Fundamentos da Matemática Financeira - V

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Responsável pel o Conteúdo:
Prof. Me. Carlos Henrique de J.Costa 
Revisão Técnica: 
Prof.ª Me. Edmila Montezani 
Revisão Textual: 
Prof.ª Esp. Vera Lidia de Sá Cicaroni 
 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nesta unidade, vamos conhecer como as instituições financeiras ou empresas comerciais 
calculam os juros que aplicam a nossas prestações ou rendas com prazos de pagamentos com 
entrada, sem entrada ou com carência, portanto vamos tratar das “Séries de Pagamentos – 
Classificação das séries de pagamentos (Séries Uniformes de Pagamentos: 
Postecipadas, Antecipadas e Diferidas)”. 
 
 Finalizando 
 Séries de Pagamentos ou Rendas 
Nesta Unidade V, veremos como são constituídas as “Séries de Pagamentos 
– Classificação das séries de pagamentos (Séries Uniformes de Pagamentos: 
Postecipadas, Antecipadas e Diferidas)”, ou seja, como se constituem as 
prestações ou depósitos sem entrada ou com entrada ou, ainda, com prazo 
de carência. Para isso, introduziremos as seguintes teclas financeiras da 
HP12C: 
- Tecla PMT (calcula a prestação ou parcelas) 
- Tecla g [END] (calcula a série de pagamento postecipada) 
- Tecla g [BEG] (calcula a série de pagamento antecipada) 
O nosso objetivo é demonstrar os cálculos dos juros cobrados/efetuados 
pelas instituições financeiras ou por empresas comerciais, quando 
compramos alguma mercadoria a prazo, com ou sem entrada, ou, ainda, 
com prazo de carência. 
 
6 
 
 
 
 
 
 
Olhando para o anúncio a seguir, CERTAMENTE você entenderia que a taxa praticada 
pela loja é de 0,99% ao mês e que o valor da prestação desse carro é de R$ 716,00 por mês, 
conforme o anúncio. Mas será que essas informações estão corretas? 
 
Então, veja que temos todas as informações necessárias para calcularmos os valores e 
compararmos os do anúncio. 
QUAL É A TAXA MENSAL CORRETA PRATICADA NESSE ANÚNCIO? 
 
Solução: 
Dados: 
Renda Imediata ou Postecipada (END): “sem entrada” 
PV = R$ 25.990,00 
n = 60 meses 
PMT = R$ 716,00 
i = ? am 
 
7 
Resolução na Calculadora Financeira HP–12C 
 f [REG]  limpando registros 
 25990 CHS PV  entrando com o valor à vista “negativo” 
 60 n  entrando com o prazo de financiamento 
 716 PMT  entrando com o valor da prestação 
 i  calculando a taxa praticada nesse anúncio 
 1,82 
 
QUAL SERIA O VALOR CORRETO DA PRESTAÇÃO, SE REALMENTE A TAXA 
PRATICADA FOSSE DE 0,99% AO MÊS? 
Solução: 
Dados: 
Renda Imediata ou Postecipada (END): “sem entrada” 
PV = R$ 25.990,00 
n = 60 meses 
i = 0,99% ao mês 
PMT = ? 
Resolução na Calculadora Financeira HP–12C 
 f [REG]  limpando registros 
 25990 CHS PV  entrando com o valor à vista “negativo” 
 60 n  entrando com o prazo de financiamento 
 0,99 i  entrando com a taxa de financiamento 
 PMT  calculando o valor da prestação 
 R$ 576,56 
 
 
8 
 
 
CONCLUSÃO: A taxa correta praticada no anúncio é de 1,82% ao mês e 
NÃO 0,99% ao mês, conforme anunciado. Se a taxa de 0,99% ao mês, 
realmente fosse a praticada, teríamos uma prestação mensal bem mais 
barata, no valor de R$ 576,56. Por isso, é importantíssimo que 
conheçamos como são calculadas as “Séries de Pagamentos ou Rendas”! 
 
