Caderno_GA2011-ok

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Geometria Analítica
Silvio Antonio Bueno SalgadoJander Pereira dos Santos
MATEMÁTICA
Graduação
Silvio Antonio Bueno SalgadoJander Pereira dos Santos
Geometria Analítica
MEC / SEED / UAB2011
S164g Salgado, Silvio Antonio Bueno Geometria analítica / Silvio Antonio Bueno Salgado, Jander Pereira dos Santos. — São João del-Rei, MG : UFSJ, 2011. 165p. Graduação em Matemática. 1. Geometria analítica. 2. Matemática I.Santos, Jander Pereira. II. Título.CDU: 514.12 
Reitor Helvécio Luiz Reis Coordenador UAB/NEAD/UFSJ Heitor Antônio GonçalvesComissão Editorial: Fábio Alexandre de Matos
 Flávia Cristina Figueiredo Coura
 Geraldo Tibúrcio de Almeida e Silva
 José do Carmo Toledo
 José Luiz de Oliveira
 Leonardo Cristian Rocha (Presidente)
 Maria Amélia Cesari Quaglia
 Maria do Carmo Santos Neta
 Maria Jaqueline de Grammont Machado de Araújo
 Maria Rita Rocha do Carmo
 Marise Maria Santana da Rocha
 Rosângela Branca do Carmo
 Rosângela Maria de Almeida Camarano Leal
 Terezinha Lombello FerreiraEdição Núcleo de Educação a Distância
 Comissão Editorial - NEAD-UFSJCapa/Diagramação 
 Eduardo Henrique de Oliveira Gaio
SUMÁRIO
Pra começo de conversa... - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7
1 Introdução aos Vetores - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 91.1 Conceitos Básicos- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 11 1.2 O Conceito de Vetor- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 13 1.3 Operações com Vetores - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 16 1.3.1 Adição de vetores- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 16 1.3.2 Diferença de Vetores- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 17 1.3.3 Multiplicação por Escalar- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 18
2 Vetores: Um Tratamento Algébrico - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 21 2.1 Vetores no Plano - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -23 2.2 Operações com Vetores - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 25 2.3 Vetores no Espaço - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 30
3 Produtos de Vetores - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 35 3.1 Produto Escalar - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 37 3.2 Ângulo entre Vetores- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 38 3.3 Produto Vetorial - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 42 3.4 Produto Misto - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 46
4 Retas no Plano e no Espaço - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 49 4.1 Algumas Formas de Escrever a Equação de uma Reta - - - - - - - - - - - - - - - - - - 51 4.2 Posições Relativas de Retas - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 57
 4.3 Ângulos entre Retas - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 60 4.4 Distância de Ponto a Reta - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 64
5 Planos - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 69 5.1 Equação de um Plano - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 71 5.2 Posições relativas de reta e plano - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 76 5.3 Posições Relativas de Planos - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 79 5.4 Ângulo entre Reta e Plano - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 83 5.5 Ângulo entre Dois Planos - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 84 5.6 Distância de Ponto a Plano - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 86
6 Mudança de Coordenadas - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 91 6.1 Coordenadas Polares - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 93 6.2 Coordenadas Cilíndricas - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 95 6.3 Coordenadas Esféricas - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 97 6.4 Rotação e Translação - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 99 6.4.1 Rotação dos Eixos Coordenados - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 104 6.4.2 Translação dos Eixos Coordenados - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 106
7 Cônicas - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 109 7.1 Introdução - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 111 7.2 Elipse - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 113 7.2.1 Equação da Elipse com Centro na Origem do Sistema - - - - - - - - - - - - 106 7.2.2 Equação da Elipse com Centro no Ponto O′(x0, y0) - - - - - - - - - - - - - - - - 120 7.3 Hipérbole - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 126 7.3.1 Equação da Hipérbole com Centro na Origem - - - - - - - - - - - - - - - - - - 128 7.3.2 Equação da Hipérbole com Centro no Ponto O′(x0, y0) - - - - - - - - - - - - - 132
 7.4 Parábola - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 137 7.4.1 Equação da Parábola com Vértice na Origem - - - - - - - - - - - - - - - - - - 138 7.4.2 Parábola com Vértice no Ponto V (x0, y0) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 142
8 Superfícies Quádricas - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 147 8.1 Introdução - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 149 8.2 Elipsoide - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 150 8.3 Hiperboloide de uma Folha - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 152 8.4 Hiperboloide de Duas Folhas - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 154 8.5 Paraboloide Elíptico - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 156 8.6 Paraboloide Hiperbólico - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 158
 8.7 Superfície Cônica - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 159
 8.8 Superfície Cilíndrica - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 161
Para Final de Conversa... - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 163
Referências - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 165
capítulo
Para Começo de Conversa... 
Prezado(a) Aluno(a): 
É com muita satisfação que estamos iniciando o estudo da disciplina de Geometria Analítica. Convido cada um de vocês para mergulharmos profundamente nesta disciplina. 
Todos nós já estudamosde alguma forma a disciplina chamada Geometria Analítica no ensino médio. Aqui, estudaremos a Geometria Analítica com tratamento vetorial. Estamos 
falando de Geometria Analítica, mas, você saberia dizer o que significa essa expressão? 
Como ela surgiu? 
A geometria analítica, se baseia nos estudos da geometria através da utilização da álgebra. Os estudos iniciais estão ligados ao matemático francês, René Descartes (1596 -1650), criador do sistema de coordenadas cartesianas. Os estudos relacionados à Geometria Analítica datam seu início no século XVII. Descartes, ao relacionar a Álgebra com a Geometria, criou princípios matemáticos capazes de analisar por métodos geométricos as propriedades do ponto, da reta e da circunferência, determinando distâncias entre eles, localização e pontos de coordenadas. 
De agora em diante, nosso principal objetivo será de aproveitar essa disciplina da melhor 
forma possível, a fim de que você possa enriquecer seus conhecimentos, revisando alguns 
conceitos e conhecendo outros. Para elaboração deste texto, as principais referências utilizadas foram Winterle (2006) e Boulos (1997). 
Os conteúdos que abordaremos, nesta disciplina, são distribuídos em oito capítulos (ou 
unidades). O tempo que você terá para cursar essa disciplina será de sessenta dias e você deverá se organizar para estudar os seguintes tópicos: 
•	 Introdução aos Vetores 
•	 Vetores: Um Tratamento Algébrico
•	 Produtos de Vetores
•	 Retas no Plano e no Espaço
•	 Planos
•	 Mudança de Coordenadas
•	 Cônicas
•	 Superfícies Quádricas 
Importante! Procure se organizar e dedicar da melhor forma possível a esta disciplina. 
Caso você tenha qualquer tipo de dificuldade, procure trocar ideias com o tutor presencial, com o tutor a distância ou com o professor da disciplina. 
Que cada um de vocês aproveitem o máximo esta disciplina. Bons estudos! 
Os Autores. 
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capítulo 1
Introdução aos Vetores 
Objetivo
• Construir vetores no plano usando as operações vetoriais.
1.1 Conceitos Básicos
Quando nós falamos em vetores, geralmente, o que nos vem em mente é uma seta. Mas
não podemos ter isso como definição. Tal seta nos transmite uma ideia de deslocamento
ou de translação. Basicamente, podemos imaginar um ponto se deslocando de A para
B. Essa é a idéia mais simples que um vetor nos transmite. Assim, o deslocamento é
retilíneo, nos dando ideia de direção associada a uma reta. A extremidade da seta nos dá
ideia de sentido e o comprimento da seta nos mostra, segundo uma unidade, a distância
entre os pontos A e B. Note que tal seta que estamos imaginando não é um vetor, mas
representa a idéia que um vetor ou uma grandeza vetorial encerra. Vamos iniciar nossa
conversa, para atingirmos a definição precisa de vetor.
Segundo WINTERLE (2006), uma reta r é orientada quando se fixa nela um sentido
de percurso, considerado positivo e indicado por uma seta, como mostra a figura abaixo.
O sentido oposto é negativo. Uma reta orientada é denominada eixo.
Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos; o primeiro
chamado origem do segmento, o segundo chamado extremidade.
O segmento orientado de origem A e extremidade B será representado por AB e, geo-
metricamente, indicado por uma seta que caracteriza visualmente o sentido do segmento.
Um segmento nulo é aquele cuja extremidade coincide com a origem.
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Se AB é um segmento orientado, o segmento orientado BA é oposto de AB.
Fixada uma unidade de comprimento, a cada segmento orientado pode-se associar um
número real, não negativo, que é a medida do segmento em relação àquela unidade. A
medida do segmento orientado é o seu comprimento ou seu módulo. O comprimento do
segmento AB é indicado por AB.
Assim, o comprimento do segmento AB representado na figura anterior é de 5 unidades
de comprimento:
AB = 5 u.c
Agora, observe que:
• Os segmentos nulos têm comprimento igual a zero.
• AB = BA.
Dois segmentos orientados não nulos AB e CD têm a mesma direção se as retas
suportes desses segmentos são paralelas ou coincidentes.
Então, podemos enfatizar que:
• Só se pode comparar os sentidos de dois segmentos orientados se eles têm mesma
direção.
• Dois segmentos orientados opostos têm sentidos contrários.
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Dois segmentos orientados, AB e CD, são equipolentes quando têm a mesma direção,
