Estudo de cargas móveis em Estruturas Isostáticas - Rodrigo Carvalho da Mata

Prévia do material em texto

Pontes e Grandes Estruturas 
Profº Rodrigo Carvalho da Mata, Dr. 
 
1 
 
1 – ESTUDO DE CARGAS MÓVEIS EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS 
 
1.1 – Cargas Móveis - Trem – Tipo. 
 
Já vimos que as cargas que atuam sobre uma estrutura podem ser classificadas em: 
1) Permanentes: atuam sempre sobre a estrutura. 
Ex.: peso próprio, revestimentos, equipamentos,... 
2) Acidentais: eventualmente atuam sobre a estrutura. 
Ex.: vento, terremoto, neve, materiais, água, móveis,... 
 
As cargas acidentais podem ainda ser classificadas em fixas e móveis: 
a) Fixas: posição de valor determinado, conhecido. 
b) Móveis: valor conhecido, mas posição variável. 
Ex.: veículos, trens, cargas em ponte rolante,... 
 
Seja por exemplo o projeto de um viaduto. Que cargas móveis colocaremos sobre ele? 
Existem infinitas combinações de veículos possíveis, qual devemos escolher? Apesar da 
posição dos veículos não ser conhecida, o valor do peso de cada roda (eixo) e a distância entre os 
eixos é conhecida. Além de veículos, pessoas também podem atuar sobre o viaduto, o que é 
denominado de “carga de multidão”. 
 
Baseadas nestes valores conhecidos, as normas da cálculo estabeleceram cargas móveis 
ideais (típicas de cada país) denominadas “ Trem – Tipo”, como mostram as figuras a seguir. 
 
1.2 – O Problema a Resolver 
Seja, por exemplo, a viga abaixo, submetida a uma carga permanente uniformemente 
distribuída que: 
 
 
l l/4
q=2tf/m
Pontes e Grandes Estruturas 
Profº Rodrigo Carvalho da Mata, Dr. 
 
2 
 
-l²/16
l²/32
3l²/32
(DMF)g
2m
P = 1tf
2m 1m
(-)
(DMF)a
-1
+1
(DMF)a
(+)
1m2m2m
P = 1tf
O diagrama de momentos fletores para carga permanente é: 
 
 
 Para l = 4m 
 
 
 
 
 
Seja uma carga móvel, de 1tf, que pode atuar e qualquer ponto da estrutura P(z). O problema 
a resolver é a determinação dos esforços máximos e mínimos provocados pela carga móvel. Por 
exemplo, qual o momento fletor máximo )M( máx e o mínimo )M( máx provocado por P(z), que 
devemos somar com os momentos causados pro cargas permanentes. 
Para este caso simples, observa-se que o momento f será mínimo, )M( máx , quando P for 
aplicada em C e o momento fletor será máximo quando P for aplicada em E: 
 
i) 
 
 
 
 )M( máx = -1tfm 
 
ii) 
 
 
 )M( máx = +1tfm 
 
 
tfm5,1M
tfm1M
máx
máx




z P = 1tf
A E
B C
Iglesias
Realce
Iglesias
Nota
+ 3,5 tf.m
Iglesias
Realce
Iglesias
Realce
Pontes e Grandes Estruturas 
Profº Rodrigo Carvalho da Mata, Dr. 
 
3 
 
2tf/m
4tf8tf
4tf
8tf
2tf/m
+
+
Faz-se então a envoltória dos esforços: 
i) máxM = -1(perm.) –1 (acid.) = -2tfm 
ii) máxM = +1,5(perm.) +1(acid) = + 2,5tfm 
 
Em geral as cargas móveis não são tão simples, no caso de veículos podemos ter por 
exemplo: 
 
 
 
Mas, supondo que a estrutura tenha comportamento linear, podemos usar a superposição de 
efeitos e decompor o trem – tipo em: 
 
 (=4x1tf) 
 
 (=8x1tf) 
 
 (série infinita de cargas concentradas)
 
 
A resolução do problema de cargas móveis em estruturas será feita através do processo de 
linhas de influência que será definido a seguir. 
Supõe-se inicialmente que o trem-tipo é constituído de apenas 1 carga concentrada unitária. 
Em seguida, são feitos os cálculos necessários para levar-se em conta o trem-tipo real. 
 
