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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS CENTRO DE TECNOLOGIA CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA Cálculo Diferencial e Integral III Professor: Sinvaldo Gama Maceió-AL Outubro/2007 Sumário CAPÍTULO 1 – FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL ):( n ... 3 Seção 1.1: Curvas Parametrizadas .......................................................................................... 3 Seção 1.2: Limite e Continuidade........................................................................................... 9 Seção 1.3: Derivada .............................................................................................................. 10 Seção 1.4: Interpretação Geométrica da Derivada ............................................................... 13 Seção 1.5: Interpretação Física da Derivada ........................................................................ 15 Seção 1.6: Curvas em R³ ...................................................................................................... 18 Seção 1.7: Comprimento de uma Curva ............................................................................... 22 Seção 1.8: Parametrização pelo Comprimento de Arco ....................................................... 25 Seção 1.9: Curvatura de uma Curva ..................................................................................... 28 Seção 1.10: Torção de uma Curva ........................................................................................ 32 CAPÍTULO 2 – FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS ):( nf . 40 Seção 2.1: Funções e Gráficos .............................................................................................. 40 Seção 2.2: Limite e Continuidade......................................................................................... 42 Seção 2.3: Derivadas Parciais ............................................................................................... 48 Seção 2.4: Regra da Cadeia (1ª Versão) ............................................................................... 55 Seção 2.5: Derivada Direcional ............................................................................................ 55 Seção 2.6: Funções Diferenciáveis ....................................................................................... 58 Seção 2.7: Regra da Cadeia (2ª Versão) ............................................................................... 66 Seção 2.8: Gradiente e Derivada Direcional ........................................................................ 71 Seção 2.9: Funções Implícitas .............................................................................................. 74 Seção 2.10: Máximos e Mínimos de Funções Reais ............................................................ 84 CAPÍTULO 3 – FUNÇÕES VETORIAIS ):( mnf ................................................... 103 Seção 3.1: Funções Vetoriais.............................................................................................. 103 Seção 3.2: Limite e Continuidade....................................................................................... 109 Seção 3.4: A Regra da Cadeia ............................................................................................ 114 Seção 3.5: O Teorema da Função Inversa .......................................................................... 119 Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama Cálculo III 3 CAPÍTULO 1 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL ):( n SEÇÃO 1.1: CURVAS PARAMETRIZADAS Quando olhamos curvas, no plano, como gráficos de funções reais, encontramos certos inconvenientes. Um deles é que curvas como círculos, elipses etc., não são gráficos de funções (note que estas curvas não obedecem à restrição de uma função às retas verticais). Para estudarmos estas curvas, teremos que utilizar gráficos de mais de uma função. Por exemplo, para estudarmos o círculo unitário 122 yx , teremos que considerar as funções 101 21 xxxf ,)( e 101 22 xxxf ,)( . Só que estas funções têm a desvantagem de não serem diferenciáveis em 1x e, por conseguinte, não podemos utilizá-las para estudar as tangentes verticais ao círculo nestes pontos. Estes e outros inconvenientes podem ser evitados se mudarmos nosso ponto de vista com respeito às curvas. Em lugar de pensarmos numa curva como o gráfico de uma função, uma curva agora será vista como imagem de uma função – uma função vetorial. Com este propósito, a trajetória de uma partícula no plano ou no espaço é um modelo muito útil para tê- lo em mente quando se estudam curvas. Em 3 , por exemplo, para cada tempo a partícula 2 1 1 xxf )( 2 2 1 xxf )( 1 1 11 x y 122 yx 11 x a b y 1 2 2 2 2 b y a x Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama Cálculo III 4 está localizada no ponto ))(),(),(( ttt 321 . Em verdade, a trajetória da partícula é descrita por uma função definida por ))(),(),(()( tttt 321 . Descreveremos, de modo geral, este fato a seguir, salientando que o termo “curva” será usado tanto para quando nos referirmos a uma figura, como para quando nos referirmos a uma função. Definição 1.1.1: Seja I um intervalo da reta. Uma função nI : ))(),...,(),(()( ttttt n 21 é dita uma função vetorial de uma variável real ou uma curva parametrizada. As n funções, Ii : , são chamadas funções coordenadas de . A palavra parâmetro se refere à variável independente t da função . Para cada It , o vetor )(),...,(),()( tttt n 21 chama-se raio vetor ou vetor posição da curva no instante t . Representaremos este vetor como o segmento orientado que vai da origem do sistema coordenado ao ponto de coordenadas ))(),...,(),(( ttt n 21 . z )( 2t )( 1t D 2t1t y x ))(),(),(()( iiii tttt 321 y z ))(),(),(()( nnnn tttt 321 ))(),(),(()( 0302010 tttt )( 1i t )( 1n t )( 1 t )( 2 t )( 1it x Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama Cálculo III 5 De um modo geral, se uma curva é gráfico da função baf ,: , observe que a mesma é imagem da curva 2ba,: ))(,()( tfttt . Definição 1.1.2: O traço ou a imagem de é o conjunto };)({)( IttI n . Em palavras, a imagem de corresponde ao conjuntode todos os pontos no espaço n gerados pela variação possível de cada It . Nesta situação, diz-se que a função parametriza seu traço ou que é uma parametrização do mesmo. Exemplo 1.1.1: Seja 220 ,: ),()sin,(cos)( yxtttt . Observe que )(t é um ponto do círculo unitário, já que 12222 ttyx sincos . E vice-versa; todo ponto do círculo unitário é da forma )sin,(cos tt para algum t. Portanto, o traço de é o círculo 122 yx . Note que o círculo 122 yx representa a trajetória de um ponto móvel no plano. À medida que t cresce no intervalo 20, a trajetória vai se formando no sentido anti-horário. 