o mesmo sentido e o mesmo comprimento.
• Dois segmentos nulos são sempre equipolentes.
• A equipolência dos segmentos AB e CD é representada por AB ∼ CD.
Propriedades da Equipolência
1. AB ∼ AB (reflexiva).
2. Se AB ∼ CD, CD ∼ AB (simétrica).
3. Se AB ∼ CD, CD ∼ EF , AB ∼ EF (transitiva).
4. Dado um segmento orientado AB e um ponto C, existe um único ponto D tal que
AB ∼ CD.
1.2 O Conceito de Vetor
Definição 1.2.1. Vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de
todos os segmentos orientados equipolentes a AB.
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Se indicarmos com −→v este conjunto, simbolicamente, poderemos escrever: −→v =
XY/XY ∼ AB, em que XY é um segmento qualquer do conjunto.
O vetor determinado por AB é indicado por
−→
AB ou B − A ou −→v .
Um mesmo vetor
−→
AB é determinado por uma infinidade de segmentos orientados,
chamados representantes desse vetor, e todos equipolentes entre si. Assim, um segmento
determina um conjunto que é o vetor, e qualquer um destes representantes determina
o mesmo vetor. Portanto, com origem em cada ponto do espaço, podemos visualizar
um representante de um vetor. Usando um pouco mais nossa capacidade de abstração,
se considerarmos todos os infinitos segmentos orientados de origem comum, estaremos
caracterizando, através de representantes, a totalidade dos vetores do espaço. Ora, cada
um destes segmentos é um representante de um só vetor. Consequentemente, todos os
vetores se acham representados naquele conjunto que imaginamos.
As características de um vetor−→v são as mesmas de qualquer um de seus representantes,
isto é: o módulo, a direção e o sentido do vetor são o módulo, a direção e o sentido de
qualquer um de seus representantes.
O módulo de −→v é denotado por |−→v |.
Dois vetores
−→
AB e
−−→
CD são iguais, se, e somente se, AB ∼ CD.
Os segmentos nulos, por serem equipolentes entre si, determinam um único vetor,
chamado vetor nulo ou vetor zero, e que é denotado por
−→
O .
Dado um vetor −→v = −→AB, o vetor −→BA é o oposto de −→AB e se indica por −−→AB ou por
−−→v .
Um vetor −→v é unitário, se |−→v | = 1.
Definição 1.2.2. Versor de um vetor não nulo −→v é o vetor unitário de mesma direção e
mesmo sentido de −→v .
Os vetores −→u1 e −→u2 da figura são vetores unitários, pois ambos têm módulo 1. No
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entanto, apenas −→u1 tem a mesma direção e o mesmo sentido de −→v . Portanto, este é o
versor de −→v .
Dois vetores −→u e −→v são colineares, se tiverem a mesma direção. Em outras palavras:
−→u e −→v são colineares se tiverem representantes AB e CD pertencentes a uma mesma
reta ou a retas paralelas.
Se os vetores não nulos −→u , −→v e −→w (o número de vetores não importa) possuem
representantes AB, CD e EF pertencentes a um mesmo plano pi, diz-se que eles são
coplanares.
Guardemos bem o seguinte: dois vetores −→u e −→v quaisquer são sempre coplanares,
pois podemos sempre tomar um ponto no espaço e, com origem nele, imaginar os dois re-
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presentantes de −→u e −→v pertencendo a um plano pi que passa por este ponto.(WINTERLE,
2006).
1.3 Operações com Vetores
1.3.1 Adição de vetores
Sejam os vetores −→u e −→v representados pelos segmentos orientados AB e BC.
Os pontos A e C determinam um vetor −→s que é, por definição, a soma dos vetores −→u
e −→v , isto é, −→s = −→u +−→v .
Propriedades da adição
1. Comutativa: −→u +−→v = −→v +−→u .
2. Associativa: (−→u +−→v ) +−→w = −→u + (−→v +−→w ).
3. Existe um só vetor nulo
−→
O tal quepara todo o vetor −→v se tem: −→v +−→O = −→O +−→v =
−→v .
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4. Qualquer que seja o vetor −→v , existe um só vetor −−→v (vetor oposto de −→v ) tal que
−→v + (−−→v ) = −−→v +−→v = −→O .
1.3.2 Diferença de Vetores
Chama-se diferença de dois vetores −→u e −→v , e se representa por −→d = −→u −−→v , ao vetor
−→u + (−−→v ).
Dados dois vetores −→u e −→v , representados pelos segmentos orientados AB e AC, res-
pectivamente, e construído o paralelogramo ABCD , verifica-se que a soma −→s = −→u +−→v
é representada pelo segmento orientado AD e que a diferença
−→
d = −→u −−→v é representada
pelo segmento orientado CB.
Exemplo 1.3.1. Dados dois vetores −→u e −→v não paralelos, construa, no mesmo gráfico,
os vetores −→u +−→v , −→u −−→v , −→v −−→u e −−→u −−→v , todos com origem em um mesmo ponto.
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1.3.3 Multiplicação por Escalar
Dados um vetor −→v 6= −→0 e um número real (ou escalar) k 6= 0, chama-se produto do
número real k pelo vetor −→v o vetor −→p = k−→v , tal que:
a) módulo: |−→p | = |k−→v | = |k||−→v |;
b) direção: a mesma de −→v ;
c) sentido: o mesmo de −→v , se k > 0, e contrário ao de −→v , se k < 0
Se k = 0 ou −→v = 0, o produto é o vetor −→O . Se k é um escalar não nulo, a notação
−→v /k significa 1/k−→v . Se −→v é um vetor não nulo, o vetor −→v /|−→v | é o versor de −→v .
Propriedades da Multiplicação por Escalar
Se −→u e −→v são vetores quaisquer, e a e b, números reais, temos:
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1. Associativa: a(b−→v ) = (ab)−→v .
2. Distributiva em relação à adição de escalares: (a+ b)−→v = a−→v + b−→v .
3. Distributiva em relação à adição de vetores: a(−→u +−→v ) = a−→u + a−→v .
4. Identidade: 1−→v = −→v .
Dois vetores não nulos −→u e −→v são paralelos, se, e somente se, existe um escalar k tal
que −→u = k−→v (e, consequentemente, k 6= 0 e −→v = −→u /k).
Atividade
1. Dados dois vetores −→u e −→v não paralelos, construa em uma mesma figura os vetores
2−→u + 3−→v , 3−→u − 2−→v , −−→v −−→u e todos com origem em um mesmo ponto.
19
capítulo
21
capítulo 2
Vetores:
Um Tratamento Algébrico 
Objetivos
• Estabelecer a igualdade entre dois vetores;
• Manipular operações entre vetores;
• Reconhecer vetores paralelos;
• Representar vetores no espaço.
2.1 Vetores no Plano
Segundo WINTERLE (2006), dados dois vetores −→v1 e −→v2 , não colineares, qualquer vetor
−→v (coplanar com −→v1 e −→v2) pode ser decomposto segundo as direções de −→v1 e −→v2 e cuja
soma seja −→v . Em outras palavras, iremos determinar dois números reais a1 e a2 tais que:
−→v = a1−→v1 + a2−→v2 (2.1)
Quando o vetor −→v estiver representado por 2.1 dizemos que −→v é combinação linear
de −→v1 e −→v2 . O par de vetores −→v1 e −→v2 , não colineares, é chamado base do plano. Aliás,
qualquer conjunto {−→v1 ,−→v2} de vetores não colineares constitui uma base no plano. Os
números a1 e a2 da representação 2.1 são chamados componentes ou coordenadas de −→v
em relação à base {−→v1 ,−→v2}. O vetor a1−→v1 é chamado projeção de −→v sobre −→v1 segundo a
direção de −→v2 . Do mesmo modo, a2−→v2 é a projeção de −→v sobre −→v2 segundo a direção de
−→v1 .
Na prática, as bases mais utilizadas são as bases ortonormais.
Uma base {−→e1 ,−→e2} é dita ortonormal se os seus vetores forem ortogonais e unitários,
isto é, −→e1 ⊥ −→e2 e |−→e1 | = |−→e2 | = 1.
Dentre as infinitas bases ortonormais no plano, uma delas é particularmente impor-
tante. Trata-se da base que determina o conhecido sistema cartesiano ortogonal xOy. Os
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vetores ortogonais e unitários, neste caso, são simbolizados por
−→
i e
−→
j , ambos com ori-
gem em O e extremidades em (1, 0) e (0, 1), respectivamente, sendo a base C = {−→i ,−→j }
chamada canônica. Portanto,
−→
i = (1, 0) e
−→
j = (0, 1).
Daqui por diante, trataremos somente da base canônica.
Dado um vetor −→v qualquer do plano , existe uma só dupla de números x e y tal que
−→v = x−→i + y−→j (2.2)
Os números x e y são as componentes de −→v na base canônica. A primeira componente
é chamada abscissa de −→v e a segunda componente y é a ordenada de −→v .
O vetor −→v será também representado por
−→v = (x, y) (2.3)
dispensando-se a referência à base canônica C.
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A igualdade anterior é chamado expressão analítica de −→v . Para exemplificar, veja
alguns vetores e suas correspondentes expressões analíticas:
3
−→
i − 5−→j = (3,−5) 3−→j = (0, 3) − 4−→i = (−4, 0)
Parece óbvio o que se segue, mas a definição de igualdade de vetores é fundamental
para continuarmos o estudo de Geometria Analítica.(WINTERLE,2006).
Dois vetores −→u = (x1, y1) e −→v = (x2, y2) são iguais se, e somente se, x1 = x2 e y1 = y2,
escrevendo-se −→u = −→v .
Exemplo 2.1.1. O vetor −→u = (x+ 1, 4) é igual ao vetor −→v = (5, 2y − 6) se x+ 1 = 5 e
2y − 6 = 4. Assim, se −→u = −→v , então x = 4, y = 5 e −→u = −→v = (5, 4).
Atividade
Considere os vetores −→u = (m+ 2n, n− 7) e −→v = (4−m,n+m+ 9). Existem valores de
m e n de modo que −→u = −→v ?
2.2 Operações com Vetores
Você deve ter notado que já estudamos operações entre vetores. Por que então, tudo
isso novamente? A questão é que estudamos operações entre vetores do ponto de vista
geométrico. Agora daremos um enfoque algébrico para o que fizemos anteriormente.
Sejam os vetores −→u = (x1, y1) e −→v = (x2, y2) e α ∈ <. Define-se:
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1. −→u +−→v = (x1 + x2, y1 + y2)
2. α−→u = (αx1, αx2)
Portanto, para somar dois vetores, somam-se as correspondentes coordenadas, e para
multiplicar um número real por um vetor, multiplica-se cada componente do vetor por
este número.
Exemplo 2.2.1. Determinar o vetor −→w na igualdade 3−→w + 2−→u = 1
2
−→v +−→w , sendo dados
−→u = (3,−1) e −→v = (−2, 4).
A equação pode ser resolvida como uma equação numérica:
6−→w + 4−→u = −→v + 2−→w =⇒ 6−→w − 2−→w = −→v − 4−→u =⇒ 4−→w = −→v − 4−→u =⇒
−→w = 1
4
−→v −−→u
Substituindo −→u e −→v na equação acima, vem
−→w = 1
4
(−2, 4)− (3,−1) =⇒ −→w = (−1
4
, 1)− (3,−1) =⇒ −→w = (−1
2
+ (−3), 1 + 1) =⇒
−→w = (−7
2
, 2)
Vamos considerar agora o vetor
−→
AB de origem no ponto A(x1, y1) e extremidade em
B(x2, y2).
26
Os vetores
−→
OA e
−−→
OB têm expressões analíticas
−→
OA = (x1, y1) e
−−→
OB = (x2, y2). Por
outro lado, do triângulo OAB da figura, vem
−→
OA +
−→
AB =
−−→
OB em que
−→
AB =
−−→
OB −−→OA
ou
−→
AB = (x2, y2) − (x1, y1) e −→AB = (x2 − x1, y2 − y1) isto é, as componentes de −→AB são
obtidas subtraindo-se das coordenadas da extremidade B as coordenadas da origem A,
razão pela qual também se escreve
−→
AB = B − A.
É importante lembrar que um vetor tem infinitos representantes que são os segmentos
orientados de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido. E, dentre os infinitos
representantes do vetor
−→
AB, o que melhor o caracteriza é aquele que tem origem em O(0, 0)
e extremidade em P = (x2 − x1, y2 − y1).
O vetor −→v = −→AB é também chamado vetor posição ou representante natural de −→AB.
Por outro lado, sempre que tivermos −→v = −→AB ou −→v = B − A podemos também
concluir que B = A+−→v ou B = A+−→AB, isto é, o vetor −→v “transporta” o ponto inicial