1.3 – Linhas de Influência – Definição 
 
Linha de um efeito elástico E em uma dada seção S é a representação gráfica do valor deste 
efeito em S produzido por uma carga concentrada unitária (de cima para baixo) que percorre a 
estrutura. Gráfico E x z para P(z) = 1 . 
 Efeito elástico pode ser esforço (axial, cortante, momento fletor ou torsor), reação de 
apoio ou deformação. 
Seja por exemplo a linha de influência do momento fletor em S para a viga a seguir: 
Pontes e Grandes Estruturas 
Profº Rodrigo Carvalho da Mata, Dr. 
 
4 
 
Sx
1z
ΑV
sM
x
1z
L-x
L-z
BV
 
 
 i) z = 0 Ms = 0 
 ii) z = a Ms =    x
L
xL  
 iii) z = L Ms = 0 
 iv) z = 
4
L5 Ms = 
4
x 
 (x é fixo, z varia) 
 Para x = 1m, L = 4m: 
 75,0M1  25,0M2  
 
 
Na verdade deve-se analisar se a carga está à esquerda ou á direita da seção: 
i) :xz0  
 
 
 Ms  zx1xVMs A  
Ex: x = 1m 
 L = 4m Sendo  
L
zL.1VA
 
 
    
4
z3z1
4
z1z1.11.
4
z4Ms
4
z4VA 

  
Eq. uma reta {  Sm1z 0z  75,0Ms 0Ms  
ii) L
4
5zx  
 
 
L
z
L
P
V zB  
 
   
   xzxL
L
zM
xz1xLVM
S
BS


 
A
S C
B l/4
x
P = 1z
L-x
L
   1MxL
xL 
 2M4
x
SLIM
Pontes e Grandes Estruturas 
Profº Rodrigo Carvalho da Mata, Dr. 
 
5 
 
A S E B C
-0,25
-0,75
0,25L
F BED
A
G C
0,25L 0,25L0,25L 0,125L 0,125L
0,
25
L
0,
12
5L
-
-LIME
0,
06
25
L
LIMD
-
-
0,
12
5L
LIMF
-
0,
18
75
L
-
0,
18
75
L
-LIMG
0,
12
5L
LIMB - 0,25
L
 
Ex: m1x  , m4L  :   z
4
111zz
4
3MS  
Eq. de uma reta 






5z
4z
1z
 
25,0
4
1
4
51M
0M
75,0
4
3
4
11M
S
S
S



 
 
 Ex: Quando m2z  ( tf1P  em E) 
 LIMS tfm5,0MS  
 SM para 1PZ  em E: 75,0MSmáx  25,0MSmáx  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pontes e Grandes Estruturas 
Profº Rodrigo Carvalho da Mata, Dr. 
 
6 
 
0,
25
1,
0LIRA
0,125L0,125L0,25L0,25L0,25L0,25L
CGBFED
A
+
LIRB 1,0
0,
12
5+
LIQBdir
1,
0-
LIQD -
0,
25-
0,
25
0,
75 +
LIQE
+0,
5
- 0
,2
5-
0,
5
LIQF +
0,
75
0,
25
-
0,
25-
LIRA
1,
0
0,
25
-
-
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pontes e Grandes Estruturas 
Profº Rodrigo Carvalho da Mata, Dr. 
 
7 
 
P1... Pi... Pn
i
q
a
b
1qdz
v
dz
 
1.4 – Obtenção dos Efeitos, Conhecidas as L.I. 
 
Mais tarde veremos com detalhes a obtenção de linhas de influência para diversos tipos de 
estruturas e voltaremos ao exemplo anterior para obter as L.I. de reações e esforços mostrados 
nas páginas 114, 
a) Seja por exemplo em trem-tipo constituído de n cargas concentradas que percorre uma 
estrutura cuja L.I. do efeito E na seção S é: 
 
 
LIES 
 
 
 
 i 
 
*O valor do efeito produzido em S por uma carga unitária atuando no ponto i é i . Logo 
o efeito produzido por uma carga Pi é Pi i . 
*Pelo princípio de superposição de efeitos (supondo material elástico-linear e pequeno 
deslocamento) o efeito em S produzido por todas as cargas é:  

n
1i
iiS PE . 
b) Seja agora um trem-tipo composto por uma carga uniformemente distribuída q, de az  
até 6z  : 
 
 
 LIES 
 i 
 
 
  
   qdzq.qdzE
b
a
i
b
a
iS (área abaixo do gráfico da LI de a a b) 
Sendo  denominada área de influência. 
Pontes e Grandes Estruturas 
Profº Rodrigo Carvalho da Mata, Dr. 
 