 
 
 
 
9 
 
 
 
 
 
 
 
 
Introdução: 
Chamamos de rendas ou séries de pagamentos os capitais de que dispomos 
periodicamente para algum fim. Pagar uma prestação de um automóvel, aplicar na poupança 
ou fazer algum investimento periódico são os exemplos mais comuns de rendas. 
Classificação (categorias em que se dividem e subdividem as rendas): 
 Termos da renda: sucessão de depósitos ou de prestações. 
 Período da renda: intervalo de tempo que decorre entre os vencimentos de dois termos 
consecutivos. 
 Rendas certas ou anuidades: ocorrem quando o número de termos, seus vencimentos e 
seus respectivos valores podem ser prefixados (você conhece as parcelas). Exemplo: Compra 
de bens a prazo. 
 Rendas aleatórias: ocorrem quando pelo menos um dos elementos não pode ser 
previamente determinado. Exemplo: Pagamento de um seguro de vida (o número de termos é 
indeterminado). 
 
Pessoal, nesta unidade veremos como são constituídas 
as “Rendas ou Séries de Pagamentos (prestações)”. 
Para isso, introduziremos as seguintes teclas financeiras 
da HP12C: 
- Tecla PMT  calcula a prestação ou parcelas; 
- Tecla g [END]  calcula a série de pagamento 
postecipada (sem entrada); 
-Tecla g [BEG]  calcula a série de pagamento 
antecipada (com entrada). 
Nosso objetivo é demonstrar os cálculos dos juros 
efetuados pelo mercado financeiro quando compramos 
alguma mercadoria a prazo, com ou sem entrada ou 
ainda com prazo de carência. Ok?!! 
 
 
10 
 
 
Quanto à data do vencimento do primeiro termo, uma renda uniforme pode ser: 
Imediata ou Postecipada (sem entrada) 
Ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá no fim do primeiro período a contar da 
data zero, isto é, da data da assinatura do contrato. Assim, o vencimento do último termo 
ocorre no fim do período n. Exemplo: compra de um bem a prazo, em prestações mensais, 
pagando a primeira prestação um mês após a assinatura do contrato (30/60/90...). 
 
 
Antecipada (com entrada) 
Ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá na data zero. O vencimento do último 
termo ocorre no início do período n. Exemplo: depósito mensal de uma mesma quantia em 
caderneta de poupança, durante um prazo determinado. (0/30/60/...). 
 
 
Diferida (carência + prazo) 
Ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá no fim de um determinado número de 
períodos a contar da data zero. O vencimento do último termo ocorre no fim de c + n 
períodos. Exemplo: compra de um bem a prazo, em prestações mensais, pagando a primeira 
prestação no fim de um determinado número de meses. 
 
Observação: 
 A série uniforme é a série de pagamentos mais comum na prática. 
 Resumindo, as séries de pagamentos uniformes podem ser: 
 IMEDIATA ou POSTECIPADA (Sem Entrada, 0 + n, END), 
 ANTECIPADA (Com Entrada, 1 + n, BEGIN) ou 
 DIFERIDA (Com Carência, c + n). 
 
Pessoal, antes de falarmos sobre cada tipo das rendas, vamos lembrar 
algumas teclas financeiras da HP12C que utilizaremos nos próximos 
exemplos, ok? 
 
11 
Teclas1 e Funções Financeiras da Calculadora HP12C: 
 
- calcula o prazo, período; 
 
- calcula a taxa; 
 
- calcula o valor presente (capital); 
 
- calcula a prestação (parcelas); 
 
- calcula o valor futuro (montante); 
 
- troca um sinal de um número de positivo para negativo ou vice e versa; 
 
[END] - para cálculos de séries uniformes de pagamentos postecipados (0 + 
n); 
 
[BEG]-para cálculos de séries de pagamentos antecipados (1 + n); 
 
[FIN] - limpa as funções financeiras; 
 
[REG] - limpa todas as funções. 
 
 
OBS: Para efetuarmos cálculos de uma prestação ou financiamento com entrada na 
HP-12C, será necessário introduzir, no display da calculadora, a função “BEGIN”, que é facilmente 
obtida através da sequência de teclas “g” [BEG], ou seja, 
 BEGIN = pagamento no início do período. 
Renda Imediata ou Postecipada (sem entrada 0/30/60/... função “END” NA HP-
12c) 
 
1 As termologias (teclas na HP-12-C) usadas acima vêm do inglês: “i” Interest, que significa Taxa ou Juro; “PV” Present 
Value, que significa Valor Presente ou Capital Inicial;“FV” Future Value, que significa Valor Futuro ou Montante; 
“n” Number, que significa Número de Períodos; “CHS” Change Sign, que significa Mudar o Sinal, servindo para 
introduzir ou tirar um sinal negativo de um número; “PMT” Payment, que significa Pagamento ou Recebimento; “END”, 
que significa Fim, servindo para cálculos de séries de pagamentos Postecipados ( 0 + n ) e “BEG” Begin, que significa 
Começar, servindo para cálculos de séries de pagamentos Antecipados ( 1 + n ). 
 
