Guia Didático Estatística e Pesquisa Operacional

Prévia do material em texto

Estatística E PEsquisa 
OPEraciOnal
www.unipar.br
UNIVERSIDADE PARANAENSE 
MANTENEDORA 
Associação Paranaense de Ensino e Cultura – APEC 
REITOR
Carlos Eduardo Garcia 
Vice-Reitora Executiva
Neiva Pavan Machado Garcia 
Vice-Reitor Chanceler
Candido Garcia
Diretorias Executivas de Gestão 
Administrativa 
Diretorias Executivas de Gestão 
Acadêmica 
Diretor Executivo de Gestão dos Assuntos Comunitários
Cássio Eugênio Garcia
Diretora Executiva de Gestão da Cultura e da Divulgação 
Institucional
Cláudia Elaine Garcia Custódio
Diretora Executiva de Gestão e Auditoria de Bens Materiais 
Permanentes e de Consumo
Rosilamar de Paula Garcia
Diretor Executivo de Gestão dos Recursos Financeiros
Rui de Souza Martins
Diretora Executiva de Gestão do Planejamento Acadêmico
Sônia Regina da Costa Oliveira
Diretor Executivo de Gestão das Relações Trabalhistas
Jânio Tramontin Paganini
Diretor Executivo de Gestão dos Assuntos Jurídicos
Lino Massayuki Ito
Diretora Executiva de Gestão do Ensino Superior
Maria Regina Celi de Oliveira
Diretora Executiva de Gestão da Pesquisa e da Pós-
Graduação
Evellyn Cláudia Wietzikoski
Diretor Executivo de Gestão da Extensão 
Universitária
Adriano Augusto Martins
Diretor Executivo de Gestão da Dinâmica 
Universitária
José de Oliveira Filho
Diretorias dos Institutos Superiores das 
Ciências
Diretora do Instituto Superior de Ciências Exatas, 
Agrárias, Tecnológicas e Geociências
Giani Andréa Linde Colauto 
Diretora do Núcleo dos Institutos Superiores de Ciências 
Humanas, Linguística, Letras e Artes, Ciências Sociais 
Aplicadas e Educação
Fernanda Garcia Velásquez 
Diretora do Instituto Superior de Ciências Biológicas, 
Médicas e da Saúde
Irinéia Paulina Baretta
SEMEAD – SECRETARIA ESPECIAL MULTICAMPI DE 
EDUCAçãO A DISTâNCIA
Secretário Executivo
Carlos Eduardo Garcia
Coordenação Geral de EAD
Ana Cristina de Oliveira Cirino Codato
Coordenador dos Cursos Superiores de Licenciatura e de 
Graduação Plena (História, Letras, Pedagogia e Filosofia)
Heiji Tanaka
Coordenador dos Cursos Superiores de Tecnologia e Bacharelado do 
Eixo Tecnológico de Gestão e Negócios (Gestão Comercial, Logística, Marketing, 
Processos Gerenciais e Administração)
Evandro Mendes de Aguiar
Coordenadora dos Cursos Superiores de Tecnologia e Bacharelado do 
Eixo Tecnológico de Gestão e Negócios (Gestão Financeira, 
Gestão Pública, Recursos Humanos e Ciências Contábeis)
Isabel Cristina Gozer
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca da UNIPAR 
U58e UNIPAR - Universidade Paranaense. 
Xxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxx / Xxxxxx Xxxxxx 
Xxxxxxx Xxxx ( Org.). – Xxxxxx : Unipar, 2014. 
68 f. 
ISBN: ??????????????????
1. Xxxxxxxxxxxx. 2. Xxxxxx x Xxxxxxx - EAD. I. 
Xxxxxx x Xxxxxxx. II. Xxxxx. 
(?? ed.) CDD: ???.???
Assessoria pedagógica 
Daniele Silva Marques e Marcia Dias 
Diagramação e Capa 
Renata Sguissardi e Fernando Truculo Evangelista
* Material de uso exclusivo da Universidade Paranaense – UNIPAR com todos os direitos da edição a ela reservados.
Sumário
Unidade i - ConstrUção e análise de tabelas 
e gráfiCos estatístiCos ................................................................13
tipos de gráficos e séries estatísticas ............................................................14
distribuição de frequência ..................................................................................16
Medidas de posição ................................................................................................25
Média aritmética .....................................................................................................25
Moda .............................................................................................................................32
Mediana .......................................................................................................................35
Medidas de dispersão ...........................................................................................40
amplitude total .......................................................................................................41
desvio em relação à média .................................................................................44
desvio-padrão ..........................................................................................................49
Coeficiente de variação .........................................................................................50
Unidade ii - introdUção à probabilidade ......................59
Considerações iniciais sobre probabilidade ................................................60
probabilidade para eventos independentes e mutuamente exclusivos ......66
distribuição de probabilidade ...........................................................................70
distribuição binomial ...........................................................................................71
distribuição normal ...............................................................................................73
propriedades da distribuição normal ............................................................74
EStatíStica E PESquiSa oPEracional
Unidade iii - teoria eleMentar de aMostrageM 
e teoria de estiMação de parâMetros .............................87
teoria elementar de amostragem ....................................................................88
teoria da estimação de parâmetros ................................................................91
teorema do limite central ...................................................................................92
estimação por intervalo .......................................................................................93
estimação por intervalos de confiança da média......................................94
estimação por intervalos de confiança da 
proporção populacional .......................................................................................101
Unidade iV - testes e pesqUisa operaCional ................111
teste de hipóteses ..................................................................................................112
Construção de um teste de hipótese para média populacional ..........113
Construção de um teste de hipótese para 
proporção populacional .......................................................................................118
atividades para compreensão do conteúdo ................................................121
pesquisa operacional .............................................................................................124
referênCias ..........................................................................................149
apresentação
Diante dos novos desafios trazidos pelo mundo contemporâneo e o surgimento de um 
novo paradigma educacional frente às Tecnologias de Informação e Comunicação dis-
poníveis que favorecem a construção do conhecimento, a revolução educacional está 
entre os mais pungentes, levando as universidades a assumirem a sua missão como 
instituição formadora, com competência e comprometimento, optando por uma gestão 
mais aberta e flexível, democratizando o conhecimento científico e tecnológico, atra-
vés da Educação a Distância.
Sendo assim, a Universidade Paranaense - UNIPAR - atenta a este novo cenário e 
buscando formar profissionais cada vez mais preparados, autônomos, criativos, res-
ponsáveis, críticos e comprometidos com a formação de uma sociedade mais demo-
crática, vem oferecer-lhe o Ensino a Distância, como uma opção dinâmica e acessível 
estimulando o processo de autoaprendizagem.
Como parte deste processo e dos recursos didático-pedagógicos do programa da 
Educação a Distância oferecida por esta universidade, este Guia Didático tem como 
objetivo oferecer a você, acadêmico(a),meios para que, através do autoestudo, possa 
construir o conhecimento e, ao mesmo tempo, refletir sobre a importância dele em sua 
formação profissional.
Seja bem-vindo(a) ao Programa de Educação a Distância da UNIPAR.
Carlos Eduardo Garcia 
Reitor
Seja bem-vindo caro(a) acadêmico(a),
Os cursos e/ou programas da UNIPAR, ofertados na modalidade de educação a dis-
tância, são compostos de atividades de autoestudo, atividades de tutoria e atividades 
presenciais obrigatórias, os quais individualmente e no conjunto são planejados e or-
ganizados de forma a garantir a interatividade e o alcance dos objetivos pedagógicos 
estabelecidos em seus respectivos projetos.
As atividades de autoestudo, de caráter individual, compreendem o cumprimento das 
atividades propostas pelo professor e pelo tutor mediador, a partir de métodos e práti-
cas de ensino-aprendizagem que incorporem a mediação de recursos didáticos orga-
nizados em diferentes suportes de informação e comunicação.
As atividades de tutoria, também de caráter individual, compreendem atividades de 
comunicação pessoal entre você e o tutor mediador, que está apto a: esclarecer as 
dúvidas que, no decorrer deste estudo, venham a surgir; trocar informações sobre as-
suntos concernentes à disciplina; auxiliá-lo na execução das atividades propostas no 
material didático, conforme calendário estabelecido, enfim, acompanhá-lo e orientá-lo 
no que for necessário.
As atividades presenciais, de âmbito coletivo para toda a turma, destinam-se obriga-
toriamente à realização das avaliações oficiais e outras atividades, conforme dispuser 
o plano de ensino da disciplina.
Neste contexto, este Guia Didático foi produzido a partir do esforço coletivo de uma 
equipe de profissionais multidisciplinares totalmente integrados que se preocupa 
com a construção do seu conhecimento, independente da distância geográfica que 
você se encontra.
O Programa de Educação a Distância adotado pela UNIPAR prioriza a interatividade, 
e respeita a sua autonomia, assegurando que o conhecimento ora disponibilizado seja 
construído e apropriado de forma que, progressivamente, novos comportamentos, no-
vas atitudes e novos valores sejam desenvolvidos por você.
A interatividade será vivenciada principalmente no ambiente virtual de aprendizagem 
– AVA, nele serão disponibilizados os materiais de autoestudo e as atividades de tuto-
ria que possibilitarão o desenvolvimento de competências necessárias para que você 
se aproprie do conhecimento.
Recomendo que durante a realização de seu curso, você explore os textos sugeridos 
e as indicações de leituras, resolva às atividades propostas e participe dos fóruns de 
discussão, considerando que estas atividades são fundamentais para o sucesso da 
sua aprendizagem.
Bons estudos! e-@braços.
Ana Cristina de Oliveira Cirino Codato 
Coordenadora Geral da EAD
introdução
Olá, aluno(a), é com prazer que apresento a você o livro de Estatística e Pesquisa 
Operacional. Sou o professor Ricardo Cardoso de Oliveira, minha primeira formação 
é em Engenharia Química pela Universidade Estadual de Maringá, e com Doutorado 
na área de Desenvolvimentos de Processos na Engenharia Química pela Universidade 
Estadual de Maringá e University of Waterloo. Minha segunda formação, ainda em an-
damento, é em Licenciatura Matemática.