8 
 
z
S
P=1
x
-
AM
AR
L
(+)
(-)
LIRA
+1
-L
LIMA
+1
LIVS(+)nulo
(-)
nulo
-(L-x)
LIMS
z 1
MS
VS
z
xRA = 1
1 x
z
VS
MS
z 1 não entra
 
c) Caso geral – tremtipo composto de cargas concentradas mais uma carga distribuída: 
   qPE iiS 
Obs.: 
- Os conceitos vistos até aqui para linhas de influências são válidos para estruturas 
isostáticas e hiperestáticas. 
- A unidade das LI de momento fletor é de comprimento e a unidade das L.I. de reação de 
apoio, esforço normal e cortante é adimencional. 
Veremos em seguida a obtenção de L.I´s e de efeitos de tens-tipo, inicialmente para 
estruturas isostáticas simples. 
 
1.5 – Exemplos em Estruturas Isostáticas Simples: 
1.5.1 – Viga Engastada e Livre 
 
 Rações de apoio 
 i) 0Fy  z , 1R A  
 ii) 0MA  1MA  , 0z  zMA  
 (será considerado  ): 
 R  
 M tracionando fib. inf. 
 Esforços em S: 
 i) carga à esquerda de S, z < x 
 0VS  
 x.1zMS  
 )zx.(1  
 0MS  
 ii) carga à direita de S, z > x 
 
 
 1VS  
 x.1zMS  
Pontes e Grandes Estruturas 
Profº Rodrigo Carvalho da Mata, Dr. 
 
9 
 
1tf/m 20tf 10tf
3m
carga de 
multidão
infinita
10m
10tf20tf
+1
LIRA
1tf/m
1tf/m 10tf20tf
3m7m
(-) LIMA
-10 -10
LIMA (m)(-)
7m 3m
20tf10tf1tf/m
  xz  
 Obter as reações de apoio máximas para uma viga em balanço com 10m de vão 
submetida ao trem-tipo: 
 
 
 
 
i) RA : 
 
 
 
 
 
  tf4010.1.11.101.20R A  
 
ii) Para obter-se o momento máximo no engaste deve-se pesquisar qual a posição do trem-
tipo mais desfavorável (que implica na reação máxima). 
 
a) Sentido  b) Sentido  
 
 
 
 
 1 2 
 
 
É óbvio que o caso b) é mais desfavorável: 
2211A PP.m/tf1M  710
7
10 1
1  
     m10.tf20m7.tf10m50.m/tf1M 2A  502 10.10  
2007050MA  = 320tf.m 
 
Pontes e Grandes Estruturas 
Profº Rodrigo Carvalho da Mata, Dr. 
 
10 
 
LIVSnulo
LIRA
+1
(+)
L
x
1
S
z
RA RB
+1
LIRB
1
-1
x
L-x
LIMS
z 1
MS
VS
x
L-z1
MS
VS
L-x z/L
 
1.5.2 – Viga Bi-Apoiada 
 
 Reações de apoio: 
 

L/z1
A L
zLR

 ; 
L
zR B  
 Esforços na seção S: 
 i) carga à esquerda de S: (z < x) 
 
 1
L
zLVS  
 
L
zVS
 
 
L
zL  
     z
L
x1zx.1x.
L
zLMS 

  
 x
L
zzMS  
 ii)carga à direita de S: (z > x) 
 
 
L
z1VS  
 
 
 
 
       xz
x
L
zz
S zLxL.1xLL
zM


 
 z
L
xxxx
L
zMS  
 
 
Pontes e Grandes Estruturas 
Profº Rodrigo Carvalho da Mata, Dr. 
 