A para o ponto extremo B.
Exemplo 2.2.2. Dados os pontos A(−1, 2), B(3,−1) e C(−2, 4), determinar o ponto D
de modo que
−−→
CD =
1
2
−→
AB.
Seja D(x, y). Então,
−−→
CD = D−C = (x, y)− (−2, 4) = (x+2, y−4) e −→AB = B−A =
27
(3,−1)− (−1, 2) = (4,−3). Logo,
(x+ 2, y − 4) = 1
2
(4,−3) (x+ 2, y − 4) = (2, −3
2
)
Da igualdade anterior concluimos que
x+ 2 = 2
y − 4 = −3
2
Portanto, D(0,
5
2
).
Para você Refletir: Pense outra forma de resolver este exercício.
Vimos anteriormente, como determinar o vetor definido por dois pontos. Considere
agora o segmento de extremos A(x1, y1) e B(x2, y2). SendoM(x, y) o ponto médio de AB,
podemos expressar de forma vetorialcomo
−−→
AM =
−−→
MB ou
(x− x1, y − y1) = (x2 − x, y2 − y)
e daí
x− x1 = x2 − x
e y − y1 = y2 − y).
Com isso , temos
M(
x1 + x2
2
,
y1 + y2
2
)
28
Exemplo 2.2.3. Observe que o ponto médio do segmento de extremos A(−2, 3) e B(6, 2)
é
M(
−2 + 6
2
,
3 + 2
2
)
ou
M(2,
5
2
)
Você se lembra da definição de vetores paralelos? Pois bem, vamos voltar nesse assunto,
mas agora, com a abordagem algébrica.
Dois vetores são paralelos se existe um número real α tal que −→u = α−→v , ou seja,
(x1, y1) = α(x2, y2) que pela condição de igualdade resulta em x1 = αx2 e y1 = αy2 donde
x1
x2
=
y1
y2
(= α)
Esta é a condição de paralelismo de dois vetores, isto é, dois vetores são paralelos
quando suas componentes forem proporcionais.
Exemplo 2.2.4. Os vetores −→u = (−2, 3) e −→v = (−4, 6) são paralelos pois −2−4 =
3
6
.
Atividades
1. Dados os vetores −→u = (3,−1) e −→v = (−1, 2), obtenha o vetor −→w tal que 3−→w −
(2−→v −−→u ) = 2(4−→w − 3−→u ).
2. Dados os pontos A(−1, 3), B(1, 0) e C(2,−1), determine o ponto D de modo que
−−→
DC =
−→
BA.
29
2.3 Vetores no Espaço
Vamos refletir um pouco sobre o que vimos até agora. Iniciamos nossa disciplina dando
aos vetores um tratamento geométrico. Em seguida, vimos que todo vetor de um plano
possui uma representação em termos da chamada base canônina. Ou seja , passamos a
manipular os vetores do ponto de vista algébrico. Uma questão fundamental, é que tudo
o que fizemos para vetores em um plano se estende de maneira natural para vetores do
espaço, bastanto para isso fazer algumas adptações.
No espaço, de forma análoga, consideraremos a base canônica {−→i ,−→j ,−→k } , onde estes
três vetores unitários e dois a dois ortogonais estão representados com origem no ponto
O. Este ponto e a direção de cada um dos vetores da base determinam os três eixos
cartesianos: o eixo Ox ou eixo dos x (das abscissas) corresponde ao vetor
−→
i , o eixo Oy
ou eixo dos y (das ordenadas) corresponde ao vetor
−→
j e o eixo Oz ou eixo dos z (das
cotas) corresponde ao vetor
−→
k . As setas nessa figura indicam o sentido positivo de cada
eixo, chamado também de eixo coordenado.
Cada dupla de vetores de base, e, consequentemente, cada dupla de eixos, determina
um plano coordenado. Portanto, temos três planos coordenados: o plano xOy ou xy, o
plano xOz ou xz e o plano yOz ou yz. As figuras a seguir dão uma idéia dos planos xy e
30
xz, respectivamente.
Assim como no plano, a cada ponto P (x, y, z) do espaço irá corresponder o vetor
−→
OP = x
−→
i + y
−→
j + z
−→
k , isto é, as próprias coordenadas x, y e z do ponto P são as
componentes do vetor
−→
OP na base canônica. As coordenadas x, y e z são denominadas
abscissa, ordenada e cota, respectivamente. O vetor
−→
OP = −→v = x−→i + y−→j + z−→k também
será expresso por
−→
OP = −→v = (x, y, z).
Tomemos o paralelepípedo da figura:
Com base nesta figura, temos:
a) A(2, 0, 0) - um ponto P (x, y, z) está no eixo dos x, quando y = 0 e z = 0;
b) C(0, 4, 0) - um ponto está no eixo dos y, quando x = 0 e z = 0;
31
c) E(0, 0, 3) - um ponto está no eixo dos z, quando x = 0 e y = 0;
d) B(2, 4, 0) - um ponto está no eixo dos xy quando z = 0;
e) F (2, 0, 3) - um ponto está no eixo dos xz, quando y = 0;
f) D(0, 4, 3) - um ponto está no eixo dos yz, quando x = 0.
O ponto B é a projeção de P no plano xy, assim D e F são as projeções de P nos
planos yz e xz, respectivamente. O ponto A(2, 0, 0) é a projeção de P (2, 4, 3) no eixo
dos x, assim como C(0, 4, 0) e E(0, 0, 3) são as projeções de P nos eixos dos y e dos z,
respectivamente.
Como todos os pontos da face
a) PDEF distam 3 unidades do plano xy e estão acima dele, são pontos de cota z = 3,
isto é, são pontos do tipo (x, y, 3);
b) PBCD distam 4 unidades do plano xz e estão à direita dele, são pontos de ordenada
y = 4, isto é, são pontos do tipo (x, 4, z);
c) PFAB distam 2 unidades do plano yz e estão à frente dele, são pontos de abscissa
x = 2, isto é, são pontos do tipo (2, y, z).
Ao desejarmos marcar um ponto no espaço, digamos A(3,−2, 4), procedemos assim:
1o) Marca-se o ponto A′(3,−2) no plano xy;
2o) Desloca-se A′ paralelamente ao eixo dos z, 4 unidades para cima (se fosse −4 seriam
4 unidades para baixo) para obter o ponto A.
32
Atividades
1. Considere os seguintes pontos: A(4, 0, 1), B(5, 1, 3), C(3, 2, 5) e D(2, 1, 3). Repre-
sente cada um desses pontos no sistema cartesiano. Utilize o que aprendermos an-
teriormente, para demonstrar que esses pontos são vértices de um paralelogramo.(
Lembre da definição de paralelogramo!).
2. Obtenha os valores de a e b de modo que os vetores −→u = (4, 1,−3) e −→v = (6, a, b)
sejam paralelos.
33
35
capítulo 3
Produtos de Vetores
Objetivos
• Calcular a norma de um vetor a partir de sua expressão analítica;
• Calcular o ângulo formado entre dois vetores;
• Determinar o vetor projeção;
• Calcular o produto vetorial entre dois vetores;
• Utilizar o produto vetorial para calcular a área de um paralelogramo;
• Reconhecer vetores coplanares com o uso do produto misto.
capítulo
3.1 Produto Escalar
Definição 3.1.1. Chama-se produto escalar ou produto interno de dois vetores −→u =
x1
−→
i + y1
−→
j + z1
−→
k e −→v = x2−→i + y2−→j + z2−→k , e se representa por −→u · −→v , ao número real
−→u · −→v = x1x2 + y1y2 + z1z2.
O produto escalar de −→u por −→v também é denotado por < −→u ,−→v > e se lê “−→u escalar
−→v ”.
Exemplo 3.1.1. Dados os vetores −→u = 3−→i − 5−→j + 8−→k e −→v = 4−→i − 2−→j −−→k , tem-se:
−→u · −→v = 3(4)− 5(−2) + 8(−1) = 12− 10− 8 = 14
.
Definição 3.1.2. Módulo ou norma de um vetor −→v ,denotado por | −→v | é o número real
não negativo
| −→v |=
√−→v .−→v
Caso −→v = (x, y), teremos
| −→v |=
√
(x, y).(x, y)
ou ainda
| −→v |=
√
x2 + y2
Apartir de cada vetor −→v não nulo é possível obter um vetor unitário −→u fazendo
37
−→u =
−→v
| −→v |
Vamos agora explorarmos algumas propriedades básicas do produto escalar.
Para quaisquer vetores −→u , −→v e −→w e o número real α, é fácil verificar que:
1. −→u · −→v = −→v · −→u
2. −→u · (−→v +−→w ) = −→u · −→v +−→u · −→w e (−→u +−→v ) · −→w = −→u · −→w +−→v · −→w
3. α(−→u · −→v ) = (α−→u ) · −→v = −→u · (α−→v )
4. −→u · −→u > 0 se −→u 6= −→0 e −→u · −→u = 0, se −→u = −→0 = (0, 0, 0)
5. −→u · −→u = |−→u |2
3.2 Ângulo entre Vetores
Definição 3.2.1. O ângulo de dois vetores não nulos −→u e −→v é o ângulo θ formado pelas
semiretas OA e OB e tal que 0 ≤ θ ≤ pi.
A ideia, agora, é estabelecermos uma maneira de calcular o ângulo formado entre dois
vetores, a partir de suas componentes. Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo ABC da
38
figura abaixo, temos
|−→u −−→v |2 = |−→u |2 + |−→v |2 − 2|−→u ||−→v |cos θ (3.1)
Por outro lado, tem-se:
|−→u −−→v |2 = |−→u |2 + |−→v |2 − 2−→u−→v (3.2)
Comparando as igualdades 3.1 e 3.2 resulta em: |−→u |2 + |−→v |2− 2−→u−→v = |−→u |2 + |−→v |2−
2|−→u ||−→v |cosθ e daí,
−→u · −→v = |−→u ||−→v |cos θ, (3.3)
para 0o ≤ θ ≤ 180o.
Conclusão: O produto escalar de dois vetores não nulos é igual ao produto de seus
módulos pelo cosseno do ângulo por eles formado.
Exemplo 3.2.1. Calcule o ângulo entre os vetores −→u = (1, 1, 4) e −→v = (−1, 2, 2).
cos θ =
−→u · −→v
|−→u ||−→v | =
(1, 1, 4) · (−1, 2, 2)√
1 + 1 + 16
√
1 + 4 + 4
=
−1 + 2 + 8√
18
√
9
=
9
3
√
2 · 3 =
1√
2
=
1
√
2√
2
√
2
=
√
2
2
Como cos θ =
√
2
2
concluimos que θ = pi
4
radianos.
Agora, vamos questionar o seguinte fato: O que ocorre com a relação 3.3 caso −→u ·−→v =
0? Podemos verificar que neste caso cos θ deve ser igual a zero, isto é, cos θ = 0, o que
implica θ = 90o, ou seja, θ é ângulo reto.39
Assim, podemos afirmar que dois vetores são ortogonais se, e somente se, o produto
escalar deles é nulo, isto é, se:
−→u · −→v = 0
e esses vetores serão denotados por −→u ⊥ −→v (lê-se vetor −→u ortogonal ao vetor −→v ).
Exemplo 3.2.2. Verifique que −→u = (−2, 3− 2) é ortogonal a −→v = (−1, 2, 4).
−→u · −→v = −2(−1) + 3(2) + (−2)4 = 2 + 6− 8 = 0
Portanto −→u ⊥ −→v .
Vamos discutir agora a questão da projeção vetorial. Mas o que vem a ser isso?
Considere os vetores −→u e −→v não nulos e θ o ângulo entre eles. Pretendemos decompor
um dos vetores, digamos −→v , tal que −→v = −→v 1 +−→v 2 sendo −→v 1//−→u e −→v 2 ⊥ −→u .
A figura a seguir ilustra as duas situações possíveis, podendo ser θ um ângulo agudo
ou obtuso.
O vetor −→v 1 é chamado projeção ortogonal de −→v sobre −→u e denotado por
−→v 1 = proj−→u−→v . (3.4)
40
Ora, sendo −→v 1//−→u , temos −→v 1 = α−→u e como −→v 2 = −→v −−→v1 = −→v −α−→u é ortogonal a
−→u , vem
(−→v − α−→u ) · −→u = 0
ou
−→v · −→u − α−→u · −→u = 0
e α =
−→v · −→u
−→u · −→u . Portanto, sendo
−→v 1 = α−→u , por 3.4 conclui-se que
proj−→u
−→v = (
−→v · −→u
−→u · −→u )
−→u (3.5)
Exemplo 3.2.3. Determine o vetor projeção de −→u = (2, 3, 4) sobre −→v = (1,−1, 0).
proj−→v
−→u = (
−→u · −→v
−→v · −→v )
−→v = ( (2, 3, 4) · (1,−1, 0)
(1,−1, 0) · (1,−1, 0))(1,−1, 0) = (
2− 3 + 0
1 + 1 + 0
)(1,−1, 0) = −1
2
(1,−1, 0)
Atividades
1. Mostre que | −→u +−→u |=| −→u |2 +2−→u−→v + | −→u |2.
2. Determine o valor de n para que o vetor −→u = (n, 2
5
, 4
5
) seja unitário.
3. Calcule o perímetro do triângulo de vértices A(0, 1, 2), B(−1, 0,−1) e C(2,−1, 0).
4. Determine os ângulos do triângulo de vértices A(2, 1, 3), B(1, 0,−1) e C(−1, 2, 1).
5. Determine o vetor projeção do vetor −→u (1, 2,−3) na direção de −→v = (2, 1,−2).
41
3.3 Produto Vetorial
Faremos algumas considerações importantes antes de definirmos produto vetorial:
• O produto vetorial é um vetor, ao contrário do produto escalar −→u · −→v que é um
escalar (número real);
• Para simplicidade do cálculo do produto vetorial, faremos uso de determinantes;
• Algumas propriedades dos determinantes serão utilizadas nesta seção:
a) a permutação de duas linhas de uma matriz inverte o sinal do determinante
associado a essa matriz;
b) se duas linhas de uma matriz forem constituídas de elementos proporcionais, seu
determinante é igual a zero(duas linhas iguais é um caso particular).
c) se uma das linhas de uma matriz for constituída de zeros, o determinante é igual
a zero.
• O determinante associado a uma matriz de ordem 3 pode ser dado por
det