Este livro tem a finalidade de expor, de forma sucinta, os universos da estatística 
e da pesquisa operacional. Esta que, por sua vez, tiveram suas aplicações inten-
sificadas nos últimos anos, tornando-se foco de estudo nas áreas econômicas, 
sociais, culturais, de engenharia, de saúde, meio ambiente, e por aí segue. Cabe 
a você, aluno(a), aproveitar este material para fazer pesquisas e leituras para se 
aprofundar mais no tema.
O livro apresenta os conceitos de estatística e de pesquisa operacional de forma intro-
dutória e tem alguns exercícios para treino, e tem por objetivo apresentar os conceitos 
e metodologias de forma simples e de fácil acesso ao entendimento dos estudantes.
Ao final de cada item teórico, poderão ser encontrados alguns exemplos e suges-
tão de alguns exercícios. A primeira parte do livro tratará da estatística descritiva, se-
guido por teoria das probabilidades, em seguida teoria da amostragem e de estima-
ção de parâmetros. Os últimos tópicos abordados serão testes de hipótese e pesquisa 
operacional.
Espero que utilize este livro como porta do saber e que ele motive em você a vontade 
de ampliar seu conhecimento.
A palavra “Estatística” está associada à palavra latina status que significa estado. 
Existem relatos de que desde 3000 anos a.C., já se faziam censos na Babilônia, China 
e Egito. Usualmente, estas informações eram utilizadas para a taxação de impos-
tos ou para o alistamento militar. A palavra “censo” é derivada da palavra “censere”, 
que em Latim significa “taxar”. A palavra Estatística foi cunhada pelo acadêmico ale-
mão Gottfried Achenwall (1719-1772), que foi um notável continuador dos estudos 
de Hermann Conrig (1606-1681). A escola alemã atingiu sua maturidade com A. L. 
von Schlozer (1735-1809), mas sempre com ideias diferentes daquelas que funda-
mentaram a Estatística Moderna. Com algum exagero, pode-se dizer que o seu prin-
cipal legado foi o termo “STAATENKUNDE”, que deu origem à designação atual. Na 
Enciclopédia Britânica, o verbete “STATISTICS” aparece pela primeira vez em 1797.
Atualmente, a Estatística é definida da seguinte maneira: “Estatística é um conjunto 
de métodos e processos que serve para estudar e medir os fenômenos coletivos”. A 
Estatística subdivide-se em três áreas: descritiva, probabilística e inferencial. A esta-
tística descritiva, como o próprio nome já diz, se preocupa em descrever os dados. A 
estatística inferencial, fundamentada na teoria das probabilidades, se preocupa com a 
análise destes dados e sua interpretação.
Por outro lado, a Pesquisa Operacional é uma ciência aplicada voltada para a resolu-
ção de problemas reais. Tendo como foco a tomada de decisões, aplica conceitos e 
métodos de várias áreas científicas na concepção, planejamento ou operação de sis-
temas. A Pesquisa Operacional é usada para avaliar linhas de ação alternativas e en-
contrar as soluções que melhor servem aos objetivos dos indivíduos ou organizações.
Convido você a entrar nesse mundo fascinante da estatística e da pesquisa operacional.
Aproveite! Bons estudos!
Unidade i - ConstrUção e análise de 
tabelas e gráfiCos estatístiCos 
ObjetivOs a serem alcançadOs nesta unidade
Prezado(a) Acadêmico(a), ao terminar os estudos dessa unidade, você deverá ser 
capaz de:
• Elaborar, compreender e analisar tabelas e gráficos estatísticos ligados ao 
mundo científico.
• Elaborar, compreender e analisar tabelas de distribuição de frequência.
• Reconhecer os conceitos estatísticos básicos de medidas de posição.
• Reconhecer os conceitos estatísticos básicos de medidas de dispersão e 
variabilidade.
Para que esses objetivos sejam alcançados, é de extrema importância que você de-
senvolva seus estudos com seriedade e dedicação, lendo as literaturas recomenda-
das e os capítulos dos livros didáticos que forem referenciados neste guia. 
Bons estudos!
14 Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
tipOs de gráficOs e séries estatísticas
Uma tabela trata-se de um quadro que resume um conjunto de observações ou infor-
mações. A tabela é constituída de:
I. corpo: é o conjunto de linhas e colunas que contêm informações sobre a vari-
ável ou variáveis de estudo.
II. cabeçalho: parte superior da tabela onde está especificado o conteúdo de 
cada coluna.
III. coluna indicadora: parte que compõe a tabela que especifica o conteúdo de 
cada linha.
IV. célula: espaço destinadoa um só número (ou informação).
V. título: conjunto de informações, localizado no topo da tabela, que responde às 
perguntas: O quê?, Quando?, Onde?.
Veja o exemplo 1, abaixo:
Exemplo 1
O BRICS é um bloco de países emergentes, formado por Brasil, Rússia, Índia, 
China e África do Sul. A seguir é apresentado um levantamento do crescimento 
do PIB, realizado pela consultoria Tendências referente ao segundo trimestre do 
ano de 2014.
15Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
Quadro: Crescimento do PIB dos países do BRICS, em 2014
país
crescimentO dO pib nO segundO 
trimestre de 2014 (%)
previsãO de crescimentO 
para 2014 (%)
Brasil - 0,9 0,3
Rússia 0,8 0,3
Índia 5,7 5,4
China 7,5 7,4
África do Sul 1,0 1,7
Fonte: Tendências
Uma série estatística trata-se de toda tabela que apresenta distribuição de um conjun-
to de dados em função da época (denominadas séries históricas), do local (denomina-
das séries geográficas) ou da espécie (denominadas séries específicas).
Um gráfico estatístico é uma maneira de apresentação dos dados, que tem como 
objetivo produzir uma impressão mais rápida e viva do fenômeno estudado, uma 
vez que os gráficos falam mais rápidos à compreensão da série. Os gráficos de-
vem ser simples, claro e devem expressar a verdade sobre o fenômeno em estudo. 
Veja o exemplo 2.
Exemplo 2
Aqui temos a representação gráfica dos dados apresentados no exemplo 1.
16 Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
distribuiçãO de frequência
Após a realização de uma pesquisa em que os dados foram coletados, faz-se ne-
cessária a organização e classificação desses. Esse procedimento é, em geral, feito 
por meio de tabelas. Essas tabelas são denominadas tabelas de distribuição de 
frequência.
Para entender esse conceito e outros que virão, vamos considerar que foram coleta-
dos os dados referentes aos preços de quarenta ações ordinárias em uma determina-
da Bolsa de Valores, como pode ser visto na Tabela 1.
Tabela 1: Preços de quarenta ações ordinárias em uma Bolsa de Valores
33,50 30,38 48,38 31,13 29,63 9,25 32,25 38,00 8,63 29,63
9,00 18,00 18,00 1,25 37,88 10,00 25,24 52,00 9,25 53,38
8,75 34,00 7,63 14,00 43,25 16,50 11,38 25,02 18,50 16,63
9,38 8,00 35,25 21,63 19,38 11,50 28,50 78,38 38,88 33,63
17Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
A Tabela 1 é um tipo de tabela em que os dados não estão organizados é denominado 
tabela bruta e os dados são chamados de dados brutos. Ao organizar esses dados 
brutos, em tabela, em ordem crescente ou decrescente temos o rol, como apresenta-
do na Tabela 2.
Tabela 2: Rol crescente dos preços de quarenta ações ordinárias em uma Bolsa de Valores
1,25 7,63 8,00 8,63 8,75 9,00 9,25 9,25 9,38 10,00
11,38 11,50 14,00 16,50 16,65 16,63 18,00 18,00 18,50 19,38
21,63 25,02 25,24 28,50 29,63 30,38 31,13 32,25 33,50 33,63
34,00 35,25 37,88 38,00 38,88 43,25 48,38 52,00 53,38 78,38
Uma vez organizados os dados em rol, iremos agora resumir esses dados em uma 
tabela de tal forma que a leitura dos dados seja facilitada. Para isso definimos:
I. Classe: é a subdivisão dos dados em intervalos ou faixas de valores.
II. Limite de classe: são os valores extremos de cada classe. Para uma classe 
temos o limitante inferior que é o menor número que pode pertencer à classe e 
ainda, o limitante superior que é o maior número que pode pertencer à classe.
III. Amplitude amostral (AA): é a diferença entre o maior e o menor entre os 
dados coletados.
IV. Ponto médio de uma classe : são os valores obtidos somando-se o li-
mitante inferior de classe ao limitante superior e dividindo-se o resultado da 
soma por 2.
V. Número de classes (i): para construção de uma tabela de distribuição de fre-
quência, a primeira coisa que devemos nos preocupar é em determinar o nú-
mero de classes. Para tal fazemos uso da regra de Sturges, a qual é dada por:
18 Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
Ou ainda, podemos fazer uso da regra da raiz, a qual é dada por:
Para essas regras temos que n é o número de dados coletados.
VI. Amplitude de classe (h): calculado o número de classes a ser usado na 
construção da tabela de distribuição de frequência, devemos proceder ao cál-
culo da amplitude da classe, a qual é calculada fazendo-se a razão entre a 
amplitude total e o número de classes.
VII. Frequência absoluta : é o número de vezes que determinado elemento 
aparece na amostra ou, ainda, o número de vezes que um elemento aparece 
em uma classe.
VIII. Frequência relativa : é a razão entre a frequência absoluta da classe em 
questão e o número total de elementos na amostra. A frequência relativa é 
calculada usando-se a equação:
IX. Frequência relativa percentual : é obtida procedendo-se o produto da 
frequência relativa por 100, como mostrado abaixo:
X. Frequência acumulada : é obtida somando-se a frequência absoluta 
da classe considerada, às frequências absolutas anteriores a esta classe. A 
equação abaixo mostra o procedimento do cálculo da frequência acumulada 
de uma classe.
19Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
Em que é a frequência absoluta da primeira classe, é frequência absoluta da 
segunda classe, e assim por diante até a n-ésima classe. O símbolo denota a 
soma das frequências da primeira, segunda e até a n-ésima classe.
XI. Frequência relativa acumulada : é a razão entre a frequência acumu-
lada de uma classe pelo número total de elementos na amostra, como mostra 
a equação a seguir:
XII. Frequência relativa acumulada percentual : é o produto da frequên-
cia relativa acumulada de uma classe por 100, como apresentado na seguinte:
Já que definimos tanta coisa, vamos aplicá-las à Tabela 2. Digamos que nosso objeti-
vo seja elaborar um relatório e queremos resumir as informações dos preços dessas 
quarenta ações ordinárias em uma tabela de distribuição de frequência. Embora exis-
tam tecnologias para gerar distribuições de frequência automaticamente, os passos 
para construí-las manualmente são os seguintes:
1º. passo: determinar o número de classes desejado. Este número deve estar 
entre 5 e 20, por questões práticas e ainda deve ser um número inteiro. Como 
20 Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
temos n = 40 observações, podemos usar o critério de Sturges ou da raiz. 
Assim, temos pelo critério de Sturges o número de classes igual a:
2º. passo: calcular a amplitude das classes. Se necessário, faça uso de arre-
dondamentos e/ou mude o número de classes de modo que se use números 
convenientes.
3º. Passo: escolha o valor mínimo, ou um valor conveniente que seja um pou-
co menor do que esse valor mínimo para ser o primeiro limitante inferior de 
classe. Usando esse limitante inferior e a amplitude da classe, prossiga e liste 
os outros limites inferiores de classe, adicionando a amplitude de classe ao 
primeiro limite de classe inferior para obter o segundo limite inferior de classe 
e assim por diante.
4º. Passo: liste os limites inferiores de cada classe em uma coluna vertical e 
prossiga para preencher os limitantes superiores. Feito isso, percorra o con-
junto de dados colocando uma marca apropriada para cada valor dado. Conte 
as marcas para encontrar a frequência total para cada classe.
Agora tendo como base a Tabela 2, vamos construir a tabela de distribuição de 
frequência.
21Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
Tabela 3: Distribuição de frequência dos preços de quarenta ações ordinárias
classe (i)
preçO das ações
(intervalos de classe)
frequência (fi)
1 1 |––– 14 12
2 14 |––– 27 11
3 27 |––– 40 12
4 40 |––– 53 3
5 53 |––– 66 1
6 66 |––– 79 1
Total 40
De posse da tabela de distribuição de frequência podemos calcular as frequências 
relativas e acumuladas, como apresentado na Tabela 4.
Tabela4: Preço das ações ordinárias em uma Bolsa de Valores (Distribuição de frequência relativa e acumulada)
classe (i)
preçO das 
ações 𝒇i 𝒇r 𝒇r% FAC FRAC FRAC%
1 1 |––– 14 12 0,300 30,0 12 0,300 30,0
2 14 |––– 27 11 0,275 27,5 23 0,575 57,5
3 27 |––– 40 12 0,300 30,0 35 0,875 87,5
4 40 |––– 53 3 0,075 7,50 38 0,950 95,0
5 53 |––– 66 1 0,025 2,50 39 0,975 97,5
6 66 |––– 79 1 0,025 2,50 40 1,000 100,0
Total 40 1,000 100,00 - - -
22 Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
O cálculo da frequência relativa da primeira classe foi feito da seguinte maneira: 
E esse procedimento foi usado para calcular as demais frequências relativas. As fre-
quências relativas percentuais foram obtidas multiplicando por 100 as frequências 
relativas de cada classe.
O cálculo da frequência acumulada foi feito como apresentado abaixo:
E assim por diante até a sexta classe. As frequências relativas acumuladas foram 
calculadas como abaixo:
E assim por diante até a sexta classe. Já as frequências relativas percentuais foram 
obtidas multiplicando por 100 as frequências relativas acumuladas.
Em muitas situações é mais conveniente representar de forma gráfica uma distribui-
ção de frequência e, isso pode ser feito usando o histograma, o polígono de frequên-
cia ou o polígono de frequência acumulada.
23Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
O histograma é a representação gráfica da distribuição de frequência. Trata-se de 
um diagrama de colunas em que cada retângulo está associado com uma classe da 
distribuição de frequência. O histograma associado à Tabela 4 está representado na 
Figura 1.
Fr
eq
uê
nc
ia
s
Preço das ações
16
14
12
10
8
6
4
2
0
1 14 27 40 53 66 79
Figura 1 - Histograma da distribuição de frequência dos preços de 40 ações ordinárias em uma bolsa de valores
O polígono de frequência é o gráfico de configuração linear. Ele é obtido calculando-
se o ponto médio de cada classe, e marca-se esse ponto no lado superior do histo-
grama. O polígono de frequência é obtido ligando-se esses pontos médios. A Figura 2 
mostra o polígono de frequência associado aos dados da Tabela 1.4.
24 Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
Fr
eq
uê
nc
ia
s
Preço das ações
16
14
12
10
8
6
4
2
0
1 14 27 40 53 66 79
Figura 2 - Polígono de frequência dos preços de 40 ações ordinárias em uma bolsa de valores
O polígono de frequência acumulada ou ogiva de Galton é um gráfico que permite 
descrever dados quantitativos por meio da frequência acumulada. A ogiva é um gráfi-
co de linha que une os pontos cujas abscissas são os limites superiores das classes, 
e, ordenadas suas respectivas frequências acumuladas. A Figura 3 apresenta o po-
lígono de frequência acumulada para os dados distribuídos em classe da Tabela 4.
25Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
Fr
eq
uê
nc
ia
s
40
35
30
25
20
15
10
5
0
1 14 27 40 53 66 79
Preço das ações
Figura 3 - Polígono de frequência acumulada dos preços de 40 ações ordinárias em uma bolsa de valores
medidas de pOsiçãO
O que vimos até agora com a distribuição de frequência permite-nos descrever de 
modo geral um conjunto de dados. Precisamos agora encontrar maneiras de ressaltar 
as tendências da distribuição estudada. Para tal, vamos estudar as medidas de posi-
ção, que são média, moda e mediana.
média aritmética
A média aritmética é a mais importante de todas as medidas de posição existentes 
para descrever dados em geral.
26 Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
A média aritmética ( ) é uma medida de tendência central determinada pela adição 
de todos os valores e divisão pelo número de valores. Esta definição nos permite es-
crever a equação abaixo:
Em que , , ..., são as variáveis que se está estudando, n é o número de valores 
estudados, denota a soma de todos os valores em estudo.
Exemplo 3
O valor da conta de telefone de Sebastião variou muito nos três primeiros meses de 
2012. Em janeiro, Sebastião pagou R$ 48,50; em fevereiro, R$ 78,00 e em março, R$ 
65,20. Qual foi, em reais, o valor mensal médio da conta telefônica de Sebastião no 
primeiro trimestre de 2012?
A. 60,60
B. 61,90
C. 62,20
D. 63,90
E. 64,20
Solução
A média aritmética do valor da conta de telefone de Sebastião é:
27Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
Acabamos de calcular a média aritmética para o caso em que os dados não estão 
agrupados. Agora, vamos aprender a calcular a média aritmética para o caso em que 
os dados estão agrupados sem intervalo de classe. Nessa situação, como as frequ-
ências são números indicadores da intensidade de cada valor, elas funcionam como 
fatores de ponderação e assim, calculados a média aritmética ponderada, como 
apresentado pela equação abaixo:
Exemplo 4
(CESGRANRIO) Uma pesquisa realizada pela Polícia Rodoviária Estadual a res-
peito do número de acidentes automobilístico por dia, em determinado trecho de 
uma estrada, utilizando a observação de 200 dias, resultou na seguinte Tabela de 
Frequências:
númerO de 
acidentes pOr dia
frequência 
Observada
0 20
1 40
2 80
3 50
4 10
28 Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
O valor esperado do número de acidentes automobilístico por dia, no trecho de estra-
da observado é:
A. 1,00
B. 1,95
C. 2,00
D. 2,50
E. 3,00
Solução
Das informações dispostas na Tabela, montamos outra tabela para auxiliar-nos no 
cálculo da média aritmética. Assim,
𝑥i 𝑓i 𝑥i 𝑓i
0 20 0
1 40 40
2 80 160
3 50 150
4 10 40
∑ 𝑓i = 200 ∑ 𝑥i 𝑓i = 390
Daí segue que . Portanto, o valor esperado do número de acidentes 
automobilístico por dia, no trecho de estrada observado é igual a 1,95.
29Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
Vejamos agora, o caso do cálculo da média aritmética quando os dados estão agrupa-
dos em classe. Nesse caso, convenciona-se que os valores incluídos em um determi-
nado intervalo coincidem com seu ponto médio, e determinamos a média ponderada. 
Vejamos o exemplo seguinte.
Exemplo 5
Na Tabela abaixo temos a distribuição de frequência dos preços de quarenta ações 
ordinárias negociados em um dia em uma Bolsa de Valores. Determinar o preço médio 
dessas ações.
preçO das ações frequência (𝑓i )
1 |––– 14 12
14 |––– 27 11
27 |––– 40 12
40 |––– 53 3
53 |––– 66 1
66 |––– 79 1
Total 40
Solução
Sas informações dispostas na Tabela, montamos outra tabela para auxiliar-nos no 
cálculo da média aritmética. Assim,
30 Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
preçO das ações 𝑓i 𝑥i 𝑥i 𝑓i
1 |––– 14 12 6,5 78
14 |––– 27 11 20,5 225,5
27 |––– 40 12 33,5 402
40 |––– 53 3 46,5 139,5
53 |––– 66 1 59,5 59,5
66 |––– 79 1 72,5 72,5
Total ∑ 𝑓i = 40 - ∑ 𝑥i 𝑓i = 977
Daí segue que . Portanto, o preço médio das ações negociadas é igual 
a R$ 24,43.
