VisualDSolvex��t
 � ��2 t � 3 � 5 � 2 ��2 t x�t
 � ��2 t � 2 x�t
2, �t, �2, 2�, �x, �2.0, 2.5�,
WindowShade �
cores do sistema RGB
RGBColor�0, 1, 0, 0.32
, DirectionField �
verdadeiro
True, FieldMeshSize � 15,
FrameLabel � �"t", "x"�,
quociente de aspecto
AspectRatio � 1,
estilo do gráfico
PlotStyle � �
ve�Red, espessuraThickness�0.010
�,
ImageSize � 220, ShowInitialValues �
verdadeiro
True, InitialValues �
���1.5, �1�, ��1, �1�, ��1, 1�, ��1, 2�, �0, 0�, �0, 1.5�, �0, 2�, �1, 0�, �1, 1��,
InitialPointStyle � �
azul
Blue,
tamanho do ponto
PointSize�0.034
�,
número de pontos no gráfico
PlotPoints � 30,
LabelStyle �
diretiva
Directive�
negrito
Bold,
família da fonte
FontFamily � "Tw Cen MT",
tamanho da fonte
FontSize � 13

Out[237]=
Fig.15 Campo de direções da ED dx
dt
� �	2 t 	3� 5	 2 �	2 t x� �	2 t 	 2 x2 .
b) Usando 2.11 obtemos um resultado idêntico.
In[238]:=
gráfico de fluxo
StreamPlot1, ��2 t � 3 � 5 � 2 ��2 t x � ��2 t � 2 x2, �t, �2, 2�, �x, �2, 2�,
número de pontos�VectorPoints � nen�None, estilo de fluxoStreamStyle � � pretoBlack, diretivaDirective� espessoThick, pretoBlack
�,
StreamPoints � 25,
tamanho da imagem
ImageSize � 220,
legenda do quadro
FrameLabel � �t, x�,
quociente de aspecto
AspectRatio � 1,
PlotRange �
tudo
All,
eixos
Axes �
verd�True, quadroFrame � verd�True, imagem de fu�Background � cores do sistema RGBRGBColor�0, 1, 0, 0.32
,
estilo de etiqueta
LabelStyle �
diretiva
Directive�
negrito
Bold,
família da fonte
FontFamily � "Tw Cen MT",
tamanho da fonte
FontSize � 12

Out[238]=
�2 �1 0 1 2�2
�1
0
1
2
t
x
Fig.16 Campo de direções usando �2.11�.
c) 
EDO-2018-1.nb 29
In[239]:=
mostra
Show
gráfico de contornos
ContourPlot��2 t � 3 � 5 � 2 ��2 t x � ��2 t � 2 x2 � 0,
�t, �2, 2�, �x, �2.0, 2.5�,
estilo de contorno
ContourStyle � �
azul
Blue,
espesso
Thick�,
legenda do quadro
FrameLabel � �t, x�,
tema do gráfico
PlotTheme � "Marketing",
tamanho da imagem
ImageSize � 220,
número de pontos no gráfico
PlotPoints � 30,
estilo de etiqueta
LabelStyle �
diretivaDirective�
negrito
Bold,
família da fonte
FontFamily � "Tw Cen MT",
tamanho da fonte
FontSize � 13
,
gráfico de contornos
ContourPlot��2 t � 3 � 5 � 2 ��2 t x � ��2 t � 2 x2 � 1, �t, �2, 2�,
�x, �2.0, 2.5�,
estilo de contorno
ContourStyle � �
rosa
Pink,
espesso
Thick�,
VisualDSolvex��t
 � ��2 t � 3 � 5 � 2 ��2 t x�t
 � ��2 t � 2 x�t
2, �t, �2, 2�, �x, �2.0, 2.5�,
DirectionField �
verdadeiro
True, FieldMeshSize � 15,
legenda do quadro
FrameLabel � �"t", "x"�,
quociente de aspecto
AspectRatio � 1,
estilo do gráfico
PlotStyle � �
ve�Red, espessuraThickness�0.010
�, tamanho da imagemImageSize � 220, ShowInitialValues � verdadeiroTrue,
InitialValues � �0, 2�, InitialPointStyle � �
amarelo
Yellow,
tamanho do ponto
PointSize�0.04
�
Out[239]=
Fig.17. O ponto amarelo é a condição inicial. A curva continua vermelha é a curva solução. A curva azul é a nulclina, em quanto que a pink é a isóclina com k � 1. Note-
se que a solução x � 1 também é uma nulclina.
Exemplo 4. Considere a equação dx
dt
� x2
1	a x2	b y2 onde a, b são constantes reais. a) Construa o campo de direções para a � 1, b � 2.
Compare este campo com a solução numérica da EDO no ponto 0.5, 1. b) Faça uma animação para visualizar os campos de direções
no intervalo de valores 	1.0 4 a 4 1.0 e 	2.5 4 b 4 2.5. c) Faça uma animação comparando, num gráfico, o campo de direções, a curva
solução, a isóclina para diferentes k e a nulclina k � 0. Considere o intervalo 	2 4 k 4 2 e o valor inicial y�x0� � y0.