11 
 
1tf/m
3m
10tf20tf
3m 3m 3m 3m
(1) (2) (1´)
L=12m
2tf/m
Mg
27 36 27
LIM(1)
20tf 10tf
1tf/m
3
9
 
 
 Obter a envoltória (esforços máximos e mínimos) de momentos fletores para a viga 
abaixo, indicando os esforços nas seções indicadas: (1), (2) e (1´): 
Dados: a) carga permanente m/tf2g  
 b) carga móvel 
 
 
 
Estrutura 
 
 
a) carga permanente: 
 m.tf36
8
144.2
8
qLM
2
)2(  
 m.tf27
2
3.23.12MM
2
´)1()1(  
 
 
 
b) carga móvel 
b.1) seção (1), (1´) 
 

 25,2.
2
12.15,1.1025,2.20M )1(máx 
 m.tf5,73M )1(máx  
 
 
 1 2 25,23.4
3
1  5,13.4
2
2  
 m.tf5,1005,7327M )1(total  
 
 
 
Pontes e Grandes Estruturas 
Profº Rodrigo Carvalho da Mata, Dr. 
 
12 
 
LIM(2)
20tf 10tf
1tf/m
-66
min.
(1´)(2)(1)
27 27
36
100,5 100,5
129
faixa de trabalho
da viga
máx
 
 
b.2) seção (2) 
 


2
12.3.15,1.103.20M )2(máx 
 m.tf93M )2(máx  
 
 1 2 Será visto posteriormente que sempre 
 ocorrerá um efeito máximo quando uma 
 31  5,12  das cargas concentradas atuar re um dos 
m.tf1299336M )2(total  pontos angulosos da linha de influência. 
 
 
ENVOLTÓRIA DE MOMENTOS FLETORES: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para obter-se a envoltória de esforços cortantes procede-se analogamente (ver Sussekind, .1 
pg 277-280). 
 
 
 
 
Pontes e Grandes Estruturas 
Profº Rodrigo Carvalho da Mata, Dr. 
13 
 
PnPi ...
dzq
P3P2
dzP1z
dztgi 
i
i
1.6 – Análise de Efeitos 
 
1.6.1 Teorema Geral 
 
“Haverá uma efeito máximo quando uma das sucessiva cargas concentradas estiver sobre 
um dos pontos V1 angulosos da linha de influência” (mesmo que uma das cargas do trem-tipo 
caia fora da estrutura). 
(Vale também para estruturas hiperestáticas). 
 
 
 
 
 
 
 
Para um acréscimo dz à variável z, tem-se um acréscimo do efeito E: 
         qPqdztgPEdEEdE iiiii 
  ii tgPdzdE   ii tgPdz
dE 
- antes do máximo   0tgP ii 
- após o máximo   0tgP ii 
Como  iP é constante, deve haver uma mudança em i para que as condições acima sejam 
atendidas  o máximo ocorre quando uma das cargas esta sobre um ponto anguloso da L.I. 
 
1.6.2 – Obtenção de Momento Fletor Máximo de uma Seção S de um Viga Bi-apoiada para 
um dado Trem-tipo Constituído de Cargas Concentradas 
 
- Supondo que todas as cargas do trem-tipo situem-se sobre a viga, 
- Chamando de R a resultante de todas as cargas do trem-tipo, 
- Supondo que RP seja a carga que atue sobre o ponto anguloso da L.I.: 
 
 
1k
1i
k
1i
ii PL
xRP onde x é a distância de S até o apoio x e L é o comprimento do vão. 
 
Pontes e Grandes Estruturas 
Profº Rodrigo Carvalho da Mata, Dr. 
14 
 
P1 Pk PN
S
x L-x
LIMS
8m
S
20m
5 10 12 15 8
1m 2m 2m 2m
(tf)
5 10 12 15 8
1m 2m 2m 2m5m
8m
1
2 k 4
5
OBS.: Deve-se analisar os 2 sentidos do trem-tipo, separadamente. 
 