Exemplo 6
(CESGRANRIO) A média salarial de 100 pessoas é igual a R$ 500,00. Se o salário de 
Mário fosse incluído no cálculo, a média salarial seria igual a R$ 510,00. O salário de 
Mário, em reais, é:
A. 510,00
B. 610,00
C. 1.510,00
D. 5.110,00
E. 5.510,00
31Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
Solução
Temos que a média salarial, das 100 pessoas pode ser calculada por meio 
da equação:
Ou seja, a soma dos salários das 100 pessoas é igual a 
(*). Considerando agora a inclusão de Mário, a média salarial é igual a e é 
calculada por meio da equação:
Ou seja, a soma dos salários de 101 pessoas é igual a 
(**). Assim, subtraindo (*) de (**), segue que o salário de Mário é igual a R$ 1.5010,00.
A média aritmética apresenta as seguintes propriedades:
I. Chamamos de desvio em relação a média a diferença entre cada elemento de 
um conjunto de valores e a médiaaritmética. A soma algébrica desses desvios 
tomados em relação à média aritmética é nula.
II. Somando ou subtraindo-se uma constante (k) qualquer a todos os valores da 
variável, a média aritmética fica aumentada ou diminuída dessa constante.
III. Multiplicando ou dividindo-se uma constante (k) qualquer a todos os valores 
da variável, a média aritmética fica multiplicada ou dividida dessa constante.
32 Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
moda
Moda (Mo) é o valor que ocorre com maior frequência em um conjunto de dados e 
esse(s) valor(es) é(são) denominado(s) “valor modal”. Um conjunto de dados poderá 
ser classificado em: 
I. amodal – quando não apresentar valor modal; 
II. unimodal – quando apresentar único valor modal; 
III. bimodal – quando apresentar dois valores modais; 
IV. trimodal – quando apresentar três valores modais; 
V. polimodal – quando apresentar quatro ou mais valores modais.
Exemplo 7
Os dados abaixo correspondem às quantidades diárias de merendas escolares de-
mandadas em 10 diferentes escolas: 200, 250, 300, 250, 250, 200, 150, 200, 150, 
200. Calcule a moda.
Solução
Organizando os dados em rol, obtemos a seguinte distribuição 150 – 150 – 200 – 200 
– 200 – 200 – 250 – 250 – 250 – 300. Note que na série há repetição dos valores 150 
(2 vezes), 200 (4 vezes) e 250 (3 vezes). O valor modal será 200, pois é o que repete 
mais vezes.
Acabamos de calcular a moda para o caso em que os dados não estão agrupados. Ago-
ra, vamos aprender a calcular a moda para o caso em que os dados estão agrupados 
sem intervalo de classe. Nessa situação, é muito fácil determinar o valor modal, bastando 
determinar a classe que apresenta maior frequência. Vejamos o exemplo abaixo.
33Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
Exemplo 8
Determinada carreira profissional, em um órgão público, apresenta 5 níveis de salá-
rios com uma distribuição demonstrada no quadro abaixo.
saláriOs (r$) 1.500,00 2.000,00 2.500,00 3.000,00 3.500,00
quantidade de funciOnáriOs 10 15 25 20 5
Determine o salário modal desse órgão público.
Solução
O salário modal desse compartimento público é R$ 2.500,00, pois esse valor caracte-
riza o maior número de ocorrências (25 vezes).
Vejamos agora, o caso do cálculo da moda quando os dados estão agrupados em clas-
se. Nesse caso, é comum fazer uso da fórmula de Czuber, para o cálculo do valor modal:
Em que é o limite inferior da classe modal; é a diferença entre a frequência da 
classe modal e a frequência da classe anterior à classe modal; é a diferença entre 
a frequência da classe modal e a frequência da classe posterior à classe modal; 
é a amplitude da classe modal. Vejamos o exemplo seguinte.
34 Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
Exemplo 9
A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequências das notas obtidas em um teste 
de Estatística, realizado por 50 estudantes universitários.
nOta frequência
0 |––– 2 4
2 |––– 4 12
4 |––– 6 15
6 |––– 8 13
8 |––– 10 6
Determine a nota modal.
Solução
A classe modal corresponde à classe que apresenta maior frequência. É claro que 
essa frequência corresponde à terceira classe. Assim,
Daí,
Portanto, a nota modal é 5,2.
35Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
A moda é, em geral, usada para medidas rápidas e aproximações de posição, ou ain-
da, quando a medida de posição deve ser o valor mais frequente da distribuição.
mediana
A mediana (Me) é a medida de posição definida como sendo o número que divide o 
conjunto de dados analisado em duas partes iguais, com o número igual de elemen-
tos. Desta maneira, a mediana encontra-se no centro de uma série estatística organi-
zada em rol.
Ao organizar os dados em rol e este apresentar um número de elementos ímpar, a 
mediana será o valor central. Caso o rol tenha um número par de elementos, a media-
na será a média aritmética entre os dois termos centrais, nesse caso a mediana será 
um valor que não pertence à série de dados.
Exemplo 10
Suponha que certa Agência do Banco XYZ tenha 25 funcionários, cujas idades, em 
anos, são as seguintes:
24 − 24 −24 −25 − 25 − 30 − 32 − 32 − 32 − 35 − 36 − 36 − 40 − 40 − 40 − 40− 46 – 
48 − 48 − 50 − 54 − 54 − 60 − 60 − 65
Determine a idade mediana dos funcionários do Banco XYZ.
Solução
Note que os dados estão organizados em rol crescente e que temos 25 valores. O 13º 
elemento é o que ocupa a posição central e este valor é a mediana do conjunto de 
dados. Assim sendo, a mediana das idades dos funcionários do Banco XYZ é 40 anos.
36 Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
Exemplo 11
(CESGRANRIO) Uma turma do 2º período de Administração é composta de 20 alunos, 
que tiraram as seguintes notas no teste de Estatística:
alunO nOta alunO nOta
1 8,5 11 6,0
2 5,0 12 7,5
3 4,0 13 5,5
4 7,0 14 9,5
5 8,0 15 8,5
6 9,0 16 7,0
7 1,5 17 9,0
8 4,5 18 8,5
9 10,0 19 3,0
10 6,5 20 2,0
Qual é a mediana teórica da turma nesse teste?
A. 6,0
B. 6,5
C. 6,75
D. 7,0
E. 7,25
Solução
Primeiramente vamos organizar as notas em rol crescente. Assim, temos:
1,5 – 2,0 – 3,0 – 4,0 – 4,5 – 5,0 – 5,5 – 6 – 6,5 – 7,0 – 7,0 – 7,5 – 8,0 – 8,5 – 8,5 – 
8,5 – 9,0 – 9,0 – 9,5 – 10,0
37Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
Note que temos um número par de elementos e os dois termos centrais têm média 
aritmética igual a 7,0. Portanto, a mediana da nota desse grupo de alunos é igual 
a 7,0 pontos.
Acabamos de calcular a mediana para o caso em que os dados não estão agrupados. 
Agora, vamos aprender a calcular a mediana para o caso em que os dados estão agru-
pados sem intervalo de classe. Nessa situação, devemos executar os seguintes passos:
I. calcular a frequência acumulada; 
II. determinar um valor tal que divida a distribuição em dois grupos que contenham 
o mesmo número de elementos.
Vejamos o exemplo abaixo.
Exemplo 12
Os salários dos 40 funcionários de uma empresa, em 31 de dezembro de 2012, esta-
vam distribuídos conforme a tabela a seguir:
saláriO (r$)
númerO de 
funciOnáriOs
800,00 4
1.100,00 8
2.000,00 10
2.800,00 16
3.600,00 2
Total 40
Determine a mediana dos salários dos funcionários dessa empresa.
38 Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
Solução
Para determinar o valor da mediana, primeiro vamos determinar a frequência acumu-
lada para o conjunto de dados. Assim,
saláriO (r$) 𝑓i FAC
800,00 4 4
1.100,00 8 12
2.000,00 10 22
2.800,00 16 38
3.600,00 2 40
Total 40 -
Daí, a posição da mediana será , ou seja, o valor pertence a 3º classe e corres-
ponde ao salário de R$ 2.000,00. Portanto, a mediana do salário é igual a R$ 2.000,00.
Vejamos agora, o caso do cálculo da mediana quando os dados estão agrupados em 
classe. Nesse caso, usa-se a seguinte equação de interpolação linear:
Em que:
 é o limitante inferior da classe mediana;
 é o número de elementos coletados na pesquisa;
 frequência acumulada da classe anterior à classe mediana;
39Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
 é a frequência absoluta da classe mediana;
 é a amplitude da classe da mediana.
Exemplo 13
A Tabela abaixo apresenta a distribuição de frequência dos preços de quarenta ações 
ordinárias negociados em um dia em uma Bolsa de Valores. Determinar a mediana do 
preço dessas ações.
preçO das ações frequência (𝑓i)
1 |––– 14 12
14 |––– 27 11
27 |––– 40 12
40 |––– 53 3
53 |––– 66 1
66 |––– 79 1
Total 40
Solução
Vamos primeiramente reescrever a tabela com a coluna de frequência acumulada e 
identificar a classe mediana, como mostrado a seguir:
40 Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
preçO das ações 𝑓i FAC
1 |––– 14 12 12
14 |––– 27 11 23
27 |––– 40 12 35
40 |––– 53 3 38
53 |––– 66 1 39
66 |––– 79 1 40
Total40 -
Temos que n = 40, , , e . Daí,
Logo, o valor mediano das ações é igual a R$ 23,45.
medidas de dispersãO
Agora vamos discutir a dispersão ou variabilidade dos dados estudados. Essas me-
didas incluem o estudo da amplitude total, da variância, do desvio-padrão e do coe-
ficiente de variação. Nossos objetivos aqui são determinar as medidas de dispersão, 
bem como sua interpretação.
41Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
Para iniciar nosso estudo, considere os seguintes conjuntos de dados:
A. 17, 17, 17, 17, 17
B. 15, 16, 17, 18, 19
C. - 48, - 38, - 3, 67, 107
A média aritmética de cada conjunto de dados é:
Note que embora as médias aritméticas sejam iguais, existe diferença na dispersão 
desses dados em relação à média. Temos que o conjunto de dados A é mais homogê-
neo que o conjunto de dados B que, por sua vez, é mais homogêneo que o conjunto 
de dados C. Ou seja, quando comparamos esses conjuntos de dados de A para C, 
temos aumento na dispersão dos dados por eles apresentados. Daí surge a necessi-
dade em medir a dispersão ou variabilidade de um conjunto de dados.
amplitude total
A amplitude total (AT) de um conjunto de dados é a diferença entre o maior valor e o 
menor valor.
42 Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
Trata-se de uma medida de dispersão muito sensível aos valores extremos e não 
é tão útil quanto às outras medidas de dispersão que estudaremos. Estudemos os 
exemplos abaixo.
Exemplo 14
Na Tabela abaixo estão os valores em rol do preço de quarenta ações negociadas em 
um dia por uma Bolsa de Valores.
1,25 7,63 8,00 8,63 8,75 9,00 9,25 9,25 9,38 10,00
11,38 11,50 14,00 16,50 16,65 16,63 18,00 18,00 18,50 19,38
21,63 25,02 25,24 28,50 29,63 30,38 31,13 32,25 33,50 33,63
34,00 35,25 37,88 38,00 38,88 43,25 48,38 52,00 53,38 78,38
Determine a amplitude total dos preços das ações negociadas.
Solução
Antes de calcular a amplitude total, primeiro devemos escrever os dados em rol. As-
sim sendo, temos que:
Logo, a amplitude dos preços das ações é igual a R$ 77,13.
43Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
Exemplo 15
No exemplo 4 foi apresentado os resultados de uma pesquisa realizada pela Polícia 
Rodoviária Estadual a respeito do número de acidentes automobilístico por dia, em 
determinado trecho de uma estrada. A tabela de frequências é apresentada abaixo:
númerO de 
acidentes pOr dia
frequência 
Observada
0 20
1 40
2 80
3 50
4 10
Determine a amplitude total.
Solução
Nesse caso a amplitude será dada por , ou seja, a amplitude do número 
de acidentes por dia é igual a 4.
Exemplo 16
A seguir são apresentados os valores dos preços das quarenta ações negociadas por 
uma Bolsa de Valores em tabela de distribuição de frequência com dados agrupados 
em classe.
classe (i) preçO das ações 𝑓i
1 1 |––– 14 12
2 14 |––– 27 11
44 Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
3 27 |––– 40 12
4 40 |––– 53 3
5 53 |––– 66 1
6 66 |––– 79 1
Total 40
Determine a amplitude do valor dos preços das ações negociadas.
Solução
Nessa situação em que os dados estão organizados por classe, a amplitude é dada 
por: . Logo, a amplitude dos preços das ações é igual a R$ 78,00.
desvio em relação à média
A diferença entre cada valor observado e a média é denominada desvio e é dado 
por se o conjunto de dados for um universo, ou por se os dados são 
amostrais. Ao somar todos os desvios, ou seja, ao somar todas as diferenças de cada 
valor observado em relação à média, o resultado é igual à zero. Isto significa que esta 
medida não mede a variabilidade dos dados. Para resolver este problema, considera-
mos o quadrado dos desvios em relação à média.
Variância
A variância é uma medida de dispersão estatística, determinando quão longe os valo-
res coletados estão em relação ao valor esperado. A variância é calculada de acordo 
com as equações abaixo:
45Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
variância pOpulaciOnal variância amOstral
Em que:
 é a variância populacional;
 é a variância amostral;
 é o valor da variável;
 é a média aritmética dos elementos da população;
 é a média aritmética dos elementos da amostra;
N é o número de elementos da população;
n é o número de elementos da amostra.
Exemplo 17
(CESGRANRIO) Em uma amostra de cinco residências de uma determinada rua re-
gistram-se os seguintes números de moradores em cada uma:
casa a casa b casa c casa d casa e
3 6 2 7 2
A variância amostral é:
A. 5,8
B. 5,5
C. 5,1
D. 4,8
E. 4,4
46 Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
Solução
Primeiramente, vamos determinar a média aritmética da amostra. Assim, 
. Para obter o quadrado dos desvios, montamos a tabela abaixo:
xi ( xi – x) ( xi – x)2
Casa A 3 (3 – 4) = –1 1
Casa B 6 (6 – 4) = 2 4
Casa C 2 (2 – 4) = –2 4
Casa D 7 (7 – 4) = 3 9
Casa E 2 (2 – 4) = –2 4
∑ ( xi – x) = 0 ∑ ( xi – x)2 = 22
Daí segue que a variância amostra é . Logo, a variância é 5,5 moradores2.
Vejamos agora o cálculo da variância para o caso em que os dados estão agrupados 
sem intervalo de classe. Nesse caso, a variância é dada por:
Exemplo 18
Uma pesquisa realizada pela Polícia Rodoviária Estadual a respeito do número de 
acidentes automobilístico por dia, em determinado trecho de uma estrada, utilizando a 
observação de 200 dias, resultou na seguinte Tabela de Frequências:
47Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
númerO de 
acidentes pOr dia
frequência 
Observada
0 20
1 40
2 80
3 50
4 10
Determine a variância amostral.
Solução
Para o cálculo da variância amostral, montamos a seguinte tabela:
xi 𝑓i xi 𝑓i x2i 𝑓i
0 20 0 0
1 40 40 40
2 80 160 320
3 50 150 350
4 10 40 160
∑ 𝑓i = 200 ∑ xi 𝑓i = 390 ∑ x2i 𝑓i = 870
Assim, a variância amostral é . Logo, a variância amostra é 
0,5475 acidentes2.
48 Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
Vejamos agora o cálculo da variância para o caso em que os dados estão agrupados 
com intervalo de classe. Nesse caso, a equação da variância é dada por:
Em que é o ponto médio da classe considerada.
Exemplo 19
A Tabela abaixo apresenta a distribuição de frequência dos preços de uma amostra de 
quarenta ações ordinárias negociados em um dia em uma Bolsa de Valores. Determi-
nar a variância do preço dessas ações.
preçO das ações frequência (𝑓i)
1 |––– 14 12
14 |––– 27 11
27 |––– 40 12
40 |––– 53 3
53 |––– 66 1
66 |––– 79 1
Total 40
Solução
Para o cálculo da variância amostral, montamos a seguinte tabela:
𝑓i xi xi 𝑓i x2i 𝑓i
1 |––– 14 12 6,5 78 507
14 |––– 27 11 20,5 225,5 4.622,75
27 |––– 40 12 33,5 402 13.467
49Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
40 |––– 53 3 46,5 139,5 6.486,75
53 |––– 66 1 59,5 59,5 3.540,25
66 |––– 79 1 72,5 72,5 5.256,25
Total ∑ 𝑓i = 40 - ∑ xi 𝑓i = 977 ∑ x2i 𝑓i = 33.880
Assim, a variância amostral é . Logo, a variância é 
250,42 reais2.
desvio-padrão
Vimos que a variância é calculada a partir dos quadrados dos desvios em relação à 
média e que ela é um número cuja unidade está ao quadrado em relação à variável 
estudada, o que sob o aspecto prático é inconveniente. O desvio-padrão é definido 
como a raiz quadrada da variância, o que do ponto de vista prático é mais convenien-
te, pois assim a medida de dispersão tem a mesma unidade da média.
desviO-padrãO pOpulaciOnal desviO-padrãO amOstral
O desvio-padrão apresenta as seguintes propriedades, dentre elas:
I. Adicionando (ou subtraindo) uma constante k de todos os valores da variável 
em estudo, o desvio-padrão não se altera.
50 Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
II. Multiplicando todos os valores da variável em estudo por uma constante k, tal 
que , o desvio-padrão fica multiplicado por essa constante.
Exemplo20
No exemplo 17 verificamos que a variância foi . Assim, o desvio-padrão 
é moradores. Já no exemplo 18 mostramos que a variância foi 
, e, daí, o desvio-padrão é igual a acidentes. Final-
mente, no exemplo 19, verificamos que a variância foi e, daí, o desvio-pa-
drão é igual a reais.
Coeficiente de variação
O coeficiente de variação (CV) é uma medida de dispersão relativa, o qual é definido 
como sendo a razão entre o desvio-padrão e a média aritmética. O coeficiente de va-
riação é empregado na comparação do grau de concentração em torno da média para 
duas ou mais séries estatísticas distintas. Dizemos que uma série é mais homogênea 
que outra, quando apresentar menor coeficiente de variação.
Exemplo 21
Uma administradora de imóveis realizou um estudo sobre todos os imóveis alugados 
em duas regiões, A e B, levantando o seguinte quadro:
regiãO valOr médiO dO aluguel desviO-padrãO
A R$ 500,00 R$ 100,00
B R$ 500,00 R$ 150,00
Qual das regiões apresenta mais homogeneidade nos dados?
51ESTATÍSTICA E PESQUISA OPERACIONAL
Solução
Vamos calcular o coefi ciente de variação das regiões A e B.
Como o coefi ciente de variação da região A é menor que o da região B, segue que os 
preços dos aluguéis na região A são mais homogêneos que os preços dos aluguéis 
na região B.
pré-requisitOs para a cOmpreensãO da unidade
Nessa primeira unidade foi abordada a estatística descritiva, que é aquela que tem por 
fi nalidade descrever e sumarizar um conjunto de dados relativos a uma população ou 
a uma amostra.