Solução. a) Usando o campo 2.11 construimos o campo de direções:
30 EDO-2018-1.nb
In[240]:=
gráfico de fluxo
StreamPlot1, x2
1 � x2 � 2 y2 , �x, �2, 2�, �y, �2, 2�, número de pontos�VectorPoints � nenhumNone,
estilo de fluxo
StreamStyle � �
cores do sistema RGB
RGBColor�0, 1, 1, 1.5
,
espesso
Thick,
espessura
Thickness�0.010
�,
número de pontos de fl�StreamPoints � 25, tamanho da imagemImageSize � 220, legenda do quadroFrameLabel � �x, y�, quociente de aspectoAspectRatio � 1,
PlotRange �
tudo
All,
eixos
Axes �
verd�True, quadroFrame � verd�True, tema do gráficoPlotTheme � "Marketing",
LabelStyle �
diretiva
Directive�
negrito
Bold,
família da fonte
FontFamily � "Tw Cen MT",
tamanho da fonte
FontSize � 13

Out[240]=
Usamos NDSolve para encontrar uma solução numérica da equação dada que passe pelo ponto 0.5, 1:
In[241]:=
apaga tudo
ClearAll�"Global`�"
;
EDO-2018-1.nb 31
In[242]:= s �
resolve numéricamente equação diferencial
NDSolvey'�x
 �� x2
1 � x2 � 2 y�x
2 , y�0.5
 � 1, y, �x, �2, 2�,
método
Method � �"StiffnessSwitching",
método
Method � �"ExplicitRungeKutta",
automático
Automatic��,
meta de exatidão
AccuracyGoal � 5,
meta de precisão
PrecisionGoal � 4;
Show��
gráf�Plot� calculaEvaluate�y�x
 �. s
, �x, �2, 2�, intervalo do g�PlotRange � tudoAll, quadroFrame � verdadeiroTrue,
ImageSize � 220,
legenda do quadro
FrameLabel � �x, y�,
número de pontos no gráfico
PlotPoints � 30,
LabelStyle �
diretiva
Directive�
negrito
Bold,
família da fonte
FontFamily � "Tw Cen MT",
tamanho da fonte
FontSize � 12
,
Graphics��
tamanho do�PointSize� grandeLarge
, azulBlue, pontoPoint��0.5, 1.0�
�,
Axes �
verd�True, legenda do quadroFrameLabel � �x, y�, intervalo do g�PlotRange � tudoAll
�
Out[243]=
�2 �1 0 1 2
�0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
x
y
Agora combinamos os dos gráficos
32 EDO-2018-1.nb
In[244]:= s �
resolve numéricamente equação diferencial
NDSolvey'�x
 �� x2
1 � x2 � 2 y�x
2 , y�0.5
 � 1, y, �x, �2, 2�;
mostra
Show

gráf�Plot� calculaEvaluate�y�x
 �. s
, �x, �2, 2�, intervalo do g�PlotRange � tudoAll, estilo do gráficoPlotStyle � � ve�Red, espessuraThickness�0.02
�,
quadro
Frame �
verd�True, imagem de fu�Background � cores do sistema RGBRGBColor�0, 1, 0, 0.32
, tamanho da imagemImageSize � 220, número de pontos no gráficoPlotPoints � 30,
LabelStyle �
diretiva
Directive�
negrito
Bold,
família da fonte
FontFamily � "Tw Cen MT",
tamanho da fonte
FontSize � 13
,
gráfico de fluxo
StreamPlot
1, x2
1 � x2 � 2 y2 , �x, �2, 2�, �y, �2, 2�, estilo de fluxoStreamStyle � � pretoBlack, diretivaDirective� espessoThick, pretoBlack
�,
ImageSize � 220,
legenda do quadro
FrameLabel � �x, y�,
quociente de aspecto
AspectRatio � 1,
intervalo do g�PlotRange � tudoAll,
Axes �
verd�True, quadroFrame � verd�True, imagem de fu�Background � cores do sistema RGBRGBColor�0, 1, 0, 0.32
,
Graphics��
tamanho do�PointSize� grandeLarge
, azulBlue, pontoPoint��0.5, 1.0�
�,
Axes �
verd�True, legenda do quadroFrameLabel � �x, y�, intervalo do g�PlotRange � tudoAll

Out[245]=
�2 �1 0 1 2�2
�1
0
1
2
b) 
EDO-2018-1.nb 33
In[246]:=
manipula
Manipulate
gráfico de fluxo
StreamPlot1, x2
1 � a x2 � b y2 , �x, �2.0, 2.0�, �y, �2.0, 2.0�,
VectorPoints �
nen�None, estilo de fluxoStreamStyle � � pretoBlack, diretivaDirective� espessoThick, pretoBlack
�,
StreamPoints � 35,
tamanho da imagem
ImageSize � 220,
legenda do quadro
FrameLabel � �x, y�,
quociente de aspecto
AspectRatio � 1,
PlotRange �
tudo
All,
eixos
Axes �
verd�True, quadroFrame � verd�True, imagem de fu�Background � cores do sistema RGBRGBColor�0, 1, 0, 0.32
,
LabelStyle �
diretiva
Directive�
negrito
Bold,
família da fonte
FontFamily � "Tw Cen MT",
tamanho da fonte
FontSize � 12
,
�a, �1.0, 1.0�, �b, �2.5, 2.5�
Out[246]=
a
b
�2 �1 0 1 2�2
�1
0
1
2
x
y
ANIMAÇÃO 2. Para diferentes valores de a e b
c)
34 EDO-2018-1.nb
In[247]:=
manipula
Manipulate
mostra
Show
gráfico de fluxo
StreamPlot1, x2
1 � a x2 � b y2 , �x, �2, 2�, �y, �2.0, 2.0�, número de pontos�VectorPoints � nenhumNone,
estilo de fluxo
StreamStyle � �
preto
Black,
diretiva
Directive�
espesso
Thick,
preto
Black
�,
número de pontos de fluxo
StreamPoints � 35,
ImageSize � 220,
legenda do quadro
FrameLabel � �x, y�,
quociente de aspecto
AspectRatio � 1,
intervalo do g�PlotRange � tudoAll,
Axes �
verd�True, quadroFrame � verd�True, imagem de fu�Background � cores do sistema RGBRGBColor�0, 1, 0, 0.32
,
LabelStyle �
diretiva
Directive�
negrito
Bold,
família da fonte
FontFamily � "Tw Cen MT",
tamanho da fonte
FontSize � 13
,
gráfico de contornos
ContourPlot
x2
1 � a x2 � b y2 � k, �x, �2, 2�, �y, �2, 2�, estilo de contornoContourStyle � � azulBlue, espessuraThickness�0.02
�, gráficoPlot
Evaluatey�t
 �.