 
 (Ver demonstração no Sussekino) 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Viga 
m20L
m8x

 
 
 
 
Trem-tipo 
 
 
 
 
 
 
1º Sentido 
tf20
20
8.50
L
xR
tf5081512105R


 
Logo deve-se ter 
pico
o
após
pico
do
antes
1210520105  
Logo 12tf é a carga sobre o pico kP 
 
2,3;0,4
6,3
8
6
8,4
0,3
8
5
8,4
8,4
5
24
20
12
8
54
2
2
1
1
k




 
Pontes e Grandes Estruturas 
Profº Rodrigo Carvalho da Mata, Dr. 
15 
 
8 15 12 10 5
5
510158 12
6m 7m
3,6
4,8
4,0
3,2
m.tf2,1942,3.80,4.158,4.126,3.1030.5M )máx(S  
2° Sentido:  
 
 
20
L
xR  
 23
158208  tf15Pk  
 
 8,2
12
7
8,4 5
5  
 
 
 
 
m.tf8,1948,2.52,3.100,4.128,4.156,3.8M )máx(S  
Este sentido prevalece  )máx(SM 
Pontes e Grandes Estruturas 
Profº Rodrigo Carvalho da Mata, Dr. 
16 
 
H
I
LIRE
LIRF
-
LIMI
1
+
LIRI
LIVS
LIRC
BA C D E S F G
- -
+
+1
-
+
1
+1
++
---
-1
++
--
+1
-1
-1
-
+
+
+1
 
 
Pontes e Grandes Estruturas 
Profº Rodrigo Carvalho da Mata, Dr. 
17 
 
 
GECA IH
L m n g h
+
-
m/LLIRA
1,0
1,
0
LIRC
1,0+m/L
+
 
 
EdirEesq QQ  
P = 1,0
Edir.
QEdir. = 0,0QEesq. = 1,0
Eesq.
QEdir. = 0,0
Edir.
QEesq. = 1,0
Eesq.
E
P = 1,0
E
E
QEdir.QEesq. QEesq. QEdir.
E
 
Devido à convenção 0,1Q .Eesq  
QEdir. = 1,0
Edir.
QEdir. = 1,0 P = 1,0
Eesq.
QEesq. = 1,0
E
P = 1,0
Edir.
E
Eesq.Pontes e Grandes Estruturas 
Profº Rodrigo Carvalho da Mata, Dr. 
18 
 
LIQF
e/n
f/n
(+)
LIQE
direita
(+)
1,0
LIQE
esquerda
1,0
(+)
LIQD
1,0
(+)
LIQC
direita
1,0
(+)
LIQC
esquerda
(-)
1,0
(-) m/L
LIQBb/L
a/L
(-)
m/L(-)
(+)
LIQA
direita
(+)1,0
(-) m/L
ma/L
(+) ef/n
LIMF
(-)d
LIMEzero
LIMC
LIMB
- ma/L
+ ma/L
LIMAzero
nmL
fedb
FDB
hgca
H IA C E G
 
d) Exercício 
Pontes e Grandes Estruturas 
Profº Rodrigo Carvalho da Mata, Dr. 
19 
 
q = 1tf/m
Q = 10tfQ = 10tf
2,5m
 
Determine os valores máximos e mínimos do momento fletor no ponto C, da força-cortante 
no ponto D e da reação vertical no apoio A, na viga abaixo para o seguinte carregamento: 
 
 
10m
2,5m2,5m 5m
BA
D C
 
 
permanente  
 
 
 
 
acidental  
(trem-tipo) 
 
 
 
 
 
d.1) Momento fletor em C 
 
Para a determinação dos valores máximo e mínimo do momento fletor no ponto C, 
deveremos estabelecer os carregamentos abaixo esquematizados: 
linha de influência
de M para C
máximo
mínimo
+
1,
25
m
2,
5m
2,5m
QQ
g
g
A B
5m
C
5m
q
 
50,2
10
5x5
L
aa 21  
g = 2tf/m
Pontes e Grandes Estruturas 
Profº Rodrigo Carvalho da Mata, Dr. 
20 
 
Portanto: 
tfm7525,1x105,2x10
2
10x5,2x125M
tf25
2
10x5,2x2M
C,máx
C,mín


 
 
d.2) Força cortante em D 
 
Para a determinação dos valores máximo e mínimo da força cortante no ponto D, 
deveremos estabelecer os carregamentos abaixo esquematizados: 
linha de influência
de M para D
-
0,
25
0,
500
,7
5
+
q
Q
2,5m
Q
g
máximo
mínimo
q
Q
7,5m2,5m
D
g
BA
 
 
25,0
10
5,2
L
a1  75,0
10
5,7
L
a 2  
 
 
Portanto: 
Pontes e Grandes Estruturas 
Profº Rodrigo Carvalho da Mata, Dr. 
21 
 
tf125,235,0x1075,0x10
2
5,7x75,0x100,5V
tf188,250,2312,000,525,0x10
2
5,2x25,0x1
2
5,2x25,0
2
5,7x75,0x2V
D,máx
Dmin,