Iniciamos a unidade com a apresentação de dados coletados em tabelas e gráfi cos e, 
em seguida, passamos a construir tabelas de distribuição de frequência, com objetivo 
de tabular os dados coletados.
Em um segundo momento dessa unidade, aprendemos as medidas de posição – 
média, moda, mediana. Essas medidas de posição são importantes, pois descrevem 
a posição do conjunto de dados e ainda, possibilitam determinar se um valor está 
entre o maior e o menor valor de uma série estatística, ou ainda, se está localizado 
no centro do conjunto.
Finalizamos a unidade com as medidas de dispersão (ou variabilidade), onde es-
tudados: amplitude, variância, desvio-padrão, coefi ciente de variação. As medidas 
52 ESTATÍSTICA E PESQUISA OPERACIONAL
de dispersão foram importantes no nosso estudo, pois serviram para avaliar o 
quanto os dados estavam semelhantes ou o quanto os dados estavam distantes 
do valor central.
É muito importante o domínio dessa unidade para seguirmos com nossos estudos.
saiba mais
Muitas análises estatísticas devem considerar características de populações que mu-
dam ao longo do tempo. Eis algumas observações sobre a vida nos Estados Unidos 
há 100 anos:
• 8% das casas tinham telefone.
• 14% das casas tinham banheira.
• A expectativa de vida era de 47 anos.
• O salário-hora médio era de 22 centavos.
• Houve aproximadamente 230 assassinatos em todo país.
Essas observações de 100 anos atrás estão em gritantes contrastes com os Estados 
Unidos de hoje. A pergunta é: qual a importância, nas análises estatísticas, da atuali-
zação das características estudadas em uma população?
53ESTATÍSTICA E PESQUISA OPERACIONAL
livrOs recOmendadOs
O livro “The Numbers Behind Numb3rs – Solving Crime with Ma-
thematics”, dos autores Kevin Devlin e Gary Lorden, descreve 
de uma maneira não técnica algumas das principais técnicas 
matemáticas atualmente disponível para a polícia, CIA e FBI. A 
maioria das técnicas descritas neste livro foi mencionada no se-
riado Numb3rs e descreve como elas podem ser utilizadas para 
fi ns jurídicos.
atividades para cOmpreensãO dO cOnteúdO
1) (CESGRANRIO) Em uma faculdade, uma amostra de 120 alunos foi coletada, 
tendo-se verifi cado a idade e o sexo desses alunos. Na amostra, apurou-se que 
45 estão na faixa de 16 a 20 anos, 60, na faixa de 21 a 25 anos, e 15 na faixa de 
26 a 30 anos. Os resultados obtidos encontram-se na Tabela abaixo.
idade
(em anOs)
númerO de alunOs
sexo feminino sexo masculino
n % n %
16 – 20 ? P 10 20
21 – 25 Q 40 ? R
26 – 30 S ? ? 16
Total 70 100 50 100
Quais são, respectivamente, os valores indicados pelas letras P, Q, R e S?
54 Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
a) 40 ; 28 ; 64 e 0.
b) 50 ; 28 ; 64 e 7.
c) 50 ; 40 ; 53,3 e 7.
d) 77,8 ; 28 ; 53,3 e 7.
e) 77,8 ; 40 ; 64 e 0.
2) (CESGRANRIO) Mariana fez sete ligações de seu aparelho celular. Os tempos, 
em minutos, de cada ligação, estão relacionados a seguir:
30; 15; 7; 20; 35; 25; 15
Sejam a, b e c, respectivamente, os tempos médio, modal e mediano do rol de 
tempos apresentado. É correto afirmar que:
a) a < b < c.
b) a < c < b.
c) b < a < c.
d) b < c < a.
e) c < a < b.
3) (CESGRANRIO) O Departamento de Recursos Humanos de uma empresa reali-
zou um levantamento dos salários dos 120 funcionários do setor administrativo e 
obteve o seguinte resultado:
faixa salarial 
(em salários mínimos) 
frequência 
relativa
de 0 a 2 25%
de 2 a 4 40%
de 4 a 6 20%
de 6 a 10 15%
55Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. A média, a me-
diana e o desvio-padrão dos salários, em salários mínimos, são, aproximadamente:
média mediana desviO-padrãO
a) 3,65 3,00 1,50
b) 4,25 3,00 1,50
c) 4,25 3,25 2,26
d) 3,65 3,00 2,26
e) 3,65 3,25 2,26
4) (FCC) A tabela abaixo corresponde à distribuição dos salários dos 40 empregados 
em uma empresa no mês de dezembro de 2013.
saláriOs (r$) 3.000 4.000 6.000 8.000 10.000 Total
númerO de empregadOs 5 15 8 10 2 49
Com relação às medidas de posição e de dispersão desta distribuição:
a) O valor da mediana é superior ao valor da média aritmética e também ao valor 
da moda dos respectivos salários dos empregados.
b) O valor da mediana dos salários dos empregados supera o valor da respectiva 
moda em R$ 2.000.
c) Concedendo um reajuste de 8% para todos os empregados, o novo desvio-pa-
drão correspondente fica multiplicado por 1,1664.
d) Concedendo um abono fixo de R$ 200 para todos os empregados, a nova va-
riância correspondente fica aumentada de 40.000 (R$)2.
56 ESTATÍSTICA E PESQUISA OPERACIONAL
e) Concedendo um reajuste de 10% para todos os empregados, o novo coefi cien-
te de variação correspondente não se altera.
5) (CESGRANRIO) A média das alturas de 100 pessoas é 175 cm, e o coefi ciente de 
variação é 4%. A variância das alturas das pessoas desse grupo, em cm2, é:
a) 2,25.
b) 5,06.
c) 7,0.
d) 43,75.
e) 49,0.
artigOs, sites e LINKS
DOCUMENTÁRiO
O Que é Estatística
O vídeo disponibilizado no YOUTUBE nos apresenta o 
conceito de estatística e suas aplicações em diversas 
áreas do saber. Ao assistir este vídeo você fi cará fas-
cinado sobre as diversas aplicações da estatística e o 
quanto esta disciplina é importando para a humanidade 
nos dias atuais.
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=-Wm9cxiXUe0>.
57ESTATÍSTICA E PESQUISA OPERACIONAL
O Prazer da Estatística
O documentário “O Prazer da Estatística – The Joy of 
Statistics” - leva os espectadores a uma viagem por meio 
do maravilhoso mundo da estatística para explorar o no-
tável poder que tem de mudar a nossa compreensão do 
mundo. Este documentário é apresentado pelo Professor Hans Rosling, cuja visão 
aberta, de expansão da mente e engraçadas palestras on-line têm feito dele uma lenda 
internacional da internet. Rosling é um homem que se deleita no glorioso mundo das 
estatísticas, e aqui ele explora sua história, como elas funcionam matematicamente e 
como elas podem ser usadas atualmente no computador para ver o mundo como ele 
realmente é, e não apenas como o imaginamos ser.
Disponívelem: <https://www.youtube.com/watch?v=xLr68J2yDJ8>.
prOpOsta para discussãO ON-LINE
O método científi co, quando aplicado para a solução de um problema científi co, fre-
quentemente gera dado (ou resultados) em grande quantidade e de grande complexi-
dade. Desse modo, a análise da massa de dados individuais na maioria das vezes não 
revela a informação subjacente, gerando a necessidade de algum tipo de condensação 
ou resumo dos dados. A Estatística Descritiva é a parte da estatística que desenvolve e 
disponibiliza métodos para resumo e apresentação dos dados estatísticos por meio de 
medidas descritivas, tabelas, gráfi cos, diagramas ou distribuições de frequência, com 
o objetivo de facilitar a compreensão e a utilização da informação ali contida.
O resumo da informação contida nos dados é na maioria das vezes feito por resumos 
numéricos dos valores de uma ou mais variáveis, denominadas medidas descritivas. 
As medidas descritivas são: medidas de posição, medidas de variação, medidas do 
formato e medidas de separação.
58 Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
O Administrador interage com profissionais de diversas áreas e pode usar ferramen-
tas que dão suporte à tomada de decisão na presença de incerteza. No entanto, a 
incerteza leva à má utilização dessas ferramentas, ocasionando interpretações distor-
cidas da realidade. Considere a charge a seguir:
Fonte: <www.flickr.com>. Acesso em: 01 jul. 2015
1) Agora, responda:
a) Do ponto de vista técnico, qual(is) crítica(s) você deve fazer ao analisar a situ-
ação apresentada na charge acima? Explique apresentando argumentos que 
sustente sua resposta.
b) Do ponto de vista ético, qual(is) crítica(s) você deve fazer ao analisar a situ-
ação apresentada na charge acima? Explique apresentando argumentos que 
sustente sua resposta.
Unidade ii - introdUção à 
probabilidade 
ObjetivOs a serem alcançadOs nesta unidade
Prezado(a) Acadêmico(a), ao terminar os estudos dessa unidade, você deverá ser 
capaz de:
• Compreender o conceito dos fenômenos probabilísticos e a probabilidade.
• Usar a teoria de probabilidade para realizar previsões.
• Aplicar as distribuições normal e binomial para resolver problemas do cotidiano.
60 Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
cOnsiderações iniciais sObre prObabilidade
A teoria das probabilidades nos permite construir modelos matemáticos que explicam 
um grande número de fenômenos coletivos ou individuais e fornecem informações 
para tomada de decisões.
Para melhor entender essa unidade, vamos relembrar alguns conceitos básicos:
A. Experimento - é qualquer processo que permite um pesquisador fazer obser-
vação. Exemplos: o preço das ações em uma bolsa de valores, o número de 
funcionários de uma empresa, o preço das taxas de juro no cheque especial, 
lançamento de um dado etc.
B. Experimento Aleatório - são fenômenos que, mesmo quando repetidos vá-
rias vezes, sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis. 
O resultado final sempre depende do acaso.
