Notas de aula 16 Exercicios

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UCL – Faculdade do Centro Leste
Exercícios
Geometria Analítica
Prof. Vinicius Ruiz Martins
Exercício 1
Sabe-se que 𝑣 = 2 , cos 𝛼 =
1
2
e cos 𝛽 = −
1
4
.
Determinar 𝑣.
𝑅. : 1, −
1
2
,±
11
2
Exercício 2
Decomponha 𝑤 = (−1,−3,2) como soma de dois vetores
𝑤1 e 𝑤2, com 𝑤1 paralelo ao vetor (0,1,3) e 𝑤2 ortogonal
a este vetor.
𝑅. : 𝑤1 = 0,
3
10
,
9
10
𝑒 𝑤2 = −1,
−33
10
,
11
10
Exercício 3
Dados os vetores 𝑎 = (3,4,2) e 𝑏 = (2,1,1), obter um
vetor de módulo 3 que seja ao mesmo tempo ortogonal
aos vetores 2 𝑎 − 𝑏 e 𝑎 + 𝑏.
𝑅. :
6
30
,
3
30
, −
15
30
Exercício 4
Três vértices de um tetraedro de volume 6 são 𝐴 =
(−2,4,−1), 𝐵 = (−3,2,3) e C = (1,−2,−1). Determinar o
quarto vértice D, sabendo que ele pertence ao eixo Oy.
R.: D = 0,2,0 ou D = 0,−4,0
Exercício 5
Considere dois vetores 𝑣 e 𝑤 tais que | 𝑣| = 5, |𝑤| = 2 e
o ângulo entre 𝑣 e 𝑤 é 60º. Determine, como
combinação linear de 𝑣 e 𝑤 (a 𝑣 + 𝑏𝑤), um vetor 𝑋 tal
que 𝑋 ∙ 𝑣 = 20 e 𝑋 ∙ 𝑤 = 5.
R.: 𝑋 =
11
15
 𝑣 +
1
3
𝑤
Exercício 6
Considere dois vetores 𝑣 e 𝑤 tais que | 𝑣| = 5, |𝑤| = 2 e
o ângulo entre 𝑣 e 𝑤 é 60º. Determine, como
combinação linear de 𝑣 e 𝑤 (a 𝑣 + 𝑏𝑤), um vetor 𝑋 tal
que 𝑋 × 𝑣 = 0 e 𝑋 ∙ 𝑤 = 12.
R.: 𝑋 =
12
5
 𝑣
Exercício 7
Dados os pontos 𝐴 = (2,1,1) , 𝐵 = (−1,0,1) e C =
(3,2,−2), determinar o ponto D do eixo Oz para que o
volume do paralelepípedo formado por 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 e 𝐴𝐷 seja
25.
R.: D = 0,0,−10 ou D = 0,0,15
Exercício 8
Determinar um vetor unitário ortogonal a 𝑣 = (2,−1,1).
R.:
Considerando a=0: 0,
1
2
,
1
2