prime�First resolve numéricamente equação diferencialNDSolve y'�t
 ��
t2
1 � a t2 � b y�t
2 , y�c
 � d, y, �t, �2, 2�,
�t, �2, 2�,
intervalo do g�PlotRange � tudoAll, estilo do gráficoPlotStyle � � ve�Red, espessuraThickness�0.02
�,
Frame �
verd�True, imagem de fu�Background � cores do sistema RGBRGBColor�0, 1, 0, 0.32
, tamanho da imagemImageSize � 220,
�a, �1.0, 1.0�, �b, �2.5, 0.5�, �k, 0, 4�, �c, �1, 1�,
��d, 1,
forma tradicional
TraditionalForm�y�c
�, �1.5, 1.5�
Out[247]=
a
b
k
c
y�c�
�2 �1 0 1 2�2
�1
0
1
2
x
y
ANIMAÇÃO 3. Campo de direções para diferentes valores de a e b. A curva azul corresponde a isóclina para diferentes y ' �x� � k. A curva vermelha é a curva 
� � � � �
EDO-2018-1.nb 35
integral (solução particular) do problema do valor inicial y ' �x� � x2
1	a x2	b y2 , y�c� d, para diferentes valores de c e d.
2.6 Curvas ortogonais e oblíquas
Definição 1. Considere duas famílias de curvas uni-paramétricas 51 : f�x, y, a� � 0 e 52 :gx, y, b � 0. Dizemos que ambas as curvas são
ortogonais se todas as curvas de 51 cortam perpendicularmente a todas as curvas de 52.
Na Fig.18 temos duas curvas, uma de cada família de curvas. Note-se que Α �Β �Φ, pelo que
Fig.18
tan�Β� � tan�Α 	Φ� � tan�Α� 	 tan�Φ�
1� tan�Α� tan�Φ� �
f ' �x� 	g ' �x�
1� f ' �x� g ' �x� �2.13�
para a interseção ortogonal Β � Π
2
, o qual implica que
f ' �x� g ' �x� � 	1 �2.14�
ou também
�y
�x 51 � 	
�x
�y 52 �2.15�
O procedimento para encontrar as curvas ortogonais à família de curvas 51 : f�x, y, a� � 0 é como segue:
1. Da família de curvas dada 51 : f�x, y, a� � 0, encontre a derivada �y�x por derivação implícita:
�y
�x � f�xy�. �2.16�
2. O seguinte passo é resolver a equação diferencial da família de curvas 52:
�y
�x � 	
1
f�xy� . �2.17�
Exemplo 1. Considere a família de curvas y � 	x	1�a �x onde a é uma constante real. Encontre a família de curvas ortogonais à
curva dada.
Solução. 
1. Derivando a equação dada
y ' � 	1�a �x,
como a � y�x�1�x o inserimos na equação da curva
y ' � 	1� y�x�1, y ' � y �x.
2. Resolvemos a equação diferencial
y ' � 	 1
y�x .
Se escrevemos a equação anterior como
�x
�y � 	y	x,
36 EDO-2018-1.nb
é uma ED linear em x�y� tendo y como variável independente. O método de solução de EDOs deste tipo será exposta em 3.4. O
resultado que encontramos usando Mathematia
resolve equação diferencial
DSolve�x'�y
 � �y � x�y
, x�y
, y
��x�y� 	 1 � y 
 ��y C�1���
isto é
x � 1	y	 c �	y,
se x�y0� � x0, logo
x0 � 1	y0 	 c �	y0 .c � 1	x0 	y0 �y0
por tanto
x � 1	y	 1	x0 	y0 �y0	y
EDO-2018-1.nb 37
In[249]:=
manipula
Manipulate
mostra
Show
gráfico
Plot�x � 1 � �y0 � x0 � 1� �x�x0, �x, �3, 3�,
legenda do quadro
FrameLabel � �"x", "y"�,
tema do gráfico
PlotTheme � "Marketing",
tamanho da imagem
ImageSize � 250,
quociente de aspecto
AspectRatio � 1,
eixos
Axes �
verdadeiro
True,
PlotPoints � 50,
eixos
Axes �
verd�True, quadroFrame � verd�True, intervalo do gráficoPlotRange � ���3, 3�, ��1, 5��,
LabelStyle �
diretiva
Directive�
negrito
Bold,
família da fonte
FontFamily � "Tw Cen MT",
tamanho da fonte
FontSize � 12
,
Plot��x0 � y0� �x � x0� � y0, �x, �3, 3�,
legenda do quadro
FrameLabel � �"x", "y"�,
tema do gráfico
PlotTheme � "Marketing",
ImageSize � 250,
quociente de aspecto
AspectRatio � 1,
eixos
Axes �
verd�True, número de pontos n�PlotPoints � 50, eixosAxes � verdadeiroTrue,
Frame �
verd�True, estilo do gráficoPlotStyle � � verdeGreen, espessuraThickness�0.006
�, intervalo do gráficoPlotRange � ���3, 3�, ��1, 5��
,
Plot� 1
x0 � y0 �x � x0� � y0, �x, �3, 3�, legenda do quadroFrameLabel � �"x", "y"�, tema do gráficoPlotTheme � "Marketing",
ImageSize � 250,
quociente de aspecto
AspectRatio � 1,
eixos
Axes �
verd�True, número de pontos n�PlotPoints � 50, eixosAxes � verdadeiroTrue,
Frame �
verd�True, estilo do gráficoPlotStyle � � brancoWhite, espessuraThickness�0.006
�, intervalo do gráficoPlotRange � ���3, 3�, ��1, 5��,
gráfico de contornos
ContourPlotx � 1 � y � �1 � x0 � y0� �y0�y, �x, �3, 3�, �y, �1, 5�,
PlotRange �
tudo
All,
estilo de contorno
ContourStyle � �
amarelo
Yellow,
espessura
Thickness�0.006
�,
quadro
Frame �
verdadeiro
True,
Background �
cores do sistema RGB
RGBColor�0, 1, 0, 0.32
,
tamanho da imagem
ImageSize � 300,
quociente de aspecto
AspectRatio � 1,
intervalo do gráfico
PlotRange � ���3, 3�, ��1, 5��, �x0, �2, 2�, �y0, �0.5, 4�
Out[249]=
x0
y0
Exemplo 3. Considere a família de curvas 1	a x3 	x y2 � 0 onde a é uma constante real. Encontre a família de curvas ortogonais à
curva dada.