C. Evento - é qualquer conjunto de resultados de um experimento. O evento pode 
ser simples ou composto. Um evento simples é aquele em que um resultado 
não pode ser decomposto em componentes mais simples. Já o evento compos-
to, é aquele que pode ser decomposto em dois ou mais eventos simples. Um 
evento estatístico é um conjunto, para o qual definimos as seguintes operações:
I. ;
II. ;
III. ;
IV. .
D. Espaço amostral - consiste de todos os eventos simples possíveis de um 
experimento, ou seja, o espaço amostral consiste em todos os resultados 
de um experimento que não pode mais ser decomposto. Exemplo: no lança-
mento de um dado, o espaço amostral é formado por seis eventos, a saber, 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
61Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
Se considerarmos S como espaço amostral e E como evento: assim, qualquer que 
seja E, se E S (E está contido em S), então E é um evento de S. Daí,
• Se E = S, E é chamado de evento certo;
• Se E ⊂ S e E é um conjunto unitário, E é chamado de evento elementar;
• Se E = Ø, E é chamado de evento impossível.
Chamamos de probabilidade de um evento E (E ⊂ S) o número real P(E) tal que:
Em que é o número de elementos do evento E e é o número de elementos 
do espaço amostral.
Exemplo 1
No lançamento de um dado qual a probabilidade de obter um número par?
Solução
Para a situação do lançamento de dado temos que o espaço amostral é 
S = { 1,2,3,4,5,6 }, o qual possui 6 elementos. O evento, que é a ocorrência de núme-
ro par é o conjunto E = { 2,4,6 } que possui 3 elementos. Assim,
62 Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
Exemplo 2
(CESGRANRIO) Em uma caixa são colocados vários cartões, alguns amarelos, al-
guns verdes e os restantes pretos. Sabe-se que 50% dos cartões são pretos, e que, 
para cada três cartões verdes, há cinco cartões pretos. Retirando-se ao acaso um 
desses cartões, a probabilidade de que este seja amarelo é de:
A. 10%
B. 15%
C. 20%
D. 25%
E. 40%
Solução
Digamos que sejam colocados 100 cartões na caixa, logo pretos, que 50% do total, ou 
50 cartões, são pretos. Como a relação de pretos e verdes é para cada 3 verdes há 
5 pretos, então 50 pretos corresponderão a 30 verdes e, por conseguinte, amarelos 
serão 20. Daí,
Exemplo 3
(CESGRANRIO) Dois dados comuns, honestos, foram lançados simultaneamente. 
Sabe-se que a diferença entre o maior resultado e o menor é igual a um. Qual é a 
probabilidade de que a soma dos resultados seja igual a sete?
A. 1/3
B. 1/4
63Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
C. 1/5
D. 1/6
E. 1/7
Solução
No lançamento de dados os possíveis resultados obtidos são {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), 
(1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), 
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), 
(6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}. Vamos assinalar os resultados cuja diferença seja um. Assim, 
teremos 5 resultados favoráveis a diferença um. Daí, a probabilidade de que a soma 
dos resultados seja igual a sete é:
Exemplo 4
(CESGRANRIO) Foi observado que uma loja de departamentos recebe, por hora, 
cerca de 250 clientes. Destes,
I. 120 se dirigem ao setor de vestuário;
II. 90 ao setor de cosméticos;
III. 80 ao setor cinevídeo;
IV. 50 se dirigem aos setores de vestuário e de cosméticos;
V. 30 aos setores de cosméticos e de cinevídeo; e
VI. 30 aos setores de vestuário e cinevídeo.
Observou-se, ainda, que 50 clientes se dirigem a outros setores que não vestuário 
ou cosméticos ou cinevídeo. Observou-se, ainda, que 50 clientes se dirigem a outros 
64 Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
setores que não vestuário ou cosméticos ou cinevídeo. Qual a probabilidade de um 
cliente entrar nessa loja de departamentos e se dirigir aos setores de vestuário, cos-
méticos e cinevídeo?
A. 0,08.
B. 0,20.
C. 0,36.
D. 0,48.
E. 0,80.
Solução
Primeiramente montamos o Diagrama de Venn, como ilustrado abaixo. Assim e, em 
seguida, determinamos o valor de x.
Vestuário
80 – (30 – X) – (30 – X) – X
90 – (50 – X) – (30 – X) – X
120 – (50 – X) – (30 – X) – X
30 – X
30 – X50 – X
X
cineVídeo
cosméticos50 ToTal = 250
65Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
Daí, 
 
Assim, o diagrama de Venn fica como mostrado abaixo:
Vestuário
40
30
60 10
1030
20
cineVídeo
cosméticos50 ToTal = 250
Se P(A) é a probabilidade de um cliente entrar nessa loja de departamentos e se dirigir 
aos setores de vestuário, cosméticos e cinevídeo, então segue que 
66 Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
prObabilidade para eventOs 
independentes e mutuamente exclusivOs
Vejamos agora, como proceder aocálculo da probabilidade para o caso em que 
os eventos são independentes. Dizemos que dois eventos são independentes 
quando a realização (ou não realização) de um dos eventos não afeta a probabi-
lidade da realização do outro e vice-versa. Por exemplo, quando lançamos dois 
dados não viciados, o resultado obtido por um independe do resultado obtido no 
outro. No caso de eventos independentes, a probabilidade de que eles se rea-
lizem simultaneamente é igual ao produto das probabilidades de realização de 
cada evento.
Exemplo 5
Dois dados comuns, honestos, foram lançados simultaneamente. Qual a probabili-
dade de se obter o número 2 no primeiro dado e o número 5 no segundo dado?
Solução
Note que se trata de eventos independentes. Assim, a probabilidade de 
obtermos o número 2 na primeira jogada é e a probabilidade de 
se obter o número 5 no segundo dado é igual a . Logo, a probabi-
l idade de obtermos, simultaneamente, 2 na primeira jogada e 5 na segunda 
jogada é: .
67Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
Exemplo 6
(UFF - RJ) Em um jogo de bingo são sorteadas, sem reposição, bolas numera-
das de 1 a 75 e um participante concorre com a cartela reproduzida abaixo. Qual 
é a probabilidade de que os três primeiros números sorteados estejam nessa 
cartela?
b i n g O
5 18 33 48 64
12 21 31 51 68
14 30 60 71
13 16 44 46 61
11 27 41 49 73
Solução
Observe que se trata de eventos independentes. Assim, 
 ou 3%.
68 Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
Exemplo 7
(UNIRIO) Leia a tirinha abaixo:
Fonte: <http://meninomaluquinho.educacional.com.br/PaginaTirinha/>.
Lúcio está certo: desde o dia 07/07/2007, existem dois grupos de 7 Maravilhas do 
Mundo: as 7 do Mundo Antigo e as 7 do Mundo Moderno e nenhuma pertence a am-
bos os conjuntos. Suponha que se escolham, aleatoriamente, duas entre essas 14 
Maravilhas. Determine a probabilidade de ambas estarem em um mesmo grupo.
Solução
Como são eventos independentes, para que as Maravilhas sorteadas estejam em um 
dos grupos, teremos a probabilidade igual a para cada um dos 
grupos. Porém, como são dois grupos, a resposta será .
Exemplo 8
De dois baralhos de 52 cartas retiram-se, simultaneamente, uma carta do primeiro 
baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade da carta do primeiro baralho 
ser um rei e a do segundo ser o 5 de paus?
69Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
Solução
Como esses dois acontecimentos são independentes e simultâneos, vem que a proba-
bilidade de obtermos um rei do primeiro baralho é e a probabilidade de se 
obter o 5 de paus no segundo baralho é igual a . Logo, a probabilidade de 
obtermos um rei do primeiro baralho e um 5 de paus do baralho é: .
Vejamos agora, como proceder ao cálculo da probabilidade para o caso em que os 
eventos são mutuamente exclusivos. Dizemos que dois eventos são independen-
tes quando a realização (ou não realização) de um dos eventos excluiu a realização 
do outro e vice-versa. Por exemplo, quando lançamos uma moeda, o evento tirar a 
cara exclui o evento tirar coroa. No caso de eventos mutuamente exclusivos, a proba-
bilidade de que um ou outro evento se realize é igual à soma das probabilidades de 
realização de cada evento.
Exemplo 9
Em um lançamento de um dado não viciado, qual a probabilidade de se obter um nú-
mero não inferior a 5?
Solução
A probabilidade de se obter um número não inferior a 5 é a probabilidade de se obter 
5 ou 6. A probabilidade de se obter 5 é e a probabilidade de se obter 6 é 
. Assim, a probabilidade de se obter 5 ou 6 é .
70 Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
distribuiçãO de prObabilidade
Uma variável aleatória (normalmente representada por X) é uma variável que assume 
único valor numérico, determinando pelo acaso, para cada resultado de um experi-
mento, ou seja, é aquela cujos valores são determinados por processos acidentais, ao 
acaso, que não estão sob o controle do observador.
Vamos considerar o caso do lançamento simultâneo de duas moedas não viciadas. 
Para cada uma podemos obter CARA ou COROA. Assim, o espaço amostral é S = 
{(Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Ca), (Co, Co)}. Digamos que X represente o número de co-
roas que aparecem no espaço amostral. Assim, escrevemos a Tabela 5.
Tabela 5: Número de “coroas” que aparece no espaço amostral do 
lançamento simultâneo de duas moedas não viciadas
pOntO amOstral x
(Ca, Ca) 0
(Ca, Co) 1
(Co, Ca) 1
(Co, Co) 2
Uma distribuição de probabilidade é uma descrição que dá a probabilidade para cada 
valor da variável aleatória. Ela é frequentemente expressa na forma de um gráfico ou 
de uma tabela ou de uma equação.