a b c
x1 y1 z1
x2 y2 z2
 = det
 y1 z1
y2 z2
 a− det
 x1 z1
x2 z2
 b+ det
 x1 y1
x2 y2
 c
A expressão da direita é conhecida como desenvolvimento do determinante pelo Teo-
rema de Laplace aplicado à primeira linha.
42
Definição 3.3.1. Chama-se produto vetorial de dois vetores −→u = x1−→i + y1−→j + z1−→k
e −→v = x2−→i + y2−→j + z2−→k , tomados nesta ordem, e se representa por −→u ×−→v , ao vetor
−→u ×−→v = det
 y1 z1
y2 z2
−→i − det
 x1 z1
x2 z2
−→j + det
 x1 y1
x2 y2
−→k (3.6)
O produto vetorial de −→u por −→v também é denotado por −→u ∧ −→v e lê-se “−→u vetorial
−→v ”.
Observemos que a definição de −→u ×−→v dada em 3.6 pode ser obtida do desenvolvimento
segundo o Teorema de Laplace (item d acima) substituindo-se a, b e c pelo vetores unitários
−→
i ,
−→
j e
−→
k , fato que sugere a notação
−→u ×−→v = det

−→
i
−→
j
−→
k
x1 y1 z1
x2 y2 z2
 (3.7)
Atenção: O símbolo à direita de 3.7 não é um determinante, pois a primeira
linha contém vetores em vez de escalares. No entanto, usaremos esta notação
pela facilidade de memorização que ela propicia no cálculo do produto vetorial.
Exemplo 3.3.1. Calcular −→u ×−→v para −→u = 5−→i + 4−→j + 3−→k e −→v = −→i +−→k .
det

−→
i
−→
j
−→
k
5 4 3
1 0 1
 = det
 4 3
0 1
−→i − det
 5 3
1 1
−→j + det
 5 4
1 0
−→k
= (4− 0)−→i − (5− 3)−→j + (0− 4)−→k = 4−→i − 2−→j − 4−→k
Agora, conforme fizemos com o produto escalar, vamos discutir algumas propriedades
do produto vetorial.
43
Levando-se em conta as considerações feitas sobre as propriedades dos determinantes,
concluímos de imediato que:
1. −→v ×−→u = −(−→u ×−→v ), isto é, os vetores −→v ×−→u e −→u ×−→v são opostos , pois a troca
de ordem dos vetores no produto vetorial −→u ×−→v implica troca de sinal de todos os
determinantes de ordem 2, ou seja, troca de sinal de todas as suas componentes.
2. −→u × −→v = −→0 se, e somente se, −→u //−→v , pois neste caso, todos os determinantes de
ordem 2 têm suas linhas constituídas por elementos proporcionais.
Estão aí também incluídos os casos particulares:
I) −→u ×−→u = −→0 (determinantes de ordem 2 com linhas iguais)
II) −→u ×−→0 = −→0 (determinantes de ordem 2 com uma linha de zeros)
Características do vetor −→u ×−→v
Consideremos os vetores −→u = (x1, y1, z1) e −→v = (x2, y2, z2)
a) Direção de −→u ×−→v
O vetor −→u ×−→v é simultaneamente ortogonal a −→u e −→v .
b) Sentido de −→u ×−→v
O sentido de −→u ×−→v poderá ser determinado utilizando-se a “regra da mão direita”.
Sendo θ o ângulo entre −→u e −→v , suponhamos que −→u (1o vetor) sofra uma rotação de
ângulo θ até coincidir com −→v . Se os dedos da mão direita forem dobrados na mesma
direção da rotação, então o polegar estendido indicará o sentido de −→u ×−→v .
A figura acima (b) mostra que o produto vetorial muda de sentido quando a ordem
dos vetores é invertida. Observemos que só será possível dobrar os dedos na direção
de −→v para −→u se invertermos a posição da mão, quando então o dedo polegar estará
apontando para baixo.
44
c) Comprimento de −→u ×−→v
Se θ é o ângulo entre os vetores −→u e −→v não-nulos, então |−→u ×−→v | = |−→u ||−→v |sen θ.
Proposição 3.3.1. O módulo do produto vetorial dos vetores −→u e −→v mede a área do
paralelogramo ABCD determinado pelos vetores −→u = −→AB e −→v = −→AC
Demonstração. De fato a área
ABCD =| −→u | h =| −→u || −→v | sin θ =| −→u || −→v | sin θ
Usando o fato que
| −→u ×−→v |=| −→u || −→v | sin θ
segue o resultado.
Atividades
1. Considere os vetores −→u = (2,−1, 1), −→v = (1,−1, 0) e −→w = (−1, 2, 2). Calcule:
−→v ×−→w , (−→v +−→u )×−→w .
2. Calcule a área do paralelogramo definido pelos vetores −→u = (3, 1, 2) e −→v = (4,−1, 0).
45
3.4 Produto Misto
Definição 3.4.1. Chama-se produto misto dos vetores −→u = x1−→i + y1−→j + z1−→k , −→v =
x2
−→
i + y2
−→
j + z2
−→
k e −→w = x3−→i + y3−→j + z3−→k , tomados nesta ordem, ao número real
−→u · (−→v ×−→w ).
O produto misto de −→u , −→v e −→w também pode ser denotado por (−→u ,−→v ,−→w ).
Tendo em vista que
−→v ×−→w = det

−→
i
−→
j
−→
k
x2 y2 z2
x3 y3 z3
 = det
 y2 z2
y3 z3
−→i −det
 x2 z2
x3 z3
−→j +det
 x2 y2
x3 y3
−→k
vem
−→u · (−→v ×−→w ) = x1det
 y1 z1
y2 z2
− y1det
 x1 z1
x2 z2
+ z1det
 x1 y1
x2 y2

e, portanto,
−→u · (−→v ×−→w ) = det

x1 y1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 z3
 (3.8)
Exemplo 3.4.1. Calcular o produto misto dos vetores −→u = 2−→i + 3−→j + 5−→k , −→v =
−−→i + 3−→j + 3−→k e −→w = 4−→i − 3−→j + 2−→k .
−→u · (−→v ×−→w ) = det

2 3 5
−1 3 3
4 −3 2
 = 27
46
Vejamos agora algumas propriedades do produto misto.
1. O produto misto (−→u ,−→v ,−→w ) muda de sinal ao trocarmos a posição de dois vetores.
Então, se em relação ao produto misto (−→u ,−→v ,−→w ) ocorrer
a) uma permutação - haverá troca de sinal;
b) duas permutações - não altera o valor.
Resulta desta propriedade que os sinais · e × podemser permutados, isto é, −→u ·
(−→v ×−→w ) = (−→u ×−→v ) · −→w .
2. (−→u +−→x ,−→v ,−→w ) = (−→u ,−→v ,−→w ) + (−→x ,−→v ,−→w )
(−→u ,−→v +−→x ,−→w ) = (−→u ,−→v ,−→w ) + (−→u ,−→x ,−→w )
(−→u ,−→v ,−→w +−→x ) = (−→u ,−→v ,−→w ) + (−→u ,−→v ,−→x )
3. (α−→u ,−→v ,−→w ) = (−→u , α−→v ,−→w ) = (−→u ,−→v , α−→w ) = α(−→u ,−→v ,−→w )
4. (−→u ,−→v ,−→w ) = 0 se, e somente se, os três vetores forem coplanares.
Exemplo 3.4.2. Verificar se são coplanares os vetores −→u = (2,−1, 1), −→v = (1, 0,−1) e
−→w = (2,−1, 4).
(−→u ,−→v ,−→w ) = det

2 −1 1
1 0 −1
2 −1 4
 = 3 6= 0
Portanto, os vetores não são coplanares.
47
Exemplo 3.4.3. Qual deve ser o valor de m para que os vetores −→u = (2,m, 0), −→v =
(1,−1, 2) e −→w = (−1, 3,−1) sejam coplanares?
Devemos ter (−→u ,−→v ,−→w ) = 0, isto é, det

2 m 0
1 −1 2
−1 3 −1
 = 0 ou 2−2m−12+m = 0
e, portanto, m = −10.
Exemplo 3.4.4. Verifique se os pontos A(1, 2, 4), B(−1, 0,−2), C(0, 2, 2) e D(−2, 1,−3)
estão no mesmo plano.
Os quatro pontos dados são coplanares se forem coplanares os vetores
−→
AB,
−→
AC e
−−→
AD,
e para tanto, deve-se ter (
−→
AB,
−→
AC,
−−→
AD) = 0. Como
(
−→
AB,
−→
AC,
−−→
AD) =

−2 −2 −6
−1 0 −2
−3 −1 −7
 = 0
Portanto os pontos A,B,C e D são coplanares.
Atividades
1. Verifique se os vetores −→u = (3, 1,−2), −→v = (1, 2, 1) e −→w = (−2, 3, 4) são coplanares.
2. Para que valores de a os pontos A(a, 1, 2), B(2,−2, 3), C(5,−1, 1) e D(3,−2, 2) são
coplanares?
48
capítulo
49
capítulo 4
Retas no Plano e no Espaço 
Objetivos
• Identificar as diferentes formas de escrever a equação de uma reta;
• Calcular o ângulo formado por duas retas;
• Reconhecer a posição relativa de duas retas;
• Calcular a distância de um ponto a uma reta.
4.1 Algumas Formas de Escrever a Equação de uma
Reta
Consideremos um ponto A(x1, y1, z1) e um vetor não nulo −→v = (a, b, c). Só existe
uma reta r que passa por A e tem a direção de −→v . Um ponto P (x, y, z) pertence a
r se, e somente se, o vetor
−→
AP é paralelo a −→v , isto é,
−→
AP = t−→v (4.1)
para algum real t.
De 4.1, vem P − A = t−→v ou
P = A+ t−→v (4.2)
ou, em coordenadas
(x, y, z) = (x1, y1, z1) + t(a, b, c) (4.3)
Qualquer uma das equações 4.1, 4.2 ou 4.3 é denominada equação vetorial de r.
O vetor −→v é chamado vetor diretor da reta r e t é denominado parâmetro.
51
Exemplo 4.1.1. Determine a equação vetorial da reta r que passa pelo ponto A(3, 0,−5)
e tem a direção do vetor −→v = 2−→i + 2−→j −−→k .
Seja P (x, y, z) um ponto genérico dessa reta, tem-se P = A+ t−→v , isto é, (x, y, z) =
(3, 0,−5) + t(2, 2,−1).
Quando t varia de −∞ a +∞, P descreve a reta r. Assim, se t = 2, por exemplo:
(x, y, z) = (3, 0,−5)+t(2, 2,−1) =⇒ (x, y, z) = (3, 0,−5)+(4, 4,−2) =⇒
(x, y, z) = (7, 4,−7)
O ponto P (7, 4,−7) é um ponto da reta r. Reciprocamente, a cada ponto P ∈ r
corresponde um número real t. Por exemplo, sabe-se que o ponto P (7, 4,−7) pertence
à reta r : (x, y, z) = (3, 0,−5) + t(2, 2,−1), logo, é verdadeira a afirmação:
(7, 4,−7) = (3, 0,−5) + t(2, 2,−1), para algum número real t.
Dessa igualdade, vem:
t(2, 2,−1) = (7, 4,−7) − (3, 0,−5) =⇒ t(2, 2,−1) = (4, 4,−2) =⇒
(2t, 2t,−1t) = (4, 4,−2)
Da definição de igualdade de vetores, vem: t = 2.
Vamos agora apresentar uma outra maneira de escrever as equações de uma reta.
Da equação vetorial da reta (x, y, z) = (x1, y1, z1) + t(a, b, c) ou ainda (x, y, z) =
(x1 + at, y1 + bt, z1 + ct), pela condição de igualdade, obtém-se