38 EDO-2018-1.nb
Solução. 
1. Derivando implicitamente a equação dada
	3 ax2 	 y2 	2 xyy ' � 0
como a � 1	x y2
x3
 o inserimos em
y ' � 3 ax2 � y2
2 x y
� 3
1	x y2
x3
x2 �y2
2 xy
� 3	2 xy2
2 x2 y
.
2. Resolvemos a equação diferencial
y ' � 	 2 x2 y
3	2 xy2 .
Vamos resolver esta equação numericamente e comparamos com a família de curvas num ponto dado. Consideramos a condição inicial
y1 � 1.
apaga tudo
ClearAll�"Global`�"
;
EDO-2018-1.nb 39
a � 1;
s �
resolve numéricamente equação diferencial
NDSolvey'�x
 � 2 x2 y�x
3 � 2 x y�x
2 , y�1
 �� 1, y, �x, �3, 2�,
método
Method � �"StiffnessSwitching",
método
Method � �"ExplicitRungeKutta",
automático
Automatic��,
meta de exatidão
AccuracyGoal � 5,
meta de precisão
PrecisionGoal � 4;
p �
gráf�Plot� calculaEvaluate�y�x
 �. s
, �x, 0, 2�, número de pontos no �PlotPoints �� 50, tamanho da imagemImageSize � 300,
FrameLabel � �"x", "y"�,
quociente de aspecto
AspectRatio � 1,
intervalo do g�PlotRange � tudoAll, eixosAxes � verdadeiroTrue,
quadro
Frame �
verd�True, tema do gráficoPlotTheme � "Marketing", estilo do gráficoPlotStyle � � amareloYellow, espessoThick�,
LabelStyle �
diretiva
Directive�
negrito
Bold,
família da fonte
FontFamily � "Tw Cen MT",
tamanho da fonte
FontSize � 13
;
g �
gráfico de contornos
ContourPlot1 � a x3 � x y2 � 0, �x, 0, 2�, �y, 0, 2�,
legenda do quadro
FrameLabel � �"x", "y"�,
PlotTheme � "Marketing",
tamanho da imagem
ImageSize � 300,
quociente de aspecto
AspectRatio � 1,
Axes �
verd�True, número de pontos n�PlotPoints � 50, eixosAxes � verd�True, quadroFrame � verdadeiroTrue;
mostra
Show�
�p,
g�
40 EDO-2018-1.nb
manipula
Manipulate
mostra
Show
gráfico de contornos
ContourPlot1 � a x3 � x y2 � 0, �x, 0, 2�,
�y, 0, 2�,
legenda do quadro
FrameLabel � �"x", "y"�,
tema do gráfico
PlotTheme � "Marketing",
tamanho da imagem
ImageSize � 300,
quociente de aspecto
AspectRatio � 1,
eixos
Axes �
verd�True, número de pontos n�PlotPoints � 50, eixosAxes � verd�True, quadroFrame � verdadeiroTrue,
Plot
calcula
Evaluatey�t
 �.
prime�First resolve numéricamente equação diferencialNDSolvey'�t
 �
2 t2 y�t
3 � 2 t y�t
2 , y�b
 � c, y, �t, 0, 2�,
Method � �"StiffnessSwitching",
método
Method � �"ExplicitRungeKutta",
automático
Automatic��,
AccuracyGoal � 5,
meta de precisão
PrecisionGoal � 4, �t, �1, 2�,
PlotRange �
tudo
All,
estilo do gráfico
PlotStyle � �
amarelo
Yellow,
espessura
Thickness�0.006
�,
quadro
Frame �
verdadeiro
True,
Background �
cores do sistema RGB
RGBColor�0, 1, 0, 0.32
,
tamanho da imagem
ImageSize � 220,
�a, 0.68, 2.72�, �b, 0.5, 1.5�, ��c, 1.0,
forma tradicional
TraditionalForm�y�b
�, 0.5, 1.3�
a
b
y�b�
EDO-2018-1.nb 41
Laboratório para o capítulo 2
2.2 Conceitos gerais e definições básicas
1. Determine a ordem, grau, linearidade, função desconhecida, e variável independente da equação diferencial ordinaria
a. y '' 	5 x y ' � �	2 x �2 x
b. y3 	2 x2y '2 � sin2 x � �	x
c. y ''3 	xy '2 � sinh�x� 	1
d. 3 t2
�y
� t
3 	 �cos�t��2 y5 � 0
e. 2 t
�2 x
� t2
4 	 cosh�t� �x� t
2 � sinh�t� x2 � t sinh2 t
2. Encontrar, para as famílias das curvas dadas, as linhas que satisfazem as condições iniciais e de contorno indicados:
a. x2 	 y2 � C, y�0� � 5.