Assim, podemos reescrever a Tabela 5 acrescentando a cada valor que aparece CO-
ROA a um valor de probabilidade. Assim,
71Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
Tabela 5 - Distribuição de probabilidade
pOntO 
amOstral
x p(x)
(Ca, Ca) 0 0
(Ca, Co) 1 ¼
(Co, Ca) 1 ¼
(Co, Co) 2 ½
-
Ao definir a distribuição de probabilidade, estabelecemos uma correspondência uní-
voca entre os valores da variável aleatória X e os valores da variável P(X) e essa 
correspondência define uma função, em que os valores possíveis para a variável 
aleatória definem o domínio da função e os valores de P(x) a imagem. Essa função 
é denominada função probabilidade da variável aleatória X e é representada por:
distribuição binomial
A distribuição de probabilidade binomial nos permite lidar com circunstâncias nas 
quais os resultados pertencem a duas categorias: favorável/desfavorável, certo/erra-
do, aceitável/defeituoso, sucesso/fracasso, sobreviveu/morreu etc. Dizemos que uma 
distribuição de probabilidade binomial resulta de um experimento que satisfaz as se-
guintes condições:
I. os experimentos têm um número fixo de tentativas;
II. as tentativas devem ser independentes;
72 Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
III. cada tentativa deve ter todos os resultados classificados em duas categorias 
(em geral, chamadas de sucesso ou fracasso);
IV. no transcorrer do experimento, a probabilidade p do sucesso e a probabilida-
de do insucesso q manter-se-ão constantes.
Em uma distribuição de probabilidade binomial, a probabilidade pode ser calculada 
usando a equação da probabilidade binomial:
Para x = 0, 1, 2, 3, ..., n. Na equação acima, n é o número de tentativas; x é o número 
de sucessos entre n tentativas; p a probabilidade de sucesso em qualquer tentativa; q 
é a probabilidade de fracasso em qualquer tentativa (q = 1 – p).
Exemplo 10
Uma moeda não viciada é lançada 10 vezes seguida e independente. Determine a 
probabilidade de serem obtidas 6 coroas nessas 10 provas.
Solução
Temos que n = 10, x = 6, p = 0,5 (pois a probabilidade de COROA ocorrer é ½) e q = 
0,5 (pois a probabilidade de CARA ocorrer é ½). Pela lei binomial, escrevemos:
73Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
Exemplo 11
Um teste é composto de sete questões do tipo classificar a sentença como verdadeira 
ou falsa. Determine a probabilidade de um candidato que responda todas ao acaso 
acertar pelo menos cinco questões.
Solução
Devemos calcular a probabilidade de se acertar 5, 6 ou 7 questões. A probabilidade 
de acertar é p = 0,5 e a probabilidade de errar é 0,5. Temos ainda que n = 7 e x = 5. 
Assim,
Daí, .
distribuição normal
Se uma variável aleatória contínua apresenta distribuição com gráfico simétrico e em 
forma de sino, como mostra a Figura 4 e que pode ser descrito pela equação:
74 Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
Dizemos que ela tem distribuição normal.
f(x)
x 
σ
µ
Figura 4 - Distribuição normal
propriedades da distribuição normal
I. A variável aleatória X pode assumir todo e qualquer valor real.
II. A representação gráficada distribuição normal é uma curva em forma de sino, si-
métrica em torno da média, que recebe o nome de curva normal ou de Gauss.
III. A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é igual a 1, já que 
essa área corresponde à probabilidade de a variável aleatória X assumir qual-
quer valor real.
IV. A curva normal é assintótica em relação ao eixo das abscissas, isto é, aproxi-
ma-se indefinidamente do eixo das abscissas sem, contudo, alcançá-lo.
V. Como a curva é simétrica em torno da média, a probabilidade de ocorrer valor 
maior que a média é igual à probabilidade de ocorrer valor menor do que a 
média, isto é, ambas as probabilidades são iguais a 0,5 ou 50%. Cada metade 
da curva representa 50% de probabilidade.
A distribuição normal padrão é uma distribuição de probabilidade normal com média 
 e desvio-padrão e área sob a curva de densidade igual a 1, como apre-
sentado na Figura 5.
75Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
f(x)
x 
σ
µ
µ = 0
σ = 1
-3 3-2 2-1 1
Figura 5 - Distribuição normal padrão
Quando temos em mãos uma variável aleatória com distribuição normal, nosso princi-
pal interesse é obter a probabilidade de essa variável aleatória assumir um valor em 
um determinado intervalo. Vejamos como proceder, por meio de um exemplo.
Exemplo 12
A concentração de um poluente em água liberada por uma fábrica tem distribuição 
normal com média 8 ppm e desvio-padrão 1,25 ppm. Qual a probabilidade, de que em 
um dado dia, a concentração do poluente esteja entre 8 e 10 ppm?
Solução
É fácil notar que essa probabilidade, indicada por, P(8 < X < 10), corresponde à área 
hachurada na figura abaixo:
8
X
10
76 Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
Para o cálculo da probabilidade, primeiro vamos calcular o parâmetro Z. Assim, vamos 
assumir que Z tem a distribuição normal reduzida, com média 0 e desvio-padrão 1, ou 
seja, P(8 < X < 10) = P(0 < X < 2). Temos que Z é definido como:
Assim, 
Agora procuramos Z na Tabela normal reduzida, como ilustrado abaixo.
z 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706
77Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
Assim, P(8 < X < 10) = P(0 < X < 2) = 0,4452. Logo, a probabilidade de que em um 
dado dia, a concentração do poluente esteja entre 8 e 10 ppm é de 0,4452 ou 44,52%.
Exemplo 13
A concentração de um poluente em água liberada por uma fábrica tem distribuição 
normal com média 8 ppm e desvio-padrão 1,25 ppm. Qual a probabilidade, de que 
em um dado dia, a concentração do poluente exceda o limite regulatório de 10 ppm?
Solução
É fácil notar que essa probabilidade, indicada por, P(X > 10), corresponde à área ha-
churada na figura abaixo:
8
X
10
Ou seja, P(X > 10) = P(X > 8) – P(8 <X<10) = 0,5 – 0,4452 = 0,0548.
Logo, a probabilidade de que em um dado dia, a concentração do poluente esteja 
acima de 10 ppm é de 0,0548 ou 5,48%.
78 ESTATÍSTICA E PESQUISA OPERACIONAL
pré-requisitOs para a cOmpreensãO da unidade
Nessa segunda unidade foi abordada introdução à teoria da probabilidade, bem como 
as duas principais distribuições de probabilidade: a distribuição normal e a binomial.
Iniciamos a unidade com a apresentação de eventos e espaço amostral. Em segui-
da, procedemos ao estudo do cálculo de probabilidade e, também, procedemos ao 
estudo do cálculo da probabilidade para eventos mutuamente exclusivos e eventos 
independentes.
Finalizamos a unidade com o cálculo da probabilidade para dados que seguem distri-
buição normal e distribuição binomial.
É muito importante o domínio dessa unidade para seguirmos com nossos estudos.
saiba mais
Probabilidades que desafi am a intuição
Em certos casos, nossas estimativas subjetivas de valores de probabilidades diferem 
drasticamente das probabilidades efetivas. Eis um exemplo clássico: se você respira 
profundamente, há mais de 99% de chance de inalar uma molécula que tenha sido 
exalada no último suspiro de Júlio César. A pergunta é: será possível estimar essa 
probabilidade?
79ESTATÍSTICA E PESQUISA OPERACIONAL
livrOs recOmendadOs
O escritor inglês, Aldous Huxley, afi rmou: “A normalidade é tão 
somente uma questão de estatística”. A sua obra, “Admirável 
Mundo Novo”, narra um hipotético futuro onde as pessoas são 
pré-condicionadas biologicamente e condicionadas psicologica-
mente a viverem em harmonia com as leis e regras sociais de 
uma sociedade organizada em castas. A sociedade abordada 
nesse “futuro” criado por Aldous Huxley não possui ética religio-
sa e valores morais que regem a sociedade contemporânea. Qualquer dúvida e inse-
gurança dos cidadãos são eliminadas com o consumo de droga sem efeitos colateral 
aparente, a qual é denominado “soma”. O conceito de família não existe.
atividades para cOmpreensãO dO cOnteúdO
1) (FCC) Suponha que certa Agência do Banco do Brasil tenha 25 funcionários, cujas 
idades, em anos, são as seguintes:
24 − 24 − 24 − 25 − 25 − 30 − 32 − 32 – 32 – 35 − 36 − 36 − 40 − 40 − 40 − 40 46 
– 48 – 48 – 50 − 54 − 54 − 60 − 60 − 65
A probabilidade de que, ao escolher-se aleatoriamente um desses funcionários, a 
sua idade seja superior a 48 anos é de:
a) 28%.
b) 27,4%.
c) 27%.
d) 25,8%.
e) 24%.
80 Estatística E PEsquisa OPEraciOnal
2) (CESGRANRIO) Em certa turma, 40% dos homens e 20% das mulheres falam 
inglês fluentemente. 80% das pessoas são homens. A probabilidade de um aluno 
fluente na língua inglesa, selecionado ao acaso, ser homem é:
a) 8/9.
b) 1/2.
c) 2/5.
d) 8/25.
e) 4/25.
3) (FGV) Se X tem distribuição normal com média 4 e variância 9, a probabilidade de 
X > 6 vale, aproximadamente:
a) 0,25.
b) 0,28.
c) 0,33.
d) 0,37.
e) 0,46.
4) (FGV) Em relação à distribuição normal, assinale a afirmativa incorreta.
a) Função de densidade de probabilidade é simétrica em relação à média.
b) Se X tem distribuição normal com média e variância , então a variável 
 tem distribuição normal padrão.
c) A probabilidade de que uma variável Z que tenha distribuição normal padrão 
seja maior do que 5 é aproximadamente igual a 0.
d) A média de uma variável aleatória que tenha distribuição normal pode ser negativa.
e) O valor da mediana é igual ao valor da média.
81ESTATÍSTICA E PESQUISA OPERACIONAL
5) (CESGRANRIO) Um carta tem de chances de chegar ao destino correto. Se seis 
cartas