12 
 
)1(
1
.
.
iLN
PMT
iFV
LN
n







2.nPMT
PV
PV
PMT
ie 
Uma renda é imediata (ou postecipada) quando os pagamentos ocorrem no fim de 
cada período. Assim, se a renda possui n termos, o vencimento do último termo se dá no fim 
de n períodos. 
Por exemplo, vejam a esquematização, em “fluxo de pagamentos”, de uma renda 
imediata de 5 termos mensais de 100 u.m. (unidades monetárias): 
 
 
 
 
 
 
Algumas fórmulas para o cálculo algébrico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pessoal, em nossa bibliografia indicada vocês poderão encontrar, mais 
“detalhadamente”, as resoluções das fórmulas apresentadas, ok?!! 
 
Onde: 
FV = Valor Futuro 
PMT = Valor da Prestação 
i = Taxa 
n = Prazo da prestação 
Ln = Logaritmo Neperiano 
 
0 1 2 3 4 5 Meses (períodos) 
Tecla “END” na HP12C 
 100 100 100 100 100 
Fluxo de Pagamentos de uma Renda SEM Entrada (Imediata ou Postecipada) 
 
  







ii
i
PMTPV
n
n
.1
11
.
 
  







11
.1
.
n
n
i
ii
PVPMT








1)1(
.
ni
i
FVPMT  





 

i
i
PMTFV
n
11
.
)1(
.
1.
iLN
PMT
iPV
LN
n







 
13 
Exemplo 1: 
Um automóvel custa, à vista, o valor de R$ 45.600,00 (PV) e pode ser 
financiado em 72 (n) parcelas mensais iguais, sem entrada, com a taxa de 
2,1% (i) ao mês. Determine o valor das prestações (PMT). 
Solução: 
Dados: 
Renda Imediata ou Postecipada (END): “sem entrada” 
PV = R$ 45.600,00 
n = 72 meses 
i = 2,1% ao mês ou 0,021 ao mês 
PMT = ? 
 
1ª Resolução: Calculadora Financeira HP–12C 
 f [REG]  limpando registros 
 45600 CHS PV  entrando com o valor à vista do carro “negativo” 
 72 n  entrando com o prazo de financiamento 
 2,1 i  entrando com a taxa de financiamento 
 PMT  calculando o valor da prestação do automóvel 
 R$ 1.233,94 
 
 
2ª Resolução: Algébrica (Fórmula) 
  
  







11
.1
.
n
n
i
ii
PVPMT
 
 
 
 
94,233.1
...02706,045600
1...4653,4
021,0...4653,4
45600
1021,01
021,0021,01
45600
72
72



















PMT
xPMT
x
xPMT
x
xPMT
 
 
14 
 
Exemplo 2: 
Uma pessoa deposita em uma financeira, no fim de cada mês, durante 5 (n) 
meses, a quantia de R$ 100,00 (PMT). Calcule o montante (FV) da renda, 
sabendo que essa financeira paga juros compostos de 2% (i) ao mês, 
capitalizados mensalmente. 
Solução: 
Dados: 
Renda Imediata ou Postecipada (END): “no fim de cada mês” 
PMT = R$ 100,00 
n = 5 meses 
i = 2% ao mês ou 0,02 ao mês 
FV = ? 
 
1ª Resolução: Calculadora Financeira HP–12C 
 f [REG]  limpando registros 
 100 CHS PMT entrando com o valor da quantia mensal 
 “negativo” 
 5 n  prazo da aplicação 
 2 i  taxa da aplicação 
 FV  calculando o montante final (depósitos + juros) 
 R$ 520,40 
 
2ª Resolução: Algébrica (Fórmula) 
  





 

i
i
PMTFV
n
11
.
 