b. y � �C1 � x C2� e2 x, y�0� � 0, y´�0� � 1.
c. y � C1 sin�x 	 C2�, y�0� � 0, y´�8� � 1.
d. y � C1 e	x � C2 ex � C3 e2 x, y�0� � 0, y´�0� � 1, y '' �0� � 	2.
e. y � C1 e	x � C2 ex sin�x� � C3 cos�x�, y�0� � 	1, y ' �0� � 0, y '' �0� � 1.
2.3 Formando uma equação diferencial
Forme as EDOs das seguintes equações (a, b, c, A, B, C1, C2) são constantes:
5. y � a e2 x � b e	3 x � c ex.
6. x y � A ex � B e	x � x2.
7. y � ex�Acos�x� � Bsin�x��.
8. �y 	 a�2 � 2 b x
9. y � C1 cos�3 x� � C2 sin�3 x�.
10. ln
x
y
� 1 � a y.
11. y � �a � b x� ex � c.
Forme as EDOs de :
12. Uma família de círculos passando através da origem veja figura abaixo e tendo centros sobre o eixo y. R. y ' x2 �y2 	 2 xy.
42 EDO-2018-1.nb
Fig.10. Família de circunferências com centro no eixo y e passando pela origem.13. Todas as parábolas com eixo x como seu eixo e (a, 0) como seu foco.
14. Obtenha a EDO da família de parábolas y � x2 �C e esboçe aqueles membros da família que passam através de 0, 0,
1, 1 e 1, 	1 respectivamente.
15. Construa a parábola para y � C x2 para C � 	2 e derive uma EDO de uma família de semelhantes parábolas.
16. A equação da família de catenárias é dada por y � a cosh x
a
. Encontre a EDO que descreve as catenárias. 
EDO-2018-1.nb 43
3
3. METODOS DE SOLUÇÃO PARA EDOs DE PRIMEIRA ORDEM
Não existe uma forma geral de resolver qualquer equação diferencial. Não entanto, nosso interesse estará confinado a quatro tipos
especiais de EDOs de primeira ordem:
9 Equações com variáveis separáveis,
9 Equações homogéneas,
9 Equações lineares,
9 Equações exatas.
9 Equações autonomas.
Em casos diferentes a estes mencionados, a solução particular pode ser determinado numericamente.
3.1 Variáveis separáveis
Uma EDO com variáveis separáveis é da forma
Q�y� �y � P�x� �x � 0. �3.1�
Algumas formas alternativas para este tipo de EDOs são:
�y
�x � f�y�g�x�, �3.2�
X�x�Y�y� �y � X1�x� Y1�y�dx � 0. �3.3�
A solução a (2.7) se obtém integrando
Q�y� �y � P�x� �x � 0 . H�y� � G�x� �C, �3.4�
onde H�y� � ;Q�y� � y, G�x� � 	;P�x� �x, e C define a constante de integração.
A solução a (2.8) é semelhante
dy
dx
� f�y� g�x� .  1
f�y� �y � g�x� �x�C. �3.5�
A solução a (2.9) consegue-se separando as funções que dependem de x e y em ambos lados da equação
X�x�Y�y� dy � X1�x�Y1�y� dx � 0 .  Y�y�
Y1�y� � y�
X1�x�
X�x� �x � 0 �3.6�
o que segue é integrar esta equação tanto para y como para x o qual nos dará uma equação semelhante a (2.10).
Deve-se notar que � y �x foi tratado como se fosse uma taxa de � y e �x, que podem ser manipulados independentemente. Talvez os
matemáticos não fiquem felizes por este tratamento. Mas, de ser necessário, podemos justifica-lo considerando � y e �x representando
variações finitas pequenas ∆y e ∆x, depois que tenhamos alcançado o limite onde cada um resulta infinitesimal.
Exemplo 1. Considere a equação diferencial y ' � 	y2 ex. Encontre: a) a solução geral, b) a solução particular y(1) = 2.
Solução. a) Podemos escrever
44 EDO-2018-1.nb
dy
y2
� 	ex dx .  1
y2
�y � 	ex �x
que, ao ser integrada separadamente dá a solução
 	 1
y
� � 	ex+ C, . 1
y
� ex 	C,
onde C é uma constante de integração. É a solução geral.
b) Para a condição inicial y(1) = 2:
1
2
� e	C, C � 	0.5�e � 2.217
Assim, a solução particular é
 	 1
y
� � 	ex+ C, . 1
y
� ex 	2.217. #
e o gráfico da solução particular é mostrado abaixo.