2t ),()( 010 x y )sin,(cos)( ttt t ),()( 1023 ),()( 01 ),()( 102 0 t ))(,( tft a b )(tf Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama Cálculo III 6 Exemplo 1.1.2: Seja 2: ),()( yxtPtt u , onde ),( 00 yxP e ),( bau são pontos de 2 . O traço de é a reta que passa por P e é paralela ao vetor u . Para cada valor de t , utPt )( representa um ponto sobre tal reta, e vice-versa; dado um ponto ),( yxQ desta reta, existe algum t tal que QtP u . Observe que )(0P e como ),(),(),()( tbytaxbatyxtPt 0000u , as funções coordenadas de são taxt 01 )( e tbyt 02 )( . Exemplo 1.1.3: O traço da curva parametrizada 220 ,: definida por )sin,cos()( tbtat é a elipse 1 2 2 2 2 b y a x . De fato, se tax cos e tby sin , então t a x cos e t b y sin , e assim, 122 2 2 2 2 tt b y a x sincos . t x y a b )sin,cos()( tbtat a b 2t0 t0 P ),( bau 0x 0y y x Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama Cálculo III 7 Exemplo 1.1.4: Qual o traço da curva parametrizada 3: definida por ),,(),sin,cos()( zyxbttatat ; 0a , 0b ? Solução: Inicialmente note que a projeção ortogonal de cada ponto ),,( zyxP da curva, no plano xy, é o ponto ),,( 0yxP pertencente à circunferência 222 ayx , 0z . Isto significa que a curva está contida no cilindro 222 ayx . Vale destacar ainda que as coordenadas x e y dos pontos )(t e )( 2t são iguais para cada t . De fato, )sin()sin( )cos()cos( tt tt 2 2 . Portanto, )(t e )( 2t estão sobre uma mesma reta vertical. Finalmente observemos que é constante e igual a b2 , a distância entre )(t e )( 2t . De fato, bbbttbd tt 22200 22222 )())(()(),( . A constante b2 é denominada passo da curva. O traço é, pois, a hélice circular abaixo. (A figura ilustrada é apenas um esboço da forma geométrica da hélice.) z y x ),,( 0yxP curva ),,( zyxP 222 ayx cilindro 0222 zayx , ˆnciaecircunfer Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama Cálculo III 8 Não devemos confundir o traço de uma curva (a imagem da função vetorial) como seu gráfico. Este último é o conjunto };))(,{( Ittt 2 . Observe que só teremos uma imagem geométrica do gráfico de uma função vetorial quando seu contradomínio estiver contido em 3 . Em nosso estudo, entretanto, raras vezes teremos necessidade de considerar o gráfico de tal função. Exemplo 1.1.5: (Cicloide). A cicloide é uma curva descrita por um ponto de uma circunferência quando esta gira ao longo de uma reta sem escorregar. Consideremos um círculo de raio a e centro ),( a0 e ),( 00P um ponto da mesma nesta posição. Da Geometria Euclidiana, sabemos que um arco que mede t radianos, num círculo de raio a tem comprimento at . A figura abaixo, à direita, mostra o ponto P numa posição correspondente a um arco AP cuja medida é radianos. O ângulo central correspondente também mede radianos. Observe que o segmento OA e o arco AP têm o mesmo comprimento a . Vemos também que sinaPQ e cosaCQ . x y ),( a0 P A x y C A P x Q O . a dorotacionan z x 0t 20 t )( 20 t )( 0t a a y Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama Cálculo III 9 Se ),( yxP , então )sin(sin aaaPQOAx e )cos(cos 1aaaCQQAy . Portanto, a curva ))cos(),sin(()( 1aa ; parametriza a cicloide. Exemplo 1.1.6: Obtenha uma equação parametrizada da curva obtida pela interseção do cilindro 122 yx com o plano 2 zy . Solução: A projeção da curva interseção no plano xy é a circunferência 122 yx , 0z . Desta forma, ty tx sin cos para 20 t . Por outro lado, como está sobre o plano 2 zy , então todos os seus pontos satisfazem a equação deste plano, isto é, teremos: tyz sin 22 , do que resulta, )sin,sin,(cos)( tttt 2 ; 20,t . SEÇÃO 1.2: LIMITE E CONTINUIDADE Definição 1.2.1: Seja uma curva parametrizada e 0t . Definimos o )(lim),...,(lim),(lim)(lim tttt n tttttttt 0000 21 quando existem os limites )(lim ti tt 0 , ni ,...,1 . y a2 0a2 a4 x Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama Cálculo III 10 Teorema 1.2.1: Sejam e curvas parametrizadas que possuem limite em 0tt . Então, i. )(lim)(lim))()((lim tttt tttttt 000 ; ii. )(lim))((lim tata tttt 00 , a ; iii. )(lim)(lim))()((lim tttt tttttt 000 ; iv. )(lim)(lim))()((lim tttt tttttt 000 , onde e têm seus traços contidos em 3 ; v. )(lim)(lim tt tttt 00 . Definição 1.2.2: Dizemos que a curva nba ),(:é contínua em ),( bat 0 se )()(lim 0 0 tt tt . SEÇÃO 1.3: DERIVADA Definiremos a seguir a derivada de uma função nba ),(: e mostraremos como ela nos leva à definição de reta tangente ao traço de . Definição 1.3.1: Uma curva parametrizada nba ),(: é dita diferenciável em ),( bat 0 , se existe o h tht h )()( lim 00 0 que denotaremos por )( 0t . Se o limite acima existe para cada ),( bat , dizemos que é diferenciável no intervalo ),( ba . Neste caso, a função nba ),(: )(tt é também uma função vetorial, denominada derivada de 1ª ordem de . Se também é diferenciável em ),( ba , então sua derivada )( , é chamada derivada de 2ª ordem de . Uma função vetorial é dita de classe nC , no intervalo ),( ba , se a n-ésima derivada de existe e é contínua em cada ponto do intervalo ),( ba . Dizemos que é de classe C se a mesma for de classe nC para todo n. Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama Cálculo III 11 Exemplo 1.3.1: Seja ),()( 2ttt . Então h tht h tht h tththt h tht t hhh 2 0 2 000 0 2 00 2 00 0 00 0 0 )( ,lim ))(,())(,( lim )()( lim)( ),(),(lim,lim 00 0 2 0 0 2121 2 1 tht h hht hh , isto é, ),()( 00 21 tt . Observe que tt )(1 , 2 2 tt )( e que 101 )(t e 002 2tt )( . O exemplo acima sugere que uma função nba ),(: tem derivada num ponto ),( bat se, e somente se, cada função coordenada de tem derivada neste ponto. Isto é verdade, e de fato, temos o seguinte teorema. Teorema 1.3.1: Se a curva parametrizada nba ),(: ))(),...,(),(()( ttttt n 21 é diferenciável em ),( bat 0 , então existem as derivadas )(),...,( 001 tt n . Além disso, ))(),...,(),(()( 002010 tttt n . Reciprocamente, se existem as derivadas )(),...,( 001 tt n , então é diferenciável em 0t e ))(),...,(),(()( 002010 tttt n . Prova: Parte 1. Suponhamos que é diferenciável em 0t . Então, ))(),...,(( )()( lim,..., )()( lim )()( ,..., )()( lim )()( lim)( 001 00 0 0101 0 000101 0 00 0 0 tt h tht h tht h tht h tht h tht t n nn hh nn h h Parte 2. Suponhamos agora que existem )(),...,( 001 tt n . Então, Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama Cálculo III 12 )( )()( lim )()( ,..., )()( lim )()( lim,..., )()( lim))(),...,(( 0 00 0 000101 0 00 0 0101 0 001 t h tht h tht h tht h tht h tht tt h nn h nn hh n Teorema 1.3.2: (Regras básicas de derivação). Sejam nba ),(:, e ),(: baf funções diferenciáveis em ),( ba . Então, , f , e também o são e tem-se: i. )( ; ii. fff )( ; iii. )( ; iv. (Regra da cadeia). Se ),(: dcg é uma função real, diferenciável, então )())(()()( tgtgtg ; v. Se 3),(:, ba , então )( . Teorema 1.3.3: Seja nba ),(: uma curva parametrizada, diferenciável em ),( ba e k uma constante real. Se kt )( , ),( bat , então 0 )()( tt , ),( bat , isto é, o vetor posição )(t é perpendicular ao vetor )(t , para todo ),( bat . Reciprocamente, se 0 )()( tt , ),( bat , então existe uma constante real k tal que kt )( , ),( bat . Prova: Parte 1. Suponhamos que kt )( , ),( bat . Então, 22 kt )( e assim 2ktt )()( . Derivando ambos os membros, obtemos: 020 )()()()()()( tttttt e daí, )()( tt . Parte 2. Exercício. Exemplo 1.3.2: Seja )sin,cos()( tatat , 0a . Temos que atatat )(sin)(cos)( 2222 , para todo t . Então, pelo Teorema 1.3.3 acima, )()( tt . Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama Cálculo III 13 Poderíamos constatar diretamente este fato, pois )cos,sin()( tatat e assim 022 ttattatt cossincossin)()( . Pergunta: Toda curva parametrizada cujo vetor posição )(t tem norma constante para todo t , está contida numa circunferência? SEÇÃO 1.4: INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA Veremos nesta seção como a derivada de uma curva parametrizada está relacionada com o conceito de reta tangente, como no caso de uma função real. Para isso, consideremos o quociente, h tht )()( 00 e analisemos o seu comportamento quando 0h . z x y P Q )( 0t h tht )()( 00 )( ht 0 )( 0t O 2t0 x y )(t )(t Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama Cálculo III 14 Note que o vetor )()( 00 tht é paralelo ao vetor ))()(( 00 1 tht h . Estes terão o mesmo sentido se 0h (como na figura acima) e sentidos contrários se 0h . O vetor ))()(( 00 1 tht h , por sua vez, tem uma direção que deverá tender para o que denominaremos direção da reta tangente à curva no ponto )( 0t , quando 0h . O vetor )( 0t , se existe e é não nulo, é denominado vetor tangente à curva em )( 0t . Seu sentido é guiado pelo movimento da extremidade do vetor )( 0t ao crescer t. É claro que qualquer múltiplo não-nulo de )( 0t é também denominado vetor tangente, e a reta que passa por )( 0t e com direção de )( 0t é chamada reta tangente à curva em )( 0t e terá equação paramétrica: )()()( 00 ttttX . O vetor tangente )( 0t é usualmente desenhado com sua origem em)( 0t , como indica a figura acima. Exemplo 1.4.1: Considere a reta utPt )( , ),( 00u e t . Temos que u )(t , para todo t . Desta forma, a tangente à reta em cada um de seus pontos coincide com a própria reta )(t , propriedade esta que, evidentemente, era de se esperar. Exemplo 1.4.2: Se )(t descreve uma circunferência de centro O e raio r , então rt )( , para todo t . P u O y )(t x Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama Cálculo III 15 Uma vez que o vetor )(t tem norma constante, sua derivada )(t lhe é perpendicular (Teorema 1.3.3) e, portanto, )(t é perpendicular à reta tangente correspondente. Conclui-se então que, para cada circunferência, a definição dada de reta tangente coincide com a dada na geometria euclidiana. Exemplo 1.4.3: Consideremos a hélice ),sin,(cos)( tttt . Então ),cos,sin()( 1ttt e assim ),,()( 1100 . A reta tangente à hélice em ),,()( 1100 tem, pois, equação vetorial ),,(),,()( 110001 ttX . Do exposto acima, vemos que se para cada t , 0 )(t então existe uma reta tangente a curva que contém o ponto )(t e tem por direção o vetor )(t . Para o estudo das curvas, é essencial que exista uma reta tangente a em cada um de seus pontos. Definição 1.4.1: Um ponto 0t para o qual 00 )(t é dito um ponto singular de . Definição 1.4.2: Uma curva nba ),(: é dita regular se i. é diferenciável em ),( ba ; ii. ),(,,)( battt 0 . SEÇÃO 1.5: INTERPRETAÇÃO FÍSICA DA DERIVADA Se )(t descreve a posição de uma partícula que se move no espaço como função do tempo, então conceitos físicos como vetor velocidade, velocidade escalar e vetor aceleração podem ser definidos em termos das derivadas de . x y )(t )(t O r Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama Cálculo III 16 Definição 1.5.1: Seja )(t uma curva parametrizada cujo traço descreve a trajetória de uma partícula em função do tempo t. Definimos a velocidade escalar )(tv dessa partícula como sendo t s tv t 0 lim)( onde s é o comprimento do arco AB, e hthtt )( . Como )()( thts para h pequeno, então h tht h tht t s )()()()( . Assim, )( )()( lim )()( limlim)( t h tht h tht t s tv ttt 000 . O vetor )(t é denominado vetor velocidade e o vetor )(t é denominado vetor aceleração. Esta terminologia é razoável, pois )(t mede a razão da mudança do vetor posição com respeito ao tempo, que é precisamente o que entendemos por velocidade. Da mesma forma, )(t mede a razão da mudança do vetor velocidade com respeito ao tempo. A velocidade escalar fornece a taxa de variação do comprimento do arco (medido sobre a curva) com relação ao tempo. Ou seja, a grandeza do vetor velocidade nos informa sobre a rapidez com que a partícula está a mover-se em cada instante e a sua direção e sentido diz-nos para onde a mesma se move nesses mesmos instantes. O vetor velocidade variará se s z x y AB )( ht B )(tA O Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama Cálculo III 17 modificarmos a sua direção ou a sua grandeza (velocidade escalar) ou ambas. O vetor aceleração, por sua vez, dá a medida desta variação. Exemplo 1.5.1: Consideremos o movimento retilíneo descrito pela função u5tPt )( ; t , onde P e u são vetores constantes e 0u . Temos então, vetor velocidade: 45 tt u )( e vetor aceleração: 320 tt u )( . Vemos que )(t e )(t são não nulos, e que os vetores velocidade e aceleração são paralelos. Exemplo 1.5.2: Consideremos o movimento circular uniforme, em que a trajetória é um círculo e o módulo da velocidade angular é constante, de modo que a partícula descreve arcos de círculo iguais em tempos