 
 
40,520
...2040,5100
02,0
1...1040,1
100
02,0
102,01
100
5







 






 

FV
xFV
xFV
xFV
 
 
15 
Renda Antecipada: (com entrada 1 + n... função “BEGIN” NA HP-12c) 
 É aquela em que o primeiro pagamento ocorre na data 0 (zero). Este sistema de 
pagamento (séries uniformes de pagamentos) é também chamado de sistema de pagamento 
com entrada (1 + n), ou seja, a renda antecipada ocorre quando o vencimento do primeiro 
termo se dá na data zero e o vencimento do último termo ocorre no início do período 
n. 
Por exemplo, vejam a esquematização, em “fluxo de pagamentos”, de uma renda 
antecipada de 5 termos mensais de 100 u.m. (unidades monetárias): 
 
 
 
 
 
 
 
 
Algumas fórmulas para o cálculo algébrico: 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
FV = Valor Futuro 
PMT = Valor da Prestação 
i = Taxa 
n = Prazo da prestação 
 
0 1 2 3 4 5 Meses (períodos) 
Tecla “BEGIN” na HP12C 
 100 100 100 100 100 
Fluxo de Pagamentos de uma Renda COM Entrada (Antecipada) 
 
 i
i
i
PMTFV
n





 
 1.
11
.
 









 ii
i
PMTPV
n
n
.)1(
11
.
1
 










1)1(
.1
.
1
n
n
i
ii
PVPMT
16 
Exemplo: 
Um automóvel que custa, à vista, R$ 17.800,00 (PV) pode ser financiado em 36 
(n) pagamentos iguais. Sendo o primeiro pagamento no ato da compra e
sabendo-se que a taxa de financiamento é de 1,99% (i) ao mês, calcule o valor
da prestação mensal desse financiamento (PMT).
Solução: 
Dados: 
Renda Imediata (BEGIN): “sendo primeiro pagamento no ato da compra” 
PV = R$ 17.800,00 
n = 36 meses 
i = 1,99% ao mês ou 0,0199 ao mês 
PMT = ? 
1ª Resolução: Calculadora Financeira HP–12C 
f [REG]  limpando registros
g 7 [BEGIN] 
17800 CHS PV 
 cálculo de prestações com entrada
 Entrar com o valor mensal "negativo" 
“negativo” 
36 n  prazo da aplicação
1,99 i  taxa da aplicação
PMT  calculando o valor da parcela
R$ 683,62 
2ª Resolução: Algébrica (Fórmula) 
 










1)1(
.1
.
1
n
n
i
ii
PVPMT
 
62,683
...0384,017800
...0327,1
...0396,0
17800
1)0199,01(
0199,00199,01
17800
36
136



















PMT
xPMT
xPMT
x
xPMT
 
17 
Renda Diferida: (com prazo de carência c + n...) 
É aquela em que os períodos ou intervalos de tempo entre as prestações (PMT) 
ocorrem pelo menos a partir do 2º período; ou seja, se considerarmos um período qualquer 
como sendo (n), o período seguinte será (n+1), o próximo será (n+2) e assim 
sucessivamente. Podemos dizer também que é aquela em que o primeiro termo é exigível a 
partir de um certo período de carência (c + n). 
Por exemplo, vejam a esquematização, em “fluxo de pagamentos”, de uma renda 
diferida de 5 termos mensais de 100 u.m. (unidades monetárias) com 3 meses de carência: 
 
Caso de Postecipado (Imediato): 
 
 
 
 
 
 
 
Caso de Antecipado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 1 2 3 
 100 100 100 100 100 
Fluxo de Pagamentos de uma Renda COM CARÊNCIA (Diferida) 
0 1 2 3 4 5 
CARÊNCIA 
3 MESES 
0 1 2 3 
 100 100 100 100 100 
Fluxo de Pagamentos de uma Renda COM CARÊNCIA (Diferida) 
0 1 2 3 4 5 
CARÊNCIA 
3 MESES 
 
18 
 
Algumas fórmulas (cálculo algébrico): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO: 
Uma mercadoria encontra-seem promoção e é comercializada em 5 (n) 
prestações iguais de R$ 150,00 (PMT); a loja está oferecendo ainda uma 
carência de 3 (c) meses para o primeiro pagamento. Determine o valor à vista 
(PV) dessa mercadoria, sabendo-se que a taxa de juros praticada pela loja é de 
3% (i) ao mês. 
Solução: 
Dados: 
Renda Diferida (BEGIN): “a loja está oferecendo ainda uma carência” 
PMT = 150,00 
n = 5 meses 
c = 3 meses  A) 3 meses  usar o modo [BEGIN] na HP12C 
 B) 3 – 1 = 2 meses  usar o modo [END] na HP12C 
i = 3% ao mês 
PV = ? 
 