 
 
 
d.3) Reação vertical no apoio A: 
 
Para a determinação dos valores máximo e mínimo da reação vertical no apoio A, 
deveremos estabelecer os carregamentos abaixo esquematizados: 
RV,1
linha de influência
de 
RV,2RV,1
1,
00
0,
75 +
q
QQ
mínimo
máximo
g
g
10m
BA
 
Logo, no trecho CS, a linha de influência de M para S é uma reta com ordenadas –(a3 – a1) 
em C e nula em S. No trecho SD, esta linha de influência tem todas as ordenadas nulas, pois, a 
carga F = 1 aí atuando não provoca momento fletor em S. 
 
Portanto, para a seção S localizada no balanço da esquerda, ou coincidindo com o apoio A, 
podemos elaborar a seguinte figura: 
 
Pontes e Grandes Estruturas 
Profº Rodrigo Carvalho da Mata, Dr. 
22 
 
-
BAC D
S
F1
a1
a3 a4L
45°
a3 - a1
a3
 - 
a1 Linha de influência 
de M para S
Linha de influência 
de M para A
a3
45°
-
a3
1
2
 
Portanto, podemos elaborar a seguinte figura: 
-
L a4a3
a1
F11 F21 F31
S
a2
-
+
a1
a2
 2 M 4
x L
a.a 32
1
L
a.a 21
 
 
Pontes e Grandes Estruturas 
Profº Rodrigo Carvalho da Mata, Dr. 
23 
 
Assim, os momentos fletores em S produzidos pelas cargas F1, F2, F3  1 serão, 
respectivamente: 
 
11S .FM  ; 22S .FM  e 33S .FM  
 
Para determinar a linha de influência do esforço cortante para a seção S, deve ser analisado 
o efeito V na seção S quando a carga F = 1 estiver atuando entre C e S para qualquer posição 
daquela carga entre C e S: 
1FVS  
Logo, no trecho CS a linha de influência de V para S é uma reta com ordenada unitária 
constante. No trecho SD, esta linha de influência tem todas as ordenadas nulas, pois, a carga F=1 
aí atuando não provocará força cortante em S. 
 
Portanto, para a seção S localizada no balanço da esquerda oi coincidindo com a seção A à 
esquerda, podemos elaborar a seguinte figura: 
Linha de influência 
de V para Aesq
Linha de influência 
de V para S
1 1 -
-11
BAC D
S
F1
a3 a4L
 
 
 
 
 
 
Pontes e Grandes Estruturas 
Profº Rodrigo Carvalho da Mata, Dr. 
24 
 
S
F41F21
a2a1
+
-
F11
a3 a4L
-
F31
+
1
1
Linha de influ-
ência de V
para S
Linha de influ-
ência de V
para Adir
1
1
-
+
+
Linha de influ-
ência de V
para Besq
+
-
1
1-
i
L
a. a3 2
L
a 3 1

1,2
L
a 2
L
a 1
1,3 4
L
a 4
L
a3 1 2,2
42,3
L
a 3 1
3,2
3,3
 
 
 
Pontes e Grandes Estruturas 
Profº Rodrigo Carvalho da Mata, Dr. 
25 
 
 
L
Lax
R 31,V
 (reta) 
 
L
ax
R 32,V
 (reta) 
Se 0RLax 1,V3  
 1R 2,V  
Se 
L
a
RaLax 41,V43  
  
L
a
1
L
La
R 442,V  
Logo, no trecho BD, a linha de influência de RV,1 é a reta com ordenadas nula em B e 
(-a4/L) em D e a linha de influência de RV,2 é uma reta com ordenadas unitárias em B e (1+a4/L) 
em D. 
 