x = x1 + at
y = y1 + bt
z = z1 + ct
(4.4)
As equações 4.1.2 são chamadas equações paramétricas da reta.
52
Exemplo 4.1.2. Dados o ponto A(2, 3,−4) e o vetor −→v = (1,−2, 3), pede-se:
a) Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A e tem direção de −→v .
b) Encontrar o ponto B de r de parâmetro t = 1.
c) Determinar o ponto de r cuja abscissa é 4.
d) Verificar se os pontos D(4,−1, 2) e E(5,−4, 3) pertencem a r.
a) De acordo com a forma paramétrica da reta temos imediatamente:
r :

x = 2 + t
y = 3− 2t
z = −4 + 3t
b) Das equações acima tem-se para t = 1:

x = 2 + (1) = 3
y = 3− 2(1) = 1
z = −4 + 3(1) = −1
Portanto, B(3, 1,−1) ∈ r
c) Como o ponto tem abscissa 4 (x = 4), temos
4 = 2 + t (1o equação de r) e, portanto,t = 2. Como t = 2 ,=⇒
 y = 3− 2(2) = −1z = −4 + 3(2) = 2
O ponto procurado é (4,−1, 2).
d) Um ponto pertence à reta r se existe um real t que satisfaz as equações de r.
53
Para D(4,−1, 2) as equações 
4 = 2 + t
−1 = 3− 2t
2 = −4 + 3t
se verificam para t = 2 e, portanto, D ∈ r.
Vamos pensar o seguinte fato: Dados dois pontos, por exemplo, no espaço, como
determinar as equações paramétricas da reta que passa por esses pontos?
Observe que a reta definida pelos pontos A e B é a reta que passa por A (ou B) e tem
direção do vetor −→v = −→AB.
Vejamos um exemplo.
0,3cm
Exemplo 4.1.3. Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A(3,−1,−2) e
B(1, 2, 4).
Escolhendo o ponto A e o vetor −→v = −→AB = B−A = (−2, 3, 6), tem-se r :

x = 3− 2t
y = −1 + 3t
z = −2 + 6t
Das equações paramétricas
x = x1 + at y = y1 + bt z = z1 + ct
supondo abc 6= 0, vem
t =
x− x1
a
t =
y − y1
b
t =
z − z1
c
Como para cada ponto da reta corresponde um só valor para t, obtemos as igualdades
x− x1
a
=
y − y1
b
=
z − z1
c
(4.5)
54
As equações 4.5 são denominadas equações simétricas da reta que passa pelo ponto
A(x1, y1, z1) e tem a direção do vetor −→v = (a, b, c).
Exemplo 4.1.4. A reta que passa pelo ponto A(3, 0,−5) e tem a direção do vetor −→v =
(2, 2,−1), tem equações simétricas x− 3
2
=
y
2
=
z + 5
−1 .
Se desejarmos obter outros pontos da reta, basta atribuir um valor qualquer a uma das
variáveis. Por exemplo, para x = 5, tem-se
5− 3
2
= 1 =
y
2
=
z + 5
−1 onde y = 2 e z = −6
e, portanto, o ponto (5, 2,−6) pertence à reta.
Consideremos agora a seguinte situação
Seja a reta r definida pelo ponto A(2,−4,−3) e pelo vetor diretor −→v = (1, 2,−3) e
expressa pelas equações simétricas
r :
x− 2
1
=
y − 4
2
=
z + 3
−3 (4.6)
A partir destas equações pode-se expressar duas variáveis em função da terceira. Iso-
lando, primeiramente, as variáveis y e z e expressando-as em função de x, obtém-se
x− 2
1
=
y + 4
2
x− 2
1
=
z + 3
−3
1(y + 4) = 2(x− 2) 1(z + 3) = −3(x− 2)
y + 4 = 2x− 4 z + 3 = −3x+ 6
y = 2x− 8 z = −3x+ 3
(4.7)
Estas duas últimas equações são equações reduzidas da reta r, na variável x.
Observações
a) É fácil verificar que todo ponto P ∈ r é do tipo P (x, 2x − 8,−3x + 3), onde x pode
assumir um valor qualquer. Por exemplo, para x = 3 tem-se o ponto P1(3,−2,−6) ∈
r.
55
b) Equações reduzidas na variável x serão sempre da forma
 y = mx+ nz = px+ q
c) A partir das equações 4.6, pode-se obter as equações
x =
1
2
y + 4
z = −3
2
y − 9
(equações reduzidas na variável y)
ou
x = −1
3
z + 1
y = −2
3
z − 6
(equações reduzidas na variável z).
d) A reta r das equações 4.6 pode ser representada pelas equações paramétricas
x = 2 + t
y = −4 + 2t
z = −3− 3t
Da primeira equação obtém-se t = x− 2 que, substituindo nas outras duas as trans-
forma em
y = −4 + 2(x− 2) = 2x− 8
z = −3− 3(x− 2) = −3x+ 3
que são as equações reduzidas de 4.7.
e) Para encontrar um vetor diretor da reta
r :
 y = 2x− 8z = −3x+ 3
uma das formas é determinar dois pontos A e B de r e, posteriormente, encontrar o
vetor
−→
AB = B − A. Por exemplo, para x = 0, obtém-se o ponto A(0,−8, 3) e para
x = 1, obtém-se o ponto B(1,−6, 0).
Logo,
−→
AB = (1, 2,−3) é um vetor diretor de r.
Atividades1. Verifique se os pontos P1(5,−5, 6) e P2(4,−1, 12) pertencem à reta r : x− 3−1 =
y + 1
2
=
z − 2
−2 .
56
2. O ponto P (2, y, z) pertence à reta determinada por A(3,−1, 4) e B(4,−3,−1). Cal-
cule P .
3. Determine as equações reduzidas, com variável independente x, da reta que passa
pelo ponto A(4, 0,−3) e tem a direção do vetor −→v = 2−→i + 4−→j + 5−→k .
4. Cite um ponto e um vetor diretor da reta r :

x = 2t
y = −1
z = 2− t
.
5. Determine a equação da reta que passa por A(1,−2, 4) e é paralela ao eixo dos x.
4.2 Posições Relativas de Retas
Duas retas r1 e r2, no espaço, podem ser:
a) concorrentes, isto é, situadas no mesmo plano. Nesse caso, as retas poderão ser:
(a) concorrentes: r1 ∩ r2 = {P} (P é o ponto de intersecção das retas r1 e r2;
(b) paralelas: r1 ∩ r2 = ∅ (∅ é o conjunto vazio)
57
A condição de paralelismo das retas r1 e r2 é a mesma dos vetores −→v1 =
(a1, b1, c1) e −→v = (a2, b2, c2), que definem as direções dessas retas, isto é:
−→v1 = m−→v2 ou a1
a2
=
b1
b2
=
c1
c2
(O caso de serem r1 e r2 coincidentes pode ser considerado como um caso
particular de paralelismo).
b) reversas, isto é, não situadas no mesmo plano.
Nesse caso: r1 ∩ r2 = ∅
Observações
A igualdade (−→v1 ,−→v2 ,−−−→A1A2) = 0 é a condição de coplanaridade de duas retas r1 e
r2 que passam, respectivamente, pelos pontos A1 e A2, e tem por vetores diretores
os vetores −→v1 e −→v2 :
a) se r1 e r2 forem paralelas, serão coplanares, isto é, (−→v1 ,−→v2 ,−−−→A1A2) = 0, pois
duas linhas do determinante utilizado para calcular (−→v1 ,−→v2 ,−−−→A1A2) apresentam
elementos proporcionais −→v1 = k−→v2 .
b) se r1 e r2 não forem paralelas, a igualdade (−→v1 ,−→v2 ,−−−→A1A2) = 0 exprime a
condição de concorrência dessas retas.
c) se o determinante utilizado para calcular (−→v1 ,−→v2 ,−−−→A1A2) for diferente de zero,
as retas r1 e r2 são reversas.
58
Exemplo 4.2.1. Estude a posição relativa das retas:
r1 :
 y = 2x− 3z = −x e r2 :

x = 1− 3t
y = 4− 6t
z = 3t
São vetores diretores de r1 e r2: −→v1 = (1, 2,−1) e −→v2 = (−3,−6, 3). Como −→v2 =
−3 · −→v1 , as retas r1 e r2 são paralelas e não coincidentes (basta ver que o ponto
A1(0,−3, 0) ∈ r1 e A1(0,−3, 0) 6∈ r2.
Exemplo 4.2.2. Estude a posição relativa das retas
r1 :
x− 2
2
=
y
3
=
z − 5
4
e r2 :

x = 5 + t
y = 2− t
z = 7− 2t
As retas não são paralelas pois:
2
1
6= 3−1 6=
4
−2 . Calculemos o produto misto (
−→v1 ,−→v2 ,−−−→A1A2)
para A1(2, 0, 5) e A2(5, 2, 7):
(−→v1 ,−→v2 ,−−−→A1A2) =

2 3 4
1 −1 −2
3 2 2
 = 0
o que significa que as retas r1 e r2 são concorrentes (se o determinante fosse diferente
de zero, as retas seriam reversas).
Conhecidas as equações de duas retas, podemos determinar o seu ponto de intersecção.
Duas retas r1 e r2 coplanares e não paralelas são concorrentes. Consideremos as retas:
r1 :
 y = −3x+ 2z = 3x− 1 e r2 :

x = −t
y = 1 + 2t
z = −2t
59
e determinemos o seu ponto de intersecção. Se I(x, y, z) é este ponto, suas coorde-
nadas satisfazem o sistema formado pelas equações de r1 e r2, isto é, I(x, y, z) é a
solução do sistema: 
y = −3x+ 2
z = 3x− 1
x = −t
y = 1 + 2t
z = −2t
Eliminando t nas três últimas equações, temos o sistema equivalente
y = −3x+ 2
z = 3x− 1
y = 1− 2x
z = 2x
Resolvendo o sistema, encontramos:
x = 1
y = −1
z = 2
Logo, o ponto de intersecção das retas r1 e r2 é: I(1,−1, 2).
4.3 Ângulos entre Retas
Sejam as retas r1, que passa pelo ponto A1(x1, y1, z1) e tem direção de um vetor
−→v1 = (a1, b1, c1), e r2, que passa pelo ponto A2(x2, y2, z2) e tem direção de um vetor
−→v2 = (a2, b2, c2).
60
Definição 4.3.1. Chama-se ângulo de duas retas r1 e r2 o menor ângulo de um vetor
diretor de r1 e de um vetor diretor de r2. Logo, sendo θ este ângulo, tem-se
cos θ =
|−→v1 · −→v2 |
|−→v1 ||−→v2 | , com 0 ≤ θ ≤
pi
2
(4.8)
ou, em coordenadas:
cos θ =
|a1a2 + b1b2 + c1c2|√
a21 + b
2
1 + c
2
1
√
a22 + b
2
2 + c
2
2
Observação
Na figura, o ângulo α é suplementar de θ e, portanto, cos α = cos θ. O ângulo α é
o ângulo formado por −−→v1 e −→v2 ou −→v1 e −−→v2 .
Exemplo 4.3.1. Calcular o ângulo entre as retas
r1 :

