P1- Cálculo III- Leila- 2015- EQIntegral

Prévia do material em texto

UNIFESP 
i i i í i f - i m i Universidade Federal de São Paulo 
iM- r - " f ' l l r *-M- Pro-Reitoria de Graduação 
= Campus Diadema 
I a Questão: (1 ,5 pon tos ) Seja F = (y + z ) i - ( z - x)j + (x - y)k. 
(a ) De t e rm ine o potenc ia l 0(x,y,z) ta l que 0 (1 ,0 ,2 ) = 3. 
(b) Calcule a in tegra l de l inha da função ve to r i a l dada sobre u m cam inho 
qua lque r que va i da o r i g em até ( 1 , 1 , 2 ) . 
<^ = ^Vfc ^ = ~£ +* f -fc = 
I S 
2 
.UNIFESP^ 
I H I l f i M I I 
EoaiiijaEECi 
Universidade Federal de São Paulo 
Pró-Reitoria de Graduação 
Campus Diadema 
2 a Questão: (1 ,5 pon tos ) Ut i l ize o Teo rema de Green para ca lcu lar j> — dx + 
( e y l n ( x ) + 2x) dy, onde C é a f r on te i r a da região l im i tada por x = y2 + l e x = 2, 
or ien tada no sent ido anti-horário. 
X 
*, ^ i * * * * * * - §(^1YK 
_ %j A/w * -r X*. 
5 1 
9^ 
\^ - d ? = í - ^ - h 
^ % /* 
3L- í l =. ^ 
ò 5 
3 
JJNÍFESP^ 
^ T T n ^ M i T i Universidade Federal de São Paulo 
m m B o m i Pró-Reitoria de Graduação 
Campus Diadema 
3 a Questão: (2 pon tos ) Seja F = xi + yj + zk u m campo ve to r i a l para t odo (x,y,z) G 
R3. Cons idere a superfície cilíndrica fechada S, cu ja la tera l é descr i ta pelas equações 
x2 + y2 = a2, c om a > 0, e 0 < z < h. 
(a) Calcule o f l uxo de F através de S fazendo o cálculo d i r e to : fluxo = 
ífs F-ndS 
( b ) Refaça o cálculo do f l uxo de F através de S, agora u t i l i zando o Teo rema do 
D ive rgen te . 
-A > 
5 
S 
l \s x U MS--- ^ . W 
5 S 
= JgC^AN 
S 
0^ ^ 9 1 
\ 
= 3 . T a rL 
UNIFESP. 
A . 
11 I I I v i u 11 Universidade Federal de São Paulo 
Pró-Reitoria de Graduação 
Campus Diadema 
^ a Questão: (1 ,5 pon tos ) Use o Teo rema de Stokes para ca lcu lar a in tegra l de l inha 
f F • dr do campo F(x,y,z) = xzi + xyj + y2k sendo C a f r on te i r a o r ien tada da 
superfície que cons iste da par te do c i l indro de secção t ransve rsa l elíptica z = 4 — x2 
no p r ime i ro oc tan te , de l im i tada pelos p lanos car tes ianos e pelo p lano y = 2. 
9 i : 
A 
k i 9/ 
2. LA 
0 
a i ©1 
A. 
1 
0 
0 
D 
0 
JJNIFESP^ 
1 1 i i i f I H 1 1 
• 4 n M i i¥' f "J-^ -l-
Universidade Federal de São Paulo 
Pró-Reitoria de Graduação 
Campus Diadema 
5 a Questão: (1 ,5 pon tos ) Calcule J/5 2zdS, onde S é a superfície cu jo lado S i é dado 
pelo c i l indro x2 + y2 = 1 , cu jo f undo S 2 é o círculo x2 + y2 < 1 no plano z=0, e cu jo 
t opo S3 é a par te do plano z = 2 + x que está ac ima de S 2 . 
5 
0 V M l t X 
A 
A. 
O o 
2T atUA% 
/ir 
D 0 O 0 r 
T A lo 
as ^ o 
Sa, 
X 
o 0 0 o Q 
\ 
5 
JJNIFESP^ 
1 1 I H ? I H 1 1 Universidade Federal de São Paulo 
Pró-Reitoria de Graduação 
Campus Diadema 
6 a Questão: (2 pon tos ) Cons idere o campo elétrico de uma carga Q local izada na 
o r i g e m , dado por 
E(r) = 
Q r 
ATÍEQ |f|3 
onde E0 é uma cons tan te . Sem fazer uso da Lei de Gauss (ou do Teo rema do 
D i ve rgen te ) , calcule o f l uxo do c ampo elétrico através de uma esfera unitária 
x2 + y2 + z2 = 1. 
M/VA. 
5 
N - Q . 
1, 
s 
QL 
7