In[250]:=
apaga tudo
ClearAll"Global`�";
mos�Show gráficoPlot1  �
x 	 �	0.5, x, 	1, 2,
legenda do quadro
FrameLabel � x, y!,
tema do gráfico
PlotTheme � "Marketing",
AspectRatio � 1,
número de po�PlotPoints � 30, estilo de et�LabelStyle � diretivaDirective ne�Bold, família da fonteFontFamily � "Tw Cen MT", tamanho da fonteFontSize � 12,
Graphics
tamanh�PointSize grandeLarge, verdeGreen, pontoPoint1, 2, eixosAxes � ve�True, legenda do quadroFrameLabel � x, y!, intervalo d�PlotRange � tudoAll
Out[251]=
Usando Mathematica, resolvemos a ED anterior:
In[253]:= sol �
resolve equação diferencial
DSolvey '�x� � 	y�x�^2 �x, y�x�, x
Out[253]= y�x� � 1�x 	C1 
Traçamos as curvas solução para dois valores diferentes da constante arbitrária C = {� - 0.5, -6}, que mostramos abaixo.
EDO-2018-1.nb 45
In[254]:=
mos�Show gráficoPloty�x� �. sol �. constanteC1 � 	0.5 ��, y�x� �. sol �. constanteC1 � 	6, x, 	1, 2, legenda do quadroFrameLabel � x, y!, quadroFrame 	" verdadeiroTrue,
tema do gráfico
PlotTheme � "Marketing",
intervalo do gráfico
PlotRange � 	2, 2.5,
legenda do �PlotLegends � situadoPlaced"y�
1
�x 	 0.5	 � ", "y�
1
�x �6", direitaRight,
tamanho da ima�ImageSize � 250, número de po�PlotPoints � 30, estilo de et�LabelStyle � diretivaDirective ne�Bold, família da fonteFontFamily � "Tw Cen MT", tamanho da fonteFontSize � 12,
Graphics
tamanh�PointSize grandeLarge, verdeGreen, pontoPoint1, 2, eixosAxes � ve�True, legenda do quadroFrameLabel � x, y!, intervalo d�PlotRange � tudoAll
Out[254]=
y	 1
x�0.5�

y	 1
x�6
Exemplo 2. Encontre a curva no plano xy que passa através de (0,3) e cuja reta tangente no ponto (x,y) tem o coeficiente angular
2 x y2.
Solução. A ED descrevendo a curva é
dy
dx
� 2 x
y2
. y2 �y � 2 x �x . y3
3
� x2 �C,
é a solução geral. Como a curva passa por (0,3), temos a condição inicial y(0) = 3:
33
3
� 0�C, C � 9.
A curva requerida é y
3
3
� x2 � 9. #
46 EDO-2018-1.nb
In[255]:=
apaga tudo
ClearAll"Global`�";
mos�Show gráfico de contornosContourPlot
y^3
3
� x^2�9, x, 	5, 5, y, 0, 6,
legenda do quadro
FrameLabel � x, y!,
tema do gráfico
PlotTheme � "Marketing",
estilo de et�LabelStyle � diretivaDirective pretoBlack, negr�Bold, gira etiquetaRotateLabel � falsoFalse, intervalo do gráficoPlotRange � 	5, 5, 2, 6, tamanho da imagemImageSize � 200,
PlotPoints � 30,
estilo de et�LabelStyle � diretivaDirective ne�Bold, família da fonteFontFamily � "Tw Cen MT", tamanho da fonteFontSize � 12,
Graphics
tamanh�PointSize grandeLarge, verdeGreen, pontoPoint0, 3, eixosAxes � ve�True, legenda do quadroFrameLabel � x, y!, intervalo d�PlotRange � tudoAll
Out[256]=
Exemplo 3. Resolva a ED 
dy
dx
� x2 ln�x��1
siny�y cosy . Encontre uma solução particular para a condição inicial y(�) = Π/2.
Solução. Temos a ED
dy
dx
� x2 ln�x� �1
sin�y� � y cos�y� . sin�y� � y cos�y� � y � x2 ln�x� �1 �x�C,
calculamos cada integral

seno
Sin�y� �y
cosseno
Cos�y� �y, x 2
logaritmo
Log�x� �1 �x
y Sin�y�, x2 Log�x�
Os resultados foram
sin�y� �y cos�y� �y � y sin�y�, x2 ln�x� �1 �x � x2 ln�x�.
 A solução geral requerida é y sin �y� � x2 ln �x� � C. #
Para a C.I y(�) = Π/2, temos Π/2 sin(Π/2) = �2ln(�) + C, . C � Π 2	�2.
A solução particular é y sin �y� � x2 ln �x� � Π 2 	 �2. #
Um gráfico de contorno para esta solução é mostrado abaixo
EDO-2018-1.nb 47
In[259]:=
apaga tudo
ClearAll"Global`�";
mos�Show gráfico de co�ContourPlot y senoSin�y� � x^2 logaritmoLog�x� � Π 2	�
2, x, 0, 4, y, 	5, 5,
legenda do quadro
FrameLabel � x, y!,
tema do gráfico
PlotTheme � "Marketing",
ImageSize � 200,
número de po�PlotPoints � 30, estilo de et�LabelStyle � diretivaDirective ne�Bold, família da fonteFontFamily � "Tw Cen MT", tamanho da fonteFontSize � 12,
Graphics
tamanh�PointSize grandeLarge, verdeGreen, pontoPoint�, Π 2, eixosAxes � ve�True, legenda do quadroFrameLabel � x, y!, intervalo d�PlotRange � tudoAll
Out[260]=
Exemplo 4. Resolva a ED dy
dx
� x2
4	x2 �y cosy . Encontre uma solução particular para a condição inicial y(0) = 0.
