Topografia poligonal etapas levantamento

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GENERALIDADES 
 
 
 
Conceito de Levantamentos Topográficos 
 
Um levantamento topográfico é um conjunto de operações com a 
finalidade de determinar a posição relativa de pontos na superfície 
terrestre. 
As determinações dão-se por meio de medições lineares e angulares, 
ligando (link) os pontos descritores dos objectos a serem representados 
com posterior processamento em modelo matemático adequado. 
Partindo-se do conceito de que Topografia é um caso particular da 
Geodesia, pode-se afirmar que os métodos planimétricos, com fins de 
levantamento, implantação ou posicionamento, devem ser encarados 
sumariamente como aplicações da geometria plana. 
 
Classificação de Métodos 
 
Quanto aos métodos, podem ser classificados em dois grupos distintos: 
 
Tipo 1: Envolve os métodos cuja solução se verifica por meio de uma 
transformação de coordenadas polares em cartesianas . 
ü Irradiação; 
ü Poligonal. 
 
Tipo 2: Envolve os métodos baseados na solução de triângulos: 
ü Intersecção Directa; 
ü Intersecção Inversa; 
ü Triangulação; 
ü Trilateração. 
 
A diferença entre os levantamentos geodésicos e topográficos deve ser 
vista como uma extensão dos conceitos de Geodesia e Topografia e, 
portanto, restringe-se ao modelo matemático associado à formas da Terra. 
Se por um lado, em grandes extensões é necessária a consideração de 
curvatura, em porções limitadas esta pode ser desprezada. Neste caso, o 
levantamento é dito topográfico e tem as seguintes consequências: 
ü A linha de nível é considerada uma linha recta; 
ü A linha de prumo possui a mesma direcção em todos os pontos da 
região e também é considerada como linha recta; 
ü Todos os ângulos são considerados planos; 
ü Todos os acidentes do terreno são representados pelas suas 
projecções ortogonais sobre o plano horizontal adoptado como 
referência (datum). 
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Etapas de um Levantamento 
 
Planeamento 
R Estabelecimento de especificações de precisão e controle; 
R Análise sobre documentos cartográficos preexistentes; 
R Visita preliminar de inspecção; 
R Selecção de métodos e instrumentos; 
R Selecção dos métodos de cálculo (compensações); 
R Selecção da forma de representação e apresentação. 
 
Execução 
R Implantação dos pontos necessários; 
R Medições de campo com registo das observações; 
R Poderá, eventualmente, haver adaptações do projecto, em função de 
particularidades não detectados na fase de planeamento. 
 
Cálculos/Conclusões/Relatórios 
R Execução final dos cálculos e preparação dos dados para desenho; 
R Redacção de relatório descrevendo todos os passos seguidos no 
projecto, bem como resultados obtidos. 
 
 
CONCEITOS BÁSICOS - ERROS 
 
Erros Sistemáticos 
São erros que ocorrem devido a condições conhecidas e que podem ser 
evitados através de técnicas especiais ou formulação matemática 
adequada. 
O erro sistemático é aquele que apresenta a mesma intensidade e tendência e que, 
portanto, se acumula a cada medida que é realizada. 
 
Exemplo: 
Uma régua em que o primeiro centímetro tem, na realidade, 1.1 cm. 
Qualquer medição que for feita estará eivada deste erro. 
 
Erros Acidentais 
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São erros cuja natureza é desconhecida e ocorrem de maneira desregrada 
e sem parâmetros de comparação. Sua tendência, portanto, não pode ser 
determinada, uma vez que ora acontece num sentido, ora noutro. 
Ao contrário dos erros sistemáticos, os acidentais tendem a ser neutralizados à medida 
que são realizadas observações adicionais. 
Exemplo: 
Medida de uma visada fora do ponto exacto que deveria ser visado. 
 
Erros Grosseiros 
Erros devidos à desatenção do observador (faz a leitura de 2º, por 
exemplo, mas escreve no impresso 22º), ou erro na digitação de dados 
(inversão de dígitos, por exemplo) podem causar distorção de uma medida 
realizada. Os erros deste tipo são os chamados grosseiros (blunders). 
Muitas vezes são facilmente identificáveis, devido ao valor completamente 
disparatado, todavia em alguns casos, podem representar uma ameaça ao 
trabalho realizado. Caso seja de pequena dimensão e, portanto não 
perceptível à primeira vista, pode ser necessário um trabalho estatístico 
para decidir da não inclusão duma certa medida eivada deste tipo de erro. 
 
 
IRRADIAÇÃO 
 
Método de levantamento em que, a partir um ponto de coordenadas 
conhecidas e uma dada direcção, obtemos as coordenadas de um único 
ponto (figura 1). É um método baseado no conceito de coordenadas 
polares. 
 