iguais. Este movimento pode ser descrito pela função vetorial )sin,cos()( aa , onde t , 0a , 0 , 20 t . Observe que quando 0t , a partícula se encontra no ponto ),( 0a e move-se no sentido anti- horário ao longo da circunferência de raio a, com velocidade angular dt d , constante. Temos assim: Vetor velocidade: )cos,sin()( aat , e Vetor aceleração: )()sin,cos()sin,cos()( taaaat 2222 . Neste caso, o vetor aceleração é paralelo ao vetor posição, mas de sentido contrário, e como )(t é perpendicular a )(t , pois )(t é constante, segue-se que o vetor aceleração é perpendicular ao vetor velocidade: x y a )( Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama Cálculo III 18 Se representarmos o vetor aceleração )(t com sua origem coincidindo com o ponto que se move sobre a curva em )(t , vê-se que ele fica dirigido deste para o centro da circunferência que a partícula descreve. Neste caso, )(t é denominada aceleração centrípeta. A reação de mesma intensidade e sentido oposto (devido a 3ª Lei de Newton), isto é, a força )(t é dita aceleração centrífuga. Como exemplo de aceleração centrípeta, podemos considerar a atração da gravidade no caso de um satélite em volta da Terra ou a força exercida pelo mecanismo de uma pedra girando numa funda. De modo geral, esta força é exercida pelo mecanismo que obriga a partícula a uma trajetória circular. SEÇÃO 1.6: CURVAS EM R³ Na seção anterior vimos que no movimento retilíneo o vetor aceleração é paralelo ao vetor velocidade e que no movimento circular, com velocidade angular constante, o vetor aceleração é perpendicular ao vetor velocidade. Nesta seção, veremos que num movimento qualquer, o vetor aceleração é a soma de dois vetores perpendiculares entre si, um paralelo ao vetor velocidade e o outro perpendicular a esse mesmo vetor. Se o movimento não é retilíneo, esses dois vetores definem um plano que passa pelo ponto correspondente da curva e que se chama plano osculador da curva. Definição 1.6.1: Se 0 )(t , o vetor )( )( )( t t t T chama-se vetor tangente unitário. x y a )( )( )( . a Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo GamaCálculo III 19 Observe que sendo 1)(tT , então )()( tt TT . Definição 1.6.2: Se 0 )(tT , o vetor )( )( )( t t t T T N chama-se vetor normal principal. Observe que )()( tt NT . Definição 1.6.3: O plano determinado pelos vetores )(tT e )(tN é denominado plano osculador da curva. z y )(t )(tT O )(t )(tT )(tN . x x y )(t )(tT O )(t z Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama Cálculo III 20 De modo geral, o plano osculador varia em cada ponto da curva. Mas se a curva é plana (isto é, todos os seus pontos pertencem a um mesmo plano), o plano osculador em cada ponto coincide com o plano da curva. De fato, se 0 n)( PX é a equação cartesiana do plano que contém a curva (onde P é um ponto da curva e n é um vetor normal a π), então os pontos )(t desta curva deverão satisfazer esta equação, isto é, 0 n))(( Pt , t . Derivando ambos os membros desta identidade, obteremos: 0 n)(t , t . Portanto, tt ,)( 0nT e tt ,)( 0nT . Isto mostra que )(tT é paralelo a π, bem como a )(tN . Assim, )(tT e )(tN definem um plano paralelo ao plano π. Quando esses vetores são desenhados no ponto )(t , tal plano coincidirá, portanto, com π, o que prova o que afirmamos. Definição 1.6.4: O vetor )(tB definido por )()()( ttt NTB é denominado vetor binormal. z x y )(t )(tT O )(t )(tT )(tN . Plano osculador Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama Cálculo III 21 Note que )(tB é também unitário. Com efeito, 1111 2 sin)()()()()( ttttt NTNTB . Os três vetores unitários T , N e B formam, nesta ordem, um triedro positivamente orientado cujos vetores são dois a dois ortogonais e é denominado triedro de Frenet-Serret. Este triedro constitui, naturalmente, uma base para o espaço vetorial 3 . Portanto, qualquer vetor de 3 pode ser escrito como combinação linear do terno )}(),(),({ ttt BNT , o qual varia em cada ponto da curva. Por serem vetores unitários e ortogonais entre si, o conjunto ternário T , N e B é considerado uma base ortonormal do 3 . O teorema seguinte nos informa que em qualquer movimento o vetor aceleração fica situado no plano osculador da curva. Teorema 1.6.1: Se a função vetorial )(t descreve o movimento de uma partícula com velocidade escalar )()( ttv , então o vetor aceleração )(t é uma combinação linear de )(tT e )(tT da forma )()()()()( ttvttvt TT . Se 0 )(tT , então )()()()()()( tttvttvt NTT . Da igualdade acima, conclui-se que o vetor aceleração está contido no plano osculador da curva. z x y )(t )(tT O )(t )(tT )(tN . )(tB . . Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama Cálculo III 22 Como podemos observar o vetor aceleração )(t pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores )(tT e )(tN . Na figura, )(tvk 1 e )()( ttvk T2 . Os vetores )()( ttv T e )()()( tttv NT são denominados, respectivamente, componente tangencial e normal do vetor aceleração, conforme expresso. SEÇÃO 1.7: COMPRIMENTO DE UMA CURVA Seja 3),(: ba uma curva diferenciável. Sejam bttta n ...10 uma partição de ba, , ii tt ,1 os subintervalos de ba, , 1 iii ttt o comprimento do subintervalo ii tt ,1 e )( it os pontos correspondentes no traço de . Liguemos estes pontos através de uma linha poligonal como indicado na figura abaixo. Tomando-se os vetores posição dos pontos )( it , tem-se que o comprimento do i- ésimo segmento da poligonal é )()( 1 ii tt e o comprimento total da poligonal é )(a )( 1 t )( 1i t )( i t )( 1i t )(b z x at 0 bt n 1 t i t 1i t 1i t ),( ba y z x y )(t )(tT O )(t )(tN )(t )(tk T1 )(tk T2 Componente tangencial Componente normal )(tT Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama Cálculo III 23 n i iin ttS 1 1)()( . Como )(txx , )(tyy e )(tzz são funções reais de classe 1C , pelo teorema do valor médio aplicado às funções x, y e z em cada intervalo ii tt ,1 , existem 1t , 2t e 3t tais que: iii iii iii ttztztz ttytyty ttxtxtx )()()( )()()( )()()( 31 21 11 . Logo, i n i n ttztytxS 1 2 3 2 2 2 1 ))(())(())(( . A rigor, a expressão acima não é uma soma de Riemann, pois os 1t , 2t e 3t não são necessariamente iguais. Utilizando-se um teorema sobre integração que não será discutido aqui e sendo baf ,: uma função contínua e ii ttt ,1 , então n i i n b a ttfdttf 1 )(lim)( onde existe a possibilidade de haver diferentes t . Aplicando o referido teorema à 2 3 2 2 2 1 ))(())(())(()( tztytxtf é possível mostrar que o comprimento de arco de entre at 0 e btn , denotado por l, é dado por: b a dttcl )()( se )(t é contínua. Exemplo 1.7.1: (Comprimento da circunferência) Seja )sin,cos()( trtrt , 0r . Temos )cos,sin()( trtrt e assim, rt )( . Daí, rrtrdtdttlcl 2 2 0 2 0 2 0 )()( . Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama Cálculo III 24 Exemplo 1.7.2: (Comprimento de uma espira da hélice) Seja ),sin,cos()( bttatat , 0a , 200 ttt . Temos ),cos,sin()( btatat e assim, 22 bat )( . 22 2 0 22 2 0 2 badtbadttlcl )()( . Exemplo 1.7.3: Seja baf,: uma função real diferenciável. O gráfico de f é uma curva contida em 2 , a qual é traço da função vetorial, ))(,()( xfxx , bxa . Se f é contínua, então 21 ))(()( xfx também o é, e b a dxxffcl 21 ))(()( x y ))(,( xfx x )(xf a b z x 0 2 )( 2 )(0 a y 2t0 )()( 20 x y r )(t Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama Cálculo III 25 que é a fórmula, já conhecida por nós, do estudo das funções reais de uma variável real. SEÇÃO 1.8: PARAMETRIZAÇÃO PELO COMPRIMENTO DE ARCO Uma curva pode ter muitas representações paramétricas, mas existe uma que é, num certo sentido, particularmente simples e útil. Nesta representação, o parâmetro é o comprimento da curva medido a partir de algum ponto da mesma. Vejamos como podemos obter esta representação. Seja 3ba,: uma curva parametrizada regular. A função definida por t a duuts )()( , bta mede o comprimento da parte de correspondente ao intervalo tua . Observe que 0)(a e lb )( , se l representa o comprimento total de . Portanto, a função vetorial possui como domínio o intervalo fechado ba, e contradomínio, o intervalo l,0 . Em notação funcional, lba ,,: 0 t a duutt )()( . Como ttt ,)()( 0 [pois 0 )(t e a norma de qualquer vetor é sempre um valor maior ou igual a zero], a função é estritamente crescente. Portanto, é uma função injetiva no intervalo ba, sendo assim, inversível neste intervalo. Denotando-se por r sua inversa, teremos imediatamente que z x y )(ts )(b O )(a )(t b a t s ba, Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama Cálculo III 26 balr ,,: 01 tsr )( . A função composta ))(()()( srsrsh descreve a mesma curva que descreve, porém, com uma nova parametrização, na qual a variável s , ts 0 , representa o comprimento de arco de )())(()( arh 00 a )())(()( blrlh . Dizemos então que a curva está parametrizada pelo comprimento de arco. Proposição 1.8.1: A reparametrização )(sh possui as seguintes propriedades: i. 1)(sh , para todo ls ,0 ; ii. O comprimento do arco da curva corresponde ao intervalo s,0 é s. Prova: Pela Regra da Cadeia, )())(()( srsrsh . Por outro lado, o teorema da função inversa nos informa que ))(()()( )( srtt sr 111 , onde )(ts . Logo, ))(( ))(()( sr srsh 1 e daí, 1)(sh . Quanto à segunda parte do teorema, note que, de fato, sduduuh ss 00 )( . l 0 )(ts 1r z )()( sht s )()( 0ha O x y )()( lhb b a )(srt rh Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama Cálculo III 27 Pelo que acabamos de ver, quando uma curva está parametrizada pelo comprimento de arco, o tempo gasto para percorrer um arco da mesma coincide exatamente com o número que exprime o comprimento deste arco, isto é, a distância percorrida. Isto equivale a dizer que a parametrização )(sh transforma um segmento de reta (domínio de h ) numa curva de comprimento igual a ele mesmo. Exemplo 1.8.1: Reparametrize o círculo )sin,cos()( tatat , 20 t pelo comprimento de arco. Solução: Temos que )cos,sin()( tatat e at )( . Assim: atadtduuts t a t a )()( . Daí, a s srt )( . Temos então, a s a a s a a s srsrsh sin,cos))(()()( . Observe que 1)(sh e que o intervalo a20, – domínio da função h – tem o mesmo comprimento que o traço de h (círculo de raio a ). Exemplo 1.8.2: Reparametrize a curva abaixo usando o comprimento de arco s como parâmetro. 2 1 2 3 ,,)( ttt , 0t . Solução: Temos que 0 2 3 1 ,,)(t e 2 13 )(t . Logo: tduduuts tt 2 13 2 13 00 )()( . Assim, ssrt 13 2 )( e 2 1 13 3 13 2 13 2 ,,)()( ssssrsh . Mais uma vez note que 1)(sh . Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama Cálculo III 28 Observação: Como vimos se h é a parametrização pelo comprimento de arco de uma curva regular , então )()( sht , onde duuts ta )()( para bta e ls 0 , onde é o comprimento de . Derivando a primeira igualdade em relação a t, obtemos: )()()()( tvsh dt ds sht , onde )()( utv . Assim, )( )( )( sh tv t , ou seja, )()()( ssht TT . Derivando novamente esta última igualdade em relação a t, vem: )()()()( tvs dt ds st TTT . Daí, )()()( tvst TT e )()( )()( )( )( tvs tvs t t T T T T , ou seja, )()( st NN . Como )()( st TT e )()( st NN , segue-se que )()( st BB . Em geral, )(tT e )(sT são funções diferentes, definidas em intervalos diferentes. Porém, elas dão exatamente a mesma descrição de mudança de direção do traço comum de e h, visto que em qualquer ponto da curva, os vetores )(tT e )(sT são os mesmos, como vimos acima. Considerações análogas valem para os demais vetores do triedro de Frenet. SEÇÃO 1.9: CURVATURA DE UMA CURVA Nesta seção, estamos interessados em obter uma maneira de avaliar o quanto uma curva se dobra (ou se curva) em cada um de seus pontos. Tentaremos dar uma medida numérica desta mudança de direção num ponto da mesma; este número será chamado curvatura da curva naquele ponto. É de se esperar que os resultados obtidos desta medida venham coincidir com as nossas experiências anteriormente adquiridas. Por exemplo, que uma reta, que não se curva em ponto algum, tenha curvatura zero em cada ponto. Que um círculo tenha curvaturaconstante, já que o mesmo se dobra do mesmo modo em cada ponto. Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama Cálculo III 29 E ainda mais, que a curvatura do círculo seja inversamente proporcional ao seu raio, já que quanto menor for seu raio, mais ele se curva. Esta medida deve também nos informar que a curva abaixo, se curva mais no ponto A do que no ponto B. De modo geral, quanto mais a curva se dobra, maior será sua curvatura aí. Para fazer valer tais observações, lançaremos mão dos vetores tangentes à curva. Melhor dizendo, levaremos em consideração a taxa de variação do vetor tangente. Inicialmente observamos que no caso da reta, os vetores tangentes em cada ponto têm a mesma direção: a da reta. Portanto, a taxa de variação dos mesmos é nula, isto é, 0 )(sT . Para uma curva mais suave, como abaixo, os vetores tangentes variam de direção em cada ponto, mas não tão bruscamente como na curva próximo ao ponto A, isto é, a taxa de variação de )(sT em , no ponto B, é bem menor que em , no ponto A. Portanto, a rapidez com que o vetor )(sT muda de direção, nos informa como a curva está se curvando num determinado ponto. Daremos então a seguinte definição. A B )( 1 sT )( 2 sT )( 3 sT )( 4 sT )( 5sT B A Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama Cálculo III 30 Definição 1.9.1: Seja nba ,: uma curva parametrizada pelo comprimento de arco. Definimos a curvatura )(sk no ponto )(s como sendo )()( ssk T . O vetor )(sT é denominado vetor curvatura. Observe que este vetor é sempre ortogonal ao vetor tangente e, portanto, normal a . Se não está parametrizada pelo comprimento de arco, então a curvatura )(tk é dada por )( )( )( tv s tk T . Com efeito, como )()( st TT , se derivarmos a expressão em relação a s, teremos )( )()( tv t ds dt dt d ds d sT 1 T TT . Portanto, )( )( )( tv t s T T , isto é, )( )( )( tv t tk T . Exemplo 1.9.1: (Curvatura da reta) Seja utPt )( , 0u . Temos u )(t e u u T )( )( )( t t t . Portanto, 0 )(tT . Logo, 0)(tk para todo t. Exemplo 1.9.2: (Curvatura do círculo) Seja )sin,cos()( tatat , 0a . Temos )cossin,()( taat e attv )()( . Daí, )cos,sin()( ttt T e )sin,cos()( ttt T . Assim, 1 )(tT e atk 1)( . Portanto, é constante a curvatura do círculo. Além disso, vê-se que a curvatura é inversamente proporcional ao raio. Exemplo 1.9.3: (Curvatura da hélice) Seja ),sin,cos()( bttatat , 0a , 0b . Temos ),cos,sin()( btatat e 22 battv )()( . Logo, 222222 ba a t ba a t ba a t t t ,cos,sin )( )( )( T e Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama Cálculo III 31 0 2222 ,sin,cos)( t ba a t ba a tT . Daí, 222222 1 ba a ba a batv t tk )( )( )( T . Portanto, a hélice também possui curvatura constante, ou seja, ela se “dobra” do mesmo modo em cada um de seus pontos. Definição 1.9.2: Quando 0)(tk , )(tk 1 é denominado o raio de curvatura da curva. Uma curva com pequena curvatura num ponto tem, nesse ponto, um grande raio de curvatura e numa certa vizinhança do mesmo, a curvatura difere pouco de uma reta. Isto permite interpretar a curvatura como uma medida da tendência para uma curva se desviar da forma retilínea. Das curvas acima, nos pontos que pertencem ao eixo r, teremos, genericamente, as seguintes curvaturas: 5432100 kkkkkk . O teorema a seguir relaciona a curvatura, a velocidade e a aceleração. Teorema 1.9.1: Se descreve um movimento com velocidade escalar )()( ttv e curvatura )(tk , então )()()()()()( ttvtkttvt NT 2 . Prova: Do Teorema 1.6.1, sabemos que )()()()()()( ttTtvttvt NT . Como )()()( tvttk T , então, )()()( tvtkt T . 0 k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k r Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama Cálculo III 32 Portanto, )())()(()()()()( ttvtktvttvt NT )()()()()( ttvtkttv NT 2 . O teorema a seguir apresenta outra maneira de se obter a curvatura de uma curva em termos dos vetores )(t e )(t . Teorema 1.9.2: Se é uma curva regular, então )( )()( )( tv tt tk 3 . Prova: Temos que )()()()()()()()()( ttvtkttvttvtt NTT 2 )()()()()()()()( tttvtktttvtv NTTT 3 )()()( ttvtk B 3 já que 0 )()( tt TT . Como 1)(tB , teremos, portanto, )( )()( )( tv tt tk 3 . SEÇÃO 1.10: TORÇÃO DE UMA CURVA Observemos que uma reta ao se curvar descreve um movimento em 2 . Contudo, para que a mesma venha a descrever um movimento em 3 , faz necessário torcer tal curva. Na seção anterior, abordamos o problema da curvatura de uma curva. Nesta seção, cuidaremos do problema de se avaliar quanto uma curva se torce em cada ponto. Como no caso da curvatura, atribuiremos um valor numérico a esta grandeza; este número será chamado torção da curva. Resta saber agora, qual o elemento responsável por esta medida. Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama Cálculo III 33 A ilustração acima nos mostra uma curva regular , plana no intervalo ba, e seus respectivos vetores tangente, normal e binormal num ponto )(t pertencente à curva neste mesmo intervalo. Observe que a partir do ponto )( ntb a curva sai do plano (que coincide com plano osculador da curva no intervalo ba, ). Observemos inicialmente que se é uma curva plana, então o vetor binormal )(sB não sofre variação de direção, uma vez que )(sBé perpendicular ao plano osculador, o qual coincide, em cada ponto, com o plano da curva. Neste caso 0 )(sB . Por outro lado, se a curva sai do plano, então o vetor binormal sofre mudança de direção, pois ele será ortogonal ao novo plano osculador no novo ponto da curva. Neste caso 0 )(sB . Portanto, pela figura, deve-se deduzir que no intervalo a-b o vetor binormal não sofre variação de direção, mas somente a partir do ponto b. Com isto, pode-se concluir que )(sB indica quão rapidamente a curva se afasta do plano osculador em s, isto é, quão rapidamente a curva se torce. Analisemos melhor este vetor )(sB . i. Como 1 )(sB , s , então )(sB é perpendicular a )(sB [Teorema 1.3.3]. Portanto, )(sB pertence ao plano osculador gerado por )(sT e )(sN . ii. Como )()()( sss NTB , segue-se que )()()()()( sssss NTNTB , o que indica que )(sB é perpendicular a )(sT já que 0 )()( ss NT . De (i) e (ii) concluímos que )(sB é paralelo a )(sN , isto é, )()()( sss NB , para )(s . (iii) Multiplicando-se escalarmente ambos os membros de (iii) por )(sN , obtemos )()()( sss NB . Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama Cálculo III 34 Definição 1.10.1: O número )(s é denominado torção da curva em s. Analogamente, se é uma curva regular, então o vetor )(tB é também paralelo ao vetor )(tN e assim )()()( ttt NB , para )(t . Portanto, )()()( ttt NB . Por outro lado, como )()( ts BB , segue-se que )( )( )( )( )()( )( )()()( t tv t tv tt tv t ds dt ts NNBBB 11 isto é, )( )( )( )()( t tv t ss NN . Como )()( ts NN , concluímos que )( )( )( tv t s mede a torção de em t. Exemplo 1.10.1: (Torção da hélice) Seja ),sin,cos()( bttatat , 0a , 0b . Temos que ),cos,sin()( btatat e 22 battv )()( . Agora, 222222 ba a t ba a t ba a t ,cos,sin)(T , 0 2222 ,sin,cos)( t ba a t ba a tT e 22 ba a t )(T . Portanto, ),sin,cos()( 0ttt N . Por outro lado, 222222 ba a t ba b t ba b ttt ,cos,sin)()()( NTB . Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama Cálculo III 35 Daí, )(,sin,cos)( t ba b t ba b t ba b t NB 222222 0 e assim, 22 ba b t )( . Portanto, a torção da hélice é constante em cada ponto e vale 222222 1 ba b ba b batv t t )( )( )( . Expressaremos a seguir as derivadas T , N e B em termos dos vetores T , N e B . Teorema 1.10.1: (Fórmulas de Frenet) Se 3),(: ba é uma curva parametrizada pelo comprimento de arco com curvatura 0)(sk e torção )(s , então, para cada s, i. )()()( ssks NT ; ii. )()()()()( ssssks BTN ; iii. )()()( sss NB . Prova: (i) Como )( )( )( )( )( sk s s s s T T T N , então )()()( ssks NT . (ii) Sendo },,{ BNT uma base de 3 , então existem escalares a, b e c tais que: BNTN cba . Assim, ccba bcba acba BBBNBTBN NBNNNTNN TBTNTTTN . Encontraremos agora estes coeficientes. Diferenciando a identidade 0TN , obtemos: kk )( NNTNTNTNTN 0 . Portanto, ka . Por outro lado, visto que 1)(sN , então 0 )()( ss NN e assim 0b . Finalmente, como 0BN para todo s, então )( NNBNBNBNBN 0. Portanto, c e BTN k . Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama Cálculo III 36 (iii) Esta relação já foi estabelecida anteriormente quando definimos torção de uma curva. Resultados parecidos com as fórmulas acima podem ser obtidos para as curvas 3),(: ba não necessariamente parametrizadas pelo comprimento de arco. É o que mostra o teorema seguinte. Teorema 1.10.2: Se 3),(: ba é uma curva regular com curvatura 0)(tk , torção )(t e velocidade escalar )()( ttv , então i. )()()()( ttvtkt NT ; ii. )()()()()()()( ttvtttvtkt BTN ; iii. )()()()( ttvtt NB . Prova: (i) Seja h a reparametrização do traço de pelo comprimento de arco. Sabemos que )()( ts TT , onde )(srt . Daí, )()( )( )()( )( )()( ttk tv tt tv t ds dt t ds d NNTTT T 11 . Portanto, )()()()( ttvtkt NT . (iii) Como )()( ts BB , )(srt , então )()()( )( )( )( )()()( ttt tv t tv t ds dt ts NNBBB 11 . Por conseguinte, )()()()( ttvtt NB . (ii) Façamos BNTN cba . Segue-se que a TN , b NN e c BN . Como 0TN , para todo t, então 0 TNTN e assim, vkvka )( NNTNTN . Por outro lado, 1)(tN para todo t, então 0 NN e assim 0b . Finalmente, sendo 0BN para todo t, segue-se que 0 BNBN e, portanto, vvc )( NNBNBN . Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama Cálculo III 37 Daí, BTN vvk . O próximo teorema mostra outra maneira de se avaliar a torção de uma curva em termos os vetores , e . Teorema 1.10.3: Se 3),(: ba é uma curva regular, então 2 )()( )()()( )( tt ttt t . Como observamos no início desta seção, se é uma curva plana, então sua torção 0 ; se 0 , a curva torce, saindo de seu plano osculador. Portanto, é de se esperar que quando for identicamente nula, a curva permaneça sempre no mesmo plano. Formalizaremos a seguir este fato que caracteriza as curvas planas. Teorema 1.10.4: Seja3),(: ba é uma curva parametrizada pelo comprimento de arco com curvatura 0)(sk , para todo s. Então é uma curva plana se, e somente se, sua torção 0)(s , para todo s. Prova: Suponhamos inicialmente que é uma curva plana. Já observamos anteriormente que, neste caso, em cada ponto o plano osculador coincide com o plano da curva. Como o vetor )()()( sss NTB é ortogonal ao plano osculador e, portanto ao plano da curva, segue- se que )(sB é constante e como tal, 0 )(sB . Por conseguinte, 0)(s , s . Reciprocamente, suponhamos que 0)(s , s . Isto significa que 0 )(sB e desta forma, )(sB é um vetor constante. Afirmamos que está contida no plano que passa por )(c , bca , e é ortogonal a )(sB . Precisamos, pois, provar que 0 )())()(( scs B , s . Consideremos a função real f definida por )())()(()( scssf B . Temos que, 0 )()()())()(()()()( ssscssssf BBB , pois )()( ss T e está parametrizada pelo comprimento de arco. Como 0)(cf , então, 0)(sf , para todo s, o que demonstra nossa afirmação. O teorema seguinte constitui uma caracterização do círculo. Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama Cálculo III 38 Teorema 1.10.5: Seja 3),(: ba é uma curva plana parametrizada pelo comprimento de arco com curvatura constante 0k . Então é um arco de círculo de raio k 1 . Prova: Devemos provar que existe um ponto c tal que a distância de )(s a c é k 1 , para todo , isto é, k cs 1 )( . Isto nos motiva escrever uu kk cs 11 )( , onde u é um vetor unitário, o que sugere que se u k cs 1 )( então u k sc 1 )( . Tomemos )(sNu e consideremos a função )()()( s k ss N 1 . Temos então )()()()()( s k ss k ss NTN 11 . Como )()()()()()()( sskssssks TBTN , pois é plana, então ))()(()()( ssk k ss TT 1 , s . Portanto, a curva é constante, isto é, cs k ss )()()( NT 1 , s . Por outro lado, a distância de )(s ao ponto c é k s k csd cs 11 )()()),(( N . O teorema acima também vale se não está parametrizada pelo comprimento de arco (verifique!). Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama Cálculo III 39 Exemplo 1.10.1: Mostre que a curva 5 3 5 51 5 4 sss s sin,cos,sin)( é um círculo. Ache o centro e o raio do mesmo. Solução: Inicialmente, observemos que é uma curva plana. De fato, sendo )sin( 5 4 sx e )sin( 5 3 sz , segue-se que xz 4 3 é o plano que a contém. Calculemos a curvatura de . Temos que 55 3 555 4 sss s cos,sin,cos)( . Daí, 1 55525 9 5525 16 222222 sssss s sincoscossincos)( . Assim, )()( ss T . Então, 525 3 55 1 525 4 sss s sin,cos,sin)(T . Portanto, 5 sin 625 9 5 cos 25 1 5 sin 625 16 )(T)( 222 sss ssk 0 5 1 525 1 5625 25 22 ss cossin , s . Logo é um círculo de raio 5 e centro no ponto )()( s k sc N 1 ),,(sin,cos,sinsin,cos,sin 010 55 3 555 4 5 5 3 5 51 5 4 ssssss . Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais Prof. Sinvaldo Gama Cálculo III 40 CAPÍTULO 2 FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS ):( nf SEÇÃO 2.1: FUNÇÕES E GRÁFICOS Neste capítulo estudaremos as funções reais definidas sobre subconjuntos de n , ou seja, as funções reais de várias variáveis reais. Muitos fenômenos que ocorrem na natureza são traduzidos por funções que, geralmente, não dependem de uma só, mas de duas, três ou mais variáveis independentes. Por exemplo, o volume de um gás depende de dois valores, a saber, a pressão e a temperatura; é, portanto, uma função de duas variáveis, conforme indica a equação de estado dos gases ideais: nRTPV , onde P é a pressão, V é o volume, T é a temperatura e n e R são constantes. O volume de um cilindro, hrV 2 é uma função que depende de duas variáveis: o raio r da base e a altura h do cilindro. Com frequência, funções de várias variáveis surgem também na biologia, física, matemática e engenharia. Estes fatos justificam, pois, um estudo detalhado de tais funções. Estudaremos neste capítulo, conceitos como limite, continuidade e derivabilidade dessas funções. Mais adiante, serão estudados conceitos como máximos, mínimos e