x = 3 + t
y = t
z = −1− 2t
e r2 :
x+ 2
−2 =
y − 3
1
=
z
1
Os vetores que definem as direções das retas r1 e r2 são, respectivamente: −→v1 =
(1, 1,−2) e −→v2 = (−2, 1, 1). Logo, temos
cos θ =
|−→v1 · −→v2 |
|−→v1 ||−→v2 | =
|(1, 1, 2) · (−2, 1, 1)|√
12 + 12 + (−2)2 ×√(−2)2 + 12 + 12
61
cos θ =
| − 2 + 1− 2|√
1 + 1 + 4×√4 + 1 + 1 =
| − 3|√
6×√6 =
3
6
=
1
2
Observemos que duas retas r1 e r2 com as direções de −→v1 e −→v2 , respectivamente, são
ortogonais se:
r1 ⊥ r2 ⇐⇒ −→v1 · −→v2 = 0
Duas retas ortogonais podem ser concorrentes ou não. Na figura anterior, as retas r1
e r2 são ortogonais a r, porém, r2 e r são concorrentes. Nesse caso, diz-se que são
perpendiculares.
Exemplo 4.3.2. Verifique se as retas
r1 :
 y = −2x+ 1z = 4x e r2 :

x = 3− 2t
y = 4 + t
z = t
são ortogonais.
Sendo −→v1 = (1,−2, 4) e −→v2 = (−2, 1, 1) vetores diretores de r1 e r2 tem-se:
−→v1 · −→v2 = 1(−2)− 2(1) + 4(1) = 0, portanto as retas r1 e r2 são ortogonais.
62
Agora, sejam as retas r1 e r2 não paralelas, com as direções de −→v1 e −→v2 , respectiva-
mente. Toda reta r ao mesmo tempo ortogonal a r1 e r2 terá a direção de um vetor
−→v tal que 
−→v · −→v1 = 0
−→v · −→v2 = 0
(4.9)
Em vez de tomarmos um vetor −→v 6= 0 como uma solução particular do sistema 4.9,
poderíamos utilizar o produto vetorial, isto é, −→v = −→v1 ×−→v2 .
Definido um vetor diretor, a reta r estará determinada quando for conhecido um de
seus pontos.
Exemplo 4.3.3. Determine equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto
A(3, 4,−1) e é ortogonal às retas
r1 : (x, y, z) = (0, 0, 1) + t(2, 3,−4) e r2 :

x = 5
y = t
z = 1− t
As direções de r1 e r2 são definidas pelos vetores −→v1 = (2, 3,−4) e −→v2 = (0, 1,−1).
Então a reta r tem a direção do vetor
−→v1 ×−→v2 =

−→
i
−→
j
−→
k
2 3 −4
0 1 −1
 = (1, 2, 2)
Logo, tem-se
r :

x = 3 + t
y = 4 + 2t
z = −1 + 2t
63
Atividades
1) Determine o ângulo entre as retas
r :

x = −2− 2t
y = 2t
z = 3− 4t
e s :
x
4
=
y + 6
2
=
z − 1
2
.
2) A reta r :
 y = mx+ 3z = x− 1 é ortogonal à reta determinada pelos pontos A(1, 0,m)
e B(−2, 2m, 2m). Calcule o valor de m.
4.4 Distância de Ponto a Reta
Dado um ponto P do espaço e uma reta r, quer-se calcular a distância d(P, r) de P
a r. Consideremos na reta r um ponto a e um vetor diretor −→v . Os vetores −→v e −→AP
determinam um paralelogramo cuja altura corresponde à distância d(P, r).
A área A do paralelogramo é dada por
a) A = (base) · (altura) = |−→v | · d ou
b) A = |−→v ×−→AP |.
64
Comparando a) e b), vem
d = d(r1, r2) =
|−→v ×−→AP |
|−→v | (4.10)
Exemplo 4.4.1. Calcule a distância do ponto P (2, 1, 4) à reta
r :

x = −1 + 2t
y = 2− t
z = 3− 2t
A reta r passa pelo ponto A(−1, 2, 3) e tem a direção do vetor −→v = (2,−1,−2). Seja
ainda o vetor
−→
AP = P − A = (3,−1, 1). Calculemos
−→v ×−→AP =

−→
i
−→
j
−→
j
2 −1 −2
3 −1 1
 = (−3,−8, 1)
Logo temos d(P, r) =
|(−3,−8, 1)|
|(2,−1,−2)| =
√
(−3)2 + (−8)2 + 12√
22 + (−1)2 + (−2)2 =
√
74
3
u.c.
Podemos utilizar do fato de que sabemos calcular a distância de um ponto a uma reta
para calcularmos a distância entre duas retas paralelas.Dadas as retas r1 e r2, quer-se
calcular a distância d(r1, r2). Podemoster os seguintes casos:
(a) r1 e r2 são concorrentes.
Neste caso : d(r1, r2) = 0.
(b) r1 e r2 são paralelas.
d(r1, r2) = d(P, r2), com P ∈ r1 ou d(r1, r2) = d(P, r1) com P ∈ r2.
A figura a seguir ilustra esta situação, que se reduz ao cálculo da distância de
ponto à reta.
65
(c) r1 e r2 são reversas.
Seja r1 a reta definida pelo ponto A1 e pelo vetor diretor −→v1 e a reta r2 pelo ponto
A2 e pelo vetor diretor −→v2 .
Os vetores −→v1 , −→v2 e −−−→A1A2, por serem não coplanares, determinam um paralelepí-
pedo (figura ??) cuja altura é a distância d(r1, r2) que se quer calcular (a reta r2
é paralela ao plano da base do paralelepípedo definida por −→v1 e −→v2).
Exemplo 4.4.2. Calcule a distância entre as retas
r1 :

x = −1 + t
y = 3− 2t
z = 1− t
e r2 :
 y = x− 3z = −x+ 1
A reta r1 passa pelo ponto A1(−1, 3, 1) e tem a direção de −→v1 = (1,−2,−1) e a
reta r2 pelo ponto A2(0,−3, 1) e tem a direção de −→v2 = (1, 1,−1).
66
Então,
−−−→
A1A2 = A2 − A1 = (1,−6, 0) e
(−→v1 ,−→v2 ,−−−→A1A2) =

1 −2 −1
1 1 −1
1 −6 0
 = 3
−→v1 ×−→v2 =

−→
i
−→
j
−→
j
1 −2 −1
1 1 −1
 = (3, 0, 3)
Então temos d(r1, r2) =
|3|
|(3, 0, 3)| =
√
3√
32 + 32
=
√
3√
18
=
√
32 · 6√
18 · √18 =
√
6
6
Atividades
1) Calcule a distância do ponto P (1, 2, 3) à reta s :

x = 1− 2t
y = 2t
z = 2− t
.
2) Calcule a distância entre as retas r :
 x = 0y = z e s :
 y = 3z = 2x .
67
69
capítulo 5
Planos
Objetivos
• Identificar a equação de um plano;
• Determinar a equação de um plano sobre diferentes circunstâncias;
• Determinar a interseção de uma reta com um plano;
• Reconhecer planos paralelos e perpendiculares;
• Determinar o ângulo formado entre dois planos;
• Calcular a distância de um ponto a um plano.
capítulo
5.1 Equação de um Plano
Seja A(x1, y1, z1) um ponto pertencente a um plano pi e −→n = (a, b, c), −→n 6= 0, um
vetor normal (ortogonal) ao plano.
Como −→n ⊥ pi, −→n é ortogonal a todo vetor representado em pi. então, um ponto
P (x, y, z) pertence a pi se, e somente se, o vetor
−→
AP é ortogonal a −→n , isto é,
−→n · (P − A) = 0
ou
(a, b, c) = (x− x1, y − y1, z − z1) = 0
ou
a(x− x1) + b(y − y1) + c(z − z1) = 0
ou, ainda
ax+ by + cz − ax1 − by1 − cz1 = 0
Fazendo −ax1 − by1 − cz1 = d, obtemos
ax+ by + cz + d = 0 (5.1)
Esta é a equação geral do plano pi.
Observações
71
a) Assim como −→n = (a, b, c) é um vetor normal a pi, qualquer vetor k−→n , k 6= 0,
é também vetor normal ao plano.
b) É importante notar que os três coeficientes a, b e c da equação 5.1 representam
as componentes de um vetor normal ao plano.
Por exemplo, se um plano pi é dado por pi : 3x + 2y − z + 1 = 0, um de seus
vetores normais é −→n (3, 2,−1).
c) Para obter pontos de um plano dado por uma equação geral, basta atribuir
valores arbitrários a duas das variáveis e calcular o valor da outra na equação
dada.
Assim, por exemplo, se na equação anterior fizermos x = 4 e y = −2, teremos:
3(4) + 2(−2)− z + 1 = 0 =⇒ 12− 4− z + 1 = 0 =⇒ z = 9
e, portanto, o ponto A(4,−2, 9) pertence a este plano.
Exemplo 5.1.1. Obtenha uma equação geral do plano pi que passa pelo ponto
A(2,−1, 3) e tem −→n = (3, 2,−4) como um vetor normal.
Como −→n é normal a pi, sua equação é do tipo:
3x+ 2y − 4z + d = 0
e sendo A um ponto do plano, suas coordenadas devem verificar a equação, isto é
3(2) + 2(−1)− 4(3) + d = 0 =⇒ 6− 2− 12 + d = 0 =⇒ d = 8
Logo, uma equação geral do plano pi é 3x+ 2y − 4z + 8 = 0.
Observação
Se um plano pi intercepta os eixos coordenados nos pontos (p, 0, 0), (0, q, 0) e (0, 0, r)
72
com p · q · r 6= 0, então pi admite a equação
x
p
+
y
q
+
z
r
= 1
denominada equação segmentária do plano pi.
Vamos considerar agora um ponto A(x0, y0, z0) um ponto pertencente a um plano
pi e −→u = (a1, b1, c1) e −→v = (a2, b2, c2) dois vetores paralelos a pi (figura 5.2),
porém, −→u e −→v não-paralelos.
Para todo ponto P do plano, os vetores
−→
AP , −→u e −→v são coplanares. Um ponto
P (x, y, z) pertence a pi se, e somente se, existem números reais h e t tais que
P − A = h−→u + t−→v
ou
P = A+ h−→u + t−→v
ou, em coordenadas
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + h(a1, b1, c1) + t(a2, b2, c2), h, t ∈ < (5.2)
Esta equação é denominada equação vetorial do plano pi. Os vetores −→u e −→v são
vetores diretores de pi.
Da equação 5.2 obtém-se
(x, y, z) = (x0 + a1h+ a2t, y0 + b1h+ b2t, z0 + c1h+ c2t)
que pela condição de igualdade, vem
x = x0 + a1h+ a2t
y = y0 + b1h+ b2t
z = z0 + c1h+ c2t, h, t ∈ <
73
Estas equações são chamadas equações paramétricas de pi e h e t são variáveis
auxiliares denominadas parâmetros.
Exemplo 5.1.2. Seja o plano pi que passa pelo ponto A(2, 2,−1) e é paralelo aos
vetores −→u = (2,−3, 1) e −→v = (−1, 5,−3). Obtenha uma equação vetorial, um
sistema de equações paramétricas e uma equação geral de pi
• Equação vetorial: (x, y, z) = (2, 2,−1) + h(2,−3, 1) + t(−1, 5,−3).
• Equações paramétricas: 
x = 2 + 2h− t
y = 2− 3h+ 5t
z = −1 + h− 3t
Observação: Se quisermos algum ponto deste plano, basta atribuir valores
reais para h e t. Por exemplo, para h = 0 e t = 1, vem: x = 1, y = 7 e z = −4.
E, portanto, B(1, 7,−4) é um ponto do plano pi.
• Equação geral: Como o vetor
−→u ×−→v =