 
 
 
 
Figura 1 – Exemplo de irradiação 
a 
XP = XA + d sen (a+Az) 
P 
A 
N 
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Um termo muito utilizado é a irradiação múltipla, sobretudo no levantamento de 
pormenor, no qual a partir de um único ponto de coordenadas conhecidas e uma 
direcção conhecida, obtemos as coordenadas de vários pontos (figura 2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A definição dos pontos desejados será feita a partir da observação de ângulos entre 
uma direcção origem e a direcção que intercepta o ponto a ser levantado, bem como a 
distância ao mesmo. As medidas são SEMPRE a partir do ponto base da irradiação 
(figuras 1 e 2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O cálculo será executado por simples resolução de um triângulo de duas 
maneiras distintas, rectângulo sendo necessário os seguintes dados: 
§ Coordenadas de P0 e P1 (cálculo da direcção P1P0) – figura 3 
§ Coordenadas de P1+ direcção P1P0 
Estas são as soluções clássicas de transporte de coordenadas. 
a1 
a3 
a2 
Figura 2 – Exemplo de multi-irradiação 
Figura 3 – Exemplo de multi-irradiação 
a1 a3 
a2 
N 
N 
P0 
P1 (P0P1) 
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É fundamental perceber que na irradiação não há controle das 
observações, ou seja, após a medição dos dados que permitirão o cálculo 
das coordenadas de um ponto, serão utilizados os dados para formar uma 
solução única. Para se ter controle, em qualquer tipo de medição, é 
necessário uma ou mais informações adicionais. 
 
INTERSECÇÕES: DIRECTA E LATERAL 
 
Método de determinação das coordenadas dum ponto que consiste, 
exclusivamente, na medição de dois ângulos a partir de dois pontos 
conhecidos. É portanto importante salientar a inexistência de medições 
lineares neste tipo de trabalho. 
As intersecções são classificadas da seguinte forma: 
§ Intersecção directa ou à vante; 
§ Intersecção lateral. 
 
Intersecção Directa 
A partir de dois pontos de coordenadas conhecidas, ou seja, a partir de 
uma base (distância) conhecida, são executadas medições angulares de 
forma a determinar as coordenadas de um ponto (figura 4). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a1 a2 
A B 
P 
Figura 4 – Exemplo de intersecção directa 
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Onde: 
§ A e B são pontos de coordenadas conhecidas 
§ P ponto a determinar 
§ a1 e a2 ângulos observados 
 
Intersecção Lateral 
É um método de levantamento idêntico à intersecção directa, todavia, um 
dos pontos de coordenadas conhecidas não pode ser ocupado (figura 5). 
 
As observações são feitas a partir dum 
dos pontos de coordenadas conhecidas 
e do ponto a ser determinado. Note-se 
que na intersecção são medidos apenas 
ângulos.Problema da Intersecção directa 
No momento da medida dos ângulos da triangulação, em campo, é 
fundamental a orientação da base AB. A não orientação acarretará em 
dois resultados possíveis (figura 6). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a1 
a2 
A B 
P 
Figura 5 – Exemplo de intersecção lateral 
A B 
P 
Figura 6 – Posição de P sem orientação 
P’ 
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Cálculo de P 
Será apresentada a seguir uma formulação para o cálculo de P. Não 
considerando relevante o desenvolvimento matemático completo, será 
apresentada apenas a expressão final das coordenadas de P. 
 
 
 
 
Discussão sobre Intersecção 
A intersecção é realizada a partir da medição de dois ângulos para 
obtenção de um ponto, mas a observação das duas medidas é necessária 
para o cálculo de coordenadas. Isso leva-nos a concluir que, apesar de 
fazermos duas medidas, nenhuma delas é informação redundante. 
Portanto, não há controle na intersecção. 
Para haver controle seria necessário realizar outra triangulação com um 
terceiro ponto (figura 8). 
 
 
 
 
 
 
 
 
a b 
A B 
P 
Figura 7 – Figura auxiliar para cálculo 
A B 
P 
Figura 8 – Controle de uma intersecção 
C 
ba
ba
gg
gMgMPP
M BAABP cotcot
cotcot)(
+
++-
=
ba
ba
gg
gPgPMM
P BABAP cotcot
cotcot)(
+
++-
=
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Condições favoráveis 
É latente (analisando as fórmulas) que em função das figuras da 
triangulação, diferente será a subsequente propagação de erros. As 
representações que permitem um ajustamento mais simples são as 
seguintes: 
§ Triângulo rectângulo em P; 
§ O ângulo do vértice P (g) próximo de 90º e a e b maiores que 30º; 
§ Triângulos equiláteros; 
§ g, a e b maiores que 30º, sendo g o maior; 
§ Lados maiores que 300 metros. 
 