Onde: 
FV = Valor Futuro 
PMT = Valor da Prestação 
i = Taxa 
c = Prazo da carência 
n = Prazo da prestação 
Ln = Logaritmo Neperiano 
 
 
1)1(
11
.








 

c
n
i
i
i
PMT
PV
  n
c
i
iiPV
PMT





11
.)1.( 1
 




















 



iLN
PMT
iiPV
LN
n
c
1
)1.(.
1
1
 
19 
1ª Resolução: Calculadora Financeira HP–12C 
 
A) MODO [BEGIN] UTILIZANDO CARÊNCIA = 3 MESES: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Na HP-12C: 
f [REG]  Limpando registros 
g 7 BEGIN  Série de pagamento antecipada 
150 PMT  Entrando com o valor da parcela 
5 n  Prazo 
3 i  Juros 
P V 707,56  1º VALOR PRESENTE da mercadoria 
CHS FV  1º VALOR da mercadoria VIRA VALOR 
FUTURO 
0 PMT  Valor da parcela da carência 
3 n  PERÍODO DE CARÊNCIA PARA O 
 MODO [BEGIN] 
 
PV  Calculando o valor à vista da 
mercadoria 
647,52 
 
 
 
0 1 2 3 
 150 150 150 150 150 
A) MODO [BEGIN] UTILIZANDO CARÊNCIA = 3 MESES 
0 1 2 3 4 5 
CARÊNCIA 
3 MESES 
 
20 
 
B) MODO [END] UTILIZANDO CARÊNCIA  3 MESES – 1 MÊS = 2 MESES: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na HP-12C: 
f [REG]  Limpando registros 
g 8 END  Série de pagamento postecipada 
150 PMT  Entrando com o valor da parcela 
5 n  Prazo 
3 i  Juros 
P V 686,96  1º VALOR PRESENTE da mercadoria 
CHS FV  1º VALOR da mercadoria VIRA VALOR 
 FUTURO 
0 PMT  Valor da parcela da carência 
2 n  PERÍODO DE CARÊNCIA PARA O 
 MODO [END] 
 
PV  Calculando o valor à vista da 
 mercadoria 
647,52 
 
2ª Resolução: Algébrica (Fórmula) 
 
1)1(
11
.








 

c
n
i
i
i
PMT
PV 
0609,1
...5797,4150 x
PV 
 
 
52,647PV
 
 
0 1 2 3 
 150 150 150 150 150 
B) MODO [END] UTILIZANDO CARÊNCIA  3 MESES – 1 MÊS = 2 MESES 
0 1 2 3 4 5 
CARÊNCIA 
3 MESES 
 
13
5
)03,01(
03,0
03,011
150








 

x
PV
 
21 
 
FINALIZANDO 
 
Pessoal! Nesta unidade vimos que as rendas se dividem em 3 (três) categorias quanto 
ao pagamento: Sem Entrada (Renda Imediata ou Postecipada), Com Entrada (Renda 
Antecipada) e Com Carência (Renda Diferida). Não deixem de praticar os cálculos, 
para fixarem os conceitos que aprenderam e tirarem suas dúvidas. 
Como sempre, estou confiante em que vocês conseguirão acompanhar e em que, ao 
vencerem mais essa etapa, estarão preparados para a próxima desta disciplina. 
Agradeço a todos, continuem se esforçando sempre e até a próxima! 
Um forte abraço! 
 
Aproveitando, lembrem-se: se houver qualquer dúvida, enviem-na 
diretamente para seu professor “tutor”. Ele, com certeza, irá ajudar, ok!! 
 
 
 
 
 
22 
 
 
 
 
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23 
 
 
 
CASTELO BRANCO, A.C. Matemática Financeira Aplicada: Método Algébrico, HP-
12C, Microsoft Excel®. 3ª Edição Rev. São Paulo: Cengage Learning, 2010. 
FRANCISCO, W. Matemática Financeira. 7ª Edição. São Paulo: ATLAS, 1991. 
GIMENEZ, C.M. Matemática Financeira com HP12C e Excel. São Paulo: PEARSON, 
2006. 
SAMANEZ, C.P. Matemática Financeira. 4ª Edição. São Paulo: PEARSON, 2007. 
SCIPIONE, J.T. Matemática Financeira. São Paulo: PEARSON, 1998. 
VERAS, L.L.. Matemática Financeira: Uso de Calculadoras Financeiras Aplicações 
ao Mercado Financeiro. 4. ed. São Paulo: Atlas, 2001. 
 
24