−→
i
−→
j
−→
k
2 −3 1
−1 5 −3
 = (4, 5, 7)
é simultaneamente ortogonal a −→u e −→v , ele é um vetor −→n normal ao plano pi.
Então, uma equação geral de pi é da forma 4x+5y+7z+ d = 0 e, como A ∈ pi
tem-se: 4(2)+5(2)+7(−1)+d = 0 =⇒ d = −11. Portanto, uma equação geral
do plano pi é dada por 4x+ 5y + 7z − 11 = 0.
Exemplo 5.1.3. Dado o plano pi determinado pelos pontos A(1,−1, 2), B(2, 1,−3)
e C(−1,−2, 6), obtenha um sistema de equações paramétricas e uma equação geral
de pi.
74
• Equações paramétricas:
Sabe-se que existe apenas um plano que contém três pontos não em linha reta.
Os vetores não-paralelos −→u = −→AB = (1, 2,−5) e −→v = −→AC = (−2,−1, 4) são
vetores diretores de api e, portanto, as equações (utilizando o ponto A)
x = 1 + h− 2t
y = −1 + 2h− t
z = 2− 5h+ 4t
são equações paramétricas do plano
• Equação geral: Sendo −→u e v vetores diretores de pi, o vetor
−→u ×−→v =

−→
i
−→
j
−→
k
1 2 −5
−2 −1 4
 = (3, 6, 3)
é um vetor normal a pi. Então, uma equação geral é da forma 3x+6y+3z+d =
0. Como A ∈ pi (poderíamos tomar B ou C): 3(1) + 6(−1) + 3(2) + d = 0 =⇒
d = −3. Portanto, uma equação geral de pi é 3x + 6y + 3z − 3 = 0, ou
multiplicando ambos os membros da equação por 1/3: x+ 2y + z − 1 = 0.
Observações
a) Como é possível encontrar infinitos ternos A, B e C de pontos não alinhados
em pi, existem infinitos sistemas de equações paramétricas que representam o
mesmo plano.
b) É importante observar que os vetores diretores sejam não-paralelos. Se ocorrer
−→
AB//
−→
AC, basta trocar um dos pontos de modo a garantir que
−→
AB e
−→
AC sejam
não-paralelos.
75
c) Uma outra maneira de obter equações paramétricas a partir da equação geral, é
substituindo duas das variáveis pelos parâmetros h e t e, posteriormente, isolar
a terceira variável em função destes.
Por exemplo, se na equação geral 2x− y − z + 4 = 0, fizermos y = h e z = t,
teremos 2x− h− t+ 4 = 0. Isolando x resulta, x = −2 + 1
2
h+
1
2
t. Então,
x = −2 + 1
2
h+ 1
2
t
y = h
z = t
são equações paramétricas do plano.
Atividade
1) Dado o plano pi determinado pelos pontos A(2,−1, 3), B(1, 1,−1) e C(−3,−2, 2),
obtenha um sistema de equações paramétricas e uma equação geral de pi.
5.2 Posições relativas de reta e plano
Sejam −→v um vetor diretor da reta r, −→num vetor normal ao plano pi e P um
ponto. As posições de uma reta r com o plano pi são:
i. r paralela a pi
r//pi ⇐⇒ −→v · −→n = 0 e P 6∈ pi
ii. r contida em pi
r ⊂ pi ⇐⇒ −→v · −→n = 0 e P ∈ pi
76
iii. r e pi concorrentes (ou transversais)
r ∩ pi = {P} ⇐⇒ −→v · −→n 6= 0
Exemplo 5.2.1. Determine a intersecção da reta r com o plano pi, nos seguin-
tes casos:
a)
r : (x, y, z) = (1, 6, 2) + t(1, 1, 1); t ∈ <
pi : x− z − 3 = 0
b)
r : x− 1 = y − 2 = 2(z − 1)
pi : (x, y, z) = h(6, 2, 1) + t(1, 2, 1); t, h ∈ <
77
c)
r :

x = t
y = −3 + 3t
z = −t
; t ∈ <
pi : x+ y + 2z − 1 = 0
a) −→v · −→n = (1, 1, 1) · (1, 0,−1) = 0. Logo, r ∩ pi = r ou r ∩ pi = ∅.
Como P (1, 6, 2) é um ponto de r, verificamos que P 6∈ pi.
Portanto, r ∩ pi = ∅ e conclui-se que r e pi são paralelos.
b) Sendo −→v = (1, 1, 1
2
) e −→n = (6, 2, 1) × (1, 2, 1) = (0,−5, 10), temos que
−→v · −→n = 0. Logo, r ∩ pi = r ou r ∩ pi = ∅.
Como P (1, 2, 1) é um ponto de r, verificamos que P ∈ pi.
Portanto, r ∩ pi = r e conclui-se que r está contida em pi.
c) De −→v ·−→n = (1, 3,−1)·(1, 1, 2) = 2 6= 0 concluímos que r pi são concorrentes.
Seja r ∩ pi = {P} = {(a, b, c)}. Temos então:
(1) a+ b+ 2c− 1 = 0 e (2)

a = t
b = −3 + 3t
c = −t
para algum escalar t
De (1) e (2) obtemos t = 2 e P (2, 3,−2).
Atividade
1) Determine o ponto de interseção da reta r : (x = t, y = 1− 2t, z = −t) com
o plano pi : 2x+ y − z − 4 = 0.
78
5.3 Posições Relativas de Planos
Sejam pi1 : a1x+ b1y + c1z + d1 = 0 e pi2 : a2x+ b2y + c2z + d2 = 0 dois planos
quaisquer:
a) pi1 e pi2 são paralelos se, e somente se, a1, b1, c1 e a2, b2, c2 são proporcionais.
b) Nas condições do item (a):
• se d1 = d2 estão na mesma proporção, isto é, se a1, b1, c1, d1 e a2, b2, c2, d2
são proporcionais, então pi1 = pi2.
• se d1 = d2 não seguem a proporcionalidade de a1, b1, c1, d1 e a2, b2, c2, d2,
então pi1 e pi2 são paralelos distintos.
c) pi1 e pi2 são concorrentes (ou transversais) se, e somente se, a1, b1, c1, d1 e
a2, b2, c2, d2 não são proporcionais.
Exemplo 5.3.1. Estude a posição relativa dos planos:
79
a) pi1 : 2x+ y − z + 1 = 0 e pi2 : 4x+ 2y − 2z + 2 = 0.
b) pi1 : (x, y, z) = (1, 0, 1)+h(0, 0, 1)+t(2, 1, 3); t, h ∈ < e pi2 : 2x+y−z+1 = 0
c) pi1 : (x, y, z) = (1, 0, 1)+h(0, 0, 1)+t(2, 1, 3); t, h ∈ < e pi2 :

x = 4t
y = 1 + 2t
z = 2− h+ 5t
; t ∈
a) Observemos que −→n pi1 = 2−→n pi2, assim os planos pi1 e pi2 são paralelos. Além
disso, temos d1 = 2d2.
Portanto, podemos concluir que pi1 e pi2 são coincidentes.
b) Consideremos os vetores −→n pi1 = (2, 1, 3) × (0, 0, 1) = (1,−2, 0) e −→n pi2 =
(2, 1,−1).
Como estes vetores não são paralelos, temos que os planos pi1 e pi2 são con-
correntes.
c) Consideremos os vetores −→n pi1 = (1,−2, 0) e −→n pi1 = (−2, 4, 0). Observemos
que −→n pi1 = −2−→n pi2, daí os planos pi1 e pi2 são paralelos. No entanto, P (1, 0, 1)
pertence ao plano pi1 e não pertence ao plano pi2.
Consequentemente, pi1 e pi2 são estritamente paralelos.
Podemos determinar o ponto de intersecção de uma reta com um plano. Ob-
serve o exemplo a seguir:
Exemplo 5.3.2. Determine o ponto de intersecção da reta r com o plano pi,
80
em que
r :

x = −1 + 2t
y = 5 + 3t
z = 4− 2t
e pi : 2x− y + 3z − 4 = 0
Qualquer ponto de r é da forma (x, y, z) = (−1+ 2t, 5+ 3t, 3− t). Se um deles
é comum ao plano pi, suas coordenadas verificam a equação de pi:
2(−1 + 2t)− (5 + 3t) + 3(3− t)− 4 = 0
e daí resulta t = −1.
Substituindo este valor nas equações de r obtém-se:
x = −1 + 2(−1) = −3, y = 5 + 3(−1) = 2, z = 3− (−1) = 4
Logo, a intersecção de r e pi é o ponto (−3, 2, 4).
Observe agora, um exemplo em que estamos interessados em determinar a in-
tersecção de dois planos.
Exemplo 5.3.3. Sejam os planos não-paralelos
pi1 : 5x− y + z − 5 = 0 e pi2 : x+ y + 2z − 7 = 0
A intersecção de dois planos não paralelos é uma reta r cujas equações se deseja
determinar. Para tanto, dentre os vários procedimentos, apresentaremos dois.
A. Como r está contida nos dois planos, as coordenadas de qualquer ponto
(x, y, z) ∈ r devem satisfazer simultaneamente as equações dos dois planos.
Logo, os pontos de r constituem a solução do sistema:
r :
 5x− y + z − 5 = 0x+ y + 2z − 7 = 0 (5.3)
81
O sistema tem infinitas soluções (são os infinitos pontos de r) e, em termos
de x, sua solução é r :
 y = 3x− 1z = −2x+ 4 que são equações reduzidas de r.
B. Outra maneira de obter equações de r é determinar um de seus pontos e um
vetor diretor.
Seja determinar o ponto A ∈ r que tem abscissa zero. Então fazendo x = 0
nas equações do sistema 5.3 resulta o sistema −y + z − 5 = 0y + 2z − 7 = 0
cuja solução é y = −1 e z = 4. Logo, A(0,−1, 4).
Como um vetor diretor −→v de r é simultaneamente ortogonal a −→n1 = (5,−1, 1)
e −→n2 = (1, 1, 2), normais aos planos pi1 e pi2, respectivamente (figura ??), o
vetor −→v pode ser dado por
−→v = −→n1 ×−→n2 =

−→
i
−→
j
−→
k
5 −1 1
1 1 2
 = (−3,−9, 6)
ou também −1
3
(−3,−9, 6) = (1, 3,−2).
Escrevendo equações paramétricas de r, temos:
r :

x = t
y = −1 + 3t
z = 4− 2t
82
Atividade
1) Determine as equações paramétricas da reta interseção dos planos pi1 : 2x−
y − 3z + 5 = 0 e pi2 : x+ y − z − 3 = 0.
2) Determine a e b, de modo que os planos pi1 : ax + by + 4z − 1 = 0 e
pi2 : 3x− 5y − 2z + 5 = 0 sejam paralelos.
5.4 Ângulo entre Reta e Plano
Seja uma reta r com a direção do vetor −→v e um plano pi, sendo −→n um vetor
normal a pi.
O ângulo φ da reta r com o plano pi é o complemento do ângulo θ que a reta r
forma com uma reta normal no plano.
83
Tendo em vista que θ + φ =
pi
2
e, portanto, cos θ = sen φ, e com isso, temos
sen φ =
|−→v · −→n |
|−→v ||−→n | , 0 ≤ φ ≤
pi
2
Exemplo 5.4.1. Determinar o ângulo que a reta r :