Solução. Temos a ED
dy
dx
� x2
4	x2 �y cos�y� . �
y cos�y� �y �  x
2
4	x2 �x�C,
calculamos cada integral
�y
cosseno
Cos�y� � y,  x
2
4	x2 �x
1
2
�y Cos�y� �Sin�y�, 	1
2
x 4	x2 �2 ArcSin x
2

Os resultados foram
�y cos�y� � y � 1
2
�y cos�y� � sin�y�,  x
2
4	x2 �x � 	
1
2
x 4	x2 �2 Arcsin x
2
.
 A solução geral requerida é 1
2
�y �cos �y� � sin �y�� � 	 1
2
x 4 	 x2 � 2 Arcsin  x
2
 � C. #
Para a C.I y(0) = 0, temos 1
2
 = C.
A solução particular é 1
2
�y �cos �y� � sin �y�� � 	 1
2
x 4 	 x2 � 2 Arcsin  x
2
 � 1
2
. #
Um gráfico de contorno para esta solução é mostrado abaixo
48 EDO-2018-1.nb
In[261]:=
apaga tudo
ClearAll"Global`�";
mos�Show gráfico de conto�ContourPlot
1
2
�y 
cos�Cos�y� � senoSin�y� � 	
1
2
x 4x2 �2
arco seno
ArcSin x
2
 � 1
2
,
x, 	3, 3, y, 	4, 4,
legenda do quadro
FrameLabel � x, y!,
tema do gráfico
PlotTheme � "Marketing",
tamanho da imagem
ImageSize � 200,
número de po�PlotPoints � 30, estilo de et�LabelStyle � diretivaDirective ne�Bold, família da fonteFontFamily � "Tw Cen MT", tamanho da fonteFontSize � 13,
Graphics
tamanh�PointSize grandeLarge, verdeGreen, pontoPoint0, 0, eixosAxes � ve�True, legenda do quadroFrameLabel � x, y!, intervalo d�PlotRange � tudoAll
Out[262]=
5. Exemplo Avançado. Considere a equação diferencial x
dy
dx
� a y2 �by� c x2 b. Usando as transformações t � xb, w � x	b y : a) prove
que a EDO anterior se reduz a equação com variáveis separáveis b dw
dt
� aw2 � c. b) Escreva uma animação computacional para
visualizar as soluções para diferentes valores das constantes a, b, c assim como diversas condições iniciais.
Solução. 
a) Primeiro calculamos 
dy
dx
 de w � x	b y:
> y � xb w . dy
dx
� bxb	1 w�xb dw
dx
,
e da relação t � xb, calculamos a diferencial
dt � bxb	1 dx . dx � 1
b
t
1	b
b dt
inserindo isto em (>)
dy
dx
� bxb	1 w�xb dw
dx
� bt b	1b w� t dw
dt
dt
dx
� bt b	1b w� t dw
dt
b t
b	1
b
por tanto, na equação original teremos
x
dy
dx
� a y2 �by� c x2 b . t 1b bt b	1b w� t dw
dt
b t
b	1
b � a�wt�2 �b�wt� � ct2 .
btw�bt2 dw
dt
� aw2 t2 �bwt� ct2 . b dw
dt
� aw2 � c.
b) Agora encontramos a solução da equação separável encontrada. Separamos variáveis
dw
w2 �  c �a 2
� a
b
dt .  1
w2 �  c �a 2
�w �  a
b
� t�A,
onde A é a constante de integração. Calculamos a primeira integral
EDO-2018-1.nb 49
supondo
Assuming c, a! ?
números reais
Reals,  1
w2 �  c �a 2
�w
a ArcTan a w
c

c
assim, com w � y xb, t � xb
 1
w2 �  c �a 2
�w �  a
b
� t �A . a
c
ArcTan
a
c
w � a
b
t�A, . y � xb c
a
Tan
c
a
a
b
xb �A
Esta solução exige que, a, c " 0 ou a, c ' 0, b @ 0. Agora fazemos um código para visualizar as soluções. Primeiro definimos o valor da
constante A através de um problema de valor inicial
x � x0; y � y0;
supondo
Assuming a, c! ?
números reais
Reals&&b @ 0,
resolve
Solvey �� xb c
a tangente
Tan c
a
a
b
xb �A , A
A � ConditionalExpression	a x0b
b
�
ArcTan x0	b y0
c
a
 � Π C1
c
a
, C1 ? Integers
encontramos A � 	 a x0b
b
+ a
c
ArcTan a
c
x0
	b y0. 
50 EDO-2018-1.nb
In[263]:=
apaga tudo
ClearAll"Global`�";
manipula
Manipulate
mos�Show gráficoPlotx
b c
a tangente
Tan c
a
a
b
xb 	 a x0b
b
� a
c arco tangente
ArcTan a
c
x0	b y0 , x, 0.1, 3,
legenda do quadro
FrameLabel � x, y!,
PlotTheme � "Marketing",
tamanho da ima�ImageSize � 200, estilo do �PlotStyle �  automát�Automatic, cores do sistema RGBRGBColor0, 1, 1, 1.5, es�Thick, espessuraThickness0.005,
número de po�PlotPoints � 30, estilo de et�LabelStyle � diretivaDirective ne�Bold, família da fonteFontFamily � "Tw Cen MT", tamanho da fonteFontSize � 13,
gráfico
Graphics
tamanh�PointSize grandeLarge, verdeGreen, pontoPointx0, y0, eixosAxes � ve�True, legenda do quadroFrameLabel � "x", "y", intervalo d�PlotRange � tudoAll,
a, 0.4, 0.1, 1,
aparência
Appearance � "
etiquetado
Labeled", b, 	1.5, 	2.5, 	0.5,
aparência
Appearance � "
etiquetado
Labeled",
c, 0.3, 0.1, 1,
aparência
Appearance � "
etiquetado
Labeled",
delimitador
Delimiter,
x0, 1.0, 0.6, 2.5,
aparência
Appearance � "
etiquetado
Labeled", y0, 	0.8, 	1.5, 2.5,
aparência
Appearance � "
etiquetado
Labeled",
posicionamento de�ControlPlacement 	" t�Top, símbolos rastrea�TrackedSymbols A verdadeiroTrue
Out[264]=
a 0.239
b 	1.036
c 0.3
x0 1.848
y0 1.09
2.4 .2.1.1 Equações redutíveis a equações com separação de variáveis
A ED do tipo
dy
dx
� f �a x � b y � c�, �3.7�
onde a, b e c são constantes, se reduz a uma ED com variáveis separáveis fazendo a substituição
z � a x � b y � c. �3.8�
Derivando em relação a x
dz
dx
� a � b dy
dx
, de onde
EDO-2018-1.nb 51
dy
dx
� 1
b
dz
dx
	 a ,
e a ED (2.13) toma a forma
1
b
dz
dx
	 a � f �z� , . dz
dx
� b f �z� � a. �3.9�
A ED (2.15) é uma ED com variáveis separáveis que já sabemos resolver.