Intersecção Inversa 
 
Consiste na determinação das coordenadas de um ponto P por 
observações das direcções a 3 pontos de coordenadas conhecidas. 
Este método também é conhecido como problema de Pothenot ou 
intersecção à ré. 
O cálculo é feito por meio dos ângulos (a e b) sob os quais são 
observadas as bases (figura 9). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a b 
A M 
B 
P 
Figura 9 – Intersecção Inversa, Problema de Pothenot ou Intersecção à Ré 
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A solução geométrica é obtida na intersecção dos círculos determinantes AMP e BMP, 
portanto é pressuposto básico do método que os pontos determinantes A, M e B não se 
situem sobre o mesmo círculo, ou próximo, juntamente com P (figura 10). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
É importante ressaltar que na intersecção inversa, apesar de existirem três pontos de 
coordenadas conhecidas, não há controle de medição. 
À primeira vista é melhor fazer uma dupla intersecção do que uma intersecção inversa, 
porém deve-se ressaltar que o tempo necessário para realizar uma dupla intersecção 
seria bastante superior. Note que neste processo há vários deslocamentos a realizar 
enquanto que naquele ocupamos, somente, um ponto. 
Por outro lado, é extremamente difícil encontrar três pontos de coordenadas 
conhecidas bons para executar as medidas. Portanto mais complicado será encontrar o 
quarto ponto para se fazer o controle. 
 
Aspectos Comparativos 
 Irradiação 
Intersecção 
Directa 
Intersecção 
Inversa 
Informações 
Origem 
Direcção 
2 Pontos 3 Pontos 
Observações 
1 distância 
1 ângulo 
2 ângulos 2 Ângulos 
Ponto Estação 1 2 1 
a 
b 
A B 
M 
P 
P 
P 
Figura 10 – AMP e BMP 
pertencentes ao mesmo círculo
Solução 
indeterminada 
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POLIGONAL 
 
É um conjunto de pontos ligados geometricamente através da medição 
sucessiva de ângulos e distâncias (figura 1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Até ao aparecimento dos medidores electrónicos de distância (EDM), a 
poligonal era bastante restrita devido à dificuldade de medição do lado 
poligonal, geralmente por métodos taqueométricos ou estadimétricos, com 
as consequentes limitações. 
Desde então, tem-se demonstrado que a poligonal é dos métodos mais 
eficazes para o estabelecimento de redes de apoio em regiões de diversa 
natureza. 
Pelo próprio conceito associado, subentende-se que dois pontos 
consecutivos são intervisíveis. 
 
Classificação de uma Poligonal 
As poligonais classificam-se de acordo com a forma e a precisão. 
 
a) Classificação devida à forma: 
i) Poligonal Controlada 
Quando os pontos de partida e fecho são definidos, ou seja, pontos de 
partida e chegada de coordenadas conhecidas e com orientação 
azimutal também definida. 
ii) Poligonal Não-Controlada 
São as poligonais que possuem apenas um único ponto (partida) de 
coordenadas conhecidas. 
 
OBS: Há, ainda, o conceito de poligonal aberta e fechada. No contexto 
desta aula, entenda-se por “poligonal fechada” ou de “rabo na boca” 
aquela em que o ponto de partida e de chegada são os mesmos e por 
“poligonal aberta” aquela em que os pontos mencionados são distintos. 
Não há interesse excessivo em conhecer esse tipo de nomenclatura, o 
3 
Az 
a1 
a2 
a3 d2 d1 
d3 
1 
2 
Figura 9 – Exemplo de poligonal 
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fundamental é ter bem claro os conceitos relativos ao controle, precisão e 
execução de poligonais. 
Podemos ainda citar, quando os desenvolvimentos poligonais são 
executados em conjunto, e não separadamente, as malhas poligonais. 
Exemplos de poligonais: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que na poligonal há três tipos de controle a verificar-se, a saber: 
§ Linear; 
§ Angular; 
§ Azimutal. 
 
b) Classificação devida à precisão 
Uma Poligonal de alta precisão terá a maior precisão possível. 
O seu desenvolvimento é especial. 
 
Tolerâncias para Poligonais 
 
 Tolerância angular (“) * 
Tolerância linear 
(m) 
Alta precisão n 05,0005,0 +× L 
Média precisão n×2 1,001,0 +× L 
Baixa precisão n×4 L×06,0 
 
 
As poligonais podem-se classificar, consoante a precisão decrescente da 
respectiva execução, em: 
 
§ Poligonais de apoio básico; 
§ Poligonais de apoio suplementar; 
§ Poligonais topográficas. 
N 
Poligonal Fechada 
3 
Az 
a1 
a2 
a3 d2 d1 
d3 
1 
2 
Poligonal Aberta 
Figura 10 – Exemplos de poligonal 
n : nº de lados 
da poligonal 
 
å=
i
idL