Portanto, podemos elaborar a seguinte figura: 
F31F21
+
F11
a3 a4L
C D
A B
+
1
1
linha de 
influência de RV,1
linha de 
influência de RV,2
L
a1 3
1,1
1,2 1,3
L
a 4
L
a3
2,1 2,2
2,3 L
a1 4
 
 
 
e) Exercício: 
Pontes e Grandes Estruturas 
Profº Rodrigo Carvalho da Mata, Dr. 
26 
 
2m
Q = 4tf
q = 2tf/m
g = 4tf/m
Q = 4tf Q = 4tf
2m
 
Determinar os valores máximo do momento fletor no ponto C, máximo da força cortante 
no apoio A à direita, mínimo da força cortante no ponto D e máximo da reação vertical no apoio 
B, na viga esquematizada abaixo, para o seguinte carregamento: 
 
3m3m
3m12m6m
DC
A
C
B
 
 
permanente  
 
 
 
 
acidental  
(trem-tipo) 
-
+
+
0,
25
0,
66
7
0,
83
3
1,
00
0,
50
Q Q Q 
2m 2m
q 
g 
BA
 
e.1) Momento fletor em C: 
Pontes e Grandes Estruturas 
Profº Rodrigo Carvalho da Mata, Dr. 
27 
 
 
Para a determinação do valor máximo do momento fletor no ponto C, deveremos 
estabelecer o carregamento abaixo esquematizado: 
1,
50
2,
00
3,
00
2,
00
3,
00
-
+
-
2m
Q Q 
A B
g 
q 
2m
Q 
 
Portanto: 
tfm0,912.42.43.4
2
12.3.2
2
3.50,1
2
12.3
2
6.34M C,máx 

  
 
e.2) Força cortante em A à direita: 
 
Para a determinação do valor máximo da força cortante no apoio à direita, deveremos 
estabelecer o carregamento abaixo esquematizado: 
 
 
Pontes e Grandes Estruturas 
Profº Rodrigo Carvalho da Mata, Dr. 
28 
 
2m
+
+
1,
00
0,
50
Q 
A
- 0,
25
0,
66
7
0,
83
3
2m
q 
Q Q 
B
g 
 
 
 
Portanto: 
 
dirA,máxV 

 

  667,0.4833,0.41.4
2
12.1
2
6.50,0.2
2
3.25,0
2
12.1
2
6.50,0.4 
 tf5,53 
 
 
e.3) Força cortante em D: 
 
Para a determinação do valor mínimo da força cortante no ponto D, deveremos estabelecer 
o carregamento abaixo esquematizado: 
 
 
 
 
Pontes e Grandes Estruturas 
Profº Rodrigo Carvalho da Mata, Dr. 
29 
 
+0,
50
0,
25
0,
25 +
1
1
0,
750,
58
3
0,
41
7- -
q q 
2m 2m
Q Q Q 
D
g 
BA
 
 
Portanto: 
 


 

  417,0.4583,0.475,0.4
2
3.25,0
2
9.75,0.2
2
3.25,0
2
3.25,0
2
9.75,0
2
6.50,0.4V Dmin,
 
 tf22 
 
e.4) Reação vertical no apoio B:Para a determinação do valor máximo da reação no apoio B deveremos estabelecer o 
carregamento abaixo esquematizado: 
 
 
 
Pontes e Grandes Estruturas 
Profº Rodrigo Carvalho da Mata, Dr. 
30 
 
0,
91
7
1,
00 1,
08
3
+
1,
25
0,
50
Q 
A B
g 
Q Q 
2m2m
q 
-
 
 
Portanto: 
 
917,0.4083,1.425,1.4
2
15.25,1.2
2
15.25,1
2
6.5,0.4R B,máx,V 

  
 tf25,63 
 
f) Envoltórias De Esforços Solicitantes – Exercício Geral: 
 
Os conceitos básicos referentes às envoltórias dos esforços solicitantes em uma estrutura já 
foram expostos neste capítulo. 
Nestas condições, iremos resolver neste item um exercício típico sobre envoltórias em 
vigas isostáticas, para o caso mais geral de uma viga bi-apoiada com dois balanços. 
Procuraremos estabelecer as envoltórias de momentos fletores e de esforços cortantes na 
viga. 
Envoltória dos momentos fletores 
Pontes e Grandes Estruturas 
Profº Rodrigo Carvalho da Mata, Dr. 
31 
 
mín.
máx.
-
+
+32,38
-22,5
-38,0
IHBGFEADC
 
 
Envoltória das forças cortantes 
 
-
+
-3,0
+3,0
-18,46
C D A E F G B H I
+19,99
+14,0
-17,0
+
-