Exemplo 6. Resolva a ED dy
dx
� ax � by � c, onde a, b, c são constantes. Encontre: a) a solução geral e b) escreva uma animação
computacional para visualizar as soluções para diferentes valores das constantes a, b, c assim como diversas condições iniciais.
Solução. Temos uma equação que se reduz a variáveis separáveis. Fazemos z = a x + b y + c e derivamos em relação a x:
dz
dx
� a � b dy
dx
, de onde
dy
dx
� 1
b
dz
dx
	 a ,
e a ED (2.13) toma a forma
1
b
dz
dx
	 a � z , . dz
dx
� b z � a . dz
b z � a � dx .
dz
z � a b � b dx
integrando a equação anterior
 1
z � ab � z � b � x � ln �C� . ln z � ab 	 ln �C� � bx
ou
ln
z � ab
C
� bx . z � ab � C ebx.
Inserindo aqui z = a x + b y + c, encontramos a solução geral
a x � b y � c � ab � C ebx . y � 1
b
C ebx 	 a x � c � a b. #
Para a solução particular com a condição inicial y(0) = -1 e a = 1, b = 1, c = -2
	1 � 1
1
C e0 	 �0 	 2 � 1� � C � 1, C � 	2.
A solução particular é
y � 	2 ex 	 x � 1. #
Usando Mathematica resolvemos assim:
apaga tudo
ClearAll�"Global`�"
;
x � x0; y � y0;
resolve
Solve y �� 1
b^2
A eb x � 1
b
�a x � c � a�b�, A
A 	 e�b x0 a 
 b c 
 a b x0 
 b2 y0
52 EDO-2018-1.nb
In[265]:=
apaga tudo
ClearAll�"Global`�"
;
manipula
Manipulate
mostra
Show
gráfico
Plot 1
b^2
��b x0 a � b c � a b x0 � b2 y0 �b x � 1
b
�a x � c � a�b�,
�x, �3, 3�,
legenda do quadro
FrameLabel � �x, y�,
tema do gráfico
PlotTheme � "Marketing",
tamanho da imagem
ImageSize � 200,
PlotStyle � �
automático
Automatic,
cores do sistema RGB
RGBColor�0, 1, 1, 1.5
,
espesso
Thick,
espessura
Thickness�0.005
�,
PlotPoints � 30,
estilo de etiqueta
LabelStyle �
diretiva
Directive�
negrito
Bold,
família da fonte
FontFamily � "Tw Cen MT",
tamanho da fonte
FontSize � 13
,
Graphics��
tamanho do�PointSize� grandeLarge
, verdeGreen, pontoPoint��x0, y0�
�,
Axes �
verd�True, legenda do quadroFrameLabel � �x, y�, intervalo do g�PlotRange � tudoAll
,
��a, �1.0�, �2, 2,
aparência
Appearance � "
etiquetado
Labeled"�, ��b, 0.5�, 0.1, 2.0,
aparência
Appearance � "
etiquetado
Labeled"�,
��c, 0.5�, �2.0, 2.0,
aparência
Appearance � "
etiquetado
Labeled"�,
delimitador
Delimiter,
��x0, 1.0�, �3.0, 3.0,
aparência
Appearance � "
etiquetado
Labeled"�,
��y0, �1.5�, �2.5, 2.5,
aparência
Appearance � "
etiquetado
Labeled"�,
posicionamento de controle
ControlPlacement ��
topo
Top,
símbolos rastreados
TrackedSymbols �
verdadeiro
True
Out[266]=
a 0.04
b 1.26
c 	0.765
x0 1.59
y0 0.68
Exemplo 7. Resolva a ED dy
dx
� tan�ax � by � c�, onde a, b, c são constantes. Encontre: a) a solução geral e b) escreva uma animação
computacional para visualizar as soluções para diferentes valores das constantes a, b, c assim como diversas condições iniciais.
Solução. Fazemos z = a x + b y + c e derivamos em relação a x:
dz
dx
� a � b dy
dx
, de onde
dy
dx
� 1
b
dz
dx
	 a ,
EDO-2018-1.nb 53
e a ED toma a forma
1
b
dz
dx
	 a � tan�z� , . dz
dx
� btan�z� � a . dz
btan�z� � a � dx
integramos
 cos�z�
b sin�z� � a cos�z� � z � x � C
Mathematica nos fornece o valor da