x = 1− 2t
y = −t
z = 3 + t
forma
com o plano pi : x+ y − 5 = 0.
A reta r tem a direção do vetor −→v = (−2,−1, 1) e −→n = (1, 1, 0) é um vetor
normal ao plano pi. Assim, tem-se:
sen φ =
|−→v · −→n |
|−→v ||−→n | =
|(−2,−1, 1) · (1, 1, 0)|√
(−2)2 + (−1)2 + 12√12 + 12 + 02 =
| − 2− 1 + 0|√
6
√
2
=
3
2
√
3
=
√
3
2
5.5 Ângulo entre Dois Planos
Sejam os planos pi1 : a1x + b1y + c1z + d1 = 0 e pi2 : a2x + b2y + c2z + d2 =
0. Então, −→n1 = (a1, b1, c1) e −→n2 = (a2, b2, c2) são vetores normais a pi1 e pi2,
respectivamente.
Chama-se ângulo de dois planos pi1 e pi2 o menor ângulo que um vetor normal
de pi1 forma com um vetor normal de pi2. Sendo θ este ângulo, tem-se:
cos θ =
|−→n1 · −→n2|
|−→n1||−→n2| , com 0 ≤ θ ≤
pi
2
(5.4)
84
ou, em coordenadas:
cos θ =
|a1a2 + b1b2 + c1c2|√
a21 + b
2
1 + c
2
1
√
a22 + b
2
2 + c
2
2
Como cos θ ≥ 0 quando 0 ≤ θ ≤ pi
2
, o numerador de 5.4 deve ser positivo,
razão pela qual tomou-se o produto escalar em módulo, pois que este poderá ser
negativo quando o ângulo entre os vetores for o suplementar de θ.
Exemplo 5.5.1. Determine o ângulo entre os planos pi1 : 2x + y − z + 3 = 0
e pi2 : x+ y − 4 = 0
Sendo −→n1 = (2, 1, 1) e −→n2 = (1, 1, 0) vetores normais a pi1 e pi2, de acordo com
5.4 tem-se
cos θ =
|(2, 1, 1) · (1, 1, 0)|√
22 + 12 + (−1)2 · √12 + 12 =
|2 + 1 + 0|√
6
√
2
=
3√
12
=
3
2
√
3
=
√
3
2
Logo, θ = arc cos(
√
3
2
) =
pi
6
.
Como verificar, a partir de suas equações, se dois planos são perpendiculares?
Consideremos os planos pi1 e pi2, e sejam −→n1 e −→n2 vetores normais a pi1 e pi2,
respectivamente. Logo
pi1 ⊥ pi2 ⇐⇒ −→n1 ⊥ −→n2 ⇐⇒ −→n1 · −→n2 = 0
Exemplo 5.5.2. Verificar se pi1 : 3x+ y − 4z + 2 = 0 e pi2 : 2x+ 6y + 3z = 0
são planos perpendiculares.
Sendo −→n1 = (3, 1,−4) e −→n2 = (2, 6, 3) vetoresnormais a pi1 e pi2, respectiva-
mente, e como
−→n1 · −→n2 = 3(2) + 1(6)− 4(3) = 0
85
conclui-se que pi1 e pi2 são perpendiculares.
Atividades
1) Determine o ângulo entre os planos pi1 : x+ 2y + z − 10 = 0 e pi2 : 2x+ y −
z + 1 = 0.
2) Determine o valor de m de modo que os planos pi1 : 2mx + 2y − z = 0 e
pi2 : 3x−my + 2z − 1 = 0 sejam perpendiculares.
5.6 Distância de Ponto a Plano
Sejam um ponto P0(x0, y0, z0) e um plano pi : ax+ by + cz + d = 0.
Sejam A o pé da perpendicular conduzida por P0 sobre o plano pi e P (x, y, z)
um ponto qualquer desse plano.
O vetor −→n (a, b, c) é normal ao plano pi e, por conseguinte, o vetor −−→AP0 tem a
mesma direção de −→n .
A distância d do ponto P0 ao plano pi é:
d(P0, pi) = |−−→AP0|
86
Observando que o vetor
−−→
AP0 é a projeção do vetor
−−→
PP0 na direção de −→n , de
acordo com o dispositivo em 3.5, vem:
d(P0, pi) = |−−→AP0| =
∣∣∣∣−−→PP0 · −→n|−→n |
∣∣∣∣
mas
−−→
PP0 = (x0 − x, y0 − y, z0 − z)
e
−→n
|−→n | =
(a, b, c)
a2 + b2 + c2
logo
d(P0, pi) =
∣∣∣∣(x0 − x, y0 − y, z0 − z) · (a, b, c)√a2 + b2 + c2
∣∣∣∣
d(P0, pi) =
|a(x0 − x) + b(y0 − y) + c(z0 − z)|√
a2 + b2 + c2
d(P0, pi) =
|ax0 + by0 + cz0 − ax− by − cz|√
a2 + b2 + c2
Em virtude de P pertencer ao plano pi:
−ax− by − cz = d
e, portanto
d(P0, pi) =
|ax0 + by0 + cz0 + d|√
a2 + b2 + c2
(5.5)
87
Examinando esta fórmula, vê-se que o numerador é o módulo do número que
se obtém substituindo x, y e z no primeiro membro da equação geral do plano
pela coordenadas do ponto P0, e o denominador é o módulo do vetor normal ao
plano.
Observação
Se o ponto considerado for a origem O(0, 0, 0) do sistema, tem-se:
d(O, pi) =
|d|√
a2 + b2 + c2
Exemplo 5.6.1. Calcule a distância do ponto P0(−4, 2, 5) ao plano pi : 2x +
y + 2z + 8 = 0.
No caso presente tem-se:
I) coordenadas do ponto P0 : x0 = −4, y0 = 2 e z0 = 5
II) componentes do vetor normal −→n : a = 2, b = 1 e c = 2
Substituindo esse valores em 5.5, vem:
d(P0, pi) =
|2(−4) + 1(2) + 2(5) + 8|√
22 + 12 + 22
=
| − 8 + 2 + 10 + 8|√
4 + 1 + 4
=
12
3
= 4 u.c.
Como caso particular da distância entre ponto e plano, podemos calcular a
distância entre dois planos.Essa distância só estará definida quando os planos
forem paralelos.
Dados dois planos pi1 e pi2, paralelos, a distância d entre eles é a distância de
um ponto qualquer de um dos planos ao outro:
d(pi1, pi2) = d(P0, pi2) com P0 ∈ pi1
ou
d(pi1, pi2) = d(P0, pi1) com P0 ∈ pi2
88
Como se vê, a distância entre dois planos paralelos se reduz ao cálculo da
distância de um ponto a um plano.
Exemplo 5.6.2. Calcule a distância entre os planos pi1 : 2x− 2y + z − 5 = 0
e pi2 : 4x− 4y + 2z + 14 = 0
Um ponto de pi1 é P0(0, 0, 5) e um vetor normal a pi2 é −→n = (4,−4, 2). Portanto,
de acordo com 5.5, vem:
d(pi1, pi2) = d(P0, pi2) =
|4(0)− 4(0) + 2(5) + 14|√
42 + (−4)2 + 22 =
|10 + 14|√
36
=
24
6
u.c.
Atividades
1) Calcule a distância do ponto P (2,−3, 5) ao plano pi : 3x+ 2y + 6z − 2 = 0.
2) Calcule a distância entre os planos paralelos pi1 : x − 2z + 1 = 0 e pi2 :
3x− 6z − 8 = 0.
3) Determine a distância da reta r :
 x = 3y = 4 ao plano pi : x+ y − 12 = 0.
4) Dado o tetraedro de vértices A(1, 2, 1), B(2,−1, 1), C(0, 1,−1) e D(3, 1, 0),
calcule a medida da altura baixada do vértice D ao plano da face ABC.
89
capítulo
91
capítulo 6
Mudança de Coordenadas 
Objetivos
• Reconhecer coordenadas polares, cilíndricas e esféricas;
• Efetuar mudança de coordenadas;
• Determinar rotações e translações no plano.
6.1 Coordenadas Polares
Até aqui, localizamos um ponto no plano por suas coordenadas cartesianas re-
tangulares, em que um ponto do plano é localizado em relação a duas retas fixas
perpendiculares entre si. Há outros sistemas de coordenadas que dão origem a
posição de um ponto em um plano. O sistema de coordenadas polares é
um deles, em que um ponto do plano é localizado em relação a um ponto e a
uma reta que passa por esse ponto.
No sistema polar, as coordenadas consistem em uma distância orientada e na
medida de um ângulo relativo a um ponto fixo e a um semieixo fixo. Escolhe-
mos um ponto O (usualmente a origem do sistema cartesiano), chamado pólo
e uma reta orientada passando pelo polo chamada eixo polar (usualmente to-
mamos o próprio eixo x do sistema cartesiano). Seja P um ponto qualquer no
plano, distinto de O. No sistema de coordenadas polares, um ponto no plano
é localizado dando-se a distância do ponto ao polo, r = dist(P,O) e o ângulo,
θ, entre os vetores
−→
OP e um vetor na direção e sentido do eixo polar, com a
mesma direção e sentido do eixo polar, com a mesma convenção da trigono-
metria, ou seja, ele é positivo se medido no sentido anti-horário, a partir do
eixo polar e negativo se medido no sentido horário a partir do eixo polar. As
93
coordenadas polares de um ponto P do plano são escritas na forma (r, θ).
Segue facilmente as relações entre as coordenadas cartesianas e as coordenadas
polares.
Suponha que o polo e o eixo polar do sistema de coordenadas polares coincidem
com a origem e o eixo x do sistema de coordenadas cartesianas, respectiva-
mente. Então, a transformação entre os sistemas de coordenadas polares e o
de coordenadas cartesianas pode ser realizada pelas equações
x = r cos θ e y = r sen θ
r =
√
x2 + y2
cos θ =
x√
x2 + y2
e sen θ =
y√
x2 + y2
, se
√
x2 + y2 6= 0.
Estendemos as coordenadas polares para o caso no qual r é negativo da seguinte
forma:
(r, θ) = (|r|, θ + pi), para r < 0.
Assim, (r, θ) e (−r, θ) estão na mesma reta que passa pelo pólo, à distância |r|
do pólo, mas em lados opostos em relação ao pólo.
Exemplo 6.1.1. Encontre as coordenadas cartesianas retangulares para o ponto
cujas coordenadas polares são (−6, 7pi/4).
x = r cos θ = −6 cos7pi
4
= −6 ·
√
2
2
= −3
√
2
y = r sen θ = −6 sen7pi
4
= −6 · −
√
2
2
= 3
√
2
Assim, o ponto é (−3√2, 3√2).
Exemplo 6.1.2. Escreva a equação x2 + y2 − 4x = 0 em coordenadas polares.
Substituindo x = r cos θ e y = r sen θ temos: r2 cos2θ+ r2 sen2θ− 4rcos θ =
0 =⇒ r2 − 4rcos θ = 0 =⇒ r(r − 4cos θ) = 0.
94
Logo, r = 0 ou r(r − 4cos θ) = 0. O gráfico de r = 0 é a origem, contudo, ela
é um ponto do gráfico de r(r − 4cos θ) = 0 pois r = 0 quando θ = pi/2. Logo,
a equação polar do gráfico é r = 4co θ.
O gráfico de x2 + y2 − 4x = 0 é uma circunferência, podendo ser escrita como
(x− 2)2 + y2 = 4 que é a equação de uma circunferência com centro em (2, 0)
e raio 2.
Atividades
1) Encontre coordenadas cartesianas retangulares para o ponto cujas coordena-
das polares são (−1, pi
3
).
2) Escreva a equação x2 + y2 − 4x− 2y − 4 = 0 = 0 em coordenadas polares.
6.2 Coordenadas Cilíndricas
Vamos definir um outro sistema de coordenadas, chamado de sistema de co-
ordenadas cilíndricas, em que um ponto do espaço é localizado em relação a
duas retas (usualmente, o eixo z e o eixo x do sistema cartesiano) e um ponto
(usualmente a origem O do sistema cartesiano).
No sistema de coordenadas cilíndricas, um ponto no espaço é localizado da
seguinte forma: passa-se por P uma reta paralela ao eixo z. Seja P ′ o ponto
em que esta reta intercepta o plano xy. Sejam (r, θ) as coordenadas polares
de P ′ no plano xy. As coordenadas cilíndricas do ponto P são as coordenadas
polares de P ′ juntamente com a terceira coordenada retangular, z, de P e são
95
escritas na forma (r, θ, z).
Segue facilmente as relações entre as coordenadas cartesianas e as coordenadas
cilíndricas.
Suponha que o polo e o eixo polar do sistema de coordenadas polares no plano
xy coincidem com a origem e o eixo x do sistema de coordenadas cartesianas
no plano xy, respectivamente.