integração, dentre outros. Definição 2.1.1: Seja D um subconjunto de n , X um ponto de D e y um número real. Uma função Df : )(XfyX é denominada uma função real de n variáveis reais. Visto que ),...,,( nxxxX 21 , escrevemos )(Xf ou ),...,,( nxxxf 21 . Se 2X , escrevemos ),( yxf em vez de ),( 21 xxf e ),,( zyxf em vez de ),,( 321 xxxf . O conjunto D é o domínio de f e será denotado por fD e o conjunto };)({)Im( fDXXff é a imagem de f. Definição 2.1.2: Se f é uma função real de uma variável, o gráfico de f é o subconjunto de 2 definido por )}(;),{()( xfyyxfGr 2 Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais Prof. Sinvaldo Gama Cálculo III 41 Semelhantemente, se f é uma função real de duas variáveis, o gráfico de f é o subconjunto do 3 , definido por )},(;),,{()( yxfzzyxfGr 3 Como meio de aumentar a compreensão pela visualização, um gráfico é útil apenas para as funções Df : ou 2Eg : . No Cálculo I, representamos, geometricamente, as funções reais de uma variável por curvas; para as funções reais de duas variáveis, em geral, elas sãorepresentadas geometricamente por meio de superfícies. Em nosso estudo, examinaremos apenas funções cujos gráficos têm tal representação. Uma maneira de melhor esboçá-los é através dos chamados conjuntos de nível de f , que são subconjuntos do domínio de f sobre os quais f é constante. Definição 2.1.3: Seja nDf : uma função e seja k um elemento da imagem de f . O conjunto })(;{ kXfDXSk é denominado um conjunto de nível de f associado a k. i. Se 2Df : , }),(;),{( kyxfDyxSk é denominado uma curva de nível de f associada a k. ii. Se 3Df : , }),,(;),,{( kzyxfDzyxSk é chamado uma superfície de nível de f associada a k. Observe que se 2Df : , os conjuntos de nível de f são as interseções do gráfico de f com os planos kz . D f kS )( kSfk Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais Prof. Sinvaldo Gama Cálculo III 42 SEÇÃO 2.2: LIMITE E CONTINUIDADE Definição 2.2.1: Seja nX 0 e r um número real positivo. Denominamos bola aberta de centro 0X e raio r, o conjunto };{);( rXXXrXB n 000 i. Se 1n , );( rXB 0 é o intervalo aberto ),( rXrX 00 ; ii. Se 2n , );( rXB 0 é o círculo de centro 0X e raio r, excetuando-se sua circunferência; iii. Se 3n , );( rXB 0 é a esfera centrada em 0X e raio r, excetuando-se sua superfície; Analogamente, denominamos bola fechada de centro 0X e raio r o conjunto };{; rXXXrXB n 000 i. Se 1n , rXB ;0 é o intervalo fechado rXrX 00 , ; ii. Se 2n , rXB ;0 é o círculo de centro 0X e raio r; iii. Se 3n , rXB ;0 é a esfera centrada em 0X e raio r; Definição 2.2.2: Um subconjunto D do 2 é aberto quando em cada ponto DX 0 existe uma bola aberta );( rXB 0 contida em D. 0X r 2 3 r rr 0X 0X r 2 3 r rr 0X Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais Prof. Sinvaldo Gama Cálculo III 43 Definição 2.2.3: Um subconjunto D do n é dito limitado se existe uma bola aberta de raio 0r centrada na origem que o contenha. Caso contrário, D é dito ilimitado. Definição 2.2.4: Dizemos que um ponto 0X é interior a um subconjunto D do n se DX 0 e se existe alguma bola aberta );( rXB 0 centrada em 0X e contida em D. Definição 2.2.5: Dizemos que um ponto 0X é exterior a um subconjunto D do n se DX 0 e se existe alguma bola aberta );( rXB 0 centrada em 0X e tal que DrXB );( 0 . Definição 2.2.6: Dizemos que 0X é um ponto fronteira de um subconjunto D do n se 0X não é nem interior e nem exterior a D. r D r 0X D 0X r D Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais Prof. Sinvaldo Gama Cálculo III 44 Ex.: Nota: O conjunto de todos os pontos fronteira de um conjunto é chamado fronteira do conjunto. Quando todos os pontos fronteira de um conjunto pertencem a ele, o mesmo é chamado um conjunto fechado (na figura, 0X é ponto fronteira e B é um conjunto fechado). Definição 2.2.7: Seja D um subconjunto aberto do n e f uma função definida em D exceto possivelmente em DX 0 . Dizemos que f tem limite L em torno do ponto 0X e escrevemos LXf XX )(lim 0 se dado um número real 0 qualquer, existe um número real 0 tal que quando DXXX ,00 , então LXf )( . Com outras palavras, dado 0 , existe uma bola aberta DrXB );( 0 , centrada em 0X e de raio tal que Se 00 XXrXBX );;( , então ),();()( LLLBXf . Pergunta: O que significa dizer que a função f não tem limite L em torno de 0X ? Resposta: Significa que existe um número real 0 tal que para todo 0 , existem pontos );( rXBX 0 para os quais LXf )( . D r 0X LL L f },;),{( 002 yxyxA };),{( 02 xyxB BA 000 yyX ),,( x x yy 00 Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais Prof. Sinvaldo Gama Cálculo III 45 Nem sempre é tarefa fácil provar a existência do limite de uma função usando-se a definição de limite. Uma dificuldade que se apresenta é que tal definição não nos indica como obter o limite que ele existe. Observe que a definição, para ser usada, requer o conhecimento prévio do limite (!). Faremos a seguir uma lista de certas propriedades dos limites que nos indicará uma técnica para o cálculo do limite de uma função a partir do conhecimento do limite de outras funções. Mais precisamente, temos o seguinte teorema: Teorema 2.2.1: Sejam f , g e h funções definidas no subconjunto aberto D de n , exceto possivelmente em DX 0 . Se LXf XX )(lim 0 e MXg XX )(lim 0 , então i. MLXgXfXgXf XXXXXX )(lim)(lim))()((lim 000 ; ii. MLXgXfXgXf XXXXXX )(lim)(lim))()((lim 000 ; iii. , )(lim )(lim )( )( lim M L Xg Xf Xg Xf XX XX XX 0 0 0 se 0M ; iv. Se 0 0 )(lim Xf XX e g é limitada, isto é, 0 MXg )( para todo X em alguma bola aberta centrada em 0X , então 0 0 ))()((lim XgXf XX ; v. Se )()( XgXf , para todo }{ 0XDX , então )(lim)(lim XgXf XXXX 00 ; vi. Se )()()( XgXhXf , para todo }{ 0XDX e LXgXf XXXX )(lim)(lim 00 , então h possui limite em 0X e LXh XX )(lim 0 . CONTINUIDADE Grosso modo, uma função contínua é aquela cujos valores não sofrem variações bruscas, isto é, se X está próximo de 0X então )(Xf deve estar próximo de )( 0Xf . Como se observa essa ideia está relacionada ao conceito de limite. Entretanto, isso não significa dizer que se uma função tem limite em torno de um ponto, que neste ponto ela seja contínua, uma vez que na definição de limite não se exige que a função esteja definida no ponto no qual estamos considerando o limite. Mais precisamente, temos a seguinte definição: D r 0X LL L Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais Prof. Sinvaldo Gama Cálculo III
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